Spm > Matematik Tambahan > Kertas2 Set1 Jawapan

SULIT 3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 Tahun 2006

JABATAN PELAJARAN PERAK

LEARNING TO SCORE

MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Set 1 SKEMA JAWAPAN

Skema jawapan ini mengandungi 16 halaman bercetak.

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 3x + 2y = 5 ……………………………. (1) 2x 2 + xy = – 3 ……………………………. (2)

1.

Dari (1) :

y =

5  3x ………………... …… (3) 2

[1]

Gantikan (3) ke dalam (2) :

 5  3x   = –3  2 

2x 2 + x 

2:

2.

4x 2 + 5x – 3x 2 x 2 + 5x + 6 (x + 2)(x + 3) x

= –6 = 0 = 0 = – 2, – 3

Apabila x = – 2 , y =

5  3(  2 ) 11  2 2

Apabila x = – 3 , y =

5  3(  3 )  7 2

(a)

[1]

[1] [1]

[1]

Persamaan lengkung : y = 3x 2 + 5x + c

dy = 6x + 5 dx

[1]

Diberi persamaan tangen pada titik P ialah y + 7x + 5 = y =  kecerunan tangen = 6x + 5 =  x = dan y =

0 – 7x – 5 –7 –7 –2 – 7(– 2) – 5 = 9

Maka, koordinat titik P = ( – 2 , 9 ) (b)

[1] [1]

[1]

Titik sentuhan P( – 2 , 9 ) terletak pada lengkung y = 3x 2 + 5x + c



Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

9 = 3(– 2 ) 2 + 5(– 2) + c c = 7

Halaman

[1] [1]

2

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

3.

(a)

Ukuran tapak segitiga : 0.4 cm , 0.8 cm , 1.6 cm , ……….. membentuk satu janjang geometri dengan a = 0.4 dan r = 2 Ukuran tapak segitiga ke – 8 = T 8 = ar 7 = 0.4 (2) 7 = 51.2 cm Tinggi segitiga = 3 cm Maka, luas segitiga ke-8

(b)

=

[1]

[1]

1  51.2  3 = 76.8 cm 2 2

[1]

Panjang AB = 16.38 m = 1638 cm dan bilangan segitiga yang dilukis = n  jumlah panjang tapak semua segitiga  1638 cm  S n  1638

a ( r n  1)  1638 r 1

0.4 ( 2 n  1)  1638 2  1 2 n – 1  1638  0.4 = 4095

[1]

2n  4096 = 2 12  n  12 Maka, nilai n yang maksimum = 12.

4.

[1] [1]

(a) Skor x 1 2 3 4 5

2 =

291 30

Kekerapan f 4 6 12 5 3  f = 30



fx 4 12 36 20 15  fx = 87 [1]

fx 2 4 24 108 80 75  fx 2 = 291 [1]

8730  2

[1] [1]

= 9.7 – 2.9 = 1.29 2

(b)

(i)

(ii)

min lama =

87 = 2.9 30

Selepas setiap skor didarab dengan 2 dan kemudian ditolak c, min baru = 2.8  2(2.9) – c = 2.8 c = 3

[1] [1]

sisihan piawai baru = 2 ( 1.29 ) = 2.272

[1]

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

Halaman

3

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 5.

(a)

Diberi tan A =

 

–4

–3

5

4 kos A =  5

5

3

4 [1]

kos 2A = 2 kos 2 A – 1 = 2  45  2  1 =

(b)

3 4

[1]

7 25

[1]

(i)

y

y = sin 2x

1

O

y =

1 2

 





3 2

 

x  1 2  2

x

-1

Lengkung [2] Garis lurus [1] (ii)

Persamaan yang diberi : sin x kos x 

2:

x 1  4 2

2 sin x kos x 

x  1 2 x  1 sin 2 x  2

 garis lurus yang perlu dilukis mempunyai persamaan x  1 y  2 x y

0 –1

[1]

2  0

Dari graf, bilangan penyelesaian = 4. Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

[1] Halaman

4

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

6. R 15 x + 12 y S 24 y

T P

(a)

(i)

(ii)

60 o 6x

Q

   PR = PQ + QR = 6x + 24 y

[1]

= –6x +

[1]

   QT = QP + PT  1  = QP + QR 4 1 ( 6x + 24y) 4

= –

(b)

9 x + 6y 2    PS = PR + RS

[1]

= ( 6 x  24 y )  (  15 x  12 y )

[1]

= – 9 x  12 y = 2(–

x  6y)

9 2



= 2 QT

[1]

Maka, PS selari dengan QT.

