Solutions 7

Physique g´ en´ erale I Solution des exercices de m´ ecanique

Prof. Marc Schiltz Semestre d’automne 2007

S´ erie 7 Exercice 7.1 Nous consid´erons une masse m attach´ee `a un axe vertical par deux fils d’un m`etre de long, de masse n´egligeable et faisant un angle x θ = 60◦ entre eux. Elle tourne autour de l’axe vertical `a vitesse angulaire constante, de telle sorte que la force de tension dans l’un 1 la tension des fils soit la moit´e de celle dans l’autre. Appelons S 2 celle dans le fil inf´erieur; avec la force de dans le fil sup´erieur et S gravitation m g , verticale et orient´ee vers le bas, ce sont les seules forces agissant La loi de Newton s’´ecrit alors dans ce cas : 1 + S 2 + m g = ma . S

y

1 S 2 S

m g

sur m.

La masse m suit un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal; la norme de sa vitesse v , qui est tangentielle uniquement, est donc constante et son acc´el´eration a est un vecteur contenu dans le plan horizontal, pointant toujours vers l’axe vertical, et 2 u v est la norme de v et r la distance de m dont la norme est constante et ´egale a` vr , o` `a l’axe vertical. Consid´erons alors un syst`eme d’axes Oxy immobile, de telle sorte qu’`a un instant donn´e, m soit sur O, que x soit horizontal et pointe vers l’axe de rotation, et ` l’instant o` que y soit vertical. A u m est sur O, tous les vecteurs forces et acc´el´eration sont dans le plan Oxy et nous pouvons donc les d´ecomposer sur x et y. L’´equation de Newton ci-dessus s’´ecrit alors comme un syst`eme de deux ´equations :  √ √ 3 3 S1 cos θ2 + S2 cos θ2 = ma S + S2 = m a 1 2 2 ⇔ θ θ 1 1 S1 sin 2 − S2 sin 2 − m g = 0 S − 2 S2 = m g 2 1 En regardant la deuxi`eme ´equation, nous voyons tout de suite que c’est S1 qui doit ˆetre plus grande que S2 , ce qui confirme l’intuition. Nous pouvons donc ´ecrire S1 = 2 S2 et n’avons plus que deux inconnues, S2 et a dans le syst`eme ci-dessus. Nous avons : √ √  √ 3 3 3 S2 + 23 S2 = m a S2 = m a 2 ⇔ 1 1 S = mg S2 − 2 S2 = m g 2 2 Nous obtenons ainsi S2 = 2 m g, d’o` u: Or, a =

v2 r

, o` ur=

√

3 2

a=3 · 1 m, donc : v=

√

√

3g .

 √ ra = 3 3rg .

Par d´efinition, la p´eriode de rotation de la masse m est T = que nous venons d’´etablir, nous obtenons finalement :  r ∼ √ T = 2π = 0,819 s . 3 3g

2πr v

; avec l’expression de v

Exercice 7.2 Nous consid´erons une masse ponctuelle ayant un mouvement curviligne. Son vecteur acc´el´eration peut en tout point de la trajectoire s’´ecrire comme la somme de deux composantes dont l’une, aτ , est tangente `a la courbe en le point consid´er´e et l’autre, aν , est normale : a = aτ + aν = aτ  eτ + aν  eν , o` u eτ est un vecteur unitaire dans la mˆeme direction et selon le mˆeme sens que aτ en le point de la trajectoire consid´er´e, et eν un vecteur unitaire dans la mˆeme direction et selon le mˆeme sens que aν . Or, la norme de l’acc´el´eration normale s’´ecrit : aν  =

v 2 ρ

,

o` u v est la vitesse de la masse ponctuelle en le point consid´er´e et ρ le rayon de courbure de sa trajectoire en ce point. Nous avons alors : v 3 v 2 = , v × a = v × (aτ + aν ) =  v × aτ  + v × aν  = v aν  = v     ρ ρ =0

du fait que v et aτ sont colin´eaires en tout point de la trajectoire, alors que v et aν sont orthogonaux en tout point. Nous obtenons donc : ρ=

