SULIT 3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 Tahun 2006
JABATAN PELAJARAN PERAK
LEARNING TO SCORE
MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Set 1 SKEMA JAWAPAN
Skema jawapan ini mengandungi 16 halaman bercetak.
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 3x + 2y = 5 ……………………………. (1) 2x 2 + xy = – 3 ……………………………. (2)
1.
Dari (1) :
y =
5 3x ………………... …… (3) 2
[1]
Gantikan (3) ke dalam (2) :
5 3x = –3 2
2x 2 + x
2:
2.
4x 2 + 5x – 3x 2 x 2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) x
= –6 = 0 = 0 = – 2, – 3
Apabila x = – 2 , y =
5 3( 2 ) 11 2 2
Apabila x = – 3 , y =
5 3( 3 ) 7 2
(a)
[1]
[1] [1]
[1]
Persamaan lengkung : y = 3x 2 + 5x + c
dy = 6x + 5 dx
[1]
Diberi persamaan tangen pada titik P ialah y + 7x + 5 = y = kecerunan tangen = 6x + 5 = x = dan y =
0 – 7x – 5 –7 –7 –2 – 7(– 2) – 5 = 9
Maka, koordinat titik P = ( – 2 , 9 ) (b)
[1] [1]
[1]
Titik sentuhan P( – 2 , 9 ) terletak pada lengkung y = 3x 2 + 5x + c
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
9 = 3(– 2 ) 2 + 5(– 2) + c c = 7
Halaman
[1] [1]
2
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
3.
(a)
Ukuran tapak segitiga : 0.4 cm , 0.8 cm , 1.6 cm , ……….. membentuk satu janjang geometri dengan a = 0.4 dan r = 2 Ukuran tapak segitiga ke – 8 = T 8 = ar 7 = 0.4 (2) 7 = 51.2 cm Tinggi segitiga = 3 cm Maka, luas segitiga ke-8
(b)
=
[1]
[1]
1 51.2 3 = 76.8 cm 2 2
[1]
Panjang AB = 16.38 m = 1638 cm dan bilangan segitiga yang dilukis = n jumlah panjang tapak semua segitiga 1638 cm S n 1638
a ( r n 1) 1638 r 1
0.4 ( 2 n 1) 1638 2 1 2 n – 1 1638 0.4 = 4095
[1]
2n 4096 = 2 12 n 12 Maka, nilai n yang maksimum = 12.
4.
[1] [1]
(a) Skor x 1 2 3 4 5
2 =
291 30
Kekerapan f 4 6 12 5 3 f = 30
fx 4 12 36 20 15 fx = 87 [1]
fx 2 4 24 108 80 75 fx 2 = 291 [1]
8730 2
[1] [1]
= 9.7 – 2.9 = 1.29 2
(b)
(i)
(ii)
min lama =
87 = 2.9 30
Selepas setiap skor didarab dengan 2 dan kemudian ditolak c, min baru = 2.8 2(2.9) – c = 2.8 c = 3
[1] [1]
sisihan piawai baru = 2 ( 1.29 ) = 2.272
[1]
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
Halaman
3
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 5.
(a)
Diberi tan A =
–4
–3
5
4 kos A = 5
5
3
4 [1]
kos 2A = 2 kos 2 A – 1 = 2 45 2 1 =
(b)
3 4
[1]
7 25
[1]
(i)
y
y = sin 2x
1
O
y =
1 2
3 2
x 1 2 2
x
-1
Lengkung [2] Garis lurus [1] (ii)
Persamaan yang diberi : sin x kos x
2:
x 1 4 2
2 sin x kos x
x 1 2 x 1 sin 2 x 2
garis lurus yang perlu dilukis mempunyai persamaan x 1 y 2 x y
0 –1
[1]
2 0
Dari graf, bilangan penyelesaian = 4. Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
[1] Halaman
4
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
6. R 15 x + 12 y S 24 y
T P
(a)
(i)
(ii)
60 o 6x
Q
PR = PQ + QR = 6x + 24 y
[1]
= –6x +
[1]
QT = QP + PT 1 = QP + QR 4 1 ( 6x + 24y) 4
= –
(b)
9 x + 6y 2 PS = PR + RS
[1]
= ( 6 x 24 y ) ( 15 x 12 y )
[1]
= – 9 x 12 y = 2(–
x 6y)
9 2
= 2 QT
[1]
Maka, PS selari dengan QT.
