Solucionario Libro Mt1-4

Solucionario Libro

Matemática 2007

2

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

CAPÍTULO 1

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos 1. La alternativa correcta es C 1 3 + 3 6 1 6 + 5 15 2 3 + 6 6 3 6 + 15 15 5 6 9 15 5 15 ⋅ 6 9 5 5 ⋅ 6 3 25 18

, amplificamos para igualar denominador

, sumamos

, ordenamos la fracción compuesta

, simplificamos y multiplicamos.

2. La alternativa correcta es C

, amplificamos para igualar denominadores

, adecuando a la alternativa

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, sumamos

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3 1 + 4 8 5 1 + 8 4 6 1 + 8 8 5 2 + 8 8 7 8 =1 7 8 8 1= 8

3

capítulo 1

Solucionario Matemática

3. La alternativa correcta es A 1 1 2 −4 3 3 1 1 6 −2 4 4 7 13 − 3 3 25 9 − 4 4 6 − 3 16 4 6 4 − ⋅ 3 16 2 − 4 4 − 8

, transformamos los números mixtos a fracciones

, restamos

, desarrollamos la fracción compuesta

, simplificamos

, amplificamos para adecuarnos a la alternativa

4. La alternativa correcta es C Reemplazamos los valores

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2 1 1 ( + )⋅ 3 9 7 3 7 3 ⋅ 9 7 1 3

4

, sumamos y ordenamos

, simplificamos

5. La alternativa correcta es C Transformamos los decimales periódicos a fracciones 62 99 0, 62 + 0, 62 62 62 , sumamos + 99 99 124 99

0, 62 =

capítulo 1

Solucionario Matemática

6. La alternativa correcta es C 15 14 4 1 − ⋅( + ) 30 26 7 21 1 7 13 − ⋅( ) 2 13 21 1 1 − 2 3 3−2 1 = 6 6

, simplificamos y sumamos en el interior del paréntesis , simplificamos , restamos

7. La alternativa correcta es E Transformamos los decimales a fracción 5 , entonces 9 25 − 2 23 = 0, 25 = 90 90 5 23 , sumamos + 9 90 73 90 0, 5 =

8. La alternativa correcta es A Del enunciado b = 3⋅c b =3 c

, despejamos el número 3 , 3 es un número primo

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I. Para que –P sea un número negativo, necesariamente P es un entero positivo. II. De lo anterior P es un elemento de IN III. Falso

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9. La alternativa correcta es D

5

capítulo 1

Solucionario Matemática

10. La alternativa correcta es E Se trabaja desde abajo hacia arriba 1 3 1) 1 + = 2 2 1 2 5 2) 1 + = 1 + = 3 3 3 2 1 3 8 3) 1 + = 1 + = 5 5 5 3 1 5 13 4) 1 + = 1 + = 8 8 8 5

11. La alternativa correcta es D Reemplazando los valores

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11 1 18 − 2 5 3 [ − ] 3 2 11 1 − 18 11 3 (− ) 6 1 1 + 3 3 2 3 2 6 = = 0, 6 3 9

6

, desarrollando el paréntesis

, ordenando y simplificando

, sumamos

, amplificamos y transformamos a decimal

12. La alternativa correcta es C Del enunciado se tiene 1 1 4 ⋅ ⋅ 15 ⋅ 5 2 3 2

, simplificamos y el resultado es:

capítulo 1

Solucionario Matemática

13. La alternativa correcta es D Reemplazando los valores 2 + 2 − (2 ⋅ 1) 2 1 − 1 2 2 3 2 2 2⋅ 3 4 3

, realizamos las operaciones

, ordenamos

, multiplicamos

14. La alternativa correcta es E Del enunciando se tiene: 1 1 2 ⋅ ⋅ 5 ⋅ ⋅ 18 3 2 5⋅6

, simplificando , multiplicando

30 15. La alternativa correcta es D Por definición, la fracción es la W-ava parte de V

16. La alternativa correcta es D Primero se determina el valor de a, b y c 2 5 10 ⋅ = 9 9 81 1 9 1 b= ⋅ = 10 9 10 102 − 10 ( ) 90 c= 25 − 2 ( ) 90 92 90 c= ⋅ 90 23 c=4 a=

10 1 〉 81 10

c 〉a〉b

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4〉

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Por lo tanto:

, simplificamos

7

capítulo 1

Solucionario Matemática

17. La alternativa correcta es D Tenemos que 1 1 = 0, 3 = 0, 5 3 2 Por lo tanto: 13 1 1 0, 4 y están entre y 27 3 2

13 = 0, 48 27

18. La alternativa correcta es D I. Falso, 24 es el menor de los número propuestos pero no es el m.c.m. de ellos II. Verdadero, por definición III. Verdadero, el mayor número que divide en forma exacta a los cuatro números propuestos es el 3.

19. La alternativa correcta es E I. Falso II. Verdadero, para que una fracción este indeterminada, su denominador debe ser igual a cero. III. Verdadero, al reemplazar los valores en ambos casos de cómo resultado 2

20. La alternativa correcta es D

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Del enunciado

8

( a + 3) + 1 = 14 a + 4 = 14 a = 10

, despejemos a

(b − 5) − 1 = 6 b−6 = 6 b = 12

, despejemos b

2 ⋅ [( a + b) + 1] 2 ⋅ [(10 + 12) + 1] 2 ⋅ [ 23 ]

, reemplazando los valores , sumando , multiplicando

46

CAPÍTULO 1

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Potencias y Raíces 1. La alternativa correcta es D Utilizando multiplicación de potencias en el denominador tenemos: a n+1 =1 a n+1

2. La alternativa correcta es B Simplificando y utilizando propiedad de división de potencia: 3 ⋅ a ( 3−1) ⋅ b[ 5−( −2)] ⋅ c ( 2−3 ) 3 ⋅ a 2 ⋅ b7 ⋅ c −1

3. La alternativa correcta es A Distribuyendo los términos de la expresión: 15 5

−

5 , por división de raíces de igual índice. 5

3 −1

Antes de Aplicar la potencia, se debe trabajar en el interior del paréntesis: ( 2 − 3 )2

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(−1)2 1

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4. La alternativa correcta es D

9

capítulo 1

Solucionario Matemática

5. La alternativa correcta es C La expresión se puede escribir de la siguiente manera: 6 n ⋅ 6−2 ⋅ 3 n ⋅32 ⋅ 22 (6 ⋅ 3) n ⋅ 6−2 ⋅ (3 ⋅ 2)2 18 n ⋅ 6−2 ⋅ 62 18

n

, por multiplicación de potencias de igual exponente. , por multiplicación de potencias de igual base.

6. La alternativa correcta es B Utilizando potencia de 10 y simplificando: 16 ⋅ 10−3 ⋅ 8 32 ⋅ 10−5 4 ⋅ 10−3 10−5 4 ⋅ 10[ −3−( −5 ))

, Simplificando

, por división de potencias de igual base

4 ⋅ 102 7. La alternativa correcta es C

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Tenemos:

10

46 + 83 28 (22 )6 + (23 )3 28 212 + 29 28 12 2 29 + 28 28 24 + 2 16 + 2 18

, realizando cambio de base , aplicando potencia de potencia , distribuyendo , por división de potencia de igual base ,desarrollando la potencia

8. La alternativa correcta es D Recordemos que cuando la base de una potencia es negativa el resultado es negativo sólo si el exponente es impar y que en la recta numérica un número negativo es menor mientras su módulo es mayor.

tenemos que:

1 3 1 x =− 2 8 1 1 x2 = x4 = 4 16

entonces:

1 1 1 1 − 〈− 〈 〈 2 8 16 4

x=−

x 〈 x3 〈 x4 〈 x2

capítulo 1

Solucionario Matemática

9. La alternativa correcta es E 1

La potencia ( ax) 2 se puede escribir como una raíz de la forma: ax a = ax x

, verdadero

a ⋅ x = ax

, verdadero

x

I. II.

, entonces

1 ⋅ ax3 = ax , verdadero x

III.

10. La alternativa correcta es D Reemplazando X por 2, tenemos 2 ⋅ 23 2+2 24 = 4 24 = 2 2 = 22 =

, por multiplicación de potencia de igual base , realizamos cambio de base , por división de potencias de igual base.

11. La alternativa correcta es E Reemplazando los valores 3 ⋅ ( 4 12 )2 + 1

, por propiedad de raíces

3 ⋅ 2 12 + 1

, multiplicamos raíces de igual índice

36 + 1 6+1= 7

, desarrollamos

La finalidad de la racionalización es eliminar la raíz enésima del denominador, como la raíz presente

5

5

4 podemos racionalizar por

5

44

4

4 ⋅ 5 4 = 5 4 5 = 4 , pero no esta presente en las alternativas. Realizaremos cambio de base

, lo que permite racionalizar por

5

5

4 = 5 22

23 .

5 3 22 ⋅ 5 23 = 2 , 2 , no se encuentra directamente en la alternativa pero desarrollando la potencia tenemos que: 5 23 = 5 8 5

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es

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12. La alternativa correcta es B

11

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capítulo 1

13. La alternativa correcta es D Si factorizamos por 511 511 (52 − 1) = 511 ⋅ 24 = 6 ⋅ 4 ⋅ 511 entonces, la expresión es divisible por 6 y 511

14. La alternativa correcta es D I. Es verdadero por definición del conjunto de los números irracionales. II. Es falso ya que los números reales es un conjunto que contiene infinitos elementos de los cuales muchos no cumplen con dicha proposición. III. Es verdadero ya que estos números son elementos del conjunto de los imaginarios.

15. La alternativa correcta es A Por definición de volumen, aplicamos raíz cúbica para determinar el valor de la arista. 3

54µ 3 = 3 2 ⋅ 27 ⋅ µ 3 = 3 3 2 µ

16. La alternativa correcta es A Reemplazando los valores en la ecuación

( )

2

π ⋅ R 2 = 3 3 ⋅ 3 = 32 ⋅ 3 ⋅ 3 = 34 17. La alternativa correcta es C

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Si se sabe que han transcurrido 12 horas y que cada 3 horas la cantidad de bacterias se duplica, tenemos que

12

1) 2) 3) 4)

3 horas = 5x2 6 horas = 5x2x2 9 horas = 5x2x2x2 12 horas = 5x2x2x2x2

n

Entonces al cabo de “n” horas tendremos que el número de bacterias serán 5 x 2 3 en este caso 12

5 ⋅ 2 3 = 5 ⋅ 24 = 5 ⋅ 16 = 80 Bacterias

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capítulo 1

18. La alternativa correcta es C De la proporción (1), tenemos que n =0, reemplazando el valor en la expresión nos queda que: a 0 = 1 ; con a ≠ 0 a 0 = indefinido con a = 0 Con (1) por si sola no podemos contestar con certeza, pero si agregamos la información de la proposición (2) podemos contestar satisfactoriamente.

