Solucionario De Integrales Indefinidas.pdf

1 12. La pendiente de una curva en cualquier punto (x , y) de ella es igual a 4x + 6. Si la curva pasa por el punto (1 , 1), dé una ecuación de ella. dy  4x  6 dx  dy   (4x  6) dx

INTEGRAL INDEFINIDA I.

INTEGRACIÓN INMEDIATA

dx  e x  C

1.

e

2.

 4x

3.

 (6x (

4.



5.

x

y  2x 2  6x  C Como la curva pasa por el punto (1 , 1) entonces :

dx  x 4  C

3

4

 x 2  3) dx  6 x 4 dx   x 2 dx  3 dx 

2  x ) 2 dx   (2  2 2 x  x) dx  2x 

3x 5  6x 2  x x3 dx

dx  3 x 2 dx  6

cosh 2 x  senh 2 x

 senh 2 x  senh 2 x

  ctgh x  tgh x  C

cosh 2 x dx cosh 2 x

senh 2 x cosh 2 x

x  3) dx 

8.



x (x  1) dx 

9.

 (1  senx) dx  x  cosx  C

10.

11.

 (x

3

4 1 2 x 3/2  x 2  C 3 2

dx   (csc h 2 x  sec h 2 x ) dx

2  dx   (2 sen t  3t ) dt

x(t)  2 cos t  t 3  C Como la partícula parte del reposo entonces : 0  2 cos 0  (0)  C 3



x(0)  0

C2

14. En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = –32 en el instante t  0. Si la velocidad del punto es –20 cuando t = 0, y la posición del mismo punto es 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la función velocidad v(t) y la función de posición x(t) del punto. dv a (t )   32 dt  dv  32  dt

1 4 x  x2  x  C 4 1

13. Una partícula que parte del reposo se mueve a lo largo de una recta de manera que su velocidad en el instante t es 2 sen t + 3t2. Determinar su posición en el instante t = π. dx v( t )   2 sen t  3t 2 dt

x(π )  π 3  4

2 5/2 2 3/2 x  x C 5 3

 2x  1) dx 

C  7

x ( t )  t 3  2 cos t  2 La posición en el instante t  π sera :

2 3/2 x  3x  C 3

(

7.

1 x 5  x 3  3x  C 5 3

dx 2   x 5/2 dx  x 3  6 Ln x  x 3/2  C x 3



6.

6

1  2(1) 2  6(1)  C   y  2x 2  6x  7

v(t)  32 t  C1

1

 [sen (2x)  cos x] dx  2  sen (2x) d(2x)   cos x dx   2 cos2x  senx  C

Como la velocidad del punto es : v(0)  20  20  32 (0)  C1  C1  20

2

v( t )  32 t  20



2  y ' dx    2 dx x 2 y   C2 x Como la curva pasa por el punto (1 , 3) :

dx  32 t  20 dt  dx   (32 t  20) dt v(t) 

x ( t )  16 t 2  20 t  C 2 La posición del punto es :

x(0)  10

10  16 (0)  20 (0)  C 2



2



C2

2  C2  1 2  y  1 x 3

 10

x ( t )  16 t 2  20 t  10

15. La pendiente de una curva en cualquier punto (x , y) de ella es igual a cosx. Encontrar una ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (π/2 , 2). dy  cos x dx  dy   cos x dx

y  sen x  C

Como la curva pasa por el punto (π /2 , 2) entonces : 2  sen (π /2 )  C  C  1 

y  sen x  1

16. Hallar la ecuación de la curva para la cual y’’ 2x + y = 5 en el punto (1 , 3). 4 y '' x3 4  y ' ' dx   3 dx x 2 y '   C1 x2 Como la curva es tangente a la recta en (1 , 3) :

= 4/x3 y que es tangente a la recta

2x  y  5 y  2x  5



y ' (1)  m   y ' 

2 x2

m  2 2 (1) 2

 C1

 2  C1  0

1

C2

17. En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x), D2x y = 6x – 2; y en el punto (1 , 2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva. y ' '  6x  2

 y ' ' dx   (6x  2) dx y '  3x 2  2x  C1 La pendiente de la curva en el punto (1 , 2) es 8 : 8  3(1) 2  2(1)  C1



C1

7

y '  3x  2x  7 2

2  y ' dx   (3x  2x  7) dx

y  x 3  x 2  7x  C 2 Como la curva pasa por el punto (1 , 2) : 2  (1) 3  (1) 2  7(1)  C 2 



C2

 5

y  x 3  x 2  7x  5

18. Hallar la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0 , 2) es horizontal y tiene punto de inflexión en (–1 , 10/3) y y’’’ = 4. y ''' 4

 y ' ' ' dx   4 dx y ' '  4x  C1 La curva tiene punto de inflexión en (1 , 10/3) : 0  4(1)  C1



y ' '  4x  4

 y ' ' dx   (4x  4) dx y '  2 x 2  4x  C 2

C1

4

3

La pendiente de la curva es horizontal en (0 , 2) : 0  2(0) 2  4(0)  C 2

3.

C2  0



y '  2x 2  4x

du  2 senh x cosh x dx 1 2 senh x cosh x 1 du senh x cosh x 1 dx   dx    C  2 (1  senh 2 x) 5 2 u5 (1  senh 2 x) 5 8u 4

 4.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA

 3x

2

3



senh x cosh x (1  senh 2 x) 5 arc sen x

2.

7

2

3

x4

4

4

dx 

1 5 u C 5

1 3 5 (x  1)  C 5

5.

dx

x 1



arc sen x



arc sen x



5

xx xx

e

(1  x) 4

du  5x dx

du   x e x dx

7

x 5 1 x4 x 5 1

dx

Hacemos : u  e x  x e x

dx  dx 

1

 5 7 7 30

5x 4

dx 

x 5 1

( x  1) 5

6/7

1

du

 5 7

C

u

1

  u 1/7 du  5

7

u 6/7  C



30



x e

3x

dx  2  u du  u 2  C

dx  (arc sen x ) 2  C

x 3x

arc sen x 2 x 1 x

2

4

7

dx  2 

2

 x5  1

Hacemos : u

x4

1 x

2 x

2

(x  1)

dx

du 

 (x  1) ( 3x dx )   u du   3x

C

8 (1  senh 2 x) 4

dx

2

4

1

x  x2

 x3  1

du  3x dx 3

dx  

Hacemos : u  arc sen x

4

(x  1) dx

Hacemos : u

dx

(1  senh 2 x) 5 2

 y ' dx   (2x  4x) dx 2 y  x 3  2x 2  C 3 3 Como la curva pasa por el punto (0 , 2) : 2 2  (0) 3  2(0) 2  C 3  C 3  2 3 2  y  x 3  2x 2  2 3

1.

senh x cosh x

Hacemos : u  1  senh x

2

II.



(1  x)

4

x e 3x (1  x) 4

dx   dx 

x ex e

4x

x

(1  x) 1

4

dx   

x 3

3 (e  x e )

C 

 x ex (e  x e ) 1

3e

x

3x

x 4

(1  x)

3

dx    C

du u

4



1 C 3 3u

4

6.

x2



I   2  2  2 [ 1  cos (5 x  4) ] . x 1/2 dx

dx

(x  2) Hacemos : u  x  2  x  u  2 4

du  dx u4 dx   du   (x  2) 4 u4 x2

 7.

x2 (x  2)

4

1

dx  

1 x

2

du u3

2

du

 4

3 (x  2)

3

1



u4

4



2 (x  2)

2u

C

 2

4 3u

C

I   2  2  2 cos (

3

3x  2 6 (x  2)

I   2  2 cos (

C 3

I   4 cos 2 (

x





I   2  2  4 cos 2 (

dx

x dx

1 x

2

1 x 8.

x

dx

1 x 1 2

x

 2

dx



du

2 u C

u

 2 1 x2 1  C



10.

1 x 1 2

x  4 dx



x4  x  u-4 du  dx

x

x  4 dx 

u du   (u

3/2

 4u

1/2

8 ( x  4) 5/2  ( x  4) 3/2  C 5 3

) du 



2 5/2 8 3/2 u  u C 5 3

9. I   2  2  2  2 cos (5 x  4) . x 1/2 dx Por identidad trigonométrica: 1 + cos  = 2 cos 2 (/2)



cos (

2 x. 3x  1

2 x. 3x  1 5



dx

5x  2 5x  2

2

11.

32

2 x. 3x  1

Hacemos : u

 x x  4 dx   (u  4)

5 x 4 5 x  4 1/2 ) . x 1/2 dx   2 cos ( ). x dx 8 8

32 32 5 x  4 5 1/2 ). x dx  cos u du  sen u  C  8 16 5 5 5 32 5 x 4 I sen ( )C 8 5 I

x2 1 x

5 x 4 5 x 4 ) . x 1/2 dx   2 [ 1  cos ( ) ]. x 1/2 dx 4 4

5 x 4 8 5 1/2 du  x dx 16

Hacemos : u  1  x 2  1



5 x 4 5 x 4 ) . x 1/2 dx   2  4 cos 2 ( ) ) . x 1/2 dx 2 4

Hacemos : u 

1 x 1 2

du 

5 x 4 ) . x 1/2 dx 2

x2

dx 

dx 

3

 25

2 x. 3x 5x 3

dx 

3

6 x dx 

( ) 25 5

6 ( )x  C 25 ( Ln 6  Ln 5 ) 5

senh x

dx (1  cosh x) 3 Hacemos : u  1  cosh x

du  senh x dx

3

6 ( )x  C 6 5 25 Ln ( ) 5

5

  12.

13.

senh x (1  cosh x) 3 senh x (1  cosh x) 3



dx 



du u3

dx  

1



2u

 x Ln x du  (Lnx  1) dx

Hacemos : u

C 2

1

C

2 (1  cosh x)

 (Ln x  1) e

x Ln x

dx   e du  e  C

 (Ln x  1) e

x Ln x

dx  e

u

u

2 x Ln x

Ce

Ln x

x

C x

x

dx

cos 2 (1  4x) Hacemos : u  1  4x du   4 dx 1 dx  4 dx    2 4 cos 2 (1  4x) cos (1  4x) 1 dx   tg (1  4x)  C  2 4 cos (1  4x)

dx



16.

2

x Ln x Hacemos : u

1

 

du

4 cos 2 u

1

1

4

4

   sec 2 u du   tg u  C

du 

 

 cos (7x  4) dx

 7x  4 du  7 dx

 Ln x

dx 2

x Ln x dx 2

du



u



x Ln x

2

dx x 1

 C u

1

C

Ln x

Hacemos : u

1

 cos (7x  4) dx  7  cos (7x  4)  cos (7x  4) dx  14.

2x 5 dx e

Hacemos : u

17.

( 7 dx ) 

1 1  cos u du  sen u  C 7 7

 (Ln x  1) e

du 

dx

 x Ln x    2x  5

x Ln x

dx

 Ln x

Hacemos : u

1 sen (7x  4)  C 7

du  2 dx 1 1 1 2x 5 dx   e 2x 5 ( 2 dx )   e u du  e u  C e 2 2 2 1 2x 5 dx  e 2x 5  C e 2

15.

dx

 x Ln x

dx

du u

 x Ln x  Ln 18.

4

dx x

 Ln u  C

Ln x  C

x x

e dx

 4 e dx   (4e) dx  x

x

 4 e dx  x

x

x

x x

4 e

1  Ln 4

C

(4e)

x

Ln (4e)

C

(4e)

x

Ln e  Ln 4

C

C

6

19.

dx



2



sen x ctg x  1 Hacemos : u  ctg x  1 3

du   csc 2 x dx dx

 sen 2 x 3 ctg x  1

 

 csc 2 x dx 3

ctg x  1

3

dx

 sen 2 x 3 ctg x  1   2 (ctg x  1)



20.

sen x e tg

2

x

 

2/3

du 3



3

  u 2/3  C

u

x

e x . 3e

 2

dx

x

2

x

e x . 3e

2

dx

3

e

x

dx

x

 2  3 du  2

3

u

u

C

Ln 3

x

C

Ln 3

x

2

C

dx



22.

(1  x 2 ) Ln (x  1  x 2 )

Hacemos : u  Ln (x  1  x 2 )

dx

dx

du 

cos 3 x

Hacemos : u

e x . 3e

1 x2

 tg 2 x

dx



du  2 tg x sec x dx 2

dx



(1  x ) Ln (x  1  x ) 2

1 x

2

2



Ln (x  1  x ) 2

du

2 u C

u

2



sen x e



sen x e

tg x

dx

3

1

  e tg

2

x

2

cos x

2

( 2 tg x sec x dx )

1

1

2

2

dx



  e u du  e u  C

 2 Ln (x  1  x 2 )  C

(1  x 2 ) Ln (x  1  x 2 )

2

tg x

dx

3

1

 e tg

2

x

C

23.

2

cos x

x

2x

(Ln x  1) dx

Hacemos : u

21.



e

x

. 3e

du u

x

dx

x

Hacemos : u  e du 

 x 2x  Ln u  2x Ln x  2 (Ln x  1) dx

x

2x

(Ln x  1) dx 

1

x

e x

x

2x

(Ln x  1) dx 

1

dx

2 x 24.



Ln (Ln x) x Ln x

dx

x 2 2

x

2x

2x

.2 (Ln x  1) dx 

C

1

 u. 2

1 1 du   du  u  C u 2 2

Hacemos : u

 

Ln (Ln x)

x Ln x x Ln x



25.

Hacemos :

dx x Ln x

du 

Ln (Ln x)

7

 Ln (Ln x)

1

2

1

u C

2

2

Ln (Ln x)  C



2



e

1 x

2

dx  

 

2

dx  

I2

e arc tg x

dx

26.

1 x2 I3

1 x Hacemos : u  arc tg x

I

1

2

2

  e u du  e u  C  e arc tg x  C 1 1

I 



dx

1 x2

Hacemos : u  Ln (x  1) 2

du 

dθ   dθ  θ  C  arc tg x  C 3

sec 2 θ

1 x

dx  e

arctgx



1

2

3

2

( Ln (x  1) )  arc tg x  C

4

2

C  C1  C 2  C 3

dx



cos x cos 2 x dx 1  sen x

cos x (1 - sen 2 x) 1  sen x

cos x (1 - sen x) (1  sen x)

dx



cos 3 x  1  sen x dx

  u du  u 2  C

cos 3 x  1  sen x dx

 (1  sen x) 2  C  (1  2sen x  sen 2 x)  C

cos 3 x  1  sen x dx

 sen x  sen 2 x 

 1  sen x 27.



cos 3 x  1  sen x dx Hacemos : u

cos 3 x

2x dx

1 x2 1 2 1 1 Ln (x  1) 1 2 2 I   ( 2x dx )   u du  u  C  ( Ln (x  1) )  C 2 2 2 2 2 2 4 4 1 x dx I   3 1 x2

cos 3 x  1  sen x dx

 1  sen x du  cos x dx

dx

x Ln (x 2  1)

sec 2 θ

e arc tg x  x Ln (x 2  1)  1

cos 3 x

2

1 x

1  tg 2 θ

 1  sen x

dx

du 



dx

x Ln (x  1) 1 x



sec 2 θ dθ

Donde :

2

I1

1

3

1 x2

I

I

I 

2

e arc tg x  x Ln (x 2  1)  1

arc tg x

 arc tg x

dx  sec θ dθ

dx   u du  dx 

x  tg θ  θ

dx

1  sen x

dx

  cos x (1  sen x) dx

1

2

1

1

1

1

2

1 2

2

1 C 1 2

1 2

 sen 2 x  sen x  C

dx

 1  cos 10x

Por identidad trigonométrica: 1 + cos  = 2 cos 2 (/2)

dx  1  cos 10x  

dx 2 cos 2 5x

1

  sec 2 5x dx 2

1

Hacemos : u

8

 5x

I 

du  5 dx 1

2

dx 2  1  cos 10x  10  sec 5x

(5 dx ) 

1

 sec 10

2

u du 

1

tg u  C

x

 x  1 dx

Hacemos : u

10

1

dx  1  cos 10x  10 tg 5x  C

 

I  2

2x  1  x

dx 2x  1  x dx 2x  1  x



2x  1  x ( 2x  1  x ) ( 2x  1  x ) 2x  1



x 1

dx  

x x 1

I1

I  1



dx 



2x  1  x x 1

2

 

u

u2 1 u2

du  2 

(1  u 2 )  1 1 u2

u du

du

2

sec 2 θ dθ

2

1  tg 2 θ

2

 u  2x  1   u2 1  x  2

 2u  2 

sec 2 θ dθ sec 2 θ

 2u  2  dθ  2u  2θ  C

u

2

du  2 

(1  u )  1 2

1 u

2

du  2  du  2 

1 u 2

1  tg 2 θ

 2u  2 

sec 2 θ dθ sec 2 θ



(x 2 - 2x  1)1/5 1 x

dx

(x 2  2x  1)1/5 (x 2  2x  1)1/5 (x  1) 2/5 dx    dx    dx 1 x x 1 x 1

(x 2  2x  1)1/5 dx    (x  1) 3/5 dx 1 x Hacemos : u  x  1 du  dx

 2u  2  dθ  2u  2θ  C1

I1  2 2x  1  2 arc tg u  C1  2 2x  1  2 arc tg 2x  1  C1

5 (x 2  2x  1)1/5 dx    u 3/5 dx   u 2/5  C  1 x 2



2

 2 [ 2x  1  x  arc tg 2x  1  arc tg x ]  C



2

sec 2 θ dθ

2x  1  x



du

2

dx

 29.

2

1 u2

1 u2 Hacemos : u  tg θ  θ  arc tg u

dx

I2

2

du

2

I  2 x  2 arc tg u  C  2 x  2 arc tg x  C

 2x  1

du  2  du  2 

du  sec θ dθ

du  sec θ dθ

I1  2u  2 

( 2u du )  2 

u2 1

I  2u  2 

u 1 1 u 1 2 du I1  2u  2  1 u 2 Hacemos : u  tg θ  θ  arc tg u 2

u

dx

u du  dx

I1



I  2u  2 

2x  1 dx x 1

Hacemos : u

 u  x   x  u 2

x

2u du  dx

dx



28.

2

5 (x 2  2x  1)1/5 dx   (x  1) 2/5  C 1 x 2

2

9



30.

2x  2x

2

4 x4

2x  2x 2



4x

2

4

2 x2  2 x2



2

dx

4 x4 2



I 

2 x2  2 x2

4x

4

2x

dx  

2

4 x4

dx  

2x

dx  

2x

dx  

2x

2





dx

2x 2x

2

2

2 x

2

2 x2 )

2 cos θ dθ 2  2 sen θ 2

I1

 arc sen (

I

 

2

x 2

 

2 cos θ dθ 2

1  sen θ 2

 

2 cos θ dθ 2 cos θ

)  C1

  dθ  θ  C1

)  arc senh (

x

2

)C

2

x 1  x 1



x 1  x 1 ( x  1  x  1) ( x  1  x  1)

dx

1

1

1

2

2

2

   ( x  1  x  1) dx    x  1 dx   x  1 dx I1



x  1 dx

x

)

I

2

2

1

2 dx  2 cosh θ dθ

x

  x  1 dx Hacemos : u  x  1 du  dx

2  x2

x  2 senh θ  θ  arc senh (

dx  arc sen (

Hacemos : u  x  1 du  dx 2 2 I1   u du  u 3/2  C1  (x  1) 3/2  C1 3 3 I

dx

Hacemos :

dx

I1 

dx  2 cos θ dθ

 

  dθ  θ  C 2

x 1  x 1

x 1  x 1

 x

2 cosh θ

2

4

dx

I2

x  2 sen θ  θ  arc sen (

1  senh θ 2

2 cosh θ dθ

 

dx





2

I1

4x

2

)C

2

dx

dx

Hacemos :

x

2 cosh θ dθ

2

31.

2x

2  2 senh θ

2 x2  2 x2



 

2

2

dx

I1

I1 

dx  

2

2 cosh θ dθ

I  arc senh (

2

4 x4

2

2x

2

dx

2x



  

2

  u du  u 3/2  C  (x  1) 3/2  C 2 2 3

3 1 2 1 2   [ (x  1) 3/2  C1 ]  [ (x  1) 3/2  C 2 ] 2 3 2 3 x 1  x 1

dx

dx x 1  x 1 dx x 1  x 1

1 3

1 3

  (x  1) 3/2  (x  1) 3/2  C 

1 3/2 3/2 [ (x  1)  (x  1) ]  C 3

I2

10



dx 32.  1  sen x 1  sen x 1  sen x 1  sen x dx   dx   dx 2 (1  sen x) 1  sen x cos 2 x

dx

 1  sen x   (1  sen x) dx

sen x

dx

 1  sen x   cos 2 x   cos 2 x dx   sec

2

x dx  

sen x cos 2 x

34.

 

1  4x 2 x  arc tg (2x) 1  4x

 

x 1  4x

2

dx

 2x  3

x 1  4x

2



(  3 Ln 2 ) . 2  x dx 1 3 Ln 2  1  3(2  x )

dx

1

dx

 2x  3



dx  

arc tg (2x) 1  4x 2

x

1

 2 x  3   3 Ln 2 [ Ln (2

)]  C  

x

35.



Hacemos : u  1  4x 2

dx e x 1

 e x 1

 u  e x 1    e x  u 2  1

2u du  e x dx

1 8

 Ln u  C1  Ln (1  4x 2 )  C1

2 dx

1  4x 2 1 2 dx 1 1 1 I 2   arc tg (2x) .   u du  u 2  C 2  [arc tg (2x)] 2  C 2 2 2 2 4 4 1  4x

1 du  3 Ln 2 u



1 Ln u  C 3 Ln 2

1 3 Ln (1  )C 3 Ln 2 2x

1  3)  x Ln 2 ]  C  [ x  Ln (2 x  3) ]  C 3

dx

I2

1 8



1 2x  3 1 Ln ( )C   [ Ln (2 x  3)  Ln (2 x ) ]  C x 3 Ln 2 3 Ln 2 2

Hacemos : u 2

du  8x dx 1 8x 1 du I1   dx   8 1  4x 2 8 u arc tg (2x) I2   dx 1  4x 2 Hacemos : u  arc tg (2x)

2  x dx

 2 x  3   3 Ln 2 Ln [1  3 (2

dx

du 

2  x dx

dx

I1

I1

dx

du  (  3 Ln 2 ) . 2  x dx

dx dx  

2

1 1 Ln (1  4x 2 )  [arc tg (2x)] 2  C 8 4

Hacemos : u  1  3(2  x )

Hacemos : u  cos x du  - sen x dx dx du 1  1  sen x  tg x   u 2  tg x  u  C dx 1  1  sen x  tg x  cos x  C  tg x  sec x  C 33.

dx 

 2x  3 dx

 1  sen x  tg x   cos 2 x dx

x  arc tg (2x)

1  4x

2

 2 x  3   2 x (2 x  3)   1  3(2 x )

dx

sen x

dx

x  arc tg (2x)

2u du  (u 2  1) dx 2u dx  du 2 u 1 dx 1 2u du du  x   u . u 2  1  2 u 2  1 e 1 Hacemos : u  tg θ  θ  arc tg u du  sec θ dθ 2

11

dx



e x 1 dx



e 1 x



36.

 2

2

sec θ dθ 1  tg 2 θ

 2

2

sec θ dθ sec 2 θ

3 2 tg θ  θ  arc tg ( t) 2 3 3 dt  sec 2 θ dθ 2 3 3 sec 2 θ sec 2 θ dx 1 sec 2 θ 2 2  dθ  dθ  dθ  4  5 cos 2 x   9  9 tg 2 θ 3 6  1  tg 2 θ 9  4( tg θ) 2 2

 2 dθ  2θ  C

 2 arc tg u  C  2 arc tg e x  1  C

sen x cos x 2  sen 4 x

dx

Hacemos : u  sen 2 x

dx

 4  5 cos 2 x

du  2 sen x cos x dx 1 2 sen x cos x 1 sen x cos x du dx   dx    2 2 2  sen 4 x 2  (sen 2 x) 2 2 u2 u

Hacemos : u  2 sen θ  θ  arc sen (

)

2 du  2 cos θ dθ 1 1 1 2 cos θ dθ 2 cos θ dθ 1 sen x cos x dx       dθ  θ  C  4 2 2 cos θ 2 2 2 2  sen x 2  2 sen θ 2

 37.

sen x cos x 2  sen 4 x

dx 

1 u 1 sen 2 x arc sen ( )  C  arc sen ( )C 2 2 2 2

dx

 4  5 cos 2 x Hacemos :

tg x  t

cos x  dx 

1 1 t 2 dt 1 t 2 dt

dx

 4  5 cos 2 x  

1 t 2

t

x 1 dt

2 dt dt 1 t 2   1 t   2 1 5 4(1  t )  5 9  4t 2 45( )2 4( ) 1 t 2 1 t 2

t

Hacemos :

1 sec 2 θ

  6

dx

 4  5 cos 2 x  38.

2

dθ 

1 1 1 2 dθ  θ  C  arc tg ( t)  C  6 6 6 3

sec θ 1 2 arc tg ( tg x)  C 6 3

dx

 4  5 sen 2 x

Hacemos : ctg x  t sen x  dx  -

1 t 2

1 1 t 2 dt

1

x t

1 t 2 dt dt   2 2 dx dt dt 1 t   1 t      4  5 sen 2 x   2 1 5 4(1  t )  5 9  4t 2 45( )2 4( ) 1 t 2 1 t 2 3 2 Hacemos : t  tg θ  θ  arc tg ( t) 2 3 3 dt  sec 2 θ dθ 2

12

3 3 sec 2 θ sec 2 θ dx 1 sec 2 θ 2 dθ    2 dθ    dθ  4  5 sen 2 x   3 6 1  tg 2 θ 9  9 tg 2 θ 9  4( tg θ) 2 2 1 sec 2 θ 1 1 1 2  4  5 sen 2 x   6  sec 2 θ dθ   6  dθ   6 θ  C   6 arc tg ( 3 t)  C dx 1 2  4  5 sen 2 x   6 arc tg ( 3 ctg x)  C dx

39.

Ln (3x)

 x Ln (5x)

ex  4 ex 4 dx

 1 ex  ex  4   4  ex  4 dx

dx

3 Ln (5x)  Ln ( ) Ln (3x) dx 3 dx 5  x Ln (5x) dx   x Ln (5x) dx   x  Ln ( 5 )  x Ln (5x) Ln (3x) 3 dx  x Ln (5x) dx  Ln x  Ln ( 5 )  x Ln (5x) Hacemos : u  Ln (5x) dx du  x Ln (3x) 3 du 3  x Ln (5x) dx  Ln x  Ln ( 5 )  u  Ln x  Ln ( 5 ) Ln u  C

2

2

dx   dx 

Ln (x  x 2  1) 1 x 2

dx   u du 

2 3/2 u C 3

2 [ Ln (x  x 2  1) ]3/2  C 3

1  sen x dx

1  sen x dx  

1  sen x 1  sen x 1  sen x

dx  

1  sen 2 x 1  sen x

dx  

cos x 1  sen x

dx

Hacemos : u  1  sen x du   cos x dx  cos x du  1  sen x dx   1  sen x dx   u  2 u  C  2 1  sen x  C

dx

Ln (3x)

1 x



e 1 x  e x  4   4 Ln (1  4e )  C

1 x 2

Ln (x  x 2  1)



42.

1 1 ex  4   Ln u  C   Ln ( x )  C 4 4 e

x

 x Ln (5x)

1 x

 1 du   4 u

dx

Ln (x  x 2  1)



ex 4 dx

dx

1 x 2

du 

 ex  4

du  

Ln (x  x 2  1)

Hacemos : u  Ln (x  x 2  1)

dx

Hacemos : u 

40.



41.

3 dx  Ln x  Ln ( ) Ln [ Ln (5x ) ]  C 5



43.



1  cos x dx

1  cos x dx  

1  cos x 1  cos x 1  cos x

dx  

1  cos 2 x 1  cos x

Hacemos : u  1  cos x du  sen x dx du  1  cos x dx   u  2 u  C  2 1  cos x  C 44.

dx

 e x  e x

dx  

sen x 1  cos x

dx

13 x

x

x

dx e dx e dx e dx  e x  e x   e x (e x  e x )   1  e 2x   1  (e x ) 2

e x  tg θ  θ  arc tg (e x )

Hacemos :



e x dx  sec 2 θ dθ 2



x 1 u  x 1  x  u 1 dx dx du   2 x 2 (u  1) 2 (u  1) du  dx x 1 dx



x 1



46.



 

2 (u  1) u

du  2  u du  2 

4 ( x  1) 3  4 3

arc tg x x  2x  x 2

3

arc tg x x  2x 2  x 3

du u

4 3

 u 3/2  4 u  C



x 1  C

 

arc tg x x  2x 2  x 3 arc tg x x  2x 2  x 3

x x 1 x  x  1 2

x2 x x 1 x 2  x 1

x

48.

dx

dx  

1 x 1 x  x 1 . x x 2

.

(x  2) dx x3

2 sen x1

dx  2 arc sen (

x 2  x 1 )C x

(sen x  x cos x Ln x) dx

Hacemos : u  x 2 sen x

dx  

arc tg x x 1  2x  x 2

dx  

arc tg x x (x  1) 2

dx  

arc tg x x (x  1)

du  2 x 2 sen x1 (sen x  x cos x Ln x) dx 1 2 sen x1 (sen x  x cos x Ln x) dx   2 x 2 sen x1 (sen x  x cos x Ln x) dx x 2 1 1 1 2 sen x1 (sen x  x cos x Ln x) dx   du  u  C  x 2 sen x  C x 2 2 2

dx

Hacemos : u  arc tg x du 

x2

dx

x 2  x 1 x 2  x 1  θ  arc sen ( ) x x x 1 cos θ  x x 2 x  x 1 x 2  x 1 sen 2 θ  dx x2  (x  2) x 1 2 sen θ cos θ dθ  dx x3 sen θ cos θ dθ x2 dx  2   2  dθ  2θ  C  cos θ sen θ x x 1 x 2  x 1

dx

dx

x x 1 x 2  x 1

Hacemos : sen θ 

Hacemos :



x2

2

dx sec θ sec θ x  e x  e x   1  tg 2 θ dθ   sec 2 θ dθ   dθ  θ  C  arc tg (e )  C

45.



47.

dx 2 x (x  1) dx  2 

arc tg x 2 x (x  1)

dx  2  u du  u 2  C

dx  [ arc tg x ] 2  C



49.



dx e

Ln (2x)

Ln x  Ln x  ...   x dx

e

Ln (2x)

Ln x  Ln x  ...   x



dx 2x Ln x  Ln x  ...   x

14

u  Ln x  Ln x  ... 

Hacemos :

sen 8x

 9  sen 4 4x

u  Ln x  Ln x  Ln x  ...  2

u 2  Ln x  u

eu

2

u

 e Ln x  x  e u

dx  (2u  1) e u

 

2

u

2

u

e Ln (2x) Ln x  Ln x  ...   x dx e Ln (2x) Ln x  Ln x  ...   x

2 (2u  1) e u u 2 2 2 u e u u  e u u

du  

2 (2u  1) e u u 2 (2u  1) e u u

Por identidad trigonométrica: cos α  cos β  2 cos (

αβ α β ) cos ( ) 2 2

2 cos 5x cos x  5 (2 cos 3x cosx )  10 (2 cos 2 x ) dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x

sen 8x

 9  sen 4 4x

dx



52.

2 cos 5x cos x  10 cos 3x cosx  20 cos 2 x dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x 2 cos x (cos 5x  5 cos 3x  10 cos x ) I dx  2  cos x dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x I  2 sen x  C

51.

1 4 sen 8x 1 3 sec 2 θ 3 sec 2 θ dx   dθ   dθ  4 9  (sen 2 4x) 2 4 9  (3 tg θ) 2 4 9  9 tg 2 θ

sen 8x

dx 

1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 1 dθ  dθ  dθ  θ  C  12 1  tg 2 θ 12  sec 2 θ 12  12

sen 8x

dx 

1 sen 2 4x arc tg ( )C 12 3

 9  sen 4 4x



(cos 6x  cos 4x)  5 cos 4x  15 cos 2x  10 I dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x 2 cos 5x cos x  5 cos 4x  15 cos 2x  10 I dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x 2 cos 5x cos x  5 (cos 4x  cos 2 x )  10 cos 2x  10 I dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x 2 cos 5x cos x  5 (cos 4x  cos 2 x )  10 (cos 2x  1) I dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x

I

sen 2 4x ) 3

dx 

 9  sen 4 4x

du

  du  u  C  Ln x  Ln x  ...   C

cos 6x  6 cos 4x  15 cos 2x  10 50. I   dx cos 5x  5 cos 3x  10 cos x

I

dx

sen 8x

 9  sen 4 4x 

9  (sen 2 4x) 2

4 sen 8x dx  3 sec 2 θ dθ

du

dx

sen 8x

sen 2 4x  3 tg θ  θ  arc tg (

Hacemos :

u 2  u  Ln x

dx  



cos 2 x (tg 2 x  1) (sen x  cos x) 2

cos 2 x (tg 2 x  1) (sen x  cos x)

2

cos 2 x (tg 2 x  1)

dx

dx   dx  

(sen x  cos x) 2 Hacemos : u  1  tg x

cos 2 x sec 2 x (sen x  cos x)

2

dx cos 2 x (tg x  1) 2

dx  



dx (sen x  cos x) 2

sec 2 x dx (1  tg x) 2

du  sec 2 x dx



cos 2 x (tg 2 x  1) (sen x  cos x)



53.

2

dx  

du u

2

1 u

  C  

1 C 1  tg x

sec x  tg x dx sec x  tg x



sec x  tg x sec x  tg x sec x  tg x sec x  tg x dx   dx   dx sec x  tg x sec x  tg x sec x  tg x sec 2 x  tg 2 x



sec x  tg x dx   ( sec x  tg x ) dx   sec x dx   tg x dx sec x  tg x

15



sec x  tg x sec x (sec x  tg x) tg x sec x dx   dx   dx sec x  tg x sec x  tg x sec x



sec x  tg x sec x  sec x tg x tg x sec x dx   dx   dx sec x  tg x sec x  tg x sec x

1 e

x

dx 

2 3 2 t  2t  C  (1  e x ) 3  2 1  e x  C 3 3

sec 2 x  sec x tg x  sec x  tg x dx Hacemos : u  sec x  tg x

 Ln sec x  tg x  C1

dz  Ln z  C 2  Ln sec x  C 2 z sec x  tg x dx  Ln sec x  tg x  Ln sec x  C sec x  tg x





e x  1 e arc tg x  x 2 (e x  1) Ln (1  x 2 )  e x  1

I

e x  1 e arc tg x

(1  x 2 ) e x  1

(1  x 2 ) e x  1 e arc tg x 1 x



e 2x 1 e

x

1 e

x

 

dx  

e

 t2

(t 2  1) 2 t

2

.

2t t 1 2

dt  

(t 2  1) 2 2t . dt  2  (t 2  1) dt 2 t t 1

x e x  1 Ln (1  x 2 ) (1  x 2 ) e x  1

x Ln (1  x 2 ) 1 x

2

I2

dx  

dx

dx  

e x 1 (1  x 2 ) e x  1

dx

dx 1 x 2 I3

arc tg x

dx 1 x 2 Hacemos : u  e arc tg x

du 

 e x  t 2  1   t  1  e x 2t e x dx  2 t dt  dx  dt ex 2t dx  dt 2 t 1

e 2x

2

dx  

dx  

I1

dx

Hacemos : 1  e x

dx

1  x 2 (1  x 2 )(e x  1)

e x  1 e arc tg x  x e x  1 Ln (1  x 2 )  e x  1

I1

dx

1  x 2 e x  x 2 e x  x 2 1

I

I

dz  tg x sec x dx

I2 

55. I   I

du  (sec 2 x  sec x tg x) dx du I1    Ln u  C1 u tg x sec x I2   dx sec x Hacemos : z  sec x

2 x 2 e x  1 e arc tg x  Ln [ (1  x 2 ) x e  x ]  e x  1

I2

I1 



e 2x

2

I1

54.



e arc tg x

I1 

dx 1 x 2 arc tg x  C1  du  u  C1  e

I2 



x Ln (1  x 2 ) 1 x 2

dx

Hacemos : u  Ln (1  x 2 ) 2x du  dx 1 x 2 I2 

1 2x Ln (1  x 2 ) 1 1 1 dx   u du  u 2  C 2  [ Ln (1  x 2 ) ] 2  C 2  2 2 2 4 4 1 x

16

I3

dx

 

I1  Ln

1 x Hacemos : x  tg θ  θ  arc tg x 2

dx  sec 2 θ dθ sec 2 θ sec 2 θ I3   dθ   dθ   dθ  θ  C 3  arc tg x  C 3 1  tg 2 θ sec 2 θ

x

dx

x

dx  

 (x  1) 5 e 4x

x ex (x  1) e 5

Hacemos : u  x e  e x

4x

e

x

dx  

x ex (x  1) e 5

5x

dx  

x ex (x e  e ) x

x 5

57.

 3 e x  4e x 

I1 

2e

dx  

2 ex 3 e x  4e  x

dx  

3 e  4 e x 2 ex ex

e x 3 e x  4e  x

 e x (3 e x  4 e x )

3e

4

dx

du  6 e 2x dx 2x

6e 2 1 du 1 dx    Ln u  C1  2x 6 3e 4 3 u 3

8



e 2x 3  4 e 2x

dx

dx  Ln

3

3e 2x  4  Ln

dx  Ln

3

3e 2x  4

 x 3 ( Ln x  1) 3

dx

Ln x

dx  

8

59.

u  C2

8

3  4 e  2x  C

3  4 e 2x  C

Ln x

( x Ln x  x) 3 Hacemos : u  x Ln x  x

dx

8

3  4 e 2x  C 2

 x 3 ( Ln x  1) 3

 2x

1 8

Ln x

I2

e 2x

dx 

du  8 e 2x dx 8 e 2x 1 du 1 dx    Ln u  C 2  Ln  2x 8 u 8 34e

 3 e x  4e  x

dx dx  2 

3e 2x  4  C1

dx

e  x (3 e x  4 e  x )

2 e x  e x

x

x

3

e x e x

2 e x  e x

dx

Hacemos : u  3 e 2x  4

I1 



 3 e x  4e  x

x

I1

I1

I2 

58.

 3 e x  4e x 2 e x  e x

 3 e x  4 e x

I 2  Ln

dx

du  x e x dx x du 1 1  (x  1) 5 e 4x dx   u 5   4u 4  C   4 (x e x  e x ) 4  C 2 e x  e x

e x

I2 

I2 

 (x  1) 5 e 4x

u  C1  Ln

Hacemos : u  3  4 e 2x

1 I  e arc tg x  [ Ln (1  x 2 ) ] 2  arc tg x  C 4 56.

3

dx

du  Ln x dx du 1 1 dx     2 C   C 3 3 3 x ( Ln x  1) u 2u 2 ( Ln x  1) 2 Ln x

 (4  3 Ln x)  (4  3 Ln x)

4

4

d(Ln x) d(Ln x)  

Hacemos : u  4  3 Ln x

1 (4  3 Ln x) 4 d(4  3 Ln x) 3

du  d(4  3 Ln x)

 (4  3 Ln x)

4

d(Ln x)  

1 4 1 1 u du   u 5  C   (4  3 Ln x)5  C 3 15 15

17



60.



4 dx



cos x 1  sen 2x  2cos 2 x 4 dx

cos x 1  sen 2x  2cos x Hacemos : tg x  t 1 cos x  1 t 2 t sen x  1 t 2 dt dx  1 t 2 2



4 dx



cos x 1  2 sen x cos x  2 cos x 2

 1 t 2



t

x 1

 4 dt



4 dx cos x 1  sen 2x  2cos 2 x





1 t 2 1

t

1  2(

1 t 2

1 t 2

)(

1 1 t 2

)  2(

1 1 t 2

4 dx cos x 1  sen 2x  2cos x 2



1 t 2 2t 2 1  2 1 t 1 t 2

1 1 t 2

cos x 1  sen 2x  2cos 2 x

4 dx cos x

1  sen 2x  2cos 2 x 4 dx

cos x

1  sen 2x  2cos 2 x

cos x

1  sen 2x  2cos x



cos x 1  sen 2x  2cos 2 x



1

1 t 1 t 4 dt 2



4 dx cos x 1  sen 2x  2cos x 2



1 t

2

t  2t  3 2

2



61.

ex ex  2 ex  6



t 2  2t  3

t 1

 2 tg θ  θ  arc tg (

dt  2 sec 2 θ dθ

t 1 2



t 1

2

2



4 dt (t  1) 2  2

)

(t  1)  2 2

t 1

 2



 

ex ex  2

dx

ex  6

ex ex  2 e 6 x

e

x

e 2 x

e 6 x

Hacemos :

dx  

(t 2  2) t

(

2t

t2 26 t2 2

dx  2 

(t 2  4)  4 t 4

dx  2t  8 

2

dt)  2 

t2 t2  4

dt  2  dt  8 

dt t 4 2

t t  2 tg θ  θ  arc tg ( ) 2 dt  2 sec 2 θ dθ

 C1

t 2  2t  3  ( t  1)  4 Ln ( 2 )  C1

 e x  t 2  2   t  e x  2 2t e x dx  2 t dt  dx  dt ex 2t dx  dt 2 t 2

1 t 2 Hacemos :

(t  1) 2  2

Hacemos : e x  2  t 2

1  t 2  2t  2

4 dt

2 sec θ

 4 Ln (tg x  1)  tg 2 x  2 tg x  3  C

2

1 t 2 1

 4 Ln

2

4 dt 4 dx

 4 Ln

4 dx 1  sen 2x  2cos x 4 dx

2 tg 2 θ  2

2 sec 2 θ dθ

4

 4 Ln sec θ  tg θ  C1

1  sen 2x  2cos 2 x

cos x

2 sec 2 θ dθ

 4  sec θ dθ  4 Ln sec θ  tg θ  C1

4 dx cos x

4

)2

4 dt



4 dx

dt

dt t 4 2

18

  

e

e 2

x

x

ex  6 e

e 2

x

x

e 6 x

e

ex  2

x

ex  6

dx  2t  8 

2

2 sec θ dθ 4 tg 2 θ  4

 2t  4 

2

sec θ dθ tg 2 θ  1

 2t  4 

Si x  1 

2

sec θ dθ

ex  2 )C 2

x5

 x 3  8 dx

62.

5

x

 x 3  8 dx   (x

2



8x

2

x 8 3

) dx 

f 1 (x)  

x 1 x

f 2 (x)  

x  x 1

 1 x

dx  

dx

 arc tg x  C1 x 1 x 1 π π f 1 (0)    arc tg (0)  C1  C1   2 2 π f 1 (x)  arc tg x  2 Si x  1  1  x  x  1

sec 2 θ

t dx  2t  4  dθ  2t  4θ  C  2t  4 arc tg ( )  C 2 dx  2 e x  2  4 arc tg (

1 x 2

x 1 2

dx  

2

2x  1 x 1 2

dx  

f 2 (x)  Ln (x  1)  arc tg x  C 2

1 3 8 3x x   dx 3 3 3 x 8

Como f (x) es comtinua en R 

Hacemos : u  x  8

63.

Lim [ arc tg x 

du  3 x 2 dx x5 1 8 du 1 3 8 1 8 dx  x 3    x  Ln u  C  x 3  Ln x 3  8  C 3 3 3 u 3 3 3 3 x 8

x 1

arc tg (1)  π π  4 2

1  tg x  sen 2x dx

sen x 1 1  tg x cos x  sen x cos x  sen 2x dx   2 sen x cos x dx   2 sen x cos 2 x dx 1  tg x dx 1 dx dx 1 2  sen 2x dx   2 sen x cos x  2  cos 2 x   sen 2x  2  sec x dx 1  tg x 1 1 1 2  sen 2x dx   csc 2x dx  2  sec x dx  2  csc 2x (2dx)  2 tg x Hacemos : u  2x

1  tg x

 sen 2x

1  tg x

 sen 2x

du  2 dx 1 1 1 1 dx   csc u du  tg x  Ln csc u  ctg u  tg x  C 2 2 2 2 1 1 dx  Ln csc 2x  ctg 2x  tg x  C 2 2

64. Una función f: R  R, es continua en R y satisface: f (0) = –π/2 y

f ' (x) 

x  1 x x 2 1

. Hallar f (x).

x 1

dx  

dx x 1 2

2

2

3



2x 2

π 2

Lim f 1 (x)  Lim f 2 (x)

x 1

x 1

π ]  Lim [ Ln (x 2  1)  arc tg x  C 2 ] 2 x 1

 Ln [ (1) 2  1]  arc tg (1)  C 2 π 4

 Ln 2   C 2  C 2   Ln 2

f 2 (x)  Ln (x 2  1)  arc tg x  Ln 2



65.

π  , x 1  f 1 (x)  arc tg x  2 f (x)    f (x)  Ln (x 2  1)  arc tg x  Ln 2 , x  1  2

sen x

 cos 2 x dx

Hacemos : u  cos x du   sen x dx  sen x sen x du  cos 2 x dx   cos 2 x dx   u 2 sen x 1  cos 2 x dx  cos x  C  sec x  C

1 u

 C

19 III. INTEGRACIÓN POR PARTES

1.

 Ln

dx

Hacemos :

u  Ln x

dv  dx

e

dx du  v x x  Ln dx  x Ln x   dx  x Ln x  x  C 2.

u  x 2  3x  1

ax

v1

  cos bx

(1 

v

(

4.

a

2

b2 b2

e

ax

e

ax

e ax a ax a2 sen bx  e cos bx  b b2 b2 a2 b2

ax  e cos bx dx 

e ax

)  e ax cos bx dx 

a 2  b2

b2

)  e ax cos bx dx 

cos bx dx  ( cos bx dx 

b2

)

a 2  b2 e ax

cos bx dx 

v

e ax a ax sen bx  e cos bx  C1 b b2

e ax b2 e ax b2

(b sen bx  a cos bx)  C1 (b sen bx  a cos bx)  C

(b sen bx  a cos bx)  C

a 2  b2

u  ctg x

dv  ctg x csc x dx v   csc x

 csc x dx  Ln csc x  ctg x  csc x ctg x   csc 2  csc 3 x dx  Ln csc x  ctg x  csc x ctg x  C1

1 b

e ax a sen bx   e ax sen bx dx b b

5.

cos bx dx

3

3

 sen bx

ax

 csc x dx 3 2 2  csc x dx   csc x csc x dx   (1  ctg x) csc x dx 3 2  csc x dx   csc x dx   ctg x csc x dx 3 2  csc x dx  Ln csc x  ctg x   ctg x csc x dx Hacemos :

dv  cos bx dx

e

(b sen bx  a cos bx)  C1

du   csc x dx u  e ax

1 b

e ax a e ax a sen bx  ( cos bx   e ax cos bx dx ) b b b b

2

du  a e ax dx

e

du 1  a e ax dx

cos bx dx 

cos bx dx

Hacemos :

ax

ax

dv  e 2x dx

1 2x e 2 1 2x 2 1 2 2x 2x  (x  3x  1) e dx  2 e (x  3x  1)  2  (2x  3) e dx 1 2x 2 3 2x 2 2x  (x  3x  1) e dx  2 e (x  3x  1)   (x  2 ) e dx 3 Hacemos : u1  x  dv1  e 2x dx 2 1 du 1  dx v1  e 2x 2 1 1 2x 3 1 2x 2 2x 2x 2  (x  3x  1) e dx  2 e (x  3x  1)  2 e (x  2 )  2  e dx 1 2x 2 1 2x 3 1 2x 2 2x  (x  3x  1) e dx  2 e (x  3x  1)  2 e (x  2 )  4 e  C 1 2x 2 2 2x  (x  3x  1) e dx  2 e (x  2x  2)  C

e

 sen bx dx

ax  e cos bx dx 

du  (2x  3) dx

3.

dv1

u1

ax  e cos bx dx 

2 2x  (x  3x  1) e dx

Hacemos :

 e ax

Hacemos :

 csc

3

x dx 

 sec

3

x dx

3

1 1 Ln csc x  ctg x  csc x ctg x  C 2 2

x dx

20

 sec x 3  sec x 3  sec x 3

dx   sec x sec x dx   (1  tg x) sec x dx 2

u  tg x

dv  tg x sec x dx

du  sec x dx

v  sec x

 sec x dx  Ln sec x  tg x  sec x tg x   sec 2  sec 3 x dx  Ln sec x  tg x  sec x tg x  C1 3

 sec

3

x dx 

 sec

5

x dx

3

x dx

 x arc tg x dx 

u  sec 3 x

dv  sec 2 x dx v  tg x

 sec x dx  sec x tg x  3  sec x tg x dx 5 3 3 2  sec x dx  sec x tg x  3  sec x (sec x 1) dx 5 3 3 5  sec x dx  sec x tg x  3  sec x dx  3  sec x dx 4  sec 5 x dx  sec 3 x tg x  3  sec 3 x dx 5

3

3

8.



