Soluciones Olimp 2009

OLIMPIADA MATEMÁTICA DEL IES LA SISLA PRIMERO Y SEGUNDO ESO: CARA O CRUZ : Tres personas deciden jugar a tirar monedas y ver si coinciden en cara y cruz. Cada uno arroja una moneda y el que no coincide con los otros dos pierde. El perdedor debe doblar la cantidad de dinero que cada oponente tenga en ese momento. Después de tres jugadas cada jugador ha perdido una vez y tiene 240 euros. ¿Cuánto tenía cada uno al principio?

SOLUCIÓN: Si la situación final corresponde a 240 euros para cada jugador y 720 en total. FINAL

A

B

C

240

240

240

¿Cuánto tenía cada uno antes de empezar la última jugada para dar lugar a ese final? Supongamos que en esta tercera y última jugada pierde el jugador A. En ese caso B y C tendrían 120 cada uno, pues cuando pierda A, este les va a doblar la cantidad, y por lo tanto A tendría 720 menos los 120 que le va a dar a B y los 120 que le va a dar a C. En total 480. La situación antes de perder A sería: A

B

C

480

120

120

Y tras perder A llegaríamos a la situación FINAL. Si seguimos el mismo proceso ¿Cómo llegamos a esta situación? Supongamos que en la segunda jugada pierde B. Para llegar a la situación anterior tanto jugador A como el C tendrían, la mitad, esto es, 240 y 60 respectivamente. Al B le corresponderían 420.

A

B

C

240

420

60

Por último, como en la primera jugada pierde C, el jugador Atenía al empezar 120, el B 210 y el C la diferencia hasta 720, es decir, 390. PRINCIPIO

A

B

C

120

210

390

UN NÚMERO CURIOSO: Utilizando las cifras del 1 al 9 una y sólo una vez forma un número de seis cifras ABCDEF que cumpla: ABCDEF ∙ 1 =ABCDEF ABCDEF ∙ 3=BCDEFA ABCDEF ∙ 2=CDEFAB ABCDEF ∙ 6=DEFABC ABCDEF ∙ 4=EFABCD ABCDEF ∙ 5=FABCDE

SOLUCIÓN: Si nos fijamos en el último producto ABCDEF *5 A = 1 pues de otro modo daría un número de 7 cifras. Como 5 A = F F no puede ser 5 pues hay que sumar la cifra que me “llevo” del producto 5 B. F no puede ser 6 porque el primer producto 5F daría 0 que no utilizamos. Si F = 7 entonces 5 F = E que nos dice que E = 5. Siguiendo con la multiplicación por 5, o bien, fijándonos en las demás llegamos a la conclusión: A=1,

B=4,

C=2,

D=8,

E=5,

F=7.

Llamemos E al punto de corte de las diagonales. Al tratarse de un trapecio isósceles, las distancias EC y ED son iguales y por lo que podemos calcular EC. EC = ED =x. Aplicando Pitágoras , Ahora podemos calcular EA = EB = y

Ahora

Y por lo tanto

OLIMPIADA MATEMÁTICA DEL IES LA SISLA TERCERO Y CUARTO ESO: UN LADRÓN DE CONCIENCIA: Después de saltar tres cercas, un ladrón llega a un campo de manzanas. De regreso, al pasar la primera cerca de vuelta a la carretera, le parece que ha robado demasiadas y deja la mitad más media de las manzanas que había robado. En la segunda cerca, cada vez más arrepentido, vuelve a dejar la mitad más media de su carga. En la tercera repite la operación, y al llegar a la carretera ve que sólo le queda una manzana. Teniendo en cuenta que en ningún momento puede cortar ninguna manzana ya que no llevaba ningún cuchillo, ¿Cuántas manzanas había cogido?

SOLUCIÓN:

Sea X el número de manzanas. Después de la primera cerca tendremos:

Siguiendo el proceso, al pasar la segunda cerca tendremos:

Y después de la tercera

Como al final queda una manzana

por lo que x= 15 manzanas

Otra forma Si al final queda una manzana, antes de saltar la 3ª cerca tendría x manzanas, de forma que y entonces x = 3. Antes de la 2ª cerca tendría y manzanas de forma que e y=7 Y antes de la 1ª z manzanas y siguiendo el proceso por lo que z = 15

UNO DEL CALENDARIO : En un cierto año N el día 300 fue martes. Al año siguiente, el N+1, el día 200 también fue martes. ¿ En qué día de la semana cayó el día 100 del año anterior N-1.

Indicación: Puede ocurrir, o no, que alguno de los años N-1, N, N+1 sea bisiesto.

SOLUCIÓN: Veamos en primer lugar si alguno de esos tres años fue bisiesto. Si N no fuera un año bisiesto, entre el día 300 de N y el 200 del N+1 habrían pasado 365-300+200 = 265 días que debería ser un número exacto de semanas pues ambos días fueron martes. Como 265 no es múltiplo de 7 se deduce que N fue año bisiesto. (Entre el 300 de N y el 200 de N+1 pasaron 266 días, es decir, 38 semanas).

Así pues el N-1 no fue bisiesto, por lo que el 100 de N-1 y el 300 de N pasaron 365-100+300 = 565 días, es decir, 80 semanas y 5 días, con lo que si el 300 de N fue martes, el día 100 de N-1 fue jueves.

COCIENTE DE ÁREAS: En un rectángulo ABCD, unimos los puntos medios de los lados BC y DC con el vértice A par formar el triángulo AMN. Como indica la figura. Calcula el cociente entre el área del rectángulo y el área del triángulo.

A B M D

N

C

SOLUCIÓN: Llamando b a la base DC y h a la altura BC podemos calcular el área del triángulo AMN sin más que restar al área del rectángulo las áreas de los tres triángulos rectángulos. Así pues:

Área AMN Por lo que el cociente pedido será: