Statistika 2

Ilustrasi Data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program Studi tertentu semester ganjil tahun 2008: 87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46

Statdas, Februari 2009

1.

Populasi dan Sampel  

2. Statistik dan Statistika Berapa rata‐ rata nilai ujian?

3. Jenis‐jenis Observasi  4. Statistika Deskriptif •Sari Numerik •Penyajian Data

Statistika deskriptif

© 2008 by USP & UM ; last edited Feb’09

Apakah rata‐rata  nilai tahun ini lebih baik daripada tahun lalu?

Seberapa menyebarnya kemampuan dari mahasiswa? Adakah mahasiswa yang  perlu perhatian khusus?

Inferensi statistik

© 2008 by UM

Statistik dan Statistika

Jenis‐jenis Statistika 1. Statistika deskriptif: metode yang berkaitan

Statistik : nilai-nilai ukuran data yang mudah dimengerti. Contoh : statistik liga sepak bola Indonesia

dengan pengumpulan dan penyajian data. 2. Statistika inferensi: metode yang berkaitan dengan analisis sampel untuk penarikan kesimpulan tentang karakteristik populasi. (Pokok Bahasan/Bab 9-12)

Statistika : ilmu yang berkaitan dengan cara pengumpulan, pengolahan, analisis dan pernarikan kesimpulan atas data.

© 2008 by UM

2

3

© 2008 by UM

4

1

Populasi dan Sampel

Jenis‐jenis Observasi

Populasi

OBSERVASI / DATA

KUALITATIF

Sampel setiap obyek populasi memiliki kemungkinan/kesempatan yang p sama untuk terpilih

Nominal

Ordinal/Rank 

Diskrit

Kontinu

Sampel Acak

hasil pengukuran atau pengamatan

Data

© 2008 by UM

5

Tidak mengenal urutan dan operasi aritmatika

Mengenal urutan dan operasi aritmatika

B h b Berhubungan d dengan ‘proses menghitung’, dan pengamatan atas himpunan terhitung.

Didasarkan pada suatu selang/interval sehingga meliputi semua bilangan riil

Warna batuan (abuabu, hitam, putih, coklat, dll), jenis kelamin , dll

Ukuran baju (S, M, L, XL), ukuran kepuasan (tidak suka sama sekali, tidak suka, biasa saja, suka, sangat suka)

Banyaknya pekerja yang dibutuhkan dalam suatu area pertambangan, jarak yang dilangkahi seseorang (bisa mundur, bisa maju) per 0,5 meter

Berat batuan, luas area pertambangan, jarak tempuh truk pengangkut, suhu, dll 6

© 2008 by UM

Karakteristik Distribusi

Statistika Deskriptif

1. PARAMETER  DISTRIBUSI

Metode yang berkaitan dengan pengolahan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna.

Ukuran Pemusatan Ukuran Uk Penyebaran

2. BENTUK DISTRIBUSI

bentuk distribusi data © 2008 by UM

KUANTITATIF

7

Berpuncak Jamak

Berpuncak Tunggal

# modus > 1

# modus = 1

mean, median, modus, kuartil atas, kuartil bawah, dll Range, simpangan baku,  variansi, jangkauan antar kuartil, dll

Kemencengan

skewness

Kelancipan

kurtosis

Simetris Menceng/skew  Positif Menceng/skew  Negatif

mean = median mean > median mean < median

© 2008 by UM

8

2

CONTOH KASUS

Ukuran Pemusatan Data 

Berikut adalah data nilai ujian Statistik Dasar dari 15 mahasiswa Program g Studi tertentu. ((n = 15))

1. Mean (rata-rata)

1 x= n

87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46 x1 x2

x9

x12

x15

Data yang diurutkan:

x(9)

x(12)

i

i =1

Contoh : x1 + x2 + ... + x15 15 87 + 37 + ... + 46 = = 67, 60 15

x(15) maksimum

minimum

Adakah perbedaan dari penyajian kedua data di atas?