19. La alternativa correcta es C De la proposición (1) podemos inferir que (a-1) 4 será un par positivo salvo en el caso que a = 1. La proposición (2) complementa a la (1) con la cual se puede señalar que (a-1) 4 siempre toma el valor de un par positivo.

20. La alternativa correcta es D Igualamos las bases de todas las identidades subradicales 5 3

32

I

3

32

II

3

34 = 3 3 3

III

3

3

Ahora racionalizaremos con cada una de las expresiones propuestas 5 3

32 5

32

3

32

33 3

3 32 3 3

5 3

⋅

3

3 3

3 3

= =

5 3 32 3

34

15 3 3 3 3 33 53 3 3

= =

5 3 32 33 3

, no se racionaliza

15 3 3 3⋅3

, si se racionaliza , si se racionaliza

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32

⋅

=

CEPECH

3

⋅

13

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capítulo 1

14

Solucionario Matemática

CAPÍTULO 2

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Álgebra 1. La alternativa correcta es B) Aplicamos la definición del enunciado b 1 [1 + ]2 − [1 + b ]2 3 3 b b2 1 1 + 2 + − [1 + 2b + b2 ] 3 9 3 b b2 1 2 b2 1+ 2 + − − b − 3 3 9 3 3 1 b2 b2 1− + − 3 9 3 2 2b2 − 3 9

, desarrollamos los cuadrados de binomios , multiplicamos , operamos con términos semejantes

2. La alternativa correcta es A) Si A es un cuadrado perfecto tenemos que: A=

+ 60xy + 25y2 a2

2ab

b2

b)

c)

b2 = 25 y2

2ab = 60xy 2a ⋅ 5 y = 60xy a = 6x

a 2 = ( 6 x )2

b 2 = ( 5 y) 2 b = 5y

a 2 = 36x2

3. La alternativa correcta es C) Si Z = 1 se tiene que ( x + 12) ⋅ ( x − 13) = x2 − ax − 156

, multiplicamos los binomios

x2 − x − 156 = x2 − ax − 156 −x = −ax a =1

, despejando a

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Por lo tanto, el término que falta es 36x2

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a)

15

capítulo 2

Solucionario Matemática

4. La alternativa correcta es B) El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar lado por lado, entonces: A Re ctángulo = a ⋅ b x2 − 11x + 18 = ( x − 2) ⋅ b b debe ser un binomio compuesto por x y por un número que sumado con (-2) de cómo resultado (-11) y que multiplicado por (-2) el producto sea (18), por lo cual. b = (x - 9)

5. La alternativa correcta es A) Debemos recordar el producto notable a 3 + b3 = ( a + b) ⋅ ( a 2 − ab + b2 ) , entonces

8 x3 + 27 = (2x)3 + (3)3 a = 2x b=3

, sustituyendo

(2x + 3) ⋅ (2x2 − 2x ⋅ 3 + 32 ) (2x + 3) ⋅ (4 x2 − 6x + 9)

6. La alternativa correcta es A) , desarrollamos el cuadrado de binomio

− ( a + b ) + ( a 2 − b2 ) + ( a + b )2 −( a + b) + ( a − b ) + a + 2ab + b 2

2

2

− a − b + a − b + a + 2ab + b 2

2

2

2

, juntamos términos semejantes

2

− a − b + a 2 + a 2 + 2ab + b2 − b2 − a − b + 2a 2 + 2ab

(

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− a − b + 2a + 2ab

16

2

)

( − a − b) + 2a ⋅ ( a + b) 2a( a + b) − a − b

, asociamos términos , factorizamos , ordenamos

7. La alternativa correcta es A) −{a + b ⋅ ( a − c ) − (−(bc − ab))} −{a + ba − bc − (−bc + ab)} −{a} −a

, desarrollamos desde dentro hacia fuera , eliminamos términos semejantes

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

8. La alternativa correcta es C) x2 − 23x + 112 = ( x − a ) ⋅ ( x + b) ( x − 7) ⋅ ( x − 16) = ( x − a ) ⋅ ( x + b) ( x − 7) = ( x − a ) a=7 ( x − 16) = ( x + b) b = −16

, factorizamos , comparamos , despeamos a , despejamos b

9. La alternativa correcta es A) 7(3 y + 2x) − 8(−2x + 7 y) + 23x − 35 y 21 y + 14 x + 16x − 56 y + 23x − 35 y 14 x + 16x + 23x + 21 y − 56 y − 35 y 53x − 70 y

, multiplicamos , términos semejantes

10. La alternativa correcta es E) ( a + b)2 − ( a 2 − b2 ) − 2ab a+b 2 a + 2ab + b2 − a 2 + b2 − 2ab a+b 2 2b a+b

, desarrollamos el cuadrado de binomio , eliminamos términos semejantes

11. La alternativa correcta es D)

( a 2 − b2 ) ( a + b) ( a + b) ⋅ ( a − b) ( a + b) ⋅ ( a + b) ⋅ ( a − b) ⋅ ( a + b) ( a + b) ⋅ ( a − b) ⋅ ( a + b) ⋅ ( a − b)

, factorizamos

( a 2 − b2 ) ⋅ ( a 2 − b2 )

, finalmente

( a + b )2 ⋅ ( a − b ) ⋅

(a − b ) 2

2 2

, simplificamos , aplicamos suma por su diferencia

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, ordenamos la fracción compuesta

CEPECH

( a + b )2 ⋅ ( a − b ) a+b a 2 − b2

17

capítulo 2

Solucionario Matemática

12. La alternativa correcta es B) Acuadrado = a 2

, si conocemos el área podemos determinar el lado

4 x − 12x + 9 = a 2

2

(2x − 3) ⋅ (2x − 3) = a 2 (2x − 3) = a 2x − 3 = a 2

, factoricemos

2

, si aumentamos el lado en 2 unidades

2x − 3 + 2 (2x − 1)

, determinemos la nueva área

(2x − 1)2 = 4 x2 − 4 x + 1 Realicemos la diferencia de las áreas 4 x2 − 4 x + 1 − (4 x2 − 12x + 9) 4 x2 − 4 x + 1 − 4 x2 + 12x − 9 8x − 8

, términos semejantes

Por lo tanto, la superficie aumenta (8x - 8) unidades cuadradas.

13. La alternativa correcta es A) x2 − xy + y2 1 : x+ y x 3 + y3 ( x2 − xy + y2 ) 1 : 2 2 ( x + y) ⋅ ( x − xy + y ) ( x + y) 1 1 : =1 ( x + y) ( x + y)

, factorizamos x3 + y3 , simplificamos

14. La alternativa correcta es A)

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Recordemos que:

18

Volumen de un cubo = a3

x3 − 3x 2 + 3x − 1 = a 3 ( x − 1) = a x −1= a 3

, factorizamos , el lado del cubo es

3

, disminuimos el lado en 2 unidades , Determinamos el nuevo volumen

x −1− 2 ( x − 3) ( x − 3)3 = x3 − 9x2 + 27x − 27 Realizamos la diferencia de los volúmenes x3 − 3x2 + 3x − 1 − ( x3 − 9x2 + 27x − 27) x3 − 3x2 + 3x − 1 − x3 + 9x2 − 27x + 27 6x − 24 x + 26 2

, términos semejantes

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

15. La alternativa correcta es E) 1 1 − b2 ) : ( + b)]−1 a a2 1 − a 2b2 1 + ab −1 [( ):( )] a a2 1 − a 2 b2 a )⋅( )]−1 [( 1 + ab a2 (1 − ab)(1 + ab) a [ ⋅( )]−1 1 + ab a2 1 − ab −1 [ ] a a 1 − ab [(

, realizamos las operaciones al interior de los paréntesis , ordenamos la división , factorizamos la suma por su diferencia , simplificamos a b , por propiedad de potencia ( )−1 = b a

16. La alternativa correcta es C) ( a + b )2 1 : a 2 − b2 a − b 1 ( a + b) ⋅ ( a + b) : ( a + b) ⋅ ( a − b) ( a − b) ( a + b) 1 : ( a − b) ( a − b) ( a + b) ⋅ ( a − b) ( a − b) ( a + b) 17. La alternativa correcta es C) ( a + b) ⋅ ( a 2 − b2 ) ( a − b) ( a + b) ⋅ ( a + b) ⋅ ( a − b) ( a − b) ( a + b) ⋅ ( a + b)

, simplificamos , ordenamos la división , simplificamos

, factorizamos , simplificamos , finalmente CEPECH

( a + b)

2

, factorizamos

Preuniversitario, Edición 2007 19

Solucionario Matemática

capítulo 2

18. La alternativa correcta es D

x4 − 4 = x2 + 2

(Primero factorizamos el numerador con suma por su diferencia)

(x − 2) (x + 2) = 2

2

x2 + 2

(Simplificando)

x2 − 2 19. La alternativa correcta es D

(x + 4x + 4) (x − 2) = (x − 4) (x + 2) 2

2

(x + 2) (x + 2) (x − 2) = (x − 2) (x + 2) (x + 2)

(Factorizando la expresión x2 + 4x + 4 con cuadrado de binomio y la expresión x2 - 4 con suma por su diferencia)

(Simplificando, se observa que se “eliminan” todos los binomios, con lo que el resultado es 1)

1

20. La alternativa correcta es D El área de un cuadrado se calcula elevando a 2 el lado del cuadrado, entonces si factorizamos con cuadrado de binomio el área x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,descubrimos que el lado del cuadrado es (x + 1). Al aumentar su lado 2 unidades el nuevo lado del cuadrado es: (x + 1) + 2 = x+3

(Sumando)

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Finalmente para encontrar el área, elevamos al cuadrado el lado del nuevo cuadrado

20

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

CAPÍTULO 2

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones lineales 1. La alternativa correcta es C) ; multiplicando cruzado

3x − 2 3x2 − x = 3x + 2 3

(

) (

)(

3x + 2 3x − 2 = 3 3x 2 − x

)

9x − 4 = 9x − 3x 4 =x 3 2

2

2. La alternativa correcta es C) 1 1 1 − + =1 2x 3x 6x 3 − 2+1 =1 6x 2 =1 6x 2 =x 6 1 =x 3

; desarrollando la suma por su diferencia y multiplicando el 3 por el binomio ; reduciendo términos semejantes y despejando

