Sri Trias Anjarwati

By : Sri Trias Anjarwati 7406 030 261 D3 - TKJ

Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember (PENS-ITS) 2008

1) Diketahui :

Ditanya : a. Buat persamaan Linier b. Tulis Augmented matriks-nya c. Gauss/ Gauss Jordan/ Gauss Seidae Jawab : A x1  600

B

C

D

600

0

0

x2

100

0

 1000

0

x3 x4

0 0

0 1000

 100 0

500  400

 600 x1



100 x 2



700

600 x1  1000 x 4  1600  1000 x 2  100 x3  1100 500 x3



400 x 4



900

0 0  600 100  600 0 0  1000   0  1000  100 0  0 500  400  0

700  | 1600 | 1100  | 900  |

|

b 2  (1)b1 b3  (10)b1

0 0  600 100  0 100 0  1000   0 0  100 0  0 500  400  0

b4  b3 a5

0 0  600 100  0 100 0  1000   0 0  100 0  0 0  180  0

| 700  | 2300  |  5900  | 5720 

-180x4 x4

= -5720 = 31.78

-100x3 x3

= -5900 = 59

700  | 2300  |  5900  | 900 

100x2 – 1000x4 = 2300 100x2 – 1000 (31.78) = 2300 100x2 – 31780 = 2300 100x2 = 34080 x2 = 340.8

-600x1 + 100x2 = 700 -600x1 + 100 (340.8)= 700 -600x1 + 34080 = 700 -600x1 = -33.380 x1 = 55.633

2) Diketahui : Users (y) 714 0 623 630 697 668 458 508 476 0 4774 y

Bytes (χı) 14.01 27.60 11.5 9.24 13.45 10.63 10.91 12.41 11.11 7.44 128.3  x1

Avg (χ2) 19.62 0 18.47 14.67 19.30 15.92 23.82 24.44 23.35 0 159.59  x2

χı² 196.2801 761.76 132.25 85.3776 180.9025 112.9969 119.0281 154.0081 123.4321 55.3536 1921.389  x12

χı y 10003.14 0 7164.5 5821.2 9374.65 7100.84 4996.78 6304.28 5288.36 0 56053.75  x1 y

χ2² 384.9444 0 341.1409 215.2089 372.49 253.4464 567.3924 597.3136 545.2225 0 3277.1591  x22

χ2 y 14008.68 0 11506.81 9242.1 13452.1 10634.56 10909.56 12415.52 1114.6 0 93283.93  x2 y

Ditanya : Regresi Linier ? Jawab :

128.3 159.59 | 4774   2  128.3 1921.389 1874.2417 | 56053.75   159.59 1874.2417 3277.1591 | 93283.93

b3 79.795 b1

128.3 159.59 | 4774 2  0  6309.056  8363.4568 |  250198.35   0  8363.4568 9457.32495 |  287657.4 

b2  6309.056

128.3 159.59 | 4774  2 0 1 1.3256 | 39.657   0  8363.4568 9457.32495 |  287657.4

b1 64.15 b1

b3  8363.4568 b2

2 128.3 159.59 | 0 0 1.3256 |  0 0 1629.273 |  x1  x2   n   x1  x12  x1x 2    x 2  x1x 2  x 2 2 

 39.657  44012.206   0  y    1   x1 y        2  x 2 y  = 4774

χı χ2 274.8762 0 212.405 135.5508 259.585 169.2296 259.8762 303.3004 259.4185 0 1874.2417  x1x 2

2 128.3 159.59  0 1 1.3256   0 0 1629.273

  1   2     3 =

 4774   39.657    44012.206

1629.273  2 = 44012.206 2 = 27  1 + 1.3256  2  1 + 1.3256 (27)  1 + 35.7912

1

2  0 + 128.3  1 + 159.59  2 2  0 + 128.3 (3.866) + 159.59 (27)

= 39.657 = 39.657 = 39.657 = 3.866 = 4774 = 4774

2  0 + 496.008 + 4308.93 = 4774 2  0 = 4774 – 4804.938 2  0 = - 30.938  0 = - 15.469

