主題 一：空間觀念
1
空間平面與直線 目錄 空間平面與直線 ................ 1 主題 主題 主題 主題 主題
一：空間觀念 ................... 3 二：空間座標 .................. 10 三：空間向量 .................. 19 四：空間平面與直線 ............ 29 五：平面與直線的關係 .......... 42
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2
空間平面與直線
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主題 一：空間觀念
3
主題 一：空間觀念 空間觀念 1.
空間中，相異兩點可決定_________________
2.
空間中決定平面的四種狀態： ¾
____________________，____________________，____________________， ____________________
3.
空間兩平面的關係有三種： ¾
4.
____________________，____________________，____________________
空間兩直線的關係有四種： ¾
____________________，____________________，____________________， ____________________
5.
空間直線與平面的關係有三種： ¾
____________________，____________________，____________________
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4
空間平面與直線
範例1：空間觀念 1.
下列各敘述何者正確?(A)過直線L外一點P，恰有一直線平行於已知直線L (B)過平面E 外一點P，恰有一直線平行於已知平面E (C)過空間中任意一點P，恰有一直線垂直已 知直線L (D)過空間中任意一點P，恰有一平面垂直已知直線L (E)過空間中任意一點 P，恰有一平面垂直已知平面E。
2.
下列有關空間的直線與平面的關係，哪些命題是正確的？(A)若兩直線L1，L2分別與直 線L平行，則L1 // L2 (B)若兩直線L1，L2分別與平面E平行，則L1 // L2
(C)若兩直線
L1，L2同時垂直平面E，則L1 // L2 (D)設直線L在平面E1上，若L垂直平面E2，則E1 ⊥ E2 (E)設兩直線L1，L2在E上，若直線L同時垂直L1，L2，則L ⊥ E。
【各校常考】
【答案】1. (A)(D) 2. (A)(C)(D)
隨堂練習： 1.
下列敘述何者正確？(A)垂直同一平面之兩相異直線必平行 平面必平行 平行
2.
(B)垂直同一直線之兩相異
(C)平行同一平面之兩相異平面必平行 (D)平行同一直線之兩相異直線必
(E)平行同一平面之兩相異直線必平行。
在空間中，下列敘述何者正確？(A)過直線外一點恰有一直線垂直於此直線 外一點恰有一直線平行於此直線
(C)過平面外一點恰有一直線垂直於此平面
(B)過直線 (D)過平
面外一點恰有一直線平行於此平面。 3.
下列敘述，何者正確？(A)相異三點，決定一平面。(B)空間中若兩直線不相交，則兩直 線平行。(C)給定一平面E及其上一點A，恰有一直線L通過A點且與平面E垂直。(D)若直 線L與平面E垂直，則空間中包含直線L的每個平面都與平面E垂直。(E)若兩相異平面相 交，則交集為一直線。
4.
下列敘述，何者正確？(A)在空間中一線段的垂直平分線只有一條。(B)在空間中給予任 意兩相異點可決定一直線。(C)給定一平面E及任意一點P，則恰有一平面過P點且與E垂 直。(D)直線L1 , L2分別在平面E1 , E2上，若E1 // E2，則L1 // L2。(E)兩歪斜線在一平面上 之正射影有可能為二平行線。
【答案】1. (A)(B)(C)(D) 2. (A)(B)(C) 3. (C)(D)(E) 4. (B)(E) 追求卓越
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主題 一：空間觀念
5
兩面夾角 兩個平面E、F的交線L上取一點P，分別在E、F上作兩射線PA、PB，則∠APB稱為E、F兩平 面的二面角。
E
L F P
B A
三垂線定理【各校常考】 ⎯ 如圖，設L1⊥L2交於B點，L3也在平面E上，若L2⊥L3交於C點，則 PC ⊥L3。(P為L1上任取的 ⎯ 一點)，若 PC ⊥L3，則L2⊥L3。
L1
P L2
B
L3
C
E
錐體概念： 1.
一四面體稜長a，則 ¾
高_______________
¾
體積_____________
¾
表面積___________
¾
內切球半徑_______
¾
外接球半徑_______
C
B A
¾
歪斜二稜間之距離______。
¾
體積_____________
C
C/
B/
C B
A/ A C A
2.
1 如果三角錐的底面積是s，高是h，體積=3sh。
C/
B/ B/
A/ B/
【說明】：由圖可知，三個錐體的體積都相等且三個
A
/
1 1 錐體組成一個三角柱。故三角錐的體積=3(三角柱的體積) =3×底面積×高。 追求卓越
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6
空間平面與直線
範例2：兩面角 設四面體ABCD中， AC = AD = BC = BD = 5， AB = 4， CD = 6，若平面ACD與平面BCD的夾 角為θ，則sinθ 之值為
。
【各校常考】
3 2
【解答】
隨堂練習 若一個正四面體相鄰兩面的夾角為θ ，求sinθ = 【解答】
。
2 2 3
範例3：四面體特性 若D - ABC為一正四面體，邊長為10， DH 垂直平面ABC於H，則下列何者正確？(A) H為 ____\
則cosθ = −
____\
(B) BD ⊥ AC
△ABC之內心
1 3
(C) DH =
10 3 3
(D)若平面ABC與平面ADC的夾角為θ，
(E) AD 與 BC 的距離為5 2 。
【解答】(A)(B)(E)
隨堂練習 長方體的一頂點O，以O為頂點的三邊為 OA ， OB ， OC ，若 AB = 3， AC = 2，∠BAC = 2
60°，則(1) OA = 平面ABC的距離 =
。
。
2
(3) OC =
。
。
【解答】(1) 3 (2) 6 (3) 1 (4) 追求卓越
2
(2) OB =
6 3 鋒凡數學家教班
(4) O到
主題 一：空間觀念
7
範例4：兩面角 如圖，四面體ABCD，已知 BC ⊥ BD ， AD ⊥平面BCD，且 BC = 7， AB = 24， AD = 15， 。(2)若平面ABD和平面ACD所夾二面角的度量為θ，則sinθ 的值
(1) AC 的長度為 為
。
【解答】(1) 25 (2)
7 20
範例5：三垂線 如圖，若A點在平面E外，直線L在平面E上，D點在直線L上，且 AB ⊥平面E， CB ⊥直線L，
B，C為垂足，若 AB = 8， BC = 6， CD = 2 11 ， AD =
。 【各校常考】
【解答】12
隨堂練習 設點A，B，C在平面E上， AB ⊥ BC ， PA 垂直平面E於點A，若 PA = 3， AB = 4， BC =12， 則 PC =
。
【解答】13 追求卓越
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8
空間平面與直線
練功升級區一 1. 如圖是一個正四角錐，它的底面是一個邊長為2的正方形，此正四 角錐的高為1，則兩相鄰側面的夾角之度數為
。
2. 設空間中有一點O，在E平面的投影為A，A在平面E上的一直線L 的投影為B，而L上另有一點C，若 BC = 12， OC = 13， AB = 4， 則 OA =
。
¯¯¯¯¯的中點，試問下列哪些敘述是正確的 3. 右圖中A-BCD為一正四面體，M是CD
(A) 直線CD與平面AMB垂直(B) 向量 AB 與向量 CD 垂直(C) ∠AMB＞ ∠ADB(D) 平面ACD與平面BCD的二面角（銳角）大於60°(E) ¯¯¯¯¯＝ BA BM ¯¯¯¯¯
4. 下列有關空間幾何的敘述，哪些是正確的？(A) 平面上，若兩相異直線不相 交，則它們必平行 (B) 空間中，若兩相異直線不相交，則它們必平行 (C) 空間中，過平面外一點，恰有一直線與此平面垂直 (D) 空間中，會有兩個相異平面只 交一個點 (E) 空間中，通過直線外一點，恰有一直線與此直線垂直
5. 附圖為一正立方體，A、B、C分別為所在的邊之中點，通過A、B、C三點的平 面與此正立方體表面相截，問下列何者為其截痕形狀？(A)直角三角形 非直角的三角形
(B)
(C)正方形 (D)非正方形的長方形 (E)六邊形。
6. 在空間中有一八面體，試問其稜可決定多少平面？(A) 9
(B) 11
(C) 13
(D) 15 (E) 33 7. 正四面體ABCD中，M、N分別為 AB 、 CD 的中點， AB = 2 ，則 (A) MN ⊥ AB
(B)平面ABN是 CD 的垂直平分面 (C) AB ． AC = 1
(D) AC ． BD = 0 (E) BC ． CD = 1。 8. 正八面體相鄰兩面夾角為θ，則sinθ＝______。 9. 附圖為正四角錐，底面為正方形ABCD，邊長為2，AC ¯¯¯¯¯與BD ¯¯¯¯¯相 交E，高OE ¯¯¯¯¯之長為 2 ，
(1) 若底面與側面的夾角為α，則sinα＝______。 (2) 若相鄰二側面的夾角為β，則cosβ＝______。 追求卓越
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主題 一：空間觀念
9
10. 有一長方體，其上四個頂點如圖，已知¯¯¯¯¯＝ AB 6，AC ¯¯¯¯¯＝4， ∠BAC＝60°，求四面體O-ABC的體積。
11. 附圖是一個高為3的正四角錐（即底面為正方形，四個側面 均為等腰三角形的錐體），它的底面是一個邊長為4的正方形。
(1) 求側稜OA的長度。 (2) 設側面ABO與底面ABCD的二面角為θ，求cosθ的值。 (3) 求此四角錐的表面積。 (4) 設兩相鄰側面的二面角為α，求cosα的值。 12. 設一球之半徑為a，則其內接正八面體之 (1) 每邊長為______。(2) 體積為______。
【解答】
1.
120°
2.
3
3.
ABCD
4.
ACE
5.
D
6.
B
7.
ABCD
8.
2 2 3
9.
6 1 (1) 3 ；(2)－ 3
10. 4 2 11. (1)
17 ； (2)
2 13 4 ； (3) （ 8 13 + 16 ）平方單位； (4) － 13 13
4 12. (1) 2 a；(2) a 3 3
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10
空間平面與直線
主題 二：空間座標 z
空間座標 1.