(c)
[1]
SPT = 90 O dan PS selari dengan QT PTQ = 90 O
PT 1 kos 60 o = PQ 2 PT =
Maka,
1 ( 6 7) = 21 2
[1]
PR = 4 PT
= 4 (21) = 84 cm Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
[1] Halaman
5
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
7.
(a) x2 y
1 12.0
4 16.0
9 24.2
16 34.3
20.25 40.5
30.25 55.6
[1]
Rujuk Graf Lampiran A Paksi betul dan skala seragam 6 titik yang ditanda dengan betul Garis lurus penyuaian terbaik (b)
(i)
[1] [1] [1]
y = p( x + 1 )( x – 1 ) + q = p(x2 –1) + q = px2–p+q
[1]
p = kecerunan graf =
40.5 12 20.25 1
[1]
= 1.48 (ii)
[1]
– p + q = pintasan - y –1.48 + q = 10.5 q = 11.98
(iii)
8.
(a)
Apabila x = 5,
Persamaan lengkung :
[1] [1] x 2 = 25 y = 47.5
[1]
y = x3 + 4
dy 3x dx
2
[1]
Kecerunan tangen pada titik T( 2 , 12 ) = 3 ( 2 2 ) = 12
12 0 12 2 k
[1]
2–k = 1
k = 1
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
[1]
Halaman
6
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
(b)
y
y = x3+4
P
y = 12 12
T(2 , 12)
4 R
12 S 2 Q(k , 0 )
O
Luas di bawah lengkung RT =
=
x
2 0
2 0
y dx x 3 4 dx
x4 = 4 x 4
[1] 2
[1] 0
= 4 + 8 – (0) = 12 Luas QST = 12 1 12 6 Maka, luas rantau berlorek = 12 – 6 = 6 unit 2
(c)
Isipadu janaan =
4
=
= =
x
12
=
=
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
4
dy 1
[ ( y 4 ) 3 ] 2 dy ( y 4)
12 4
2 3
[ 8
96 5
5 3
[1]
dy
5 3 3 ( y 4 ) 5
3 5
12
2
[1] [1]
12
[1] 4
0]
unit 3
[1] Halaman
7
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
9.
(a)
(i)
Katakan koordinat R = (h , k)
h 9 0 4
k 0 4 4
dan
[1]
h = 9 k = 16 Maka, koordinat R = (9 , 16) (ii)
[1]
Diberi persamaan PS ialah 2y = x + 3 y =
1 2
m PS =
1 2
iaitu
x +
3 2
Dari rajah, RS PS.
m RS m PS = – 1 m RS = – 2
[1]
Garis lurus RS melalui titik R(9 , 16) Maka, persamaan RS ialah y – 16 = – 2 (x – 9 ) y = – 2x + 34
(iii)
[1]
y = – 2x + 34 …………….. (1)
Persamaan RS: Persamaan PS:
……………… (2)
2y = x + 3
Gantikan (1) ke dalam (2) : 2(– 2x + 34) = x + 3
[1]
– 4x + 68 = x + 3 65 = 5x x = 13 y = – 2(13) + 34 = 8
dan
koordinat S = (13,8)
Maka, luas PRS =
(b)
1 3 2 0
9 16
1 2
3 0
=
1 48 72 0 ( 0 208 24 ) 2
=
80 unit
2
Pusat bulatan = titik tengah PR = ( Jejari bulatan =
13 8
PR =
1 2
[1] [1]
3 9 0 16 ) = (3 , 8) , 2 2
[1]
( 3 9 ) 2 ( 0 16 ) 2 = 10
[1]
Maka, persamaan lokus T ialah (x – 3) 2 + (y – 8 ) 2 = 10 2
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
Halaman
8
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
x 2 + y 2 – 6x – 16y – 27 = 0
[1]
P
10.