2

I

I   sec 3 x dx 1 1 I  Ln sec x  tg x  sec x tg x  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 1 1 4  sec 5 x dx  sec 3 x tg x  3 [ Ln sec x  tg x  sec x tg x  C1 ] 2 2 3 3 4  sec 5 x dx  sec 3 x tg x  Ln sec x  tg x  sec x tg x  3C1 2 2 1 3 3 5 3  sec x dx  4 sec x tg x  8 sec x tg x  8 Ln sec x  tg x  C

 x arc tg x dx

 x arc tg x dx   x arc tg x dx 

du  3 sec 3 x tg x dx

7.

 x arc tg x dx 

1 1 Ln sec x  tg x  sec x tg x  C 2 2

Hacemos :

dx

dv  x dx v

1 2 x 2

1 x 1 2 1 x2 x arc tg x dx  x arc tg x  dx  2 2  1 x 2

dx  Ln sec x  tg x   tg 2 x sec x dx 2

6.

du 

dx   sec x dx   tg 2 x sec x dx

Hacemos :

u  arc tg x

Hacemos :

2

 

2

1 2 1 (1  x 2 )  1 x arc tg x   dx 2 2 1 x 2 1 2 1 1 dx x arc tg x   dx   2 2 2 1 x 2 1 2 1 1 x arc tg x  x  arc tg x  C 2 2 2 1 2 1 (x  1) arc tg x  x  C 2 2

cos x  x sen x  1 (sen x  x) 2

cos x  x sen x  1 (sen x  x) 2 cos x  x sen x  1

dx

dx   dx  

cos x  x sen x  (sen 2 x  cos 2 x)

dx (sen x  x) 2  cos x (cos x  1)  sen x (sen x  x )

dx (sen x  x) 2  cos x (cos x  1) cos x  x sen x  1 sen x  (sen x  x) 2 dx   (sen x  x) 2 dx   sen x  x dx (sen x  x) 2

I

I

 cos x (cos x  1) (sen x  x) 2

Hacemos :

dx

u   cos x du  sen x dx

I

cos x sen x  dx sen x  x sen x  x

dv 

cos x  1

(sen x  x) 2 1 v  sen x  x

dx

21

 

cos x  x sen x  1

cos x sen x sen x dx   dx   dx sen x  x sen x  x sen x  x

(sen x  x) cos x  x sen x  1 2

(sen x  x)

dx 

2

Hacemos :

cos x C sen x  x

I

I

2

I   e Ln x dx dv  e dx x

I  e x Ln x  



x e arc tg x (1  x )

xe

arc tg x

dx 

 (1  x 2 ) 3/2

v  ex

ex dx x

e x ( 1  x Ln x ) dx  e x Ln x  C  x

10.

x e arc tg x

 (1  x 2 ) 3/2

u

x e arc tg x

dx 

x

dv 

1 x 2 dx (1  x 2 ) 3/2

x e arc tg x 1 x

2



v

e arc tg x 1 x 2

 e arc tg x

e arc tg x (1  x )

2 3/2

dx



12.



I

e

(1  x 2 ) 3/2

dx

 e arc tg x



x e arc tg x (1  x 2 ) 3/2

dx

e arc tg x  C

2

dv 

x2

dx  

senh 2 x

dx 

e sen x (x cos 3 x  sen x) cos 2 x

e sen x (x cos 3 x  sen x) 2

cos x

dx

cos x dx

x senh x

(x cosh x  senh x) 2 1 v  x cosh x  senh x

senh x dx  x (x cosh x  senh x) x2

senh x 1  C x (senh x  x cosh x) x

dx dx   x e sen x cos x dx   e sen x I1

I1   x e

dx

e arc tg x  C1

2

senh 2 x

sen x

1 x 2

dx

I arc tg x

1 x 2

x cosh x  senh x

 (x cosh x  senh x) 2

dx

e arc tg x

senh x x

 (x cosh x  senh x) 2

du 

 (1  x 2 ) 3/2

1 x

2 1 x

du 

dx

Hacemos :

x 1 x 1

u

Hacemos :



1 x 2

 (x cosh x  senh x) 2

e x ( 1  x Ln x ) ex ex dx   dx  e x Ln x   dx x x x

v1

e arc tg x

dx

x e arc tg x

senh 2 x

11.

dx



arc tg x

dx 

2 3/2

(1  x )

2 3/2

(1  x 2 ) 3/2

dx 

 (1  x 2 ) 3/2

x

dx du  x

1 x 2

xe



x e arc tg x

e x ( 1  x Ln x ) ex dx   dx   e x Ln x dx  x x

u  Ln x

e

arc tg x

dv1

1 x 2 x

du 1  

e x ( 1  x Ln x ) 9.  dx x

Hacemos :

1



u1

sen x cos 2 x I2

dx

dx

22

ux

Hacemos :

dv  e

du  dx

I1  x e I2

sen x

  e sen x

e

sen x

sen x

u1

v  e sen x

e

sen x

    13.



2

cos x e

sen x

(x cos x  sen x) 3

2

cos x e

sen x

(x cos 3 x  sen x) cos 2 x

e

sen x

(x cos x  sen x) 3

2

v1



dx

cos 2 x 1 v1  cos x

 (7  x  3x

e sen x  e sen x dx ) cos x 

15.

e  e sen x dx cos x 

e sen x dx  x e sen x   C  x e sen x  e sen x sec x  C cos x dx  ( x  sec x) e sen x  C

16.

u  Ln x

v

Hacemos :

2

1 3 x 3

u  7  x  3x

du  (1  6x) dx

dv  e

dx  (3x 2  5x  2) e  x  C

ux du  dx

x

dx

v   e x

dv  sec 2 x dx v  tg x

2

x dx  x tg x   tg x dx  x tg x  

 x sec

2

x dx  x tg x  Ln cos x  C

 arc sen (2x)

 sen x dx cos x

dx

u  arc sen (2x) 2 1  4x 2

dv  dx vx

dx

 arc sen (2x)

dx  x arc sen (2x)  

 arc sen (2x)

dx  x arc sen (2x) 

2x

dx 1  4x 2 1  8x dx  arc sen (2x) dx  x arc sen (2x)  4  1  4x 2

) e  x dx 2

dx  (3x 2  x  7) e  x  (6x  1) e  x  6 e  x  C

du 

Ln x dx 

 (7  x  3x

x

 x sec

dv  x dx

dx x

  e x

x dx

2

1 3 1 x Ln x   x 2 dx 3 3 1 1 3 1 3 2 3  x Ln x dx  3 x Ln x  9 x  C  9 x (3 Ln x  1)  C

14.

2

Hacemos :

du  2

 x sec

v1

1 ) e  x dx   (7  x  3x 2 ) e  x  6 (x  ) e  x  6  e  x dx 6

Hacemos :

sen x

2  x Ln x dx

x

2 2

dx  x e sen x   e sen x dx  ( dx  x e sen x   e sen x dx 

2

 (7  x  3x ) e 2 x  (7  x  3x ) e

cos x

Hacemos :

) e  x dx   (7  x  3x 2 ) e x   (6x  1) e  x dx

du 1  dx

sen x

e sen x  e sen x dx cos x 

e sen x (x cos 3 x  sen x)

2

1 ) e  x dx   (7  x  3x 2 ) e  x  6  (x  ) e  x dx 6 1 x Hacemos : u1  x  dv1  e dx 6

 (7  x  3x

dx

du 1  e sen x cos x dx

I2

 (7  x  3x

cos x dx

dx

cos 2 x

Hacemos :

sen x

17.



Ln x x3

dx

1 1  4x 2  C 2

23

u  Ln x

Hacemos :

dv 

dx x

dx du  x

  18.

Ln x 3

x Ln x x3

dx  

Ln x



v

20.

3

Hacemos : 1

2x Ln x

 Ln (x 

2x 2

dx

u  Ln (x  1  x 2 ) du 

dx 1 x 2

sen (Ln x) dx v1  x x  sen (Ln x) dx  x sen (Ln x)  x cos (Ln x)   sen (Ln x) dx 2  sen (Ln x) dx  x sen (Ln x)  x cos (Ln x)  C1 1

 sen (Ln x) dx  2 x [sen (Ln x)  cos (Ln x)]  C1

vx

x

dx

1 x 2 1 2x 2 2 dx  Ln (x  1  x ) dx  x Ln (x  1  x )  2  1 x 2

 Ln (x  19.

1  x 2 ) dx  x Ln (x  1  x 2 )  1  x 2  C

 cos (Ln x) dx Hacemos :

u  cos (Ln x)

dv  dx

sen (Ln x) dx vx x  cos (Ln x) dx  x cos (Ln x)   sen (Ln x) dx

21.

 x arc tg

u 1  sen (Ln x)

dv1  dx

cos (Ln x) du 1  dx v1  x x  cos (Ln x) dx  x cos (Ln x)  x sen (Ln x)   cos (Ln x) dx

2  cos (Ln x) dx  x cos (Ln x)  x sen (Ln x)  C1 1

 cos (Ln x) dx  2 x [cos (Ln x)  sen (Ln x)]  C

2

Hacemos :

 x arc tg

2

x dx u  arc tg 2 x 2 arc tg x du  dx 1 x 2

x dx 

Hacemos :

u 1  arc tg x dx 1 x 2

1 2 x arc 2 1 2 2  x arc tg x dx  2 x arc 1 2 2  x arc tg x dx  2 x arc 1 2 2  x arc tg x dx  2 x arc

 x arc tg

2

x dx 

dv  x dx v

1 2 x 2

x 2 arc tg x 1 2 x arctg 2 x   dx 2 1 x 2

du 1 

du  

Hacemos :

dv1  dx

du 1  

dv  dx

2 2  Ln (x  1  x ) dx  x Ln (x  1  x )  

dv  dx

u 1  cos (Ln x)

Hacemos :

1  x 2 ) dx

Hacemos :

u  sen (Ln x)

cos (Ln x) du  dx vx x  sen (Ln x) dx  x sen (Ln x)   cos (Ln x) dx

dx 2 x3 1 1  2 Ln x dx    C   C 2 2 2x 4x 4x 2 2

 sen (Ln x) dx

dv1 

x2 1 x 2

dx

v1  x  arc tg x

tg 2 x  x arc tg x  arc tg 2 x  

x  arc tg x

dx 1 x 2 arc tg x x tg 2 x  x arc tg x  arc tg 2 x   dx   dx 2 1 x 1 x 2 arc tg x 1 2x tg 2 x  x arc tg x  arc tg 2 x   dx   dx 2 2 1 x 1 x 2 arc tg x 1 tg 2 x  x arc tg x  arc tg 2 x  Ln (1  x 2 )   dx 2 1 x 2 I

24

I

arc tg x 1 x

2

Hacemos :

u2 du 2

 arc tg x 

dx

1 x arc tg x I  arc tg 2 x   dx 1 x 2

2

dv 2 v2



dx 1 x

Hacemos :

1 I  arc tg 2 x  C 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2  x arc tg x dx  2 x arc tg x  x arc tg x  arc tg x  2 Ln (1  x )  2 arc tg x  C 1 2 2 2 2  x arc tg x dx  2 [ (x  1) arc tg x  2x arc tg x  Ln (1  x ) ]  C 2

u  Ln (Ln x) du 

 arc tg x

dv 

x dx

u  arc sen 2 x dv  dx 2 arc sen x du  dx vx 1 x 2 x arc sen x 2 2 dx  arc sen x dx  x arc sen x  2  1 x 2  2x arc sen x 2 2 dx  arc sen x dx  x arc sen x   1 x 2 2x Hacemos : u 1  arc sen x dv1  dx 1 x 2 dx du 1  v1  2 1  x 2 2 1 x Hacemos :

 arc sen

2

x dx  x arc sen 2 x  2 1  x 2 arc sen x  2  dx

 arc sen

2

x dx  x arc sen 2 x  2 1  x 2 arc sen x  2x  C

dx x Ln x

dx x

v  Ln x

Ln (Ln x) dx dx  Ln x Ln (Ln x)   x x Ln (Ln x)  x dx  Ln x Ln (Ln x)  Ln x  C  Ln x [ Ln (Ln x)  1 ]  C



2 I  arc tg 2 x  C1

 arc sen

Ln (Ln x) dx x

2

I  arc tg 2 x  I

22.



23.

dx

24.

x 1

 x Ln ( x  1) dx Hacemos :

u  Ln ( du 

x 1

2 x 1 2

x 1 x 1

 x Ln ( x  1) dx  x 1

 x Ln ( x  1) dx  x 1

 x Ln ( x  1) dx  x 1

 x Ln ( x  1) dx  x 1

 x Ln ( x  1) dx  x 1

 x Ln ( x  1) dx  x 1

 x Ln ( x  1) dx 

dx

dv  x dx v

1 2 x 2

(x 2  1)  1 x 1 x2 1 x 1 ) dx  x 2 Ln ( ) dx x 1 2 x 1 x 2 1 x 2 1 1 2 x 1 dx x Ln ( )   dx   2 2 x 1 x 1 1 2 x 1 dx x Ln ( )x 2 x 1 (x  1)(x  1) 1 2 x 1 1/2  1/2 x Ln ( )  x  [  ] dx 2 x 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 dx 1 dx x Ln ( )x    2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 2 x 1 1 1 x Ln ( )  x  Ln (x  1)  Ln (x  1)  C 2 x 1 2 2 1 2 x 1 1 x Ln ( )  x  [ Ln (x  1)  Ln (x  1) ]  C 2 x 1 2 1 2 x 1 1 x 1 x Ln ( )  x  Ln ( )C 2 x 1 2 x 1 1 2 x 1 (x  1) Ln ( )xC 2 x 1 1

 x Ln ( x  1) dx  2 x  x Ln ( x  1) dx 

x 1 ) x 1

2

Ln (

25

x

2

 (x cos x  sen x) 2

25.

dx

27.  x sen x

x2

x

 (x cos x  sen x) 2 dx   (x cos x  sen x) 2 . sen x dx u

Hacemos :

du  x2

 (x cos x  sen x) 2 x2

 (x cos x  sen x) 2 x2

 (x cos x  sen x) 2



26.

(x 2  1) e x (x  1) 2

Hacemos :

x sen x sen x  x cos x sen 2 x

(x cos x  sen x) 1 v  x cos x  sen x

dx

dx 

x dx  sen x (x cos x  sen x) sen 2 x

dx 

x  csc 2 x dx sen x (x cos x  sen x) 

dx 

dv 

(x 2  1) e x (x  1) 2 Hacemos :

dx   u1

 x 1

du 1  dx

 

(x 2  1) e x (x  1) 2 (x 2  1) e x (x  1)

2

x ex

 (1  x) 2 28.

dv1 v1

dx  

 x arc tg

(1  x) 2 1 v  1 x

x x x x ex e   e x dx   e  ex  C  C 1 x 1 x 1 x

u  arc tg x 2  1 du 

dv  x dx

dx

v

1 2 x 2

x x 1 1 2 1 x 2 2  x arc tg x  1 dx  2 x arc tg x  1  2  2 dx x 1 1 2 1 2x 2 2  x arc tg x  1 dx  2 x arc tg x  1  4  2 dx x 1

 x arc tg 29.

x 2  1 dx 

x arc sen x

 (1  x 2 ) 3/2 Hacemos :

 e x dx e

dx

x 2  1 dx

Hacemos :

2

x 2 1 x e   (x  1) e x dx x 1

dv 

du  (x  1) e x dx

dx

(x  1) 1 v  x 1

u  x ex

dx

dx

du  (x  1) 2 e x dx



2

x  ctg x  C sen x (x cos x  sen x)

u  (x 2  1) e x

dx

Hacemos :

 x sen x

dv 

x ex

 (1  x) 2

x arc sen x

u  arc sen x

dx  

x 2 1 x e  (x  1) e x   e x dx x 1

 (1  x 2 ) 3/2

dx 

dx  

x 2 1 x x 1 x e  (x  1) e x  e x  C  e C x 1 x 1

 (1  x 2 ) 3/2

x arc sen x

dx 

x arc sen x

dx 

 (1  x 2 ) 3/2

1 2 1 x arc tg x 2  1  x 2 1  C 2 2

dx

du 

x

2

dx

1 x 2 arc sen x

dv  v



dx

(1  x 2 ) 3/2 1



1 x 2 arc sen x

dx



dx

x 1 1 x 1/2  1/2 arc sen x 1 dx 1 dx  [  ] dx      2 2 x  1 x  1 2 x  1 2 x 1 1 x 1 x arc sen x 1 1  Ln ( x  1)  Ln ( x  1)  C 2 2 2 1 x 1 x arc sen x 2

1 x

x

2

2

2

26

x arc sen x

 (1  x 2 ) 3/2 30.



arc tg x x2

dx 

1 x 1  Ln ( )C 2 x 1 1 x 2

3 3 Ln csc x  ctg x  csc x ctg x  3C1 2 2 1 3 3 5 3  csc x dx   4 csc x ctg x  8 csc x ctg x  8 Ln csc x  ctg x  C

arc sen x

4  csc 5 x dx  csc 3 x ctg x 

dx

Hacemos :

u  arc tg x du 

dx

dv 

dx

x2 1 v  x

31.

 csc

dv  csc 2 x dx

du   3 csc 3 x ctg x dx

2

x

3

3

1 x 2 x



v   ctg x

 csc x dx  csc x ctg x  3  csc x ctg x dx 5 3 3 2  csc x dx  csc x ctg x  3  csc x (csc x  1) dx 5 3 3 5  csc x dx  csc x ctg x  3  csc x dx  3  csc x dx 4  csc 5 x dx  csc 3 x ctg x  3  csc 3 x dx 5

1 x 2 x



2

 

I

I   csc 3 x dx 1 1 Ln csc x  ctg x  csc x ctg x  C1 (Idem Prob. 4 - Int. por partes) 2 2 1 1 5 3 4  csc x dx  csc x ctg x  3 [ Ln csc x  ctg x  csc x ctg x  C1 ] 2 2

I

u  Ln (

x 1 ) x 1

2 1 x 2

dx

dv 

x 1 x 2

dx

v   1 x 2

x 1 x 1 dx ) dx   1  x 2 Ln ( )2 x  1 x  1 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 dx Ln ( ) dx  1  x 2 Ln ( )2  2 x  1 x  1 1 x 1 x 2 Hacemos : x  sen θ  θ  arc sen x x



 u  csc 3 x

1 x 2

x 1 ) dx x 1

du 

x dx

Hacemos :

Ln (

Hacemos :

1 x 2 arc tg x arc tg x arc tg x dx 1 1/2 (2 x )  x 2 dx   x   x (1  x 2 )   x   [ x  1  x 2 ] dx arc tg x arc tg x dx 1 2x  x 2 dx   x   x  2  1  x 2 dx arc tg x arc tg x 1 2  x 2 dx   x  Ln x  2 Ln (1  x )  C arc tg x arc tg x arc tg x x 2 )C  x 2 dx   x  Ln x  Ln 1  x  C   x  Ln ( 1 x 2 5

x



32.

33.

1 x x

2

1 x x

2

1 x

2

e

2x

Ln (

dx  cos θ dθ x 1 x 1 cos θ Ln ( ) dx  1  x 2 Ln ( )2 dθ x 1 x 1 1  sen 2 θ x 1 x 1 cos θ Ln ( ) dx  1  x 2 Ln ( )2 dθ x 1 x 1 cos θ Ln (

x 1 x 1 ) dx  1  x 2 Ln ( )  2  dθ x 1 x 1

Ln (

x 1 x 1 ) dx  1  x 2 Ln ( )  2θ  C x 1 x 1

Ln (

x 1 x 1 ) dx  1  x 2 Ln ( )  2 arc sen x  C x 1 x 1

cos (e x ) dx

Hacemos :

u  ex du  e x dx

e

2x

dv  e x cos (e x ) dx v  sen (e x )

cos (e x ) dx  e x sen (e x )   e x sen (e x ) dx  e x sen (e x )    e x sen (e x ) dx

27

e

2x

e

34.

cos (e ) dx  e sen (e )  cos (e )  C x

ax

x

x

x

u  e ax

dv  sen bx dx

du  a e ax dx

e

ax

sen bx dx  

Hacemos :

u1

e

ax

cos bx 

b

e

v

ax

du 1  a e ax dx

e

ax

sen bx dx  

ax  e sen bx dx   ax  e sen bx dx 

(1  (

a2 b2 b2

35.

 Ln (

Hacemos :

 arc tg

u  Ln ( x  1  x ) dx du  2 x 1 x

dv  dx v

 Ln (

x  1  x ) dx  x Ln ( x  1  x )  

ax  e sen bx dx  

e ax b2

b2 a 2  b2 e ax

a 2  b2

)

e

ax

e ax a ax cos bx  e sen bx  C1 b b2

(a sen bx  b cos bx)  C1

e ax b2 e ax b2

37.

 sen

x  1 dx  x arc tg x  1  

2

(Ln x) dx

Hacemos :

u  sen 2 (Ln x) du 

dv  dx v

2 (x  2) x  1

dv  dx

2 sen (Ln x) cos (Ln x) dx x

v

x

 sen (Ln x) dx  x sen (Ln x)   2 sen (Ln x) cos (Ln x) dx 2 2  sen (Ln x) dx  x sen (Ln x)   sen (2 Ln x) dx 2

x x

dx 2 x 1 x 1/2 (2x  1)  1/2

1 1 x 2  x  Ln ( x  1  x )  C 2 2 2x  1 1 2  Ln ( x  1  x ) dx  ( 2 ) Ln ( x  1  x )  2 x  x  C

(a sen bx  b cos bx)  C

u  arc tg x  1 dx du  2 (x  2) x  1

x

x  1  x ) dx  x Ln ( x  1  x ) 

 Ln (

(a sen bx  b cos bx)  C1

(a sen bx  b cos bx)  C

x

dx 2 x 1 x 1 2x  1 1 dx  Ln ( x  1  x ) dx  x Ln ( x  1  x )  4  x 1  x dx  2  2 x 1  x 1 2x  1 1 dx  Ln ( x  1  x ) dx  x Ln ( x  1  x )  4  2 dx  2  2 x 1  x x x

sen bx dx

 arc tg x  1 dx Hacemos :

x  1  x ) dx

e ax a ax a2 cos bx  e sen bx  b b2 b2

)  e ax sen bx dx 

 e sen bx dx 



36.

x  1 dx  ( x  2) arc tg x  1  x  1  C

x  1  x ) dx  x Ln ( x  1  x )  

b2

ax

v1

1 sen bx b

x  1 dx  x arc tg x  1  x  1  2 arc tg x  1  C

 Ln (

a2

ax  e sen bx dx  (

a ax e cos bx dx b

 cos bx dx

 arc tg  arc tg

e ax a e ax a cos bx  ( sen bx   e ax sen bx dx ) b b b b

)  e ax sen bx dx 

a 2  b2

1 b

  cos bx

dv1

x  1 dx  x arc tg x  1  

dx 2 (x  2) x  1 1 dx dx  arc tg x  1 dx  x arc tg x  1  2  x  1  2  2 (x  2) x  1

sen bx dx

Hacemos :

(x  2)  2

 arc tg

2

I

dx

I   sen (2 Ln x) dx

Hacemos :

I

dv1  dx

2 cos (2 Ln x) du 1  dx x x sen (2 Ln x)  2  cos (2 Ln x) dx

Hacemos :

I

u 1  sen (2 Ln x)

u 2  cos (2 Ln x)

28

(x 2  sen 2 x)

 x  sen x cos x  x cos x  sen x

v1  x

Hacemos : dv 2  dx



 x  sen x cos x  x cos x  sen x

5I  x sen (2 Ln x)  2x cos (2 Ln x)  C1



1 2 I  x sen (2 Ln x)  x cos (2 Ln x)  C 2 5 5 1 2 2 2  sen (Ln x) dx  x sen (Ln x)  5 x sen (2 Ln x)  5 x cos (2 Ln x)  C



 

(e sen x cos 4 x)  1 cos 3 x

(e sen x cos 4 x)  1 cos 3 x (e sen x cos 4 x)  1 cos 3 x

(x 2  sen 2 x)



dx   e

sen x

 x  sen x cos x  x cos x  sen x

cos x dx   sec x dx 3



  sec x dx 3

40. I

I   sec x dx



(e sen x cos 4 x)  1 3

cos x



39.