H
E
在空間中任取一點O，過O作互相垂直的三直線 x 軸、 y
F
軸、 z 軸，稱O為原點，則 (O ; X , Y , Z ) 構成空間直角坐標
G C
O
y
A B
系。
2.
x
xy 平面、 yz 平面、 zx 平面把空間割成8部分，每一部分 稱為一卦限，其中 x > 0 、 y > 0 、 z > 0 之卦限稱為第一卦限。
3.
空間上一點 P( x1 , y1 , z1 ) 則： ¾
在 x 軸上坐標【對x軸垂足】＝________________
¾
在 y 軸上坐標【對y軸垂足】＝_________________
¾
在 z 軸上坐標【對z軸垂足】＝_________________
¾
在 xy 平面上坐標【對 xy 平面垂足】＝____________
¾
在 yz 平面上坐標【對 yz 平面垂足】＝____________
¾
在 zx 平面上坐標【對 zx 平面垂足】＝____________
¾
對 x 軸上對稱點坐標＝____________
¾
對 y 軸上對稱點坐標＝____________
¾
對 z 軸上對稱點坐標＝____________
¾
到 xy 平面上距離＝____________
¾
到 yz 平面上距離＝____________
¾
到 zx 平面上距離＝____________
¾
到 x 軸上距離＝____________
¾
到 y 軸上距離＝____________
¾
到 z 軸上距離＝____________
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主題 二：空間座標
11
點距離 1. 距離公式： P(a1 , b1 , c1 ) 、 Q(a 2 , b2 , c 2 ) 則 PQ = (a1 − a 2 ) 2 + (b1 − b2 ) 2 + (c1 − c 2 ) 2
2. 分點公式，設 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z 2 ) 為空間中相異兩點 ¾
P點內分 AB ， AP : BP = m : n ，則P點坐標為______________________________
¾
P點外分 AB ， AP : BP = m : n ，則P點坐標為______________________________
¾
C為 AB 中點，則C點坐標為________________________
3. P(a, b, c)到x軸之距離 b 2 + c 2
y軸之距離 c 2 + a 2
z軸之距離 a 2 + b 2 。
4. P(a, b, c)到yz平面之距離為 | a |
zx平面之距離為 | b |
xy平面之距離為| c |。
範例1：空間的點 1. 已知P(− 2，3，− 5)是空間上的定點，下列敘述何者為真？(A) P相關於原點的對稱點是 (2，− 3，5) (B) P相關於yz平面的對稱點是(2，3，− 5) (C) P相關於x軸的對稱點是(− 2，− 3，5) (D) P到xz平面的距離為3 (E) P到y軸的距離為 29 2. 下列有關空間的敘述，何者正確？(A)垂直x軸的直線上任兩點，必有相同的x坐標 (B)垂 直xy平面的直線上任兩點，必有相同的x坐標
(C)點A(a，b，c)到x軸的距離為 b 2 + c 2
(D)點A(a，b，c)到xy平面的距離為c (E)點A(a，b，c)到原點的距離為 a 2 + b 2 + c 2 。 【解答】1.(A)(B)(C)(D)(E) 2.(A)(B)(C)(E)
隨堂練習 空間中一點P(a，b，c)，則下列敘述何者正確？(A) P到x軸之距離為 b 2 + c 2 的對稱點為(− a，b，c) (C) P在yz平面的正射影為(0，b，c) a 2 + b2
(B) P對於x軸
(D) P到xy平面的距離為
(E) P到原點距離 = a 2 + b 2 + c 2 。
【解答】(A)(C)(E) 追求卓越
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空間平面與直線
範例2：空間座標常考題 2
2
1. 設A(1，− 3，5)與B(2，1，− 4)是空間中兩點，P是x軸上一點，求 PA + PB 的最小值 為
。
2. 設A(3，− 1，2)，B(2，1，1)，若點P在zx平面上使△ABP為正三角形，則P點坐標為 或
。
3. 在空間中有三個點A(0，6，− 6)，B(6，− 6，0)，C(− 6，0，6)，試求以△ABC為一面的 正四面體ABCD的另一頂點D之坐標。 【解答】1.
【聯考題】
103 2.(1，0，3)或(4，0，0) 3. (4 3 ，4 3 ，4 3 )或(− 4 3 ，− 4 3 ，− 4 3 ) 2
隨堂練習 1. 空間中二點A(1，2，1)，B(2，− 1，3)，在x軸上一點P使 PA = PB ，則P的坐標為？ 2. 設P點在第一卦限，而且與x軸，y軸，z軸的距離分別為 52 ， 45 ，5，則P點的坐標 為？【各校常考】 【解答】1.(4，0，0) 2.(3，4，6) 追求卓越
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主題 二：空間座標
13
範例3：蚊子會飛，螞蟻會爬 如下圖，一長方體ABCD - EFGH，已知 AE = 1， AB = 3， AD = 5，求(1)一隻螞蟻從F點爬到
D點，其爬行所經最短的距離。(2)一隻蚊子從A點飛到G點，其飛行所經最短的距離。
【解答】(1) 41
(2) 35
範例4：正四面體的特性 正四面體ABCD，已知B，C，D的坐標分別為B(0，0，0)，C(1，0，0)，D (x，y，0)，其中
x，y皆為正，則(1) D的坐標為
。(2) A的坐標為
(3) A在底面BCD上正射影為H，則H的坐標為 【解答】(1) D(
。
。
1 3 1 3 1 3 6 1 3 6 ) (3) H( ， )或A( ， ， ，0) (2) A( ， ， ，− ，0) 3 2 2 2 6 2 6 3 2 6
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空間平面與直線
範例5：空間的投影 空間中三點A(2，0，− 1)，B(6，− 1，4)，C(1，− 5，3)，在yz平面上的正射影依次為A'，
B'，C'。(1)試證：△ABC為正三角形。(2)求△ABC的面積。(3)求△A'B'C' 的面積。
(4)設平面ABC與yz平面的銳夾角θ，求sinθ 之值。 【解答】(1)略
(2)
21 3 2
(3)
21 2
(4)
6 3
範例6：空間的內外分點 設A(4，1，3)，B(6，3，4)，C(4，5，6)為空間中三點，若△ABC中，∠A的分角線交 BC 於D 點，外角平分線交直線BC於E點，求D，E之坐標。 【解答】D(
21 15 19 ， ， )，E(9，0，1) 4 4 4
隨堂練習 已知空間中相異兩點A(1，− 1，2)，B(7，2，− 4)，設P點在 AB 上，但不在 AB 上，且 AP ：
PB = 3：1，則P點坐標為 【解答】(10，
。
7 ，− 7) 2
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主題 二：空間座標
15
範例7：空間距離感 如附圖，有一邊長為1的正立方體，今置頂點A於空間坐標系中之原點 ( 0 , 0 , 0 )，置頂點B於 正z軸上，則頂點C之z坐標為______。 【解答】
3 3
範例8：空間座標 設A(4，1，3)，B(6，4，3)，C(1，− 3，3)為空間中三點，(1)△ABC的重心坐標 為
。
(2)設P ∈ AB 且 AP：PB = 2：5，則P點坐標為 11 2 【解答】(1) ( ， ，3 ) 3 3
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(2) (
。
32 13 ， ，3 ) 7 7
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空間平面與直線
範例9：空間綜合考題 ____\
____\
設A(6，− 4，4)，B(2，1，2)，C(3，− 1，4)，則下列敘述何者正確？(A) BA ⋅ BC = 18
(B) cos∠ABC = −
1 5
(C) sin∠ABC =
2 5
(D) A到 BC 的距離為3 (E) △ABC面積 =
9 2
【解答】(A)(D)(E)
隨堂練習 空間中三點P(6，− 4，4)，Q(2，1，2)，R(3，− 1，4)， 則下列何者正確？ ____\
____\
(A) QP．QR = 18 (B) cos∠PQR =
−1 5
(C) sin∠PQR =
1 5
(D) P點到直線QR的距離為3
9 (E)△PQR的面積 = 。 2 【解答】(A)(C)(D)(E) 追求卓越
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主題 二：空間座標
17
練功升級區二 1. 已知空間中一點P至x軸、y軸、z軸的距離分別為 41 、 34 、5。若點P在第一卦限， 請選出下列正確的敘述。(A) P ( 3 , 5 ,4 )(B) P至原點的距離為5 2 (C) P在xy平面上的投 影為 ( 3 , 4 , 0 )(D) P在yz平面上的投影為 ( 0 , 4 , 3 )(E) P在xz平面上的投影為 ( 3 , 0 , 5 ) 2. P（ 2 , 2 , 0），Q（－ 2 , 2 , 0），R（－ 2 , －2 , 0），S（ 2 , －2 , 0）為正立 方體的四個頂點，則下列哪些點亦為此正立方體之頂點？
(A)（ 2 , 0 , 2）
(B)（0 , 2 ,
(D)（ 2 , 2 , 2 2 ）
(E)（－ 2 , 0 , －2）【各校常考，聯考題】
2）
(C)（ 2 , 2 , 4）
3. 空間中，A ( 0 , 1 , 1 )，B ( 1 , 0 , 1 )，C ( 1 , 1 , 0 )，求以 ∆ ABC為一面的正四面體的第四 個頂點的坐標為______。 4. 空間中一點P（－8 , 6 , －6）對三個坐標軸x、y、z軸做投影，得投影點A、B、C，則 △ABC之面積為何？
(A) 36 (B) 36 2
(C) 6 41
(D) 6 35
(E) 6 21
5. 設P ( x , y , z ) 為第一卦限上的點，已知P到x、y、z軸之距離分別為 41 、 65 、
74 ，則P之坐標為
。
6. 若PQ ¯¯¯¯¯＝13，PQ ¯¯¯¯¯在xy平面與yz平面之投影長分別為10、9，則PQ ¯¯¯¯¯在xz平面之投影長為
_____。 7. 已知E為過點A ( 3 , 1 ,－2 ) 且與z軸垂直之平面，而L為過點B ( 5 ,－3 , 4 ) 且與xy面垂直 之直線，若P為L與E之交點，則P關於原點O ( 0 , 0 , 0 ) 之對稱點坐標為______。 8. 空間坐標中，一長方體ABCD─EFGH，已知A ( 0 , 0 , 1 )，F ( 3 , 0 , 0 )，E ( 0 , 0 , 0 )，H
( 0 , 5 , 0 )，求： (1) 一隻蚊子從A點飛到G點，其飛行所經最短距離為______。 (2) 一隻螞蟻從F點沿表面爬行到D點，所走最短路徑長為______。 OB ¯¯¯¯¯ 9. 正四面體OBCD中，若二稜OB ¯¯¯¯¯與CD ¯¯¯¯¯之中點分別為M、N，試求 MN ¯¯¯¯¯ 之值為______。 10.如附圖之正八面體中，¯¯¯¯¯＝ AB 2 ，¯¯¯¯¯之中點為 AE M，則 CM ． AF ＝______。 11.設A ( 1 , 2 , 3 )，B (－1 , 1 , 2 )，C ( x , y , 0 )，
(1) △ABC的最小周長為______。 (2) 當AC ¯¯¯¯¯2＋BC ¯¯¯¯¯2之值最小時，C的坐標為______。 12.四角錐P-ABCD（如附圖），底面ABCD是正方形，側面△PAD是正三角形，△PAD垂直 追求卓越
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18
空間平面與直線 底面ABCD。
(1) 若E為PD ¯¯¯¯¯中點，試證¯¯¯¯¯⊥ BE PD ¯¯¯¯¯。 (2) 若△PAD與△PBD所夾的二面角為θ，求cosθ。
13.在空間中一線段AB在xy平面之正射影為6，在yz平面的正射影為8，求¯¯¯¯¯長之最大值、 AB 最小值。 【答案】
1.
