Stat&prob

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫הגדרות‬

‫‪ 16‬משחקים‪ 3 ,‬אפשרויות למשחק‪ .‬מהי ההסתברות לפרס‬

‫מרחב המדגם – הוא אוסף של כל התוצאות האפשריות‪ ,‬מסומן ב ‪. ‬‬ ‫מאורע – הוא אוסף של תוצאות אפשריות‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬

‫‪A=  2,4,6‬‬

‫‪A  C=  4,6  P  A C  2 6‬‬

‫‪ 1,2,3,4,5,6‬‬

‫‪. ‬‬

‫קוביה‪ .‬כאשר מרחב המדגם הוא‬

‫‪.4‬‬

‫‪ - A  B‬מאורע ‪ A‬מוכל ב ‪ .B‬כלומר כל נק'‬ ‫שמוכלת ב ‪ ,A‬מוכלת גם ב ‪.B‬‬ ‫אם ‪ A‬מתרחש‪ ,‬בהכרח ‪ B‬מתרחש‪.‬‬ ‫אם ‪ B‬מתרחש‪ ,‬לא בהכרח ‪ A‬מתרחש‪.‬‬

‫חישוב הסתברויות במרחב הסתברות סופי –‬ ‫אם מרחב המדגם מכיל מספר סופי של‬ ‫תוצאות‪:‬‬

‫מחוק החיבור‪,‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪ A  B‬איחוד קבוצות‪ .‬מקבלים קבוצה‬ ‫חדשה המכילה נק' מ ‪ A‬ומ ‪ .B‬מאורע איחוד‬ ‫מתרחש אם מתרחש אחד מהמאורעות‬ ‫המרכיבים אותו‪.‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪ A  B‬חיתוך קבוצות‪ .‬מאורע חיתוך יתרחש‬ ‫רק אם גם ‪ A‬וגם ‪ B‬מתרחשים‪.‬‬

‫‪.4‬‬

‫‪ ‬קבוצה ריקה‪ .‬מאורע ריק‪ ,‬לא מכילה‬ ‫תוצאה‪ ,‬לעולם לא יכול להתרחש‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫‪ A  B=‬מאורעות זרים‪ .‬כלומר אין להם‬ ‫תוצאות משותפות לכן הם נקראים מאורעות‬ ‫זרים‪.‬‬

‫‪Ac ,A .6‬‬

‫מאורע משלים‪ .‬מכיל את כל‬

‫חוקי יסוד בתורת הקבוצות‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬חוק אסוציאטיבי ‪. A  B=B A -‬‬ ‫‪.3‬חוק פילוג ‪-‬‬ ‫‪ AB  C=  AC    BC ‬‬ ‫‪ AB  C=  AC    BC ‬‬ ‫‪ A B   A  B‬‬ ‫‪.4‬חוקי דה מורגן ‪-‬‬ ‫‪ A B   A  B‬‬ ‫‪.5‬איחוד של כמה מאורעות ‪-‬‬ ‫חוק קומוטטיבי ‪-‬‬

‫‪A B=BA‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪U Ai  A1  A 2  A 3 ...‬‬

‫‪i1‬‬

‫‪.6‬‬

‫חיתוך של כמה מאורעות ‪-‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪I Ai  A1  A 2  A 3 ...‬‬

‫‪i1‬‬

‫אקסיומת ההתסברות‬

‫‪.1‬‬

‫הסתברות ‪- P‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪P  A  0 lim A  0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ A 0 .2‬‬ ‫תמיד‪.‬‬ ‫‪P  1 .3‬‬

‫‪fA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.4‬אם ‪( A  B ‬מאורעות זרים) אזי‬ ‫‪f A  n  lim‬‬

‫‪ A B P A  P B‬‬

‫‪ P‬וכן הגבול‬

‫‪f‬‬ ‫‪f f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪lim AB  lim A B  lim A  lim B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P  0 .5‬‬ ‫משפטים בתורת הקבוצות‬

‫‪.1‬‬

‫‪AB‬‬

‫אם‬

‫‪.2‬‬

‫‪P A P B‬‬

‫‪P A 1P A‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪P A  B P A  P B P A  B‬‬ ‫דוגמא‪ :‬הטלת קוביה‪,‬‬

‫‪ 1,2,3,4,5,6‬‬

‫ההסתברות של מאורע‬

‫‪P A 3 6‬‬

‫אזי‬

‫ניתנת ע"י סכום‬ ‫חשיבות לסדר?‬

‫ההסתברויות של כל תוצאות הניסוי הכלולות בו‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E i   ei   P  A  P  U E i    P E i ‬‬ ‫‪eiA‬‬ ‫‪ eiA ‬‬ ‫‪( a1  an ) n‬‬ ‫סכום טור אריתמטי‪:‬‬ ‫‪a1 L  an ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מרחבי מדגם סימטריים סופיים‬ ‫במרחב מדגם סימטרי יש ‪ n‬תוצאות אפשריות‬

‫‪P ei  1 n‬‬

‫או‬

‫)‪N (A‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪P= A ‬‬

‫‪ e1 ,..,en ‬‬

‫‪ ‬כך‬

‫כאשר ‪ )N)A‬מספר‬

‫כלל המכפלה‬ ‫אם ניסוי ניתן להצגה כמתבצע בשני שלבים‪ ,‬בשלב הראשון יש ‪n‬‬ ‫תוצאות אפשריות (שקולות) ובשלב השני יש ‪ m‬תוצאות אפשריות‬ ‫(שקולות) לכל תוצאה בשלב הראשון‪ ,‬ואם מוגדר מרחב מדגם לניסוי‬ ‫כאוסף כל הזוגות הסדורים (‪ )a,b‬כאשר ‪ a‬תוצאת שלב ראשון ו ‪b‬‬ ‫תוצאת שלב שני‪ ,‬אזי במרחב המדגם האמור יש ‪ nm‬תוצאות‬ ‫אפשריות‪ .‬את מדגם המרחב החדש נוח לייצג בתור מטריצה של ‪nxm‬‬ ‫ולמחוק את האלכסון הראשי‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מוציאים ‪ 2‬כדורים מסל של ‪ 5‬כדורים ובו ‪ 3‬לבנים ו ‪2‬‬ ‫כחולים‪ .‬תחילה {‪2‬כ'‪2,‬ל'‪,‬כ'‪+‬ל'} ‪  ‬מרחב זה אינו סימטרי!‬ ‫לפי כלל המכפלה נגדיר מרחב מדגם חדש‪ :‬נמספר שלושה לבנים‬ ‫מ‪ 1-‬עד‪ 3-‬ושני כחולים מ‪ 4-‬עד‪ ,5-‬כך נקבל בשלב ראשון ‪ 5‬תוצאות‬ ‫שקולות ובשלב השני ‪ 4‬תוצאות שקולות‪ ,‬סה"כ יש ‪ 20‬אפשרויות‪.‬‬ ‫עכשיו ההסתברות (מאורע ‪ )A‬להוציא ‪ 2‬לבנים זה‪:‬‬

‫)‪N (A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N (  ) 20‬‬

‫כלומר‪:‬‬

‫(לקבל מספר זוגי) הוא‬

‫‪B= 6‬‬

‫‪P B 1 6‬‬

‫(לקבל כל מספר גדול או שווה‬

‫‪.‬‬

‫ההסתברות של מאורע ‪ 4,5,6‬‬ ‫שווה לארבע) הוא ‪P  C  3 6‬‬

‫=‪( C‬לקבל מספר גדול או‬

‫מהי ההסתברות להוציא ‪ 3‬שחורים ללא החזרה עם חשיבות לסדר?‬

‫‪6! 10! 654‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N (  ) 3! 7! 1098‬‬

‫מהי ההסתברות להוציא ‪ 3‬שחורים ללא החזרה וללא חשיבות‬ ‫לסדר?‬

‫!‪6‬‬ ‫!‪ 3!3‬‬ ‫‪...‬‬ ‫)‪N ( ‬‬ ‫!‪10‬‬ ‫!‪3!7‬‬

‫אם מבקשים מאיתנו ניסוי עם החזרה אזי נקבע סדר לפי הצורך‬ ‫והנוחות בכך‪ ,‬כי בניסוי עם החזרה ללא חשיבות לסדר‪ ,‬לא נקבל מרחב‬ ‫מדגם סימטרי‪.‬‬

‫‪ n  n ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k   nk ‬‬

‫‪ n   n 1  n 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k   k   k 1‬‬

‫כאשר מאורע ‪ C‬הוא שני‬

‫הקבוצות‪ ,‬כאשר יש חשיבות לסדר ההוצאה (והמאורעות זרים) לכן‬

‫‪uur uuu‬‬ ‫‪r 23 23‬‬ ‫‪P bw wb   0‬‬ ‫‪20 20‬‬

‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪P I A ij‬‬

‫‪n1‬‬

‫‪ ,‬אזי במרחב המדגם יש‬ ‫תוצאות אפשריות (סימטריות)‪.‬‬

‫דוגמא‪ :‬בהטלת קוביה ‪ 10‬פעמים יש‬

‫‪10‬‬

‫‪ 6‬תוצאות אפשריות‪.‬‬

‫דוגמא‪ :‬בכיתה יש ‪ 10‬בנות ו ‪ 15‬בנים‪ ,‬רוצים לבחור ועד כיתה ובו בן‬ ‫ובת‪ .‬נבצע ניסוי בשני שלבים‪ ,‬בחירת בת ואז בן ולכן סך‬ ‫האפשרויות‪.150 :‬‬ ‫דוגמא‪ :‬ישנם ‪ 4‬ארגזים ו ‪ 7‬כדורים‪ ,‬צריך להכניס כל פעם כדור אחד‬ ‫לאחד הארגזים מבלי שצעד הבא מושפע מהקודם‪.‬‬

‫‪N (  )  47‬‬

‫‪ .‬מהי ההסתברות (מאורע ‪ )A‬ש ארגז אחד נשאר‬

‫ריק? מהי ההסתברות (מאורע ‪ )B‬ש ארז לא נשאר ריק?‬

‫‪37‬‬ ‫‪P B 1P A‬‬ ‫‪47‬‬ ‫עם חשיבות‬ ‫לסדר‬ ‫עם‬ ‫החזרה‬ ‫ללא‬ ‫החזרה‬

‫‪P A ‬‬

‫דוגמא‪ :‬משחק טוטו‬

‫ללא חשיבות לסדר‬

‫‪nk‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫! ‪ nk ‬‬

‫)‪  P A i  A j  A k   K  ( 1‬‬ ‫‪i j k‬‬

‫‪P  A  B  P  A  C  P  BC  P  A  BC‬‬ ‫הסתברות מותנית‬

‫‪P A  B‬‬ ‫‪P B‬‬

‫נוסחת הכפל ‪-‬‬

‫תוצאות אפשריות (סימטריות) ואם מרחב המדגם הוא אוסף ‪-k‬יות‬

‫‪n1  n2  L  nk‬‬

‫‪i1  i2 .. i k‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i=1‬‬

‫‪P  A  BC  P  A  P  B  P  C ‬‬

‫הכללת כלל המכפלה‬ ‫אם ניסוי ניתן להצגה כמתבצע ב ‪ k‬שלבים‪ ,‬בשלב הראשון יש‬

‫סדורות‬

‫‪‬‬

‫‪k 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪P U Ai‬‬

‫ההסתברות המותנית של מאורע ‪ A‬בהינתן מאורע ‪:B‬‬

‫‪61‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P  s7 ‬‬ ‫‪P  s11 ‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪k‬‬

‫‪i j‬‬

‫‪j=1‬‬

‫ואפשר היה להשתמש במשפט (‪ )3‬של תורת‬

‫‪1‬‬

‫‪  P A i    P A i  A j  ‬‬ ‫‪n‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫‪ a ,.., a ‬‬

‫‪ -‬כלומר ההסתברות לבחור ‪ k‬ולשים בחוץ שווה‬

‫להסתברות לא להוציא את ‪ k‬אלה להוציא את הנשאר ולשים בחוץ‪.‬‬

‫כחולים‪.‬‬

‫של ‪?11‬‬

‫=‪P‬‬

‫‪ n‬‬ ‫‪ n  n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫הבינום של ניטון‪  1 :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫(!‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫!)‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0  n‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20‬‬

‫)‪P b3   N (3‬‬

‫מהי ההסתברות להוציא ‪ 1‬שחור ו ‪ 2‬אדומים ללא החזרה וללא‬

‫עכשיו ההסתברות (מאורע ‪ )B‬להוציא ‪ 1‬כחול ו ‪ 1‬לבן ‪( ? -‬קשה‬ ‫לדעת)‪.‬‬

‫‪P C ‬‬

‫)‪P b3   N (3‬‬

‫הכללת משפט (‪ )3‬בתורת הקבוצות‪:‬‬

‫‪P  A ‬‬

‫‪P B 1 P A  P C‬‬

‫‪63‬‬ ‫‪P b3   3‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪N (A)  6   4   10 ‬‬ ‫חשיבות בסדר? ‪    ‬‬ ‫‪N ()  1   2   3 ‬‬

‫הנק' הנמצאות במאורע ‪.A‬‬ ‫סימטרי = הסתברות לכל תוצאה זהה!‬

‫‪N (A)  3 2  6‬‬

‫‪161 2115 1‬‬ ‫‪P second ‬‬ ‫‪316‬‬

‫דוגמא‪ :‬נתון סל ובו ‪ 6‬כדורים שחורים ו ‪ 4‬כדורים אדומים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות להוציא ‪ 3‬שחורים בהוצאה עם החזרה ועם‬

‫מס' אפשרויות לדגימה של ‪ k‬מתוך ‪ n‬איברים‬

‫‪.‬‬

‫ההסתברות של מאורע‬ ‫לשש) הוא‬

‫‪A= 2,4,6‬‬

‫‪A=  e1 ,...,ei ‬‬

‫במשחק הספציפי שטעינו לכן‪:‬‬

‫דוגמא‪ :‬הטלת שתי קוביות‪ ,‬מהי ההסתברות לקבל סכום של שבע?‬

‫וכן הגבול‬

‫אזי‬

‫ההתסברות למאורע‬

‫ש‬

‫התוצאות האפשריות שלא נמצאות במאורע ‪.A‬‬ ‫מתרחש אמ"מ ‪ A‬לא מתרחש‪.‬‬

‫‪   e1 ,e2 ,e3 ...en ‬‬

‫כי בטוטו‬

‫התוצאות אינן שקולות‪ .‬נניח במאדים כל הקבוצות שקולות‪ ,‬שם‬ ‫התוצאה תהייה נכונה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות אם כן לפרס שני? זה אומר שניחשנו נכון ‪15‬‬ ‫משחקים‪ ,‬באחד טעינו‪ ,‬כמה אופציות למשחק שטעינו? – ‪ .16‬במה‬ ‫טעינו במשחק הזה ספציפית? (‪ x12( – 2‬אפשרויות לטעות‬

‫‪ P  A  P  C  P  AC  4 6‬‬

‫תורת הקבוצות‬

‫‪.1‬‬

‫הדגדול?‬

‫‪A  C=  2,4,5,6  P  A C ‬‬

‫הוא אוסף של התוצאות הזוגיות בהטלת‬

‫‪1‬‬ ‫‪N (  ) 3  P big  16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪ n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫!) ‪ k  k !( n k‬‬

‫‪P A/B ‬‬

‫כאשר‬

‫‪P B 0‬‬

‫חייב להתקיים‪.‬‬

‫‪P  A  B  P  B P  A/B‬‬

‫‪ P  A P  B/A‬‬

‫דוגמא‪ :‬נתון סל עם ‪ 3‬כדורים לבנים ו ‪ 5‬שחורים‪ .‬מוציאים ‪ 2‬כדורים‬ ‫ללא החזרה‪ .‬מהי ההסתברות לשני כדורים שחרוים?‬