; sacando el m.c.m. entre las fracciones ; resolviendo el numerador ; despejando la incógnita “x” ; simplificando

ax + a − x = a + a + 1 ax − x = a + 1 x( a − 1) = ( a + 1) a +1 x= a −1 2

2

; multiplicando “a” por cada paréntesis ; reduciendo términos semejantes ; factorizando por “x” en un lado de la igualdad ; despejando la incógnita

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a( x + a ) − x = a( a + 1) + 1

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3. La alternativa correcta es E)

21

capítulo 2

Solucionario Matemática

4. La alternativa correcta es A) h 1− h P (1 − h ) = h P − Ph = h P = h + Ph P = h(1 + P )

; para despejar “h” multiplicamos cruzado

P=

; multiplicamos “P” por el binomio ; despejamos “h” reuniéndolas en un lado de igualdad ; factorizando por “h” y despejando

P =h 1+ P 5. La alternativa correcta es D) a a b = − x b a a a 2 − b2 = x ab a 2 b = x a 2 − b2

(

; sacando el m.c.m y realizando la resta de fracciones ; multiplicando cruzado en la igualdad

)

; despejando “x”

a 2b =x ( a − b2 ) 2

6. La alternativa correcta es C) a+b+c = 0 c = −a − b 3b − a + (−a − b) = 5 2b − 2a = 5 2(b − a ) = 5 5 b−a = 2

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7. La alternativa correcta es B) x+ y =1 x− y=0

22

2x = 1 1 x= 2 1 + y=1 2 1 y = 1− 2 1 y= 2 1 1 ∴ − =0 2 2

; en la primera igualdad despejamos “c” ; reemplazamos este término en la segunda igualdad ; reduciendo términos semejantes y factorizando ; despejando el término pedido

; resolvemos por reducción ; despejamos “x” , reemplazamos este valor en la primera ecuación ; despejando “y”

; realizando la diferencia entre las variables

En este caso no es necesario resolver el sistema, como x e y son solución, la respuesta está planteada en el enunciado x - y = 0

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

8. La alternativa correcta es E) 2x 3 y + =6 3 9 3x 2 y + =7 9 3 2x y + =6 3 3 x 2y + =7 3 3 2x + y = 18 x + 2 y = 21 ( a ) 2x + y = 18 (b) − 2x − 4 y = −42 −3 y = −24 y=8 2x + 8 = 18 2x = 10 x=5

; escribimos el sistema en forma fraccionaria ; simplificando

; multiplicando por el denominador común

; amplificamos la segunda ecuación para resolver por reducción ; sumando

, despejando “y” ; reemplazamos este valor en la ecuación (a) , despejamos “x”

9. La alternativa correcta es E) ( a ) x + y = 16 (b) x + z = 22 ( c ) y + z = 28 y = 28 − z ( a ) x + (28 − z) = 16 x − z = 16 − 28 ( d ) x − z = −12

; ordenamos el sistema ; despejamos “y” de la ecuación (c) , reemplazamos esto en la ecuación (a) ; despejamos las variables y llamamos (d) a esta nueva ecuación ; armamos un sistema entre (b) y (d)

2x = 10 x=5 5 + z = 22 z = 17 y + 17 = 28 y = 11 ∴ x + y + z = 5 + 11 + 17 = 33

; despejamos “x” y reemplazamos en (b) ; despejamos “z” y reemplazamos en (c) ; despejamos “y” ; sumamos x, y, z

Preuniversitario, Edición 2007

; resolvemos por reducción

CEPECH

x + z = 22 x − z = −12

23

capítulo 2

Solucionario Matemática

10. La alternativa correcta es E) 2+ y+ z = 6 y−z = 0

; tomamos el valor de “x”, lo reemplazamos en la primera ecuación y despejamos las variables de los factores numéricos

(a) y + z = 4 (b) y − z = 0

; armamos el sistema y lo resolvemos por reducción

2y= 4 y=2 2+ z = 4 z=2

; despejamos el valor de “y” ; reemplazamos este valor en (a) ; despejamos z

11. La alternativa correcta es C) Sea

x = cantidad de gallinas y = cantidad de conejos

; ;

2x = total de patas de gallinas 4y = total de patas de conejos

al escribir el sistema de ecuaciones nos queda ( a )x + y = 50 (b)2x + 4 y = 134

; amplificamos la ecuación (a) para resolver por reducción

−2x − 2 y = −100 2x + 4 y = 134

; sumamos y despejamos “y”

2 y = 34 y = 17 x + 17 = 50

; reemplazamos este valor en (a) ; despejamos “x”

x = 33

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

12 . La alternativa correcta es B)

24

x = número central (x - 1) = el antecesor de x (x + 1) = el sucesor de x así la suma de tres números consecutivos será: ( x − 1) + x + ( x + 1) = 45 3x = 45 x = 15 (15)2 = 225

; reduciendo términos semejantes ; despejando “x” ; elevando al cuadrado el valor de “x”

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

13. La alternativa correcta es A) Sea: w = ( y + x) z = ( y − x)

; escribimos el sistema con las variables auxiliares “w” y “z”

( a ) 2w − 3z = 3 (b) 5w + 3z = 18

; resolvemos el sistema por reducción

7w = 21 w=3 2(3) − 3z = 3 6 − 3z = 3 z =1

; despejando “w”

3=

y+ x

1=

y−x

, reemplazamos este valor en (a) ;despejando “z”

()

()

2

;reemplazamos los valores de “w” y “z” en la definición de las variables y elevamos al cuadrado

2

(c ) 9 = y + x (d ) 1 = y − x

; resolvemos por reducción

10 = 2 y 5= y 9 = 5+x

; despejamos “y” ; reemplazamos este valor en (c) ; despejamos “x”

4=x

14. La alternativa correcta es B) Escribimos el sistema reemplazando la tercera igualdad en la primera y segunda ecuación: (a) k + 2 y = 0 (b) 4 y = k

; multiplicamos y simplificamos ; sacamos m.c.m ; sumamos y despejamos

Preuniversitario, Edición 2007

k=0

; reemplazamos “y” en la ecuación (a)

CEPECH

k 4 k k + 2  = 0 4 k k+ =0 2 2k + k =0 2 3k = 0 y=

; despejamos “y” en la ecuación (b)

25

capítulo 2

Solucionario Matemática

15. La alternativa correcta es D) Definiremos las variables, sea x = cantidad del tipo A en litros y 200 1.500x 900y 200(1.140) ( a ) 1.500x + 900 y = 200(1140) (b) x + y = 200 1.500x + 900 y = 228.000 x + y = 200 x = 200 − y 1.500(200 − y) + 900 y = 228.000 300.000 − 1.500 y + 900 y = 228.000 300.000 − 228.000 = 600 y 72.000 = 600 y 120 = y x + 120 = 200 x = 80

= = = = =

cantidad del tipo B en litros cantidad de la mezcla en litros valor de la cantidad del tipo A utilizado en la mezcla valor de la cantidad del tipo B utilizado en la mezcla valor de la mezcla obtenida ; escribiendo el sistema con el valor total de la mezcla

; despejamos “x” de la ecuación (b) ; reemplazamos “x” en la ecuación (a) ; multiplicamos y reducimos términos semejantes ; despejamos “y” ; remplazamos el valor de “y” en (b) ; despejamos

16. La alternativa correcta es B) Sea “x” la cantidad de hermanas de Pablo e “y” la cantidad de hermanos de Pablo, tenemos: Pablo

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

Angélica

26

y+1= 3 y −1 2= 2y 1= y x = 3(1) x=3

x=3y y +1 = x -1

; armamos una ecuación con la información de Pablo ; si Angélica es hermana de Pablo, quiere decir que en el análisis aumenta un varón y disminuye una mujer en la relación planteada ; reemplazamos la relación de Pablo en la de Angélica ; despejamos “y” ; buscamos el valor de “x”

La cantidad de hombres es 2 ya que debemos agregar a Pablo, y la de mujeres 3

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

17. La alternativa correcta es D) Cuando la moto alcanza al auto, los dos cuerpos llevan la misma distancia recorrida. = cantidad de horas que demora el automóvil Sea x (x-2) = cantidad de horas que demora la moto en recorrer la misma distancia 80 x = distancia recorrida por el automóvil 120(x-2) = distancia recorrida por la moto La ecuación nos queda: ; multiplicando el paréntesis 80x = 120( x − 2) ; ordenando la ecuación 80x = 120x − 240 240 = 120x − 80x ; reduciendo términos semejantes 240 = 40x ; despejando 6=x Luego, la moto demora 4 horas en alcanzar al automóvil desde que está en movimiento, compartió 2 horas después , a las 6 horas alcanza al automóvil. El automóvil partió a las 3 de la tarde, por lo cual son las 9 de la noche cuando se encuentran. 18. La alternativa correcta es E) Se tiene como información dos ecuaciones y tres incógnitas, es imposible resolver el sistema. 19. La alternativa correcta es D) Con la primera información “ x es el doble de y” y la ecuación dada, se plantea un sistema de ecuaciones que si se puede resolver: ( a )x = 2 y (b)2x − 3 y = 4

; planteamos el sistema

2(2 y) − 3 y = 4 4y−3y = 4 y=4 x = 2(4 ) x=8

; reemplazamos (a) en (b) reducimos términos semejantes ; reemplazamos “y” en (a)

4 x = 32 x=8 2(8 ) − 3 y = 4 16 − 3 y = 4 12 = 3 y 4= y

; planteamos el sistema

; resolvemos por reducción ; despejamos “x” ; reemplazamos en (b) ; reunimos términos semejantes ; despejamos

Preuniversitario, Edición 2007

( a )2x + 3 y = 28 (b)2x − 3 y = 4

CEPECH

Con la segunda información se puede armar otro sistema de ecuaciones:

27

capítulo 2

Solucionario Matemática

20. La alternativa correcta es C) Sea Z = cuenta por pagar Con la primera información podemos plantear una ecuación con tres variables; sea x = cobro del consumo en m3 3500 = cobro por el uso del alcantarillado

Z = x + 3500 + y

y = arriendo del medidor Con la segunda información podemos plantear una segunda ecuación y una igualdad; x 3500 = 2 y = 1000 Al unir las dos informaciones podemos reemplazar en la primera ecuación los valores dados en la segunda:

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

Z = 7000 + 3500 + 1000 Z = 11500

28

CAPÍTULO 2

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Razones y proporciones, porcentaje e interés 1. La alternativa correcta es D) La media proporcional geométrica es el término que se repite en una proporción continua, por lo cual