3) Merangkum Determinan & contoh DETERMINAN

PERMUTASI Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai suatu fungsi yang memetakan suatu matriks ke bilangan riil yang disebut dengan fungsi determinan. Untuk itu sebelumnya akan dibahas tentang konsep permutasi yang menjadi dasar perhitungan determinan. Definisi Permutasi (i) Suatu permutasi himpunan bilangan bilat {1,2,3,……,n} merupakan suatu penyusuan bilangan-bilangan bulat tersebut dalam sutu urutan tertentu tanpa penghilangan (Omission) ataupun perulangan (repetition). (ii) Barisan bilangan-bilangan (j1, j2, j3, …….jn) dimana berlaku ji≠jk untuk i≠k (i=1,2,3………,n dan k=1, 2, 3, …………m) serta ji adalah salah satu bilangan asli (1,2,3, ……..,n). Determinan Konsep inversi permutasi yang sudah dijabarkan diatas akan digunakan untuk menghitung determinan dari suatu matriks. Sekarang pandang matriks bujursangkar A berorde (berukuran) n  a11 a12 ........... a1n  A  a 21 a 22 ........... a 2 n  a n1 a n 2 ........... a nn  Definisi Determinan Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut. det(A) atau | A |    (j1 , j2 , ., jn ). a 1 j1 , a 2 j2 ,a m jn Determinan dari suatu matriks A dituliskan Contoh :

a12  a A   11  a 21 a 22  Maka n=2, terdapat 2! = 2*1=2 Hasil kalinya sebagai berikut : 1. a11 a22 permutasi (1,2), banyaknya inversi=0 (permutasi genap). Maka σ (1,2)= +1 jadi +a11 a22 . 2. a21 a12 permutasi (2,1), banyaknya inversi=1 (permutasi ganjil). Maka σ (2,1)= -1 jadi -a21 a12

3. Maka det(A)=|A|=+a11 a22 -a21 a12

Nilai Determinan Nilai atau harga suatu determinan dapat diperoleh dengan berbagai cara antara lain :  Langsung dengan aturan SARRUS (Inversi Permutasi)  Metode ekspansi dengan MINOR dan KOFAKTOR A. METODE SARRUS Metode Sarrus pada dasarnya menggunakan inversi permutasi, tetapi metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai atau harga determinan yang berorde sampai dengan 3. sedangkan untuk determinan matriks berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi. Misalkan diketahui matriks berorde 3  a11 a12 a13  A  a 21 a 22 a 23   a31 a32 a33  n=3 berarti hasil kalinya 3!=3.2.1=6, yaitu a11a22 a33, permutasi (1,2,3). Banyaknya inversi=0 (+) a12a23 a31 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=2 (+) a13a21 a32 permutasi (3,1,2). Banyaknya inversi=2 (+) a13a22 a31 permutasi (3,2,1). Banyaknya inversi=3 (-) a11a23 a32 permutasi (1,3,2). Banyaknya inversi=1 (-) a12a21 a33 permutasi (2,3,1). Banyaknya inversi=1 (-) Untuk lebih mudahnya dapat digambarkan

a11

a12

a13

a 21

a 22

a 23

a31

a32

a33

a11 a 21 a31

(-)

a12 a 22 a32

 a 11a 22 a 33  a 12 a 23 a 31  a 13 a 21a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33

(+)

Contoh :

1 2 3  A  4 1 5 hitunglah A 3 2 4 1. Diketahui matriks Penyelesaian a11

a12

a13

a 21

a 22

a31

a32

a 23

a11 a 21

a12 a 22

a33

a31

a32

 1.1.4  2.5.3  3.4.2 - 3.1.3 - 1.5.2 - 2.4.4  4  30  24 - 9 - 10 - 32 7

0 6 0  A  8 6 8  3 2 2 2. Hitunglah |A| jika Penyelesaian 0 6 0  0 6 A  8 6 8  8 6 3 2 2 3 2  0.6.2  6.8.3  0.3.2 - 0.6.3 - 0.8.2 - 6.3.2  0  144  0 - 0 - 0 - 96  48 B. METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-I dan kolom ke-j.

 a 11 a D   21 a 31  a 41

a 14  a 22 a 23 a 24  a 32 a 33 a 34   a 42 a 43 a 44  Maka minor unsur a33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2  a 11 a 13 a 14  M 32  a 21 a 23 a 24  a 41 a 43 a 44  a 12

a 13

Sedangkan yang dimaksud dengan KOFAKTOR suatu unsure determinan aij adalah Cij = (-1)i+j Mij. Maka KOFAKTOR unsur a32 = C32 = (-1)3+2 M32  2 3 4 A  5 6 7  8 9 1  Contoh : 2 5 Minor a 32  M 32     2.7 - 4.5  14 - 20  - 6 4 7 

Kofaktor a 32  C 32  (-1) 3 2 .(-6)  6 Untuk mencari harga suatu determinan dengan orde ke-n (n>2) yang pada hakekatnya melukiskan polinomial homogen dengan orde ke-n dapat dilakukan dengan ekspansi menurut ekspansi baris atau kolom.

