Solutions 6

Physique g´ en´ erale I Solution des exercices de m´ ecanique

Prof. Marc Schiltz Semestre d’automne 2007

S´ erie 6 Exercice 6.1 Nous consid´erons un point P situ´e sur la circonf´erence d’une roue de moto avan¸cant a` vitesse v0 constante. Appelons R le rayon de la roue et consid´erons un syst`eme d’axes cart´esien Oxy, comme indiqu´e sur la figure, de telle sorte que le point O soit en le point P lorsque ce dernier est en contact avec le sol. Choisissons l’origine du temps l’instant ` l’instant t > 0, la coordonn´ee x du centre de la roue est v0 t, o` u le point P est sur O. A o` u v0 est la norme de v0 , alors que sa coordonn´ee y est y constante, ´egale a` R. Pendant ce temps t, la roue tourne d’un angle θ(t), comme indiqu´e sur la figure; et cet angle est reli´e `a la vitesse du centre de la roue par la relation : C P

R θ = v0 t ;

θ

O

x

en effet, comme la roue roule sans glisser, alors la distance parcourue par son centre en le temps t correspond a` la longueur de l’arc de cercle (l’arc de roue) R θ. Consid´erons maintenant le vecteur lieu OP  r reliant l’origine O au point P . Il peut s’´ecrire comme la somme des vecteurs OC, reliant l’origine O au centre C de la roue, et CP , reliant C `a P. Les composantes de ces deux vecteurs selon x et y sont respectivement (v0 t ; R) et − R sin θ(t) ; −R cos θ(t) . Les coordonn´ees du point P en fonction de t s’´ecrivent donc :    xP (t) = R ω t − sin(ω t) v0 . , o` u ω=   R yP (t) = R 1 − cos(ω t) Ces relations correspondent `a l’´equation param´etrique d’une cyclo¨ıde. Les composantes x et y de la vitesse vP de P s’obtiennent en d´erivant ces expressions par rapport au temps. Nous obtenons :    vP,x (t) = R ω 1 − cos(ω t) ; vP,y (t) = R ω sin(ω t) et la norme de vP est :

     2 ω t  . vP  = vP = R ω 1 − cos(ω t) + sin2 (ω t) = 2 R ω  sin 2 

Aussi, les composantes x et y de l’acc´el´eration aP de P s’obtiennent en d´erivant vP,x et vP,y par rapport au temps. Nous obtenons :  aP,x (t) = R ω 2 sin(ω t) ; aP,y (t) = R ω 2 cos(ω t)

et la norme de aP est :

aP  = aP = R ω 2 ,

et constatons qu’elle est constante. La relation aP,x (t) = tg(ω t) = tg θ(t) aP,y (t) montre que le vecteur aP est dirig´e en tout temps vers le centre de la roue. D’autre part, l’expression     ωt θ(t) 1 − cos(ω t) vP,x = tg = = tg vP,y sin(ω t) 2 2

2 v0 v0

montre que le vecteur vP est dirig´e en tout temps vers le sommet de la roue. Exercice 6.2 u Dans R3 , nous consid´erons le r´ef´erentiel cart´esien Oxyz, o` chacun des axes x, y et z porte un vecteur unitaire ex , ey et ez respectivement (ces trois vecteurs forment donc une base orthonorm´ee). Soit P un point dont les coordonn´ees cylindriques sont (ρ; ϕ; z), comme indiqu´e sur la figure ci-contre. Soient aussi eρ , eϕ et ez les trois vecteurs unitaires et orthogonaux entre eux, issus de P , comme indiqu´es sur la figure; ils forment ´egalement une base orthonorm´ee et eρ peut s’´ecrire eρ = ρρ  , o` u ρ est la projection orthogonale dans le plan Oxy du vecteur lieu r reliant O `a P .