v 3 v × a

,

ce qui montre que le rayon de courbure en tout point de la trajectoire (d’une masse ponctuelle) peut ˆetre calcul´e `a partir de la vitesse et de l’acc´el´eration de cette masse en le point consid´er´e. Exercice 7.3 Nous consid´erons une particule ayant une charge q > 0, entrant avec une vitesse v0 dans  uniforme, et supposons qu’il une r´egion de l’espace o` u r`egne un champ magn´etique B n’y a pas d’autre action sur cette particule. 1. Montrons que la trajectoire de cette particule est une h´elice. Pour ce faire, nous ´ecrivons sa vitesse d’entr´ee v0 sous la forme : v0 = v0, + v0,⊥ . Consid´erons alors la vitesse v de la particule en un point quelconque de la trajectoire. Nous pouvons ´egalement ´ecrire v comme la somme d’une composante  v = v + v⊥ . La force de Lorentz parall`ele et une composante perpendiculaire a` B, agissant sur la particule est :  = q (v + v⊥ ) × B  = q v × B  + q v⊥ × B  = q v⊥ × B  , F = q v × B  sont colin´eaires. Nous voyons donc que seule la composante de du fait que v et B  contribue `a cette force. Et si la vitesse d’entr´ee v0 n’´etait v perpendiculaire a` B 3

 la particule ne subirait aucune force d`es le d´ebut et suivrait que parall`ele `a B, donc un mouvement rectiligne uniforme. Ces consid´erations nous permettent de  et d´eduire que la force de Lorentz est contenue dans un plan perpendiculaire `a B, ce en tout temps, quelle que soit la vitesse d’entr´ee de la particule. Nous pouvons ainsi d´ecomposer le mouvement de la particule en deux parties, l’une le long d’un  et l’autre dans un plan perpendiculaire a` axe parall`ele au champ magn´etique B  Posons alors un syst`eme d’axes xyz cart´esien et positivement orient´e, tel que B.  (et que x et y soient z soit dans la mˆeme direction et selon le mˆeme sens que B  de plus, positionnons les axes x et y de telle dans le plan perpendiculaire a` B); sorte que la force de Lorentz soit selon −x `a l’instant o` u la particule entre dans la r´egion o` u r`egne le champ magn´etique uniforme. Du fait que cette particule n’est soumise `a aucune autre force que la force de Lorentz F , son acc´el´eration a est, d’apr`es la deuxi`eme loi de Newton, selon la mˆeme direction et dans le mˆeme sens que F : F , a = m  m ´etant sa masse. a est donc ´egalement contenu dans un plan perpendiculaire a` B, il n’y a pas d’acc´el´eration selon z. La composante du mouvement selon z est donc rectiligne uniforme. Int´eressons-nous maintenant a` la composante du mouvement dans le plan xy. Par d´efinition, la force de Lorentz F est normale a` la vitesse de la particule en tout point de la trajectoire; et mˆeme, d’apr`es le calcul ´ecrit plus haut, elle est en tout point normale a` la composante de la vitesse orthogonale a`  Cette composante de la vitesse, qui est dans le plan xy, et l’acc´el´eration, qui B. est dans ce mˆeme plan, sont donc des vecteurs normaux entre eux en tout point de la trajectoire, donc en tout temps; nous pouvons ainsi ´ecrire : a · v⊥ = 0 ,

∀t.

Or, a · v⊥ =

1 d dv⊥ 1 dv⊥ 1 dv⊥ 1 d · v⊥ = · v⊥ + v⊥ · = (v⊥ · v⊥ ) = v⊥ 2 . dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt

La norme de v⊥ (et donc aussi celle de v) est donc constante. Ce r´esultat implique que la norme de la force de Lorentz, qui est :  = q v⊥  B  , F  = q v⊥ × B est ´egalement constante. Et donc l’acc´el´eration que subit la particule est constante en norme. Soient vx et vy les composantes de la vitesse selon x et y respectivement; soient aussi ax et ay les composantes de l’acc´el´eration selon x et y respectivement. Comme les normes de la vitesse et de l’acc´el´eration sont des constantes du mouvement, il existe deux constante r´eelles,  et ς, positives ou n´egatives, telles que : ax 2 + ay 2 = 2

et 4

vx 2 + vy 2 = ς 2 .