2x MP = MP 8x 16x2 = ( MP )2 16x2 = MP 4 x = MP

; escribimos la proporción con el término repetido ; multiplicamos cruzado ; sacamos raíz cuadrada para eliminar el exponente de la incógnita ; obtenemos el valor buscado

2. La alternativa correcta es E) Sean x e y los números buscados;

x − y = 48 x 9 = y 5 x=

9y 5

;despejando “x” en la segunda ecuación ; reemplazando en la primera ecuación ; sacamos el m.c.m. ; reducimos términos semejantes ; multiplicamos cruzado ; despejamos “y” ; despejamos “x”

Preuniversitario, Edición 2007

; reemplazamos este valor en la primera ecuación

CEPECH

9y − y = 48 5 9y−5y = 48 5 4y = 48 5 4 y = 2440 y = 60 x − 60 = 48 x = 108

;escribiendo la información se tiene

29

capítulo 2

Solucionario Matemática

3. La alternativa correcta es A) Sean x e y las cantidades de dinero que le corresponden a cada persona; así

x + y = 2500 x: y=2:3

; al escribir la información como ecuación nos queda

x + y = k (2 + 3) 2500 = k (5) 2500 =k 5 500 = k x y = 500 ∧ = 5000 2 3 x = 1000 ∧ y = 1500 1500 − 1000 = 500

; remplazando de la primera igualdad

; por propiedades de proporción

; despejando k

; reemplazando la constante de proporcionalidad en las igualdades iniciales ; haciendo la diferencia entre los números

4. La alternativa correcta es C) Sea :

x = cantidad de varones, y = cantidad de mujeres

x + y = 500

Escribiendo la proporción entre las variables

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

35 x = =k 15 y x+ y =k 35 + 15 500 =k 50 10 = k x = 10 → x = 350 35 y = 10 → y = 150 15 x − y = 200

30

; escribimos la proporción , por propiedades ; reemplazamos la cantidad total de personas ; dividimos y obtenemos el valor de la constante k ; reemplazamos la constante en cada razón ; obtenemos “x” e “y” ; buscamos la diferencia entre varones y mujeres

5. La alternativa correcta es A) Por definición la cuarta proporcional geométrica es el o los números diferentes que puede tener una proporción ; así

x 14 = 24 56 24 14 x= 56 12 x= =6 2

( )( )

; multiplicando cruzado ; resolviendo

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

6. La alternativa correcta es B)

a% de b se escribe : ab = 23 100 b% de a se escribe :

ba =? 100 ; de la primera igualdad

ab = 2300 2300 = 23 100

; reemplazamos en la segunda ; simplificamos y obtenemos el resultado

7. La alternativa correcta es D) Definamos: X = edad de Juan Y = edad de hermano

X = 24 X :Y = 3 : 4 24 3 = Y 4 24 ⋅ 4 =y 3 32 = Y

; escribimos la información del problema ; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ; multiplicamos cruzado y simplificamos

8. La alternativa correcta es B) Aumentando el numerador de la fracción e igualamos con 0,75 escrito como fracción.

; multiplicamos cruzado ; despejamos el valor de “x”

; escribimos la relación de porcentajes ; resolvemos “ 1 qué porcentaje es de 5 ”

Preuniversitario, Edición 2007

100 = 20% 5

; simplificando

CEPECH

5 + x 75 = 8 100 5+x 3 = 8 4 20 + 4 x = 24 4x = 4 x =1 5 = 100% 1 = ?%

31

capítulo 2

Solucionario Matemática

9. La alternativa correcta es D) Reconocemos las variables de la fórmula para el interés simple : C = 1.050.000 K= 350.000 r = 10%

C = K (1 + nr ) 1.050.000 = 350.000(1 + n10%) 10 3 = 1+ n 1000 10 n 2= 100 200 = 10 n 20 = n

; escribiendo la ecuación y reemplazando los valores

; despejando “n” y escribiendo el porcentaje como fracción

10. La alternativa correcta es C) Por fórmula la MP geométrica es : ; reemplazando los valores en la fórmula

5 (0, 20) = MP 4

; transformando el decimal a fracción

5 20 ⋅ = MP 4 100

; multiplicamos y simplificamos

10 = MP 40

; sacamos la raíz cuadrada

1 = MP 2 11. La alternativa correcta es D)

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

Sea x = edad de Ricardo y = edad de Mónica

32

x = y+6 2( x + y) = 60

; escribimos la información entregada

2( y + 6 + y) = 60 2(2 y + 6) = 60 4 y + 12 = 60

; reducción de términos semejantes

4 y = 48 y = 12 x = 12 + 6 x = 18 x 18 3 = = y 12 2

; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ecuación

; multiplicamos ; despejamos “y”

; reemplazamos este valor en la primera igualdad ; sumamos y escribimos la razón entre los valores encontrados

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

12. La alternativa correcta es C) Sea

x = dinero que lleva e y = valor del artículo

68% ⋅ x = y 32% ⋅ x = 48.000 68 x =y 100 32x = 48.000 100 4.800.000 x= 32 x = 150.000 17x =y 25 17(150.000) =y 25 17(6.000) = y 102.000 = y

; escribimos la información

; pasamos el porcentaje a fracción

; despejamos x de la segunda ecuación ; dividimos

;tomamos la primera ecuación y la simplificamos , reemplazamos el valor de “x” en la ecuación

; multiplicamos y simplificamos

13. La alternativa correcta es B) Definimos a x como dinero de la deuda; entonces:

3 x = 24.000 8 3x = (24.000)(8 ) 3x = 192.000 x = 64.000 45  4 x = x 5  8  8

; despejamos “x”

; escribimos el resto de la deuda como lo que le falta a 3/8 para el entero; es decir 5/8, así los 4 del resto de la deuda es:

5

; simplificamos ; reemplazamos el valor de “x”

Preuniversitario, Edición 2007

Luego, el total de lo que se ha pagado es $24.000 + $32.000 = $56.000, por lo tanto, falta por pagar $64.000 - $56.000 = $8.000.

CEPECH

1 x 2 1 ⋅ 64.000 = 32.000 2

; de la primera información se obtiene

33

capítulo 2

Solucionario Matemática

14. La alternativa correcta es E)

A = 25% de B 25 A= B 100 1 (a) A = B 4 A+B A = 100 x (b) ( A + B )x = 100 A 1 1 ( B + B )x = 100( B ) 4 4 5 ( B )x = 25 B 4 25(4 ) x= 5 x = 20

; escribimos la información como fracción ; simplificamos ; buscamos que % es A de (A+b) ; multiplicamos cruzado ; reemplazamos (a) en (b) ; sumamos y simplificamos ; simplificamos y despejamos “x”

15. La alternativa correcta es A)

Y = kX 3 3 =k 5 4 4 =k 5 4 20 = X 5 100 = 4 X

; escribimos la proporcionalidad directa ; reemplazamos los valores de X y de Y ; despejamos la constante de proporcionalidad k ; con el valor de k =constante, reemplazamos el nuevo valor de

Y , despejando obtenemos el nuevo valor de X

25 = X

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

16. La alternativa correcta es C)

34

1 x = 150 750 750 =x 150 5=x

; escribimos la proporcionalidad entre los valores ; despejamos

17. La alternativa correcta es D) 5 obreros (5-3 ) obreros

2 horas x horas

; escribimos la relación que nos dan ; al ser una proporción inversa multiplicamos hacia el lado

5⋅2 =x 2 5=x

; simplificamos

Solucionario Matemática

capítulo 2 1

18. La alternativa correcta es E) El C.P.G son los términos diferentes de una proporción;

2 6 = 3 x x=9 2 x = 3 6 x=4 x 2 = 3 6 x =1

; escribimos la primera proporción posible y despejamos el primer valor de x ; escribimos la segunda proporción y despejamos x

; escribimos la tercera proporción y despejamos x

Luego, la respuesta correcta es: I, II y III. 19. La alternativa correcta es C)

a:b=2:3 I.

a b a+b = → =k 2 3 5

II .

III .

b a b−a = → =k 3 2 1 a b = → 3a = 2b 2 3 6a = 4b

; por las propiedades de proporciones, escribimos ; si (a+b) = 5 significaría que a =2 y b=3 ,lo que no se cumple siempre , ya que si a=10 y b=15 tienen igual proporción ; si (a-b) = 1 significaría que a=2 y b=3, no se cumple siempre por la misma explicación anterior

; la amplificación de una proporción la mantiene siempre igual

Luego, la respuesta correcta es: Sólo III. 20. La alternativa correcta es D) Sea x el precio del comestible y V el precio final de venta, entonces: ; escribimos el planteamiento del precio de venta ; transformamos los porcentajes a fracciones simplificadas y sacamos m.c.m.

; sacamos m.c.m

; simplificamos

Preuniversitario, Edición 2007

; sumamos

CEPECH

x − 25% x + 20%( x − 25% x) = V 1 1 1 x − x + ( x − x) = V 4 5 4 4 x − 1x 1 1 + x − x =V 4 5 20 3x 4 x − x + =V 4 20 3x 3x + =V 4 20 15x + 3x =V 20 18 x =V 20 9x =V 10 90% de x = V

35

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

capítulo 2

36

Solucionario Matemática

CAPÍTULO 2

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Desigualdades e Inecuaciones lineales 1. La alternativa correcta es A) Al graficar los intervalos en una misma recta numérica nos quedan:

-6

0

5

10

La solución final corresponde al intervalo [ -6 , +∞ ]

2. La alternativa correcta es E)

-6

-2

0

3

La solución final es ] –2 , 3 ]

3. La alternativa correcta es D)

0

4

6

8

12

CEPECH

-3

La solución final es [ -3 , +∞ [

2x + 1 3x − 4 < 8 3 3(2x + 1) < 8(3x − 4 ) 6x + 3 < 24 x − 32 3 + 32 < 18 x 35 35 <x ó x> 18 18

; multiplicando cruzado ; distribuimos cada factor en el binomio respectivo ; reunimos términos semejantes ; despejamos la incógnita

Preuniversitario, Edición 2007

4. La alternativa correcta es B)

37

Solucionario Matemática

capítulo 2

5. La alternativa correcta es B)

6x + 11 + 6 > 9 + 3x 2 6x + 11 + 12 > 9 + 3x 2 6x + 23 > 18 + 6x

; sacamos común denominador ; multiplicamos cruzado ; reunimos términos semejantes y la incógnita “x” se elimina

23 > 18

; obtenemos una desigualdad verdadera lo que significa que se cumple para todos los reales

6. La alternativa correcta es D)

x−5 1− <9+x 9 9 − ( x − 5) <9+x 9

; sacamos común denominador ; multiplicamos cruzado

9 − x + 5 < 81 + 9x

; reunimos términos semejantes

14 − 81 < 10x

; despejamos “x”

−67 < 10x −

67 <x 10

; graficamos la solución y la afirmación x < 5

-67 10

La solución final es ]

0

5

-67 , 5[ 10

7. La alternativa correcta es A)

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

Para que la expresión represente un número no real, la cantidad sub-radical debe ser menor que cero.