Menurut Teorema LAPLACE “Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemenelemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya”. Dengan kata lain n

A   aij cij  a i1c i1  a i2 ci 2  ..  a in c in , dengan i sembarang. Disebut j1

uraian baris ke - i (Ekspansi baris). n

A   aij cij  a 1j c j1  a 2j ci 2j  ..  a nj c nj , dengan j sembarang. Disebut j1

uraian kolom ke - i (Ekspansi kolom). Contoh :

1 2 3  A  2 3 4 1 5 7  Hitung determinan matriks dengan minor dan kofaktor Misalkan minor dan kofaktornya dicari dengan melakukan ekspansi kolom ke-1 dari matriks A. 3 4 minor a 11  M 11     3.7 - 4.5  1 5 7   Maka 2 Minor a 21  M 21   5 2 Minor a 31  M 31   3

3  2.7 - 3.5  -1 7  3  2.4 - 3.3  -1 4

Mencari kofaktor dengan rumus C ij  (-1) i  j M ij. Kofaktor a 11  C11  (-1)11 M 11  (-1) 2 .1  1 Kofaktor a 21  C 21  (-1) 21 M 21  (-1) 3 .(-1)  1 Kofaktor a 31  C 31  (-1) 31 M 31  (-1) 4 .(-1)  -1 n

Maka | A |  a ij c ij  a 11C11  a 21 C 21  a 31 C 31  1.1  2.1  1.(-1)  1 j1

Catatan Dalam pemilihan kolom atau baris mana yang diekspansi , tidak menjadi persoalan karena hasilnya akan sama saja. Sifat-sifat Determinan Diberikan beberapa sifat penting dalam determinan :

1. Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga determinan = 0. 0 0 A   0.5  0.4  0  0  0 4 5   Contoh : 2. Harga determinan tidak berubah apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain 2 1  A  maka A  2.7  1.5  9 5 7   Contoh :

A A

T

.

2 1 AT    maka A  2.7  5.1  9 5 7  3. Pertukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan. 1 2 A  maka A  1.4  2.3  2 3 4

Contoh : Jika baris 1 ditukar dengan baris 2 menjadi 3 4 A  maka A  3.2  4.1  2 1 2 Jika kolom 1 ditukar dengan kolom 2 menjadi 2 1 A  maka A  2.3  1.4  2 4 3 4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga determinan itu = 0.

Contoh :

1 2 0 B  1 2 0 maka A  0 3  1 1

5. Apabila semua unsur pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor (yang bukan 0), maka harga determinannya dikalikan dengan faktor tersebut. 1 2 A  maka A  1.4  2.3  2 3 4

Contoh : Misalkan baris 1 dikalikan dengan 2 maka 1 * 2 2 * 2 2 4 A1     2.4  4.3  4 4  3 4  3

A 2A Terlihat bahwa 1 Misalkan kolom 1 dikalikan dengan 3 maka 1 * 3 2 3 2 A1      3.4  2.9  6 3 * 3 4 9 4 Terlihat bahwa

A2  3 A

6. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sembarang pada baris atau kolom dapat dikalikan dengan sebuah faktor (bukan 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sembarang baris atau kolom yang lain.

Contoh :

1 2 A  maka A  1.4  2.3  2 3 4 13  1 2 H 12 10 14 A A1     maka A1  2 3 4 H 1  3.H 2 3 4

Terlihat bahwa

A1  A

7. Bila A dan B bujur sangkar maka

A.B  A . B .

Buktikan !

8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya.