z ez

P

ez

r z eρ

O

ex

 eϕ

ϕ

ey

y

ρ 

x

1. Les expressions de eρ , eϕ et ez en fonction de ex , ey et ez sont : ⎧ e = cos ϕ ex + sin ϕ ey ⎪ ⎨ ρ eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey . ⎪ ⎩ ez = ez 2. Les expressions de e˙ρ , e˙ϕ et e˙ z s’obtiennent en d´erivant par rapport au temps les relations obtenues pr´ec´edemment; nous obtenons : ⎧ ⎪ e˙ = −ϕ˙ sin ϕ ex + ϕ˙ cos ϕ ey = ϕ˙ eϕ ⎪ ⎨ ρ . e˙ ϕ = −ϕ˙ cos ϕ ex − ϕ˙ sin ϕ ey = −ϕ˙ eρ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ ez = 0 Par d´efinition, la vitesse du point P est la d´eriv´ee par rapport au temps de son vecteur position, vP = r˙ . Nous avons : d d d r˙ = r = (ρ + z ez ) = (ρ eρ + z ez ) = ρ˙ eρ + ρ e˙ ρ + z˙ ez + z e˙z , dt dt dt 3

o` u ρ   ρ . Or e˙ρ = ϕ˙ eϕ et e˙ z = 0, donc : vP = vρ eρ + vϕ eϕ + vz ez , o` u:

⎧ v = ρ˙ ⎪ ⎨ ρ vϕ = ρ ϕ˙ ⎪ ⎩ vz = z˙

sont les composantes de la vitesse du point P en coordonn´ees cylindriques. 3. Les expressions de e¨ρ , e¨ϕ et e¨z s’obtiennent en d´erivant par rapport au temps e˙ρ , e˙ϕ et e˙ z , respectivement; nous obtenons : ⎧ ⎪ e¨ = ϕ¨ eϕ + ϕ˙ e˙ ϕ = ϕ¨ eϕ − ϕ˙ 2 eρ ⎪ ⎨ ρ . e¨ϕ = −ϕ¨ eρ + ϕ˙ e˙ ρ = −ϕ¨ eρ − ϕ˙ 2 eϕ ⎪ ⎪ ⎩¨ ez = 0 Par d´efinition, l’acc´el´eration du point P est aP = r¨. En utilisant le fait que e˙ρ = ϕ˙ eϕ , e˙ ϕ = −ϕ˙ eρ et e˙ z = 0, nous avons : d ˙ d2 d (ρ˙ eρ + ρ ϕ˙ eϕ + z˙ ez ) = r¨ = 2 r = r = dt dt dt = ρ¨ eρ + ρ˙ e˙ ρ + ρ˙ ϕ˙ eϕ + ρ ϕ¨ eϕ + ρ ϕ˙ e˙ ϕ + z¨ ez = ˙ eϕ + z¨ ez . = (¨ ρ − ρ ϕ˙ 2 ) eρ + (ρ ϕ¨ + 2 ρ˙ ϕ) Ainsi : aP = aρ eρ + aϕ eϕ + az ez , o` u:

⎧ a = ρ¨ − ρ ϕ˙ 2 ⎪ ⎨ ρ aϕ = ρ ϕ¨ + 2 ρ˙ ϕ˙ ⎪ ⎩ z¨ az =

sont les composantes de l’acc´el´eration du point P en coordonn´ees cylindriques.

Exercice 6.3 Nous consid´erons un pendule constitu´e d’une tige de longueur R, de masse n´egligeable, et dont l’une des extr´emit´es est fix´ee en un point O, tandis qu’`a l’autre est fix´ee une masse M. 1. Les forces agissant sur M sont la force de pesanteur M g , verticale et orient´ee vers le bas, et la force T avec laquelle la tige retient la masse; cette force a mˆeme direction que la tige et pointe vers O. 4