38

3x − 12 3x − 12 < 0 3x < 12 x<4 4

; despejamos la incógnita “x”

8. La alternativa correcta es A) Para que la cantidad sub-radical sea un número real debe ser mayor o igual a cero

−x −x ≥ 0 / (−1) x≤0

; multiplicamos por (-1) para eliminar el negativo de la incógnita lo que hace además que se invierta el signo de la desigual-

Solucionario Matemática

capítulo 2 1

dad 9. La alternativa correcta es D) Para que la fracción sea real, el denominador debe ser distinto de cero y la cantidad sub-radical mayor que cero

7

; escribimos la desigualdad

3−x 3−x >0 3>x ó x<3

; despejamos la incógnita

10. La alternativa correcta es C) I. a > c II.

; se cumple, por propiedades

1 1 < a c

; se cumple, por propiedades

III. -3ab > - 3bc

; no se cumple, por propiedades

11. La alternativa correcta es A)

(x − 1)

2

; desarrollamos el cuadrado de binomio

≤ x( x − 4 ) + 8

; eliminamos el término “ x2 ”

x2 − 2x + 1 ≤ x2 − 4 x + 8 −2x + 1 ≤ −4 x + 8 −2x + 4 x ≤ 8 − 1 2x ≤ 7 7 x≤ 2  7 −∞ ,  2 

0

; reunimos términos semejantes ; despejamos “x” ; escribimos el resultado como intervalo según el dibujo

7 2

12. La alternativa correcta es D) ; resolvemos cada desigualdad por separado

x+6 2 6x − 2 ≥ x + 6 5x ≥ 8 8 x≥ 5 8   , +∞ 5 

; sacamos el denominador común y multiplicamos cruzado

a ) 3x − 1 ≥

; reunimos términos semejantes ; despejamos “x” ; escribimos la solución como intervalo

Preuniversitario, Edición 2007

x +3 2 b) 2x + 5 < 3x − 1

CEPECH

a ) 3x − 1 ≥

39

capítulo 2

Solucionario Matemática

b) 2x − 3x < −1 − 5 −x < −6 / (−1) x>6  6, + ∞   

; reunimos términos semejantes ; multiplicamos por (-1) para eliminar el signo negativo de la incógnita, invirtiendo así la desigualdad ; escribimos la solución como intervalo

La solución final es la intersección de ambas soluciones Gráficamente tenemos:

0

8 5

8  5 , +∞ 

  ∩  6, +∞  

6

Entonces, el resultado es ]6, +∞[ 13. La alternativa correcta es E)

a ).2x + 3 < 3 b).x − 2 > 4

; se resuelve cada desigualdad por separado

a ) 2x < 3 − 3 2x < 0 x<0 b) x > 4 + 2 x>6

0

6

La intersección de las desigualdades es  − ∞ , 0  ∩  6 , + ∞  = ∅ 14. La alternativa correcta es A) Sea

X = número buscado 2X = doble del número buscado

planteamos la desigualdad

2x − 1 < x + 1 2x − x < 1 + 1

; reunimos términos semejantes ; despejamos “x”

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

x<2

40

Como el número buscado debe ser natural, el natural menor a 2 es 1 15. La alternativa correcta es C) Si x = lado del cuadrado, el perímetro de un cuadrado es 4x; si el perímetro no puede ser menor que 50 cm, quiere decir que puede ser 50 cm o más, así la desigualdad nos queda:

4 x ≥ 50 50 x≥ 4 x ≥ 12, 5 cm

; despejamos “x” ; dividimos

capítulo 2 1

Solucionario Matemática

16. La alternativa correcta es B) Sea

(2n + 1) = número impar (2n + 3) = impar consecutivo

planteamos la desigualdad

(2n + 1) + (2n + 3) < 60 2n + 1 + 2n + 3 < 60 4 n + 4 < 60 4 n < 60 − 4 4 n < 56 56 n< 4 n < 14 ∴ n = 13 (2 ⋅ 13 + 3) = 29

;eliminamos paréntesis ; reunimos términos semejantes

; despejamos n

; encontramos el mayor valor de n que sea menor que 14 ; reemplazamos n en el mayor impar y obtenemos el resultado final

17. La alternativa correcta es C) Sea

X = cantidad de monedas que se tiene en un bolsillo X + 5 = cantidad de monedas en el otro bolsillo 2X + 5 = total de monedas en ambos bolsillos

planteamos la desigualdad

2x + 5 ≥ 35 2x ≥ 35 − 5 30 x≥ 2 x ≥ 15

; despejamos y reunimos términos semejantes

; dividimos

18. La alternativa correcta es E)

(2) M ≥ P

, con esta única información no podemos saber quién es mayor , con esta información sólo sabemos que Marcelo puede tener la misma edad de Pablo o ser mayor.

Si unimos las dos informaciones podemos asegurar que Pablo es mayor que Joaquín pero no que Marcelo es mayor que Pablo; se requiere información adicional.

Preuniversitario, Edición 2007

(1) P = J + 1

CEPECH

Sean : P = Pablo, J = Joaquín, M = Marcelo planteamos las desigualdades para cada información tratando de encontrar quién es mayor

41

capítulo 2

Solucionario Matemática

19. La alternativa correcta es C) Sea L = cantidad de tarros de pintura utilizados en el living C = 1,5 cantidad de tarros de pintura utilizados en la cocina X = cantidad de tarros de pintura utilizados para la casa completa (1) de la primera información podemos plantear L = 2C, lo que nos dice que en el living se utilizaron 3 tarros, pero no nos informa sobre X (2) de la segunda información podemos plantear X ≥ 3 (L + C), que por sí sola no nos proporciona el valor mínimo de X. (1) y (2) juntas nos proporciona la desigualdad con la que podemos encontrar X

X ≥ 3(3 + 1, 5) X ≥ 3(4, 5) X ≥ 13, 5 20. La alternativa correcta es C) Sea X = cantidad de pares de zapatos (1) de la primera información podemos escribir:

X − 40 >

X 2

X > 40 2 2X − X > 40 2 X > 40 2 X > 80 X−

; sacamos el m.c.m. ; reducimos términos semejantes. ; multiplicamos cruzado.

Nos dice que el zapatero hizo más de 80 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta que hizo

CEPECH

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(2) de la segunda información podemos escribir:

42

X − 35 < 47 X < 82 Nos dice que el zapatero hizo menos de 82 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta de zapatos (1) y (2) nos da la información ya que 82 < X < 80; lo que se traduce en que X = 81

CAPÍTULO 3

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Relaciones y funciones 1. La alternativa correcta es C) Las relaciones a R b pedidas, son aquellas en que el segundo término es múltiplo del primero, entonces al escribir todas las relaciones a R b tenemos:

(2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,4); (4,6) Observamos que la primera relación, la segunda, la cuarta y la quinta relación cumplen la condición pedida. 2. La alternativa correcta es E) En la relación x R y se pide que los pares ordenados (x , y) no cumplan la condición x =

y 2

Comprobamos cada par ordenado:

4 2

; se cumple la condición

b) 8 =

16 2

; se cumple la condición

6=

12 2

, se cumple la condición

d) 4 =

8 2

; se cumple la condición

5 2

; no se cumple la condición

a)

c)

e)

2=

10 ≠

En la relación a R b , la condición es que el primer término sea múltiplo del segundo. Se cumple en a) 6 = 3 · 2

En una función a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada, lo que significa que si tomamos el elemento a de salida no puede este tener dos elementos de llegada, basándose en esto, la opción II no es función ya que el elemento de partida “a “ esta con tres elementos del conjunto de llegada. (a,a); (a,b); (a,c); esta opción es relación. Por lo tanto, las opciones I y II cumplen la definición de función.

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4. La alternativa correcta es B)

CEPECH

3. La alternativa correcta es A)

43

capítulo 3

Solucionario Matemática

5. La alternativa correcta es C)

f ( u ) = 3x + u f (3) = 3x + 3 f (0) = 3x + 0 f (3) − f (0) = 3x + 3 − (3x + 0) f (3) − f (0) = 3x + 3 − 3x − 0 f (3) − f (0) = 3

; reemplazamos en la función la variable “u” por el número ; hacemos lo mismo con el 0 ; finalmente restamos ; cambiamos signos dentro de paréntesis ; resolvemos

6. La alternativa correcta es E)

f ( x ) = 3x − 5 3x − 5 = 6 3x = 6 + 5 3x = 11 11 x= 3

; igualamos la función dada al valor que se indica ; reunimos términos semejantes ; reducimos términos ; despejamos “x”

7. La alternativa correcta es E)

f (2) = 2(2) = 4 f (3) = 2(3) = 6 g (5) = 2(5) = 10 f (2) − f (3) + g(5) = 4 − 6 + 10 = 8

; evaluamos cada variable “x” con el valor indicado en las funciones respectivas ; finalmente realizamos la operación indicada

8. La alternativa correcta es D) La función g [f (x)] es una función compuesta, lo que significa que el valor de f (-2) se reemplaza en la función g (x) para obtener el resultado final así:

g[ f (−2)] = g[ −2 + 3 ] = g[1] = 5(1) + 7 = 12

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9. La alternativa correcta es C)

44

Opción I: En esta opción se observa que a cada elemento de partida tiene un sólo elemento de llegada, sin importar que sea el mismo; es función Opción II: En la opción se observa que hay un elemento en el conjunto de partida que no tiene elemento en el conjunto de llegada, no es función ya que todos los elementos deben tener un elemento de llegada Opción III: Hay un elemento en el conjunto de partida que tiene dos elementos en el conjunto de llegada, no es función ya que debe tener uno sólo Opción IV: Es función ya que es uno a uno, es decir, a un elemento de partida le corresponde sólo uno de llegada Luego, la respuesta correcta es I y IV.

capítulo 1 3

Solucionario Matemática

10. La alternativa correcta es D) En el gráfico si elegimos puntos en el eje x (conjunto de partida), vemos que a cada valor le corresponde sólo un valor en el eje y (conjunto de llegada); es función Gráfico I:

Y

X

En el gráfico, al mismo elemento de partida (eje x) le corresponde varios puntos de llegada(eje y); no es función Gráfico II: Y

X

En el gráfico se elige un elemento de partida, y se ve que a cada uno le corresponde uno de llegada; se grafica una recta que siempre es función. Y