1 1 Ln sec x  tg x  sec x tg x  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 dx  e

sen x

1 1  Ln sec x  tg x  sec x tg x  C 2 2

(x 2  sen 2 x) dx x  sen x cos x  x cos x  sen x

(x 2  sen 2 x) (x  sen x) (x  sen x) dx   dx x  sen x cos x  x cos x  sen x (x  sen x) (1  cos x)

dx 

(x  sen x) (1  cos x)  cos x  C1 sen x

dx  x csc x  x ctg x  1  cos x  cos x  C1

(x 2  sen 2 x) dx  x (csc x  ctg x )  C x  sen x cos x  x cos x  sen x

 (arc cos x  Ln x) dx Hacemos :

u  arc cos x  Ln x

dv  dx

x  1 x 2

v x

3

I

(x  sen x) (1  cos x) sen 2 x  dx sen x sen x

(x 2  sen 2 x) x  x cos x  sen x  sen x cos x dx   cos x  C1 x  sen x cos x  x cos x  sen x sen x (x 2  sen 2 x)

sen x

dx 

(x 2  sen 2 x) (x  sen x) (1  cos x) dx    sen x dx x  sen x cos x  x cos x  sen x sen x

 x  sen x cos x  x cos x  sen x

dx

dx  e

(x 2  sen 2 x) (x  sen x) (1  cos x) 1  cos 2 x dx   dx x  sen x cos x  x cos x  sen x sen x sen x (x 2  sen 2 x)

I  x sen (2 Ln x)  2x cos (2 Ln x)  4I

38.

u  x  sen x du  (1  cos x) dx

2 sen (2 Ln x) du 2   dx v2  x x x sen (2 Ln x)  2x cos (2 Ln x)  4  sen (2 Ln x) dx

x  sen x dx 1  cos x dx dv  1  cos x 1  cos x v sen x

dx  

du 

x 1 x 2

dx

 (arc cos x  Ln x) dx  x arc cos x  x Ln x  

x  1 x 2

 (arc cos x  Ln x) dx  x arc cos x  x Ln x 

1 x 2  x  C

dx 1 x 2 x dx   dx  (arc cos x  Ln x) dx  x arc cos x  x Ln x   1 x 2 1  2x dx   dx  (arc cos x  Ln x) dx  x arc cos x  x Ln x  2  1 x 2

29

 (arc cos x  Ln x) dx  x arc cos x  x ( Ln x  1 ) 

1 1 x3 arc sen ( ) dx  x 4 arc sen ( )   dx x x x 2 1 x Hacemos : u1  x 2 dv1  dx x 2 1

1 x  C 2

 4x

41. Si f ’’(x) = – a f (x) y g’’(x) = b g (x) donde a y b son constantes encontrar la integral:

 f (x) g ' ' (x) Hacemos :

dx

u  f (x)

Hacemos :

v  g ' (x)

u 1  f ' (x)

dv1  g ' (x) dx v1  g (x)

 4x

dx  f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x)   f ' ' (x) g (x) dx

Como : f ' ' (x)   a f (x) g ' ' (x)  b g (x)

43.



g (x) 

1 g ' ' (x) b

1  f (x) g ' ' (x) dx  f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x)   [  a f (x) ] [ b g ' ' (x) ] dx a  f (x) g ' ' (x) dx  f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x)  b  f (x) g ' ' (x) dx a  f (x) g ' ' (x) dx  b  f (x) g ' ' (x) dx  f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x)  C1 a (1  )  f (x) g ' ' (x) dx  f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x)  C1 b ab ( ) f (x) g ' ' (x) dx  f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x)  C1 b  b  f (x) g ' ' (x) dx  a  b [ f (x) g ' (x)  f ' (x) g (x) ]  C

Hacemos :

1 u  arc sen ( ) x dx du   x x 2 1

3

 x4

x 2  1   2x x 2  1 dx x 2 1 

2 2 (x  1) 3/2  C 3

1 1 x2  2 arc sen ( ) dx  x 4 arc sen ( )  ( ) x 2 1  C x x 3

x arc tg x

 (1  x 2 ) 4

dx

u  arc tg x

Hacemos :

du  x arc tg x

 (1  x 2 ) 4

dx  

x

dv 

dx (1  x 2 ) 4 1 v 6 (1  x 2 ) 3

dx 1 x 2 arc tg x

6 (1  x )

2 3



1 dx  6 (1  x 2 ) 4 I

I

I

dx (1  x 2 ) 4

(1  x 2 )  x 2 (1  x 2 ) 4

dx  

dx (1  x 2 ) 3

u1  x

dv1 

I

dx (1  x )

2 3





x2 (1  x 2 ) 4 x

dx (1  x 2 ) 4 1 v1   6 (1  x 2 ) 3

du 1  dx

dv  4x 3 dx v

 x 2 1

3

Hacemos :

1 42.  4x 3 arc sen ( ) dx x

v1

1 1 arc sen ( ) dx  x 4 arc sen ( )  x 2 x x 1 1 3 4 2  4x arc sen ( x ) dx  x arc sen ( x )  x

 4x

dx  f (x) g ' (x)   f ' (x) g ' (x) dx

du 1  f ' ' (x) dx

 f (x) g ' ' (x)

du 1  2x dx

dv  g ' ' (x) dx

du  f ' (x) dx

 f (x) g ' ' (x)

3

x 6 (1  x )

2 3



1 dx  6 (1  x 2 ) 3

dx

30

I I

x 6 (1  x 2 ) 3 x 6 (1  x 2 ) 3



5 dx x 5 (1  x )  x   6  (1  x 2 ) 3 6 (1  x 2 ) 3 6  (1  x 2 ) 3



5 dx 5 x2  dx 6  (1  x 2 ) 2 6  (1  x 2 ) 3

2

u2  x

Hacemos :

I I I

x

x 6 (1  x )

2 3

x 6 (1  x 2 ) 3

 

5x 24 (1  x )

2 2

5x 24 (1  x 2 ) 2

x

 

5 (1  x 2 )  x 2 dx 8  (1  x 2 ) 2 5 dx 5 x2   dx  8 1  x 2 8 (1  x 2 ) 2

x

dv 3 

du 3  dx 

5x

dx

(1  x 2 ) 2 1 v3   2 (1  x 2 )

5 dx 5x 5 dx     2 3 2 2 2 2 8 16 6 (1  x ) 24 (1  x ) 1 x 16 (1  x ) 1 x 2 x 5x 5x 5 dx I     2 3 2 2 2 6 (1  x ) 24 (1  x ) 16 (1  x ) 16 1  x 2 Hacemos : x  tg θ  θ  arc tg x I

I

x 6 (1  x 2 ) 3 x 6 (1  x 2 ) 3

 

5x 24 (1  x 2 ) 2 5x 24 (1  x 2 ) 2

x 6 (1  x ) x

2 3

6 (1  x ) x

2 3

6 (1  x )

 

5x 16 (1  x 2 ) 5x 16 (1  x 2 )



5 sec 2 θ dθ  16 1  tg 2 θ



5 sec 2 θ dθ 16  sec 2 θ

5x





24 (1  x ) 5x

2 2





24 (1  x ) 5x

2 2





5x 16 (1  x ) 5x 2

16 (1  x ) 5x 2



5 dθ 16 



5 θ  C1 16



5 arc tg x  C1 16

24 (1  x ) 16 (1  x ) arc tg x 1 x 5x 5x 5  (1  x 2 ) 4 dx   6 (1  x 2 ) 3  6 [ 6 (1  x 2 ) 3  24 (1  x 2 ) 2  16 (1  x 2 )  16 arc tg x  C1 ] x arc tg x arc tg x x 5x 5x 5  (1  x 2 ) 4 dx   6 (1  x 2 ) 3  36 (1  x 2 ) 3  144 (1  x 2 ) 2  96 (1  x 2 )  96 arc tg x  C 2 3

2 2

2

x arc tg x



44.



x 4  x arc tg x (1  x 2 ) 2

x 4  x arc tg x (1  x )

2 2

dx

dx  

x4 (1  x )

2 2

dx  

I1

I1  

x

(1  x 2 ) 2

du  3x 2 dx

I1  

(1  x 2 ) 2

dx

I2

dx

u  x3

Hacemos :

I1  

x arc tg x

4



dx  sec 2 θ dθ I

I



u3  x

Hacemos :

I

dx

5 dx 5x 5 dx     2 2 2 2 6 (1  x ) 24 (1  x 2 ) 2 6 (1  x ) 24 (1  x ) x 5x 5 dx    2 3 2 2 8 6 (1  x ) 24 (1  x ) (1  x 2 ) 2 2 3

I

dx

(1  x 2 ) 3 1 v2   4 (1  x 2 ) 2

du 2  dx I

x

dv 2 

2

x3 2 (1  x 2 ) x3

dv 

x

dx (1  x 2 ) 2 1 v  2 (1  x 2 )



3 x2 x3 3 (1  x 2 )  1 dx     1  x 2 dx 2  1 x 2 2 (1  x 2 ) 2



3 3 dx x3 3 3 dx dx      x   2 2 2 1 x 2 2 2 2 (1  x ) 1 x 2

2 (1  x 2 ) Hacemos : x  tg θ  θ  arc tg x

dx  sec 2 θ dθ x3 3 3 sec 2 θ x3 3 3 sec 2 θ I1    x  dθ    x  dθ 2 1  tg 2 θ 2 sec 2 θ 2 (1  x 2 ) 2 2 (1  x 2 ) 2

31

I1   I1   I2



x

3



2 (1  x ) 2

x

3



2 (1  x ) 2

x arc tg x

3

3 3 x 3 3 x   dθ    x  θ  C1 2 2 2 2 2 2 (1  x ) 3 3 x  arc tg x  C1 2 2

 

dx

(1  x )

2 2

u 1  arc tg x

Hacemos :



du 1 

x

dv1 

dx (1  x 2 ) 2 1 v1   2 (1  x 2 )

dx 1 x 2



arc tg x 1 dx 1 (1  x )  x I2        2 2 2 2 2 2 (1  x ) (1  x ) 2 (1  x ) 2 (1  x 2 ) 2 2

arc tg x

I2  

arc tg x 2 (1  x ) 2



1 dx 1 x   dx  2 2 1 x 2 (1  x 2 ) 2

dv 2 

arc tg x 2 (1  x ) arc tg x 2





dx

(1  x 2 ) 2 1 v2   2 (1  x 2 )

du 2  dx I2  

x

1 dx x 1 dx     2 2 2 1 x 4 (1  x ) 4 1  x 2 x

x  tg θ  θ  arc tg x

dx  sec 2 θ dθ

46.

1 sec 2 θ I2      dθ 2 (1  x 2 ) 4 (1  x 2 ) 4 1  tg 2 θ arc tg x

x

I2



arc tg x 2 (1  x ) 2

x



x 4 (1  x ) 2



1 θ  C2 4



x  x arc tg x 4

(1  x )

x 4  x arc tg x

arc tg x 2 (1  x ) 2



x 4 (1  x ) 2



1 arc tg x  C 2 4

arc tg x 3 3 x 1  x  arc tg x  C1  [   arc tg x  C 2 ] 2 2 2 2 2 (1  x ) 2 (1  x ) 4 (1  x ) 4 2

x3

arc tg x 3 3 x 1  x  arc tg x  C1    arc tg x  C 2 2 2 2 (1  x ) 2 2 2 (1  x ) 4 (1  x ) 4 2

dx 

(1  x )

2 2

arc sen x

x3

dx 

2 2

arc tg x 2 (1  x ) 2

arc tg x 2 (1  x ) 2

2x 3  x



4 (1  x ) 2



x (1  2x 2 )



4 (1  x ) 2

3 7 x  arc tg x  C 2 4



3 7 x  arc tg x  C 2 4

dx

x

arc sen x x Hacemos :



arc sen x



arc sen x

x

x

e

x

dx  2 

arc sen x

2 x u  arc sen z

dz 1 z 2

dx  2  arc sen z dz

dv  dz v

dx  2z arc sen z  2 

z z 1 z 2

x

 2z 1 z 2

dz

dx  2z arc sen z  2 1  z 2  C  2 x arc sen x  2 1  x  C

u  cos 2 x du  2 cos x sen x dx

e

dz  2z arc sen z  

cos 2 x dx

Hacemos :

arc tg x 1 sec 2 θ x 1 I2      dθ      dθ 2 2 2 2 2 4 2 (1  x ) 4 (1  x ) sec θ 2 (1  x ) 4 (1  x ) 4 arc tg x

(1  x )

2 2

dx  

du 

1 dx I2      2 2 2 (1  x ) 4 (1  x ) 4 1  x 2 Hacemos :

x  x arc tg x 4

dx  

Hacemos : z  x dx dz  2 x

2

u2  x

Hacemos :

dx

(1  x )

2 2



45.

2

x 4  x arc tg x

dv  e x dx v ex

cos 2 x dx  e x cos 2 x   e x ( 2 sen x cos x ) dx  e x cos 2 x   e x sen 2x dx I

I   e sen 2x dx x

32

Hacemos :

u1

 sen 2x

du 1  2 cos 2x dx

dv1

 e dx

v1

e

x

Hacemos :

du 1  (x  1) e

x

du 2

x

 cos 2x

dv 2

 e x dx

 2 sen 2x dx

v2

 ex

u2

I  e x sen 2x  2 e x cos 2x  4  e x sen 2x dx

Hacemos :

u2

I  e sen 2x  2 e cos 2x  4I x

x

x



x3

dz  

dx

1 1/x dx z  x 3 dx   x e ( x 2 )   z e dz Hacemos : u z dv  e z dz

du  dz

 48.

x3

cos x dx 

xe

x

cos x dx 

z

z

z

Hacemos :

 (tg x  x sec 2 x) 2

u  xe

dv  cos x dx

du  (x  1) e dx x

v  sen x

 x e cos x dx  x e sen x   (x  1) e sen x dx x x x x  x e cos x dx  x e sen x   x e sen x dx   e sen x dx x

x

x

v2

x

 cos x dx  sen x

x

dx

dx  

u

Hacemos :

x sec 2 x tg x (tg x  x sec x) 2

x tg x

2

.

x dx tg x

dv 

tg x  x sec 2 x 2

dx

v

tg x x 2 sec 2 x

 (tg x  x sec 2 x) 2 x 2 sec 2 x

x

 cos x

1 1 1 x e x sen x  x e x cos x  e x sen x  C 2 2 2 1 1 (x  1) e x sen x  x e x cos x  C 2 2

du 

1 x  1 1/x dx  z e   e dz  z e  e  C   e1/x  e1/x  C  ( )e C x x z

dv 2

x 2 sec 2 x

v ez

x  x e cos x dx

x

x

 (tg x  x sec 2 x) 2

e1/x

e1/x

xe

x 2 sec 2 x

2

v1

2  x e x cos x dx  x e x sen x  x e x cos x  e x sen x  C1

49.

x

 ex x

dx

1 Hacemos : z  x

 sen x dx

2  x e cos x dx  x e sen x  x e cos x   e x sen x dx  e x sen x   e x sen x dx

1 x 2 e sen 2x  e x cos 2x  C 5 5 1 x 2 x x 2 x 2  e cos x dx  e cos x  5 e sen 2x  5 e cos 2x  C

47.

x

x

I

e1/x

dv1 dx

x

 e x dx

du 2

5I  e sen 2x  2 e cos 2x  C1 x

x

 x e cos x dx  x e sen x  x e cos x   (x  1) e cos x dx   e sen x dx x x x x x x  x e cos x dx  x e sen x  x e cos x   x e cos x dx   e cos x dx   e sen x dx 2  x e x cos x dx  x e x sen x  x e x cos x   e x sen x dx   e x cos x dx

I  e x sen 2x  2  e x cos 2x dx Hacemos :

 x ex

u1

 (tg x  x sec 2 x) 2 2

2

x sec x

 (tg x  x sec 2 x) 2

dx  dx  dx 

x 2 tg x (tg x  x sec x) 2

x 2 tg x (tg x  x sec x) 2

x 2 tg x (tg x  x sec x) 2

x sec 2 x tg x (tg x  x sec 2 x) 2

dx

1 2 (tg x  x sec 2 x) 

1 dx 2  tg 2 x



1 ctg 2 x dx 2



1 (csc 2 x  1) dx 2

33 2

2

x sec x

 (tg x  x sec 2 x) 2 x 2 sec 2 x

 (tg x  x sec 2 x) 2 

50.

arc sen (1/x) x5



5

x Hacemos :

x 2 tg x (tg x  x sec x) 2

x5

dx  

1 3

arc sen (1/x) (

dx  

dx 2

x

5

1 1 ctg x  x  C 2 2

x dv  z dz 1 v  z4 4

)   z 3 arc sen z dz

3

1 4 z4 z arc sen z   dz 4 1 z 2



arc sen (1/x)



 1 z 2 4

1 sen θ cos θ dx   z 4 arc sen z   dθ 4 1  sen 2 θ

1 4 sen 4 θ cos θ dx   z arc sen z    cos θ dθ 4 x5 arc sen (1/x) 1 dx   z 4 arc sen z   sen 4 θ dθ  5 4 x arc sen (1/x) 1 dx   z 4 arc sen z   (sen 2 θ) 2 dθ  5 4 x arc sen (1/x) 1 1  cos 2θ 2 dx   z 4 arc sen z   ( ) dθ  5 4 2 x arc sen (1/x)

arc sen (1/x)

1

z

cos θ  1  z 2







1 4 1 z arc sen z   ( 1  2 cos 2θ  cos 2 2θ ) dθ 4 4 x arc sen (1/x) 1 4 1 1  cos 4θ dx   z arc sen z   ( 1  2 cos 2θ  ) dθ  5 4 4 2 x arc sen (1/x) 1 1 3 1 dx   z 4 arc sen z   (  2 cos 2θ  cos 4θ ) dθ  5 4 4 2 2 x arc sen (1/x) 1 3 1 1 dx   z 4 arc sen z  θ  sen 2θ  sen 4θ  C  5 4 8 4 32 x arc sen (1/x) 1 4 3 1 1 dx   z arc sen z  θ  sen θ cos θ  sen θ cos θ cos 2θ  C  5 4 8 2 8 x arc sen (1/x) 1 3 1 dx   z 4 arc sen z  θ  sen θ cos θ ( 4  cos 2θ )  C  5 4 8 8 x arc sen (1/x) 1 3 1 dx   z 4 arc sen z  θ  sen θ cos θ ( 4  cos 2 θ  sen 2 θ )  C  5 4 8 8 x arc sen (1/x) 1 4 3 1 dx   z arc sen z  arc sen z  z 1  z 2 (4  1  z 2  z 2 )  C  5 4 8 8 x arc sen (1/x) 1 3 1 dx   z 4 arc sen z  arc sen z  z 1  z 2 (3  2z 2 )  C  5 4 8 8 x

x2

z  sen θ  θ  arc sen z dz  cos θ dθ

arc sen (1/x)

1 1 csc 2 x dx   dx 2 2

dx

x u  arc sen z dz du  1 z 2

arc sen (1/x)

Hacemos :

2 tg x (tg x  x sec 2 x)



1 x

dz   arc sen (1/x)

dx 

x

dx

Hacemos : z 



dx 

51.

5

5

1 1 3 1 1 1 1 dx   ( ) 4 arc sen (1/x)  arc sen (1/x)  ( ) 1  ( ) 2 [3  2( ) 2 ]  C 4 x 8 8 x x x

x arc sen (1/x) x5

dx  

dx  

cosh 2 x

arc sen (1/x) 4x 4

 (x senh x  cosh x) 2 cosh 2 x

 (x senh x  cosh x) 2 Hacemos :

u du 

cosh 2 x

3 3x 2  2  arc sen (1/x)  x 2 1  C 8 8x 4

dx

dx  

x cosh x (x senh x  cosh x)

cosh x x

.

cosh x dx x

dv 

x senh x  cosh x

 (x senh x  cosh x) 2

2

x2 dx  

dx

x cosh x

( x senh x  cosh x) 2 1 v  x senh x  cosh x

cosh x dx  x (x senh x  cosh x) x2

dx

34 2

cosh x

 (x senh x  cosh x) 2 cosh 2 x

dx 

cosh x 1  C x (cosh x  x senh x) x

cosh 2 x

dx 

cosh x  cosh x  x senh x C x (cosh x  x senh x)

cosh 2 x

dx 

senh x C cosh x  x senh x

 (x senh x  cosh x) 2  (x senh x  cosh x) 2  (x senh x  cosh x) 2 52.

 arc tg

 

u  arc tg

x 1

du  4x

x z

Hacemos :



2



vx

x 1

x  1 dx  x arc tg

 arc tg

dv  dx

dx

1 x 1   4



dx x 1



z x

dx  2z dz

x  1 dx  x arc tg

 arc tg

Hacemos :

u1

z

du 1  dz

v1



z 1

 2 z 1

x  1 dx  x arc tg

x  1  z z  1   z  1 dz

 arc tg

x  1 dx  x arc tg

 arc tg

x  1 dx  x arc tg

2 x  1  z z  1  (z  1) 3/2  C 3 2 x 1  x x  1  ( x  1) 3/2  C 3

 arc tg

53.

dv1

1 z x 1   dz 2 z 1 dz



Ln ( 2  x ) 3

3

x

z3 x



dx  3z 2 dz Ln ( 2  3 x ) Ln ( 2  z ) dx   (3z 2 dz)  3  z Ln ( 2  z ) dz  3 z x Hacemos : u  Ln ( 2  z ) dv  z dz

x  1 dx

Hacemos :

x z 3

Hacemos :

cosh x 1  C x (x senh x  cosh x) x

dx  

 54.

Ln ( 2  3 x ) 3

dx 

3 2 3 4 z Ln ( 2  z )   [ z  2  ] dz 2 2 2z

dx 

3 2 3 dz z Ln ( 2  z )   z dz  3  dz  6  2 2 2z

dx 

3 2 3 z Ln ( 2  z )  z 2  3z  6 Ln ( 2  z )  C 2 4

dx 

33 2 33 2 x Ln ( 2  3 x )  x  3 3 x  6 Ln ( 2  3 x )  C 2 4

dx 

3 2/3 3 x Ln ( 2  3 x )  6 Ln ( 2  3 x )  x 2/3  3 3 x  C 2 4

x

Ln ( 2  3 x ) 3

3 2 3 z2 z Ln ( 2  z )   dz 2 2 2z

x

Ln ( 2  3 x ) 3

dx 

x

Ln ( 2  3 x ) 3

dz 2z

x

Ln ( 2  3 x ) 3

du 

x

Ln ( 2  3 x ) 3

x

 senh

1

u  senh 1 du 

1

 senh

1

 senh

1

dx

1 2 z 2

x dx 1 x

Hacemos :

 senh

v

x 1 x

dx 2 (1  x) x

dv  dx v x

x x x dx  x senh 1  dx 1 x 1 x 2 (1  x) x (1  x)  1 x x dx  x senh 1  dx 1 x 1 x 2 (1  x) x x x 1 dx dx dx  x senh 1    1 x 1 x 2 x 2 (1  x) x

35

x x x 1 1 1  senh 1  x dx  x senh 1  x  x  senh 1  x  C

 senh 

55.