2. Consid´erons le rep`ere (mobile) caract´eris´e par les vecteurs er , eθ , eϕ et dont l’origine est fix´ee sur M. Les vecteurs forces T et m g s’´ecrivent dans ce rep`ere : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −T M g cos θ T = ⎝ 0 ⎠ , M g = ⎝ M g sin θ ⎠ , 0 0

z ez

O

 ex x

θ

ey

y

ϕ

M

 eϕ

 eθ

 er o` u θ = π −θ et T est la norme de T . D´ecomposons aussi le vecteur acc´el´eration dans ce mˆeme rep`ere; ceci revient `a ´ecrire l’acc´el´eration en coordonn´ees sph´eriques, en notant toutefois que la dis¨ = 0. tance R entre O et la masse M est constante, ce qui signifie que R˙ = 0 et R Nous avons : ⎧ ⎪ a = −R θ˙2 − R ϕ˙ 2 sin2 θ ⎪ ⎨ r . aθ = R θ¨ − R ϕ˙ 2 sin θ cos θ ⎪ ⎪ ⎩ aϕ = R ϕ¨ sin θ + 2 R θ˙ ϕ˙ cos θ

La deuxi`eme loi de Newton pour M s’´ecrit T + M g = M a, ce qui donne, en composantes, un syst`eme de trois ´equations : ⎧ ⎪ T − M g cos(π − θ) = M R (θ˙2 + ϕ˙ 2 sin2 θ) ⎪ ⎨ ⇔ M g sin(π − θ) = M R (θ¨ − ϕ˙ 2 sin θ cos θ) ⎪ ⎪ ⎩ 0 = M R (ϕ¨ sin θ + 2 θ˙ ϕ˙ cos θ)

⇔

⎧ ⎪ T + M (g cos θ − R θ˙2 − R ϕ˙ 2 sin2 θ) = 0 ⎪ ⎨ g sin θ − R θ¨ + R ϕ˙ 2 sin θ cos θ = 0 ⎪ ⎪ ⎩ ϕ¨ sin θ + 2 θ˙ ϕ˙ cos θ = 0

.

La premi`ere ´equation exprime la relation qu’il y a entre la norme de la force de soutien T et les diff´erentes variables ainsi que leur d´eriv´ee. Les deux autres relations sont simplement les ´equations de mouvement auxquelles ob´eit la masse M. Notons que dans le cas d’un pendule, il est d’usage de consid´erer l’angle θ = π − θ pour rep´erer la position de M. Le lecteur peut s’amuser a` remplacer θ par π − θ dans les ´equations ci-dessus pour qu’il s’aperc¸coive que leur forme est pratiquement la mˆeme. 3. La vitesse en coodonn´ees sph´eriques de la masse M est v = R θ˙ eθ + R ϕ˙ sin θ eϕ , du fait que R˙ = 0. L’´energie cin´etique de la masse M est donc : Ecin

1 M R2 ˙ 2 2 (θ + ϕ˙ 2 sin2 θ) . = Mv = 2 2

Et son ´energie potentielle s’´ecrit :   0 0 = M g R (1 + cos θ) + Epot , Epot = M g R 1 − cos(π − θ) + Epot 5

0 o` u Epot est l’´energie potentielle de M au point o` u elle est sur l’axe z `a une distance R en-dessous de O. Cette constante est arbitraire (elle peut ˆetre choisie nulle), du fait que l’´energie potentielle d’un syst`eme est toujours d´efinie `a une constante pr`es; d’ailleurs, ce sont les diff´erences d’´energies qui ont vraiment un sens physique. L’´energie totale de la masse M est donc :

Em´ec = Ecin + Epot

M R2 ˙ 2 0 = . (θ + ϕ˙ 2 sin2 θ) + M g R (1 + cos θ) + Epot 2

Pour montrer que cette ´energie est constante au cours du temps, nous d´erivons son expression par rapport au temps; nous obtenons : dEm´ec = M R2 (θ˙ θ¨ + ϕ˙ ϕ¨ sin2 θ + ϕ˙ 2 θ˙ sin θ cos θ) − θ˙ M g R sin θ , dt Or, d’apr`es les deux ´equations de mouvement, nous avons : g θ¨ = sin θ + ϕ˙ 2 sin θ cos θ , R ϕ¨ sin θ = −2 θ˙ ϕ˙ cos θ . Donc, en rempla¸cant ces expressions dans le calcul de la d´eriv´ee de l’´energie m´ecanique, nous arrivons au r´esultat : dEm´ec =0, dt et ce pour tout temps. Nous en concluons donc que l’´energie m´ecanique de la masse M est une constante du mouvement.