Solution 01

‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪاي ﺑﺨﺸﻨﺪه ﻣﻬﺮﺑﺎن‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎي درس ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﻣﺮﺗﺒﻪ اول ﺳﺎده‬ 1) y ( n ) = 0

∫

y ( n − a ) = y ( n − a +1) dx + ca y ( n −1) = c1 y ( n − 2) = c1 x + c2 y ( n − 3) =

c1 x 2 + c 2 x + c3 2

... y′ =

c1 x n − 2 c2 x n − 3 c3 x n − 4 + + + ... + cn −1 (n − 2)! (n − 3)! (n − 4)!

y=

c1 x n −1 c2 x n − 2 c3 x n − 3 + + + ... + cn −1 x + cn (n − 1)! (n − 2)! (n − 3)!

‫ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﺳﺎدهﺗﺮ‬

y = c1 x n −1 + c2 x n − 2 + c3 x n − 3 + ... + cn −1 x + cn ____________________ 2) y ′′ = xe − x

∫ y = ∫ (−xe − x − e − x + c1 )dx + c2 = xe − x + 2e − x − c1 x + c2 y ′ = xe − x dx + c1 ⇒ y ′ = − xe − x − e − x + c1

____________________ 3) y ′ =

y=

∫

e

x

+1

e

x

−1

ex +1 ex 1 e−x x dx + c = ( + ) dx + c = ln( e − 1 ) + dx + c = ln(e x − 1) + ln(1 − e − x ) + c x x x −x e −1 e −1 e −1 1− e

∫

⇒ y = ln(e x − 1)(1 − e − x ) + c = ln(e x + e − x − 2) + c ____________________ sin x 4) y ′ = x

∫

‫‪sin x‬‬ ‫ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺑﺮاي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺷﺮط ﻛﻠﻲ ‪ y ( x 0 ) = y0‬را درﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ و آن را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ و از روش اﻧﺘﮕﺮال ﻣﻌﻴﻦ ﺣﻞ ﻛﺮد‪:‬‬

‫ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺣﻞ ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ از ﻃﺮﻳﻖ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي ﻣﻴـﺴﺮ ﻧﻴـﺴﺖ‪ .‬ﻣـﻲﺗـﻮان‬

‫‪sin s‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪sin s‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪x0‬‬

‫∫ = )‪∫ y′(s‬‬

‫‪x‬‬

‫∫‬

‫= ) ‪y ( x ) − y ( x0‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪sin s‬‬ ‫‪ds + y0‬‬ ‫‪s‬‬

‫‪x‬‬

‫∫‬

‫= )‪y ( x‬‬

‫‪x0‬‬

‫____________________‬ ‫‪5) y ′′ = xe x + e − x , y (0) = 0, y ′(0) = 1‬‬

‫∫‬

‫‪y ′ = ( xe x + e − x )dx + c1 = xe x − e x − e − x + c1‬‬ ‫‪1 = 0 − e 0 − e 0 + c1 = c1 − 2 ⇒ c1 = 3‬‬

‫∫‬

‫‪y = ( xe x − e x − e − x + 3)dx + c2‬‬ ‫‪y = xe x − e x − e x + e − x + 3 x + c2 = xe x − 2e x + e − x + 3 x + c2‬‬ ‫‪0 = 0 − 2e 0 + e 0 + 0 + c 2 ⇒ c 2 = 1‬‬ ‫‪y = xe x − 2e x + e − x + 3 x + 1‬‬

‫____________________‬ ‫‪6) y ′ = tan −1 x, y (0) = 2‬‬

‫∫‬

‫‪y = tan −1 xdx + c‬‬ ‫ﺑﺎ ﻓﺮض ‪ u = tan −1 x‬و ‪ dv = dx‬و ﺣﻞ اﻧﺘﮕﺮال از روش ﺟﺰء ﺑﻪ ﺟﺰء ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪,v = x‬‬

‫‪x‬‬

‫‪∫ 1 + x 2 dx + c‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1+ x2‬‬

‫= ‪u′‬‬

‫‪⇒ y = x tan −1 x −‬‬

‫‪y = tan −1 x − 12 ln(1 + x 2 ) + c‬‬ ‫‪2 = 0 − 12 ln(1) + c ⇒ c = 2‬‬

‫‪y = x tan −1 x − 12 ln(1 + x 2 ) + 2‬‬ ‫____________________‬

‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﻲ ﻣﺮﺗﺒﻪ اول‬

1) y ′ + y = xe x

p ( x) = 1 ⇒ µ ( x) = e ∫

dx

= ex

e x y ′ + e x y = xe 2 x ⇒ (e x y )′ = xe 2 x

∫

e x y = xe 2 x = 12 xe 2 x − 14 e 2 x + c y = 12 xe x − 14 e x + ce − x ____________________ 2) y ′ + (tan x) y = x sin 2 x