9

© 2008 by UM

26 37 39 46 49awal) 59 ) 69 76 8350% data (akhir 83 83 87 akhir) 87 95 50 % data (awal 50 % data ( 50% data ( ) 95 x(8)

3x

2x

© 2008 by UM

10

4. Kuartil 26 37 39 46 49 25 % 59 69 76 8325 % 83 83 87 87 95 95 25 % 25 %

2x

2. Median Nilai tengah yang membagi dua kelompok data sama banyak.

q1

q3

q2 = med

™Kuartil bawah (q1) : q1 = x ⎛ n +1 ⎞

q1 = x⎛ 15+1 ⎞ = x(4) = 46

⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

med = x(8) = 76

⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

™Kuartil tengah g (q2) : q2 = x⎛ 2(( n +1)) ⎞ = x⎛ n +1 ⎞ ⎜ ⎝

3. Modus Nilai yang paling sering muncul. mod = 83 © 2008 by UM

∑x

x=

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 x(1) x(2)

n

4

⎟ ⎠

⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

q2 = x⎛ 15+1 ⎞ = x(8) = 76 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

™Kuartil atas (q3) : q3 = x⎛ 3( n +1) ⎞

11

© 2008 by UM

⎜ ⎝

4

⎟ ⎠

q3 = x⎛ 3(15+1) ⎞ = x(12) = 87 ⎜ ⎝

4

⎟ ⎠

12

3

5. Persentil

Ukuran Penyebaran Data

26 37 39 46 49 59 69 76 83 83 83 87 87 95 95 p25

p75

p50 = med

• Persentil ke-i :

1. Jangkauan data (Range) R = 95 – 26 = 69 R = datamax – datamin 2. Variansi

= x⎛ i ( n +1) ⎞

⎛ 1 n 1 ⎜ 2 s2 = x x − = ( ) ∑ i n − 1 i =1 n − 1 ⎜⎜ ⎝

⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

• Persentil ke-50 : = x 50( n +1) = x n +1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎝

100

⎟ ⎠

⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

• Persentil ke-25 dan Persentil ke-75? kuartil bawah

kuartil atas 13

Data Pencilan Data yang nilainya berbeda jauh dari kelompok g lain. yang data y Bagaimana mendeteksi data pencilan ?? 1. Hitung dq

dq = 41

2. Hitung BBP = q1 – k.dq BBP = 46 – (1,5)(41) = -15,5 Pilih nilai k = 3/2 (tidak mutlak) 3. Hitung BAP = q3 + k.dq

BAP = 87 + (1,5)(41) = 148,5

4. Pencilan bawah < BBP

tidak ada pencilan bawah

5. Pencilan atas > BAP © 2008 by UM

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

s2 = 529,2571

JKXX

median

© 2008 by UM

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ n ⎝ i =1 ⎠ 2 x − ∑ i n i =1

tidak ada pencilan atas 15

3. Simpangan Baku (standard deviation) s = 529, 2571 = 23, 01 s = √s2 4. Jangkauan antar kuartil dq = q3 – q1 dq = q3 – q1 = 87 – 46 = 41

© 2008 by UM

SARI NUMERIK Count (banyak data, n) Sum (jumlah data) Average (rata-rata) Median (kuartil tengah) Mode (modus) Minimum Maximum Range Standard Deviation Variance Skewness Kurtosis 25th Percentile (persentil-25) 50th Percentile (persentil-50) 75th Percentile (persentil-75) Interquartile Range (dk) * Perhitungan dengan Mic. Excel © 2008 by UM

15 1014 67.6 76 83 26 95 69 23.01 529.2571 -0.50* -1.23* 46 76 87 41

14

mean < median

Menceng kiri

16

4

Penyajian Data

Pie Chart

1. 1 Pie Chart

9 9% 10%

2. Dot Plot 3. Histogram

23%

58%

4. Diagram Batang – Daun (stem ‐ leaf) 5. Diagram Kotak – Titik (box plot) 6.

y Pie Pi chart h t merupakan k grafik fik yang b berbentuk b t k li lingkaran k yang

dll… Skala penggambaran harus diperhatikan dalam penyajian data dalam bentuk grafik. Penyajian data dalam bentuk grafik dapat dilakukan secara manual maupun menggunakan software-software statistik seperti Microsoft Excel, SPSS, SAS, S-Plus, Minitab dan lainnya.

