Stabilite Et Precision

12 avril 2005

I. SAAD

AUTOMATIQUE Syst` eme Asservi Stabilit´ e et Pr´ ecision

1

Introduction

D´ efinition 1.1 Fonction de transfert ou transmitance : On note x(t) le signal d’entr´ee et y(t) le signal de sortie : X(p) et Y(p) sont les transform´ees de Laplace respectives de x(t) et y(t). Chaque syst`eme lin´eaire peut ˆetre caract´eris´e par sa fonction de transfert H(p). Soit un syst`eme lin´eaire, continu et invariant d´ecrit par l’´equation diff´erentielle suivante :

dy(t) dn y(t) dx(t) dm x(t) + ... + an = b x(t) + b + ... + b 0 1 m dt dtn dt dtm avec les conitions initiales sont nulles. a0 y(t) + a1

(1)

En appliquant la transform´ee de Laplace `a l’´equation 1, on obtient : (a0 + a1 .p + ... + an .pn )Y (p) = (b0 + b1 .p + ... + bm .pm )X(p) Y (p) b0 + b1 .p + ... + bm .pm H(p) = = X(p) a0 + a1 .p + ... + an .pn

note

N (p) D(p)

– Les z´eros du syst`eme sont les valeurs de p qui annulent N(p). – Les pˆoles du syst`eme sont les valeurs de p qui annulent D(p). – Un syst`eme qui poss`ede un pˆole p = 0 est dit int´egrateur. – Un syst`eme qui poss`ede un z´eros p = 0 est dit d´erivateur. – D(p) = 0 est l’´equation caract´eristique de l’´equation diff´erentielle sans second membre. c’est l’´equation caract´eristique du syst`eme. – n est l’ordre du syst`eme. D´ efinition 1.2 Un syst`eme en boucle ouverte est un syst`eme o` u le signal de commande est ind´ependant du signal de sortie. X(p)

H(p)

Y(p)

D´ efinition 1.3 Un syst`eme en boucle ferm´ ee est un syst`eme o` u le signal de commande d´epend d’une fa¸con ou d’une autre du signal de sortie. X(p) +

H(p)

-

Y(p)

G(p)

Fig. 1 – Syst`eme en boucle ferm´ee 1

D´ efinition 1.4 Fonction de transfert en boucle ferm´ ee et en boucle ouverte Soit le syst`eme repr´esent´e par la figure ’fig.1’ on a : 

ε(p) = X(p) − G(p)Y (p)  

Y (p) = ε(p)H(p)

→ Y (p) =

H(p) X(p) 1 + G(p)H(p)

D’o` u la fonction de transfert en boucle ferm´ee (FTBF) : F (p) =

Y (p) H(p) = X(p) 1 + G(p)H(p)

La fonction de transfert en bocle ouverte (FTBO) : T (p) = G(p)H(p) Donc on a : F (p) =

H(p) 1 + T (p)

L’´equation caract´eristique d’un syst`eme : (polynˆ ome en p) Ec (p) = N umerateur [1 + T (p)] D´ efinition 1.5 Classe d’un syst` eme asservi Si FTBO : T(p) =

k 1 + b1 .p + ... + bm .pm pα 1 + a1 .p + ... + an .pn

– α : classe du syst`eme dont la FTBO est T(p). – k : gain statique en boucle ouverte

2

Stabilit´ e

D´ efinition 2.1 Un syst`eme d’´equation caract´eristique Ec (p) telle que : Ec (p) = a0 + a1 .p + ... + an .pn est stable si toutes les racines de Ec (p) sont `a parties r´eelles strictement n´egatives ou sont des pˆoles imaginaires purs simples non nuls. Exemple 1 Ec (p) = 4 + 6p + 3p2 → syst`eme stable Ec (p) = (p − 3)(4 + 6p + 3p2 ) → syst`eme instable

2.1

Crit` ere de Routh (1877)

Soit un polynˆome Ec (p) = a0 + a1 .p + ... + an .pn . Le crit`ere de Routh se compose de deux conditions : 1. La stabilit´e exige que tous les coefficients ai de l’´equation caract´eristique soient positifs. 2. Pour que le syst`eme soit stable en boucle ferm´ee, il faut et il suffit que tous les coefficients de la premi`ere colonne soient positifs. 2

Tableau de Routh Placer sur les deux premi`eres lignes les coefficients du polynˆome. pn

an

an−2

an−4

an−6

...

pn−1

an−1

an−3

an−5

an−7

...

pn−2

bn−2

bn−4

bn−6

...

n−3

cn−3

cn−5

...

...

...

