Soluciones Cont Deriv

Soluciones repaso temas 1 y 2 1. a y b para que f(x) sea continua en ¡   x·Lnx  a si x  0  f(x)   b si x  0  senx  si x  0  x Para los valores de x distintos de 0 f(x) es continua pues el Ln está definido y es continuo para valores positivos y el cociente es continuo ya que no se anula el denominador y senx es continua . Por tanto cuando f(x) sea continua en x = 0, será continua en ¡ . x  0 Continuidad: limf  x  f  0 x 0

f  0  b

Lnx lim f  x  lim xLnx  a   0    a  lim  a x 0 x 0 x 0 1 x  lim  x  a  a

1   x  a     a   L 'Hopital xlim   0  1   x2

x 0

lim f  x  lim

x 0

x 0

senx  0  cos x      L 'Hopital lim 1 x  0 x 1  0

Por tanto para que f(x) sea continua en ¡ han de ser a  b  1  Ln(1  x2 )

2. Derivar f  x  

si x  0

si x  0  x a) El primer trozo es derivable pues es un Ln en el que el argumento es siempre positivo. b) El segundo trozo es derivable por ser una función cuadrática 2

 

 

+ c) Hay que estudiar la derivabilidad en x = 0: ver si f' 0  f' 0

   lim +

f' 0

f  0  h  f  0 h

h 0

 lim



h

h 0

f  0  h  f  0



Ln 1  h2  0

2h  0      L 'Hopital lim 0 h  0 1  h2  0

2

h 0 h h Por tanto f(x) derivable en x = 0 y f´(0)=0 Entonces:  2x x0  f'  x   1  x2  2x x0 3. a. limLnx senx  para poder calcular este límite ha de ser x  0+ya que si no el Ln no

 

f' 0-  lim h 0

 lim h 0

x 0

está definido. Lnx  x 0 x 0 1 senx 2senxcos x   L 'Hopital lim 0 x 0 cos x  xsenx lim Lnx senx    0  lim

 L 'Hopital y  sen2 x  0     lim  simplificar  x0 xcos x   0          

b. lim  x   x  5  lim x  x  5        lim x

  operando lim x

x

5 x  x5

x

0



x  x5



x  x5

x  x5



Soluciones repaso temas 1 y 2 c. lim  senx

tgx

 x 2

  1   A tomano logaritmos neperianos:

  Ln  senx  0  tgx tgx LnA=Ln  lim  senx   lim Ln  senx  lim tgx Ln  senx    0  lim    1     x    0 x x x  2  2 2 2 tgx  L 'Hopital y   cos x senx  0  A  e0  1   lim    simplificar mucho x



2

d. xln(x)    Lnx  1      L 'Hpotal lim  0 porque Lnx es infinito de menor orden que ex x x  e ex    L 'Hopital y 1  cos2 2x  0  sen4x  0  4cos 4x 4 e. lim        L 'Hopital lim   lim 2 x 0 x  0 x  0 0 3x 0 3 3 simplificar 3x       d. lim

x

4.

 x2  (a  3)x  3a  x3 

si

x3



f  x  

 1

si



x3

 a. Sabemos que es derivable en ¡ . Hallar a. f(x) derivable en ¡ f  3  1

 x  f(x) continua en ¡  f(x) continua en x = 3  f  3  limf x 3

2x   a  3  0      L 'Hopital lim  3 a x 3 0 1   Al ser continua resulta que 3 – a = 1  a  2 b. f´(3) lo calculamos con la definición ¡¡¡¡Que a nadie se le ocurra decir que como f(3)= 1 entonces f´(3) = 0!!!!! limf  x  lim x 3

x2   a  3 x  3a x3

x 3

 3  h  5  3  h  6  1 f  3  h  f  3  3  h  3  operando y  lim  lim  2

f'  3

h 0

h

f'  3  1

h 0

h

    simplificando 

 L 'Hopital y simplificar  2 xsenx  0     lim cos  2x  senx  xcos x  5. lim   poner derivada de la tangente  0   x 0 tan(x2 ) x 0 2x    en función de cosx  2cos  2x  sen2x 2  senx  xcos x  cos2  2x  2cos x  xsenx  0      L 'Hopital lim 1 x 0 2  0 1  x  si x  1  f x  x  1 Ln(x)   6.   1 si x  1  a. Dom f    0,  