‫‪54‬‬ ‫‪87‬‬

‫‪P  2B ‬‬

‫עפ"י נוסחת הבינום של ניטון (ללא החזרה וללא חשיבות לסדר) וכן‬

‫עפ"י נוסחת הכפל‬

‫‪P  2B  P  B1B2 ‬‬ ‫‪5 4‬‬ ‫‪P  B1 P  B2 / B1  ‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫הכללת נוסחת הכפל – הסתברות מותנית‬ ‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪A= U A Bi   P A   P Bi  P A/Bi ‬‬ ‫כאשר‬

‫‪Bi‬‬

‫חלוקה של ‪. ‬‬

‫דוגמא‪ :‬נתון סל עם שלושה כדורים לבנים וחמישה כדורים שחורים‪.‬‬ ‫מהי ההתסברות שהכדור השני שנוציא הוא שחור?‬

‫‪P  B2   P  B2 / B1 P  B1 ‬‬ ‫‪4 5 5 3 5‬‬ ‫‪ P  B2 / W1 P  W1     ‬‬ ‫‪7 8 7 8 8‬‬

‫אפשר היה לראות את התוצאה מראש כי יש ‪ 8‬אפשרויות סימטריות‬ ‫זהות סה"כ‪ .‬כל אחד מהכדורים יכול לצאת שני‪ ,‬סה"כ יש ‪ 5‬כדורים‬ ‫שחורים לכן זה ‪.5/8‬‬

‫נוסחת ‪ Bayes‬ונוסחת ‪ Bayes‬הכללית‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬ ‫נוסחת ‪- Bayes‬‬

‫‪P A/B P B‬‬ ‫‪P A‬‬

‫נוסחת ‪ Bayes‬כללית ‪-‬‬

‫‪P A/Bk  P Bk ‬‬

‫‪P  A ‬‬

‫‪P Bk /A ‬‬

‫‪i‬‬

‫‪A‬‬

‫‪ -‬מאורע לענות נכון‪.‬‬

‫‪ -‬מאורע‪ ,‬השאלה מתוך החומר‬

‫‪-‬מאורע השאלה לא מתוך החומר הנלמד – תלמיד מנחש‪.‬‬

‫הערה‪ :‬ניתן באופן דומה לרשום כל ערכי חלוקה (אחוזונים) שנרצה‪.‬‬ ‫ערך החלוקה ה‪ p -‬של משתנה ‪ X‬הוא ערך ‪ x p‬המקיים‪:‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P(X  x p )  p‬‬

‫‪0‬‬

‫‪P(X  x p )  p‬‬

‫‪ P A/B35 P B35  P  A  3 4‬‬ ‫‪E555555‬‬ ‫‪F E5555F‬‬

‫טרנספורמציה ליניארית של תוחלת‪:‬‬

‫‪P A‬‬

‫‪13‬‬

‫מרחבי מדגם כמותיים‬

‫‪P A/B1 1  P B1 0.6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P A/B2  0.25 P B2  0.4‬‬ ‫‪10.6 0.250.40.7‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪E(X)=0 1  2 1‬‬ ‫‪4 2 4‬‬

‫תוצאות מרחב המדגם‬

‫לחישוב ) ‪ PX ( k‬אנו מסכמים את ההסתברויות של כל תוצאות הניסוי‬

‫‪‬‬

‫עץ הסתברויות‬

‫‪.2‬‬

‫לכל ערך ‪.x‬‬

‫‪E(X)=a‬‬

‫‪( x‬הסכום עובר על כל ערכי‬

‫חיבוריות – לכל שני משתנים ‪ ,X,Y‬מתקיים‬

‫)‪E(X+Y)=E(X)+E(Y‬‬

‫‪.4‬‬

‫‪P(X=0)=P(MM)=1 4‬‬ ‫‪P(X=2)=P(FF)= 1 4‬‬

‫מאורעות בלתי תלויים‬ ‫הגדרה‪ A :‬יקרא בלתי תלוי במאורע ‪ B‬אם‬

‫זוהי פונק' ההסתברות של השאלה‪ ,‬בעזרתה נוכל לחשב הסתברות‬ ‫של כל מאורע אחר הנוגע למשתנה ‪ X‬זה‪:‬‬ ‫הסתברות שיש בנות במשפחה‪:‬‬

‫אם אחד לא תלוי בשני אזי בהכרח השני לא תלוי בראשון‪.‬‬ ‫מכאן אם המאורעות ‪ A,B‬בת"ל אזי‬ ‫הגדרה‪ :‬סדרת מאורעות‬

‫‪ Ai  i1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪P A B  P A P B‬‬

‫קבוצה חלקית ‪ k‬של מאורעות מתקיים‪:‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪P I A i  P A i ‬‬ ‫‪ik‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ik‬‬

‫‪P(X 1)=P(X=2)=1 4‬‬

‫כאשר סטיית תקן מוגדרת כשורש השונות‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪SDX ( x )  VarX ( x ) ‬‬

‫פונקציית ההתפלגות המצטברת‬ ‫של משתנה בדיד ‪ X‬ניתנת ע"י‪:‬‬

‫סדרת ניסויי ברנולי (ניסויים בלתי תלויים)‬ ‫סדרת ניסויים זהים ובלתי תלויים‪ ,‬בכל ניסויי שתי תוצאות אפשריות‪,‬‬

‫) ‪F(t)=P(X  t)=  P(X=x‬‬ ‫‪X t‬‬

‫‪P  Success  p‬‬

‫דוגמא‪ :‬מספר הבנות‪ ,X ,‬במשפחות של שני ילדים מקיים –‬ ‫‪.‬‬

‫עורכים ‪ n‬ניסויי ברנולי‪ – X ,‬מספר ההצלחות בניסויי ברנולי‪:‬‬

‫‪t<0‬‬

‫‪ n  k n k‬‬ ‫‪p q‬‬ ‫‪ k‬‬

‫‪P x  k ‬‬

‫‪t‬‬

‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 1 4 0 t<1‬‬

‫‪F(t)= ‬‬

‫‪ 3 4 1 t<2‬‬

‫דוגמא‪ :‬טוטו‬ ‫ההסתברות לזכות בפרס שני‪:‬‬

‫‪t2‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 16   1   2 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ 15   3   3 ‬‬

‫‪ 1‬‬

‫‪)F)X‬‬

‫‪P x 15 ‬‬

‫‪t  0‬‬ ‫‪0t 1‬‬

‫¼‬

‫¼‬

‫‪1t  2‬‬

‫¾‬

‫½‬

‫‪t 2‬‬

‫‪1‬‬

‫¼‬

‫סכום סדרה הנדסית סופית ‪-‬‬

‫דוגמא‪ :‬מטילים קוביה שוב ושוב‪ ,‬מהי ההסתברות שיצא מס' זוגי‬ ‫לפני ‪( ?1‬מאורע ‪ .)A‬ניעזר בעץ ההסתברויות‪:‬‬

‫תכונות השונות‪:‬‬

‫‪VarX ( x )  0 .1‬‬

‫עבור כל משתנה ‪.X‬‬

‫(שווה רק אם ‪ X‬קבוע)‪.‬‬

‫‪VarX ( x  a )  VarX ( x ) .2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪VarX (bx ) b VarX ( x ) .3‬‬

‫‪.4‬‬

‫תכונת החיבוריות מתקיימת עבור ‪ n‬ניסויים‬ ‫בלתי תלויים‪-‬‬

‫) ‪VarX ( x1 L  xn )  VarX ( x1 ) L  VarX ( xn‬‬

‫‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪a1‬‬ ‫‪1q‬‬

‫)‪a1 ( q n 1‬‬ ‫‪q 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪E( x 2 ) 02  12   22  ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Var( x )  3 2  1  1 2‬‬

‫‪2‬‬

‫הסתברויות גאומטריות‪ X :‬מספר ההצלחות ב ‪ n‬ניסויי ברנולי‪ Y ,‬מספר‬

‫סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ‪-‬‬

‫)‪P‬‬ ‫‪)X‬‬

‫‪0‬‬

‫תיאור גרפי של פונק' ההתפלגות‪:‬‬

‫הניסויים שיש לערוך עד להצלחה הראשונה‪.‬‬

‫‪E( x )  1‬‬

‫פונק' ההתפלגות המצטברת מוגדרת לכל מספר ממשי ‪ ,t‬לקבלת ‪)F)t‬‬ ‫אנו צוברים הסתברויות של כל ערכי ‪ X‬שהם קטנים או שווים ל‪.t-‬‬ ‫דוגמא‪ :‬המשך דוגמא של משפחה ולה ‪ 2‬ילדים‪( .‬אפשרי גם בטבלה)‬

‫‪P  Failure  1  p  q‬‬

‫‪P y k  q k 1 p‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪VarX ( x ) E   x E X ( x )  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪VarX ( x ) E X ( x )  E X ( x‬‬

‫כמו כן ‪-‬‬

‫הסתברות שיש יותר בנות מבנים‪:‬‬

‫הערה‪ :‬כדי לבדוק שלישיה אם היא בת"ל צריך לבדוק ‪ 4‬תנאים!‬

‫הצלחה או כשלון‪.‬‬

‫שונות‬ ‫מדד לפיזור של משתנה מקרי‪:‬‬

‫‪P(X 1)=P(X=1)+P(X=2)=3 4‬‬

‫תקרא בלתי תלויה אם לכל‬

‫‪.‬‬

‫חיבוריות הכללה – מתקיים לכל ‪ n‬משתנים‬ ‫מקריים‪.‬‬ ‫אסטרטגיות לחשוב תוחלת‪ :‬במקרים בהם‪ ,‬חישוב התוחלת מתוך‬ ‫התפלגות ‪ ,X‬מסובך‪ ,‬ניתן להיעזר בתכונות התוחלת לצורך חישובה‪.‬‬ ‫‪.1‬שימוש בסימטריה‪.‬‬ ‫‪.2‬ביצוע שינוי קנה מידה ושימוש בלינאריות‪.‬‬ ‫‪.3‬פירוק לסכום של משתנים פשוטים יותר ושימוש‬ ‫בחיבוריות‪( .‬פירוק שימושי במיוחד הוא פירוק‬ ‫לסכום של משתנים מציינים)‪.‬‬

‫‪P(X=1)=P(MF)+P(FM)= 1 4  1 4  1 2‬‬

‫‪P A/B  P A‬‬

‫‪.‬‬

‫‪.3‬‬

‫המשתנה ‪)X‬‬ ‫ניתן להציג את פונקציית ההסתברות באמצעות טבלה‪ ,‬דיאגרמה או‬ ‫נוסחא‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬משפחה ולה ‪ 2‬ילדים‪.‬‬ ‫יהי ‪ – X‬מספר הבנות במשפחה‪ ,‬ערכי ‪ X‬אפשריים הם ‪.0,1,2‬‬ ‫נחשב את ההסתברות לקבל כל אחד מן הערכים האלה‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪e‬‬

‫סימטריות – אם התפלגות ‪ X‬סימטרית סביב‬ ‫ערך ‪ a‬אזי‬

‫‪ P(x) 1 .2‬‬

‫בפתרון בעיות הסתברותיות הקשורות בניסוי בשלבים‪ ,‬ניתן לרשום את‬ ‫כל האינפורמציה ההסתברותית על גבי עץ‪.‬‬ ‫לאורך מסלול מסויים מכפילים את ההסתברויות ואז מחברים את‬ ‫ההסתברויות של המסלולים המבוקשים‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ,‬דהיינו‪:‬‬

‫) ‪E(X)=  X( e )P( e‬‬

‫‪.‬‬

‫תכונות נוספות של תוחלת‪:‬‬ ‫‪.1‬תכונות הלינאריות הובאו לעיל‪.‬‬

‫שעוברן מקבל המשתנה ‪ X‬את הערך ‪.x‬‬ ‫תכונות פונק' ההסתברות של ממ"ב –‬

‫‪P(x)>0 .1‬‬

‫כלומר במספר רב של‬

‫משפחות עם ‪ 2‬ילדים‪ ,‬נמצא בממוצע בת אחת למשפחה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬ניתן לחשב את התוחלת ‪ )E)X‬ישירות מתוך מרחב ההסתברות‬ ‫עצמו‪ ,‬וזאת מבלי לחשב תחילה את פונקציית ההסתברות של ‪ ,X‬באופן‬ ‫הבא – לכל תוצאה אפשרית ‪ e‬של הניסוי‪ ,‬נכפול את ערך המשתנה‬ ‫‪ )X)e‬בהסתברות התוצאה ‪ )P)e‬ונסכם את המכפלות הללו על כל‬

‫) ‪PX ( x )  P(X=x )  PX ( k )  P(X=k‬‬

‫‪P  B1/A ‬‬

‫‪E ax b   aE x  b‬‬

‫‪.‬‬

‫דוגמא‪ :‬יהי ‪ – X‬מספר הבנות במשפחות בנות ‪ 2‬ילדים‪ .‬נשתמש‬ ‫בהסתברויות של הממ"ב ‪ X‬שמצאנו קודם ולכן התוחלת היא‪:‬‬

‫פונקציית ההסתברות של משתנה בדיד – באופן כללי כדי לבצע את כל‬ ‫החישובים ההסתברותיים הנוגעים למשתנה הבדיד ‪ ,X‬עלינו לדעת לכל‬ ‫ערך ‪ , x‬את ההסתברות שהמשתנה ‪ X‬יקבל את הערך ‪ ,x‬כלומר את‬ ‫הסתברות המאורע {‪ .}X=x‬אופן חלוקת ההסתברויות לערכים‬ ‫האפשריים השונים של משתנה ‪ X‬נקרא (חוק) ההתפלגות של ‪ .X‬חוק‬ ‫ההתפלגות של משתנה בדיד נקבע ע"י פונקציית ההסתברות שלו‪.‬‬ ‫פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי בדיד ‪ – X‬נותנת לכל ערך‬ ‫אפשרי ‪ x‬של המשתנה ‪ X‬את הסתברותו‪ ,‬נסמן זאת כך‪:‬‬

‫‪P A  P A/B1 P B1  P A/B2  P B2  ‬‬

‫‪10.6‬‬ ‫‪ 0.86‬‬ ‫‪0.7‬‬

‫‪P  x  Med  0.5‬‬

‫‪P A/B1 P B1  P A/B246  P B246  ‬‬ ‫‪E5555F E55F E55555F E5555‬‬ ‫‪F‬‬

‫מהי ההסתברות שהתלמיד יענה נכון? מהי ההסתברות שהשאלה‬ ‫שנשאלה הינה מתוך החומר הנלמד אם ידוע שהתלמיד ענה נכון?‬

‫‪P A B1‬‬ ‫‪P A/B1 P B1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P A‬‬ ‫‪P A‬‬

‫המשתנה באופן הבא‪:‬‬

‫‪P  x<Med  0.5‬‬

‫‪P  A   P A/Bi  P  Bi  ‬‬

‫הנלמד‪.‬‬

‫‪B2‬‬

‫שכיח – הערך בעל ההסתברות הגבוה ביותר‪.‬‬

‫או עפ"י נוסחת ההסתברות השלמה‪ ,‬מאורע ‪ – B‬תוצאת ההטלה‬ ‫הראשונה‪:‬‬

‫דוגמא‪ :‬בבוחן שאלה אחת ו‪ 4-‬תשובות אפשריות‪ ,‬תלמיד לומד ‪60%‬‬ ‫החומר‪.‬‬

‫‪B1‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬חציון (‪ – )Med‬הערך החוצה את ערכי‬

‫‪1 1 1 1 1 1‬‬ ‫‪     L‬‬ ‫‪2 3 2 3 3 2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪L     1 ‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪ 3‬‬

‫‪P B/A ‬‬

‫‪ P A/Bi  P Bi ‬‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫מומנט מסדר ‪ n‬של ‪E( x ) - x‬‬ ‫משתנה מקרי אחיד ) ‪X~U( N‬‬ ‫דוגמא‪ :‬סדרת ניסויי ברנולי‬ ‫‪ – X‬מס' הניסויים עד להצלחה הראשונה‪.‬‬