 

1

x x dx  ( x  1) senh 1  x C 1 x 1 x

(x sen x  cos x) (x 2  cos 2 x) 2

2

dx



2

2

x cos x (x sen x  cos x) (x 2  cos 2 x) 2

2

x cos x

dx   dx  

x 3 sen x  x sen x cos 2 x  x 2 cos x  cos 3 x 2

x sen x cos 2 x

Hacemos :

dx

x cos x x sen x 2

cos x I1



2

dx  

I2

ux

dv 

sen x

v

cos x 1 cos x

2

(e 2x  x 2 ) (x  1) x2 ex

(e 2x  x 2 ) (x  1) x2 ex (e 2x  x 2 ) (x  1) 2

x e

x

cos x cos x I2    dx x x2 (x sen x  cos x) (x  cos x) 2

2

x 2 cos 2 x (x sen x  cos x) (x  cos x) 2

x 2 cos 2 x

2

dx  dx 

x dx cos x cos x dx cos x  (   dx )    dx 2 cos x  cos x x cos x x x2 x dx cos x cos x dx cos x    dx    dx 2 cos x  cos x x cos x x x2

dx

dx  

x e 2x  e 2x  x 3  x 2

dx  

ex dx   x

x2 ex ex x

2

dx  

I1

I1



x e

x

dx dx  

dx ex

I2

e dx x u

1 x

du  

dx

v1  cos x

x2

x cos x  C cos x x

x

dv  e x dx dx

v ex

x2

ex ex  dx x x2 x I2   dx ex I1 

u1

dv1  sen x dx dx

dx 

x cos x

Hacemos :

1 u1  x du 1  



2

Hacemos :

x dx  cos x cos x sen x I2   dx x



2

sen x dx cos x dx    dx x cos x  x 2



Hacemos :



dx

du  dx

I1

(x sen x  cos x) (x 2  cos 2 x)



56.

x cos x

(x sen x  cos x) (x 2  cos 2 x)

I1



x

du 1  dx I2

  



x e

x



x e x e

x

x

(e 2x  x 2 ) (x  1) x2 ex

dx ex



1 ex

ex

(e 2x  x 2 ) (x  1) 2

v1



dx

(e 2x  x 2 ) (x  1) 2

dv1

dx  dx  dx 

ex ex  dx   x x2 ex ex  dx   x x2 ex x  C x ex

ex x

2

ex x

2

x

dx (

e dx 

x e

x

x





dx e

dx e

x

x

)



dx ex

dx ex

36

 cosh 3x cos 2x dx

57.

u  cosh 3x

Hacemos :

dv  cos 2x dx

1 sen 2x 2 1 3  cosh 3x cos 2x dx  2 cosh 3x sen 2x  2  senh 3x sen 2x dx Hacemos : u 1  senh 3x dv1  sen 2x dx du  3 senh 3x dx

du 1  3 cosh 3x dx

v

v1  

1 cos 2x 2

1 3 9 cosh 3x sen 2x  senh 3x cos 2x   cosh 3x cos 2x dx 2 4 4 13 1 3 cosh 3x cos 2x dx  cosh 3x sen 2x  senh 3x cos 2x  C1 4  2 4 2 3  cosh 3x cos 2x dx  13 cosh 3x sen 2x  13 senh 3x cos 2x  C

 cosh 3x cos 2x dx 



58.

 

x cos x  sen x  1 (x  cos x) 2

x cos x  sen x  1 (x  cos x) 2 x cos x  sen x  1 (x  cos x) 2



  

dx

1  sen x

x cos x

dx   dx (x  cos x) 2 (x  cos x) 2 1 1  sen x x cos x dx    . dx 2 x  cos x (x  cos x) 1  sen x x cos x 1  sen x

dv 

1  sen x

dx (x  cos x) 2 x  cos x 1 du  dx v  1  sen x x  cos x x cos x  sen x  1 1 x cos x dx dx     2 x  cos x (1  sen x) (x  cos x) 1  sen x (x  cos x)

x cos x  sen x  1 (x  cos x)

2

dx  

x cos x  sen x  1 (x  cos x) x cos x  sen x  1 2

(x  cos x)

2

 

x cos x  sen x  1 (x  cos x) x cos x  sen x  1 2

(x  cos x) x cos x  sen x  1 2

(x  cos x)

59. I  

1 x cos x 1  sen x   dx x  cos x (1  sen x) (x  cos x)  (1  sen x) (1  sen x)

dx  

1 x cos x 1  sen x   dx x  cos x (1  sen x) (x  cos x)  1  sen 2 x

dx  

1 x cos x 1  sen x   dx x  cos x (1  sen x) (x  cos x) cos 2 x

x5 1 x

Hacemos :

2

2

Ln(

dx  

1 x cos x sen x    sec 2 x dx   dx x  cos x (1  sen x) (x  cos x) cos 2 x

dx  

1 x cos x 1   tg x  C x  cos x (1  sen x) (x  cos x) cos x

dx  

x cos x  sen x  1  tg x  sec x  C (1  sen x) (x  cos x)

1 x ) dx 1 x

x  sen θ  θ  arc sen x dx  cos θ dθ cos θ  1  x 2

I

dx  

u

Hacemos :



sen 5 θ 1  sen 2 θ

Ln (

1 x

 1 x 2

1  sen θ ) cos θ dθ 1  sen θ

sen 5 θ 1  sen θ 1  sen θ Ln ( ) cos θ dθ   sen 5 θ Ln ( ) dθ cos θ 1  sen θ 1  sen θ 1  sen θ Hacemos : u  Ln ( ) dv  sen 5 θ dθ  ( 1  cos 2 θ ) 2 sen θ dθ 1  sen θ

I

dv  ( 1  2 cos 2 θ  cos 4 θ ) sen θ dθ 2 2 1 du  dθ v  cos θ  cos 3 θ  cos 5 θ cos θ 3 5 2 1 1  sen θ 4 2 3 5 2 4 I   (cos θ  cos θ  cos θ) Ln ( )  (2  cos θ  cos θ) dθ 3 5 1  sen θ  3 5 2 1 1  sen θ 4 2 I   (cos θ  cos 3 θ  cos 5 θ) Ln ( )  2 dθ   cos 2 θ dθ   cos 4 θ dθ 3 5 1  sen θ 3 5 2 1 1  sen θ 4 1  cos2θ 2 1  cos2θ 2 I   (cos θ  cos 3 θ  cos 5 θ) Ln ( )  2θ   ( ) dθ   ( ) dθ 3 5 1  sen θ 3 2 5 2 2 1 1  sen θ 2 1 2 1  cos2θ 2 I   (cos θ  cos 3 θ  cos 5 θ) Ln ( )  2θ  θ  sen2θ   ( ) dθ 3 5 1  sen θ 3 3 5 2 2 1 1  sen θ 4 1 1 I   (cos θ  cos 3 θ  cos 5 θ) Ln ( )  θ  sen2θ   (1  2cos2θ  cos 2 2θ ) dθ 3 5 1  sen θ 3 3 10

37 2 1 1  sen θ 4 1 1 3 1 I   (cos θ  cos 3 θ  cos 5 θ) Ln ( )  θ  sen2θ   (  2cos2θ  cos4θ ) dθ 3 5 1  sen θ 3 3 10 2 2 2 1 1  sen θ 4 1 3 1 1 3 5 I   (cos θ  cos θ  cos θ) Ln ( )  θ  sen2θ  θ  sen2θ  cos4θ  C 3 5 1  sen θ 3 3 20 10 80 1 1  sen θ 89 1 I   cos θ(15  10cos 2 θ  3cos 4 θ) Ln ( )  θ  sen θ cos θ(25  6sen 2 θ)  C 15 1  sen θ 60 60 1 1  x 89 1 I 1  x 2 (3x 4  4x 2  8) Ln ( )  arc sen x  x 1  x 2 (25  6x 2 )  C 15 1  x 60 60



60.

a Ln (x  a  x 2  2ax ) (x  a )

Hacemos :

2



dx x  2ax 2

a Ln (x  a  x 2  2ax ) (x  a ) 2

dv 



(x  a ) 2 1 v  xa

a Ln (x  a  x 2  2ax ) dx dx    a xa (x  a ) x 2  2ax

  

a Ln (x  a  x 2  2ax )

dx  

a Ln (x  a  x 2  2ax )

dx  

a Ln (x  a  x 2  2ax ) a sec θ tg θ  a dθ xa a sec θ a 2 sec θ  a 2

dx  

a Ln (x  a  x 2  2ax ) a 2 sec θ tg θ  dθ xa a 2 sec θ tg θ

dx  

a Ln (x  a  x 2  2ax )   dθ xa

dx  

a Ln (x  a  x 2  2ax ) θC xa

(x  a ) 2 a Ln (x  a  x 2  2ax ) (x  a ) 2 a Ln (x  a  x 2  2ax ) (x  a ) 2 a Ln (x  a  x 2  2ax ) (x  a ) 2

I

x2 1 x

2

x2 1 x 2

dx  

a Ln (x  a  x 2  2ax ) xa  arc sec ( )C xa a

[ Ln (1  x) x  Ln (1  x ) x ] dx

Ln (

1 x x x3 1 x ) dx   Ln ( ) dx 2 1 x 1 x 1 x

x  sen θ  θ  arc sen x dx  cos θ dθ cos θ  1  x 2

dx

a Ln (x  a  x 2  2ax ) dx  a 2 x  a (x  a ) (x  a ) (x  a ) 2  a 2 xa Hacemos : x a  a sec θ  θ  arc sec ( ) a dx  a sec θ tg θ dθ



61. I  

(x  a ) 2

Hacemos :

dx

u  Ln (x  a  x 2  2ax ) du 



a Ln (x  a  x 2  2ax )

I

sen 3 θ 1  sen 2 θ

Ln (

x

1  1 x 2

1  sen θ ) cos θ dθ 1  sen θ

sen 3 θ 1  sen θ 1  sen θ Ln ( ) cos θ dθ   sen 3 θ Ln ( ) dθ cos θ 1  sen θ 1  sen θ 1  sen θ Hacemos : u  Ln ( ) dv  sen 3 θ dθ  ( 1  cos 2 θ ) sen θ dθ 1  sen θ 2 1 du  dθ v  cos θ  cos 3 θ cos θ 3 1 1  sen θ 2 I  (cos θ  cos 3 θ) Ln ( )  (2  cos 2 θ) dθ 3 1  sen θ  3 1 1  sen θ 2 I  (cos θ  cos 3 θ) Ln ( )  2 dθ   cos 2 θ dθ 3 1  sen θ 3 1 1  sen θ 2 1  cos 2θ I  (cos θ  cos 3 θ) Ln ( )  2θ   dθ 3 1  sen θ 3 2 1 1  sen θ 1 1 I  (cos θ  cos 3 θ) Ln ( )  2θ  θ  sen 2θ  C 3 1  sen θ 3 6 1 1  sen θ 5 1 I   cos θ (3  cos 2 θ) Ln ( )  θ  sen θ cos θ  C 3 1  sen θ 3 3 1 1 x 5 1 I 1  x 2 (x 2  2) Ln ( )  arc sen x  x 1  x 2  C 3 1 x 3 3 I

38 IV. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

3. 1.



9  x dx 2

3

x Hacemos : x  3 sen θ  θ  arc sen ( ) 3 dx  3 cos θ dθ

2.



9  x 2 dx  



9  x 2 dx  9  cos 2 θ dθ  9 



9  x dx 



9  x dx 



2 2

x

16  9x

  

9x

x

16  9x

2

x 2 16  9x 2 dx x

16  9x

x2 9





1  cos 2θ 9 9 dθ  θ  sen 2θ  C 2 2 4



9 x2 )C 3



x3 x2 9 x3 x2 9 x3 x2 9 x3 x2 9

( 3 sec θ ) 3

dx  

( 3 sec θ ) 2  9

dx  27 

( 3 sec θ tg θ dθ )  27 

sec 3 θ sec θ tg θ sec 2 θ  1

dθ

sec 4 θ tg θ dθ  27  sec 4 θ dθ  27  ( 1  tg 2 θ )sec 2 θ dθ tg θ

dx  27 tg θ  9 tg3 θ  C  27 ( dx  9 x 2  9 

x2 9 x2 9 3 )9( ) C 3 3

1 2 1 ( x  9) 3/2  C  x 2  9 ( x 2  18)  C 3 3

2

dx

2

x

x x  3 sec θ  θ  arc sec ( ) 3 dx  3 sec θ tg θ dθ

3

1  sen 2 θ cos θ dθ

9 9 9 x 9 x θ  sen θ cos θ  C  arc sen ( )  ( ) ( 2 2 2 3 2 3 9 x 1 2 arc sen ( )  x 9  x  C 2 3 2

dx

2



dx 2

x2 9



dx 2

x3

Hacemos :

x

9  ( 3 sen θ ) 2 ( 3 cos θ dθ )  9 

4 3x Hacemos : x  tg θ  θ  arc tg ( ) 3 4 4 dx  sec 2 θ dθ 3





2

dx x 2 16  9x 2



4 sec 2 θ 3 4 4 ( tg θ ) 2 16  9( tg θ ) 2 3 3

4. 16  9x

3x

2





4

dθ 

3 sec 2 θ dθ  16 tg 2 θ 1  tg 2 θ



3 3 3 16  9 x  C   csc θ  C   ( )C 16 sen θ 16 16 3x 2

16  9 x 2 C 16x

x3 x 2  2x  5 x3 x 2  2x  5

dx dx  

x3 ( x  1) 2  4

dx

x 1

Hacemos :

x 1

 θ  arc tg ( )  2 tg θ  2  x  2 tg θ  1

dx  2 sec θ dθ

 

x3 x 2  2x  5 x3 x 2  2x  5

dx   dx  

( 2 tg θ  1 ) 3 ( 2 tg θ ) 2  4

x 2  2x  5

x 1

2

3 sec 2 θ 3 sec θ 3 cos θ   2 dθ  dθ  dθ  2 16 tg θ sec θ 16 tg θ 16  sen 2 θ





 2

( 2 sec 2 θ dθ )  

( 2 tg θ  1 ) 3 sec 2 θ tg 2 θ  1

( 2 tg θ  1 ) 3 sec 2 θ dθ   ( 2 tg θ  1 ) 3 sec θ dθ sec θ

dθ

39

    





x

3

x  2x  5 2

x

3

x  2x  5 2

dx   ( 8 tg3 θ sec θ  12 tg 2 θ sec θ  6 tg θ sec θ  sec θ ) dθ dx   [ 8 (sec 2 θ  1) tg θ sec θ  12 tg 2 θ sec θ  6 tg θ sec θ  sec θ ] dθ



x3 x  2x  5 2

5. I  

x3

8 dx  sec 3 θ  8 sec θ  6 sec θ  Ln sec θ  tg θ  12 tg 2 θ sec θ dθ 3 x 2  2x  5

(1  x 4 )

x  2x  5

dx 

 θ  arc tg (x 2 ) x2  tg θ   x  tg θ

Hacemos :

dx 

8 sec 3 θ  2 sec θ  Ln sec θ  tg θ  12  sec θ dθ  12 sec 3 θ dθ 3

x3

8 dx  sec 3θ  2 sec θ  Ln sec θ  tg θ  12 Ln sec θ  tg θ  12 sec 3θ dθ 2 3 x  2x  5

x3

8 dx  sec 3 θ  2 sec θ  11 Ln sec θ  tg θ  12  sec 3θ dθ 3 x 2  2x  5

x 2  2x  5 (2x 2  5x  5)  5 Ln x  1 

sec 2 θ 2 tg θ



dθ 1

I

sec 2 θ

2 tg θ (1  tg 2 θ)

1 x 4

x2

sec 2 θ I

x 2  2x  5  C

1 x 4  x 2

8 dx  sec 3 θ  2 sec θ  Ln sec θ  tg θ  12 (sec 2 θ  1) sec θ dθ 3 x 2  2x  5 2

1 6

dx

x3 x3

dx 

dθ 

1  tg 2 θ  tg θ

1 dθ  2 tg θ sec θ  tg θ

1

  2

tg θ 1 dθ  2 2 sec θ sec θ  tg θ dθ

tg θ sec θ  tg 2 θ

cos θ

1

  2

sen θ  sen 2 θ

dθ

z  sen θ dz  cos θ dθ 1 dz 1 dz dz I     2 2 2 1 1 zz 1  (2z  1) 2  (z  ) 2 4 2 Hacemos : 2z  1  sen β  β  arc sen (2z  1)

Hacemos : I

I   sec 3θ dθ I

   



1 1 Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 x3 8 3 dx  sec θ  2 sec θ  11 Ln sec θ  tg θ  6 Ln sec θ  tg θ  6 sec θ tg θ  C1 3 x 2  2x  5 x3 x  2x  5 2

x

3

x  2x  5 2

x

3

x  2x  5 2

dx  dx  dx 

8 sec 3 θ  2 sec θ  5 Ln sec θ  tg θ  6 sec θ tg θ  C1 3 1 sec θ [ 8 sec 2 θ  18 tg θ  6 ]  5 Ln sec θ  tg θ  C1 3 1 sec θ [ 8 tg 2 θ  18 tg θ  2 ]  5 Ln sec θ  tg θ  C1 3

1 x  2x  5 x 1 2 x 1 dx  ( )[8( )  18 ( )  2 ]  5 Ln 3 2 2 2 x 2  2x  5 x

3

2

x  2x  5 x  1   C1 2 2 2

2 dz  cos β dβ  dz 

I

1 cos β 2 1  sen β 2

dβ 

1 cos β dβ 2

1 cos β 1 1 1 dβ   dβ  β  C  arc sen (2z  1)  C 2  cos β 2 2 2

I

1 1 x2 arc sen [ 2 sen θ  1 ]  C  arc sen [ 2 ( ) 1 ]  C 2 2 1 x 4

I

1 2x 2 arc sen ( 1 )  C 2 1 x 4

40

6. I   I

e x

12 dx (2x  1) (4x  4x  8) 2

 (9 e 2x  1) 3/2

3

e x

12 dx (2x  1) [ (2x  1)  9 ] 2

Hacemos :

 (9 e 2x  1) 3/2

3

2x  1  3 sec θ  θ  arc sec ( 2 dx  3 sec θ tg θ dθ dx 

I

2x  1 ) 3 4x 2  4x  8

3 sec θ tg θ dθ 2

3 12 ( sec θ tg θ ) 2 (3 sec θ) [ ( 3 sec θ )  9 ] 2

3

2x  1  3

dθ 

sec θ tg θ 2 dθ  9 sec θ [ sec 2 θ  1 ]3

2 sec θ tg θ 2 dθ 2 2 I  dθ    ctg 2 θ dθ   (csc 2 θ  1) dθ 9 sec θ tg3 θ 9 tg 2 θ 9  9 2 2 2 3 2 2x  1 I   ctg θ  θ  C   ( )  arc sec ( )C 9 9 9 4x 2  4 x  8 9 3 2 2x  1 1 2 2x  1 I  arc sec ( )C    arc sec ( )C 3 3 3 4x 2  4x  8 9 3 x2  x 2 9

8.





e x

 (9 e 2x  1) 3/2

dx



1  3 e x dx   dx  (9 e 2x  1) 3/2 3  [ (3 e  x ) 2  1 ]3/2

Hacemos :



z  3 e x

dz   3 e  x dx e x 1 dz  (9 e 2x  1) 3/2 dx   3  (z 2  1) 3/2 Hacemos : z  tg θ  θ  arc tg z

 

e x

 z

z 2 1

2x

x 1 x 2x



1 3 e x e x dx   ( )C   C 3 (3 e  x ) 2  1 9 e 2x  1

x (1  x)

dx  

x

1 x

3 2

2x

dx  

x (1  x) x 2  3x  2

dx  

x (1  x)

x 1 x 2x x 1 x 2x x 1 x 2x x 1 x 2x x 1 x 2x

1 2

 sec θ  θ  arc sec (2x  3)

dx  

1 (sec θ  3) (sec θ  1) ( sec θ tg θ dθ ) 4 sec 2 θ  1

dx  

1 (sec θ  3) (sec θ  1) ( sec θ tg θ dθ ) 4 tg θ

dx  

1 (sec θ  3) (sec θ  1) sec θ dθ 4

dx  

1 (sec 3 θ  4 sec 2 θ  3 sec θ ) dθ  4

dx   tg θ 

3 1 Ln sec θ  tg θ   sec 3 θ dθ 4 4 I

I   sec θ dθ 3

I

dx

3 1 (x  ) 2  2 4

1 4x 2  12x  8 dx  sec θ tg θ dθ 2 1 3 1 3 ( sec θ  ) (1  sec θ  ) x 1 x 2 2 2 2 ( 1 sec θ tg θ dθ ) dx   2 2x 1 1 ( sec θ ) 2  2 4



1 dz  sec 2 θ dθ e x 1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 dθ  (9 e 2x  1) 3/2 dx   3  (tg 2 θ  1) 3/2 dθ   3  sec 3θ dθ   3  sec θ

1 1 1 z cos θ dθ   sen θ  C   ( )C 3 3 3 z 2 1

dx

Hacemos :

2

7.

x 1 x

dx  

1 1 Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2

2x  3  1

41

     9.

x 1 x 2x

dx   tg θ 

3 1 1 Ln sec θ  tg θ  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C 4 8 8

1 7 dx   tg θ  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  C 8 8 2x

x 1 x 2x

dx  

1 7 tg θ ( 8  sec θ )  Ln sec θ  tg θ  C 8 8

1 7 dx   4x 2  12 x  8 (8  2 x  3)  Ln 2x  3  4x 2  12x  8  C 8 8 2x

x 1 x 2x 2

dx  

x 2  4 dx

x  1 x senh t  2  t  senh ( 2 )  x  2 senh t  x2  4  cosh t   2 dx  2 cosh t dt

x  4 dx   (2 senh t)

2

x 2  4 dx  4  senh 2 2t dt  4 

x

2

1 x  4 dx  senh 4t  2t  C  2 senh t cosh t (senh 2 t  cosh 2 t)  2t  C 2



2

(2 senh t)  4 ( 2 cosh t dt) 2

x  4 dx  16  senh t senh t  1 cosh t dt  16  senh t cosh t dt 2

2

2

2

x2 x  4x  5 2

x2 x  4x  5 2

x2 x 2  4x  5 x2



x  4x  5 2

2



11.

x2 1 x 2

Hacemos :

x 2  4x  5

dx

dx  

x

2

( x  2) 2  9

dx

dx   dx  

(3 cosh t  2) 2 (3 cosh t) 2  9

( 3 senh t dt )  

(3 cosh t  2) 2 cosh 2 t  1



x2 1 x 2

senh t dt

(3 cosh t  2) 2 senh t dt   (3 cosh t  2) 2 dt senh t

dx   (9 cosh 2 t  12 cosh t  4) dt

dx   [ 9 ( dx 

cosh 2t  1 9 17 )  12 cosh t  4 ] dt   [ cosh 2t  12 cosh t  ] dt 2 2 2

9 17 9 17 senh 2t  12 senh t  t  C  senh t cosh t  12 senh t  t  C 4 2 2 2

dx 

3 17 senh t (3 cosh t  8)  t  C 2 2

dx 

3 x 2  4x  5 x2 17 x2 ( )[ 3( )  8 ]  cosh 1 ( )C 2 3 3 2 3

dx 

1 17 x2 x 2  4x  5 (x  6)  cosh 1 ( )C 2 2 3

2

2

x 2  4x  5 x

x 2  4x  5



cosh 4t  1 dt  2  (cosh 4t  1) dt 2

x x 4 x x 4 x x 2  4 dx  2 ( ) ( )(  )  2 senh 1 ( )  C 2 2 4 4 2 1 2 2 2 1 x x  4 dx  x ( x  2) x  4  2 senh ( )  C 4 2 2

x2

2

2

2

x  4x  5 2



x

2

x

x2



x

x

x 2  4x  5



2

2

x2



x

2

x 2  4x  5



1 7 x 2  3x  2 (2x  5)  Ln 2x  3  2 x 2  3x  2  C 4 8

2

x

x2



x 1 x

Hacemos :



Hacemos :

x 1 x

x

10.

x2 x2   t  cosh 1 ( ) cosh t  3 3  x 2  3 cosh t  x 2  4x  5  senh t   3 dx  3 senh t dt

dx

1 x  sen θ  θ  arc sen x dx  cos θ dθ dx  

( sen θ ) 2 1  ( sen θ ) 2

( cos θ dθ )  

x

 1 x 2

sen 2 θ cos θ 1  sen 2 θ

dθ

42

x



1 x 2 x2



1 x 2 x2



1 x 2



12.