Soluciones repaso temas 1 y 2 b. Para x<0, x  1 la función es continua pues no se anula ninguno de los denominadores y el Lnx está definido y es continuo. En x=1 f  1  1  L 'Hopital y x 1  xLnx  (x  1)  0  xLnx         lim       lim  x1 x  1 x1 x1 xLnx  x  1 Lnx (x  1)Lnx 0 simplificar       L 'Hopital y 1  2 simplificar  

limf  x  lim  x1

  0     0 

1   2   Hay una discontinuidad evitale en x = 1 f  1  1 1   x c. lim f  x  lim    1 0  1 x x x  1 Lnx   Como limf  x  x1

lim f  x no existe pues f(x) no está definida para valores menores que 0

x

1   x d. limf  x  lim    0 0 0 x 0 x 0  x  1 Lnx   L 'Hopital  1  ex  1  x  0  ex 1  1  x      lim   lim           x x x x 0 x x  0 x  0 2 e  1 2e  xe x e 1   0  dos veces

7. lim





8. Ejercicio 3 apartado e 9. f  x  x  x  1 Derivabilidad en x = 1.

Dom f   ¡ y además es continua. La separamos en trozos:

 2x  1 x  1 Para estudiar la derivabilidad en x = 1 hallamos las derivadas x1  1 laterales: f  1  h  f  1  después de 2h f' 1+  lim  2  hlim  h 0  0 h h  operar  f  x  

 

f  1  h  f  1

  h f'  1   f'  1   f  x f' 1-  lim h 0

+

-

11 0 h no es derivable en x =1  lim h 0

 (x  1)2 si x  1 si x > 1  2 Vamos a estudiar la continuidad en x = 1:  f  1  0   lim f  x  0  f  x no es continua en x=1  la afirmación correcta es la b x1  lim f  x  2 x1  3 11. f  x  x . Estudiar derivabilidad en x=0. 10. f  x  

3 x0  x . Calculamos derivadas laterales: 3   x x  0

Definimos a trozos: f  x  

 

f' 0+  lim

 

h 0

f' 0  lim -

h 0

f  0+h  f  0 h f  0+h  f  0 h



 lim h2  0  h 0 

  f  x derivable en x=0   lim  h  0 h 0  2

Soluciones repaso temas 1 y 2 2 12. f  x  x  6x  8

Si la representamos gráficamente obtenemos Los puntos en “pico” están en las raíces del polinomio: x = -4 y x = -2. Como son puntos angulosos en ellos la función no es derivable. No hay más puntos en los que no sea derivable porque los tres trozos de función son trozos de parábola y son derivables.

 3senx  cos x x  0 x0  mx  n a. Calculamos n para que sea continua en x=0 13. f  x  

Continuidad en x  0 : f  0  limf  x x 0



f  0  1

 

lim f  x  lim  mx  n  n

x 0

  f  x continua en x  0 si n  1

x 0

 lim f  x  lim  3senx  cos x  1 x 0 x 0 

b. derivabilidad en x  0 como para que sea derivable ha de ser continua, ya tenemos que n = -1. Vamos a calcular m: f  0  h  f  0 3senh  cosh 1  0  3cosh senh f' 0+  lim  lim      L 'Hopital lim 3 h 0 h  0 h  0 h h 1  0 f  0  h  f  0 mh f' 0-  lim  lim m h 0 h  0 h h Por tanto para que f(x) sea derivable en x = 0 ha de ser n = -1 y m = 3. 14. 1 a. f  x  senx arctgx, f'  x  cos x arctgx  senx  1  x2 b. f  x  xx  derivada logarítmica f'  x  xx  Lnx  1

   

c. f  x  arctgx  arctg

1 x , 1 x

f'  x  0 (después de operar todo lo que se puede)

d. f  x  1  cos2 x  nos damos cuenta de que f  x  senx  f'  x  cos x





e. f  x  Ln cos2 2x , f. f  x  etg x ,

h. f  x 

3

x

4

sen2x  4tg2x cos 2x



f'  x  etg x 2tgx  1  tg2 x

2

g. f  x 

f'  x  4 2



2

 senx ,

senx , cos x

i. f  x   3x  2 f'  x   3x  2

f'  x 

x

2

x

2

f'  x 

5x

5x



2 4x  cos x  3 3 x4  senx 3

1  tg2 x 2 tgx

 , derivada logarítmica

2     2x  5 Ln 3x  2  3  x  5x     





3x  2  

Soluciones repaso temas 1 y 2



j. f  x  arcsen 2x 1  x

2

,

f'  x 

1

 1  2x 

después de hacer unas pocas operaciones

2



2 1  x  x2  1  x2