− p ( x ) dx  ∫ p ( x ) dx dx + c y=e ∫  g ( x )e   

∫

− tan( x ) dx  ∫ tan xdx dx + c  = e ∫ y=e ∫  ( x sin 2 x)e   

∫

y = e ln(cos x)

[∫

− sin x  dx cos x 

∫ cos x dx dx + c  sin x

∫

( x sin 2 x)e

     sin 2 x  ( x sin 2 x)e − ln(cos x) dx + c = cos x  x dx + c  = cos x 2 x sin xdx + c cos x  

]

[∫

∫

]

y = −2 x cos 2 x + 2 sin x cos x + c cos x = −2 x cos 2 x + sin 2 x + c cos x

____________________ 6 3) xy′ + x 3 y = 3 x − 2 x − p ( x ) dx  ∫ p ( x ) dx dx + c y=e ∫  g ( x )e   

∫

− x y=e ∫

2

dx 

6 ∫ x 2 dx  ( 3 − )e dx + c   3 x  

∫

x3 − =e 3

x3   3 3 x3 x3    −x  3 x 3 − 6 e 3  (3e 3 − 3 )dx + c = e 3  2 e 3 + c = 2 = ce 3 x  x x       

∫

:‫ﺑﺮاي ﺣﻞ اﻧﺘﮕﺮال ﻓﻮق ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﺪ ﻳﻜﻲ از روش زﻳﺮ را اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‬

u = x−2 , v =

∫

x3 (3e 3

−

x3 ⇒ u′ = −2 x − 3 , v' = x 2 3

x3 6e 3

x3

d (ue v ) )dx = 3(uv' e − u ' e )dx = 3 dx = 3(ue v ) = 3x − 2e dx

∫

v

v

____________________

π

4) 2 y '+8(tan 2 x) y = 2 tan 2 x, y ( ) = 2 8

∫

x3 3

− p ( x ) dx  ∫ p ( x ) dx dx + c y=e ∫  g ( x )e   

∫

y=e

− ∫ 4 tan 2 xdx

y = e 2 ln(cos 2 x )

[∫

[∫

tan 2 xe ∫ 4 tan 2 xdx dx + c

]= e

∫ −4

sin 2 xdx  cos 2 x 

∫

∫4

sin 2 xdx  cos 2 x dx + c 

tan 2 xe     1  tan 2 x  tan 2 xe − 2 ln(cos 2 x ) dx + c = cos 2 2 x  dx + c  = cos 2 2 x( tan 2 2 x + c) 2 2   cos 2 x

]

∫

1 y = sin 2 2 x + c cos 2 2 x 2 .‫ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ‬u = tan 2 x ‫ﺑﺮاي ﺣﻞ اﻧﺘﮕﺮال ﺑﺎﻻ از ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺘﻐﻴﻴﺮ‬ 1 1 c 7 1 1 1 2 = × + ⇒ c = ⇒ y = sin 2 2 x + cos 2 2 x + 3 cos 2 2 x = + 3 cos 2 2 x 2 2 2 2 2 2 2

____________________ 5) ( x ln x) y ' = x ln x − y, y (e) = 1

1 y =1 x ln x − p ( x ) dx  ∫ p ( x ) dx dx + c  y=e ∫  g ( x )e    dx  dx  −∫ 1 ∫ y = e x ln x  e x ln x dx + c  = e − ln(ln( x)) eln(ln( x )) dx + c = ln( x)     x y = x− +c ln x e x 1 = e − + c ⇒ c =1⇒ y = x − +1 1 ln x y '+

∫

[∫

∫

]

[∫ ln xdx + c]= ln1x x ln x − ∫ x × 1x dx + c

____________________ 6) (sin x) y '+(cos x) y = 1, y (2) = 0 :‫از دو روش زﻳﺮ ﻣﻲﺗﻮان ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺪﺳﺖ آورد‬ ((sin x) y )' = 1 ⇒ (sin x) y = x + c ⇒ y =

x c + sin x sin x

:‫روش دوم‬ − p ( x ) dx  ∫ p ( x ) dx dx + c y=e ∫  g ( x )e    cos x  cos x  1 ∫ sin x dx 1 ∫ − dx  1 ln(sin x )  y = e sin x  e dx + c  = e − ln(sin x )  e dx + c  =  sin x   sin x  sin x  

∫

∫

∫

x+c [∫ dx + c]= sin x

:‫و ﺑﺮاي ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻﻲ‬ 0=

2+c x−2 ⇒ c = −2 ⇒ y = sin 2 sin x