2

dx  

sen θ cos θ 1  co s 2θ dθ   sen 2 θ dθ   dθ cos θ 2 2

dx 

1 1 1 1 θ  sen 2θ  C  θ  sen θ co s θ  C 2 4 2 2

dx 

1 1 arc sen x  x 1  x 2  C 2 2

4  x 2 dx

x x  2 tg θ  θ  arc tg ( ) 2

Hacemos :

4x

x

2



dx  2 sec 2 θ dθ

2



4  x 2 dx   4  ( 2 tg θ ) 2 ( sec 2 θ dθ )  4  1  tg 2 θ sec 2 θ dθ



4  x 2 dx  4  sec θ sec 2 θ dθ  4  sec 3 θ dθ

13.

 

4  x dx  2 sec θ tg θ  2 Ln sec θ  tg θ  C 2



4  x 2 dx  2 (

2

4 x2 x   C2 2 2

x

2

4  x 2 dx  16  sen 2 θ cos 2 θ dθ  4  sen 2 2θ dθ  4 

x

2

4  x 2 dx  2θ 

x

2

x

2





1  sen 2 θ cos θ dθ  16  sen 2 θ cos θ cos θ dθ

4  x 2 dx

1 sen 4θ  C  2θ  2 sen θ cos θ (co s 2 θ  sen 2 θ)  C 2

dx x

2

1 x 2

x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2 dx x 2 1 x 2

x  tg θ  θ  arc tg x

1 x 2

x



2  4 x2



 

1

sec 2 θ ( tg θ ) 2 1  ( tg θ ) 2 sec 2 θ 2

tg θ sec θ

dθ  

  csc θ  C  

dθ  

sec θ 2

tg θ

sec 2 θ

dθ

tg 2 θ 1  tg 2 θ

dθ  

cos θ 2

sen θ

dθ  

1 C sen θ

1 x 2 C x

dx ( x 2  1) 1  x 2

Hacemos :

x

1  cos 4θ dθ 2

x x 4 x2 4 x2 x2 4  x 2 dx  2 arc sen ( )  2 ( ) ( )(  )C 2 2 2 4 4 x 1 4  x 2 dx  2 arc sen ( )  x 4  x 2 (x 2  2)  C 2 4

dx



15.

1 x 4  x 2  2 Ln x  4  x 2  C 2

x Hacemos : x  2 sen θ  θ  arc sen ( ) 2 dx  2 cos θ dθ

4  x 2 dx  16  sen 2 θ



2

x

2



1 1 Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 1 1 4  x 2 dx  4 ( Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 ) 2 2

4  x 2 dx 

x

dx  sec 2 θ dθ

I   sec θ dθ



4  x 2 dx   ( 2 sen θ ) 2 4  ( 2 sen θ ) 2 ( 2 cos θ dθ )

Hacemos :

I

4 x2 x ) ( )  2 Ln 2 2

2

14.

3

I

x

x  sen θ  θ  arc sen x dx  cos θ dθ

dx ( x  1) 1  x 2

1

2



cos θ (sen θ  1) 1  sen θ 2

2

x

 1 x 2

dθ  

cos θ (sen θ  1) cos θ 2

dθ

43

1



dx ( x  1) 1  x 2



2

dθ sen θ  1 2

  cos2 θ dθ   sen θ  1



2

sec θ

2

tg θ  sec θ 2

2

dθ



2

cos θ



dx ( x  1) 1  x 2



2

2

sec θ tg θ  1  tg θ 2

2

dθ  

sec θ 1  2 tg θ 2

dθ



dz  2 sec 2 θ dθ dx





17.

2 sec 2 θ

1

1

dθ   2 1  2 tg 2 θ

dz

 2 1 z 2

( x 2  1) 1  x 2 Hacemos : z  tg β  β  arc tg z

  

dx ( x  1) 1  x dx

2

( x  1) 1  x

2

2

2

dx

1



1



( x 2  1) 1  x 2



16.





sec β

2 1  tg 2 β 2 1

βC 

arc tg (

2

dβ 

1 2

1 x 2

x

1 2

2

sec β

 sec 2 β dβ  1

1 2



x4 x2 3

( x 2  3) 3/2 1 x2 3 3 1 x2 3 x2 3 ( )  ( )C    C 27 x 9 x 9x 27 x 3

4x  5

 dβ

arc tg ( 2 tg θ )  C

Hacemos :

2



3 cosh t ( 3 senh t) 4 ( 3 senh t) 2  3

dx  

2 (2x  2)  9 ( x 2  2x  2) 3/2 2x  2

dx  2 

dx

2

3/2

dx  9 

dx 2

x 1  tg θ  θ  arc tg (x  1)

x 2  2x  2

x 1

dx  sec 2 θ dθ

 1

4x  5

 (x 2  2x  2) 3/2 4x  5

x

1

 (x 2  2x  2) 3/2 dx

)C

x   senh t  3  3 senh t  x2 3  cosh t  3 

1

  csch 4 t dt 9

( x  2x  2) ( x  2x  2) 3/2 4x  5 4 dx 9  (x 2  2x  2) 3/2 dx   2 [( x  1) 2  1]3/2 x  2x  2

t  senh 1 (

x

 (x 2  2x  2) 3/2

)

4x  5

3

 (x 2  2x  2) 3/2 4x  5

 (x 2  2x  2) 3/2

dx  3 cosh t dt dx



 (x 2  2x  2) 3/2

x2 3

Hacemos :

x4 x2 3

senh t cosh t

1 dt  9 senh 4 t 1

4x  5

dx 4

dx

dt 

4

1

4x  5

arc tg z  C 

2x

x4 x2 3

cosh t

  (ctgh 2 t  1)csch 2 t dt   ctgh 3 t  ctgh t  C 9 27 9

 (x 2  2x  2) 3/2

dz  sec 2 β dβ 2

x4 x2 3 dx

1

  9

2

z  2 tg θ

Hacemos :

dx

dt 

4x  5

 (x 2  2x  2) 3/2

1 cosh t dt 9  senh 4 t senh 2 t  1

18.

2x  3

 (x 2  2x  3) 3/2

dx   dx  

4 x 2  2x  2 4

9

sec 2 θ ( tg 2 θ  1) 3/2 sec 2 θ 3

sec θ

dθ  

dθ 4

9

dθ sec θ

x 2  2x  2 4 dx    9  cos θ dθ    9 sen θ  C x 2  2x  2 x 2  2x  2 9 (x  1) 4 dx    C x 2  2x  2 x 2  2x  2 9x  13 dx  C x 2  2x  2 dx

x 2  2x  2 4

9

44

2x  3

 (x 2  2x  3) 3/2 2x  3

 (x 2  2x  3) 3/2

dx   dx  

(2x  2)  5 ( x  2x  3) 2x  2 2

3/2

Hacemos :

dx dx  5 

2x  3

 ( x 2  2x  3) 3/2 2x  3

 ( x 2  2x  3) 3/2 2x  3

 ( x 2  2x  3) 3/2 2x  3

 ( x 2  2x  3) 3/2 2x  3

 ( x 2  2x  3) 3/2 2x  3

 ( x 2  2x  3) 3/2



19.



x 2  4x x3

x 2  4x x3

dx   dx   dx   dx   dx   dx 

2 x 2  2x  3 2 x 2  2x  3 2 x 2  2x  3 2 x  2x  3 2 2

x  2x  3 5x  3 2

4 x 2  2x  3

5 senh t dt 4  senh 3 t



5 dt  4 senh 2 t



5 csch 2 t dt 4



5 ctgh t  C 4



5 (x  1) 4 x  2x  3

C

2

  





  C

  

dx

dx  



dx  2 sec θ tg θ dθ

dx

( x 2  2x  3) 3/2 ( x 2  2x  3) 3/2 2x  3 2 dx 5   (x 2  2x  3) 3/2 dx   2 [( x  1) 2  4]3/2 x  2x  3 x 1 x 1   t  cosh 1 ( ) cosh t  2 2  Hacemos : x 1  2 cosh t  x 2  2x  3  senh t   2 dx  2 senh t dt 2x  3 2 2 senh t 5  dt  ( x 2  2x  3) 3/2 dx   2 [( 2 cosh t ) 2  4]3/2 x  2x  3 2x  3 2 5 senh t   dt  ( x 2  2x  3) 3/2 dx   2 2 3/2 x  2 x  3 4 (cosh t  1)

( x  2) 2  4 x3

dx

x 2  2 sec θ  θ  arc sec (



x 2  4x x3 x 2  4x x3

dx   dx 

( 2 sec θ ) 2  4 ( 2 sec θ  2 ) 3

x2 ) 2

x2 x 2  4x

 2

( 2 sec θ tg θ dθ )

sec 2 θ  1 sec θ tg θ 1 1 sec θ tg 2 θ dθ  dθ 2 2  ( sec θ  1 ) 3 ( sec θ  1 ) 3

sec θ tg 2 θ tg 2 θ 1 dθ   dθ 1 3 2 sec 2 θ ( 1  cos θ ) 3 x3 sec 3 θ ( 1  ) sec θ θ θ [ 2 sen ( ) cos ( ) ] 2 x 2  4x 1 sen 2 θ 1 2 2 dx   dθ   dθ 3 3 θ 2 2 2 3 x ( 1  cos θ ) [ 2 cos ( ) ] 2 2 θ 2 θ 2 θ sen ( ) cos ( ) sen ( ) x 2  4x 1 2 2 dθ  1 2 dθ dx    3 θ θ 4 4 x cos 6 ( ) cos 4 ( ) 2 2 2 θ 1  cos ( ) x 2  4x 1 2 dθ  1 sec 4 ( θ ) dθ  1 sec 2 ( θ ) dθ dx   3 θ 4 4 2 4 2 x cos 4 ( ) 2 x 2  4x

dx 

1 2

x 2  4x

dx 

1 θ θ 1 θ [ 1  tg 2 ( ) ] sec 2 ( ) dθ   sec 2 ( ) dθ  4 2 2 4 2

dx 

1 θ θ 1 θ [ 1  tg 2 ( ) ] sec 2 ( ) dθ   sec 2 ( ) dθ 4 2 2 4 2

dx 

1 θ θ 1 θ 1 θ tg 2 ( ) sec 2 ( ) dθ   sec 2 ( ) dθ   sec 2 ( ) dθ  4 2 2 4 2 4 2

dx 

1 θ θ 1 θ 1 sen θ 3 tg 2 ( ) sec 2 ( ) dθ  tg 3 ( )  C  [ ] C 4 2 2 6 2 6 1  cos θ

dx 

1 1 x2 2 [ csc θ  ctg θ ]3  C  [  ]3  C 2 2 6 6 x  4x x  4x

x

3

x 2  4x x

3

x  4x 2

x

3

x 2  4x x

3

x  4x 2

x

3

45

x  4x 2



x3 x 2  4x



x

3

dx 

1 x4 3 1 x ( x  4) 3 1 x  4x 3 [ ] C  [ ] C  [ ] C 6 x 2  4x 6 x x 2  4x 6 x x 2  4x

dx 

(x 2  4x) 3/2 1 x 2  4x 3 [ ] C  C 6 x 6x 3

x4

 (4  x 2 ) 7/2

20.

2





x4

 (4  x 2 ) 7/2 x4

 (4  x 2 ) 7/2 x4

 (4  x 2 ) 7/2 

21.

dx  

1 sen 4 θ cos θ dθ 4  (1  sen 2 θ) 7/2



dx 

1 5 1 x x5 tg θ  C  ( )5  C  C 20 20 4  x 2 20 (4  x 2 ) 5/2

 

dx

x x  5 sec θ  θ  arc sec ( ) 5 dx  5 sec θ tg θ dθ

x x 2  25

 5

  

(x 2  25) 3/2 x6 (x 2  25) 3/2 x6 (x 2  25) 3/2 x6



1 sen 4 θ cos θ 1 sen 4 θ 1 dθ  dθ   tg 4 θ sec 2 θ dθ   7 6 4 4 cos θ 4 cos θ

6

Hacemos :

[4  ( 2 sen θ ) 2 ] 7/2

( 2 cos θ dθ ) 



4 x2

dx 

(x 2  25) 3/2 x

( 2 sen θ ) 4

dx  

[ ( 5 sec θ ) 2  25 ]3/2 ( 5 sec θ ) 6

(x  1) 3 x 2  2x

dx (x  1)

x  2x

3

2

x 1

( 5 sec θ tg θ dθ )

dx 

1 (sec 2 θ  1) 3/2 sec θ tg θ 1 sec θ tg 4 θ d θ  dθ 25  25  sec 6 θ sec 6 θ

dx 

1 tg 4 θ 1 1 dθ  sen 4 θ cos θ dθ  sen 5 θ  C   5 25 sec θ 25 125

23.

dx (x  1)

x  2x

3

2

dx (x  1) 3 x 2  2 x dx (x  1) 3 x 2  2 x dx (x  1) 3 x 2  2 x dx (x  1) 3 x 2  2 x





dx (x  1)

x 1

( x  1) 2  1

3

x  2x 2

 sec θ  θ  arc sec (x  1)

dx  sec θ tg θ dθ sec θ tg θ

x



(x 2  25) 5/2 1 x 2  25 5 ( ) C  C 125 x 125 x 5

dx

Hacemos :

2 x Hacemos : x  2 sen θ  θ  arc sen ( ) 2 dx  2 cos θ dθ

dx 

x6



22.

dx

(x 2  25) 3/2

 

1 2

( sec θ )

3

sec θ tg θ 3

sec θ tg θ

 1

( sec θ )  1 2

dθ  

dθ 2

sec θ

1 4

dθ  

sec θ tg θ sec θ sec 2 θ  1 3

  cos 2 θ dθ  

1 2

dθ

1  cos 2θ dθ 2

1 2

 θ  sen 2θ  C  θ  sen θ cos θ  C 1 2

1 2

 arc sec (x  1)  ( 1 2

 arc sec (x  1) 

x 2  2x 1 )( )C x 1 x 1

x 2  2x 2 ( x  1) 2

C

sen x

dx cos x  4 cos x  1 Hacemos : z  cos x dz   sen x dx sen x  sen x dz dx    dx     2 2 2 cos x  4 cos x  1 cos x  4 cos x  1 z  4z  1 sen x dz dx     2 cos x  4 cos x  1 (z  2) 2  3 2

Hacemos :

z2

 3 sec θ  θ  arc sec (

dz  3 sec θ tg θ dθ

z2 3

z2 )

z 2  4z  1

 3

46

sen x



cos x  4 cos x  1 2

sen x



cos x  4 cos x  1 sen x cos x  4 cos x  1 sen x





e

e

2x

4 2e

2x

(e  2)

4 2e

2x

(e  2)

2 (e  2) e

2x

4

e

x



  Ln

z2



z 2  4z  1

3

3

x

  

e x e 2x  4  2 e 2x (e x  2) 2 (e  2) e

2x

4

e x e 2x  4  2 e 2x (e x  2) 2 (e  2) e

2x

4

4 2e

2x

(e  2)

2 (e  2) e

2x

4

4 2e

2x

(e x  2)

x

e

x

e

2x

x

e

x

e

2x

2 (e x  2) e 2x  4 e x e 2x  4  2 e 2x (e x  2) 2 (e x  2) e 2x  4 e x e 2x  4  2 e 2x (e x  2) 2 (e  2) e x



x

2 (e x  2) e 2x  4

2x 2  4x  4 3  2x  x 2

2x 2  4x  4 3  2x  x 2

Hacemos :

2x

4

dx 

1 Ln (e x  2)  2 tg θ  C 2

dx 

1 e 2x  4 Ln (e x  2)  2 ( )C 2 2

dx 

1 Ln (e x  2)  e 2x  4  C 2

dx  dx 



2x

1 e Ln (e x  2)   dx 2 e 2x  4

 ex

e 2x  4





( 2 sec θ ) ( 2 sec θ tg θ ) 1 dx  Ln (e x  2)   dθ 2 ( 2 sec θ ) 2  4



2



sec θ sec θ tg θ 1 dx  Ln (e x  2)  2  dθ 2 sec 2 θ  1



2

sec θ tg θ 1 dx  Ln (e x  2)  2  dθ 2 tg θ dx 

1 Ln (e x  2)  2  sec 2 θ dθ 2

dx

dx  

2 (x  1) 2  2 4  ( x  1) 2

dx

2

x 1  2 sen θ  θ  arc sen ( dx  2 cos θ dθ

1 ex e 2x dx   dx  2 ex  2 e 2x  4

e e x  2 sec θ  θ  arc sec ( ) 2

x

e x e 2x  4  2 e 2x (e x  2)

dx

e x dx  2 sec θ tg θ dθ



 25.

x

Hacemos :

 C1

x

2 (e x  2) e 2x  4 e

sec θ tg θ dθ    sec θ dθ tg θ



e x e 2x  4  2 e 2x (e x  2)

2x



dx   Ln cos x  2  cos 2 x  4 cos x  1  C

2 (e x  2) e 2x  4

x

sec θ  1 2

dθ

dx   Ln z  2  z  4z  1  C

cos 2 x  4 cos x  1 x

sec θ tg θ

2

cos 2 x  4 cos x  1 sen x



( 3 sec θ )  3 2

dθ   

dx   Ln sec θ  tg θ  C1

2





dx   

2



24.

dx   

3 sec θ tg θ

26.

2x 2  4x  4 3  2x  x 2 2x 2  4x  4 3  2x  x 2 2x 2  4x  4 3  2x  x 2 2x 2  4x  4 3  2x  x 2 2x 2  4x  4 3  2x  x 2 2x 2  4x  4 3  2x  x 2 dx

dx  

2 ( 2 sen θ ) 2  2

dx  2 

4  ( 2 sen θ ) 2

x 1 ) 2

( 2 cos θ dθ )  2 

x 1

 3  2x  x 2

4 sen 2 θ  1 1  sen 2 θ

4 sen 2 θ  1 cos θ dθ  2  (4 sen 2 θ  1) dθ cos θ

dx  8  sen 2 θ dθ  2  dθ  8 

1  cos 2θ dθ  2θ 2

dx  4θ  2 sen 2θ  2θ  C  6θ  4 sen θ cos θ  C dx  6 arc sen (

x 1 x 1 3  2x  x 2 )4( )( )C 2 2 2

dx  6 arc sen (

x 1 )  ( x  1) 3  2x  x 2  C 2

 (x 2  2x  5) 3/2

cos θ dθ

47

dx

dx

Hacemos :

x 1  2 tg θ 

x 1 θ  arc tg ( ) 2

x 2  2x  5

x 1

 (x 2  2x  5) 3/2



I



dx  2 sec 2 θ dθ

dx

2

2 sec 2 θ [ (2 tg θ) 2  4 ]3/2

dθ 

I  x 2  2x  10  5 Ln

1 sec 2 θ dθ 4  ( tg 2 θ  1 ) 3/2

dx 1 sec θ 1 dθ 1 1  (x 2  2x  5) 3/2  4  sec 3θ dθ  4  sec θ  4  cos θ dθ  4 sen θ  C

27. I  

I I I

x 1 x  2x  5 2

x  3x

)C 

x 1 4 x  2x  5 2

C

dx

x 1 θ  arc tg ( ) 3

x 1

I  x 2  2x  10  I  x 2  2x  10 

( 3 tg θ ) ( 3 tg θ )  9 2

y2  4 y4 y2  4



( 3 sec 2 θ dθ )

( 2 sec θ )

4

 2

( 2 sec θ tg θ dθ ) 

sec θ  1 sec θ tg θ 1 dθ 4 sec 4 θ 2

1 tg θ sec θ tg θ 1 sec θ tg 2 θ 1 tg 2 θ dθ   dθ   dθ  4 4 4 sec 3 θ sec 4 θ sec 4 θ

dy 

y2  4 3 1 1 1 2 3 sen θ cos θ d θ  sen θ  C  ( ) C 4 12 12 y ( y 2  4) 3/2 12y 3

C

dx (x 2  1) x 2  2

Hacemos :

1 ( 15 tg θ  4 ) sec 2 θ dθ 3  tg θ tg 2 θ  1 1 ( 15 tg θ  4 ) sec θ dθ 3 tg θ

( 2 sec θ )  4 2

y 4 2

dy 

dy 

y4



29.

4

y4



x  2x  10 2

x 2  2 x  10  3 C x 1

dy

dy  

y2  4



3

5 ( 3 tg θ  1)  1

y

x 2  2 x  10 3   C1 x 1 x 1

y

y 4



dx  3 sec 2 θ dθ

I  x 2  2x  10  

y4

2



(x  1) x 2  2x  10 1 2x  2 5x  1 dx   dx  2 2 x  2x  10 (x  1) x 2  2x  10 5x  1 x 2  2x  10   dx (x  1) ( x  1) 2  9 x 1  3 tg θ 

y2  4

4 Ln 3

y Hacemos : y  2 sec θ  θ  arc sec ( ) 2 dy  2 sec θ tg θ dθ

1 (x  1) (2x  2)  (5x  1) 2 dx

Hacemos :



28.

2

(x  1) x 2  2x  10

x 2  2 x  10 x  1 4   Ln 3 3 3

I  x 2  2x  10  5 Ln x  1  x 2  2x  10 

2

dx 1  (x 2  2x  5) 3/2  4 (

4 csc θ dθ 3 4 x 2  2x  10  5 Ln sec θ  tg θ  Ln csc θ  ctg θ  C1 3

I  x 2  2x  10  5  sec θ dθ 

 (x 2  2x  5) 3/2   [ (x  1) 2  4 ]3/2

x  2 sec θ  θ  arc sec (

x

x )

2

x2 2

dx  2 sec θ tg θ dθ



dx (x 2  1) x 2  2



2 sec θ tg θ (2 sec 2 θ  1) 2 sec 2 θ  2

 2

dθ  

sec θ tg θ (2 sec 2 θ  1) sec 2 θ  1

dθ

48

 

dx (x  1) x  2 dx 2

2



sec θ tg θ (2 sec θ  1) tg θ 2

cos θ



2  ( 1  sen θ ) (x  1) x  2 Hacemos : z  sen θ



2

2

2

dθ  

dθ  

sec θ 2 sec θ  1 2

cos θ 1  sen θ 2

dθ  

cos θ 2  co s θ 2



2x 2  1

9

2x 2  1

7

x

7

9

x

x x2  4

)(

2 x2  4

)C

7x

 (x 2  4) 2 dx  16 arc tg ( 2 )  8 (x 2  4)  C

1 z 2



31.

z  tg β  β  arc tg z

Hacemos :

9

 (x 2  4) 2 dx  16 arc tg ( 2 )  16 (

dθ

dz  cos θ dθ dx dz (x 2  1) x 2  2

2x 2  1

 (x 2  4) 2 dx  16 θ  16 sen θ cos θ  C

dθ

dz  sec β dβ

dx (2x  1) x 2  1 2

2

  30.

dx (x 2  1) x 2  2 dx (x  1) x  2 2

2

2x 2  1

 (x 2  4) 2 Hacemos :



2

sec β 1  tg β 2

dβ  

2

sec β sec 2 β

dβ   dβ  β  C  arc tg z  C

 arc tg ( sen θ )  C  arc tg (

x 2 )C x

x x  2 tg θ  θ  arc tg ( ) 2



dx

2 2

θ dθ ) 

2x  1

 

1 1  cos 2θ 1 1  cos 2θ 2  (x 2  4) 2 dx   sen θ dθ  8  cos θ dθ   2 dθ  8  2 dθ 2

dx 

1 1 1 1 9 7 θ  sen 2θ  θ  sen 2θ  C  θ  sen 2θ  C 2 4 16 32 16 32



(2 tg 2 θ  1) tg 2 θ  1

2

2

sec θ 2

dθ  

dθ  

sec 2 θ (2 tg 2 θ  1) sec θ

cos θ 2 sen θ  cos θ 2

2

dθ  

dθ

cos θ sen 2 θ  1

dθ



dz  sec 2 β dβ

1 ( 8 tg 2 θ  1 ) sec 2 θ dθ 8 ( tg 2 θ  1 ) 2

1 ( 8 tg 2 θ  1 ) sec 2 θ 1 8 tg 2 θ  1 dx  dθ  dθ  (x 2  4) 2 8 8  sec 2 θ sec 4 θ 2



sec 2 θ

z 2 1 (2x 2  1) x 2  1 Hacemos : z  tg β  β  arc tg z

2x 2  1

 (x 2  4) 2

(2x 2  1) x 2  1





dx  2 sec θ dθ

2x 2  1

dx

2 tg θ  1 (2x  1) x  1 Hacemos : z  sen θ dz  cos θ dθ dx dz

x2  4

x

2

2 ( 2 tg θ ) 2  1

 1

2

dx

2x 2  1

x 2 1

x

dx  sec 2 θ dθ



 (x 2  4) 2 dx   [( 2 tg θ ) 2  4] 2 ( 2 sec

x  tg θ  θ  arc tg x

Hacemos :

32.

dx (2x 2  1) x 2  1 dx (2x  1) x  1 2



2

3x arc sen x (1  x 2 ) 5

dx



sec 2 β tg 2 β  1

dβ  

sec 2 β sec 2 β

dβ   dβ  β  C  arc tg z  C

 arc tg ( sen θ )  C  arc tg (

x x 1 2

)C

49

u  arc sen x

Hacemos :

du 

 

3x arc sen x (1  x 2 ) 5 3x arc sen x (1  x )

2 5

dx  dx 

dv 

dx

(1  x 2 ) 3 arc sen x (1  x )

2 3

(1  x 2 ) 5

 

dx Hacemos :

1

v 

1 x 2 arc sen x

3x

(1  x 2 ) 3 dx



(1  x 2 ) 4 dx (1  x 2 ) 2



1 Hacemos :

x  sen θ  θ  arc sen x dx  cos θ dθ



3x arc sen x



3x arc sen x

(1  x )

2 5

(1  x )

2 5

dx  dx 

arc sen x (1  x )

2 3

arc sen x (1  x )

2 3

 

x

 1 x

cos θ ( 1  sen θ ) 2

dθ 3

cos θ



2

arc sen x

dθ 

(1  x )

2 3

arc sen x (1  x )

2 3



2



cos θ 4

cos θ

dθ

  sec 3 θ dθ I

I   sec θ dθ 3

1 1 I  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 3x arc sen x arc sen x 1 1 dx   Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C  2 5 2 3 2 2 (1  x ) (1  x )

  33.