‫‪PX ( k )  P{x  k } FX (t)  P  xt‬‬ ‫‪P  x t   P  x t  P  x t 1‬‬

‫תוחלת של משתנה מקרי בדיד‬ ‫זהו ממוצע של ערכי המשתנה ‪ X‬משוקללים בהתאם להסתברויותיהם‪,‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬הערך הממוצע של התופעה אותה מודדים אם חוזרים‬ ‫מס' רב של פעמים על הניסוי‪ .‬משמעות פיזיקלית תהייה איפוא‪ ,‬מרכז‬ ‫הכובד של הסתברויות‪.‬‬

‫‪E X ( x )   k PX  x  k  ‬‬

‫‪ X‬מקבל את הערכים ‪ N,...1,2,3‬בהסתברויות שוות‪ .‬בחירנ מקרית של‬ ‫מספר שלם בין ‪ 1‬ל ‪.N‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪PX ( k )  P  x k  ‬‬ ‫‪k  1, 2, ..., N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FX ( k ) PX ( x  k ) ‬‬ ‫‪1k  N‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫‪kN‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪N 2 1‬‬ ‫‪Var( x ) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪k‬‬

‫‪E X ( g ( x ))   g ( k )PX  x  k  ‬‬ ‫‪k‬‬

‫הגדרות נוספות‪:‬‬

‫משתנה מציין‬

‫‪E( x ) ‬‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫כאשר נרצה להתעניין אם מאורע ‪ A‬מסויים התרחש או לא התרחש‪,‬‬ ‫נהוג להגדיר משתנה ‪ X‬המציין אם התרחש או לא התרחש המאורע ‪A‬‬ ‫כדלהלן‪:‬‬

‫‪X( e ) 1‬‬ ‫‪X( e ) 0‬‬

‫‪ 0‬‬

‫‪t 0‬‬

‫‪FX (t )  PX  x t   t A‬‬

‫‪0t  A‬‬

‫‪ -‬אם תוצאת הניסוי ‪ e‬שייכת ל‪( A-‬מאורע ‪ A‬התרחש)‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t A‬‬

‫‪ -‬אם תוצאת הניסוי ‪ e‬אינה שייכת ל‪( A-‬מאורע ‪ A‬לא‬

‫נסמן פונק' ההסתברות כך‪:‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪ q‬‬ ‫‪ p‬‬

‫‪P( x )  ‬‬

‫‪E( x )  p‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Var( x )  p  p  p (1  q )  pq‬‬ ‫משתנה בינומי (ברנולי)‬ ‫אם נערכת סדרה של ‪ n‬ניסויים זהים ובלתי תלויים‪ ,‬בכל ניסוי שתי‬ ‫תוצאות אפשריות‪ ,‬ההצלחה בסתברות ‪ ,p‬כשלון בהסתברות ‪.p=q-1‬‬

‫) ‪ X ~ Bin ( n, p‬מספר ההצלחות ב ‪ n‬ניסויים‪0 p 1 .‬‬ ‫‪ n  k n k‬‬ ‫‪k  0,1, 2, ..., n‬‬ ‫‪p q‬‬ ‫‪ k‬‬

‫‪P  x k   ‬‬

‫) ‪P( x  a )  1  F( a‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫[השטח מתחת לגרף ‪ f‬בין ‪ a‬ל ‪ b‬זו ההסתברות] =‬

‫) ‪PX ( a  x b‬‬

‫‪PX  a  x b  PX  xb  PX  x a ‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪ FX ( b )  FX ( a )   f X ( t ) dt‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪E(x )  np‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪Var( x )  np (1  p‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f X (t ) dt 1 E X ( x )   t f X (t ) dt‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t a‬‬

‫‪E X ( x ) 25‬‬

‫‪a t b‬‬

‫‪1 3 300‬‬ ‫‪VarX ( x )  100   ‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪t b‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪ t a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪FX PX  x t ‬‬ ‫‪ ba‬‬ ‫‪ 1‬‬

‫משתנה גיאומטרי‬ ‫ברנולי‪.‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫‪P  x k   pq‬‬

‫‪FX ( k ) PX ( x  k )1(1 p ) k‬‬ ‫‪E( x ) 1 p‬‬ ‫‪Var( x )  q p 2‬‬

‫מספר המיוחדים במדגם‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪P  x k  ‬‬

‫‪else‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪12‬‬

‫‪P  4 x 12   f X ( x ) dx ‬‬

‫‪E( x )  n‬‬

‫שטח מתחת לגרף הפונקציה תמיד ‪! 1‬‬ ‫הערה‪ :‬ההבדל בין בדיד לרציף הוא שבבדיד יש פונק' ההסתברות‬ ‫לעומת פונק' הצפיפות של רציף (המקביל של פונק' ההסתברות)‪,‬‬ ‫הדומה הוא שלשניהם יש פונק' ההתפלגות המצטברת‪ .‬פונק' צפיפות‬

‫‪1‬‬

‫פונק' ההתפלגות המצטברת בבדיד תסומן ‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪FX (t ) PX  xt‬‬

‫נקראת פונקציית ההתפלגות המצטברת של ‪ ,X‬מוגדרת עבור כל ‪t‬‬ ‫ממשי‪ ,‬פונקציה רציפה וגזירה‪ ,‬מונוטונית לא יורדת שערכיה בין ‪ 0‬ל ‪.1‬‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪ x  k‬‬

‫‪b‬‬

‫‪P a  xb   f X ( x ) dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫פונק' ההתפלגות המצטברת של מ"מ רציף ‪ X‬ניתנת ע"י –‬

‫‪x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P x  k 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪EX ( x) ‬‬

‫‪P  x t   e‬‬

‫?‪P x15 ‬‬

‫‪P x b x a‬‬ ‫‪P  x b / x a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P x  a‬‬ ‫‪P x b‬‬ ‫‪e  b‬‬ ‫=‬ ‫‪  a‬‬ ‫‪P x a‬‬ ‫‪e‬‬ ‫שזה אותו דבר בשני המקרים!‬ ‫אפיון‪ :‬משתנה מקרי רציף מעריכי בעל תכונת חוסר זכרון!‬

‫משתנה מקרי אחיד רציף – נורמלי (גאוסיאני)‬

‫) ‪X ~ N (  ,‬‬

‫‪ -  ,‬פונק' התפלגות מצטברת נורמלית‬ ‫‪ ( x   )2 2  2‬‬

‫‪ x ‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ ( x   )2 2  2‬‬

‫‪e‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪E( x )   Var( x ) 2‬‬

‫‪e‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪f X ( x )‬‬

‫‪t‬‬

‫‪FX ( x )  PX ( x  t )  ‬‬

‫‪‬‬

‫משתנה מקרי רציף – אחיד‬

‫‪X ~ U   , ‬‬

‫‪ t‬‬

‫סטנדרטית‪.‬‬

‫‪ ,‬לכן אם מוצאים ערך ‪ k‬עם סיכוי שונה‬

‫‪ ‬ל ‪ ‬באופן אחיד‪.‬‬

‫מקבל ערכים בין‬

‫בחירה מקרית של מספר ברווח בין‬

‫‪  e  x‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪fX ( x )  ‬‬

‫‪P  x b a  1  FX (b  a )  e‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ -‬קצב‬

‫‪ 1e  t‬‬ ‫‪FX (t )  PX ( x  t )  ‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪VarX ( x ) ‬‬

‫) ‪  ( b a‬‬

‫פונק' הצפיפות ‪ f‬של מ"מ רציף ‪ X‬היא אי שלילית המקיימת –‬

‫לכל ‪ k‬נגדיר‬

‫‪ 0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪P  x k   e‬‬ ‫‪k  0,1, 2..., ‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪E( x )  Var( x )  ‬‬

‫) ‪X ~exp( ‬‬

‫יש שתי אופציות‪ ,‬האחת להמשיך עם הרכיב אחרי ‪ 3‬שנות בדיקות‪,‬‬ ‫השניה להחליף את הרכיב ברכיב חדש בתום בדיקות לפני שיגור‪.‬‬ ‫נראה באופן כללי‪:‬‬

‫‪FX (t )  P x t‬‬

‫‪x ‬‬

‫קצב ארועים‪.‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫דוגמא‪ :‬חיי לווין‬

‫‪FX ( k )  PX‬‬

‫‪FX (t )  PX ( x  t )    f X (t )  t  ‬‬

‫משתנה פואסוני‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0‬‬

‫משתנה רציף ‪X‬‬

‫סופר מספר ארועים שמתרחשים בקצב של‬

‫משתנים מקריים רציפים‬

‫‪0‬‬

‫? ‪P  4 x 12 ‬‬

‫חיי לווין ‪ 15‬שנה‪ ,‬מהי ההסתברות‬

‫מאפס‪ ,‬אז אין צפיפות!‬

‫יהי ‪ X‬משתנה מקרי כלשהו‪ ,‬הפונקציה‬

‫ומהי ההסתברות‬

‫‪‬‬

‫פונק' ההתפלגות המצטברת –‬

‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E X ( x )   t f X (t ) dt   t  dt ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a b a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1 t2‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b a 2 a‬‬ ‫‪2‬‬

‫ואילו ברציף תסומן ‪-‬‬

‫‪ 3  4 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪P x 1    ‬‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫) ‪X ~ Pois ( ‬‬

‫‪else‬‬

‫‪0‬‬

‫פונק' הצפיפות ‪-‬‬

‫תסומן‪ f ( x ) -‬ואילו פונק' ההסתברות תסומן ‪. P  X  k ‬‬ ‫‪X‬‬

‫דוגמא‪:‬‬ ‫סל ובו ‪ 3‬כדורים לבנים ו ‪ 4‬כדורים שחורים‪.‬מוציאים ‪ 2‬כדורים ללא‬ ‫החזרה‪ ,‬מהי ההסתברות להוציא ‪ 1‬כדורים לבנים?‬

‫אינטרוול מסויים (זמן‪ ,‬אורך‪ ,‬דרך‪)...,‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ P   0.1dx  0.3‬‬

‫‪f X ( x)  ‬‬

‫פונקציית הצפיפות אי שלילית בכל התחום!‬ ‫‪ – X‬משך הזמן עד לארוע הראשון בזרם ארועים פואסוני‪.‬‬ ‫ארועים‪.‬‬

‫אפיון‪ :‬תכונת חוסר זכרון‪.‬‬

‫משתנה היפרגאומטרי‬ ‫נתונה אוכלוסיה של ‪ N‬איברים מתוכם ‪ a‬מיוחדים‪ .‬מן האוכלוסיה‬ ‫דוגמים באקראי וללא החזרה ‪ n‬איברים‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 10 2 x8‬‬

‫משתנה מקרי רציף – מעריכי‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f X  b a‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪a t b‬‬

‫‪‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫‪  0.1dx   0 dx L‬‬

‫‪‬‬

‫מספר הניסויים עד להצלחה הראשונה בסדרת ניסויי‬

‫) ‪X ~ H ( N ,a , n‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪P 0 x 3 ? X ~ U( 2, 8‬‬

‫השונות מחושבת באופן רגיל ברגע שיודעים את התוחלת‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬לבחור אקראית נק' בין ‪ a‬ל ‪ b‬ובמרחק ‪ x‬מהראשית‪.‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪100k‬‬ ‫‪ 100   1   3 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ k   4  4‬‬

‫‪N a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪nk ‬‬ ‫‪k  0,1, ..., n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a N a  N n ‬‬ ‫‪Var( x ) n‬‬ ‫‪N N  N 1 ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪EX ( x) ‬‬

‫‪‬‬

‫‪PX  x  k ‬‬

‫‪a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫‪‬‬

‫‪E X ( g ( x ))   g ( x )f X ( x ) dx‬‬

‫)‪X ~ Bin (100, 0.25‬‬

‫‪k  1, 2, ..., ‬‬

‫‪  ‬‬

‫אזי נאמר ש ‪ X‬הוא מתשנה רציף‪ .‬הפונקציה ‪ f‬נקראת פונקציית‬ ‫הצפיפות של ‪.X‬‬

‫דוגמא‪ :‬הטלת סביבון ‪ 100‬פעמים‬ ‫‪ – X‬מספר הפעמים שנפל "נס" ב ‪ k‬ניסויים‪.‬‬

‫) ‪X ~G ( p‬‬

‫‪FX ( t )  PX ( x t )  ‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪(   ) 2‬‬ ‫‪VarX ( x ) ‬‬ ‫‪12‬‬

‫פונקציית צפיפות של משתנה רציף ‪-‬‬ ‫אם קיימת פונקציה ‪ f‬אי שלילית כך שלכל ‪ , a b‬מתקיים‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫) ‪P( a  x  b )  F(b )  F( a‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ t  ‬‬

‫ברגע שפונק' רציפה בכל תחום‪ ,‬אומרים שהמשתנה הוא רציף‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪fX ( x )    ‬‬

‫‪else‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x ‬‬

‫התרחש)‪.‬‬ ‫יהי ‪ X‬משתנה מציין (עם פרמטר ‪ )p‬אזי‪:‬‬ ‫מכאן נקבל‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪  x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ל‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫משתנה מקרי אחיד רציף – נורמלי מתוקנן‬ ‫על מנת להקל על החישוב של הסתברויות על מ"מ נורמלי נתקן אותו‬ ‫באופן הבא‪:‬‬

‫) ‪x E( x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪E( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ ( x‬‬ ‫)‪ ( x‬‬ ‫)‪ ( x‬‬ ‫‪E55F‬‬ ‫‪E55F‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪z‬‬

‫‪a‬‬

‫‪ E( z ) 0  Var( z ) 1‬‬ ‫כך שמשתנה מקרי ‪ X‬מעתה ירשם כך‪. X ~ N (0,1) :‬‬ ‫בפתרון שאלות על מ"מ נורמלי מתוקנן נעזרים בטבלת ההתפלגות‬ ‫המצטברת הנורמלית הסטנדרטית בה רשומים ערכי‬

‫‪ z‬‬

‫‪.‬‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪  z 1 z‬‬

‫לעתים נח יהיה להשתמש בסימטריה‪:‬‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫שונות ו ‪-Cov‬‬

‫) ‪Var( x  y )  Var( x )  Var( y )  2Cov( x , y‬‬

‫דוגמא‪ :‬ציונים ) ‪X ~ N (70,82‬‬

‫‪‬‬

‫‪P  x 80  P‬‬

‫מהי ההסתברות לקבל מעל ‪?81‬‬

‫‪‬‬

‫מהי ההתסברות לקבל פחות מ ‪?60‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪E( xy )  E( x )E( y‬‬

‫) ‪Var( x  y )  Var( x )  Var( y‬‬ ‫או באופן כללי‪:‬‬

‫‪x   8170‬‬ ‫‪P  x 81  P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪=P  z 1.375  1    z 1.375 ; 0.0853‬‬

‫‪‬‬

‫‪x   6070‬‬ ‫‪P  x 60  P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ P  z 1.25    1.25  1    1.25‬‬ ‫מהו הציון הקריטי לקבל ציון לשבח של הדקאן? כלומר ‪10%‬‬ ‫העליונים של הציונים‪ .‬כלומר מחפשים ערך‬

‫‪‬‬

‫‪x0.9‬‬

‫שההתסברות‬

‫‪P x  x0.9  0.9‬‬

‫‪‬‬

‫למצוא‬

‫‪x0.2‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫) ‪Var  xi   Var( xi )   Cov( xi , x j‬‬ ‫‪i j‬‬

‫תכונות ה – ‪:Cov‬‬

‫) ‪Cov( x , y )  Cov( y , x‬‬ ‫) ‪Cov( x , x ) Var( x‬‬

‫‪ – Cov‬הוא מודד‪/‬בודק הקשר בין המשתנים‪.‬‬ ‫‪ Cov<0‬משמע קשר שלילי בין שני אלמנטים‪.‬‬ ‫‪ Cov>0‬משמע קשר חיובי בין שני אלמנטים‪.‬‬ ‫למשל בהסתברות גבוה של ‪ x‬נמוך‪ ,‬הסתברות גבוה של ‪ y‬גדול‪ .‬זהו‬ ‫‪ Cov‬שלילי‪ .‬בהסתברות גבוה של ‪ x‬גדול‪ ,‬הסתברות גבוה של ‪ y‬גדול‪.‬‬ ‫שהו ‪ Cov‬חיובי‪.‬‬ ‫נדגים על שני גרפים‪:‬‬