BCE
2.
AE
3.
4 4 4 (0,0,0)或( 3 , 3 , 3 )
4.
C
5.
(7,5,4)
6.
157
7.
(－5 , 3 , 2 )
8.
(1)
9.
35 ；(2)
41
2
10. －1 11. (1)
3 6 ＋ 30 ；(2) ( 0 , 2 , 0 )
12. (1) 略；(2)
3 21
13. 最大值10，最小值8
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主題 三：空間向量
19
主題 三：空間向量 空間向量 1. 在空間坐標系 (O , X , Y , Z ) 中，對於任予向量 a 皆存在唯一的一點P，使 OP = a ，若P點坐 標為 ( x0 , y0 , z 0 ) 則定義 a 的坐標表示法為 ( x0 , y0 , z 0 ) 表為 a = OP = ( x0 , y0 , z 0 ) ，其中 |= __________ 。 x0 , y0 , z 0 分別行為 a 之x分量、y分量、z分量，而 a 的長度表 | a , y1 , z1 ) 、 Q ( x 2 , y2 , z 2 ) 則 PQ = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) ， | PQ |= _____________ 2. 若 P ( x1
方向餘弦 1. 若 OP = ( x0 , y0 , z0 ) 為非零向量， α 、 β 、 γ 分別為 OP 與x、y、z 軸正向之夾角 (0 ≤ α , β , γ ≤ π ) ，則稱 α 、 β 、 γ 為 OP 之方向 角， cosα 、 cosβ 、 cosγ 為 OP 之方向餘弦。
2.
OP = ( x0 , y0 , z0 ) ， α 、 β 、 γ 為 OP 之方向角，則方向餘弦 ¾
cosα = ____________
¾
cos 2α + cos 2 β + cos 2γ = 1
¾
sin 2α + sin 2 β + sin 2 γ = 2
cosβ = ____________
cosγ = ____________
3. 若 > 0 ) ， a 之方向角為 α 、 β 、 γ ，則 a 之坐標表示法為____________________ a = l (l
範例1：方向餘弦 向量(1，2，2) 之方向角為α，β，γ，則(1) sin2α + sin2β + sin2γ =
(2) 7cos2α + 2cos2β + 3cos2γ =
。
。
【解答】(1) 2 (2) 3
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20
空間平面與直線
範例2：方向角基本題 1. 判斷下列何者可為空間坐標系中某向量之方向角？ (A)
(C)
π 4
，
π 3
，
2π 3
(D)
π 4
，
π 8
，
π 6
(E)
π 3
，
π 3
，
π
(B)
3
π 6
，
π 3
，
π 2
2π 2π 3π ， ， 3 3 4 ____\
2. 空間二點A(− 2，1，3)，B(1，0，t + 1)，向量 AB 的方向角為
π 4
，β，γ，則下列何者正
____\
確？(A) AB = (− 3，1，2 − t)(B) t值可為2 + 2 2 (C) t值可為2 − 2 2 (D) cosβ =
1 3 2
(E)
2 cosγ = ± 。 3 2π π π K K 3. 有一向量 a ，始點在(1，− 5 2 ，0)， | a | = 10，方向角為 ， ， ，求終點坐標。 3 4 3 【解答】1.(B)(C)(E) 2. (B)(C)(E) 3.(6，0，− 5)
隨堂練習 π 2π 2π 1. 下列何者可以表示某空間向量的方向角？(A) ， ， 4 3 3 (C)
3π π π ， ， 4 3 3
π
π
π
(D) ， ， 6 3 2
π
π
π
(B) ， ， 4 4 2
1 1 119 (E) cos −1 ，cos −1 ，cos −1 。 3 4 12 ____\
2. 設A(2，1，− 2)，B(2 + 3 2 ，− 2，1)，則 AB 的方向角為 ____\
。
____\
3. 有一向量 AB ，其終點B坐標為(7，6，− 5)， AB 與x軸，y軸，z軸正向的夾角分別為 ____\
____\
3. (7 −
9 3 1 ， ，− ) 2 2 2
45°，60°，γ （其中90° < γ < 180°），若 | AB | = 9，則 AB 始點A的坐標為
π 2π π 【解答】1.(A)(B)(C)(D)(E) 2. ， ， 4 3 3 追求卓越
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主題 三：空間向量
21
空間向量運算 1. 空間向量的加減法與係數積：若 a = (a1 , a2 , a3 ) ， b = (b1 , b2 , b3 ) ， r ∈ R 則： ¾
加法： a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
¾
減法： a − b = (a1 − b1 , a 2 − b2 , a3 − b3 )
¾
|=| r || a | 係數積： r a = (ra1 , ra 2 , ra3 ) ， | r a
¾
分配： r (a + b ) = r a + rb
2. 向量內積定義： ¾
a 、 b 不為零向量， a 、 b 夾角為 θ ，則定義 a ⋅ b =| a || b | cosθ
¾
若 a = (a1 , a2 , a3 ) 、 b = (b1 , b2 , b3 ) 則 a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3
3. 向量內積性質： ¾
a ⋅ b = b ⋅ a
¾
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
¾
a⊥ b ⇔ a ⋅ b =0
¾
a = (a1 , a2 , a3 ) 、 b = (b1 , b2 , b3 ) ， a 、 b 夾角為 θ 則： a ⋅ b = | a || b |
a1b1 + a 2 b2 + a3 b3
i.
cosθ =
ii.
| a ⋅ b |≤| a || b |
iii.
(a1b1 + a2b2 + a3b3 ) 2 ≤ (a12 + a22 + a32 )(b12 + b22 + b32 ) ，等號成立的充要條件為 a // b 或
a12 + a 22 + a32 b12 + b22 + b32
a 、 b 有一為 o 4. 向量外積： OP = ( x1 , y1 , z1 ) ， OQ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， OR = ( x3 , y3 , z 3 ) 則： ¾
⎡y OP × OQ = ⎢ 1 ⎣ y2
¾
OP × OQ = −OQ × OP
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z1 z1 , z2 z2
x1 x1 , x2 x2
y1 ⎤ ⎥ y2 ⎦
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22
空間平面與直線
範例3：向量夾角 1.
如下圖，長方體之長，寬，高各為4，5，3，試求 AG 與 FD 的夾角的度量θ =
2.
如圖，ABCD - EFGH是一正方體，四邊形EFBG是一矩形，對角線 DG ， EB 交於O點，
。
求cos∠BOG及cos∠BDG。 【解答】1.
π
1 6 2. ， 2 3 3
範例4：空間向量垂直與平分 K K K K K K K 設 a = (2，− 1，− 2)， b = (1，2，2)， c = a + t b ，(1)若 c ⊥ a ，則t = K K K (2)若 c 平分 a ， b 的夾角時，t = 。 【解答】(1)
4 9
。
(2) 1
隨堂練習 K K K K K K K K K K K K K 設 i = (1，0，0)， j = (0，1，0)， k = (0，0，1)且 a = 2i − j + 2k ， b = i − j ， c = a + tb （t ∈ K K K K K R），(1)若 a ⊥ c ，則t = 。(2)若(2 a − b ) // c ，則t = 。 K (3)當 | c | 有最小值時，t = 【解答】(1) − 3 (2) −
1 2
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。
(3) −
3 2 鋒凡數學家教班
主題 三：空間向量
23
範例5：科西不等式 1.
設x，y，z ∈ R，且滿足x2 + y2 + z2 = 5，則x + 2y + 3z之最大值為
2.
△ABC中， AB = 4， BC = 8， AC = 6，P為△ABC內部之一點，設P到 AB ， BC ， AC 之 距離分別為x，y，z，則x2 + 4y2 + 9z2之最小值=
。
。
3.
設x，y，z ∈ R，2x + 2y + z + 8 = 0，則(x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2之最小值為
4.
設a，b，c均為正數且a + b + c = 9，則
5.
K 設空間向量 a 的方向角為α，β，γ，0 < α，β，γ < π，則csc2α + 9 csc2β + 25 csc2γ 的最小 值為
4 9 16 + + 之最小值為 a b c
。
。
。
【解答】1. 70 2. 15 3.9 4.9 5.