Contoh :

2 A  0 0 2 B  1 4

1 3 4 1 maka A  2.4.1  8 0 1 0 0 3 0 maka B  2.3.2  12 1 2

4) Merangkum matriks dan operasinya

Matriks dan Operasinya 1. Matriks dan Jenisnya Matriks merupakan sekumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom. Contoh 1 : Notasi suatu matriks dalam buku ini dituliskan dalam bentuk :  a11 a11  a1n     a11 a11  a 2 n  A        a   m1 a m1  a mn  aij untuk setiap i = 1, 2,…, m dan j = 1, 2,…, n dinamakan unsur/entri/elemen matriks yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j. Ukuran (orde) suatu matriks merupakan jumlah baris kali jumlah kolom. Jadi, A pada Contoh 1 merupakan matriks berukuran m x n. Jika semua unsurnya matriks bernilai nol maka matriks tersebut dinamakan matriks nol. Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, dapat dikatakan bahwa A = B, jika unsur-unsur matriks yang seletak pada kedua matriks tersebut adalah sama. Contoh 2 : Misalkan matriks A dan B masing-masing berukuran 2x3. a12 a13  b12 b13  a b danB   11  A   11  a 21 a 22 a 23   b21 b22 b23  Jika aij = bij, untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3 maka A = B. Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui, sehingga diharapkan akan menjadi dasar untuk pemahaman yang lebih lanjut dalam mempelajari rangkuman ini. Jenis–jenis matriks tersebut meliputi : 1) Matriks bujur sangkar (persegi) Matriks bujur sangkar merupakan matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama, dengan kata lain ukuran dari matriks bujur sangkar adalah n x n. Contoh 3 :

 2 1 0   B  1 2 1  0 1 2   B adalah matriks bujur sangkar berukuran 3 x 3.

2) Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar dimana unsur selain unsure diagonalnya adalah 0. Jika i = j maka aij dinamakan unsur diagonal. Sementara itu, Jika setiap unsur diagonal pada matriks diagonal sama dengan 1 maka matriks tersebut dinamakan matriks identitas (matriks satuan) Contoh 4 : Berikut ini adalah contoh matriks diagonal dan matriks identitas : (a) Matriks diagonal 3x3 ,  3 0 0   D   0 2 0 0 0 1   (b) Matriks identitas 3x3 , 1 0 0   I   0 1 0 0 0 1   3) Matriks Segitiga Ada dua macam matriks segitiga, yaitu : matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur dibawah unsur diagonalnya bernilai 0, sedangkan matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur diatas unsur diagonalnya bernilai 0. Contoh 5 : Matriks dibawah ini merupakan matriks segitiga : (a) Matriks segitiga atas,  5 9 3   E  0 1 7 0 0 8   (b) Matriks segitiga bawah,  2 0 0   F  5 1 0  3 0 2   4) Matrik transpos A (notasi, At) Matriks transpos diperoleh dengan mengubah baris matriks A menjadi kolom matriks pada matriks At Contoh 6 :

 2 1     2 3  1  A   3  2 makaAt   1  2 0   1 0   

5) Matriks Simetri Misalkan A merupakan suatu matriks bujur sangkar, maka A dinamakan matriks simetri jika memenuhi hubungan : A = At Contoh 7 : Matriks B dibawah ini merupakan matriks simetri 0   1 3 2   5 1  3 2 B 2 5 3  2    0 1  2 4    2. Operasi Matriks Ada beberapa operasi matriks yang perlu diketahui, yaitu penjumlahan antara dua matriks, perkalian antar skalar dan matriks, perkalian antar matriks, dan operasi baris (operasi yang dikenakan pada unsur-unsur baris dalam suatu matriks). Berikut ini adalah penjelasan dari beberapa operasi yang telah disebutkan di atas. 1. Penjumlahan Matriks Agar dua buah matriks dapat dijumlahkan, maka syarat yang harus dipenuhi oleh keduanya adalah ukuran kedua matriks tersebut harus sama. Penjumlahan dua buah matriks akan menghasilkan sebuah matriks dengan ukuran yang sama dengan kedua matriks yang dijumlahkan, dan setiap unsur didalamnya merupakan hasil penjumlahan dari unsur yang seletak pada kedua matriks tersebut. Contoh 8 : Penjumlahan dua matriks berukuran 2 x 2 adalah sebagai berikut : a b   e f   a  e b  f         (a )  c d   g h  c  g d  h