‫‪‬‬

‫בדיאגרמות העברנו קווים מקבילים לצירים‪ ,‬הנפגשים בנק' הממוצעים‪.‬‬ ‫קווים אלו מחלקים את המישור ל ‪ 4‬רבעונים‪.‬‬ ‫נתבונן בדיאגרמה השמאלית‪ ,‬רבעונים חיביים – לכל נק' ברביע כזה‬ ‫מתקיים‪:‬‬

‫‪P  x  x0.2   0.2‬‬

‫‪( x   x )( y   y ) 0‬‬

‫‪  x ) ( y   y )  0‬‬

‫‪‬‬

‫‪x0.2 70‬‬ ‫‪   0.842‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P x  x0.666  0.666‬‬

‫‪‬‬

‫‪x2 / 3 70‬‬ ‫‪0.44 ; 0.67‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪‬‬

‫‪ . ( x‬אך כיוון שכאן‬

‫‪y )  E  ( x   x )( y   y )   0‬‬

‫‪ x   x0.2 70 ‬‬ ‫‪ x0.2 70 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 0.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0.842  0.8‬‬

‫‪‬‬

‫לעומת זאת לכל נק' ברביע‬

‫רוב הנק' נמצאות בריעים החיוביים נצפה שיתקיים‪:‬‬

‫‪P‬‬

‫‪. Cov( x ,‬‬

‫בדיאגרמה השניה באותו האופן ניתן להראות‪:‬‬

‫‪y )  E  ( x   x )( y   y )   0‬‬

‫‪. Cov( x ,‬‬

‫בדיאגרמות בהן יש חוסר קשר ליניארי בין שני המשתנים‪ ,‬נאמר כי יש‬ ‫שכיחות דומה של נק' בכל הרבעונים והן מקזזות אלה את אלה‪ ,‬במקרה‬ ‫כזה נצפה לקבל ‪.Cov=0‬‬ ‫הערה‪ :‬מדוגמאות אלה רואים שהשונות המשותפת ‪ Cov‬יכולה להיות‬ ‫מדד טוב לכיוון ולמדידת הקשר הלניארי בין ‪ X‬ל‪ .Y-‬הסימן מעיד על‬ ‫כיוון הקשר‪ ,‬הגודל המוחלט מעיד על חוזק הקשר‪.‬‬ ‫חסרונות של ‪ Cov‬בכך שערכו תלוי בקנה מידה שבוחרים‪ .‬הדרך‬ ‫להתגבר על זה היא למדוד כל משתנה ביחידות נטולות מימד שהממוצע‬ ‫שלהן הוא ‪ 0‬וסטיית התקן היא ‪.1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Var( xˆ )  Var( yˆ ) 1‬‬ ‫‪ E( x ) E( y ) 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪,‬‬

‫מ"מ דו מימדי ופונק' ההסתברות הדו‪-‬מימדית (בדיד)‬

‫מיוחד‪ 0 ,‬אחרת‪.‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪  Px , y (i , j )  1‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪j‬‬

‫‪y  y‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪, yˆ ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪.2‬‬

‫) ‪Var( x  y )  Var( x )  Var( y‬‬ ‫‪Cov( x , y )0 .3‬‬ ‫הערה‪ :‬משתנים בלתי תלויים הם בהכרח בלתי מתואמים‪.‬‬

‫פונקציית ההסתברות השולית –‬

‫) ‪Px (i )  P x i  Px,y (i , j‬‬ ‫‪j‬‬

‫) ‪Py ( j )  P y  j   Px,y (i , j‬‬

‫‪Var( xi ) ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x  xi‬‬

‫‪ -‬מספר המיוחדים שהוצאנו‪ ,‬מכאן‪:‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪Px/y=j (i , j )  P  x i / y  j ‬‬

‫אי תלות – ‪ X,Y‬יקראו בת"ל אם לכל ‪ i‬ולכל ‪ j‬מתקיים‪:‬‬

‫‪E( x  y )   iP ( x i )   jP y  j‬‬ ‫‪i‬‬

‫) ‪E( x  y )  E( x )  E( y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫) ‪E   xi    E( xi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ i ‬‬ ‫) ‪E( xy )    xyP ( x , y‬‬ ‫‪y‬‬

‫הערה‪ :‬כאשר המ"מ בת"ל יתקיים‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫מקדם מתאם‬ ‫מקדם המתאם בין ‪ X‬ו ‪- Y‬‬

‫) ‪Cov( x , y‬‬ ‫‪ ( x, y )‬‬ ‫‪ x  y‬‬

‫‪Var( x )  Var( xi )    Cov( xi , x j ) ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪i j‬‬

‫‪‬‬

‫‪a a 1 a 2 a ( N  a ) ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫=‪ Cov‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N N 1 N 2 N 2 ( N 1) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪a ( N a‬‬ ‫‪n  1 ( n 2  n ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)‪N ( N 1‬‬ ‫‪a N a N  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N N N 1‬‬ ‫דוגמא‪ :‬המזכירה הבולגרית ‪-‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪E( xi ) ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1 n 1‬‬ ‫‪Var( xi ) ‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪x   xi‬‬

‫‪ -‬מספר המכתבים שנכנסו למעטפה הנכונה‪ ,‬מכאן‪:‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪E( x )   E( xi )  1‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪n 2 n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i j‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪Var( x )  Var( xi )    Cov( xi , x j ) ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ Cov ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n 2  n ( n  1) 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪n ( n 1‬‬

‫תכונות המקדם המתאם‪:‬‬

‫‪1  ( x , y )1 .1‬‬

‫כאשר ‪ X‬ו – ‪ Y‬בלתי‬

‫מתואמים‪.‬‬

‫‪ ( x , y ) 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪( x , y )A‬‬

‫כאשר ‪ Y‬מתקבל מ – ‪ X‬ע"י שינוי‬

‫בקנה מידה‪.‬‬ ‫כלומר הקשר הלינארי חזק מאוד‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬שימוש בנוסחאות הכלליות של תוחלת ושונות‪.‬‬

‫) ‪X ~ Bin ( n , p‬‬

‫‪ f x , y ( x , y ) dxdy1‬‬ ‫הערה‪ :‬מכאן מוצאים את הערכים שמנרמלים לנו את פונק' ההסתברות‬ ‫המשותפת‪ ,‬כאשר נמצא אותם נרשום את הפונק' מחדש עם‬ ‫הפרמטרים שמצאנו!‬ ‫פונק' הצפיפות השולית (התפלגות מצטברת) של ‪– x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪f x ( x )   f x , y ( x , y ) dy‬‬ ‫‪‬‬

‫עבור ‪ y‬יש לשנות פשוט את האינדקסים‪.‬‬ ‫צפיפות מותנית של ‪ x‬בהינתן ‪– y‬‬

‫) ‪f x , y ( x, y‬‬ ‫)‪f y ( y‬‬

‫‪ - xi‬תוצאת הניסוי ה‪- i -‬י‪ 1 .‬אם הניסוי ה‪- i -‬י הצליח (‪ p(, 0‬אם‬ ‫הניסוי ה‪- i -‬י נכשל (‪.)q‬‬

‫‪f x / y ( x / y )‬‬

‫אי תלות עברו כל ‪ x,y‬בלתי תלויים –‬

‫‪E( xi )  p‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪FX (t )=P  ( x , y )A ‬‬

‫פונק' ההסתברות המשותפת מנורמלת (שטח) –‬

‫שינוי קנה מידה של המשתנים ‪ X‬או ‪ Y‬אינו‬ ‫משנה את מקדם המתאם ביניהם‪.‬‬

‫‪ ( x , y ) 0 .3‬‬

‫‪f x , y ( x , y )0 x , y‬‬

‫פונקציית ההתפלגות המצטברת‪ ,‬דו מימדית –‬

‫‪f x , y ( x , y ) dxdy‬‬

‫) ‪E( xy ) E( x )E( y‬‬

‫ההפך לא בהכרח נכון! יתכן שהשוויון יתקיים עבור משתנים תלויים‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬כאשר פונק' ההסתברות המשותפת ניתנת בטבלה דו מימדית‪,‬‬ ‫עלינו לעבור על כל התאים בטבלה ובכל תא לבצע את המכפלה‬ ‫‪ .)xyP)x,y‬אחר כך יש לסכם את כל המכפלות הללו על פני כל התאים‪.‬‬

‫‪i 1‬‬ ‫‪n‬‬

‫פונקציית הצפיפות דו מימדית –‬

‫‪.2‬‬

‫‪Px,y (i , j )  P  x i , y  j  P  x i P  y  j‬‬

‫‪n‬‬

‫‪E( x )   E( xi )  n‬‬

‫מ"מ דו מימדי (רציף)‬

‫פונק' ההסתברות המותנית של ‪ X‬בהינתן ‪– Y‬‬

‫‪j‬‬

‫‪E( xi ) ‬‬

‫‪xˆ ‬‬

‫‪E( xy )  E( x )E( y ) .1‬‬

‫‪Px,y (i , j )  P  x i , y  j  0‬‬

‫באופן כללי‪:‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪ -‬סופר את מספר המיוחדים במדגם‪ 1 .‬אם האיבר ה‪- i -‬י‬

‫משתנים ‪ X, Y‬בלתי מתואמים אם מתקיים אחד מ‪:‬‬

‫כלל אצבע‪ :‬ברגע שמופיעים אפסים בטבלת ההתפלגות המשותפת‬ ‫המשתנים ‪ X‬ו ‪ Y‬תלויים! אם אין אף אפס המשתנים בת"ל‪.‬‬ ‫פונקציית ההסתברות המשותפת של ‪ x‬ו ‪– y‬‬

‫תוחלת ‪-‬‬

‫) ‪X ~ Hyp ( N , a , n‬‬

‫‪0.9  P‬‬

‫‪?-‬‬

‫‪P x i , y  j‬‬ ‫‪P y  j‬‬

‫‪0‬‬

‫) ‪Cov( ax  b, cy  d )  acCov( x , y‬‬

‫שלילי‪ ,‬מתקיים‪:‬‬

‫שלישון עליון?‬

‫‪n‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪  Var(xi )    Cov( xi , x j )  npq‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪1 4 4 2 4 43‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪N‬‬

‫‪x   x0.9 70‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x 70‬‬ ‫‪  0.9‬‬ ‫‪ 0.9  x0.9‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E( x )  E   xi    E(xi )  np‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪Var( x )  Var   xi  ‬‬ ‫‪ i1 ‬‬ ‫‪n‬‬

‫הערה‪ :‬כאשר ‪ Cov=0‬נקבל את האי תלות בין שני המ"מ –‬

‫‪x   8070‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪P  z 1.25    z 1.25  0.8944‬‬

‫לקבל קטן ממנו היא ‪! 0.9‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪Cov  E  ( x E( x ))( y  E( y ))  ‬‬ ‫) ‪ E( xy )  E( x ) E ( y‬‬

‫מה הסיכוי לקבל ציון פחות מ ‪?80‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x  xi‬‬

‫‪ -‬מספר ההצלחות ב ‪ n‬ניסויים‪ ,‬מכאן‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Var( xi )  E( xi )  E ( xi )  pq‬‬

‫) ‪f x , y ( x, y ) f x ( x ) f y ( y‬‬

‫תוחלת – ‪g)x,y(=x+y‬‬

‫‪E g ( x , y )    g ( x , y ) f x , y ( x , y ) dxdy‬‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫הערה‪ :‬במ"מ דו מימדי רציף לא ניתן לדבר על הסתברויות בדידות‬ ‫‪ . x  y‬לכן במקרים כאלו תמיד‬

‫‪P x  y  0‬‬

‫ננסה לפי אי שוויון של טשבשב –‬

‫‪.‬‬

‫‪E( x )  E( x / y 0) P y 0 ‬‬ ‫‪1 4 2 43 E5555‬‬ ‫‪F‬‬

‫דוגמא‪ :‬שני משתנים מקריים מוגדרים על אותו ניסויי‪.X,Y ,‬‬ ‫בסל נתון ‪ 3‬כדורים שחורים‪ 2 ,‬לבנים ואחד אדום‪ .‬מוציאים ‪2‬‬ ‫כדורים ללא החזרה‪.‬‬ ‫‪ :X‬מספר השחורים‪ :Y .‬מספר הכחולים‪.‬‬ ‫פונק' ההסתברות המשותפת –‬

‫‪q‬‬

‫‪P  x  i‬‬

‫‪1/15‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1/15‬‬

‫‪3/15‬‬ ‫‪9/15‬‬ ‫‪3/15‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪p‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫) ‪ c( x y‬‬

‫‪2‬‬

‫הערה – חשיבות של החסמים האלו היא בכך שהם מאפשרים לקבל‬ ‫הערכה הסתברותית ללא ידיעת התפלגות‪ ,‬כאשר ידועה רק התוחלת‬ ‫ואולי גם השונות‪.‬‬

‫חוקי גבול‬

‫אי שוויון מרקוב‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪P x a ‬‬

‫‪1 2‬‬

‫‪P  x100  1 100  0.01‬‬

‫‪c 13‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫)‪X ~U(0,10‬‬

‫מ"מ אחיד‬

‫‪0.5  x  0.5‬‬

‫אי שוויון טשבישב‬

‫‪P x 0.5, y 1.5 ‬‬

‫יהי ‪ x‬משתנה כלשהו בעל תוחלת‬

‫‪Var( x ) ‬‬

‫אזי לכל מספר‬

‫‪E( x )  ‬‬ ‫‪t 0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪t2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.5 1.5‬‬

‫נמצא את הפונק' השולית של ‪– x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪fx ( x)  ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪fx ( x) ‬‬

‫זהו חסם חזק יותר!‬ ‫דוגמא‪:‬‬

‫)‪f x , y ( y ,0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f x (0.5‬‬ ‫‪( y 0.5) 3 y 0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪f y / x ( y / 0.5) ‬‬

‫משתנה מקרי אחיד!‬

‫הסתברות מדוייקת ‪-‬‬

‫‪P 1 x 9 0.8‬‬

‫אם רוצים לחסום –‬

‫‪lim P x n     0‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪lim P x n     1‬‬

‫או לחלופין‬

‫‪n‬‬

‫במילים אחרות כאשר הולכים ומגדילים את מספר התצפיות במדגם‬ ‫שנלקח מאוכלוסיה כלשהי‪ ,‬ממוצע התצפיות‬

‫‪E( x )  3.5‬‬ ‫‪Var( x )  35 12‬‬ ‫כמה פעמים צריך לזרוק קוביה‪ ,‬כדי ‪xn 3.5 0.01‬‬

‫נוסחת התוחלת השלמה‬ ‫פותחה נוסחת התוחלת השלמה‪:‬‬

‫אין בטחון שדבר כזה יקרה‪ ,‬זה אומר ש ‪. 3.49 xn 3.51‬‬

‫‪E( x )   E( x / y  j )P y  j‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪  E( x / y  j ) f Y ( y ) dy‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪P A E P A / Y  ‬‬

‫‪P x-5  4 1‬‬

‫) ‪Var( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪na 2‬‬

‫משתנה מקרי נורמלי!‬

‫?‪P 50 x 80 ‬‬

‫לפי ההסתברות המדוייקת –‬

‫ואם רוצים לחסום לפי אי שוויון מרקוב –‬

‫‪P 50 x 80  P x 50 1.4‬‬ ‫אי שוויון של מרקוב לא עוזר ממש!‬

‫‪X ~U 0,100 ‬‬

‫‪‬‬

‫מ"מ רציף‪.‬‬

‫רוצים‬

‫‪P x n A 0.01 0.999‬‬

‫כאשר‬

‫‪a b‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫‪‬‬

‫‪P x n 3.5 0.01  1 ‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪ 0.999  n  L‬‬ ‫‪12 n (0.01) 2‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬

‫‪ 8070 ‬‬ ‫‪ 5070 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪ 10 ‬‬ ‫‪ 1  2  1  2 1; 0.8‬‬

‫‪.‬‬

‫אם כן לפי אי שוויון של טשבשב –‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫רוצים לדעת‬