81 2
隨堂練習 1.
K K K K 設 a = (1，0，− 2)， b = (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，則 a ． b 的最大值 為
2. 3.
。
( x − 1) 2 ( y + 2) 2 ( z − 3) 2 + + = 1 ，求x + y + z之最大值，最小值。 16 5 4 K K K K K 設空間中有二向量 a = (1，2，3)， b = (x，y，z)，已知| b | = 2 14 ，則 a ． b 的最大值為 設x，y，z ∈ R且
K 何？此時的 b 為何？ K 【解答】1. 4 5 2. 最大值7，最小值 − 3 3. (1) 28 (2) b = (2，4，6) 追求卓越
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24
空間平面與直線
範例6：空間向量求極值 K K K K K K 1. 設空間向量 a = (3，− 6，2)， b = (1，3，4)，(1)若 c = a + t b ，t ∈ R，且| c |為最小，則 K K K K K c= 。(2)若單位向量 u 與 a 及 b 皆垂直，則 u = 。 K K K K K K K 2. 設 u = (2，1，− 1)， v = (1，3，3)，且 a ⊥ u ， a ⊥ v ，若 a = (− 6，p，q)，則數對(p，q) =
。
【解答】1.(1) (
− 135 40 −6 −2 3 85 ， ， ) (2) ± ( ， ， ) 2. (7，− 5) 26 26 13 7 7 7
面積與體積 1.
2.
3.
2
2
a與b 所張平行四邊形面積＝ a b − (a ⋅ b) 2 = a × b = a ⋅ b ⋅ sin θ x1
y1
z1
OP; OQ; OR 所張平行六面體體積＝ x 2
y2
z2
x3
y3
z3
x1 1 OP; OQ; OR 所張四面體體積＝ ⋅ x 2 6 x3
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y1
z1
y2
z2
y3
z3
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主題 三：空間向量
25
範例7：六面體 如圖為一平行六面體，其各稜長為1，且∠AOC = ∠AOD = ∠COD = 60°，其中O為原點，邊 ____\
____\
____\
OA 在x軸上，面OABC在xy平面上。(1)求向量 OC ， OD ， OF 的坐標。 (2)求平行六面體的
體積。 ____\ ____\ ____\ 1 3 1 3 6 2 3 6 2 )， OF = (2， ) (2) 【解答】(1) OC = ( ， ，0)， OD = ( ， ， ， 2 2 2 2 6 3 3 3
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26
空間平面與直線
練功升級區三 1. 設 a ＝( x , y , z )， b ＝( 1 , 2 , 2 )，若｜ a ｜＝5，則下列何者為真？(A) a ． b 的最小
5 值為－10(B) a ． b 的最大值為15(C) a ． b 有最大值時，x＝ 3 (D) a ． b 有最大值 10 時，y＝5(E) a ． b 有最大值時，z＝ 3 K K K 2. 設 a = ( x , y , z )， b = ( 1 , 2 , 2 )，若 a = 5，則下列何者為真？
(A) x + 2 y + 2 z的最小值為 – 10 (B) x + 2 y + 2 z之最大值為15 (C) x + 2 y + 2 z有最大
值時，x =
5 3
(D) x + 2 y + 2 z有最大值時，y = 5 (E) x + 2 y + 2 z有最大值時，z =
10 。 3
3. 在空間中，下列哪些點可與A ( 1 , 2 , 3 )，B ( 2 , 5 , 3 )，C ( 2 , 6 , 4 ) 三點構成一平行四
邊形？ (A) ( – 1 , – 5 , – 2 ) (B) ( 1 , 1 , 2 ) (C) ( 1 , 3 , 4 ) (D) ( 3 , 7 , 6 ) (E) ( 3 , 9 , 4 )。 4. 若 u ＝（0 , 1 , 2）， v ＝（1 , 0 , －1）， w ＝ u ＋t v ，則下列何者為真？
(A) 當t＝1有最小值 3
(B) 當t＝－1有最小值 3
5 (C) 當t＝ 2 ， w ⊥ u
(D) 當t＝2 ， w ⊥ v
(E) w 永遠不垂直 v 5. 已知空間中有三點A（1 , 2 , 3）、B（2 , 4 , 5）、C（3 , 4 , 3），若 AB 與 AC 之夾角為
θ，則 (A) AB ． AC ＝6
(B) cos θ＝sin θ
(C) BC ¯¯¯¯¯＝ 5
3π (D) θ＝ 4
(E)
△ABC＝3 6. 設 a ＝（2 , 2 , 2）、 b ＝（－1 ,
π (A) 6
π (B) 4
π (C) 3
2π (D) 3
6 , 1）的夾角為θ，則θ為 5π (E) 6
( x－1 )2 ( y＋2 )2 ( z－3 )2 7. 設x、y、z為實數，且 16 ＋ ＋ ＝1，求x＋y＋z之最大值＝ 5 4 ______，最小值＝______。 8. 空間中三點A ( 1 , 2 ,－1 )，B (－1 , 0 , 2 )，C ( 2 , 1 , 1 )，令 a ＝ AB ， b ＝ AC ， a 、 b
夾角為θ，則： ←→
(1) a ． b ＝______。 (2) sinθ＝______。 (3) B到 AC 的距離為______。
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主題 三：空間向量
27
、B（0 , －2 , 1）、C（4 , 0 , 5），則 AB 在 AC 上之正射 9. 空間中相異三點A（1 , 0 , －1） 影為_____。 10.如圖所示設一正立方體的中心為O，而A、B為此正方體 同一面上
的兩個對頂點，則cos∠AOB＝______。（以最簡分數表示） 11.設一正四面體ABCD，若A ( 2 , 0 , 0 )，B ( 0 , 2 , 0 )，C ( 0 , 0 ,
2 ) ，則D之坐標可為______或______。 12.在空間中，已知平面 E 通過 ( 3 , 0 , 0 )，( 0 , 4 , 0 ) 及正 z 軸上一點 ( 0 , 0 , a ) 如果平面E
與xy平面的夾角成45°，那麼a＝______。 13. a ＝（4 , 8 , 8）， b ＝（－2 , k , 1）， c ＝（t , －2 , －4），若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，求 a 與
c 夾角θ之cos值。 14.空間中，O為原點，設 OA ＝( 6 ,－4 , 4 )， OB ＝( 2 , 1 , 2 )， OC ＝( 3 ,－1 , 4 )，試求：
(1) BA 與 BC 的內積；(2) cos∠ABC；(3) △ABC的面積。 15.設 u ＝( 2 , 1 ,－3)， v ＝( 1 , 0 , 2 )。若 w ＝ u ＋t v 平分 u 與 v 之夾角，求t之值。 16.設x、y、z為實數且 ( x－1 )2＋( y＋1 )2＋( 2z－3 )2＝16，
(1) 試求6x－3y＋4z的最大值。 (2) 並求當6x－3y＋4z為最大值時，序對 ( x , y , z ) 為多少？ 17.△ABC中，A ( 1 , 1 , 1 )，B ( 2 , －1 , 1 )，C ( 1 , 3 , －1 )，垂心H，試求垂心H之坐標。
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28
空間平面與直線
【答案】 1.
BCE
2.
BCE
3.
BCE
4.
AC
5.
ABCE
6.
C
7.
7，－3
8.
(1) 6；(2)
9.
6 3 （5 ,0, 5 ）
11 17 ；(3)
11
1 10. － 3 2 2 2 11. ( 2 , 2 , 2 )，(－ 3 ,－ 3 ,－ 3 ) 12 12. 5 13.
－7 6 18
14. (1) 18；(2) 15.
2 9 ；(3) 2 5
70 5
31 19 29 16. (1) 43；(2) ( 7 ,－ 7 , 14 ) 17. （－1 , 2 , 4）
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主題 四：空間平面與直線
29
主題 四：空間平面與直線 空間平面表示法 1. 過點 P ( x0 , y0 , z0 ) 法向量 n = (a , b , c ) 的平面方程式為_____________________________ 2.