5 cm è A1 cm B
1 cm C 3 cm O
5 cm
D
Q (a)
Katakan O ialah pusat semibulatan APD. Diberi AD = 10 cm.
10 = 5 cm
jejari semibulatan APD =
OP = 5 cm , CO = 5 – 1 – 1 = 3 cm
[1]
dan kos POC =
[1]
1 2
3 5
POC = 0.9273 radian
[1]
PO = OD POD kaki sama
POC OPD ODP 0.9273 = = 2
0.9273 2
= 0.4637 radian.
(b)
[1]
Panjang lengkok AP = 5 0.9273
[1]
= 4.637 cm (c)
[1]
Dengan teorem Pithagoras, PC = 5 – 3 2
PC
PC sin PD
2
=
2
= 16
16 = 4 cm
[1]
4 = sin 0.4637 PD
[1]
PD = 8.943 cm dan PDQ = 2 = 0.9273 Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
Halaman
9
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 Maka, luas kawasan berlorek =
1 2
(8.493) 2 ( 0.9273 – sin 0.9273 )
= 4.591 cm 2
11.
(a)
(i)
[1] [1]
P(seorang guru mempunyai komputer riba) =
32 = 0.8 40
Maka, P(tepat 3 daripada 6 orang guru itu mempunyai komputer riba)
(ii)
(b)
(i)
=
6
C 3 (0.8) 3 (0.2) 3
=
0.0819 (3 angka bererti)
[1]
P(lebih daripada 2 orang guru mempunyai komputer riba) =
P( X = 3, 4, 5, 6)
=
1 – P (X = 0, 1, 2)
=
1 – [ 0.2 6 +
=
0.983 (3 angka bererti)
6
C 1 (0.8) 1(0.2) 5 +
6
C 2 (0.8) 2 (0.2) 4 ]
[1] [1]
Diberi skor piawai bagi tinggi 156 cm = 1.5
156 150 1. 5
Maka,
6
= 1.5
= (ii)
[1]
6 = 4 1.5
[1]
P( 148 < X < 158 ) = P(
148 150 158 150 < Z < ) 4 4
[1]
= P ( – 0.5 < Z < 2 )
(iii)
= 1 – ( 0.3085 + 0.0228)
[1]
= 0.669 (3 angka bererti)
[1]
Diberi P( X < h ) = 70%
P( Z
<
h 150 ) = 0.7 4
P( Z
>
h 150 ) = 1 – 0.7 = 0.3 4
Dari sifir, P(Z > 0.524) = 0.3 Maka,
h 150 0.524 4
[1]
h = 4(0.524) + 150 Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
Halaman 10
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 h = 152 (3 angka bererti)
12.
(a)
(i)
Dengan menggunakan petua kosinus ke atas CDE : EC 2 = 6.5 EC
(ii)
[1]
=
2
+ 3.5 2 – 2 (6.5)(3.5) kos 70 o
[1]
38 .94 = 6.24 cm
[1]
Dengan menggunakan petua sinus ke atas CDE :
sin DEC sin 70 o 3. 5 6.24
sin DEC
[1]
= 0.5271
DEC = 31.81 O
Diberi ED selari dengan BC
BCE = DEC = 31.81 O
Dari EBC , EBC = 180
o
– 75
[1] o
– 31. 81
o
= 73.19
Dengan menggunakan petua sinus ke atas EBC :
o
[1]
EB 6.24 o sin 31.81 sin 73.19 o EB
(b)
= 3.436 cm
Dengan menggunakan petua kosinus ke atas ABE : kos AEB =
4 2 3.436 2 7 2 2 ( 4 ) ( 3.436 )
[1]
[1]
= – 0.7710
AEB = 140.44 o (c)
[1]
Luas ABE =
1 ( 4 ) ( 3.436 ) sin 140.44 o 2
= 4.377 cm 2
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
[1] [1]
Halaman 11
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
13.