3x arc sen x

1 dx   Ln 2 5 2 3 2 (1  x ) (1  x )

3x arc sen x (1  x 2 ) 5



x 3

arc sen x

dx 

2

x x 4 4

dx

arc sen x (1  x 2 ) 3



1 Ln 2

1

1 1 x   ( )( )C 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 1 x 2

x



x 2 (1  x 2 )

  

x2 3 x x4 4 x2 3 x x 4 4

x2 3 x x 4 4

x2 3 x x4 4 x2 3 x x4 4 x2 3 x x4 4

34. I  

I

 x2  θ  arc sec ( ) x  2 sec θ  2  x  2 sec θ  sec θ tg θ dx  dθ 2 sec θ 2

dx  

2 sec θ  3

I

dθ

1 ( 2 sec θ  3 ) sec θ tg θ 1 ( 2 sec θ  3 ) sec θ tg θ dθ   dθ 4  sec θ sec 2 θ  1 4 sec θ tg θ

dx 

1 1 3 ( 2 sec θ  3 ) dθ   sec θ dθ   dθ 4 2 4

dx 

1 3 Ln sec θ  tg θ  θ  C1 2 4

dx 

1 x2 x4 4 3 x2 Ln   arc sec ( )  C 2 2 2 4 2

dx 

1 3 x2 Ln x 2  x 4  4  arc sec ( )  C 2 4 2 x

(x  2) x 4  4x 2  5

x (x 2  2) (x 2  2) 2  1

dx

dx

x2  2  tg θ x dx 

C

2 sec θ

dx 

2

Hacemos :

 2

sec θ tg θ

2 sec θ ( 2 sec θ ) 2  4

x2

x4 4

1 sec 2 θ 2 tg θ tg 2 θ  1

1 sec 2 θ dθ 2

dθ 

x 4  4x 2  5

x2  2

 1

1 sec 2 θ 1 sec θ 1 dθ   dθ   csc θ dθ  2 tg θ sec θ 2 tg θ 2

50

I

1 1 Ln csc θ  ctg θ  C  Ln 2 2

I

1 Ln 2



35.



x 4  4x 2  5  1 x2 2

 4x 2  12x  5  4x 2  12x  5

2

x 2 2



1 x 2 2



C

dx



dx  

x2 4  (2x  3) 2



1 ( 2 sen θ  3 ) 2 cos θ 1 dx   dθ   ( 2 sen θ  3 ) 2 dθ 2 8 cos θ 8  4x  12x  5 x2 x2  4x 2  12x  5

dx 

x2  4x  12x  5 2

x2  4x 2  12x  5 x2  4x  12x  5 2

dx 

11 1 3 θ  sen θ cos θ  cos θ  C 8 4 2

dx 

11 2x  3 1 2x  3  4x 2  12x  5 3  4x 2  12x  5 arc sen ( ) ( )( ) ( )C 8 2 4 2 2 2 2

dx 

11 2x  3 1 3 arc sen ( )  (2x  3)  4x 2  12x  5   4x 2  12x  5  C 8 2 16 4

x2  4x  12x  5 2

dx 

11 2x  3 1 arc sen ( )  4x 2  12x  5 (2x  9)  C 8 2 16

dx

2 2x  3  2x  3 θ  arc sen ( 2 ) Hacemos : 2x  3  2 sen θ   x  2 sen θ  3 2   4x  12x  5 2 dx  cos θ dθ 2 sen θ  3 2 ( ) cos θ x2 1 ( 2 sen θ  3 ) 2 cos θ 2 dx  dθ  dθ   8  4x 2  12x  5 4  ( 2 sen θ ) 2 1  sen 2 θ





C



x2 x2

x  4x  5 4

1 ( 4 sen 2 θ  12 sen θ  9 ) dθ 8

x2

36.

x2

 (x 2  4) 3 dx Hacemos :

x x  2 tg θ  θ  arc tg ( ) 2

x2  4

x



dx  2 sec 2 θ dθ

2

( 2 tg θ ) 2

x2

 (x 2  4) 3 dx   [ ( 2 tg θ ) 2  4 ]3 ( 2 sec x2

 (x 2  4) 3

dx 

2

θ dθ ) 

1 tg 2 θ sec 2 θ dθ 8  ( tg 2 θ  1 ) 3

1 tg 2 θ sec 2 θ 1 tg 2 θ 1 dθ  dθ   sen 2 θ cos 2 θ dθ   6 4 8 8 sec θ 8 sec θ

x2

1

1  cos 2θ 1  cos 2θ 1 )( ) dθ  ( 1  cos 2 2θ ) dθ  2 2 32

x2

1

1  cos 4θ 1 1 ) dθ  dθ  cos 4θ dθ 2 64  64 

x2

1

x2

1

 (x 2  4) 3 dx  8  (



1 3 9 dx   sen 2 θ dθ   sen θ dθ   dθ 2 2 2 8  4x  12x  5

 (x 2  4) 3 dx  32  ( 1 



x2

1 1  cos 2θ 3 9 dx   dθ   sen θ dθ   dθ 2 2 2 8  4x 2  12x  5

 (x 2  4) 3 dx  64 θ  256 sen 4θ  C  64 θ  64 sen θ cos θ ( cos

x2

 (x 2  4) 3 dx  64 arc tg ( 2 )  64 (

 

1 1 3 9 dx  θ  sen 2θ  cos θ  θ  C 4 8 2 8  4x 2  12x  5 x2

11 1 3 dx  θ  sen 2θ  cos θ  C 2 8 8 2  4x  12x  5

x2

 (x 2  4) 3

dx 

1

1

x

1

x x2  4

1

)(

2 x2  4

)(

4 x2  4

2



θ  sen 2 θ )  C x2 x2  4

)C

x (4  x 2 ) x (x 2  4) 1 x 1 x arc tg ( )  C  arc tg ( )  C 64 2 32 (x 2  4) 2 64 2 32 (x 2  4) 2

51

37.

 (9  x 2 ) 3 3

x Hacemos : x  3 sen θ  θ  arc sen ( ) 3 dx  3 cos θ dθ

dx 1 dθ 1 5  (9  x 2 ) 3  243  cos 5 θ  243  sec θ

 9 x2

dθ

I

I   sec θ dθ 5

I  4 6x  x 2  8  35  csc θ dθ  24  dθ  72  csc θ dθ

1 3 3 sec 3θ tg θ  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  C1 (Idem Prob. 6 - Int. por partes) 4 8 8 dx 1 1 3 3 3  (9  x 2 ) 3  243 ( 4 sec θ tg θ  8 sec θ tg θ  8 Ln sec θ  tg θ  C1 ) dx 1 1 1 3  (9  x 2 ) 3  972 sec θ tg θ  648 sec θ tg θ  648 Ln sec θ  tg θ  C

I

dx



1 972

(

3 9x

3

) ( 2

x 9x

1

) 2

(

648

3 9x

)( 2

x 9x

dx x x 1  (9  x 2 ) 3  36 (9  x 2 ) 2  216 (9  x 2 )  648 Ln 38. I  

I

4x 2  1 (x  3) 6x  x 2  8

) 2

1 648

x 3 9 x2

3

Ln

9x

 2

x 9x

2 (x  3) (6  2x)  (35  24x)

I  4 6x  x 2  8  37  csc θ dθ  24  dθ I  4 6x  x 2  8  37 Ln csc θ  ctg θ  24θ  C

C

I  4 6x  x 2  8  37 Ln

1 6x  x 2  8   24 arc sen (x  3)  C x 3 x 3

I  4 6x  x 2  8  37 Ln

1  6x  x 2  8  24 arc sen (x  3)  C x 3

2

C



39.



dx

dx

(x  3) 6x  x 2  8 6  2x dx x I  2  dx  35   24  dx 2 2 6x  x  8 (x  3) 6x  x  8 (x  3) 6x  x 2  8 dx x I  4 6x  x 2  8  35   24  dx (x  3) 1  ( x  3) 2 (x  3) 1  ( x  3) 2

1

x 3

 6x  x 2  8 6x  x 2  8 ctg θ  x 3 ( sen θ  3 ) cos θ cos θ I  4 6x  x 2  8  35  dθ  24  dθ sen θ 1  sen 2 θ sen θ 1  sen 2 θ ( sen θ  3 ) cos θ cos θ I  4 6x  x 2  8  35  dθ  24  dθ sen θ cos θ sen θ cos θ dθ sen θ  3 I  4 6x  x 2  8  35   24  dθ sen θ sen θ

x

dx 3 cos θ 1 cos θ 1 cos θ  (9  x 2 ) 3   [ 9  ( 3 sen θ ) 2 ]3 dθ  243  ( 1  sen 2 θ ) 3 dθ  243  cos 6 θ dθ

 (9  x 2 ) 3

x 3  sen θ  θ  arc sen (x  3) dx  cos θ dθ 1 csc θ  x 3

Hacemos :

dx

e 2x (e 2x  2e x  5) 3

e 2x (e 2x  2e x  5) 3

dx

dx  

e 2x

e x  1  2 tg θ  θ  arc tg (

Hacemos :

dx

[ (e x  1) 2  4 ]3/2

e x 1 ) 2

e x dx  2 sec 2 θ dθ



e

2x

(e 2x  2e x  5) 3

dx  

e 2x  2e x  5

e x 1

 2

( 2 tg θ  1 ) ( 2 sec θ ) 2

[ ( 2 tg θ ) 2  4 ]3/2

dθ 

1 ( 2 tg θ  1 ) sec 2 θ dθ 4  ( tg 2 θ  1 ) 3/2

52

    

e

2x

(e 2x  2e x  5) 3 e 2x (e 2x  2e x  5) 3

dx 

1 ( 2 tg θ  1 ) sec θ 1 2 tg θ  1 dθ   dθ 3 4 4 sec θ sec θ

dx 

1 1 1 ( 2 sen θ  cos θ ) dθ   sen θ dθ   cos θ dθ  4 2 4

2

e 2x (e 2x  2e x  5) 3 e (e

2x

2x

 2e  5) x

3

dx  

2

16 cos x sen x (20  8 sen x cos x  19 sen x) 2

e 5

dx  4 e

2x

 2e  5 x

senh 2x (2 cosh x  3 senh 2 x  2 cosh x) 3/2 2

2

I (

cos 4 x 20  8 sen x cos x  19 sen 2 x cos 2 x

dx   )

5/2

16 tg 2 x sec 2 x

I

[ 20 (tg 2 x  1)  8 tg x  19 tg 2 x ]5/2 Hacemos : z  tg x

dx

3/2

dx  

dx  

cos 5 x dx (20  8 sen x cos x  19 sen 2 x) 5/2

16 sen 2 x

C

2 senh x cosh x 2

5/2

cos 5 x

2 senh x cosh x

[ 2 cosh x  3 (cosh x  1)  2 cosh x ] [  cosh 2 x  2 cosh x  3 ]3/2 2 senh x cosh x I dx [ 4  (cosh x  1) 2 ]3/2 Hacemos : cosh x  1  2 sen θ 2 cosh x  1 cosh x  1 θ  arc sen ( )  2 2 2cosh x  3senh 2 x  2coshx senh x dx  2 cos θ dθ 2 ( 2 sen θ  1 ) ( 2 cos θ ) 1 ( 2 sen θ  1 ) cos θ 1 2 sen θ  1 I dθ   dθ   dθ 2 3/2 2 3/2 2 2 [ 4  ( 2 sen θ ) ] ( 1  sen θ ) cos 2 θ

I

I

1 2 1 e x 1 ( ) ( )C 2 e 2x  2e x  5 4 e 2x  2e x  5 x

dx

(20  4 sen 2x  19 sen 2 x) 5/2

1 1 dx   cos θ  sen θ  C 2 4 (e 2x  2e x  5) 3

I

I

8 sen 2x sen x

16 cos x sen 2 x

e 2x

40. I  

I

41. I  

1 ( 2 sen θ  1 ) cos θ sen θ 1 1 1 dθ   dθ   sec 2 θ dθ   tg θ  C  3 2 2 2 cos θ 2 cos θ cos θ 2 cosh x  1  C 2 2 2 2 cosh x  3 senh x  2 cosh x 2 2 cosh x  3 senh 2 x  2 cosh x 3  cosh x C 2 2 2 cosh x  3 senh 2 x  2 cosh x

dx

16 tg 2 x sec 2 x (20 sec 2 x  8 tg x  19 tg 2 x) 5/2

dx  

16 tg 2 x sec 2 x ( tg 2 x  8 tg x  20 ) 5/2

dx

dx

dz  sec 2 x dx z2 z2 I  16  dz  16  dz (z 2  8z  20) 5/2 [ (z  4) 2  4 ]5/2 z4

Hacemos :

z4

 θ  arc tg ( )  2 tg θ  2 z  2 tg θ  4

z 2  8z  20

z4



dz  2 sec 2 θ dθ ( 2 tg θ  4 ) 2 ( 2 sec 2 θ ) ( tg θ  2 ) 2 sec 2 θ I  16  dθ  4  dθ [ ( 2 tg θ ) 2  4 ]5/2 ( tg 2 θ  1 ) 5/2

I4

( tg θ  2 ) 2 sec 2 θ sec 5 θ

dθ  4 

( tg θ  2 ) 2 sec 3 θ

dθ  4 

tg 2 θ  4 tg θ  4

I  4  sen 2 θ cos θ dθ  16  cos 2 θ sen θ dθ  16  cos 3 θ dθ 4 16 sen 3 θ  cos 3 θ  16  cos 3 θ dθ 3 3 4 16 3 I  sen θ  cos 3 θ  16  ( 1  sen 2 θ ) cos θ dθ 3 3 4 16 16 I  sen 3 θ  cos 3 θ  16 sen θ  sen 3 θ  C 3 3 3 I

2

sec 3 θ

dθ

53

16 16 I  4 sen θ  cos 3 θ  16 sen θ  C  4 sen θ (sen 2 θ  4)  cos 3 θ  C 3 3 3

I  4 ( I I

42.

z4 z  8z  20 2

)[

(z  4)

2

z  8z  20 2

 4] 

16 2 ( )3  C 2 3 z  8z  20

(z  4) 2

4z  16

dx 1  (x  1) (x 2  2x  5) 2  32 Ln

[  4]  C 2 3 (z 2  8z  20) 3/2 z 2  8z  20 z  8z  20 4 tg x  16

(tg x  4) 2

[  4]  C 2 3 (tg 2 x  8 tg x  20) 3/2 tg 2 x  8 tg x  20 tg x  8 tg x  20

 (x  1) (x 2  2x  5) 2   (x  1) [ (x  1) 2  4 ] 2 x 1  2 tg θ 

Hacemos :

 (x  1) (x 2  2x  5) 2 dx

 (x  1) (x 2  2x  5) 2

 

x 2  2x  5

x 1



(x  1) 2 1 1 Ln  C 2 2 32 x  2 x  5 8 (x  2 x  5)

Hacemos :

( 2 tg θ ) [ ( 2 tg θ ) 2  4 ] 2

dθ 

1 sec 2 θ dθ  16 tg θ ( tg 2 θ  1 ) 2

x2



1 sec 2 θ 1 dθ 1 cos 3 θ d θ   dθ 16  tg θ sec 4 θ 16  tg θ sec 2 θ 16  sen θ

a2  x2 x2



dx 1 ( 1  sen θ ) cos θ dθ  (x  1) (x 2  2x  5) 2  16  sen θ 2

a2  x2 x2



dx 1 cos θ 1  (x  1) (x 2  2x  5) 2  16  sen θ dθ  16  sen θ cos θ dθ

a2  x2 x2



1 1 2  (x  1) (x 2  2x  5) 2  16 Ln sen θ  32 sen θ  C1

a2  x2

dx

x 1 x  2x  5 2



1 x 1 ( ) 2  C1 32 x 2  2 x  5

(x  1) 2 (x  1) 2 1 1  (x  1) (x 2  2x  5) 2  32 Ln x 2  2x  5  32 [ x 2  2x  5 ]  C1 dx

dx

dx a

x x  a sen θ  θ  arc sen ( ) a dx  a cos θ dθ

x

 a  x2 2

2

2 sec 2 θ

dx 1  (x  1) (x 2  2x  5) 2  16 Ln

(x  1) 2 1 1 1 Ln    C1 2 2 32 x  2 x  5 8 (x  2 x  5) 32



dx  2 sec 2 θ dθ

dx



a2  x2

dx

x 1 θ  arc tg ( ) 2

dx

x2



43.

dx

(x  1) 2 1 1 (x 2  2x  5)  4 Ln  [ ]  C1 32 x 2  2 x  5 32 x 2  2x  5

 (x  1) (x 2  2x  5) 2

dx

 (x  1) (x 2  2x  5) 2

1 (x  1) 2  4  4 [ ]  C1 32 x 2  2 x  5



 (x  1) (x 2  2x  5) 2

128

x 2  2x  5



dx

 (x  1) (x 2  2x  5) 2

128

(x  1) 2

x2

 44.

a2  x2



dx  

dx  a 2 

x

a 2  a 2 sen 2 θ

dθ  a 2 

sen 2 θ cos θ 1  sen 2 θ

dθ

sen 2 θ cos θ 1  cos 2θ dθ  a 2  sen 2 θ dθ  a 2  dθ cos θ 2

dx 

a2 1 a2 ( θ  sen 2θ )  C  ( θ  sen θ cos θ )  C 2 2 2

dx 

a2 x x a2  x2 [ arc sen ( )  ( ) ( ) ] C 2 a a a

dx 

a2 x x arc sen ( )  a2  x2 C 2 a 2

dx 2

( a sen θ ) 2 ( a cos θ )

x2 9

54

x

x Hacemos : x  3 sec θ  θ  arc sec ( ) 3 dx  3 sec θ tg θ dθ

x2 9





dx x 4x 2

3

  

dx x2 x2 9 dx



3 sec θ tg θ ( 3 sec θ ) 2 ( 3 sec θ ) 2  9

1

x2 x2 9 dx x2 x2 9

dθ 

  9 1 9

 (

sec θ tg θ

dθ 

2

sec θ tg θ

1 dθ 9  sec θ

x2 9 )C  x



sec θ tg θ 1 dθ  9 sec 2 θ sec 2 θ  1

1

1

  cos θ dθ  sen θ  C 9 9

dx x 4x 2

3 sec θ tg θ sec θ tg θ 1 2  dθ   dθ 3 sec θ sec 2 θ  1 3 3 9 sec θ 4 ( sec θ ) 2  9 2 2 1 sec θ tg θ 1 1 1 2x   dθ   dθ  θ  C  arc sec ( )  C 3 sec θ tg θ 3 3 3 3 9

dx

 x 2  2x  5

47.

dx

dx

 x 2  2x  5   (x  1) 2  4

x2 9 C 9x

x 1  2 tg θ 

Hacemos :



45.

dx

x  5 tg θ  θ  arc tg (

x

 )

5

x2 5

x

   46.

x2 x2 5 dx x2 x2 5 dx x2 x2 5





5 2

5 sec θ ( 5 tg θ ) 2 ( 5 tg θ ) 2  5

1

  5 1 5

sec 2 θ tg 2 θ sec θ





dx  5 sec 2 θ dθ

dx

x 1 ) 2

dx  2 sec 2 θ dθ

x2 x2 5

Hacemos :

θ  arc tg (

dθ  1 5

dθ 

2

1 sec θ dθ 5  tg 2 θ tg 2 θ  1

1 sec θ 1 cos θ 1 dθ   dθ   C 5  tg 2 θ 5 sen 2 θ 5 sen θ

  csc θ  C   (

x2 5 x2 5 )C   C x 5x

1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 dθ  dθ   dθ   2 2 2 2 2 tg θ  1 2 sec θ 2 x  2x  5 ( 2 tg θ )  4 dx 1 1 x 1  θ  C  arc tg ( )C 2 2 2 x  2x  5 2 dx



48.



x2 6x  x 2 x2 6x  x 2

Hacemos :

dx x 4x 2  9

3 2x Hacemos : x  sec θ  θ  arc sec ( ) 2 3 3 dx  sec θ tg θ dθ 2

 

x2 6x  x 2 x2 6x  x 2

2 sec 2 θ



dθ 

dx x2

dx  

9  ( x  3) 2

dx

x 3  ) θ  arc sen ( x 3  3 sen θ  3 x  3 sen θ  3  dx  3 cos θ dθ

dx  

( 3 sen θ  3 ) 2 ( 3 cos θ )

dx  9 

9  ( 3 sen θ ) 2

dθ  9 

3

x 3

 6x  x 2

( sen θ  1 ) 2 cos θ 1  sen 2 θ

( sen θ  1 ) 2 cos θ dθ  9  ( sen θ  1 ) 2 dθ cos θ

dθ

55

x



6x  x 2 x2



6x  x

2

x2



6x  x 2 x2



6x  x 2 x2

 49.

2

6x  x



2

dx 1 x 2



50.

 51.

9 9 θ  sen 2θ  18 cos θ  9θ  C 2 4

dx 

27 9 θ  sen θ cos θ  18 cos θ  C 2 2

dx 

27 x 3 9 x 3 6x  x 2 6x  x 2 arc sen ( ) ( )( )  18 ( )C 2 3 2 3 3 3

dx 

27 x 3 1 arc sen ( )  ( x  3) 6x  x 2  6 6x  x 2  C 2 3 2

52.



dx 9 x2 dx 9 x2

dx

x x 2 1 Hacemos : x  sec θ  θ  arc sec x

dx  sec θ tg θ dθ



dx x x 2 1



sec θ sec 2 θ  1

dθ  

dx

x x  5 tg θ  θ  arc tg ( ) 5

dx

 25  x 2 dx

 25  x 2



54.



5 sec 2 θ

dθ 

25  25 tg 2 θ 1 x  arc tg ( )  C 5 5

1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 1 dθ  dθ   dθ  θ  C   2 2 5 1  tg θ 5 sec θ 5 5

dx x x 2 16

x x  4 sec θ  θ  arc sec ( ) 4 dx  4 sec θ tg θ dθ 4 sec θ tg θ sec θ tg θ dx 1  dθ   dθ 4 sec θ sec 2 θ  1 x x 2  16 4 sec θ 16 sec 2 θ  16 dx 1 sec θ tg θ 1 1 1 x   dθ   dθ  θ  C  arc sec ( )  C 4 4 4 4 x x 2  16 4 sec θ tg θ

Hacemos :

 

dx

 1 x 2 Hacemos :

55. Comprobar que si a  0 entonces : x  tg θ  θ  arc tg x dx  sec 2 θ dθ

sec θ tg θ dθ   dθ  θ  C  arc sec x  C sec θ tg θ

dx  5 sec 2 θ dθ

x  sen θ  θ  arc sen x dx  cos θ dθ cos θ cos θ  dθ   dθ   dθ  θ  C  arc sen x  C 2 cos θ 1  sen θ

x x  3 sen θ  θ  arc sen ( ) 3 dx  3 cos θ dθ 3 cos θ cos θ cos θ  dθ   dθ   dθ   dθ  θ  C 2 2 cos θ 9  9 sen θ 1  sen θ x  arc sen ( )  C 3

sec θ tg θ

 25  x 2

53.