Gráfico III:

X

11. La alternativa correcta es D) Evaluamos en la función f ( x) = x2 − 3x + 1 los valores entregados en cada alternativa para ver cual no se cumple

a ) f (0) = (0)2 − 3(0) + 1 = 1 verdadera b) f (−5) = (−5)2 − 3(−5) + 1 = 25 + 15 + 1 = 41 verdadera d ) f (−1) = (−1)2 − 3(−1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

falsa

12. La alternativa correcta es C) En el gráfico si tomamos el valor 0 en el x, se obtiene 0 en el y; es decir f(0) = 0 , cuando tomamos el valor 3 en el eje x , obtenemos 5 en el eje y; es decir f(3) =5, finalmente al tomar el valor –3 en el eje x , encontramos el valor –1 en el eje y; es decir f (-3) = -1 Entonces, f (0) + f (3) − f (−3) = 0 + 5 − (−1) = 6

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e ) f (1) = (1) − 3(1) + 1 = 1 − 3 + 1 = −1 verdadera 2

CEPECH

c ) f (2) = (2)2 − 3(2) + 1 = 4 − 6 + 1 = −1 verdadera

45

Solucionario Matemática

capítulo 3

13. La alternativa correcta es D) Analizamos cada alternativa a) Por definición una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; por lo tanto es verdadera b) En una función inyectiva a cada elemento del dominio, le corresponde un único valor en el recorrido, así f(x) = x + 5 es inyectiva ya que para cada valor de “x” obtendremos un valor distinto de “y”; luego es verdadera c) Por la definición explicada en la alternativa a), la alternativa es verdadera. d) En una relación un elemento de partida puede tener dos de llegada, en las funciones no; por lo tanto es falsa e)

f ( g (2)) = f (2 + 2) = f (4 ) = 4 + 1 = 5 ; verdadera

14. La alternativa correcta es A) Si f ( x) = x − 3 y g ( x) = x − 1 al buscar g ( f ( x)) buscamos la función compuesta, para ello tomamos f (x) y la reemplazamos en g (x), así:

g ( f ( x)) = g ( x − 3) = ( x − 3) − 1 = x − 3 − 1 = x − 4 15. La alternativa correcta es C) Si la función es f ( u ) = u + 2x en “u” reemplazamos los valores entregados; así:

f ( x) = x + 2x = 3x f (2x) = 2x + 2x = 4 x entonces, f ( x) + f (2x) = 3x + 4 x = 7x

16. La alternativa correcta es D)

CEPECH

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Para ver si los pares ordenados satisfacen o no una función, tomamos cada par ordenado y reemplazamos en la función verificando si se cumple o no la igualdad. Recuerda que el primer número del par ordenado representa x y el segundo y, así:

46

Par (−1, −3) → x = −1; y = −3 −3 = (−1) − 4 −3 = 1 − 4 −3 = −3 2

Par (−2, 0) → x = −2 ; y = 0 0 = (−2) − 4 0 = 4−4 0=0 2

; definimos el valor de x e y ; reemplazamos estos valores en la función recordando que f (x)=y ; verificamos la igualdad ; verdadera ; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera

capítulo 3 1

Solucionario Matemática

Par (−3, 5) → x = −3 ; y = 5 5 = (−3) − 4 5 = 9−4 5=5 2

Par (0, 4 ) → x = 0 ; y = 4 4 = (0) − 4 4 ≠ −4 2

Par (2, 0) → x = 2 ; y = 0 0 = (2)2 − 4 0 = 4−4 0=0

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera

; definimos los valores de x e y ; reemplazamos y verificamos la igualdad ; falsa

; definimos los valores de x e y , reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera

17. La alternativa correcta es A) En la función f ( x) = 2x + 1 reemplazamos los puntos dados en cada gráfico para ver si se cumple la igualdad respectiva En el gráfico a) tenemos que si:

x = 1; y = 3 → 3 = 2(1) + 1 x = 2; y = 5 → 5 = 2(2) + 1 x = 0; y = 1 → 1 = 2(0) + 1

; para los tres valores de x e y se cumple la igualdad, por lo cual el gráfico buscado es el primero

18. La alternativa correcta es B) En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (a) para finalmente realizar la operación que se indica; entonces: ; multiplicamos cada factor por el binomio correspondiente

f ( a + b) = 2a 2 + 2ab − 5a − 5b + 5a

; reducimos términos semejantes

f ( a + b) = 2a + 2ab − 5b 2

; multiplicamos los factores por cada binomio

f ( a ) = 2a 2 − 5a + 5a

; reducimos términos semejantes

f ( a ) = 2a 2 f ( a + b) − f ( a ) 2a 2 + 2ab − 5b − 2a 2 = 2b 2b f ( a + b) − f ( a ) 2ab − 5b b(2a − 5) = = 2b 2b 2b f ( a + b) − f ( a ) 2a − 5 = 2b 2

; escribimos la expresión que nos piden ; reducimos términos semejantes ; factorizamos y simplificamos

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f ( a ) = 2a( a ) − 5( a ) + 5a

CEPECH

f ( a + b) = 2a( a + b) − 5( a + b) + 5a

47

capítulo capítulo14 3

Solucionario Matemática

19. La alternativa correcta es D) En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (b) , para finalmente realizar la diferencia entre estos dos resultados

f ( a + b) = ( a + b) − a ( a + b)

; multiplicamos por “a” el paréntesis.

f ( a + b) = a + b − a 2 − ab f (b) = b − a (b)

; multiplicamos por “a” el paréntesis.

f (b) = b − ab f ( a + b) − f (b) = a + b − a 2 − ab − (b − ab)

; reemplazamos los resultados en la expresión que nos piden

f ( a + b) − f (b) = a + b − a 2 − ab − b + ab

; cambiamos los signos por el negativo que está fuera del paréntesis y reducimos términos semejantes

f ( a + b) − f (b) = a − a 2 = a(1 − a )

; factorizamos por “a”

20. La alternativa correcta es C) Si f(a) = 2, entonces reemplazamos por “a” la incógnita “x” e igualamos todo a 2 para encontrar el valor de “a”, es decir:

3 + 2x 2a 3 + 2a =2 f (a) = 2a 3 + 2a = 2(2a ) f ( x) =

3 + 2a = 4 a

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

3 = 4 a − 2a 3 = 2a 3 =a 2

48

; reemplazamos x por “a” e igualamos a “2” ;multiplicamos cruzado ; resolvemos y reunimos términos semejantes ; reducimos términos semejantes ; despejamos “a”

CAPÍTULO 3

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Funciones de Variable Real 1. La alternativa correcta es C) Sea

n = número positivo

y

(n+1) su consecutivo, así:

n( n + 1) = 272

; multiplicamos cada término

n 2 + n = 272 n 2 + n − 272 = 0 ( n + 17)( n − 16) = 0 n + 17 = 0 ó n − 16 = 0 n1 = −17 y n2 = 16

; formamos la ecuación de segundo grado ; resolvemos por factorización ; encontramos los números que deben ser positivos

Entonces, al reemplazar n=16 en (n+1) = 16 + 1 = 17. Por tanto, los números buscados son: 16 y 17. 2. La alternativa correcta es A)

x + 7 = x − 5 / ( )2 x + 7 = ( x − 5 )2

; desarrollamos el cuadrado de binomio

x + 7 = x − 10x + 25 2

0 = x2 − 10x + 25 − x − 7 0 = x2 − 11x + 18 0 = ( x − 2)( x − 9) x−2=0 ó x−9=0 x1 = 2

; elevamos al cuadrado toda la expresión

;reunimos todos los términos en una lado de la igualdad y los reducimos ; resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización ; encontramos los resultados de la ecuación

y x2 = 9 CEPECH

∴ sólo x = 9 es solución , ya que al comrpobar en la ecuación original,

√16 = 4, nos da como resultado la raíz principal. 3. La alternativa correcta es C)

Si x1 + x2 = −4

y x1 ⋅ x2 = 3

x − ( x1 + x2 )x + x1 ⋅ x2 = 0 2

x − (−4 )x + 3 = 0 2

x2 + 4 x + 3 = 0

; por definición de propiedades ; reemplazando los valores dados ; ordenando encontramos la ecuación cuadrática

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√9 + 7 = 9 - 5

49

capítulo 3

Solucionario Matemática

4. La alternativa correcta es A)

5x2 − 10x + 2k + 6 = 0 / : 5  2k + 6  x2 − 2x +  =0  5   2k + 6    = x1 ⋅ x2  5   2k + 6    = x1 ⋅ 0  5  2k + 6 = 0 2k = −6 k = −3

; dividimos por 5 ; reunimos los términos que corresponden a C en la ecuación cuadrática ; igualamos por propiedades de las raíces ; reemplazamos el valor de la raíz nula ; despejamos k en la igualdad

5. La alternativa correcta es A) Sean

x1 = −2

y x2 = 3

según la ecuación m representa el coeficiente b y

(−7 − m ) representa el coeficiente c −b −m ; dadas las raíces utilizamos las propiedades de la raíces a) − 2 + 3 = →1= a 1 ; comprobamos utilizando las dos propiedades m = −1 −(7 + m ) c → −6 + 7 = −m b) − 2 ⋅ 3 = → −6 = a 1 m = −1

CEPECH

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6. La alternativa correcta es D)

50

x1 ⋅ x2 = 48

; utilizando la propiedad de las raíces

c = 48 a 7k − 1 = 48 1 7 k − 1 = 48 7 k = 49

; reemplazamos el coeficiente c y a en la propiedad

k=7

; despejamos la incógnita

Solucionario Matemática

capítulo 3 1

7. La alternativa correcta es B) Si la hipotenusa es c , los catetos serán (c-8) y ( c-1 ). Entonces por el teorema de pitágoras tenemos que:

(

) (

)

2

c2 = c − 8 + c − 1

2

; planteamos el teorema de Pitágoras

c = c − 16c + 64 + c − 2c + 1

; resolvemos cada cuadrado de binomio

0 = −c + c − 16c + 64 + c − 2c + 1

; igualamos a cero la ecuación cuadrática

0 = c − 18 c + 65 0 = ( c − 5)( c − 13) c − 5 = 0 ó c − 13 = 0 c = 5 y c = 13

; reducimos términos semejantes

2

2

2

2

2

2

2

; resolvemos por factorización ; despejamos los posibles valores de c ; se descarta el valor de 5 por no poder existir una longitud negativa

c (c-8)

(c-1)