‫?‬

‫הבטחון יתקבל בוודאות של‬

‫) ‪Var ( x‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1242‬‬ ‫‪1216‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪X ~ N (70,102‬‬

‫‪xn‬‬

‫מתקרב לתוחלת‬

‫האוכלוסיה ‪. ‬‬ ‫מסכנה‪ :‬כשמבצעים מספר רב של חזרות בלתי תלויות על ניסוי כלשהו‪,‬‬ ‫אזי לכל מאורע ‪ ,A‬השכיחות היחסית של ‪ A‬שואפת חלש להסתברות‬ ‫המאורע ‪.)P)A‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מטילים קוביה‪ X ,‬מ"מ בדיד אחיד‪:‬‬

‫‪P 3.49<x n 3.51 0.999‬‬

‫אם רוצים לחשב את התוחלת‪ ,‬נשתמש בנוסחה הקיימת‪.‬‬ ‫אם נרצה לבדוק תלות‪ ,‬יש למצוא את הפונק' השולית של ‪,y‬‬ ‫להכפילה בפונק' השולית של ‪ x‬ולבדוק האם השוויון מתקיים‪.‬‬

‫‪q‬‬

‫)‪X ~U(0,10‬‬

‫‪‬‬

‫‪x1 , x2 ,.., xn‬‬

‫בעלי‬

‫ושונות ‪ , ‬אזי לכל מספר ‪   0‬מתקיים‪:‬‬

‫‪P x   t ‬‬

‫‪P x 100 P x 199  P x 199 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪P x 1 99  2‬‬ ‫‪99‬‬

‫מהי ההסתברות‬

‫‪ -‬כשלון ‪0‬‬

‫תוחלת‬

‫אי השוויון מדבר על תחומים סימטריים סביב לתוחלת‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מזכירה בולגרית‬

‫‪‬‬

‫נתונה סדרה של משתנים בת"ל שווי התפלגות‬

‫‪2‬‬ ‫‪P  x   t  1  2‬‬ ‫‪t‬‬

‫?‪P 1 y 1.5 / x 0.5 ‬‬

‫‪ – Y‬תוצאת הניסוי הראשון‪.‬‬ ‫‪ - p‬הצלחה ‪1‬‬

‫ושונות‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪P x n    ‬‬

‫החוק החלש של המספרים הגודלים –‬

‫מתקיים‪:‬‬

‫‪Fx,y (0.5,1.5)  0 0‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪n 2‬‬

‫‪ 5 9 ; 0.55‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪X ~G ( p‬‬

‫) ‪Var( xn‬‬ ‫) ‪Var( xn‬‬ ‫‪P x n E( x )   1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 2‬‬

‫‪P x 9 0.1 ‬‬

‫הסתברות מדוייקת‬

‫‪P  0.5 x0.5,0 y 1.5 ‬‬

‫נוסחת ההסתברות השלמה‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi  ‬‬ ‫‪ ni ‬‬

‫‪Var( xn )  Var ‬‬

‫חוק המספרים הגדולים –‬ ‫לפי אי שוויון טשבשב‪:‬‬

‫‪E( x )  5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪( x  1) 0  x  1‬‬ ‫‪3‬‬

‫מכאן נבטא את התוחלת והשונות‪:‬‬

‫‪1 n‬‬ ‫) ‪Var( x‬‬ ‫‪= 2  Var( xi ) ‬‬ ‫‪n i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ 1n ‬‬ ‫) ‪E( xn )  E   xi    E( xi )  E( x‬‬ ‫‪n i‬‬ ‫‪ ni ‬‬

‫עתה אפשר לחשב הסתברויות‪ ,‬למשל‪ ,‬מהי ההסתברות?‬

‫‪2‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫)‪dy  ( x  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x  x L  xn‬‬ ‫‪xn  1 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪E( x )  1‬‬

‫‪Px,y ( x , y )  c 0 0 ( x  y ) dxdy L 3c‬‬

‫‪x y‬‬ ‫‪dxdy‬‬ ‫‪3‬‬

‫נתונה סדרה של מ"מ בת"ל שווי התפלגות ‪. x1 , x2 ,.., xn‬‬ ‫הם מדגם מקרי פשוט‪ .‬ממוצע המדגם אם כן יהיה –‬

‫דוגמא‪ :‬המזכירה הבולגרית‬

‫נמצא את פונק' ההסתברות המנורמלת‪ – c( :‬קבוע שמחפשים)‬

‫‪0  y  01.5‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪P x  E ( x ) k ( x ) 1 2‬‬ ‫‪k‬‬

‫במקרים בהם פונק' ההסתברות איננה ידועה‪ ,‬וידועה רק התוחלת ואולי‬ ‫השונות של המשתנה המקרי‪ ,‬במקרים אלו מניחים כי ‪ x‬הוא משתנה‬ ‫מקרי כללי ולא בדיד או רציף וכמו כן‪:‬‬ ‫יהי ‪ 0 x‬מ"מ אי שלילי‪ ,‬עבור כל ‪ a>0‬מתקיים –‬

‫) ‪E( x‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪‬‬

‫‪ P x 70 10  1 ‬‬

‫אמנם הגענו לתוצאה אך לא לגמרי עוזרת להבין את הפתרון!‬ ‫ניתן לרשום את האי שוויון של טשבשב בצורה טיפה שונה –‬

‫‪x 2 / y 0(1 z )2‬‬

‫‪f x , y ( x, y )‬‬

‫‪0‬‬

‫‪102‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪102‬‬

‫‪E( x 2 ) E(1 2 x  x 2 ) q  p L‬‬ ‫‪p2q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Var( x ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p2‬‬

‫‪P y  j‬‬

‫דוגמא‪ :‬נתונה פונק' צפיפות הבאה‪:‬‬

‫‪P  50 x 80  P  60 x 80 ‬‬

‫‪E( x 2 ) E( x 2 / y 0)q  E( x 2 / y 1)p‬‬ ‫‪1 42 43‬‬ ‫‪1 4 2 43‬‬

‫דוגמא‪ :‬המשך דוגמא קודמת –‬

‫‪0 x1‬‬ ‫‪0 y  2‬‬ ‫‪else‬‬

‫אבל לא קיבלנו שום דבר נכון‪ ,‬כי קיבלנו מספר שקטן ממספר שגדול‬ ‫ממספר אחר‪ ,‬לכן נרשום במקרים כאלו כך‪:‬‬

‫) ‪Var( x )  E( x )  E ( x‬‬

‫‪X‬‬

‫‪‬‬

‫‪ P x 70  20  1 ‬‬

‫‪E( z )(1 q )1 E( z ) 1 p‬‬

‫‪1‬‬

‫‪P x 1, y 0 3 15 1‬‬ ‫‪P x 1/ y 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P y 0‬‬ ‫‪6 15 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪202‬‬

‫‪ E( x / y 1) P y 1 ‬‬ ‫‪E55555F E5555F‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪P ( x , y ) ( k , j )  P x  k  y  j‬‬

‫‪2/15‬‬ ‫‪6/15‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8/15‬‬

‫‪x / y 01 z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪q(1 E( z ))  p‬‬ ‫‪1 q  qE( z )  p‬‬

‫‪.1‬סכום כל ההסתברויות = ‪1‬‬ ‫‪.2‬כל ההתסברויות בפני עצמן גדולות‬ ‫או שוות לאפס‪.‬‬ ‫נבנה את פונק' ההסתברות הדו‪-‬מימדית‪:‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3/15‬‬ ‫‪3/15‬‬ ‫‪6/15‬‬

‫‪P  50 x 80  P  50 x90 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 1‬‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫‪P  x7  1  P  x7 ‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ x  np 7 5 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1    1.26‬‬ ‫‪2.5 ‬‬ ‫‪ npq‬‬

‫‪‬‬

‫‪P x n A 0.01  1 ‬‬

‫‪1002‬‬ ‫‪ 0.999  n  L‬‬ ‫‪12 n (0.01)2‬‬

‫‪ 1 ‬‬

‫‪ 1‬‬

‫את תוחלת ההתפלגות ב‬

‫‪‬‬

‫‪x1 , x2 ,.., xn‬‬

‫ואת שונותה ב ‪.  2‬‬

‫‪n ,n‬‬ ‫‪2‬‬

‫נתבונן בסכום ‪ n‬המשתנים‪ ,‬תוחלת הסכום והשונות הן‬

‫בהתאמה‪ .‬מכאן שהמשתנה המתוקנן המתאים בעל התוחלת ‪ 0‬ושונות‬

‫‪ xi n‬‬

‫תיקון רציפות (קירוב נורמלי לבינום) –‬ ‫כיון שהמשתנה הבינומי מקבל רק ערכים שלמים ואנו מקרבים אותו‬ ‫באמצעות המשתנה הנורמלי‪ ,‬שהוא רציף‪ ,‬נהוג לבצע תיקון רציפות‬ ‫כדלקמן‪:‬‬

‫‪ x k‬‬

‫יירשם לחלופין בצורה‬

‫‪ x k 1 2‬‬

‫נרשום‬

‫‪n 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t  t‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ k 1 2np ‬‬ ‫‪P x k   P x k 1 2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ np (1 p ) ‬‬

‫‪ n x n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪Var( x ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N  E( x ),‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪lim P‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫במקום‬

‫עוד על מעברים ממשתנה בדיד לרציף – דוגמאות‬

‫‪P  x a  P  x a 1 2‬‬

‫‪xn a‬‬

‫‪P x  a P a 1 2 x a 1 2‬‬

‫‪ xi a N  nE( x ),nVar( x ) ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪P x a P x a 1 2‬‬

‫‪i‬‬

‫הערה‪ :‬ככל שההתפלגות שממנה נלקחו המשתנים קרובה יותר‬ ‫להתפלגות נורמלית‪ ,‬כך יהיה הקירוב הנורמלי להתפלגות סכומם טוב‬ ‫יותר כבר עבור מספר קטן של משתנים‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם ההתפלגות‬ ‫הנה מאוד לא סימטרית‪ ,‬אזי ידרש מספר גדול מאוד של משתנים כדי‬ ‫שהקירוב הנורמלי יהיה טוב‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬בניין מגורים בן ‪ 36‬דירות‪ .‬כמה מקומות חניה?‬ ‫נניח בנינו פונק' ההסתברות של ‪ – x‬מס' המכוניות במשפחה‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪)P)x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫נגדיר ‪ m‬מספר חניות שנתכנן‪ .‬רוצים ש‪ 90%-‬מהדיירים לא יאלצו‬ ‫לחפש חניה מחוץ לבית‪ .‬נגדיר‬

‫‪‬‬

‫‪36‬‬

‫‪xi‬‬

‫‪‬‬

‫‪ -‬מספר המכוניות למש' מס'‬

‫‪P  xi m 0.9‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫‪i‬‬

‫‪.‬נשתמש במשפט הגבול המרכזי‬

‫ונאמר כי ‪ n=36‬הוא מספר מספיק גדול!‬ ‫נמצא תוחלת ושונות ‪-‬‬

‫‪E( x )  0 0.2  L  1.3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ x k‬‬

‫‪P x  a P x a 1 2‬‬

‫‪P  x a  P  x a 1 2‬‬ ‫הסקה סטטיסטית‬

‫אומד – מ"מ שמטרתו לאמוד את ‪‬‬ ‫אומדן – הערך הספציפי של אומד בהינתן תצפיות על המ"מ‬ ‫אומד בלתי מוטה (ב"מ) לפרמטר‬

‫‪‬‬

‫דוגמא‪ :‬ברנולי‬ ‫‪ - x‬מספר ההצלחות‪.‬‬ ‫‪ - n‬מספר הניסויים‪.‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪n 100 ‬‬ ‫‪pˆ  0.4‬‬ ‫‪x 40 ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ m 46.8 ‬‬

‫‪  0.9‬‬

‫‪36c 2 ‬‬

‫‪‬‬

‫מדגם ‪-‬‬

‫‪‬‬

‫תופעה ‪-‬‬

‫‪P  x i m   ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 1.282  m  L‬‬

‫‪i=1‬‬

‫‪m 46.8‬‬ ‫‪36 c 2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x np‬‬ ‫‪t   t‬‬ ‫‪np (1 p ) ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪lim P ‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪E( x )  ‬‬

‫‪k‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪E( x )    ˆ  xn‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ t‬‬

‫פונק'‬

‫ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬כאשר ‪ n‬גדול מספיק‪ ,‬ניתן לחשב בקירוב את‬ ‫ההסתברות שמשתנה בינומי לא יעלה על ערך מסויים באמצעות שטח‬ ‫מתאים תחת העקום הנורמלי סטנדרטי‪.‬‬

‫השלישי‪...‬‬

‫)‪X ~ Bin (10,0.5‬‬

‫‪P  x7  P  x 7  P  x 8  P  x 9 ‬‬

‫‪ 10   1  10  10   1  10‬‬ ‫‪       L‬‬ ‫‪ 7   2‬‬ ‫‪ 8   2‬‬ ‫ולפי הקירוב הנורמלי – )‪x ~ Bin (10,0.5)a N (5,2.5‬‬

‫‪ P  x 10  ‬‬

‫‪m‬‬ ‫‪E( x )  ˆ  xn 20 pˆ 20‬‬ ‫‪mˆ 5 xn‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪X ~ Bin  20,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100 ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪X ~ Bin  N ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Nm‬‬ ‫‪E( x ) ‬‬ ‫‪ xn‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪m 100m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Var( x )  N‬‬ ‫'‪ s‬‬ ‫‪100 100‬‬ ‫בהינתן תצפית‪ ,‬מגדירים "פונקציית הנראות" ‪.L‬‬ ‫‪ #‬במקרה הבדיד – (הסתברות המשותפת של התוצאות)=(‬ ‫‪ #‬במקרה הרציף (עם צפיפות) –‬ ‫(הצפיפות המשותפת של התוצאות) =(‬

‫‪x‬‬

‫‪f ( x)   e‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪E( x )   ˆ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪ -‬כמה זמן מערכת ‪ 1‬תחייה‪.‬‬

‫‪x1 , x2 , ..., x10‬‬

‫שיטת המומנטים –‬ ‫לעתים נתקל במשוואות עם שני נעלמים‪ ,‬ונצטרך עוד משוואה!‬ ‫מה שעושים לפי שיטת המומנטים זה מחשבים את ‪  ,‬ומציבים‬ ‫במשוואות‪ .‬מומנט התופעה שווה למומנט המדגם!‬ ‫מומנט ראשון = תוחלת‪.‬‬ ‫מומנט שני = שונות‪.‬‬ ‫נתונים מ"מ‬

‫‪.L ) ‬‬

‫) ‪g (‬‬

‫) ˆ‪g (‬‬

‫הוא אנ"מ ל‬

‫‪.‬‬

‫דוגמא‪ :‬נתונות ‪ 3‬מערכות‪.‬‬ ‫מע' ‪ 1‬עם רכיב אחד‪( .‬אורך חיים ‪) x1‬‬ ‫מע' ‪ 2‬עם שני רכיבים בטור‪( .‬אורך חיים‬

‫‪x2‬‬

‫מע' ‪ 3‬עם שלושה רכיבים בטור‪( .‬אורך חיים‬

‫)‬

‫‪x3‬‬

‫‪‬‬

‫)‬

‫‪ .‬נמצא אנ"מ עבורו‬

‫בהינתן תצפיות על ‪. x1 , x2 , x3‬‬ ‫נמצא תחילה צפיפות משותפת‪:‬‬

‫‪L   6 e‬‬

‫) ‪3   ( x12 x2 3 x3‬‬

‫כי‬

‫‪x1‬‬

‫מעריכי‬

‫‪x2 , ‬‬

‫מעריכי‬

‫‪ 2 ‬ו ‪x3‬‬

‫מעריכי ‪ . 3‬מכאן‬

‫–‬

‫דוגמא‪:‬‬ ‫אורך חיים של מערכת‪.‬‬

‫‪x1‬‬

‫‪.L ) ‬‬

‫מחפשים ‪ ‬כך ש ( ‪ L) ‬מקסימלי‪ .‬זה מגדיר את "אומד הנראות‬ ‫המקסימלי" (אנ"מ)‪.‬‬ ‫לפעמים משתמשים ב ‪ . l  ln L‬כל נק' מקסימלית של ‪ l‬היא גם‬ ‫מקסימום של ‪ ,L‬ולהיפך‪ .‬כי ‪ ln‬מונוטונית עולה‪.‬‬

