Soluciones-prueba3

DuocUC Programa de Matemática

MAT 200 Álgebra

SOLUCIONES GUIA RESUMEN PRUEBA Nº3

1) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Aritméticas: a) En la Progresión Aritmética: Podemos saber que:

9; 13; 17;..... . Determine la suma de los 3.000 primeros términos.

d = 17 − 13 = 13 − 9 = 4

;

a=9

Por lo tanto lo que piden es la suma de los 3.000 primeros términos, utilizando la fórmula:

Sn =

n 2

⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S 3.000 =

3.000 2

⋅ [2 ⋅ 9 + (3.000 − 1) ⋅ 4] = 18.021.000

Respuesta: La suma de los 3.000 primeros términos es 18.021.000.

b)

En el primer año de negocios un hombre ganó 5.000 dólares y en el último ganó 19.000 dólares. Si cada año ganó 2.000 dólares más que en el año anterior. ¿Cuántos años tuvo el negocio y cuánto ganó en total durante esos años? Primer año ganó : US$ 5.000 Segundo año ganó: US$ 7.000 Tercer año ganó : US$ 9.000 . . Último año ganó : US$ 19.000

.000 P.A. → 5 { a

1

Donde: 1º)

; 7{ .000 ; 9{ .000 ;............; 19 1 2.000 3 a a a 2 3 n

d = 9.000 − 7.000 = 7.000 − 5.000 = 2.000

;

a = 5.000

a = a + (n − 1) ⋅ d → 5.000 + (n − 1) ⋅ 2.000 = 19.000 n

5.000 + 2.000n − 2.000 = 19.000 2.000n = 16.000 n=8 2º)

Sn =

n 2

⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S8 =

8 2

⋅ [2 ⋅ 5.000 + (8 − 1) ⋅ 2.000] = 96.000

Respuesta: Tuvo el negocio 8 años y ganó en total US$ 96.000.

1

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c) Considere una Progresión Aritmética de primer término 11 y el término de lugar 132 es 404. Determine el término de lugar 40 y la suma de los 58 primeros términos. Sabemos que:

a = 11

;

a

132

= 404

Para obtener el valor de la diferencia constante “ d ”, utilizamos la fórmula:

a = a + (n − 1) ⋅ d → a = 11 + (132 − 1) ⋅ d = 404 n 132 11 + 131 ⋅ d = 404 131 ⋅ d = 393 d =3 Por lo tanto lo que piden es

a

40

1º)

a = a + (n − 1) ⋅ d → a

2º)

Sn =

n

n 2

y

40

S

58

, esto es:

= 11 + (40 − 1) ⋅ 3 = 128

⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S 58 =

58 2

⋅ [2 ⋅ 11 + (58 − 1) ⋅ 3] = 5.597

Respuesta: El término de lugar 40 es 128 y la suma de los primeros 58 términos es 5.597.

d) Una persona debe pagar una deuda en 32 semanas, pagando $50 la primera semana, $80 la segunda semana, $110 la tercera semana y así sucesivamente. Determine el pago de la semana 20 y el valor total de la deuda. Primera semana pagó Segunda semana pagó Tercera semana pagó . . . .

: $ 50 : $ 80 : $ 110

P.A. → 50 {

; 80 { ; 110 { ;............; {? a a a a 1

Donde:

2

3

32

d = 110 − 80 = 80 − 50 = 30

;

a = 50

2

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1º)

a = a + (n − 1) ⋅ d → a

2º)

Sn =

n

n 2

20

= 50 + (20 − 1) ⋅ 30 = 620

⋅ [2 ⋅ a + (n − 1) ⋅ d ] → S 32 =

32 2

⋅ [2 ⋅ 50 + (32 − 1) ⋅ 30] = 16.480

Respuesta: El pago de la semana 20 fue de $620 y el valor total de la deuda es de $16.480.

2) Resuelva los siguientes problemas de Progresiones Geométricas:

a) La razón de una Progresión Geométrica es 5 y el quinto término es Calcule los tres primeros términos de la progresión.

1.875 .

SOLUCIÓN: Podemos saber que:

R=5

;

a = 1.875 5

Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera: 1º)

a = a ⋅ R n − 1 → a ⋅ (5)5 − 1 = 1.875 n

2º) P.G. →

a ⋅ 625 = 1.875 → a = 3

3{ ; 15 { ; 75 { ; ........ a a a 1

2

3

RESPUESTA: Los 3 primeros términos de la P.G. son;

3, 15, 75 .

b) Cuatro personas se reparten una cantidad de dinero, que obtuvieron de premio en el Kino, donde cada persona recibirá 4 veces lo que recibirá la anterior. Si la tercera persona recibió $3.200. ¿Cuál fue la suma repartida? SOLUCIÓN: Podemos saber que:

R=4

;

a = 3.200 3

Por lo tanto lo que nos piden lo calcularemos, de la siguiente manera: 1º)

a = a ⋅ R n − 1 → a ⋅ (4 )3 − 1 = 3.200 n

3

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2º)

S =

a ⋅ 16 = 3.200 → a = 200

(

)

a ⋅ Rn − 1

n

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R −1

→ S =

(

) = 51.000 = 17.000

200 ⋅ 4 4 − 1

4

(4 − 1)

3

RESPUESTA: La suma repartida fue de $17.000.