...

p

r1

0

1

s0

p

A partir de la troisi`eme ligne on utilise les formules suivantes : bn−2 = − bn−6 = −

an .an−3 −an−2 .an−1 an−1 an .an−7 −an−6 .an−1 an−1

bn−4 = − cn−3 = −

an .an−5 −an−4 .an−1 an−1 an−1 .bn−4 −an−3 .bn−2 bn−2

Crit` ere de Routh : Toutes les racines de l’´equation caract´eristique ont leur partie r´eelle n´egative si et seulement si les ´el´ements de la premi`ere colonne de la table de Routh (la colonne encadr´ee) ont le mˆeme signe. Dans le cas contraire, le nombre de racines `a partie r´eelle positive est ´egal au nombre de chargements de signes comptabilis´es dans cette colonne. Exemple 2 Ec (p) = p3 + 3p2 + 3p + 1 + K p3

1

p2

3

p1

8−K 3

0

1+K

0

0

p

3

0

1+K 0

De fa¸con `a ce qu’il n’ait pas de changement de signe dans la premi`ere colonne, il est n´ecessaire que les conditions 8 − K > 0 et 1 + K > 0 soient satisfaites. Donc −1 < K < 8

2.2

Crit` ere de Nyquist (1932)

Pour observer la stabilit´e du syst`eme boucl´e, il suffit de v´erifier que 1 + H(P) G(P) = 0 n’a pas de racines `a partie r´eelle positive, ou encore tout simplement, de tracer le lieu de transfert 1 + H(P) G(P) = 0 dans le plan complexe. Th´ eor` eme de Nyquist : Un syst`eme boucl´e est stable si son lieu de transfert en boucle ouverte n’entoure pas le point (-1, 0).

3

Im

H(jw)

-1

0

Re

ble sta

ab

nst ei

m stè Sy

e stèm Sy

le

2.3

Crit` ere du Revers

Si, en parcourant dans le plan complexe le lieu de transfert d’un syst`eme en boucle ouverte dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique (-1, 0) `a gauche, le syst`eme boucl´e est stable. Il est instable dans le cas contraire. Im

-1

0

Re

me ystè -1 S

m stè Sy

Sys t èm

eo

ble

llan t

ab

nst

ei

sci

sta

le

2.4

Marge de gain - Marge de phase

C’est l’´ecart entre le trac´e de la repr´esentation fr´equentielle de la fonction de transfert et le point ”-1” (0 dB, -180◦ ), c’est `a dire le degr´e de stabilit´e du syst`eme boucl´e. On a : – Marge de phase : Mϕ = ϕ(ω1 ) + 180◦ avec G(ω1 ) = 0 – Marge de gain :MG = -G(ω2 ) avec ϕ(ω2 ) = -180◦ G(dB) ω =0 Mϕ ϕ˚

0dB MG

ω1 (G=0dB)

ω=∝

ω2 ( ϕ = -180°) −180°

Fig. 2 – Lieu de Black 4

G(dB) ω

0dB M

G

ϕ˚ ω

Mϕ −180°

Fig. 3 – Lieu de Bode

3

Pr´ ecision d’un syst` eme asservi

Soit un syst`eme asservi `a retour unitaire suivant :

E(p) + ε(p) -

ε(p) = E(p) − S(p) ε(p) =

T(p)

et

S(p)

S(p) = T (p).ε(p)

E(p) 1 + T (p)

Donc, l’´ecart ε est li´e d’une part `a la forme du signal d’entr´ ee et d’autre part `a la forme de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO). 1. Influence de l’entr´ee : – si l’entr´ee est un ´ echelon, l’´ecart est appel´e ´ ecart de position et est not´e εp . – si l’entr´ee est une rampe, l’´ecart est appel´e ´ ecart de traˆınage et est not´e εt . – si l’entr´ee est une parabole, l’´ecart est appel´e ´ ecart en acc´ el´ eration et est not´e εa 2. Influence de la FTBO : La forme de la FTBO va d´ependre du nombre d’int´egrateurs qu’elle contient. T(p) =

ε(p) =

kN(p) k 1 + b1 .p + ... + bm .pm = pα D(p) pα 1 + a1 .p + ... + an .pn

E(p) E(p) E(p)pα D(p) = = 1 + T (p) pα D(p) + kN (p) 1 + pkN(p) α D(p)

Nous nous int´eresserons `a l’erreur permanente, c’est `a dire l’´ecart qui subsiste en r´ egime permanent. Cette erreur est encore appel´ee erreur statique : ε = lim ε(t) = lim p ε(p) t→∞

p→0

5

εp = lim E0

pα D(p) pα D(p) + kN (p)

εt = lim E0

pα−1 D(p) pα D(p) + kN (p)

p→0

p→0

pα−2 D(p) εa = lim E0 α p→0 p D(p) + kN (p) Exemple : Pr´ ecision Classe 0 εp εt εa

Classe 1

Classe 2

E0 1+K

0

0

∞

E0 K

0

∞

E0 K

∞

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