Soluzioni Esercizi Di Teoria Dei Giochi

Soluzioni esercizi di Teoria dei giochi Trovate gli equilibri del seguente gioco in forma normale, spiegando chiaramente il procedimento seguito.

A T 4 6 B

12 4

B 9 7 7 5

C 10 0 8 6

Indichiamo prima di tutto con una R il giocatore riga, mentre con una C il giocatore colonna. Questo gioco, come dice il testo dell’esercizio, è in forma normale quindi non ci dovrebbe essere nessuna difficoltà nel calcolare gli equilibri. Teniamo presente che in ogni casella i playoffs dei due giocatori sono sistemati in modo che la prima cifra corrisponda al guadagno di R e la seconda al guadagno di C. Indicheremo con “ MR ( C ) T ” la miglior risposta del giocatore colonna “C” quando il giocatore riga gioca “ T ” e così faremo per le altre miglior risposte che dovranno seguire durante la risoluzione del gioco. Spieghiamo chiaramente il procedimento seguito: MR ( C ) T = B MR ( C ) B = C MR ( R ) A = B MR ( R ) B = T MR ( R ) C = T Se definiamo l’equilibrio di Nash come quella coppia di strategie per cui nessun giocatore è incentivato a cambiarla dato ciò che farà l’altro allora possiamo concludere che l’unico equilibrio di questo tipo in questo gioco è quello corrispondente alla coppia MR ( C ) T = B MR ( R ) B = T Dunque possiamo concludere dicendo che EN = ( T , B )

Equilibri di Nash in giochi dinamici In questo tipo di gioco i giocatori possono muovere in momenti diversi. Un gioco in forma estesa è un albero contenente un nodo inziale, altri nodi decisionali, nodi terminali e rami che legano ciascun nodo decisionale a quelli successivi. In questo gioco un pilota deve decidere se fare rotta su Cuba o New York ed un terrorista deve decidere se farsi esplodere o no. Il terrorista può, però, osservare la scelta del pilota dato che la scelta non è simultanea come invece avviene nei giochi simultanei.

Dall’albero ricaviamo questa tabella. Ricercando gli equilibri di Nash come nell’esercizio visto in precedenza otteniamo tre equilibri:

EN = (NY , NB / NB) ; ( NY , B / NB ) ; ( C , NB/B ) Alcuni di questi sembrano poco soddisfacenti infatti non è mai ottimo per il terrorista far esplodere la bomba. Grazie all’induzione all’indietro possiamo eliminare gli equilibri “poco credibili” considerando gli equilibri perfetti nei sottogiochi. Un sottogioco si compone di un nodo decisionale del gioco completo e di tutti i nodi decisionali e terminali che seguono direttamente da questo e un esito è definibile come equilibrio perfetto nei sottogiochi se induce un equilibrio di Nash in ogni sottogioco o gioco originario. Possiamo, dunque, affermare che l’unico equilibrio perfetto nei sottogiochi in questo caso è l’esito (NY , NB/NB).