(c)

[1]

 SPT = 90 O dan PS selari dengan QT   PTQ = 90 O 

PT 1  kos 60 o = PQ 2 PT =

Maka,

1  ( 6  7) = 21 2

[1]

 PR = 4 PT

= 4 (21) = 84 cm Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

[1] Halaman

5

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

7.

(a) x2 y

1 12.0

4 16.0

9 24.2

16 34.3

20.25 40.5

30.25 55.6

[1]

Rujuk Graf Lampiran A Paksi betul dan skala seragam 6 titik yang ditanda dengan betul Garis lurus penyuaian terbaik (b)

(i)

[1] [1] [1]

y = p( x + 1 )( x – 1 ) + q = p(x2 –1) + q = px2–p+q

[1]

p = kecerunan graf =

40.5  12 20.25  1

[1]

= 1.48 (ii)

[1]

– p + q = pintasan - y –1.48 + q = 10.5 q = 11.98

(iii)

8.

(a)

Apabila x = 5,

Persamaan lengkung :

[1] [1] x 2 = 25 y = 47.5

[1]

y = x3 + 4

dy  3x dx

2

[1]

 Kecerunan tangen pada titik T( 2 , 12 ) = 3 ( 2 2 ) = 12



12  0  12 2  k

[1]

2–k = 1

k = 1

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

[1]

Halaman

6

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

(b)

y

y = x3+4

P

y = 12 12

T(2 , 12)

4 R

12 S 2 Q(k , 0 )

O

Luas di bawah lengkung RT =

=

 

x

2 0

2 0

y dx x 3  4 dx

 x4  =   4 x  4 

[1] 2

[1] 0

= 4 + 8 – (0) = 12 Luas  QST = 12  1  12  6 Maka, luas rantau berlorek = 12 – 6 = 6 unit 2

(c)

Isipadu janaan =

4



= 



= =

x

12

= 

=

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak



4

dy 1

[ ( y  4 ) 3 ] 2 dy ( y  4)

12 4

2 3

[ 8

96 5

5 3

[1]

dy

5 3  3 ( y  4 ) 5   



3 5

12

2

[1] [1]

12

[1] 4

 0]

 unit 3

[1] Halaman

7

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

9.

(a)

(i)

Katakan koordinat R = (h , k)



h  9  0 4

k  0  4 4

dan

[1]

h = 9 k = 16 Maka, koordinat R = (9 , 16) (ii)

[1]

Diberi persamaan PS ialah 2y = x + 3 y =

1 2

m PS =

1 2

iaitu



x +

3 2

Dari rajah, RS  PS.





m RS  m PS = – 1 m RS = – 2

[1]

Garis lurus RS melalui titik R(9 , 16) Maka, persamaan RS ialah y – 16 = – 2 (x – 9 ) y = – 2x + 34

(iii)

[1]

y = – 2x + 34 …………….. (1)

Persamaan RS: Persamaan PS:

……………… (2)

2y = x + 3

Gantikan (1) ke dalam (2) : 2(– 2x + 34) = x + 3

[1]

– 4x + 68 = x + 3 65 = 5x x = 13 y = – 2(13) + 34 = 8

dan



koordinat S = (13,8)

Maka, luas  PRS =

(b)

1 3 2 0

9 16

1 2

3 0

=

1  48  72  0  ( 0  208  24 ) 2

=

80 unit

2

Pusat bulatan = titik tengah PR = ( Jejari bulatan =

13 8

PR =

1 2

[1] [1]

 3  9 0  16 ) = (3 , 8) , 2 2

[1]

(  3  9 ) 2  ( 0  16 ) 2 = 10

[1]

Maka, persamaan lokus T ialah (x – 3) 2 + (y – 8 ) 2 = 10 2

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

Halaman

8

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

x 2 + y 2 – 6x – 16y – 27 = 0

[1]

P

10.