1 2  5 6  6 8         (b)  3 4   7 8  10 12  2. Perkalian Matriks a. Perkalian suatu matriks dengan skalar Suatu matriks yang dikalikan dengan skalar akan menghasilkan matriks dengan ukuran yang sama tetapi setiap unsur pada matriks dikalikan dengan skalar tersebut. Contoh 9 :  p q  A   r s    Misalkan k Bilangan Riil dan Maka

 p q   kp kq      kxA  k   r s   kr ks  b. Perkalian suatu matriks dengan matriks lain Misalkan matriks Amxn dan Bpxq, maka :  A x B bisa dilakukan jika n = p dan hasilnya berukuran m x q  B x A bisa dilakukan jika q = m dan hasilnya berukuran p x n Contoh 10 :

a b A   d e

 p s   c  danB   q t  f  2 x3 r u  3x2

Maka

 ap  bq  cr as  bt  cu   AxB    dp  eq  fr ds  et  fu  2 x 2 Perhatikan bahwa unsur baris ke-2 kolom ke-1 dari AB merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada baris ke-2 matriks A dengan unsur-unsur pada kolom ke-1 matriks B. Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama dan α, β merupakan unsur bilangan Riil, maka operasi matriks memenuhi beberapa berikut : 1. A + B = B + A 2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3. α ( A + B ) = αA + αB 4. (α + β ) ( A ) = αA + βA Khusus untuk perkalian antara dua matriks, jika A dan B merupakan matriks bujursangkar, maka belum tentu AB = BA (tidak berlaku sifat komutatif). Selain kedua operasi diatas, ada juga operasi pada matriks yang dikenakan pada setiap baris pada matriks tersebut. Operasi yang demikian dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE). 3. Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer (OBE) merupakan operasi aritmatika (penjumlahan dan perkalian) yang dikenakan pada setiap unsur dalam suatu baris pada sebuah matriks. Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh 11 :

  3  2  1   A 1 2 3  0 2 4   2 3  1   b1  b2    3  2  1  0 2 4   (a)

Baris pertama (b1) ditukar dengan bari ske-2 (b2)

 1  1 0  1   Perkalian (-2) dengan b1 A 0 2 1 7  lalu tambahkan pada b3  2 1 1 3     1  1 0  1    2b1  b3   0 2 1 7   0 1 1 5    (b)

4. Matriks Invers Misalkan, A, B adalah matriks bujur sangkar yang berukuran sama dan I adalah matriks identitas. Jika A . B = I maka B dinamakan invers dari matriks A (sebaliknya, A merupakan invers dari matriks B). Notasi bahwa B merupakan matriks invers dari A adalah B = A-1, dan sebaliknya A = B-1. Cara dalam penentuan matriks invers dari suatu matriks dapat dilakukan melalui OBE, yaitu : ( A ¦ I ) ~ ( I ¦ A-1 ) Matriks A pada ruas kiri dikenakan operasi baris elementer secara bersamaan dengan matriks identitas pada ruas kanan sehingga matriks A menjadi matriks identitas, sementara itu matriks identitas menjadi suatu matriks invers dari A. Jika pada proses operasi baris elementer ditemukan baris nol pada matriks ruas kiri maka A dikatakan tidak mempunyai invers. Matriks yang tidak mempunyai invers dinamakan matriks singular. Beberapa sifat matriks invers yang perlu diketahui adalah : i. (A-1)-1 = A ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers maka (A . B)-1 = B-1 . A-1 1 1 .a iii. Misal k  R , k ≠ 0 maka (kA)-1 = K iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n Berikut ini adalah contoh menetukan invers dari suatu matriks bujur sangkar. Contoh 12 : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari matriks

2  1 3   A 1 1 0 1  2 1    Jawab : 2 1 1 1 0 2 1 1 1 0  3  3     1 0 0 1 0   1 1 0 0 1 0  1   2  2 1 0 0 1   2  2 1 0 0 1    

0 0 1 0 1 1    0 1 1 1  3 0 0 0 1 0 2 1   1 1 0 0 1 0    0 1 1 1 3 0 0 0 1 0 2 1   1 1 0 0 1 0      0 1 0  1 1  1 0 0 1 0 2 1    1 0 0 1 0 1      0 1 0  1 1  1 0 0 1 0 2 1   

1 0 1   A    1 1  1 0 2 1   Jadi Untuk memeriksa apakah A-1 sudah benar atau belum, maka dapat dilakukan dengan mengalikan A . A-1 = I. Perhatikan bahwa :  2 1 0 1 0 1     1 A   1 2 1 danA    1 1  1  0 1 2 0 2 1     maka  2 1 0  1 0 1     1 A. A   1 2 1 .  1 1  1  0 1 2  0 2 1      2 1 0    1 2 1  0 1 2   1

 13 x 3 (terbukti)