a , b , c ≠ 0 ，x截距a，y截距b，z截距c之平面方程式為________________________
3. 平面族： E1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 ， E2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 ，過 E1 、 E2 交線之平面 E方程式為 ¾
, β ∈ R ，α 2 + β 2 ≠ 0 。 α (a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + β (a2 x + b2 y + c2 z + d 2 ) = 0 ， α
¾
k (a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + (a 2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0 ， k ∈ R 此時 E ≠ E1 。
¾
(a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + k (a2 x + b2 y + c2 z + d 2 ) = 0 ， k ∈ R 此時 E ≠ E2 。
4. 各種特殊平面方程式： ¾
xy 平面：_____________， yz 平面：__________， xz 平面：_________
¾
垂直x軸之平面_______，垂直y軸之平面_______，垂直z軸之平面_______
¾
與 xy 面垂直（平行z軸）之平面______________， a 2 + b 2 ≠ 0 ；與 yz 面垂直（平行 x軸）之平面______________， b 2 + c 2 ≠ 0 ；與 xz 面垂直（平行y軸）之平面 ______________， a 2 + c 2 ≠ 0
¾
過原點之平面：____________________
¾
與 ax + by + cz + d = 0 平行之平面___________________
5. 兩平面的夾角：設平面E1 : a1x +b1y +c1z + d1=0；平面E2 : a2x+ b2y +c2z +d2=0 ¾
若E1 , E2一夾角為θ，則cosθ =__________________________ E1 ⊥ E2 ⇔________________________
6. 點到平面的距離：
點A(x0 , y0 , z0)到平面E : ax +by +cx +d =0之距離為__________________。
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30
空間平面與直線
範例1：空間平面基本題 1. 求含A(2，1，0)，B(1，0，2)，C( − 1，1，1)的平面E之方程式
。
2. 空間中四點A(1，1，2)，B( – 1，0，3)，C(2，0，– 1)，D(3，k，1)，(1)過A，B，C三點
的平面方程式為
。(2)若A，B，C，D四點共平面，則k =
。
3. 過點A( − 2，1，1)，B(1，1，3)的平面E，若與平面F：x − 2y + 3z = 5垂直，則E的方程
式為
。
4. 求平行於平面x + y − 3z + 1 = 0且x，y，z軸截距和 = 10的平面方程式。
【解答】1. x + 5y + 3z − 7 = 0 2.(1) 4x − 5y + 3z − 5 = 0 (2) 2 3.4x − 7y − 6z + 21 = 0 4. x + y − 3z − 6 = 0
隨堂練習 1. 求過點A(1，2，2)，並與二平面E1：x − y + z = 1，E2：2x + y − z = 2均垂直之平面方程
式。 2. 垂直於E1：x − y + 2z + 3 = 0，E2：2x + y + 3z + 5 = 0，且過點A(2，3，2)之平面方程式
為
。
【解答】 1. y + z − 4 = 0 2. 5x − y − 3z − 1 = 0 追求卓越
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主題 四：空間平面與直線
31
範例2：空間平面 空間坐標系中，有一平面鏡E，有一雷射光線經過點A(1，3，2)射向鏡面E上的點B(0，1， 0)，反射又經過點C(− 4，5，2)，則平面E方程式為
。
【解答】x − 4y − 3z + 4 = 0
範例3：找平面方程式 若空間中有四點，A(0，1，0)，B(4，6，3)，C(1，2，1)，D(1，− 2，− 3)，若包含 AB 且平 分四面體ABCD體積之平面方程式為2x + by + cz + d = 0，則b + c + d =
。
【解答】9
範例4：空間的三角形與四面體 設A(1，2，3)，B(1，4，2)，C(4，0，3)，O為原點，(1)若ABCD為平行四邊形，則D點坐標 為
。(2)△ABC的面積為
(4)四面體OABC的體積為
【解答】(1) (4，− 2，4) (2)
追求卓越
。(3)△ABC所在的平面方程式為 。
7 2
(3) 2x + 3y + 6z − 26 = 0 (4)
13 3
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。
32
空間平面與直線
範例5：截距式常考題 1. 設一平面E平行平面2x + y + 2z − 1 = 0且與三坐標平面所成四面體之體積為9，則此平面 E的方程式為
。
2. 若平面E過點P(2，3，1)且在卦限(+，+，+)與三坐標平面所成之四面體體積為最小，則
平面E的方程式為 【解答】1. 2x + y + 2z = ± 6 2.
。 x y z + + =1 6 9 3
範例6：平面族 平面E包含兩平面2x + y − 4 = 0及y + 2z = 0之交線，且垂直平面3x + 2y − 3z − 6 = 0，則E之方 程式為？ 【解答】2x + 3y + 4z − 4 = 0
隨堂練習 過二平面E1：3x − y + z + 1 = 0與E2：x − 2y − z + 4 = 0之交線，且過點( − 2，1，5)之平面方程 式為何？ 【解答】14x − 3y + 6z + 1 = 0 追求卓越
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主題 四：空間平面與直線
33
範例7：平面夾角 1.
設兩平面E1：x − y + z + 1 = 0，E2：x + y + 6 z − 6 = 0，則兩平面E1，E2的夾角 為
2.
。
空間中三點A( 3 ，1， 2 3 )，B(3， 3 ，− 2)，C(0，0，0)，求平面ABC與yz平面所夾 的銳角。
3.
1 1 設過點A(1，0，0)，B(0，0， )的平面E與平面F：x + z = 的銳夾角為45°，則E的方程 3 2
式為
。
【解答】1. 60°或120° 2.θ = 60° 3. x ± 6 y + 3z = 1
隨堂練習 1.
若平面E：2x + y + 2z + 13 = 0與平面F：x + y − 7 = 0之夾角為θ，則sinθ =
2.
設平面E：x + 2 y + 3 z = 1，求平面E與xy平面之銳角的夾角為
3.
在空間中，已知平面E通過(1，0，0)，(0，− 1，0)及正z軸上一點(0，0，a)，如果平面E 與xy平面的夾角成45度，則a =
【解答】1.
。 。
。
2 π 1 2. 3. 2 4 2 追求卓越
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34
空間平面與直線
範例8：點與平面的距離 1.
點P(3，2，4)到平面E：2x − y + 2z + 6 = 0之距離為
2.
設平面E與平面F：3x + 6y − 2z = 12平行且點P(1，− 1，− 2)到平面E的距離為2，求平面
。
E的方程式。
3.
A(1，3，2)在平面E上之投影點為B(2，1，0)，則C(3，5，1)到平面E的距離
為
。 2. 3x + 6y − 2z = − 13或3x + 6y − 2z = 15 3. 3
【解答】1. 6
隨堂練習 1.
若點P(x0，y0，z0)是平面2x − y − 4z − 1 = 0上一點，則 ( x 0 − 1) 2 + ( y 0 + 2) 2 + ( x 0 − 3) 2 的最小值為
2.
。
已知3x + 2y + 6z = 6，則 ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 1) 2 最小值為
【解答】1.
9 21
=
。
3 21 10 2. 7 7
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主題 四：空間平面與直線
35
範例 9：空間正射影 設 A(5，3，− 4)，B(3，4，− 2)，平面 E：2x + y − 2z = 3，(1) AB 在平面 E 上的正射影長 為
。(2)設動點 P 在平面 E 上，則 PA + PB 的最小值為
與平面 E 交於 P 點，則 PA： PB = 式為 【解答】(1)
。(3)若直線 AB
。(4)過 A、B 兩點且與平面 E 垂直的平面方程
。 4 2 3
(2) 97
(3)
18 11
(4) x + z = 1
隨堂練習 在空間坐標系中，已知平面 E：x + 3y − 2z + 11 = 0 及兩點 A(5，− 1，6)，B(− 1，3，− 6)， (1)若 A 點在平面 F 上的投影點恰為線段 AB 的中點，求平面 F 的方程式。(2)設 P 點為平面 E
上的動點，當| PA − PB |為最小時，P 點必在直線 L 上移動，若直線 L 的方向向量比為 a：b： 11，求 a + b 之值。
【解答】(1) 3x − 2y + 6z − 4 = 0 (2) − 2
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36
空間平面與直線
空間直線表示法 1.
⎧x = ⎪ 參數式 ：過點 P ( x0 , y0 , z0 ) 方向向量為 (l , m , n ) 之直線，參數式為 ⎨ y = ⎪z = ⎩
2.
對稱比例式：直線 L 過點 P ( x0 , y0 , z0 ) 方向向量為 (l , m , n ) ，對稱比例式為
t∈R
______________________________ 3.
兩面式： E1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 、 E2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 為不平行之兩相異平面， b c c a1 a b 則_________________ 為 E1、E2 之交線方程式，其方向比為 1 1 : 1 : 1 1 b2 c2 c2 a2 a2 b2
範例 10：直線表示法 ⎧x = 1 在空間坐標系中，下列哪些是正確的？(A) 2x − y = 3 表一直線 (B) ⎨ 表一直線 y = 2 ⎩ x − 2 y +1 z − 3 x −1 y − 2 z +1 = = = = (C) 的圖形與 2x + 3y − z = 3 的圖形為平行關係 (D) 的 2 3 −1 1 2 1
圖形與
x − 3 y −1 z − 4 = = 的圖形為平行關係 (E)向量(0，0，1)可為 xy 平面的一個法向量 1 2 1
【解答】(B)(E)
隨堂練習 ⎧ x = 1 + 4t ⎪ 在空間中，直線 L： ⎨ y = 2 ，t∈R，下列敘述何者正確？(A) L 與平面 E：4x − 5z + 11 = 0 ⎪ z = 3 − 5t ⎩
恰交一點 (B) L 與平面 E：10x + y + 8z + 1 = 0 平行 (C) L 與平面 E：5x + 3y + 4z + 1 = 0 垂 直 (D) L 與 x 軸平行 (E) L 與 y 軸垂直 【解答】(A)(B) 追求卓越
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主題 四：空間平面與直線
37
範例 11：參數式，對稱比例式，兩面式 直線 L 過 P(2，4，3)且平行於 A(2，1，0)，B(3，4，2)兩點之連線，求 L 的對稱比例式， 參數式與兩面式 【解答】
隨堂練習 1.
⎧3x − y + z + 2 = 0 過點(1，− 1，5)且平行於直線 ⎨ 之直線方程式為 ⎩x + 2 y + z − 4 = 0
2.
