Solucoes Folha Pratica 2 A Ii

Matemática II Soluções de Exercícios Folha Prática 2 Derivadas 14. 14.1.

y '=

9 x18  4−3 x 3

14.2.

y '=

8 x −2 3 1−3 x 

14.4.

14.5.

y '=

x −10 x

14.3.

y '=

15.1.

y '=10 x cos 5 x 2−26 cos 2 2 x −1 sen 2 x −1

15.2.

y '=

1 x1 cos 2 2 x 3  2 x 3

15.3.

y '=

6 sen x cos x3sen x−4 sen x cos x 2 3 cos x

25−x 



−x 2 5−x 

3  x1

y '=

2

2

−3 x−2  2 x  x−23

9x



3

2 x  x 3



2

14.6. y ' =3 x3 x 5

15.

15.4. y '=



2

3

3

−48 x −2 x 5 16x 4

 

15.5.

y '=2 x arcsen

15.6.

y '=

MATEMÁTICA II



2 x 1 2 − 1−x 1− x 2−4

−12 x 2 cos  4x 3 1sen2  4 x 3

2006/2007

1

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DE

TECNOLOGIA

INFORMÁTICA

PARA A

SAÚDE

16.



1 16.1. y '= −2 x− x2



−x 2 

e

1 x

2 ex x 2  e 1

16.2.

y '=

16.3.

y '= e 5 x

16.4.

y '=4 x−1 x 1 4x−24  x14 x−1 ln x 1

3

x 2

12 x 22x 

Notas: Exercícios 16.5. até 16.8.: ● ●

log u = log10 u e ln u= log e u u' u' y = loga u ⇒ y ' = loga e = u u ln a

Considera-se

16.5.

y '=

−tg x ln10

16.6.

y '=

2 ln 10 log x1 x ln 10 log x ln 2

16.7.

y '= −

16.8.

y '=

x 1−x  ln10 2

1 log x 2

−3 e  2 2 x ln 10 x ln 2 log 2 x 

Se Enunciado Fosse

Solução

y ' =−tg x

16.5.

y =lncos x 

16.6.

y =log 2  x 2 ln x 

16.7.

y =ln 1−x

y '=

y '= −

2

1

y '=

ln x 3 16.8. y =  e2 log 2 x

MATEMÁTICA II

2 ln x 1 x ln x ln 2

2006/2007

x 1−x 2

−3 1  2 2x x ln 2 log2 x 

2

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PARA A

SAÚDE

Estudo de Funções 17.

y=

x

x 2

−1

17.1. Domínio

D f = {x∈ℝ : x 2 −1≠0∧x 2 −1≥0 }= {x∈ℝ : x 2 −10 }

D f : x ∈ℝ ∖ [−1 ; 1 ] 17.2. Assímptotas - Verticais: Pontos candidatos: x=-1 e x=1

x

lim − f ( x ) = lim −

x→ − 1

2

x→ − 1

x2 − 1

x→ 1

−1

x −1 0 x

lim + f ( x ) = lim +

x→ 1

=

=

1 0+

+

= −∞

= +∞

Não interessa calcular os limites à direita de x=-1 ou à esquerda de x=1 uma vez que a função não está definida para esses valores. Conclusão: x=-1 e x=1 são assímptotas verticais. - Não Verticais: y=mx+b

x f(x) = lim x x→ + ∞ x→ + ∞

m = lim

x2 − 1 = lim x x→ + ∞

1 x2 − 1

= 0

x f(x) = lim x x→ − ∞ x→ − ∞

m = lim

= lim

x→ − ∞

1  1  x  1− 2   x 

=

x2 − 1 = lim x x→ − ∞

1 x2 − 1

= lim

x→ − ∞

1  1  x2  1 − 2   x 

=

1 = 0 +∞

m=0 – não há assímptotas oblíquas. Nota:

MATEMÁTICA II

 x se x ≥ 0 x=   − x se x < 0 2006/2007

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TECNOLOGIA

b = lim

x→ ± ∞

INFORMÁTICA

[ f ( x ) − mx] =

lim f ( x ) , porque m=0. x

1

x→ + ∞

x2 − 1

x→ + ∞

= lim

1−

SAÚDE

x→ ± ∞

b = lim f ( x ) = lim x→ + ∞

PARA A

= lim

x→ + ∞

x  1  x2 1− 2  x  

x

= lim

x→ + ∞

x 1−

1

=

x2

=1

1 x2

x

b = lim f ( x ) = lim x→ − ∞

x2 − 1

x→ − ∞

x

= lim

x→ − ∞

− x 1−

1

= lim

x→ − ∞

x2

−1 1−

1

= −1

x2

Conclusão: y=-1 e y=1 são assímptotas horizontais. 17.3. Monotonia

′ −1  = x 2 − 1  x2 − 1 x2 − 1

 f ′( x ) =    Como

x

(

)

2 x 2 − 1 > 0 e x − 1 > 0 em ℝ ∖ [−1 ; 1 ] , temos f ′ ( x ) < 0 -1 f'(x)

1

-

-

Sem

f(x)

Significado

Conclusão: f é monótona decrescente em todo o seu domínio. 17.4. Pontos de Inflexão

 ′ − 1 3x  = f ′′ ( x ) =  2  2  2 x2 − 1 x2 − 1  x − 1 x − 1

(

)

(

Como f ′′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 e tem pontos de inflexão.

)

D f : x ∈ℝ ∖ [−1 ; 1 ] , f ( x ) não tem zeros, logo não -1

f''(x)

-

1 S.S

+

f(x) MATEMÁTICA II

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4

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INFORMÁTICA

PARA A

SAÚDE

Conclusão: Concavidade voltada para cima: Concavidade voltada para baixo:

x ∈ ]1 ;∞ [

x ∈ ]−∞ ;−1 [

17.5. Gráfico

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2006/2007

5