3) Calcule las siguientes sumatorias:

60

a)

∑

k =1

 k 3 + 9 − 3k   

SOLUCIÓN:

60

60 60 60  k 3 + 9 − 3k  = ∑ k3 + ∑ 9 − 3⋅ ∑ k   k =1 k =1 k =1

∑

k =1

60 ⋅ (60 + 1)2 2

=

45

b)

∑

k =1

4

+ 9 ⋅ 60 − 3 ⋅

60 ⋅ (60 + 1)

 k 3 + 8   

SOLUCIÓN:

45

∑

k =1

45 45  k 3 + 8  = ∑ k3 + ∑ 8   k =1 k =1

45 ⋅ (45 + 1)2 2

=

4

+ 8 ⋅ 45 = 1.071.585

4

2

= 3.343.950

DuocUC Programa de Matemática 102 2  c)  3k −  3 k = 40 

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∑

SOLUCIÓN:

102

∑

k = 40

2  102  2  39  2   3k −  = ∑  3k −  − ∑  3k −  3  k =1  3  k =1  3  102

102

k =1

k =1 3

= 3⋅ ∑ k − ∑ = 3⋅

2

102 ⋅ (102 + 1) 2

39

39

k =1

k =1 3

− 3⋅ ∑ k + ∑

− 102 ⋅

2 3

− 3⋅

2 39 ⋅ (39 + 1) 2

+ 39 ⋅

2 3

= 13.377

52

d)

 k 2 + 5k  ∑  k =8 

SOLUCIÓN:

(

)

(

)

7 52 52 2 52 7 7 2 2 2  k 2 + 5k  = k + 5 k − k + 5 k = k + 5 ⋅ k − k − 5 ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑k   k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =8 52

∑

=

52 ⋅ (52 + 1) ⋅ (2 ⋅ 52 + 1) 52 ⋅ (52 + 1) 7 ⋅ (7 + 1) ⋅ (2 ⋅ 7 + 1) 7 ⋅ (7 + 1) + 5⋅ − −5⋅ = 54.840 6 2 6 2

4) Considere la sucesión

k x

k

1 4,5

7

Calcule:

{ xk }cuyos términos están definidos en la siguiente tabla:

∑

k =2

2 2,1

3 1,2

4 3,4

5 1,6

(xk )

2

SOLUCIÓN:

5

6 2,5

7 6,2

8 1,8

9 5,1

DuocUC Programa de Matemática

7

∑

k =2

MAT 200 Álgebra

(xk ) = (x2 ) 2 + (x3 ) 2 + (x4 ) 2 + (x5 ) 2 + (x6 ) 2 + (x7 ) 2 2

= (2,1) 2 + (1,2 ) 2 + (3,4 ) 2 + (1,6 ) 2 + (2,5) 2 + (6,2 ) 2 = 64,66 5) Resuelva en los reales las siguientes ecuaciones: a)

log 2 (3x + 10) = 6 SOLUCIÓN:

log 2 (3 x +10 ) = 6 ⇔ 2 6 = 3x + 10 3 x +10 = 64 ⇔ x =

54 ⇒ x =18 3

RESPUESTA: La solución de la ecuación es x = 18 .

b)

log3 ( x + 2) + log 3 (2 x − 3) = 2 SOLUCIÓN:

log 3 (( x + 2 )⋅(2 x − 3)) = 2 ⇔ 32 = ( x + 2 ) ⋅ (2 x − 3) 2 x 2 − 3x + 4 x − 6 = 9 2

2 x + x − 15 = 0 a=2 b =1

→x=

− (1) ±

c = −15

x =

− 1 + 11

1

4

RESPUESTA: La solución de la ecuación es

6) Determine el valor de

(1)2 − 4 ⋅ (2) ⋅ (− 15) − 1 ± = 2 ⋅ (2 )

n , si: 6

=

x=5. 2

10 4

=

5 2

∧

x = 2

1 + 120 4

− 1 − 11 4

=

=

− 12 4

− 1 ± 11 4

= −3

=

DuocUC Programa de Matemática a)

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3,6 = (2,5)3 n SOLUCIÓN:

3,6 = ( 2,5 )3n / log

log 3,6 = 3n ⋅ log 2,5 n=

log 3,6 = 0,465985 ( apróx.) 3 ⋅ log 2,5

RESPUESTA: El valor de

b)

n

es 0,465985.