過點 A(1，2，− 3)且平行於 y 軸的直線方程式為何？
x −1 y +1 z − 5 【解答】1. = = −3 −2 7
追求卓越
。
⎧ x =1 ⎪ 2. ⎨ y = 2 + t ，t∈R ⎪ z = −3 ⎩
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38
空間平面與直線
練
功
升
級
區
四
1. 設 A (− 1，2，3)，B(2，6，3)，C(− 2，4，5)為空間中的相異三點，E 為△ABC 所在的平 ____\
____\
面，則(1) AB ． AC = (3)△ABC 之面積 =
____\
____\
。 (2) AC 在 AB 上的正射影為
。
。 (4) E 的平面方程式為
。 ____\
____\
____\
(5)若∠BAC 之內角平分線交 BC 於 D 點，設 E 在 AD 上，且 AE = 4 AB + β AC ，則β
=
。
2. 空間中，設 A(3，1，− 2)，B(2，7，0)，C(− 4，− 1，1)， ____\
____\
____\
(3)外積 AB × AC =
。 (4)△ABC 的面積為
(5)線段 AB 的垂直平分面方程式為
為
____\
。 (2)內積 AB ． AC =
(1)△ABC 之重心坐標為
。 。
。 (6)通過 A，B，C 三點的平面方程式
。
3. 設 A(2，3，0)，B(0，6，0)，C( − 2，− 3，4)，平面 E：x + 2y − 2z + 5 = 0，
(1)求 AB 在平面 E 上之正投影 A′B ′ 之長。 (2)求△ABC 在平面 E 上之正投影△A′B′C′之面積。 4. 平面 E 之方程式為 ax＋by＋cz＋d＝0，其中 a、b、c 三實數不全為 0，d 為實數，下列何
者正確？ (A) 若原點在 E 上，則 d＝0 (B) 若 a＝0，則平面 E 與 yz 平面垂直 (C) 若 b＝0，則 E 與 xz 平面平行
(D) 若 b＝c＝0，則 E 垂直於 yz 平面 (E) 若 E 與 xy 平面
平行，則 a＝b＝0，d≠0 5. 空間中三點，A ( 3 , 3 , 0 )，B ( 1 , 2 , 2 )，C ( 4 , 2 , 2 )，平面 E：2x＋3y－6z＝1，下列敘
述何者為真？ (A) A 點到平面 E 的距離為 3
17 (B) A 點對於平面 E 的正射影點為 ( 7 ,
15 12 7 , 7 ) 13 9 24 (C) A 點對於平面 E 的對稱點為 ( 7 , 7 , 7 )
(D) △ABC 在平面 E 上的正射影面
π 6. 設二平面 積為 15 E1：x＋ky＋z－2＝0 和 E2：x＋ 2 y－z＋1＝0 之夾角為 3 ，求 k＝
B、1C 三點之平面與平面 E－ 的夾角為 θ，則 sinθ＝1 (E) (C) 0 (D)－1 (E) 2 (A) 過 2A、(B) 追求卓越
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主題 四：空間平面與直線
39
7. 空間中，連接點 P ( 2 , 1 , 3 ) 與 Q ( 4 , 5 , 5 ) 的線段 PQ 之垂直平分面方程式為______。 8. 若 P ( x , y , z ) 是平面 3x－2y＋4z＋18＝0 上任一點，則
最小值是
，此時 P 點的坐標為
( x－1 )2＋( y－1 )2＋( z－1 )2 的
。
9. E1：3x＋（k－1）y＋z＝1，E2：－2x＋ky＝2，若 E1⊥E2，則 k＝_____。 10.A ( 1 , 2 , 1 )，B ( 0 ,－1 , 1 )，C (－1 , 0 , 0 )，D ( 4 , 3 , k ) 四點共面，則 k＝______。 11.求滿足下列條件之平面的方程式：
通過 A ( 1 ,－2 , 1 ) 且與二平面 x－y＋z＝1 及 x＋2y－z＋1＝0 均垂直。答：______。 12.在空間中，已知平面 E 通過 ( 3 , 0 , 0 )，( 0 , 4 , 0 ) 及正 z 軸上一點 ( 0 , 0 , a )。如果平
面 E 與 xy 平面的夾角成 45 度，則 a＝______。 13.設平面 E：x＋y＋ 2 z＝1 與 x 軸，y 軸，z 軸分別交於 A，B，C 三點，則：
(1) 平面 E 與 xz 平面之銳角交角為______。 (2) 原點 O 到平面 E 的距離為______。 14.P (－1 , 1 , 2 )，Q ( 2 , 0 ,－3 )，R ( 5 , 1 ,－2 )，則平面 PQR 之方程式為_____。 15.平面 E 平行 3x＋2y－6z＋2＝0，且與三坐標軸之截距和為 6，則平面 E 之方程式為_____。 16.空間中四平面 x＝0，y＝0，z＝0，x＋y＋z＝1 圍成一四面體，則此四面體之內切球的半
徑為______。
17.已知 A ( 1 , 1 , 1 )，B ( 2 , 1 ,－1 )，平面 E：x－2y＋z＋3＝0，P 在平面 E 上移動，求 P
之坐標使¯¯¯¯¯ PA ＋¯¯¯¯¯ PB為最小，並求此最小值。 18.在附圖的空間坐標中，O 為原點，點 A、B、C 分別位於 x 軸、y 軸、z 軸上，OA ¯¯¯¯¯ ＝OB ¯¯¯¯¯ ＝
OC ¯¯¯¯¯ 且 D 為OC ¯¯¯¯¯ 之中點，求 O 到平面 ABC 與 O 到平面 ABD 的距離之比。
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40
空間平面與直線
19.求過點 A ( 1 , 0 ,－1 )，B ( 0 , 1 ,－2 )且與平面 2x＋2y＋z－5＝0 垂直之平面的方程式。
，試求平面 20.一平面 E 過 E1：x＋3y－z＋1＝0，E2：2x－y－z－3＝0 之交線且過（2 , 4 , 3） E 方程式。 21.過 ( 2 , 0 , 1 ) 與 ( 1 , 2 , – 1 ) 的直線方程式為
(A)
x − 2 y z −1 = = 2 1 2
(B)
x −1 y − 2 z +1 = = 1 −2 2
(C) x = 2 + t，y = – 2t，z = 1 + 2t ( t 為實數 )
(D) x = 1 + t，y = 2 – 2t，z = – 1 + 2t ( t 為實數 )
(E) x = 2 + t，y = 2 + 2t，z = 1 + 2t ( t
為實數 )。 x＋3 y＋4 z－1 22.空間中一直線 L： 1 ＝ ＝ ，下列的各方程式中，何者的圖形亦為直線 L？ －2 －3 x＋2 y＋6 z＋2 ＝ 4 ＝ 6 (A) －2
⎧⎪ x＝－4－t (B) ⎨ y＝－2＋2t，t 為實數 ⎪⎩ z＝4－3t
⎧⎪ x＝－4＋t (C) ⎨ y＝－2＋2t，t 為實數 (D) ⎪⎩ z＝4＋3t (E)
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
⎧⎪ ⎨ ⎩⎪
2x＋y＋10＝0 3y－2z＋14＝0
3x＋z＋8＝0 3y－2z＋14＝0
x－1 z＋1 23.在空間中，直線 L： 2 ＝ 3 ，y＝2 與下列何者相交且垂直？ (A)
xz 平面
(B)
y軸
(C)
平面 E3：2x＋3z＝7
(D)
x z 直線 L4： 3 ＝ ，y＝3 －2
(E)
直線 L5：
追求卓越
x－4 z＋3 y ＝2 ＝ 2 －3
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主題 四：空間平面與直線
41
【解答】 1.
3 4 (1) 5 (2) ( ， ，0) 5 5
2.
1 1 7 (1) ( ， ， − ) 3 3 3
(3) 5 2
(4) 4x − 3y + 5z − 5 = 0 (5)
(2) 1 (3) (22，− 11，44)
(4)
11 21 2
20 3
(5) 2x − 12y − 4z + 39 = 0 (6) 2x
− y + 4z + 3 = 0 101 3
10 3
3.
(1)
4.
ABE
5.
BCE
6.
AE
7.
x＋2y＋z－13＝0
8. 9.
(2)
29 ，(－2 , 0 ,－3 ) 3 或－2
10. 3 11. x－2y－3z＝2 12.
12 5
π 1 13. (1) 3 ；(2) 2 14. 2x－9y＋3z＝－5 15. 3x＋2y－6z＝9 1 16. 6 ( 3－ 3 ) 3 6 9 17. ( 5 , 5 ,－ 5 )，3 18.
2 ：1
19. 3x－y－4z－7＝0 20. 5x＋y－3z－5＝0 21. BCD 22. ADE 23. BCE
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42
空間平面與直線
主題 五：平面與直線的關係 空間平面，直線與點的關係 1. 直線 L :
x − x0 y − y 0 z − z 0 與平面 E : ax + by + cz + d = 0 = = l m n
¾
若 (l , m , n ) ⋅ (a , b , c ) ≠ 0 ，則 L 與 E 不平行，相交於一點。
¾
⎧ x − x0 y − y0 z − z0 ⎪ = = 若 (l , m , n ) ⋅ (a , b , c ) = 0且⎨ l m n 無解，則 L // E 。 ⎪⎩ax + by + cz + d = 0
¾
⎧ x − x0 y − y0 z − z0 ⎪ = = al + bm + cn = 0 且 ⎨ l m n 有解，則 L 在 E 上 ⎪⎩ax + by + cz + d = 0
2. 平面方程式求法： ¾
給一點與面上一條線：_________________________________________________
¾
給三點：____________________________________________________________
¾
給兩條不平行直線：___________________________________________________
¾
給兩條平行直線：______________________________________________________
3. 點 P( x0 , y0 , z0 ) 到直線 L :
追求卓越
x − x1 y − y1 z − z1 之距離求法： = = l m n
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主題 五：平面與直線的關係
43
範例 1：找直線 1.
空間中，已知點 P(2，− 1，3)與平面 E：x − y + 3z = 4，若直線 L 為通過 P 點且與平面 E 垂直的直線，試求直線 L 的對稱比例式。
2.
若 L 為 2x + 3y − 2z + 5 = 0 和 5x − 2y + z = 0 兩平面的交線，(1)求 P(7，6，9)到 L 的最短 距離 =
【解答】1.
。(2)求過 P(7，6，9)而與 L 垂直的直線為
x − 2 y +1 z − 3 = = 1 −1 3
2. (1) 51
。
x z − 10 (2) = y − 5 = 7 −1
範例 2：找平面 1. 2. 3.