5 cm è A1 cm B

1 cm C 3 cm O

5 cm

D

Q (a)

Katakan O ialah pusat semibulatan APD. Diberi AD = 10 cm.

 10 = 5 cm



jejari semibulatan APD =



OP = 5 cm , CO = 5 – 1 – 1 = 3 cm

[1]

dan kos  POC =

[1]

1 2

3 5

 POC = 0.9273 radian

[1]

PO = OD   POD kaki sama

  POC   OPD   ODP 0.9273 =    = 2 

  0.9273  2

= 0.4637 radian.

(b)

[1]

Panjang lengkok AP = 5  0.9273

[1]

= 4.637 cm (c)

[1]

Dengan teorem Pithagoras, PC = 5 – 3 2

PC



PC  sin  PD



2

=

2

= 16

16 = 4 cm

[1]

4 = sin 0.4637 PD

[1]

PD = 8.943 cm dan  PDQ = 2  = 0.9273 Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

Halaman

9

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 Maka, luas kawasan berlorek =

1 2

(8.493) 2 ( 0.9273 – sin 0.9273 )

= 4.591 cm 2

11.

(a)

(i)

[1] [1]

P(seorang guru mempunyai komputer riba) =

32 = 0.8 40

Maka, P(tepat 3 daripada 6 orang guru itu mempunyai komputer riba)

(ii)

(b)

(i)

=

6

C 3 (0.8) 3 (0.2) 3

=

0.0819 (3 angka bererti)

[1]

P(lebih daripada 2 orang guru mempunyai komputer riba) =

P( X = 3, 4, 5, 6)

=

1 – P (X = 0, 1, 2)

=

1 – [ 0.2 6 +

=

0.983 (3 angka bererti)

6

C 1 (0.8) 1(0.2) 5 +

6

C 2 (0.8) 2 (0.2) 4 ]

[1] [1]

Diberi skor piawai bagi tinggi 156 cm = 1.5

156  150  1. 5 

Maka,

6

= 1.5 

 = (ii)

[1]

6 = 4 1.5

[1]

P( 148 < X < 158 ) = P(

148  150 158  150 < Z < ) 4 4

[1]

= P ( – 0.5 < Z < 2 )

(iii)

= 1 – ( 0.3085 + 0.0228)

[1]

= 0.669 (3 angka bererti)

[1]

Diberi P( X < h ) = 70%



P( Z

<

h  150 ) = 0.7 4

P( Z

>

h  150 ) = 1 – 0.7 = 0.3 4

Dari sifir, P(Z > 0.524) = 0.3 Maka,

h  150  0.524 4

[1]

h = 4(0.524) + 150 Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

Halaman 10

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 h = 152 (3 angka bererti)

12.

(a)

(i)

Dengan menggunakan petua kosinus ke atas  CDE : EC 2 = 6.5 EC

(ii)

[1]

=

2

+ 3.5 2 – 2 (6.5)(3.5) kos 70 o

[1]

38 .94 = 6.24 cm

[1]

Dengan menggunakan petua sinus ke atas  CDE :

sin  DEC sin 70 o  3. 5 6.24

sin  DEC

[1]

= 0.5271

 DEC = 31.81 O

Diberi ED selari dengan BC



 BCE =  DEC = 31.81 O

Dari  EBC ,  EBC = 180

o

– 75

[1] o

– 31. 81

o

= 73.19

Dengan menggunakan petua sinus ke atas  EBC :

o

[1]

EB 6.24  o sin 31.81 sin 73.19 o EB

(b)

= 3.436 cm

Dengan menggunakan petua kosinus ke atas  ABE : kos  AEB =

4 2  3.436 2  7 2 2 ( 4 ) ( 3.436 )

[1]

[1]

= – 0.7710

 AEB = 140.44 o (c)

[1]

Luas  ABE =

1 ( 4 ) ( 3.436 ) sin 140.44 o 2

= 4.377 cm 2

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

[1] [1]

Halaman 11

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

13.