‫כל הרכיבים בת"ל‪ ,‬מעריכיים עם פרמטר‬

‫‪X ~exp  ‬‬

‫וכו'‪ ...‬עשינו ‪ 10‬מדידות‬

‫למשל חישוב מדוייק יתן –‬

‫) ‪X ~ Bin(20, p‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫‪x1 , x2 ,..., xn‬‬

‫‪n‬‬

‫הערה‪ :‬טיב הקירוב הנורמלי להתפלגות בינומית תלוי למעשה בערכו‬ ‫של ‪ .p‬ככל שערכו רחוק מ ½ (קרוב ל ‪ 0‬או ‪ )1‬כך דרושים יותר נסיונות‬ ‫כדי לקבל קירוב טוב‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬

‫‪P  x k   e‬‬

‫‪ -‬מספר תקלות במחשב ביום ראשון‪ ,‬ביום שני‪,‬‬

‫‪x ~  xi a N  np ,npq ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫נרצה לאמוד את ‪ .p‬יש קופסא ‪ 100‬כדורים‪ ,‬לבנים ושחורים‪ .‬כדי‬ ‫שיהיה בת"ל נעשה ניסוי עם החזרה‪ .‬כדורים לבנים = ‪ .m‬כל פעם‬ ‫נוציא ‪ 20‬כדורים סופרים כמה לבנים יש ומחזירים לקופסא‪.‬‬

‫כלל שימושי – אם ˆ‪ ‬הוא אנ"מ ל ‪ , ‬אזי‬

‫‪X ~ Pois   ‬‬

‫קירוב נורמלי למשתנה בינומי –‬ ‫ניתן לחשב את ההסתברות של מ"מ בינומי ע"י משפט הגבול המרכזי‪.‬‬ ‫משפט דה‪-‬מואבר‪-‬לפלס אומר‪ :‬יהיה ‪ X‬משתנה בינומי בעל פרמטרים ‪n‬‬ ‫ו ‪ .p‬אזי לכל ‪ t‬ממשי מתקיים –‬ ‫כאשר‬

‫‪xn‬‬

‫תופעה ומדגם של מ"מ מיוחדים‬ ‫‪.‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫שיטת הנראות המקסימלית‬

‫ניעזר במשפט הגבול המרכזי –‬

‫‪n=36‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1n‬‬ ‫דוגמא‪x1 , x2 ,..., xn xn   xi :‬‬ ‫‪n i 1‬‬ ‫‪1n‬‬ ‫אומד יהיה ‪xn   xi -‬‬ ‫‪n i1‬‬

‫‪n 36‬‬

‫מכאן ‪-‬‬

‫‪ -‬אומד ‪ T‬שמקיים‬

‫‪E(T ) ‬‬

‫) ‪X ~ Bin ( n , p‬‬

‫דוגמא‪ 10 :‬אנשים החליטו על כמות כדורים לבנים מתוך ‪100‬‬ ‫בקופסא והחליטו לומר רק כמה לבנים יצא לכל אחד‪ .‬הם בחרו‬ ‫למשל ‪ m=30‬כדורים לבנים‪ N=25 .‬מספר הכדורים שכל אחד‬ ‫מהם מוציא ומחזיר‪.‬‬

‫סטטיסטי – פונק' של תוצאת המדגם‬ ‫אמידה – פרמטר(ים) לא ידוע ‪‬‬

‫‪Var( x )  L  c‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ xi a N  1.336,36c ‬‬

‫‪ ,‬כך שעבור ‪ n‬מספיק גדול‬

‫נשתמש בקירוב‪:‬‬

‫משפט הגבול המרכזי טוען שהמשתנה המתוקנן הוא בקירוב בעל‬ ‫התפלגות נורמלית סטנדרטית‪.‬‬

‫נרשום‪:‬‬

‫‪ k 1 2 x  k 1 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ˆ 2‬‬ ‫ˆˆ‬ ‫‪ˆ  Np‬‬ ‫ˆ‪ 1  p‬‬ ‫ˆ‪ˆ ˆ (1 pˆ )  ‬‬ ‫‪ˆ 2  Np‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪pˆ  1 ‬‬ ‫‪ Nˆ ‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫ˆ‪p‬‬

‫את הקירוב הנורמלי מבצעים על מאורע הרשום בצורה זו‪ .‬באופן דומה‬

‫‪. i 1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪E( x )   ‬‬

‫‪n (1  p )  nq  5‬‬

‫המאורע‬

‫‪n‬‬

‫‪ 1‬הוא ‪:‬‬

‫ˆ‪Aˆ  B‬‬ ‫‪ xn  Aˆ  Bˆ  2 xn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ ˆ ‪( Bˆ  Aˆ ) 2 2‬‬ ‫‪Var( x )‬‬ ‫‪ s '  B  A s ' 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫) ‪X ~ Bin ( n, p‬‬

‫‪np  5‬‬

‫‪ .‬נסמן‬

‫) ‪ xn‬‬

‫) ‪X ~U( A, B‬‬

‫כלל אצבע – על סמך חישובים אמפירים נמצא‪ ,‬שעבור ‪ p‬נתון‪ ,‬מספר‬ ‫הנסיונות הדרוש‪ ,n,‬כדי שהקירוב יהיה די טוב‪ ,‬צריך להתקיים‪:‬‬

‫משפט הגבול המרכזי‬ ‫לפנינו ‪ n‬משתנים מקריים בת"ל ושווי התפלגות‬

‫‪2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪ˆ x)  x  1  x‬‬ ‫(‪ˆ  E‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n i 1 i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ˆ x )  s '  1  (x‬‬ ‫(‪ˆ  Var‬‬ ‫‪n 1 i1 i‬‬

‫‪x1 , x2 ,..., xn‬‬

‫בת"ל‪ ,‬עם תוחלת ושונות שתלויות‬

‫בפרמטר(ים) הלא ידוע(ים) ‪. ‬‬

‫) ‪l ( )  ln(6)  3 ln(  )   ( x1  2 x2  3 x3‬‬ ‫‪l '( ) 3  ( x1  2 x2 3 x3 ) 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ˆ ‬‬ ‫ˆ‪ ˆ 1 ‬‬ ‫) ‪( x1  2 x2 3 x3‬‬ ‫) ‪X ~ Bin ( n, p‬‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫‪ n  k n k‬‬ ‫‪p q‬‬ ‫‪ k‬‬

‫‪L ( p )  P  x k   ‬‬

‫‪ n‬‬ ‫) ‪ k ln p ( n  k )ln(1 p‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫) ‪( n k‬‬ ‫)‪l '( p ) k p ( 1‬‬ ‫‪1 p‬‬ ‫‪l ( p )ln ‬‬

‫‪p  k n  pˆ  x n‬‬ ‫) ‪X ~U( N‬‬

‫משתנה מקרי אחיד בדיד‬

‫‪N 1‬‬ ‫‪E( x ) ‬‬ ‫‪ xn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Nˆ  2 xn  1‬‬ ‫) ‪X ~ Pois ( ‬‬

‫‪L (  )  P  X 1  x1 ,... X n  xn  ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪ xi  n  i1 i‬‬ ‫‪ P X i  xi   e  ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫! ‪xi‬‬ ‫! ‪x‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬

‫‪i 1‬‬

‫‪i 1‬‬

‫! ‪l (  ) n   xi ln  ln  xi‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪l '(  )   n ‬‬ ‫‪ 0  ˆ   xi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n i1‬‬

‫הערכת טיבו של אומד – אומד בלתי מוטה‬

‫רוצים שהאומד בממוצע יתן את הערך המבוקש‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫ˆ‪‬‬

‫! ‪ki‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫) ‪X ~U( N‬‬

‫‪n‬‬

‫בנקודה‬

‫מתאפסת‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ xi‬‬ ‫‪n i1‬‬

‫‪E(ˆ ) ‬‬

‫‪H0‬‬

‫‪ -‬השערת האפס‪.‬‬

‫מקבלים‬

‫‪H0‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫מסוג‬

‫‪‬‬

‫הסתברות‬

‫‪‬‬

‫‪I‬‬

‫‪‬‬

‫‪  P‬‬

‫‪‬‬

‫‪ -‬מסוג‬

‫‪‬‬

‫‪II‬‬

‫‪‬‬

‫‪H1‬‬

‫‪H0‬‬

‫החלטה‬ ‫נכונה‬

‫טעות‬ ‫מסוג ‪I‬‬

‫‪H1‬‬

‫טעות‬ ‫מסוג ‪II‬‬

‫החלטה‬ ‫נכונה‬

‫לפי משפט הגבול המרכזי ‪-‬‬

‫‪ c   0 ‬‬ ‫‪ c   0 ‬‬ ‫‪  1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n ‬‬

‫‪*1 ‬‬

‫מסמנים נק' ‪ z1‬כנק' שמקיימת את הדבר הבא (אחוזון)‪:‬‬

‫‪ z p   p‬‬

‫‪p‬‬

‫‪c 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z1 ‬‬ ‫‪c   0 ‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1 ‬‬

‫כאשר הטור הימני ביותר הוא ביטוי "המציאות"‪ ,‬מה קורה באמת‪.‬‬ ‫וכאשר השורה העליונה ביותר היא ביטוי לניסויים‪ ,‬כלומר מה קיבלנו‪.‬‬

‫‪ 1    max‬‬

‫באופן דומה –‬

‫‪.‬‬

‫‪H0‬‬

‫ו‬

‫‪H1‬‬

‫תמיד דורשים‬ ‫התסברויות כי‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ c   ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n ‬‬

‫‪‬‬

‫?‬

‫‪ P  xn c /   1   ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z1  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬

‫כזו שתאפשר לחשב‬ ‫זה רק בונוס‪ ,‬חייבים לדעת‬

‫‪.2‬‬

‫‪H0‬‬

‫‪  P  f II   P  H 0 / H 0  ‬‬

‫?‬

‫‪H0‬‬

‫תהייה מינימלית‪ .‬מה‬

‫‪H 1    1.2‬‬

‫דוגמא‪:‬‬

‫‪x4‬‬

‫ממוצע‪ .‬אזור דחיה הוא‬

‫‪P  f I   P  H 0 / H 0   P  x4 1.1/  1.0 ‬‬

‫‪H 0 : 0 1‬‬ ‫‪H 1 :1  1.2‬‬ ‫‪H0‬‬

‫אם‬

‫לדחות את‬

‫אם רוצים לדעת גודל של המדגם הדרוש –‬

‫‪ z   z1‬‬

‫‪H0‬‬

‫נכונה‪.‬‬

‫‪E( xi )  Var( xi ) ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ E( xi )  n‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪E(Y ) ‬‬

‫עתה שואלים האם ‪ Y‬הוא אומד הנראות המקסימלית עבור‬

‫?‬

‫‪0.1‬‬ ‫‪2.328‬‬ ‫‪F 1.16c‬‬ ‫‪2 E55‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪xn 1‬‬

‫‪ 1.161.2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ 1 0.8 ; 0.212‬‬ ‫‪ 0.1 2 ‬‬

‫כאן כתוב כך‪ :‬ההסתברות לטעות מסוג ראשון היא הסתברות‬

‫‪H0‬‬

‫‪‬‬

‫‪0.99‬‬

‫‪.‬‬

‫בהינתן‬

‫‪‬‬

‫‪n  4   0.01‬‬

‫דוחים את‬

‫בניסוי ‪ 4‬קופסאות לבדיקה‪ ,‬ניעזר ב‬

‫‪x4 1.1‬‬

‫‪  ‬‬

‫המבחן‪:‬‬

‫נחליט על‬

‫‪ a    a  ‬‬

‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬

‫) ‪X ~ N (  ,0.12‬‬

‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪ x‬זה מספר ‪ %‬שומן בגבינת תנובה בקופסא ספציפית‪.‬‬

‫) ‪X ~ N (  ,0.12‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪H 0    1.0‬‬

‫‪x1 , .., x n ~ Pois (  ) Y ‬‬

‫‪ 2 ‬‬ ‫‪xn ~ N   , ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪p ‬‬

‫אם החלטה אחת מאפשרת לחשב הסתברויות‬ ‫והחלטה אחרת לא‪ ,‬זו שמאפשרת‪ ,‬תהייה‬

‫שעושים זה מציבים בנוסחא המלאה של שונות כולל שונות‬ ‫משותפת‪ ,‬גוזרים לפי ‪ a‬ומשווים לאפס‪.‬‬ ‫שאלה מס' ‪ :2‬נניח ש‪ X1,X2,…,Xn -‬מ"מ ב"ת‪ ,‬כולם פואסוניים עם‬ ‫פרמטר ‪ .‬נסמן ב‪ Y-‬את הממוצע שלהם‪.‬‬ ‫שואלים קודם האם ‪ Y‬הוא אומד ב"מ עבור ? כן! נדגים –‬

‫‪ xi‬‬

‫‪H0‬‬

‫‪‬‬

‫טעות‬

‫‪P‬‬

‫קודם‬

‫‪E(Ta )  aE( x1 )  (1  a )E( x 2 ) ‬‬

‫מבקשים למצוא ‪ a‬כך שהשונות של‬

‫‪H0‬‬

‫* ‪P  f I   P  H1 / H 0   P  xn c /    0  ‬‬

‫זה חסם‪ ,‬נרצה את ההסתברויות כך‪:‬‬

‫עם תוחלת ושונות‬

‫‪Var( x1 )  1 Var( x 2 )  2‬‬ ‫מעוניינים להעריך את התוחלת ‪‬‬

‫‪Ta‬‬

‫אם‬

‫‪xn c‬‬

‫נקבל את‬

‫‪H0‬‬

‫‪.‬‬

‫נכונה‪.‬‬

‫‪H0‬‬

‫‪ -‬אזור דחיה – אוסף התוצאות שבהן מחליטים ש‬

‫‪.1‬‬

‫‪ .‬נניח ש ‪ a‬מספר חיובי‪ ,‬נגדיר‬

‫‪ , Ta  ax1  (1 a ) x2‬האם‬

‫אם‬

‫‪xn c‬‬

‫נדחה את‬

‫‪H0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ -‬השערה אלטקנטיבית‪.‬‬

‫‪ -‬אזור קבלה – אוסף התוצאות בהן מחליטים ש‬

‫כיצד מחליטים מהם‬

‫הוא אומד ב"מ עבור‬

‫) ‪H 1 :   1 (   0‬‬

‫מניחים כי השונות כן ידועה‪ ,‬מדגם בגודל ‪ – n, n‬ידוע גם כן‪.‬‬ ‫המבחן‪:‬‬

‫כלל החלטה ‪ /‬מבחן –‬ ‫חלוקה של מרחב המדגם לשני תחומים ‪ /‬אזורים‪:‬‬

‫‪E( x1 )  E( x 2 )  ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪H1‬‬

‫‪H 0 :   0‬‬

‫השערות‪:‬‬

‫בדיקת השערות‬

‫דוגמאות נוספות לתרגילים עם אומדנים –‬

‫‪Ta‬‬

‫זו‬

‫אם אפשר להגדיל את הסתברות הטעות מהסוג ‪ ,I‬אז נעשה זאת‪,‬‬ ‫נמתח את ההסתברות למקסימום ‪ ‬כדי להקטין את ההסתברות‬ ‫מהסוג ה ‪.II‬‬

‫‪min  Var(ˆ ) ‬‬ ‫שאלה מס' ‪ :1‬נתונים שני מ"מ בת"ל‬

‫‪,‬‬

‫נתון מדגם ‪ , x1 ,.., xn‬תוחלת ושונות לא ידועים‪.‬‬

‫גישה קלאסית – ההסכמה היא שטעות מסוג ‪ I‬יותר חמורה מטעות‬ ‫מסוג ‪ .II‬כאשר באופן כללי מי שמזמין את הניסוי יגדיר מהי טעות יותר‬ ‫חמורה בשבילו‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬ההסתברות לטעות מסוג ‪ I‬חייבת‬ ‫להיות קטנה! אנחנו מלכתחילה נקבע חסם להסתברות זו‪ .‬אנו משלמים‬ ‫על כך בהסתברות גבוה לטעות מסוג ‪.II‬‬