過點 A(1，0，2)且垂直於直線
x −1 y + 2 z − 3 = = 之平面方程式為 2 2 1
。
⎧x + y + z − 3 = 0 包含直線 ⎨ 及點(1，− 1，− 1)之平面方程式為 ⎩2 x − y + z − 3 = 0 x +1 y −1 z + 2 x y +1 z −1 包含二平行直線 及 = 之平面方程式為 = = = 2 −1 2 1 −1 1
。 。
【解答】1. 2x + 2y + z = 4 2. 7x − 5y + 3z − 9 = 0 3. x − 7y − 5z = 2
隨堂練習 1. 2.
x −1 y − 2 z −1 = = 之平面方程式為 。 2 1 2 ⎧12 x − 5 y − 4 z = 41 空間相交二直線 L1： ⎨ ，L2：x = 1 + 4t，y = 1 + 2t，z = − 3 + 4t，t∈R， ⎩4 x − y − 4 z = 13
試求包含 A(4，3，1)及直線
則 L1，L2 所決定之平面方程式為
。
【解答】1. 2x − 6y + z + 9 = 0 2. 7x − 2y − 6z − 23 = 0 追求卓越
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44
空間平面與直線
範例 3：找平面與直線的交點 1. 若直線 L：
=
x + 2 y −1 z −1 與平面 E：3x − y + 2z = 2 垂直且交點 H，則數對(b，c) = = 6 b c
，H 的坐標是
。
2. 已知點 A(4，2，− 1)與平面 E：3x + 4y − z − 34 = 0，求點 A 對平面 E 的對稱點坐標
為
。
【解答】1. ( − 2，4)，(
−1 1 ， ，2) 2 2
2. (7，6，− 2)
隨堂練習 直線
x +1 y − 2 z + 5 與平面 2x + y − 3z + 7 = 0 的交點坐標為 = = 1 3 −2
。
【解答】( − 3，− 4，− 1)
範例 4：找平面的對稱點 設平面 E：x + y + z = 5，A(2，1，− 4)，B(− 4，1，5)為平面 E 外的兩定點，試在平面 E 上找 一點 P(x，y，z)使 PA + PB 的和最小，此時 P 的坐標為何？ PA + PB 的最小值為何？ 2 7 10 【解答】P(− ， ， )， 141 3 3 3
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主題 五：平面與直線的關係
45
範例 5：找直線的對稱點 空間中二點 A(1，2，3)，B(3，0，1)，在 L：
x −1 y z − 2 上取一點 P，使 PA + PB 之值最 = = 4 −2 2
小。(1)求 P 之坐標。 (2)求 PA + PB 的最小值。 3 3 【解答】(1) ( ，1， ) (2) 14 2 2
範例 6：用平面族秒殺 ⎧x − y + 1 = 0 x +1 y − 2 z −1 設 L1： ⎨ ，L2： ，求：(1)包含 L1 且與 L2 平行的平面 E 的方程 = = 2 1 1 ⎩3 y − z − 2 = 0
式為何？ (2) d(L1，L2)。 【解答】(1) 2x − 5y + z + 4 = 0 (2)
7 30
範例 7：平面夾角 14.設平面 E 過 A(3，0，0)，B(1，0，1)二點且與平面 2x + y + z = 4 的銳角交角為
π 3
，求平面
E 的方程式。
【解答】x − y + 2z − 3 = 0 或 x + 17y + 2z − 3 = 0
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46
空間平面與直線
直線關係 兩直線 L1 :
x − x1 x − x2 x − x2 x − x2 y − y2 z − z2 = = ， L2 : = = l1 m1 n2 l2 m2 n2
⎧ x − x1 y − y1 z − z1 = = ⎪ l m1 n1 ⎪ 1 1. 若 L1 與 L2 不平行且 ⎨ 有解。則兩線交於一點，交角滿足 ⎪ x − x2 = y − y2 = z − z 2 ⎪⎩ l 2 m2 n2 cosθ = ±
l1l 2 + m1 m2 + n1 n2 l12 + m12 + n12 l 22 + m22 + n22
。
2. 若 (l1 , m1 , n1 ) //(l2 , m2 , n2 ) 且 ( x1 , y1 , z1 )∉ (l1 , m1 , n1 ) //(l2 , m2 , n2 ) 且 ( x1 , y1 , z1 )∈
x − x2 y − y 2 z − z 2 則 L1 // L2 。若 = = l2 m2 n2
x − x2 y − y2 z − z2 = = 則 L1 = L2 。 L1 平行 L2 ， l2 m2 n2
x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 ； L2 : 。 = = = = a b c a b c ⎧ x − x1 y − y1 z − z1 = = ⎪ l m1 n1 ⎪ 1 , m1 , n1 )不平行 (l 2 , m2 , n2 ) 且 ⎨ 無解，則兩線歪斜。 4.若 (l1 − − − x x y y z z 2 2 2 ⎪ = = ⎪⎩ l 2 m2 n2 L1 :
範例 8：直線關係 x+5 y +3 z +8 x+5 y +3 z +8 = = (B) = = −1 1 1 1 1 1 ⎧2 x − y + z = 1 x − 3 y − 4 z −1 (D) = (E) ⎨ 。 = 1 −1 −1 ⎩2 x + 2 y + z = 5
下列哪一直線與平面 2x + y + z − 4 = 0 平行？(A) (C)
x+5 y−2 z+5 = = 1 1 −1
【解答】(B)(D)(E)
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主題 五：平面與直線的關係
47
範例 9：找直線交點 試求直線 L1：
x +1 y −1 z −1 x + 2 y +1 z −1 = = = = 與 L2： 的交點坐標。 3 4 2 2 3 1
【解答】(2，5，3)
隨堂練習 已知直線 L1：
x −1 y z − 2 x − 2 y −1 z +1 = = = = 與 L2： 共平面，試求直線 L1 與直線 L2 的交 1 2 −1 1 3 1
點坐標。 【解答】(3，4，0)
範例 10：找平行線距離 二平行線 L1： 【解答】
x −1 y +1 x−3 y +2 = = 1 − z 與 L2： = = 3 − z 的距離為 4 1 4 1
。
3 2 2
隨堂練習 L1：
x − 1 2 − y z + 13 x−2 y+2 z+3 = = = ，L2： 之距離為 = 1 −2 −2 1 2 −2
【解答】6 追求卓越
。
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48
空間平面與直線
範例 11：直線關係 直線 L：
x −1 y z + 2 = = ，說明下列各直線與直線 L 的關係為： 【(A)重合(B)平行(C)相交於一 2 −4 2
點 (D)互為歪斜線】(1)直線 L1： x+3 y+4 z−6 = = ： −1 −1 2
x y +1 z = = ： −2 1 1
。(2)直線 L2：
⎧x y +1 ⎪ = 。(3)直線 L3： ⎨ 2 3 ： ⎪⎩ z = 2
。
【解答】(1) (C) (2) (A) (3) (D)
範例 12：歪斜線 空間二歪斜線 L1：
x − 3 y +1 = = z − 2；L2：2x = y = − 2z + 8，(1)包含 L2 且與 L1 平行的平面方 2 −2
。(2) L1，L2 的距離 =
程式為
。
【解答】(1) y + 2 z = 8 (2) 5
隨堂練習 已知 L1：
x−5 y −3 z +7 x −1 y + 5 z +1 ，L2： 不共平面，則 = = = = 2 −1 −2 1 2 1
(1)含 L2 與 L1 平行之平面 E 的方程式為何？ (2) L1，L2 兩歪斜線的距離為何？
【解答】(1) 3x − 4y + 5z − 18 = 0 (2) 5 2 追求卓越
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主題 五：平面與直線的關係
49
範例 13：歪斜線 空間中二歪斜直線 L1： 線的垂足坐標各為何？
x −3 y −8 z −3 x+3 y+7 z−6 ，L2： ，試求(1) L1 與 L2 之公垂 = = = = 3 −1 1 −3 2 4 (2) L1 與 L2 之公垂線的方程式。(3) L1 與 L2 間之最短距離。
【解答】(1) (3，8，3)，(− 3，− 7，6) (2)
x −3 y −8 z −3 = = 2 5 −1
(3) 3 30
隨堂練習 直線 L1：
x − 11 y + 5 z + 7 x+5 y−4 z−6 ，L2： 不共平面，則(1)包含 L2 且平行 L1 之 = = = = 4 −3 3 −4 −2 −1
。(2)其公垂線 L 與直線 L1 的交點為
平面方程式為
。(3) L1，L2 的公垂線段
。
長為
【解答】(1) 2x + 5y − 7z + 32 = 0 (2) (3，1，− 5) (3) 78
範例 14：找點在線上的投影座標 ⎧ x = −t ⎪ 在空間坐標中，點 P(1，− 1，2)到直線 ⎨ y = −1 + 2t ， （t∈R）的最短距離為何？此時的投影坐 ⎪z = 3 + t ⎩
標為何？ 【解答】
2 3 1 5 8 ，( ，− ， ) 3 3 3 3
追求卓越
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50
空間平面與直線
範例 15：空間活用題 設 A(− 2，1，5)，B(1，1，2)，而點 P 在直線 L：x − 3 =
y −1 = z − 2 上移動，求△PAB 面積的 2
最小值及此時點 P 之坐標。 8 1 5 【解答】 6 ，( ， ， ) 3 3 3
追求卓越
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主題 五：平面與直線的關係
練 1.