(a)

(i)

Diberi harga kasut sukan jenama P pada tahun 1991 = RM50 dan indeks harganya pada tahun 1994 berasaskan tahun 1991 = 112 Maka, harganya pada tahun 1994 = 112 %  RM50 = RM56

(ii)

[1]

Untuk kasut sukan jenama Q, Indeks harga pada tahun 1994 berasaskan tahun 1991 = 108



H ' 94 H ' 91



108  1.08 ……………………………….. (1) 100

dan indeks harga pada tahun 1997 berasaskan tahun 1994 = 125



H

' 97

H

' 94



125  1.25 ………………………………. (2) 100 H ' 97

 (1)  (2) memberi Diberi H

' 97

H ' 91

= RM60.75

 1.08  1.25 = 1.35



H ' 91 =

[1]

60.75 = 45 1.35

Maka, harga kasut sukan jenama Q pada tahun 1991 = RM45 (b)

(i)

[1]

Diberi harga kasut sukan jenama R bertambah 18 % daripada tahun 1994 kepada tahun 1997. Maka, x = indeks harga pada tahun 1997 berasaskan tahun1994 = 100 + 18 = 118

(ii)

[1]

Indeks harga kasut sukan jenama S pada tahun 1997 berasaskan tahun 1991 =

=

=

H ' 97 H ' 91 H ' 97 H ' 94

 100 

H ' 94

 100

H ' 91

110 y   100 = 100 100

1.1 y

[1]

Diberi indeks ini = 165  1.1y = 165 Maka, (c)

[1]

y = 150

Sudut sektor S = 360 – (30 o

o

+ 110

o

[1] o

+ 90 ) = 130

o

[1]

Maka, indeks gubahan pada tahun 1997 berasaskan tahun 1994

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

Halaman 12

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

14.

(a)

(b)

(c)

15.

(a)

=

130(30)  125(110)  118(90)  110(130 ) 360

[1]

=

118.25

[1]

Tiga ketaksamaan itu ialah x + y 

75 , x 

2y dan 9x + 2y  200

[3]

Rujuk lampiran B : Semua garis lurus dilukis dengan betul Lorekan betul

(i)

16 

bilangan cenderamata jenis A yang dijual  45

(ii)

Keuntungan maksimum

[2] [1] [2]

= RM [ 9(50) + 2(25) ]

[1]

= RM500.

[1]

Halaju

v = 3t 2 – 18 t + 24

Pecutan a = 6t – 18

[1]

Maka, apabila pecutan = 12 ms – 2 , 6t – 18 = 12 6t = 30 t = 5 v = 3( 5 ) – 18 (5) + 24 = 9 ms

dan

(b)

[1] 2

–1

[1]

Pada ketika P berhenti seketika, v = 0 3 t 2 – 18t + 24 = 0

 3:

t 2 – 6t + 8

= 0

( t – 2 )( t – 4 ) = 0 t

= 2,4

Maka, P berhenti seketika buat kali pertama pada t = 2 v = 3t Sesaran s = =



2

[1]

– 18t + 24 3t

2

– 18t + 24 dt

t 3 – 9 t 2 + 24t + c

Apabila t = 0 , s = – 5  c = – 5



[1]

[1]

s = t 3 – 9 t 2 + 24 t – 5

Apabila t = 2, s = 2 Maka, OB = 15 m Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

3

– 9 (2 2 ) + 24 (2 ) – 5 = 15 [1] Halaman 13

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1

(c)

Apabila t = 5 , s = 5 3 – 9 ( 5 2 ) + 24( 5 ) – 5 = 15

Apabila t = 4 , s = 4 3 – 9 ( 4 2 ) + 24( 4 ) – 5 = 11

[1]

P A

5m

O

t=0

11 m

4m t=4

B t=2,5

Dari rajah, jumlah jarak yang dilalui dalam tempoh 5 saat yang pertama = 5 + 11 + 4(3)

[1]

= 28 m

[1]

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

Halaman 14

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 Jawapan 7 (a)

Lampiran A

y x

50 47.5

x

40

( 20.25 , 40.5 )

x

30

x

20 x

10.5 10

x ( 1 , 12 )

0

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

10

20

25

x2

30

Halaman 15

Matematik Tambahan SPM Kertas 2 Set 1 Jawapan 14 (b)

Lampiran B

y

100

90 9x + 2y = 200 80

70

60

50 x = 2y 40

30

R y = 30 ( 50 , 25 )

20 x + y = 75 10

O

x 10

16 20

Learning To Score 2006 Unit Kurikulum Jabatan Pelajaran Perak

30

40

45

50

60

70

Halaman 16

80