‫עוצמה מוגדרת כך‪:‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬שונות קטנה ככל האפשר‬

‫‪1‬‬

‫‪1n‬‬ ‫‪   ki‬‬ ‫‪n i1‬‬

‫ובנקודה‬

‫‪H0‬‬

‫‪E(2 xn  1)  2E( xn )  1  2‬‬

‫פתרון בעיה כללית‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x1 , x2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ˆ ‬הוא אומד נראות מקסימלית עבור‬

‫‪N 1‬‬ ‫‪ xn  Nˆ  2 xn  1‬‬ ‫‪2‬‬

‫אומד בלתי מוטה‬

‫‪1‬‬

‫‪l '(  )   n ‬‬

‫בשני המקרים התוצאה זהה‪.‬‬

‫הנגזרת השניה היא שלילית‪ .‬לכן זוהי נקודת‬ ‫מקסימום של הפונקציה‪.‬‬

‫מובהקות ‪-‬‬

‫ולכן אומד בלתי מוטה!‬ ‫קריטריונים לטיב אומדן –‬

‫כן! נדגים ‪-‬‬

‫‪n‬‬

‫אפשר לראות‪ ,‬שהנגזרת של לוג פונקצית הנראות‬

‫מ"מ בדיד‪ ,‬אחיד‪.‬‬

‫ראינו כבר כי‬

‫‪N 1‬‬ ‫‪1  N‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ ki  0‬‬

‫‪ -‬פרמטר בלתי ידוע‪.‬‬

‫אומד בלתי מוטה מקיים‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬

‫טעות‬

‫‪E(ˆ )‬‬

‫‪1.11.2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫‪P x1  k1 ,.., xn  k n    e  ‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫לא נכונה‪.‬‬

‫‪ -‬אומד ל פרמטר זה‪.‬‬

‫‪‬‬

‫‪P  x k  e‬‬

‫) ‪ln L l (  )  n   ki ln( ‬‬

‫דוחים‬

‫‪ˆ  xn‬‬

‫!‪k‬‬

‫‪ ki‬‬

‫) ‪ L(‬‬

‫לכן‬

‫‪n‬‬

‫‪i‬‬

‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪P  f II   P  H 0 / H 0   P  x4 1.1/  1.2 ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪z1  1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ z1 ‬‬ ‫‪ n‬‬

‫‪ 2 ‬‬ ‫‪xn ~ N   ,   ~ N   ,0.052 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.11‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 1    2  L‬‬ ‫‪0.05‬‬

‫‪ ‬‬

‫עתה נחשב את ההסתברות של טעות מסוג ‪:II‬‬

‫‪2‬‬

‫רמת מובהקות ‪- ‬‬ ‫מקרה שני‬

‫‪0 ‬‬

‫‪z ‬‬

‫‪  ( z1  z1  ) ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫מקרה ראשון‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬ ‫‪H 0 : 0  ‬‬

‫‪H 0 : 0  ‬‬

‫‪H 1 : 1   0‬‬

‫‪H 1 : 1   0‬‬

‫דוחים את‬

‫‪H0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪n‬‬

‫דוחים את‬

‫אם ‪-‬‬

‫‪H0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪n 1‬‬

‫‪xn   0 ‬‬

‫‪1‬‬

‫או אם‪:‬‬

‫אם ‪-‬‬

‫‪ L‬‬

‫הרכיבים בת"ל‪ ,‬וזרימה מתבצעת רק כאשר רכיב הוא תקין‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות לכך שיגיע זרם מ ‪ S‬ל ‪?T‬‬ ‫ההסתברות לכך היא הסתברות שגם תת מע' של שלושה רכיבים‬ ‫תקינה וגם רכיב ‪ 4‬תקין‪.‬‬

‫‪P S T  P A123  A4   P A123 P A4 ‬‬

‫*****************************************************‬ ‫דוגמא – תירגול ראשון‬

‫הסיכוי שיהיה גשם מחר – ½ ‪P G 1/ 2‬‬ ‫הסיכוי שיהיה עננים מחר – ‪P  A  2 / 3 2/3‬‬

‫‪20‬‬

‫הסיכוי שיהיה ברד מחר – ‪P B 1/10 1/10‬‬ ‫הסיכוי שיהיה שלג מחר – ‪P  S  1 / 8 1/8‬‬

‫‪ 5 6‬‬

‫לכן תוחלת מספר הדפנות שיתקבלו היא‪:‬‬

‫הסיכוי שיהיה ארבה מחר – ¼ ‪P R 1/ 4‬‬ ‫‪ #‬אם יש עננים‪ ,‬אז הסיכוי לברד‬

‫‪.1/9‬‬

‫‪ #‬סיכוי לברד ועננים הוא ‪P A B 1 92 3‬‬ ‫מה הסיכוי שיש עננים או ברד?‬

‫‪P A B  P A  P B  P A B‬‬

‫מה הסיכוי לברד ללא עננים? מתורת הקבוצות יודעים כי‬

‫מה הסיכוי לגשם וברד? ‪ G  B  G‬מכאן‬

‫‪P G  B 1 91 2‬‬ ‫דוגמא – תירגול שני‬ ‫יש סל עם ‪ 15‬כדורים ממוספרים מ – ‪ 1‬עד – ‪ .15‬בוחרים ‪ 3‬מתוכם‬ ‫עם חשיבות לסדר ובלי חזרה‪ ,‬כך שהראשון לא – ‪ 5‬וחייבים לבחור‬ ‫פעם אחת בלבד את – ‪ .12‬כמה אפשרויות יש?‬ ‫מאורע ‪ – A‬כל הבחירות שב ‪ ‬כך שהראשון לא – ‪.5‬‬ ‫מאורע ‪ – B‬כל הבחירות שב ‪ ‬כך שבוחרים פעם אחת – ‪.12‬‬

‫) ‪Y ~ Bin (100, p‬‬ ‫?‪P y50 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪P  Y 50  1  P  y  49  1  P  y  49.5 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. 61‬‬

‫‪49.5 np ‬‬

‫‪  1    z‬‬

‫‪np (1 p ) ‬‬

‫שאלה ‪– 3‬‬ ‫משקל של קלמנטינה הוא מ"מ‬

‫) ‪N ( a 5,32‬‬

‫הקלמנטינות בחנות יש אותו פרמטר ‪ .a‬שקלתי ‪ 10‬קלמנטינות‬

‫בת"ל‪ :‬נסמן ב ‪x1 ,.., x10‬‬

‫את המשקל של כל אחת מהן‪.‬‬

‫הציעו אומד ל ‪ a‬בשיטת המומנטים‪.‬‬ ‫נאמוד את התוחלת ע"י הממוצע ואז נסיק מזה משוואה על ‪.a‬‬

‫) ‪E( n‬‬

‫דוגמא – ממבחן (קומבינטוריקה)‬ ‫מטילים קוביה ‪ 4‬פעמים‪ ,‬מה ההסתברות לכך שבכל הטלה התקבל‬ ‫מספר גדול ממש מכל אלה שהתקבלו לפניו?‬ ‫צריך שיתקבלו ‪ 4‬תוצאות שונות ושהן יהיו מסודרות בסידור‬ ‫מונוטוני‪ .‬עבור כל ‪ 4‬תוצאות שונות יש בדיוק סידור מונוטוני אחד‪,‬‬

‫) ‪N ( A  B )  N ( A)  N (B )  N ( A  B‬‬ ‫‪. N ( A  B ) 113‬‬ ‫נותר לציין כי ‪ 12‬‬

‫לכן ההסתברות תהייה ‪-‬‬

‫‪64‬‬

‫דוגמא – ממבחן (מ"מ מעריכי רציף)‬ ‫מע' ממוחשבת מורכבת מחמישה רכיבים שונים המחוברים בטור‪,‬‬ ‫כלומר שכדי שהמע' תפעל נדרש שכל הרכיבים יהיו תקינים‪ .‬ארכי‬ ‫חייהם של הרכיבים הם מ"מ בת"ל בעלי התפלגות מעריכית כך‬ ‫שממוצע אורך חיי רכיב ‪ k‬הוא ‪ k‬ימים‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות לכך שהמע' תפעל לפחות ‪ 2‬ימים?‬

‫‪.‬‬

‫‪P  xk   e‬‬

‫מ"מ אחיד‬

‫)‪X~U(0, 1‬‬

‫‪ .‬מה הסיכוי שאין לנו מספיק צבע כדי‬

‫מהי ההסתברות לכך שרכיב מס' ‪ 2‬יתקלקל לפני רכיב מס' ‪?1‬‬

‫‪0‬‬

‫לצבוע גדר‪( ,‬נדרשים ‪ 190‬ליטר)?‬ ‫לכל‬

‫‪i1,2,..,400‬‬

‫בקירוב הנורמלי ‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪  P x2 t P x1 t dx   f X2 ( t ) P  x1 t dt‬‬ ‫‪0‬‬

‫נסמן ב ‪ xi‬את הכמות במיכל ה ‪. i -‬‬

‫?‪P x 190  P x 190 ‬‬

‫נתקנן את ‪:x‬‬

‫ידוע כי ארכי חיים של רכיבים בת"ל לכן –‬

‫מ"מ אחיד‬

‫‪H 0 :a10‬‬

‫לנו מבחן‪ :‬דוחים את‬

‫השוויון בתוך הסוגריים המסולסלים נובע כתנאי לרציפות‪ .‬נשתמש‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬

‫) ‪U(0,a‬‬

‫‪ ,‬רוצים לבדוק את השערת‬

‫לעומת האלטרנטיבה‬

‫‪H0‬‬

‫‪H1:a100‬‬

‫‪ .‬הציעו‬

‫אם קורה המאורע )‪ , C ( x50‬מהי‬

‫העוצמה של המבחן? העוצמה היא אחד פחות הסיכוי לטעות מסוג‬ ‫שני!‬

‫שואלים‬

‫‪P  x2  x1  P  x2  x1 0   P x2 t t  x1  0‬‬

‫צריך גם לבדוק נגזרת שניה קטנה מאפס כדי לאמת שזה ערך‬ ‫מקסימלי!‬ ‫שאלה מס' ‪– 4‬‬

‫האפס‪,‬‬

‫כל מ"מ בת"ל לכן פשוט מכפלת ההסתברויות‪...‬‬ ‫מהי ההסתברות לכך שאחרי ‪ 3‬ימים פעלו עדיין לפחות ‪ 4‬רכיבים?‬ ‫נחלק מקרה זה ל מאורעות זרים – נחשב הסתברויות שלהם‬ ‫ונחבר‪ .‬יש אפשרות שכל החמישה יפעלו או אחד מכל החמישה‪ ,‬כל‬ ‫פעם אחד אחר‪ .‬החישוב בדומה לסעיף הקודם‪ ,‬רק שאיפה שהרכיב‬ ‫לא פעל‪ ,‬במקום "גדול שווה"‪ ,‬נרשום "קטן" ונשתמש בנוסחא‬ ‫‪. 1e   x‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e 23‬‬ ‫‪L ‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪10 ( x  a 5) 2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ i 2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L ( a ) ‬‬ ‫‪ e i1 23‬‬ ‫‪ 3 2 ‬‬ ‫‪1  10 ( xi  a 5) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l ( a ) ln L 10ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3 2  i1 23‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪l '( a ) max ? 0C  ( xi  a 5‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1 10‬‬ ‫‪C  xi  C 10  0  a   xi‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 i 1‬‬

‫נניח ש ‪-‬‬

‫תירגול לפני המבחן – דוגמאות‬ ‫קירוב נורמלי – ליזום לבד (אחת השאלות‪ ,‬איפה שיהיה מספר גדול‬ ‫בשביל הקירוב‪ ,‬נניח ~‪)30‬‬ ‫משתנים מקריים – למצוא לבד אילו‪ ,‬לדעת לזהות!‬ ‫שימוש בשיטת המומנטים‬ ‫הסתברות מותנית בדידה ‪ +‬בייס – לדעת טוב!‬ ‫מ"מ דו מימדי בדיד – לעשות טבלה‪.‬‬ ‫שאלה ‪– 1‬‬ ‫‪ 400‬מיכלים של צבע‪ ,‬בת"ל כל אחד עם תכולה בליטרים‪ ,‬שהיא‬

‫‪X ~ exp(  )  xk  X‬‬ ‫‪E ( xk ) k  1  1 k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P x1 2 x2  2... x5 2 ...‬‬

‫‪ ( x1  a 5)2‬‬

‫‪L(a) ‬‬

‫‪ 61  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  4‬‬

‫‪ 64‬‬

‫ידוע שלכל‬

‫מהו אומד הנראות המקסימלי ל ‪?a‬‬

‫‪E( y )  n 1 4  ‬‬

‫‪A B  A  B‬‬

‫) ‪np (1 p‬‬

‫‪‬‬

‫‪1 10‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪10 i1 i‬‬ ‫‪  a 5a 5 ‬‬ ‫‪aˆ  5 ˆ  5 x10‬‬

‫דוגמא – ממבחן (קומבינטוריקה)‬ ‫משחקים משחק הבא‪ :‬מטילים קוביה מאוזנת פעם אחת ואז‬ ‫מטילים סביבון מספר פעמים שיצא על הקוביה‪.‬‬ ‫מהי תוחלת מספר הפעמים בהם מתקבל "נס" במשחק? בממוצע‬ ‫מספר הפעמים שנזרוק קוביה הוא תוחלת של ‪- n‬‬

‫‪‬‬

‫‪y  np‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 P ‬‬

‫‪ˆ  x10 ‬‬

‫)‪yY ~ Bin ( n,1 4‬‬

‫) ‪N ( A  B )  N (  )  N ( A B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ -‬כי הוא מס' ההצלחות ב ‪ 100‬ניסויים בת"ל‬

‫נשתמש בקירוב הנורמלי למ"מ בינומי ונבדוק את כללי האצבע!‬ ‫מספר ניסויים גדול‪ ,np>5, n)1-p(>5 ,‬הכל בסדר!‬

‫)‪n  X ~ U(0, 6‬‬

‫‪N ( A ) 114‬‬ ‫‪ 13 N ( B ) 141312‬‬

‫כאן ניעזר בנוסחאות של מ"מ מעריכי ונקבל –‬

‫‪1‬‬

‫עם סיכויי הצלחה ‪ p‬בכל אחד מהם‪ .‬השאלה היא‬

‫‪ .2‬מהי תוחלת ושונות מספר ההטלות הנדרשות עד לקבלת כל‬ ‫התוצאות האפשריות?‬ ‫יש כאן סכום של שישה משתנים גאומטריים‪ ,‬שוני פרמטר‪ ,‬בת"ל‪.‬‬ ‫בתחילה כל תוצאה היא חדשה‪ ,‬בשלב הבא ‪ 5‬מתוך ‪ 6‬תוצאות‬ ‫אפשריות הן חדשות ואחר כך ממשיך מספר בתוצאות שהן חדשות‬ ‫לרדת עד שמסתיים התהליך‪ .‬ניעזר בתוחלת ושונות של משתנה‬ ‫גאומטרי ונקבל כי‪:‬‬

‫‪N (  )  15 14 13‬‬

‫‪‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫מהו הסיכוי לנצח בלפחות ‪ 50‬מתוך ‪ 100‬המשחקים הבת"ל?‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L ‬‬ ‫‪66 56‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪06‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪Var ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 L ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ 6‬‬

‫‪ A B    B \ A   B‬‬ ‫‪P  A B  P  B \ A  P  B‬‬

‫עם סיכוי הצלחה ½ בכל אחד מהם‪.‬‬

‫‪E‬‬

‫ולכן‪:‬‬

‫‪ k‬‬

‫‪‬‬

‫‪20‬‬

‫‪ -‬כי הוא מס‪ /‬ההצלחות ב ‪ 10‬ניסויים בת"ל‬

‫‪P  x 9  P  x 9  P  x 10 ‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ .‬הסתברות‬