功
51
升
級
區
五
直線 x＝y＝z 與下列哪一平面平行？(A) 3x－2y－z＋5＝0 (B) 2x＋y－3z＝0 (C) x＋4y－ 5z－1＝0 (D) x＋y＋z－3＝0 (E) x＋y＝2z＋1
2. 直線 L：
x +1 y − 3 z = = 與平面 2x + 4y + z = 21 的距離為 5 −3 2
。
3. 設平面 E：2x＋3y＋4z＝12，直線 L 為平面 E 與 xy 平面之交線，下列敘述何者正確？ (A) 平面 E 與坐標軸 x 軸、y 軸、z 軸之截距分別為 6、4、3
＝
x－3 (B) 直線 L 的方程式為： 3
y－2 ，z＝0 (C) 平面 E 與 xy 平面、yz 平面、xz 平面所圍成之體積為 24 (D) 直線 L －2
與 z 軸之距離為
24 13
(E) 直線 L 與 x 軸、y 軸所圍成之面積為 12
4. 平面 E 包含兩平面 2x＋y－4＝0 及 y＋2z＝0 之交線，求： (1) 過點 ( 2 ,－1 , 1 ) 之平
面 E 的方程式為______。 (2) 垂直 3x＋2y－3z－6＝0 之平面 E 之方程式為______。 5. 求垂直平面 x＋2y－z＋3＝0 與平面 2x－y＋z－1＝0，且過點( 1 , 2 ,－3 )之平面方程式。 x－1 y＋2 z－2 與點 P (－2 , 1 , 3 )，試求： 6. 已知直線 L： 2 ＝ 3 ＝ －1 (1) 直線 L 與點 P 所決定的平面方程式。 (2) 包含直線 L 且垂直平面 x－y＋z＝3 的平面方程式。 7. 空間中有一平面 E：x＋3y－2z＝5，試問 E 與 xy 平面之交線為何？ (A)
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x＋3y＝5 (B) z＝0
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
⎧⎪ x＝3＋3t ⎧⎪ x＝3＋3t ⎧⎪ x＝5＋3t x－2y＝5 (C) ⎨ y＝1＋t (D) ⎨ y＝－1－t (E) ⎨ y＝0＋t y＝0 ⎪⎩ z＝0 ⎪⎩ z＝0 ⎪⎩ z＝0
x－2 y＋1 z－3 x＋2 y＋14 z－1 8. 試求 L1： 4 ＝ ＝ 2 與 L2： 2 ＝ 3 ＝ 1 的交點為何？ －1 (A)（6 , 2, －5）
(B)（6 , －2 , －5） (C)（6, －2 , 5） (D)（－6 , 2, －5） (E)
（6 , 2 , 5） ⎧⎪ x＝1＋3t 9. 在空間中，直線 L：⎨ y＝2－5t ，t 為實數，下列何者為真？(A) L 與 x 軸平行 (B) L 與 z ⎪⎩ z＝3
軸平行 (C) L 與 xy 平面平行 (D) L 與 xy 平面垂直 (E) L 與平面 5x＋3y＋z－1＝0 垂 直。 10. 包含直線 L： 追求卓越
x +1 y −1 z − 2 的平面 E，若與平面 F：2x − y + 3z + 7 = 0 垂直，則其方 = = 3 2 4 鋒凡數學家教班
52
空間平面與直線
程式為
。
y－1 z－2 x－1 y＋1 z－8 x 11. 兩平行線 L1： 2 ＝ 1 ＝ ，L2： 4 ＝ 2 ＝ 之距離為______。 －1 －2 AB在 E 上之正射影長為______。 12. A ( 3 , 1 , 2 )，B (－4 , 0 , 4 )，平面 E：x－2y－2z＋6＝0，求¯¯¯¯¯ ⎪⎧ 3x－y＋z＋5＝0 13. 求滿足下列條件之直線的方程式：通過點 ( 2 ,－3 , 0 ) 且與直線⎨ x－y－z－6＝0 平行。 ⎪⎩
答：______。 x－1 y＋2 z－1 x－1 y＋2 14. 求滿足下列條件之平面的方程式：含相交二直線 1 ＝ 2 ＝ 及 2 ＝ 1 －1 z－1 ＝ 2 。答：______。 15. 設 L 是通過點 A ( 0 , 1 , 1 )，B ( 1 , 2 , 4 ) 的直線，P (－1 , 5 , 3 ) 是 L 外一點，則 P 相關
於 L 之對稱點的坐標為______。 x－1 y＋2 z－1 x－2 z＋1 y 16. 空間中兩平行直線 L1： 3 ＝ ＝ 5 ，L2： 3 ＝ ＝ 5 ，則： －4 －4 (1) 包含 L1 和 L2 兩直線之平面方程式為
。 (2) L1 與 L2 之間的距離為
x－3 y z 17. 設直線 L： 1 ＝ 2 ＝ 2 ，(1) 若直線 L 與 x 軸的銳交角 θ，則 cosθ＝ AB＝10，則 AB ＝ 線 N1//直線 N2，L 是 N1 與 N2 的一條公垂線，且公垂線段¯¯¯¯¯
點 P ( 2 ,－15 ,－16 )在直線 L 上的投影點為 Q，則點 Q 坐標為
。 。(2) 若直 。(3) 若
。
x＋1 y＋4 z＋2 18. 求 L： 2 ＝ 3 ＝ 4 與平面 3x＋2y＋z＝3 之交點為_____。 x－2 y－1 2－z 2－z 19. 試求 L1： 2 ＝ 1 ＝ 1 與 L2：x－2＝1－y＝ 2 之角平分線為_____。 ⎧⎪ x－y＋z－1＝0 x＋1 y－2 z－1 20. L1：⎨ 2x＋y－2z＋1＝0 ，L2： 2 ＝ 1 ＝ 1 ⎩⎪
(1) 求包含 L1 且與 L2 平行之平面方程式。(2) 求 L1、L2 間之最短距離。 21. 設 L 為通過 ( 0 , 0 , 1 ) 與 ( 1 , 2 , 5 ) 兩點之直線，則 x 軸上距離 L 最近之點為何？而 x
軸與 L 之距離為何？ 22. 給定一點 A(1，2，3)，平面 E：x + y + z = 0，(1)過 A 點垂直平面 E 的直線參數式
為
。(2) A 點在 E 上的正射影坐標為
為
。
23. 已知兩平行線 L1：
距離 = 追求卓越
。(3) A 點對 E 的對稱點坐標
x +1 y − 2 x − 3 y +1 = = z − 3，L2： = = z + 2，試求：(1) L1，L2 的最短 2 −2 2 −2
。 (2)包含 L1，L2 的平面方程式為
。 鋒凡數學家教班
主題 五：平面與直線的關係
53
24. 空間中點 P(4，− 3，2)與二平面 E1：x + y + z − 1 = 0，E2：2x + 3y + 5z − 7 = 0，(1)求 E1， E2 的交線 A 之參數式。(2)求 P 點到 A 的距離。(3)求包含 P 點與直線 A 的平面方程式。 25. 甲、乙兩螞蟻分別沿著空間中不共平面的兩直線 L1：
x−2 y−4 z−2 和 L2： = = 1 2 −1
x +1 y − 3 = = z 移動，問(1)當兩螞蟻有最短距離時，甲螞蟻所在位置的坐標為何？ 2 −2 (2)而兩螞蟻之最短距離 =？ 26.
設 O-xyz 空間有四個點 A( − 2，− 3，1)，B( − 6，1，− 5)，C(3，4，− 3)，D(1，3，3)， 則(1)點 D 與直線 AB 之距離為
27.
設點 P( − 5，0，− 8)及直線 L：3 − x =
。 (2)兩直線 AB 與 CD 之距離為
。
y − 2 z +1 ，則下列敘述何者正確？ = 2 −2
(A) (1，2，− 2)為直線 L 的一方向向量 (B) P 點在直線 L 上的正射影 Q 之坐標為(1，6， − 5) 3，− 28.
(C) P 點到直線 L 的最短距離 = 9 (D) P 點對於直線 L 的對稱點 P′的坐標為( − 2， 13 ) 2
(E)過 P 點且包含直線 L 的平面方程式為 2x − y − 2z + 6 = 0
⎧x + 2 y = 1 (1)求直線 ⎨ 的參數式為 ⎩z = 0
⎧x + 2 y = 1 。(2)求直線 ⎨ 與原點(0，0，0)的 ⎩z = 0 ⎧x + 2 y = 1 。(3)求包含直線 ⎨ 與過原點(0，0，0)的平面方程式 ⎩z = 0
距離為 為
。
29. 空間中 A(0，3，0)，B(2，1，− 1)為平面 E：x − 2y + z + 3 = 0 不同側的兩點，(1)求 A 相
對於平面 E 的對稱點。(2)若平面 E 處為一鏡面，有一光線通過 A 點朝向 B 點的方向直線 前進，中途經鏡面 E 反射，求反射後光線前進的路徑之直線對稱比例式。 x－a z－3 30. 若直線 L1： 2 ＝4－y＝z－a，L2：x－2＝y＋a＝ 2 相交於一點，則 (A) a＝5 (B) a＝－5
(C) L1 之方向向量為（2 , 1 , 1） (D) 交點（－1 , 2 , －3） (E)
交點（9 , 2 , 7）
【答案】 1.
(A)(B)(C)(E)
2.
11 21
3. 4.
(A)(B)(E) (1) x＋y＋z－2＝0；(2) 2x＋3y＋4z－4＝0
21
追求卓越
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54
空間平面與直線
5. 6.
x－3y－5z－10＝0 (1) 6x＋y＋15z－34＝0；(2) 2x－3y－5z＋2＝0
7. 8. 9.
(A) (C) (C)
10. 10x − y − 7z + 25 = 0 11. 35 12. 3 5 x－2 y＋3 z 13. 1 ＝ 2 ＝ －1 14. 5x－4y－3z＝10
－15 29 43 15. ( 11 , 11 , 11 ) 16. (1) 2x－11y－10z＝14
(2)
3 2
1 10 20 20 17. (1) 3 ；(2) ±( 3 , 3 , 3 )；(3) (－4 ,－14 ,－14 ) 18. （1 , －1, 2） 19.
x－2 z－2 y－1 z－2 x－2 ＝ ， y ＝ 1 或 ＝ ＝ 1 1 2 1 －1
20. (1) x＋5 y－7 z＋5 ＝0； (2)
7 3 15
1 21. (－ 5
5 , 0 , 0 )， 5
22. (1) x = 1 + t，y = 2 + t，z = 3 + t，t ∈ R(2) (− 1，0，1)(3) (− 3，− 2，− 1) 23. (1) 41
(2) 13x + 14y + 2z = 21
⎧ x = 2t ⎪ 24. (1) ⎨ y = −3t − 1 ，t ∈ R (2) 6 ⎪z = t + 2 ⎩
25. (1) (1，2，3)
(3) x + 2y + 4z − 6 = 0
(2) 5
26. (1) 7 (2) 7 27. (B)(C) ⎧ x = 1 − 2t ⎪ ，t∈R 28. (1) ⎨ y = t ⎪z = 0 ⎩
29. (1) (1，1，1) 30.
(2)
(2)
5 5
(3) z = 0
x −1 y −1 z −1 = = 1 4 −8
(B)(D)
追求卓越
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