8. La alternativa correcta es D) b a

a ⋅ b = 61 2( a + b) = 60 a ⋅ b = 61 a + b = 30

a=

61 b

(b − 7)(b − 23) = 0 b − 7 = 0 ó b − 23 = 0 b = 7 y b = 23

; dividimos por 2 en la segunda ecuación

; despejamos a en la primera ecuación

; reemplazamos esto es la segunda ecuación ; sacamos común denominador ; multiplicamos por b la igualdad ; escribimos la ecuación cuadrática ; resolvemos por factorización

; despejamos la variable b ; nos quedamos con el menor valor que es 7

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b − 30b + 61 = 0 2

; escribimos el sistema de ecuaciones

CEPECH

61 + b = 30 b 61 + b2 = 30 b 61 + b2 = 30b

; Si a y b son los lados del rectángulo (ab) será el área y (2a + 2b) será el perímetro

51

Solucionario Matemática

capítulo 3

9. La alternativa correcta es E) Verificamos cada afirmación I.

log 3 9 = 0, 31808 1 log 9 = 0, 31808 3 1 0, 95424 = 0, 31808 3 0, 31808 = 0, 31808 → verdadera

(

)

II. log 900 = 2, 95424

log(9 ⋅ 100) = 2, 95424 log 9 + log 100 = 2, 95424 0, 95424 + 2 = 2, 95424 → verdadera III. log 81 = 1, 90848

log(9 ⋅ 9) = 1, 90848 log 9 + log 9 = 1, 90848 2(0, 95424 ) = 1, 908448 → verdadera

; aplicamos la propiedad de potencias en el logaritmo ; reemplazamos el valor de log 9 ; resolvemos ; comprobamos la igualdad ; escribimos el log como producto ; aplicamos la propiedad del producto ; reemplazamos y resolvemos ; comprobamos la igualdad ; escribimos como producto el logaritmo ;aplicamos la propiedad del producto ; reemplazamos y resolvemos ; comprobamos la igualdad

10. La alternativa correcta es E)

x + y = 27, 5 log x − log y = 1 x+ y = log

275 10

x = log 10 y

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

x = 10 → x = 10 y y

52

10 y + y =

55 2

55 2 55 5 = y= 22 2 55 x = 10 22 550 275 = x= 22 11  275   5    ⋅   = 62, 5  11   2 

11 y =

; escribimos el sistema aplicando las propiedades del logaritmo de un cuociente y escribiendo el decimal como fracción

; resolvemos la ecuación logarítmica

; despejamos x de esta ecuación para reemplazar en la primera ecuación ; reunimos términos semejantes ; despejamos el valor de y ; reemplazamos este valor en la ecuación logarítmica ; resolvemos y encontramos el valor de x ; realizamos el producto ( x y), encontrando la solución

capítulo 3 1

Solucionario Matemática

11. La alternativa correcta es C) Partimos de un logaritmo conocido que es log 10

log 10 = log(5 ⋅ 2) log 10 = log 5 + log 2 1 = 0, 69897 + log 2 1 − 0, 69897 = log 2

; aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto ; reemplazamos y despejamos lo que se busca

12. La alternativa correcta es D) En la parábola el intervalo creciente será desde el vértice hacia la derecha y será decreciente desde el vértice hacia la izquierda. El vértice está en el centro de la parábola, es decir en el punto medio de las raíces de la ecuación que son, 1 y 5; por lo tanto el punto que se busca será 1 + 5 = 3

∴ 3, +∞ es el intervalo buscado

2

13. La alternativa correcta es C) El eje de simetría corresponde al valor en el eje x que determina el centro de la parábola y nos da el punto medio de las raíces, es decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola. eje simetría =

−b 2a

si f ( x) = −x2 + 4 x − 3

−4 = 2 → 2,+ +∞ 2(−1)

; reemplazamos las variables b y a en la ecuación de simetría

14. La alternativa correcta es D)

U = (log 2 3)(log 3 4 )(log 4 5).....(log15 16) log10 16 log10 3 log10 4 log10 5 ⋅ ...... ⋅ ⋅ log10 2 log10 3 log10 4 log10 15

U=

log10 16 log10 2

; simplificamos los logaritmos ; cambiamos base ; escribimos como potencia

U = log 2 24

; aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

U = 4 log 2 2 U =4

; resolvemos

Preuniversitario, Edición 2007

U = log 2 16

CEPECH

U=

; cambiamos base de cada logaritmo

53

capítulo 3

Solucionario Matemática

15. La alternativa correcta es E) En la ecuación f ( x) =

a=

−x 2 + 4 x − 3q ; q < 0 encontramos que si q

−1 , b = 4 y c = −3q q

a) la parábola corta al eje y en –3q, es decir el número positivo de 3q b) la parábola mira hacia arriba ya que –1/q es mayor que cero c) la parábola tiene como eje de simetría entonces 2q es negativo.

−4 = 2q , como q < 0, −2 q

Según esto no existe ningún gráfico que corte al eje y en -3q o en el valor positivo de 3q, y que tenga como eje de simetría el valor 2q.

16. La alternativa correcta es D) Si f ( x) = x − 3 − 1 cuando la función intercepta al eje de la ordenadas x = 0, entonces:

y = 0−3 −1 y = −3 − 1

; aplicamos la definición de valor absoluto

y = 3−1 y=2

; resolvemos y nos quedamos con el valor que cumple la igualdad, es decir y =2

Luego, el punto buscado es (0,2)

17. La alternativa correcta es D) En la función R(x) = -0,15x2 + 4,5x encontramos el valor máximo en el punto máximo de la parábola, es decir:

−b y como b = 4, 5 y a = −0, 15 tendremos: 2a −4, 5 4, 5 = = 15 pto. máximo = 2(−0, 15) 0, 3

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

pto. máximo :

54

capítulo 3 1

Solucionario Matemática

18. La alternativa correcta es C) Comprobaremos cada afirmación: I. Al comprar 5000 unidades se paga $1800 por cada artículo; al comprar 2300 unidades cada persona pagará $2000 por cada artículo, entonces 5000($1800) = $9000000 2300(2000) = $4600000 c/p

$9200000 en total

verdadera

II. Al comprar 6000 unidades se pagará $1700 por cada artículo y al comprar 5800 unidades se paga $1800 por cada artículo, entonces: 6000($1700) = $10200000 5800($1800) = $10440000

verdadera

III. Al comprar 4000 unidades se pagan $1800 por unidad y no $2000 como se afirma Afirmación falsa

19. La alternativa correcta es C) Para saber la concavidad de una parábola necesitamos conocer el coeficiente “a” de su función y para ello tendremos que formar la función , analizaremos las informaciones: (1) Esta información nos da x1= -2 y x2 = 3, sólo nos da los puntos por los cuales la parábola corta al eje x. (2) Esta información nos da el punto donde la parábola corta al eje y; es decir c = -6, entonces, con ambas juntas sabemos que la parábola tiene concavidad positiva

20. La alternativa correcta es A) (1) Esta información nos da el valor inicial que necesitamos para saber que en 5 horas habrá 5000(25) = 160000 bacterias donde (25)=32 representa la duplicación en la cantidad de horas (2) Con esta información sólo sabremos la cantidad final en función de la inicial, pero no sabemos la inicial

CEPECH

Nos quedamos con sólo (1) ya que es suficiente para responder la pregunta

Preuniversitario, Edición 2007 55

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

capítulo 3

56

Solucionario Matemática

CAPÍTULO 4

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Combinatoria y Probabilidad. 1. La alternativa correcta es E) Al tener tres números, el 3, el 2 y el 5, existen tres posibilidades para cada cifra ya que estos se podrían repetir; es decir: 3x3=9

2. La alternativa correcta es D) Existen dos números, el 1 y el 2 los cuales deben formar números de 10 cifras, entonces estos se pueden repetir, así 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210

3. La alternativa correcta es D) Es una combinación ya que se escoge un grupo de 4 elementos de un total de 10 sin importar el orden en que se escojan, así: 10

C4

4. La alternativa correcta es E) Es una permutación de elementos ya que las personas pueden ingresar de diferentes maneras y no se puede repetir, entonces cualquiera de las 8 personas puede ingresar primero, luego cualquiera de las 7 que quedan

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = P8

Al querer formar grupos de hombres y mujeres de un total de personas, se trata de una combinación ya que el orden no es importante, entonces nos queda: 7

C 3 representa el grupo de 3 hombres dentro de un grupo de 7 5 C 2 representa el grupo de 2 mujeres de un total de 5

Preuniversitario, Edición 2007

5. La alternativa correcta es B)

CEPECH

y así sucesivamente...así

57

Solucionario Matemática

capítulo 4

Como queremos formar un grupo que este formado por hombres y mujeres, multiplicamos estas combinacines y tendremos la combinación total 7

5

C 3 ⋅C 2 7! 5! ⋅ (7 − 3)! ⋅ 3 ! (5 − 2)! ⋅ 2 ! 7! 5! ⋅ 4 !⋅ 3 ! 3 !⋅ 2 !

(Desarrollando el factorial de un número)

7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ! 5 ⋅ 4 ⋅ 3! ⋅ 4 !⋅ 3 ! 3 !⋅ 2 ! 7⋅6⋅5 5⋅4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 2 ⋅1 35 ⋅ 10

(Simplificando) (Multiplicando y simplificando) (Multiplicando)

350

6. La alternativa correcta es C) Los menús que se forman están compuestos de sólo dos opciones: entrada y plato de fondo. Hay 5 entradas y 6 platos de fondo, así tenemos que las posibilidades de formar el menú están dadas por el producto de entradas por platos de fondo 5 x 6 =30

7. La alternativa correcta es A) Cuando ordenamos letras de una palabra que repite letras, estamos frente a una permutación con repetición, entonces la permutación con repetición de la palabra CEPECH está dada por: 6!

6

P 2,2 = 2!⋅ 2! =

6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 180 2 ⋅1⋅ 2 ⋅1

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

8. La alternativa correcta es E)

58

Una ordenación de elementos es una permutación, entonces: P5 = 5!=5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

9. La alternativa correcta es B) Al ordenar todos los posibles números que existen con dígitos repetidos, estamos frente a una permutación con repetición ya que de las siete cifras , tres son el número 2 y las otras cuatro cifras serán iguales al 5. 7

7!

7 ⋅6 ⋅5 ⋅4!

P 3,4 = 3 !⋅ 4 ! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ! = 35

capítulo 4 1

Solucionario Matemática

10. La alternativa correcta es E) Esta combinación no se puede calcular ya que no tenemos la cantidad total de hombres ni de mujeres para formar los grupos posibles

11. La alternativa correcta es A) Sea PA igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A , esta está definida por: P ( A) =

casos favorables n A = casos posibles n

a). casos favorables = total de combinaciones en que se tenga Cara-Sello-Sello 3

C 1 = combinaciones totales para obtener una cara de tres en total 2

C 2 = combinaciones totales para obtener dos sellos de dos que quedan ( recordar que ya hay una moneda con cara y son tres en total) 3

3!