‫‪ 5 6‬‬

‫)‪X ~ Bin (10,1 2‬‬

‫? ‪P  x9 ‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 10   1   1 ‬‬ ‫‪ 10   1   1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪      10     ; p‬‬ ‫‪ 9   2  2‬‬ ‫‪   2  2‬‬

‫לתקינות רכיב ‪ 4‬קל לחשב‪.‬‬ ‫דוגמא – ממבחן (משתנה גאומטרי וחישובי תוחלת)‬ ‫מטילים קוביה מאוזנת רגילה שוב ושוב‪.‬‬ ‫‪ .1‬אם הקוביה הוטלה ‪ 20‬פעמים‪ ,‬מהי תוחלת מספר הדפנות‬ ‫השונות שהתקבלו?‬ ‫דופן מסויימת מתקבלת לפחות פעם אחת בסיכוי של‬ ‫‪. 1‬‬

‫נסמן ב ‪ x‬את מס' העצים‪ ,‬השאלה היא‬

‫כאשר‬

‫ההסתברות שתת מע' של שלושה רכיבים תפעל היא אחד פחות‬ ‫ההסתברות שגם רכיב ‪ 1‬לא יפעל וגם רכיבים ‪ 2,3‬לא יפעלו‪.‬‬

‫‪1  1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P  A123  1   1  1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  3 4‬‬

‫‪‬‬

‫שאלה ‪– 2‬‬ ‫משחקים משחק – ‪ 10‬הטלות מטבע הוגן (בת"ל)‪ .‬אם יש לפחות ‪9‬‬ ‫עצים אז "מנצחים"‪.‬‬ ‫מהו הסיכוי לנצח במשחק בודד?‬

‫ההסתברות לכך שהרכיב ‪ i‬יהיה תקין הוא ) ‪ , 1 (1 i‬קלקולי‬

‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪n 1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn   0 ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪n 1 2‬‬

‫‪P x 190 ;  ‬‬

‫‪100 3 ‬‬

‫‪xn   0 ‬‬

‫‪xn   0 ‬‬

‫‪ #‬אין גשם בלי עננים‪G  A .‬‬

‫‪ 190 200 ‬‬

‫דוגמא – ממבחן (זרימה)‬ ‫נתונה המע' הבאה‪:‬‬

‫‪H1 :    0‬‬ ‫דוחים את ‪H 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪  1 e  2t e  t dt ...‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪H 0 :   0‬‬

‫אם‪:‬‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫הסתברות –‬

‫‪400‬‬

‫כאשר‬

‫‪x   xi‬‬

‫)‪Z ~N (0,1‬‬

‫‪x  200‬‬ ‫‪100 3‬‬

‫טעות מסוג ראשון‪ :‬לדחות את השערת האפס כאשר אנחנו‬ ‫בהשערת האפס‪ ,‬הסיכוי‪:‬‬

‫‪P C / H 0  P x 50 / a 10 0‬‬

‫למבחן יש מובהקות ‪ , ‬אם הסיכוי לטעות מסוג ראשון קטן או‬ ‫שווה ל ‪ . ‬כך למשל יש מובהקות ‪ 1/100‬כי זה יותר גדול מאפס‬ ‫במקרה שלנו!‬

‫‪i‬‬

‫‪  4001 2   4001 12‬‬ ‫‪z‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ 1P C / H1  P C / H 0 ‬‬ ‫‪10050 1‬‬ ‫‪P x 50 / a 100 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1000 2‬‬

‫‪ ,‬עתה‬

‫‪ .‬מכאן קל לחשב‬

‫מבחן תוכנה )פתרון של גרי(‬ ‫שאלה מס' ‪– 1‬‬ ‫בחבילה יש ‪ 3‬רכיבים תקינים ו ‪ 5‬רכיבים פגומים‪ ,‬טכנאי מכין מכשיר‪,‬‬ ‫לתוכו הוא מרכיב ‪ 3‬רכיבים‪ ,‬הנבחרים באקראי מתוך החבילה‪ .‬המכשיר‬ ‫יהיה תקין אם ורק אם הוכנס לתוכו לכל היותר רכיב פגום אחד‪.‬‬ ‫‪.1‬מהי תוחלת‬ ‫ומהי שונות‬ ‫מספר הרכיבים‬ ‫הפגומים‬

‫דף נוסחאות בסהתברות וסטטיסטיקה‬ ‫שהורכבו‬ ‫במכשיר?‬ ‫‪.2‬מהי‬ ‫ההסתברות‬ ‫לכך שהמכשיר‬ ‫שהוכן תקין?‬ ‫‪.3‬אם הוכנו ‪50‬‬ ‫מכשירים‬ ‫כאמור‬ ‫(הרכיבים לכל‬ ‫מכשיר נלקחים‬ ‫מחבילה‬ ‫אחרת‪ ,‬לפי‬ ‫כללים דלעיל)‪,‬‬ ‫מהי‬ ‫ההסתברות‬ ‫לכך שלפחות‬ ‫‪ 20‬מתוכם‬ ‫תקינים?‬ ‫‪.4‬מהי‬ ‫ההסתברות‬ ‫לכך שכאשר‬ ‫בודקים את ‪50‬‬ ‫המכשירים‬ ‫שהוכנו‪ ,‬יהיו‬ ‫בדיוק שניים‬ ‫תקינים מבין‬ ‫חמשת‬ ‫המכשירים‬ ‫הנבדקים‬ ‫הראשונים?‬

‫‪© Mechanical Engineering Tel-Aviv Unv. 2006‬‬

‫‪.1‬אם מוציאים מן החבילה נרות‪ ,‬שוב ושוב עם החזרה‪,‬‬ ‫מהי תוחלת מסםר הנרות שיש להוציא עד לקבל נר‬ ‫סוג א'?‬ ‫‪.2‬אם מוציאים ‪ 6‬נרות בלי החזרה‪ ,‬מהי ההסתברות‬ ‫לכך שהוצאו בדיוק ‪ 2‬נרות מכל סוג?‬ ‫פתרון –‬ ‫‪.1‬בונים עץ אינסופי כאשר ענף אחד זה לקבל נר‬ ‫א' בהסתברות ‪ 1/3‬וענף אחר לקבל ב' או ג'‬ ‫בהסתברות ‪ .2/3‬מתוך הענף השני יוצאים שוב‬ ‫שני ענפים אחד ל א' ואחד ל ב'‪+‬ג' וכן הלאה עד‬ ‫‪ n‬פעמים‪ .‬נחשב תוחלת בעזרת נוסחת סכום‬ ‫של ‪– )xP)x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪E( x )  1  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1  2‬‬ ‫‪1  2‬‬ ‫‪ 3   L  n   ‬‬ ‫‪3  3‬‬ ‫‪3  3‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪1 n  2‬‬ ‫‪  n ‬‬ ‫‪3 i1  3 ‬‬ ‫‪.2‬מגדירים ‪ 3‬משתנים היפרגאומטרים בעלי גודל‬ ‫אוכלוסיה ‪ ,30‬מספר מיוחדים ‪ ,10‬מספר‬ ‫איברים בדגימה ‪ .6‬ההסתברות היא מכפלת‬ ‫ההסתברויות ש‪ x=2 :‬סוג א' וגם ‪ x=2‬סוג ב'‬ ‫וגם ‪ x=2‬סוג ג'‪ ,‬את ההסתברויות נחשב בעזרת‬ ‫נוסחת ההסתברות של מ"מ היפרגאומטרי‪.‬‬

‫פתרון –‬ ‫‪.1‬נגדיר מ"מ היפר גאומטרי כאשר‬ ‫‪ .N=8, a=5,n=3‬כל הנותר הוא‬ ‫להשתמש בנוסחאות עבור תוחלת‬ ‫ושונות של מ"מ היפרגאומטרי‪.‬‬ ‫‪.2‬מכשיר תקין כאשר כל הרכיבים בו‬ ‫תקינים‪ ,‬או כאשר רכיב אחד בלבד‬ ‫פגום בו‪.‬סה"כ ‪ 2‬אפשרויות‪ .‬נשתמש‬ ‫בנוסחא לחישוב הסתברות של מ"מ‬ ‫היפרגאומטרי עבור ‪ x=1‬ו ‪x=0‬‬ ‫ונסכם אותם!‬ ‫‪.3‬מגדירים משתנה מקרי בינומי בעל‬ ‫‪ n=50‬והסתברות שחישבנו בסעיף‬ ‫הקודם‪ .‬שואלים‬

‫? ‪P  y20 ‬‬

‫שאלה מס' ‪– 4‬‬ ‫כדי לצבוע גדר נדרשים ‪ 190‬ליטר של צבע‪ .‬לאה קנתה ‪ 400‬מיכלים‬ ‫של צבע‪ .‬כמות הצבע בכל מיכל (בליטרים) היא מ"מ אחיד רציף בין ‪ 0‬ל‬ ‫‪ ,1‬ללא תלות בכמות הצבע במיכלים האחרים‪ .‬נסמן ב ‪ x‬את כמות‬ ‫הצבע הכוללת (בליטרים) שקנתה לאה‪. X ~ U(0, 1) .‬‬ ‫‪.1‬מהי תוחלת של ‪?x‬‬ ‫‪.2‬מהי השונות של ‪?x‬‬ ‫‪.3‬הערך בקרוב טוב ככל האפשר את ההסתברות לכך‬ ‫שכמות הצבע שנרכשה לא תספיק לצבוע את הגדר‪.‬‬ ‫‪.4‬תן חסם‪ ,‬המבוסס על אי שוויון טשבשב‪ ,‬להסתברות‬ ‫לכך שכמות הצבע שנרכשה לא תספיק כדי לצבוע‬ ‫את הגדר‪.‬‬ ‫פתרון –‬

‫‪ .‬נשתמש‬

‫‪xi .1‬‬

‫בקירוב נורמלי לבינומי ונבדוק את‬ ‫כללי האצבע!‬

‫‪1 P y  20 1P y 19.5 ‬‬

‫‪400‬‬

‫‪E( xi )  1 2 x   xi‬‬ ‫‪i 1‬‬

‫בגלל שאנחנו מנרמלים משתנה‬ ‫בדיד‪ ,‬יש צורך לעשות תיקון רציפות‪.‬‬

‫‪ y  np 19.5np ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 z L‬‬ ‫‪npq ‬‬ ‫‪ npq‬‬

‫‪1 P ‬‬

‫‪else‬‬

‫‪a2‬‬

‫‪ x 3‬‬

‫‪f ( x )‬‬

‫‪ 0‬‬

‫פתרון –‬

‫‪x3‬‬ ‫‪ 1 ‬כאשר‬ ‫‪dxa 2 .1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0a‬‬ ‫הערך השלילי נופל בגלל הגדרות‬ ‫התחום של פונק' הצפיפות‪.‬‬

‫‪t4‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4a 2‬‬ ‫‪0 a‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪F( x )  ‬‬

‫‪.2‬יש שנים זהים ולכן סוכמים ‪-‬‬

‫‪P  x 1.5 / x 0.8 ‬‬

‫)‪F(2)  F(0.8‬‬

‫‪‬‬

‫‪P 1.5 x  2‬‬

‫‪P 0.8 x  2‬‬

‫‪100 3‬‬ ‫‪ 0.3333‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪P x 190 10 ‬‬

‫‪b b 1 b  2‬‬ ‫‪P A ‬‬ ‫‪b  w b  w1 b  w 2‬‬

‫לא לשכוח לרשום תשובה מפורטת‬ ‫כפי שמוסבר בתאוריה‪ ,‬עם כל‬ ‫התחומים‪ ,‬כאשר ‪ t<0‬לרשום ‪0‬‬ ‫וכאשר ‪ t>a‬לרשום ‪.1‬‬ ‫‪.3‬‬

‫‪‬‬

‫‪.4‬‬

‫? ‪P  x190 ‬‬

‫שאלה מס' ‪– 5‬‬ ‫נתונה קופסה בה ‪ b‬כדורים לבנים ו ‪ w‬כדורים לבנים‪ .‬מן הקופסא‬ ‫מוציאים כדור‪ ,‬הנבחר באקראי‪ ,‬ומחזירים אותו אל הקופסא יחד עם‬ ‫כדור נוסף באותו צבע‪ .‬על תהליך זה חוזרים שוב ושוב‪.‬‬ ‫‪.1‬מהי ההסתברות לכך ששלושת הכדורים הראשונים‬ ‫שיוצאו יהיו שחורים?‬ ‫‪.2‬מהי ההסתברות לכך שאחרי שתי הוצאות והחזרות‬ ‫כאמור יהיו בקופסא בדיוק ‪ b+1‬כדורים שחורים?‬ ‫‪.3‬מהי ההסתברות לכך שהכדור השלישי שיוצא יהיה‬ ‫שחור?‬ ‫‪.4‬אם הכדור השלישי שהוצא הוא שחור‪ ,‬מהי‬ ‫ההסתברות לכך שהכדור הראשון שהוצא היה‬ ‫שחור?‬ ‫פתרון –‬ ‫‪.1‬עושים עץ של אפשרויות ורושמים על כל ענף‬ ‫את ההסתברות‪ ,‬ואז מכפילים לאורך המסלול‬ ‫הרצוי ואם יש כמה – סוכמים בסוף‪.‬‬

‫‪a‬‬

‫‪P x 0.8‬‬ ‫)‪F(2)  F(1.5‬‬

‫‪Var( xi )  1 12‬‬

‫‪P  x 190  P  x 190 ‬‬ ‫‪ x   190200 ‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1    3‬‬ ‫‪100 3 ‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪P x 1.5 / x 0.8‬‬

‫‪P x 1.5 x 0.8‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪.3‬נעשה קירוב לפי משתנה מקרי אחיד נורמלי‬ ‫רציף – מתוקנן‪.‬‬

‫‪ a.1‬הינו פרמטר‬ ‫קבוע‪ ,‬מהו?‬ ‫‪.2‬מהי פונק'‬ ‫ההתפלגות‬ ‫המצטברת ‪)F)x‬‬ ‫של ‪?x‬‬ ‫‪.3‬חשב את‬

‫‪.2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪E( x )   E ( xi )  400   200‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪400‬‬

‫‪400‬‬ ‫‪1 100‬‬ ‫‪Var( x )   Var( xi ) 400 ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪.4‬נגדיר משתנה מקרי היפרגאומטרי‬ ‫חדש כאשר גודל האוכלוסיה הוא‬ ‫‪ ,50‬דוגמים ‪ 5‬איברים‪ ,‬ונשאר להגיד‬ ‫כמה יש מיוחדים באוכלוסיה של ‪50‬‬ ‫איש! ניעזר בסעיף קודם ונחשב את‬ ‫התוחלת של משתנה בינומי ‪– y‬‬ ‫מספר מע' תקינות ב ‪ 50‬ניסויים‪ ,‬ואז‬ ‫נוכל שוב להיעזר בנוסחא לחישוב‬ ‫הסתברות של מ"מ היפרגאומטרי‪.‬‬ ‫שאלה מס' ‪– 2‬‬ ‫‪ x‬הינו משתנה מקרי בעל פונק' צפיפות‪:‬‬

‫‪0 x  a‬‬

‫‪ -‬כמות ליטרים במיכל ‪.i‬‬

‫‪‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪P B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b  w b  w1 b  w b  w1‬‬ ‫‪.3‬יש ארבע אפשרויות כאלו‪ ,‬זה ארוך‪ ,‬תרשום עץ‬ ‫ותחשב לבד יא עצלן! ‪‬‬ ‫‪.4‬נשתמש בנוסת ההסתברות המותנית ‪-‬‬

‫‪P b1b3‬‬ ‫‪P  b1/ b3 ‬‬ ‫‪P C‬‬ ‫‪P  b1b 3  P  bbb  P  bwb‬‬

‫שאלה מס' ‪– 3‬‬ ‫לקוח רוכש חבילה המכילה ‪ 10‬נרות סוג א' ‪ 10‬נרות סוג ב' ו – ‪ 10‬נרות‬ ‫סוג'‪.‬‬ ‫זהו! בהצלחה!‬