(a)
(i)
Diberi harga kasut sukan jenama P pada tahun 1991 = RM50 dan indeks harganya pada tahun 1994 berasaskan tahun 1991 = 112 Maka, harganya pada tahun 1994 = 112 % RM50 = RM56
(ii)
[1]
Untuk kasut sukan jenama Q, Indeks harga pada tahun 1994 berasaskan tahun 1991 = 108
H ' 94 H ' 91
108 1.08 ……………………………….. (1) 100
dan indeks harga pada tahun 1997 berasaskan tahun 1994 = 125
H
' 97
H
' 94
125 1.25 ………………………………. (2) 100 H ' 97
(1) (2) memberi Diberi H
' 97
H ' 91
= RM60.75
1.08 1.25 = 1.35
H ' 91 =
[1]
60.75 = 45 1.35
Maka, harga kasut sukan jenama Q pada tahun 1991 = RM45 (b)
(i)
[1]
Diberi harga kasut sukan jenama R bertambah 18 % daripada tahun 1994 kepada tahun 1997. Maka, x = indeks harga pada tahun 1997 berasaskan tahun1994 = 100 + 18 = 118
(ii)
[1]
Indeks harga kasut sukan jenama S pada tahun 1997 berasaskan tahun 1991 =
=
=
H ' 97 H ' 91 H ' 97 H ' 94
100
H ' 94
100
H ' 91
110 y 100 = 100 100
1.1 y
[1]
Diberi indeks ini = 165 1.1y = 165 Maka, (c)
[1]
y = 150
Sudut sektor S = 360 – (30 o
o
+ 110
o
[1] o
+ 90 ) = 130
o
[1]
Maka, indeks gubahan pada tahun 1997 berasaskan tahun 1994
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
Halaman 12
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
14.
(a)
(b)
(c)
15.
(a)
=
130(30) 125(110) 118(90) 110(130 ) 360
[1]
=
118.25
[1]
Tiga ketaksamaan itu ialah x + y
75 , x
2y dan 9x + 2y 200
[3]
Rujuk lampiran B : Semua garis lurus dilukis dengan betul Lorekan betul
(i)
16
bilangan cenderamata jenis A yang dijual 45
(ii)
Keuntungan maksimum
[2] [1] [2]
= RM [ 9(50) + 2(25) ]
[1]
= RM500.
[1]
Halaju
v = 3t 2 – 18 t + 24
Pecutan a = 6t – 18
[1]
Maka, apabila pecutan = 12 ms – 2 , 6t – 18 = 12 6t = 30 t = 5 v = 3( 5 ) – 18 (5) + 24 = 9 ms
dan
(b)
[1] 2
–1
[1]
Pada ketika P berhenti seketika, v = 0 3 t 2 – 18t + 24 = 0
3:
t 2 – 6t + 8
= 0
( t – 2 )( t – 4 ) = 0 t
= 2,4
Maka, P berhenti seketika buat kali pertama pada t = 2 v = 3t Sesaran s = =
2
[1]
– 18t + 24 3t
2
– 18t + 24 dt
t 3 – 9 t 2 + 24t + c
Apabila t = 0 , s = – 5 c = – 5
[1]
[1]
s = t 3 – 9 t 2 + 24 t – 5
Apabila t = 2, s = 2 Maka, OB = 15 m Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
3
– 9 (2 2 ) + 24 (2 ) – 5 = 15 [1] Halaman 13
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1
(c)
Apabila t = 5 , s = 5 3 – 9 ( 5 2 ) + 24( 5 ) – 5 = 15
Apabila t = 4 , s = 4 3 – 9 ( 4 2 ) + 24( 4 ) – 5 = 11
[1]
P A
5m
O
t=0
11 m
4m t=4
B t=2,5
Dari rajah, jumlah jarak yang dilalui dalam tempoh 5 saat yang pertama = 5 + 11 + 4(3)
[1]
= 28 m
[1]
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
Halaman 14
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 Jawapan 7 (a)
Lampiran A
y x
50 47.5
x
40
( 20.25 , 40.5 )
x
30
x
20 x
10.5 10
x ( 1 , 12 )
0
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
10
20
25
x2
30
Halaman 15
Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 Jawapan 14 (b)
Lampiran B
y
100
90 9x + 2y = 200 80
70
60
50 x = 2y 40
30
R y = 30 ( 50 , 25 )
20 x + y = 75 10
O
x 10
16 20
Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak
30
40
45
50
60
70
Halaman 16
80