2

2!

C 1 ⋅C 2 = (3 − 1)!⋅1! ⋅ (2 − 2)!⋅ 2! = 3 b). casos posibles = total de combinaciones que se obtienen con tres monedas Como cada moneda tiene 2 posibilidades, se tiene 2 x 2 x 2 = 8 P ( A) =

3 8

12. La alternativa correcta es B)

P ( azul ) =

bolas azules 5 = bolas totales 15

b) P (blanca ) =

bolas blancas 7 = bolas totales 15

P ( azul oblanca ) =

5 7 12 4 + = = 15 15 15 5

Preuniversitario, Edición 2007

a)

CEPECH

Calcularemos la Probabilidad de sacar una Azul y luego de sacar una Blanca, como un evento o el otro nos da la probabilidad total, sumamos cada probabilidad individual

59

capítulo 4

Solucionario Matemática

13. La alternativa correcta es D) 1 La probabilidad de responder correctamente cada pregunta es , se tienen 20 preguntas en total, 5 20  1 entonces para lograr acertar a todas se tiene    5 14. La alternativa correcta es D) Primero buscamos todas las posibles combinaciones de números en que la diferencia de las pintas sea 2 y luego buscamos todas la combinaciones posibles al tirar los 2 dados a). Casos favorables = al tener dos dados pueden aparecer las combinaciones 1 –3 , 2 – 4 , 3 –5 , 4 – 6 y las mismas pero al revés, es decir 3 – 1 , 4 – 2 , 5 – 3 , 6 – 4 ya que al ser dos dados puede darse el caso contrario. Así tenemos 8 casos favorables b). Casos posibles = al lanzar dos dados se pueden obtener 6 x 6 combinaciones posibles, es decir 36 Finalmente la probabilidad del evento será P =

8 2 = 36 9

15. La alternativa correcta es C) La probabilidad de que este evento ocurra será la P = P(blanca) x P(roja) a)

P (blanca ) =

b) P ( roja ) = P=

bolitas blancas 2 = bolitas totales 7

bolitas rojas 5 = bolitas totales que quedan al sacar y no poner 6 2 5 5 ⋅ = 7 6 21

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

16. La alternativa correcta es C)

60

La probabilidad de la certeza es 1, entonces que la probabilidad de que algo ocurra más la probabilidad de que no ocurra es 1, así

1 4 1 + = 1 , por lo tanto, si = probabilidad de ocurrencia 5 5 5 y

4 = probabilidad que no ocurra 5

si en dos jugadas seguidas no logra el puntaje máximo, la probabilidad de que esto ocurra será P=

4 4 16 ⋅ = 5 5 25

capítulo 4 1

Solucionario Matemática

17. La alternativa correcta es C) Para ganar el premio, Jimena tiene que acertar al talonario y luego al número; como existen 20 talonarios la probabilidad de acertar al premiado será 1 y

20

la probabilidad de acertar al número será

será P =

1 , así la probabilidad de acertar a ambos, talonario y número 10

1 1 1 ⋅ = = 0, 005 20 10 200

18. La alternativa correcta es D) La probabilidad que existe entre los atletas que gane uno o el otro está dada por la suma de ambas probabilidades ya que son eventos mutuamente excluyentes

Así P =

1 1 6 + 5 11 + = = 5 6 30 30

19. La alternativa correcta es A) 5 1 de no hacerlo. de egresar, tendrá 6 6 2 3 de la misma forma si tiene probabilidad de casarse, tiene de no hacerlo. 5 5 1 3 1 La probabilidad de que salga y no se case será P = ⋅ = 6 5 10 Si el alumno tiene probabilidad

20. La alternativa correcta es E) Al elegir un estudiante al azar entre tres carreras, la probabilidad de que hubiese finalizado sería la suma de las probabilidades de egresar de cada carrera ya que son sucesos excluyentes entre ellos. a) Probabilidad de egresar en Construcción Civil = 25% ⋅ 20% =

b) Probabilidad de egresar en Derecho = 25% ⋅ 25% =

1 1 1 ⋅ = 4 4 16

Preuniversitario, Edición 2007

1 1 3 15 3 + + = = 20 16 40 80 16

3 1 3 ⋅ = 2 20 40

CEPECH

c) Probabilidad de egresar en Enfermería = 50% ⋅ 15% =

P=

1 1 1 ⋅ = 5 4 20

61

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

capítulo 4

62

Solucionario Matemática

CAPÍTULO 4

SOLUCIONARIO MATEMÁTICA Estadística Descriptiva 1. La alternativa correcta es C) La media de datos no agrupados es el promedio de todos los datos, así:

X =

6+6+6+5+4+3 6

=

30

=5

6

2. La alternativa correcta es E) La moda es el término que más se repite entre todos los datos, en este caso el número 6.

3. La alternativa correcta es D) La mediana es el término que esta en el centro de todos los datos, como tenemos datos no agrupados lo primero que hacemos es ordenarlos y luego buscamos el número, entonces nos queda que en los datos 6,6,6,5,4,3

el término central corresponde al promedio de los dos números centrales M e =

6+5

= 5, 5.

2

4. La alternativa correcta es C)

CEPECH

La desviación típica o estándar de datos no agrupados es:

n 2

σ =

2

2

(6 − 5) ⋅ 3 + (5 − 5) + (4 − 5) + (3 − 5) 6

2

=

8 6

=

4 3

Preuniversitario, Edición 2007

σ =

n 2 ∑ (x - x ) i=1 i

63

capítulo 4

Solucionario Matemática

5. La alternativa correcta es D) En un polígono de frecuencias, el número de datos es la suma de todas los valores que se encuentran en las ordenadas, es decir: 2 + 2 + 3 + 7 + 9 + 7 +2 = 32

6. La alternativa correcta es C) La moda del gráfico es el número que tiene mayor frecuencia, es decir 500 ya que tiene frecuencia de 9.

7. La alternativa correcta es D) Al puntaje de 600 le corresponde la frecuencia de 7.

8. La alternativa correcta es C) La media es el promedio, entonces tenemos

X =

a + 3 a + 6 a + 7a + 2 a 5

=

19 a 5

9. La alternativa correcta es D) La relación que tendremos que resolver es

X = 15, 25 =

x1 + x2 + x3 + x4

4 donde buscaremos que números debemos considerar para obtener un promedio o media de 15,25 61 = x1 + x2 + x3 + x4 con los números dados se tiene que el único número que no nos sirve para esta igualdad es el 21 ya que el resto debería sumar 40.

10. La alternativa correcta es B)

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

Al ordenar los datos se tiene 1, 1, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 15 la mediana es el dato del centro, luego es el 5.

64

11. La alternativa correcta es D) Como se aprueba con una nota mínima de 4,0, los alumnos que obtuvieron esta nota o más corresponde a las frecuencias de los intervalos desde [4,5] a [6,7] entonces corresponde a 17 alumnos, como el total de alumnos

es 20, el porcentaje será

17•100% =85% 20

capítulo 4 1

Solucionario Matemática

12. La alternativa correcta es B) Por definición

13. La alternativa correcta es E) El promedio aritmético es la media, la ecuación nos queda 18=

20 + 15 +X3 3

18•3= 35 + X3 54 - 35= X3 19= X3

14. La alternativa correcta es A) El número de alumnos corresponde a la frecuencia de los intervalos de notas, por lo tanto 7 es la frecuencia del intervalo entre 4 y 7

15. La alternativa correcta es C) Si n = 600 representa el total de elementos y la sección B representa 60° en el gráfico, por lo que corresponde 1 1 a del gráfico, luego, de los elementos son: 6 6

elementos =

600 6

= 100

16. La alternativa correcta es C) Si existe mayor desviación estándar o típica significa que hay mayor dispersión (por definición), entonces como todos tienen la misma media o promedio, la mayor dispersión es en el caso III

Como el promedio es 4,0 con 6 notas nos queda: 21,3 + X 6

24 - 21,3 = X 2,7 = X

Preuniversitario, Edición 2007

4,0 =

CEPECH

17. La alternativa correcta es B)

65

capítulo 4

Solucionario Matemática

18. La alternativa correcta es D) x = 197 197 ⋅ 5 = suma de estaturas Como sale una persona e ingresa otra, a la suma de las estaturas restamos 170 cm y sumamos 205 cm y finalmente calculamos el nuevo promedio

X =

197 ⋅ 5 - 170 + 205 5

= 204 cm

19. La alternativa correcta es E) Tenemos una tabla de datos agrupados donde la suma de todas las frecuencias no da el número total de datos, en este caso 520 datos distribuidos en diferentes intervalos de notas. De las afirmaciones I. Las notas desde 4 a 7 suman 120 alumnos, la primera afirmación es falsa II. La nota promedio se obtiene con la fórmula de media de datos agrupados para la cual necesitamos sacar la marca de clase de cada intervalo, así:

Nota

Frecuencia

Marca de clase

[1-2,5]

250

1,75

(2,5-4]

150

3,25

(4-5,5]

100

4,75

(5,5-7]

20

6,25

6+6+6+5+4+3

30

+ (6,25)(20) =5 X = (1,75)(250) + (3,25)(150) = + (4,75)(100)

CEPECH

Preuniversitario, Edición 2007

6 6 520 6+6+6+5+4+3 30 =5 X = 437,5 + 487,5 + 475 + 125 = = 2,93 6520 6

66

La nota promedio si está en el intervalo (2,5 – 4], la afirmación es verdadera III. El total de alumnos corresponde a la frecuencia total. La afirmación es verdadera

capítulo 4 1

Solucionario Matemática

20. La alternativa correcta es E) Verificaremos las afirmaciones I. La media de los datos es X =

1+3+5+7+9

=

5

25

= 5 al sumar 12 a cada término la suma de

5

25 + 60

=17 Afirmación verdadera 5 II. La mediana aumenta en 12 por sumar este número a cada dato. Inicialmente era 5 ahora será 17-. 25 aumenta en (12)(5) = 60, entonces tenemos X =

Afirmación falsa IV. Utilizando la fórmula de desviación se obtiene 2

σ =

σ =

2

2

2

(13 - 17) + (15 - 17) + (17 - 17) + (19 - 17) + (21 - 17)

2

5 40 5

=

8

Afirmación verdadera

CEPECH Preuniversitario, Edición 2007 67

capítulo 4