102 ⋅ (5,2 )2 n = 183,6 SOLUCIÓN:

( 5,2 )2n = 183,6

/ log 102 2n ⋅ log 5,2 = log 1,8 n=

log1,8 = 0,178262 ( apróx.) 2 ⋅ log 5,2

RESPUESTA: El valor de

n

es 0,178262.

7) Dados los siguientes números complejos:

z = 2 − 3i

;

1

z = 1 + 5i

z = 5 + 6i

;

2

3

Determine: a)

z +z 3

2

SOLUCIÓN:

z + z = 5 + 6i + 1 + 5i = 6 + 11i 3

b)

2 ⋅ z − 3z 1

SOLUCIÓN:

2

2

2 ⋅ z − 3 z = 2 ⋅ (2 − 3i ) − 3 ⋅ (1 + 5i ) = 4 − 6i − 3 − 15i = 1 − 21i 1

2

7

DuocUC Programa de Matemática c)

MAT 200 Álgebra

z −z 3

1

SOLUCIÓN:

z −z 3

d)

z − 2⋅z 3

1

1

)

+ 9 2 = 90 = 3 10

z − 2 ⋅ z = 5 + 6i − 2 ⋅ (1 + 5i ) = 3 − 4i = 3 + 4i 3

z ⋅z

2

2

SOLUCIÓN:

e)

(3

= 5 + 6i − (2 − 3i ) = 3 + 9i =

2

2

SOLUCIÓN:

z ⋅ z = (2 − 3i ) ⋅ (1 + 5i ) = 2 + 10i − 3i − 15i = 2 + 7i + 15 = 17 + 7i 2

1

f)

2

z ÷z 2

1

SOLUCIÓN:

2 ( 2 + 3i ) 2 + 3i + 10i + 15i z ÷z = ⋅ = 2 2 1 2 2 − 3i (2 + 3i ) 2 − (3i )

1 + 5i

8)

=

2 + 13i − 15 4 − 9i

2

=

− 13 + 13i 4+9

= −1 + i

Usando tablas de verdad, clasifique las siguientes proposiciones en Tautología, Contradicción o Contingencia. a)

( p ∨ q ) ⇒ (q ⇔ p ) (1)

(2)

p

q

p∨q

q⇔ p

(1) ⇒ ( 2)

V

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.

8

DuocUC Programa de Matemática b)

MAT 200 Álgebra

(p ⇒ q) ⇔ ( p ∧ q) (1)

(2)

p∧q

(1) ⇔ ( 2)

F

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

p

q

V

q

p⇒ q

V

F

V

F

F F

RESPUESTA: La proposición es una CONTRADICCIÓN.

c)

(

q⇒ p∧r

) (1)

(2)

p

q

r

r

p∧r

(1) ⇒ ( 2)

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

RESPUESTA: La proposición es una CONTINGENCIA.

9

DuocUC Programa de Matemática d)

MAT 200 Álgebra

( p ∧ q) ⇒ ( p ∨ q) (1)

(2)

p

q

p∧q

p∨q

(1) ⇒ ( 2)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

RESPUESTA: La proposición es una TAUTOLOGÍA.

9) Sean

p

y

q

proposiciones. Si

p∧q

es Verdadera, determine el valor de verdad de:

(p ∨ q)∧ ( p ⇒ q) SOLUCIÓN:

p ∧ q : Verdadera

Esto nos permite saber el valor de verdad de tenemos que:

p :V

(p ∨ q)∧ ( p ⇒ q)

;

(F ∨ F ) ∧ (F ⇒ V ) F ∧V F

10

q :V

p

y

q , por lo que

DuocUC Programa de Matemática

p

10) Sean

y

q

MAT 200 Álgebra

proposiciones. Si

p⇒q

es falsa, determine el valor de verdad de:

( p ⇒ q ) ⇔ (q ∨ p ) SOLUCIÓN:

p ⇒ q : Falsa

Esto nos permite saber el valor de verdad de

p :V

tenemos que:

;

p

y

q , por lo que

q:F

( p ⇒ q ) ⇔ (q ∨ p )

(F ⇒ F ) ⇔ (V ∨ V ) V ⇔V V

11) Sean

p

y

q

proposiciones. Si

q⇒ p

es falsa, determine el valor de verdad de:

( p ⇒ q) ∨ (p ∧ q) SOLUCIÓN:

q ⇒ p : Falsa

Esto nos permite saber el valor de verdad de tenemos que:

q :V

;

( p ⇒ q) ∨ (p ∧ q) (V ⇒ V ) ∨ (V ∧ F ) V∨F V

11

p:F

p

y

q , por lo que