Chacune de ces deux relations correspond `a l’´equation cart´esienne d’un cercle. Nous pouvons donc ´ecrire en toute g´en´eralit´e, par exemple pour la vitesse :  vx (t) = ς sin ϕ(t) , avec : v⊥ 2 = ς 2 vy (t) = ±ς cos ϕ(t) En d´erivant ces expressions par rapport au temps, nous obtenons les composantes de l’acc´el´eration :  ˙ cos ϕ(t) ax (t) = ς ϕ(t) ˙ 2 = 2 . , avec : a2 = ς 2 ϕ(t) ˙ sin ϕ(t) ay (t) = ∓ς ϕ(t) Cette derni`ere relation montre que ϕ˙ est une constante pour tout t, ce qui ´etablit que ϕ est une fonction affine, ϕ(t) = ω t + φ, o` u ω et φ sont des constantes. Nous pouvons ainsi ais´ement trouver une primitive des expressions de v⊥,x et v⊥,y , qui correspond alors aux composantes selon x et y du vecteur position de la particule; nous obtenons :  x(t) = x0 − ω2 cos(ω t + φ) , y(t) = y0 ± ω2 sin(ω t + φ) qui sont les expressions d’un mouvement circulaire uniforme. Nous avons ainsi montr´e que la trajectoire d’une particule charg´ee plong´ee dans un champ magn´e et ayant une certaine vitesse d’entr´ee v0 est la composition d’un tique uniforme B  et d’un mouvement mouvement rectiligne uniforme selon la direction parall`ele `a B, circulaire uniforme dans un plan perpendiculaire. Un telle trajectoire est appel´ee h´elice (de pas constant). 2. Pour trouver l’´evolution de la particule charg´ee, nous revenons `a l’expression de la norme de l’acc´el´eration et d´eterminons sa valeur `a l’aide de la deuxi`eme loi de F ⊥B Newton; nous avons a = m = q vm , o` u a, F , v⊥ et B sont les normes de a, F ,  respectivement. Or, comme la norme v de v est constante et comme v v⊥ et B est constante, alors v = v0 , v = v0, , et donc v⊥ = v0,⊥ , o` u v0,⊥ est la norme de v0,⊥ . Rappelons maintenant que nous avons choisi le syst`eme d’axes xyz de telle sorte que la force de Lorentz, et donc l’acc´el´eration, soient selon −x lorsque la particule entre dans la r´egion de l’espace o` u r`egne le champ magn´etique uniforme. Ces diff´erentes consid´erations nous permettent de conclure que  = − mq v0,⊥ B. Choisissons l’origine du temps `a cet instant, o` u l’acc´el´eration de la particule n’est u φ = 0. Aussi v⊥,x (0) = 0 et v⊥,y (0) = v0,⊥,y = que selon −x. Alors ay (0) = 0, d’o`  u: −v0,⊥ , du fait que a (et donc F ) est selon −x en t = 0 ; d’o` ω=−

 v0,⊥,y

=

q B v0,⊥ qB = m v0,⊥,y m

.

La condition v0,⊥,y = −v0,⊥ permet aussi de d´eduire le signe dans l’expression de ay obtenue pr´ec´edemment; et le signe doit ˆetre n´egatif, pour assurer le fait que v0,⊥,y est n´egative. Choisissons finalement l’origine O du syst`eme d’axes de telle 5

sorte que x0 = y0 = 0 et de telle sorte que la coordonn´ee z de la particule soit nulle au temps t = 0. Nous obtenons alors les ´equations de mouvement : ⎧ q B

m v0,⊥ ⎪ x(t) = cos t ⎪ qB m ⎨ q B

m v0,⊥ . y(t) = − q B sin m t ⎪ ⎪ ⎩ z(t) = v t 0,

Et bien que d´ej`a plus ou moins ´etablies, nous redonnons la vitesse et l’acc´el´eration de la particule : ⎧

⎪ vx (t) = −v0,⊥ sin qmB t ⎪ ⎨

, avec : v  = v0  = v0 , vy (t) = −v0,⊥ cos qmB t ⎪ ⎪ ⎩ v (t) = v z

et :

0,

⎧ q B

q v0,⊥ B ⎪ a (t) = − cos t x ⎪ m m ⎨

q v0,⊥ B sin qmB t ay (t) = m ⎪ ⎪ ⎩ az (t) = 0

,

avec :

a = a =

q v0,⊥ B m

.