© 2008 by UM

mana setiap potongannya mewakili proporsi atau persentase suatu komponen dari sebuah kelompok data (100%). y Pemakaian pie chart hanya cocok ketika menyatakan data dalam bentuk proporsi dari satu kelompok data. 17

© 2008 by UM

18

Histogram

Dot Plot 3.5 3

frekuensi

2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

20

40

60

80

100

nilai

y Cara menggambarkan data dalam bentuk titik, dengan 

memperhatikan frekuensi dari data yang  bersangkutan y Titik ditumpuk diatas nilai data yang digambarkan. © 2008 by UM

y Histogram adalah gambar berdasarkan distribusi

frekuensi

y Setiap frekuensi dipresentasikan oleh suatu segi empat

(rectangle). y Daerah setiap rectangle sebanding dengan frekuensinya.

19

© 2008 by UM

20

5

Diagram Batang-Daun (Stem-Leaf)

Diagram Kotak‐Titik (Box‐Plot) 100

max

95

90

85

80

q2

76

70

q3 mean

60 50

47.5

40 30

q1

min

26

20 10

y Stem atau batang, g mirip dengan g g grup data pada histogram, g

0

sedangkan leaf atau daun, mirip dengan frekuensi. y Stem atau batang adalah digit pertama yang terpenting yang ada dalam bilangan yang membentuk harga data, sedangkan digit di belakangnya akan merupakan leaf atau daun. y Melalui stem-Leaf masih dapat dilihat nilai data mentahnya. © 2008 by UM

21

menggunakan grup data seperti pada histogram dan diagram batang daun. y Box Plot terdiri dari: datamin , q1 , q2 (median), q3 , dan datamax yang disusun secara terurut dengan membentuk kotak. 22 © 2008 by UM

Kelemahan dan Keunggulan

Pencilan pada Box Plot *

y Box B Plot Pl t di digunakan k untuk t k menyelidiki lidiki di distribusi t ib i ttanpa

KELEMAHAN DOT PLOT

pencilan atas

Tidak efektif untuk ukuran  data yang besar Lama

max kedua q3 q2

HISTOGRAM

Nilai data tidak nampak

mean BATANG‐DAUN

min ketiga

© 2008 by UM

Nilai data asli dapat diperkirakan Nil i d   li d  di ki k Histogram peluang dapat memberi  gambaran tentang distribusi populasi Tidak menuntut ketelitian dalam  mencatat setiap nilai data Cepat

q1

* *

Banyak perhitungan

KEUNGGULAN Cepat 

pencilan bawah BOX PLOT

23

© 2008 by UM

Tidak memerlukan perhitungan  Menuntut ketelitian mencatat  Nilai data asli dapat dilihat p daun Memudahkan perhitungan berbagai  parameter Membutuhkan perhitungan  yang panjang

Box plot dapat memberi gambaran  tentang bentuk distribusi populasi

Terdiri dari parameter‐ parameter dari data yang  sudah diurutkan

Efektif untuk membandingkan bentuk  distribusi beberapa kelompok data  sekaligus 24

6

Bentuk Distribusi Ideal Normal

Transformasi Data y Transformasi dilakukan untuk mendapatkan bentuk 

distribusi yang lebih simetris. y Transformasi Tangga Tukey -1/x2 -1/x mean = median

untuk bentuk distribusi :  skewness positif

Memiliki bentuk distribusi yang simetris, yaitu : ‰Skewness = 0 ‰Kurtosis = 3, (dalam software tertentu kurtosis normal = 0 © 2008 by UM

25

Transformasi Data Contoh Kasus x

y = x2

87 37 59 49 69 95 83 87 39 95 83 76 83 26 46

7569 9 1369 3481 2401 4761 9025 6889 7569 1521 9025 6889 5776 6889 676 2116

© 2008 by UM

transformasi

Lebih mendekati simetris (skew = 0) dibanding sebelum transformasi (skew = -0,5)

√x

log (x)

x

x2

data awal

x3

10x

untuk bentuk distribusi :  skewness negatif

Data contoh kasus : skewness = -0,5 (menceng kiri), maka transformasi yang mungkin adalah x2, x3, dan 10x. © 2008 by UM

26

Referensi y Djauhari, j M.A., 2001, Catatan Kuliah Analisis Data. y Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

y Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan

skew = -0,18

** Ketika data ditransformasi, maka satuan dari data juga akan berubah 27

Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. y Walpole, Ronald E. et.al, Probability and Statistics for Engineers and Scientist, 8th Ed., New Jersey: Pearson-Prentice Hall 2007. y Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. y Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. © 2008 by UM

28

7