Dans ces expressions, il est important de noter que v0,⊥ est la norme de la com alors que v0, est la composante parall`ele posante de la vitesse v0 normale a` B,  et non sa norme. v0, peut donc ˆetre une grandeur aussi bien positive que `a B n´egative, alors que v0,⊥ est toujours positive; c’est ce qui explique la pr´esence des signes − dans certaines des deux premi`eres ´equations des syst`emes ci-dessus, alors que dans la troisi`eme ´equation, ils sont absents. Une telle notation peut ne pas sembler logique; cependant, le lecteur remarquera que la projection d’un vecteur sur un autre donne un vecteur qui est compl`etement caract´eris´e par un nombre r´eel (positif ou n´egatif) multipliant le vecteur sur lequel on projette, alors que la projection d’un vecteur dans un plan ne peut pas ˆetre caract´eris´e par un seul nombre, mais par deux, chacun d’eux multipliant un des deux vecteurs engendrant le plan sur lequel on projette; de ce fait, il est licite de consid´erer v comme une composante, alors que v⊥ ne peut ˆetre que la norme du vecteur v⊥ . 3. Calculons le rayon de courbure de la trajectoire de la particule; pour ce faire, nous utilisons le r´esultat ´etabli a` l’exercice pr´ec´edent. Nous avons : q  = (v + v⊥ ) × q (v⊥ × B)  = (v⊥ × B) m m

q  + v⊥ × (v⊥ × B)  = v × (v⊥ × B) = m

q  v⊥ − (v⊥ · v⊥ ) B  = (v · B) = m q  . = (v B v⊥ − v⊥ 2 B) m

v × a = v ×

6

Dans ce calcul, nous avons utilis´e la propri´et´e a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c, o` u   a, b et c sont trois vecteurs, et le fait que v et v⊥ sont orthogonaux, ainsi que B et v⊥ . La norme de ce produit vectoriel est :   q  · (v B v⊥ − v⊥ 2 B)  = (v × a) · (v × a) = (v B v⊥ − v⊥ 2 B) v × a = m q B v⊥  2 q  2 2 2 v B v⊥ + v⊥ 4 B 2 = v + v⊥ 2 = = m m q B v0,⊥ v0 q B v⊥ v = , = m m et constatons qu’elle est constante, qu’elle ne d´epend pas du point de la trajectoire. Le rayon de courbure ρ de cette derni`ere est donc : ρ=

m v0 2 v3 = v × a q B v0,⊥

, mv

qui est ´egalement constant. Nous constatons que ρ = q B0,⊥ en g´en´eral; le rayon de courbure n’est pas ´egal au rayon du mouvement circulaire uniforme dans le plan Oxy. Il y a ´egalit´e uniquement dans le cas o` u v = v0, = 0, car alors v = v⊥ et mv ρ = q B0,⊥ . Dans le cas o` u v⊥ = 0, alors v = v = v0, et ρ → ∞, ce qui est consistant puisque nous avons alors affaire a` un mouvement rectiligne uniforme. z

z

 B  v

 B

v⊥ v

x

y

v

 v

v⊥

x

y

Les deux figures ci-dessus illustrent le mouvement d’une particule de charge q > 0  orient´e selon +z. Dans la figure de gauche, dans un champ magn´etique uniforme B, la vitesse d’entr´ee v0 est telle que v0, est selon +z, tandis que dans celle de droite, v0, est selon −z. Le sens de ces h´elices serait contraire si la particule avait une charge q < 0. 7