Hacemos :

9 x2

2

dx sec θ sec θ  1  x 2   1  tg 2 θ dθ   sec 2 θ dθ   dθ  θ  C  arc tg x  C

dx

Hacemos :



dx 

2

1  cos 2θ  2 sen θ  1 ) dθ 2

dx

1 x 2 Hacemos :



dx  9  ( sen 2 θ  2 sen θ  1 ) dθ  9  (



dx a2  x2

x a

 arc sen ( )  C

56



dx a2  x2

Hacemos :

 

dx a2  x2 dx a2  x2



58. x x  a sen θ  θ  arc sen ( ) a dx  a cos θ dθ a cos θ cos θ cos θ  dθ   dθ   dθ   dθ cos θ a 2  a 2 sen 2 θ 1  sen 2 θ x  θ  C  arc sen ( )  C a

56. Comprobar que si a  0 entonces :

 

dx

x x  a tg θ  θ  arc tg ( ) a

 a2  x2 dx

 a2  x2

1 tg θ  θ  arc tg 2x 2 1 dx  sec 2 θ dθ 2 1 sec 2 θ dx 1 sec 2 θ 1 1 1 2  dθ  dθ   dθ  θ  C  arc tg 2x  C  1  4x 2  1  tg 2 θ  2 2 sec θ 2 2 2

1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 d θ  dθ   dθ   2 2 2 2 2 a 1  tg θ a sec θ a a  a tg θ 1 1 x  θ  C  arc tg ( )  C a a a



a sec 2 θ

dθ 

57. Comprobar que si a  0 entonces :



dx

Hacemos :

dx  a sec 2 θ dθ

dx



dx x x2 a2

1 a

x a

 arc sec ( )  C

dx



60.

x x2 a2 x x  a sec θ  θ  arc sec ( ) a dx  a sec θ tg θ dθ a sec θ tg θ sec θ tg θ dx 1  dθ   dθ 2 2 2 2 2 a x x a a sec θ a sec θ  a sec θ sec 2 θ  1 dx 1 sec θ tg θ 1 1 1 x   dθ   dθ  θ  C  arc sec ( )  C 2 2 a sec θ tg θ a a a a x x a



 

x

dx 16  9x 2 4 3x sen θ  θ  arc sen ( ) 3 4 4 dx  cos θ dθ 3 4 cos θ dx 1 cos θ 1 cos θ 1 3  dθ   dθ   dθ   dθ 3 1  sen 2 θ 3 cos θ 3 16  9x 2 16  16 sen 2 θ dx 1 1 3x  θ  C  arc sen ( )  C 3 3 4 16  9x 2

Hacemos :

Hacemos :



1 x  sec θ  θ  arc sec 3x 3 1 dx  sec θ tg θ dθ 3 1 sec θ tg θ sec θ tg θ sec θ tg θ dx  3 dθ   dθ   dθ 1 sec θ tg θ x 9x 2  1 sec θ sec 2 θ  1 sec θ sec 2 θ  1 3 dx   dθ  θ  C  arc sec 3x  C x 9x 2  1

 1  4x 2

59.

Hacemos :

x 9x 2 1

Hacemos :

dx 1 x  a 2  x 2  a arc tg ( a )  C

 a2  x2

dx

x

57

61.

dx

x

x 2  2 tg θ 

Hacemos :

θ  arc tg (

x2 ) 2

Hacemos :

dx  2 sec 2 θ dθ 2

62.

dz

z

2

dx 2 sec θ 1 sec θ 1 sec θ 1  4  (x  2) 2   4  4 tg 2 θ dθ  2  1  tg 2 θ dθ  2  sec 2 θ dθ  2  dθ

 6  (3  2x 2 ) 2 dx  4  6  6 tg 2 θ dθ  4

dx 1 1 x2  4  (x  2) 2  2 θ  C  2 arc tg ( 2 )  C

 6  (3  2x 2 ) 2 dx  4

x

x

1

2x

64.

z  x2

Hacemos :

Hacemos :

z

x

 5 tg θ  θ  arc tg (

z

)

 5  x 4 dx  2

5

 dθ  2

1 5

θC 

1 2 5

x

1

z  3  2x 2 dz  4x dx

4 6

6

3  2x 2

1

arc tg (

4 6

z

)C

6

)C

6

arc tg (

 tg x dz  sec 2 x dx z

sec 2 x

1

z 5

sec 2 θ

 sec 2 θ

)C 

1 2 5

Hacemos :

dθ

arc tg (

x2 5

)C

z

4x

dz

 3 tg θ  θ  arc tg (

z

)

3

dz  3 sec 2 θ dθ sec 2 x

3 sec 2 θ

1

 6  2 tg 2 x dx  2  3  3 tg 2 θ dθ  2  6  2 tg 2 x dx  2

 6  (3  2x 2 ) 2 dx  4  6  (3  2x 2 ) 2 dx Hacemos :

arc tg (

θC 

sec 2 θ

dθ  6 sec 2 θ

sec 2 x

1

sec 2 x

 6  (3  2x 2 ) 2 dx x

1

1

1

 6  2 tg 2 x dx  2  3  z 2

5

1 5 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 d θ  dθ    2 2 2 5  5 tg θ 2 5 1  tg θ 2 5 1

 dθ  4 6

sec 2 θ

dθ   6 1  tg 2 θ 4

 6  2 tg 2 x dx

Hacemos :

dz  5 sec θ dθ

 5 x4

1

1

sec 2 x

sec 2 x

2

dx 

)

6

 6  2 tg 2 x dx  2  3  tg 2 x dx

dz  2x dx x 1 dz  5  x 4 dx  2  5  z 2

x

dx 

 6  (3  2x 2 ) 2

 5  x 4 dx

6 sec 2 θ

1

x

x

x

z

 6 tg θ  θ  arc tg (

dz  6 sec 2 θ dθ 2

 5  x 4 dx  2  5  (x 2 ) 2 dx

63.

1

 6  (3  2x 2 ) 2 dx  4  6  z 2

 4  (x  2) 2

sec 2 x

 6  2 tg 2 x dx  2

1

 dθ  2 3

1

arc tg ( 3

1 3

tg x 3

1

θC  )C

sec 2 θ

dθ   3 1  tg 2 θ 2 1 2 3

arc tg (

z 3

1

sec 2 θ

dθ  3 sec 2 θ

)C

58



65.



x

9 x4 x 1 2x dx   dx 2 9 x4 9  (x 2 ) 2

Hacemos :



x 9 x4

Hacemos :

  V.

Hacemos :

dx

x 9 x4 x 9 x4

z x

 

dz  2x dx 1 dz dx   2 9  z2

3.

z θ  arc sen ( ) 3





dz  3 cos θ dθ 1 3 cos θ 1 cos θ 1 cos θ dx   dθ   dθ   dθ 2 2 2 2 2 cos θ 9  9 sen θ 1  sen θ dx 

dx

3

dx (2x  1) (2x  3)

 3 [

 4x 2  4x  3 2.

3 8

 Ln

2

2x  1 C 2x  3

x 2  6x  18

1/4 1/4  ] dx 2x  1 2x  3

 4.





x 2  6x  18 2 dx x 2  6x  18 2 dx x  6x  18 2

dx

dx ( x  3) 2  9 x 3 θ  arc tg ( ) 3

dx



2

3 sec 2 θ 9 tg 2 θ  9

x 2  6x  18

x 3

 3

dθ  2 

sec 2 θ tg 2 θ  1

 2 Ln sec θ  tg θ  C1  2 Ln

dθ  2 

sec 2 θ dθ  2  sec θ dθ sec θ

x 2  6x  18 x  3   C1 3 3

 2 Ln x  3  x 2  6x  18  C

5 dx  x 2  8x  12 5 dx  x 2  8x  12

Hacemos :

 x 2  2x  10   (x  1) 2  9

2

x 3  3 tg θ 

2 dx

dx

 x 2  2x  10

dθ 

dx  3 sec θ dθ

 3

3 sec 2 θ

2



(2x  1)  4 3 dx 3 2 dx 3 2 dx 3 3  4x 2  4x  3  8  2x  1  8  2x  3  8 Ln 2x  1  8 Ln 2x  3  C 3 dx

x 2  6x  18 2 dx

1 1 1 z 1 x dθ  θ  C  arc sen ( )  C  arc sen ( )  C 2 2 2 3 2 3

 4x 2  4x  3  4x 2  4x  3



2 dx

Hacemos :

3 dx

3 dx

x 1 ) 3

1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 dθ  dθ   dθ   2 2 2 2 3 tg θ  1 3 sec θ 3 x  2x  10 9 tg θ  9 dx 1 1 x 1  θ  C  arc tg ( )C 2 3 3 x  2x  10 3 dx

2

INTEGRALES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO

1.

θ  arc tg (

dx  3 sec 2 θ dθ

2

z  3 sen θ 

x 1  3 tg θ 

5

dx 4  ( x  4) 2

x 4  2 sen θ  θ  arc sen (

x4 ) 2

dx  2 cos θ dθ 2 cos θ cos θ cos θ 5 dθ  5  dθ  5  dθ 2 2 2 cos θ  x  8x  12 4  4 sen θ 1  sen θ

5 dx

59

 5.

x4  5  dθ  5θ  C  5 arc sen ( )C 2  x 2  8x  12 5 dx

Hacemos :

dx 

3x  5

 x 2  6x  18 dx  



3 (2x  6)  14 3 2x  6 dx dx   2 dx   dx  14  2 2 2 2 2 x  6x  18 x  6x  18 x  6x  18 x  6x  18 3x  5 3 dx 2 dx  Ln ( x  6x  18 )  14  2 x 2  6x  18 ( x  3) 2  9 3x  5

Hacemos :

x 3  3 tg θ 

θ  arc tg (

 

x 3 ) 3



dx  3 sec 2 θ dθ

3x  5

 x 2  6x  18

dx 

3x  5

3 3 sec 2 θ Ln ( x 2  6x  18 )  14  dθ 2 9 tg 2 θ  9 3

 x 2  6x  18 dx  2 Ln ( x    6.

   

3x  5

2

 6x  18 ) 

2

14 sec θ dθ 3  tg 2 θ  1

9x  6x  3 2

 7.

 

dx

2 7 (18x  6)  3 dx dx   9 2 2 9x  6x  3 9x  6x  3 1  4x 2 18x  6 7 dx dx    dx   9 3 9x 2  6x  3 9x 2  6x  3 9x 2  6x  3 1  4x 4 7 dx dx   9x 2  6x  3   9 3 9x 2  6x  3 (3x  1) 2  4 1  4x



2

3 14 sec θ dx  Ln ( x 2  6x  18 )   dθ 2 2 3 sec 2 θ x  6 x  18 3x  5 3 14 3 14 dx  Ln ( x 2  6x  18 )   dθ  Ln ( x 2  6x  18 )  θ  C 2 2 3 2 3 x  6 x  18 3x  5 3 14 x3 dx  Ln ( x 2  6x  18 )  arc tg ( )C 2 2 3 3 x  6 x  18

1  4x





 

 2 sec θ  θ  arc sec (

3x  1

3x  1 ) 2

2 sec θ tg θ dθ 3

3x  1

9x 2  6x  3

2 sec θ tg θ 3 dθ 4 sec 2 θ  4 sec θ tg θ dθ sec 2 θ  1 1  4x 4 7 sec θ tg θ dx   9x 2  6x  3   dθ 2 9 9 tg θ 9x  6x  3 1  4x 4 7 dx   9x 2  6x  3   sec θ dθ 2 9 9 9x  6x  3

 2

1  4x

4 7 dx   9x 2  6x  3   9 3 9x 2  6x  3 1  4x 4 7 dx   9x 2  6x  3   2 9 9 9x  6x  3

1  4x 9x  6x  3 2

1  4x 9x 2  6x  3 1  4x 9x  6x  3 2

dx  

4 7 9x 2  6x  3  Ln sec θ  tg θ  C1 9 9

dx  

4 7 3x  1 9x 2  6x  3 9x 2  6x  3  Ln   C1 9 9 2 2

dx  

4 7 9x 2  6x  3  Ln 3x  1  9x 2  6x  3  C 9 9

2x x 2  10x  21 2x x 2  10x  21 2x

dx

dx  



1 (2x  10)  7 2 dx

x 2  10x  21 1 2x  10 dx dx    dx  7  2 2 2 2 x  10x  21 x  10x  21 x  10x  21 2x dx dx   x 2  10x  21  7  2 x  10x  21 ( x  5) 2  4

Hacemos :

x 5  2 sec θ  θ  arc sec ( dx  2 sec θ tg θ dθ

x 5 ) 2

x 5

x 2  10x  21

 2

60

       8.

x  10x  21 2x

2 sec θ tg θ

dx   x 2  10x  21  7 

dθ

4 sec θ  4 sec θ tg θ dx   x 2  10x  21  7  dθ x 2  10x  21 sec 2 θ  1 sec θ tg θ 2x dx   x 2  10x  21  7  dθ tg θ x 2  10x  21 2x dx   x 2  10x  21  7  sec θ dθ 2 x  10x  21 2x dx   x 2  10x  21  7 Ln sec θ  tg θ  C1 2 x  10x  21 2

2x

2

x5 x 2  10 x  21 dx   x  10x  21  7 Ln   C1 2 2 x 2  10x  21 2

2x

dx   x  10x  21  7 Ln x  5  x  10x  21  C 2

x 2  10x  21

2

4  5x



 

4  5x 4/3 11/3 4 dx 11 dx dx   [  ] dx     x (x  3) x x 3 3 x 3 x3 4  5x 4 11 dx  Ln x  Ln x  3  C x (x  3) 3 3

3 e 2x  4 e x 4 e x  e 2x  3 3 e 2x  4 e x 4 e x  e 2x  3

Hacemos :

dx  

( 3ex  4 ) ex 4 e x  e 2x  3

3e

4e

4 e x  e 2x  3

4e e x

  

dx  

4e e x

4z  z 2  3

dz  

2x

3

3 e 2x  4 e x 4e e x

3e

2x

4e e 3e

2x

4e e 3e

10. I  

I

2x

4e

4e e x

2x

4e

x

2x

2x

4e

x

dx  

3 4  2z dz dz  2  2  4z  z 2  3 4z  z 2  3

dx  3 4z  z 2  3  2 

dz 1  (z  2) 2

z  2  sen θ  θ  arc sen (z  2) dz  cos θ dθ

3 e 2x  4 e x

2x

3 x

3 x

3 x

3

dx  3 4z  z 2  3  2  dx  3 4z  z 2  3  2 

cos θ 1  sen 2 θ

dθ

cos θ dθ  3 4z  z 2  3  2  dθ cos θ

dx  3 4z  z 2  3  2θ  C dx  3 4z  z 2  3  2 arc sen (z  2)  C dx  3 4 e x  e 2x  3  2 arc sen (e x  2)  C

senh x  3 cosh x cosh x ( 6 senh 2 x  senh 2x  5 )

dx

senh x  3 cosh x cosh x ( 6 senh 2 x  2 senh x cosh x  5 ) senh x  3 cosh x

dx

cosh 3 x dx cosh x ( 6 senh 2 x  2 senh x cosh x  5 ) cosh 3 x

I 3z  4

3

2x

Hacemos :



3

2x

3 e 2x  4 e x

dx

z  ex

x

4e e x

I

dz  e dx





3 e 2x  4 e x

dx

x

2x





 x (x  3) dx 

9.

2x



3 (4  2z)  2 2 dz 4z  z 2  3

I

( tgh x  3 ) sech 2 x 6 tgh 2 x  2 tgh x  5 sech 2 x ( tgh x  3 ) sech 2 x tgh 2 x  2 tgh x  5

dx

dx  

( tgh x  3 ) sech 2 x 6 tgh 2 x  2 tgh x  5 ( 1  tgh 2 x )

dx

Hacemos :

61

z  tgh x

dz  sech x dx 1 (2z  2)  2 z3 1 2z  2 dz I dz   2 dz   dz  2  2 2 2 2 2 z  2z  5 z  2z  5 z  2z  5 z  2z  5 1 dz I  Ln ( z 2  2z  5 )  2  2 (z  1) 2  4 Hacemos :

z  1  2 tg θ 

θ  arc tg (

z 1 ) 2

dz  2 sec θ dθ

1 2 sec 2 θ 1 sec 2 θ Ln ( z 2  2z  5 )  2  dθ  Ln ( z 2  2z  5 )   dθ 2 2 4 tg 2 θ  4 tg 2 θ  1

1 sec 2 θ 1 Ln ( z 2  2z  5 )   dθ  Ln ( z 2  2z  5 )   dθ 2 2 2 sec θ 1 1 z 1 I  Ln ( z 2  2z  5 )  θ  C  Ln ( z 2  2z  5 )  arc tg ( )C 2 2 2 tgh x  1 1 I  Ln ( tgh 2 x  2 tgh x  5 )  arc tg ( )C 2 2

 



x 2  2x  8 dx 

1 9 (x  1) x 2  2x  8  Ln x  1  x 2  2x  8  C 2 2



x 2  2x  8 dx   (x  1) 2  9 dx

x 1

x  2x  8 2



 3

x 2  2x  8 dx   9 sec 2 θ  9 ( 3 sec θ tg θ dθ )  9  sec 2 θ  1 ( sec θ tg θ dθ )



x 2  2x  8 dx  9  tg 2 θ sec θ dθ  9  ( sec 2 θ  1 ) sec θ dθ



x 2  2x  8 dx  9  sec 3 θ dθ  9  sec θ dθ  9  sec 3 θ dθ  9 Ln sec θ  tg θ I

I   sec 3θ dθ

1 1 Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2

dx 9x  12x  13 9 dx dx  9  2 9x  12x  13 (3x  2) 2  9

3x  2

 3 tg θ

  13.

9 9x 2  12x  13 9 9x 2  12x  13 9 9x 2  12x  13 9 9x  12x  13 2

dx  9 

 3

sec 2 θ 9 tg 2 θ  9

dθ  3 

sec 2 θ tg 2 θ  1

dθ  3 

dx  3  sec θ dθ  3 Ln sec θ  tg θ  C1 dx  3 Ln

9 x 2  12 x  13 3x  2   C1 3 3

dx  3 Ln 3x  2  9x 2  12x  13  C

3

 4x 2  16x  17 dx 3

9x 2  12x  13

3x  2

dx  sec 2 θ dθ



x 1 x 1  3 sec θ  θ  arc sec ( ) 3 dx  3 sec θ tg θ dθ

9

2

Hacemos :



I

9 x 1 x 2  2x  8 9 x 1 x 2  2x  8 ( )( )  Ln   C2 2 3 3 2 3 3



x 2  2x  8 dx

Hacemos :

x 2  2x  8 dx 

12.

I

11.





2

I



1 1 x 2  2x  8 dx  9 ( Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 )  9 Ln sec θ  tg θ 2 2 9 9 2 x  2x  8 dx  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  9C1  9 Ln sec θ  tg θ 2 2 9 9 x 2  2x  8 dx  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  C 2 2 2



2

dx

 4x 2  16x  17 dx  3  (2x  4) 2  1

sec 2 θ dθ sec θ

Hacemos :

62

2x  4  tg θ  θ  arc tg (2x  4)

1 dx  sec 2 θ dθ 2 1 sec 2 θ 3 3 sec 2 θ 3 sec 2 θ 3 2 dx  3 dθ  dθ  dθ   dθ  4x 2  16x  17  tg 2 θ  1   2 2 2 tg θ  1 2 sec θ 2 3 3 3  4x 2  16x  17 dx  2 θ  C  2 arc tg (2x  4)  C



14.

  

4  7x x 2  2x  8 4  7x x 2  2x  8 4  7x



   

x 2  2x  8 4  7x

x  2x  8 2

x 1 x 2  2x  8   C1 3 3

dx  7 x 2  2x  8  11 Ln x  1  x 2  2x  8  C

3  5x

 9x 2  12x  13 dx 5 19 (18x  12)  18 3  9x 2  12x  13 dx   9x 2  12x  13 dx 3  5x 5 18x  12 19 dx  9x 2  12x  13 dx  18  9x 2  12x  13 dx  3  9x 2  12x  13 3  5x 5 19 dx 2  9x 2  12x  13 dx  18 Ln ( 9x  12x  13 )  3  (3x  2) 2  9

7 (2x  2)  11 2 dx

x 1  3 sec θ  θ  arc sec (

4  7x

4  7x

dx  7 x 2  2x  8  11 Ln

3  5x

dx  3 sec θ tg θ dθ



15.

x 2  2x  8 7 2x  2 dx dx    dx  11  2 2 2 2 x  2x  8 x  2x  8 x  2x  8 4  7x dx dx  7 x 2  2x  8  11  2 x  2x  8 ( x  1) 2  9

Hacemos :

x 2  2x  8



dx

dx  

4  7x



x 1 ) 3

Hacemos :

dx  7 x  2 x  8  11 

3 sec θ tg θ

3  5x

 9x 2  12x  13

x 1

x 2  2x  8

dx 

3  5x

5 19 sec 2 θ Ln ( 9x 2  12x  13 )   dθ 18 3 9 tg 2 θ  9 5

 9x 2  12x  13 dx  18 Ln ( 9x



2

 12x  13 ) 

5 Ln ( 9x 2  9x 2  12x  13 18 3  5x 5 2  9x 2  12x  13 dx  18 Ln ( 9x 3  5x 5 2  9x 2  12x  13 dx  18 Ln ( 9x 3  5x 5 2  9x 2  12x  13 dx  18 Ln ( 9x

 12x  13 ) 

3  5x

dθ

9 sec 2 θ  9 sec θ tg θ dx  7 x 2  2 x  8  11  dθ 2 x  2x  8 sec 2 θ  1 sec θ tg θ 4  7x dx  7 x 2  2 x  8  11  dθ 2 tg θ x  2x  8 4  7x dx  7 x 2  2 x  8  11  sec θ dθ 2 x  2x  8 4  7x dx  7 x 2  2 x  8  11 Ln sec θ  tg θ  C1 2 x  2x  8

3x  2 ) 3

dx  sec 2 θ dθ

3 2

3x  2  3 tg θ  θ  arc tg (

16.



dx 

2x  x  10x  21 2

dx

19 sec 2 θ dθ 27  tg 2 θ  1

19 sec 2 θ dθ 27  sec 2 θ 19  12x  13 )  dθ 27  19  12x  13 )  θC 27 19 3x  2  12x  13 )  arc tg ( )C 27 3

63

  

1 (2x  10)  7 2x dx   2 dx  x 2  10x  21  x 2  10x  21 2x 1  2x  10 dx dx   dx  7  2  x 2  10x  21  x 2  10x  21  x 2  10x  21 2x dx dx   x 2  10x  21  7   x 2  10x  21 4  ( x  5) 2

Hacemos :

     

2x

x 5  2 sen θ  θ  arc sen ( dx  2 cos θ dθ

 x 2  10 x  21 2x  x  10 x  21 2x 2

 x 2  10 x  21 2x  x 2  10 x  21 2x  x  10 x  21 2x 2

 x  10 x  21

17. I  

I

2

x 5 ) 2

dx   x 2  10x  21  7  dx   x 2 dx   x 2

2 cos θ

Hacemos :

4  4 sen 2 θ cos θ  10x  21  7  dθ 1  sen 2 θ cos θ  10x  21  7  dθ cos θ

dx   x  10x  21  7  dθ

z2 ) 2

z 2  4z  8

z2



dz  2 sec θ dθ 2

2

2 sec θ

I  2 z 2  4z  8  

4 tg 2 θ  4

2

dθ  2 z 2  4z  8  

2

sec θ tg 2 θ  1

dθ

sec 2 θ dθ  2 z 2  4z  8   sec θ dθ sec θ

I  2 z 2  4z  8  Ln sec θ  tg θ  C1 I  2 z 2  4z  8  Ln

z 2  4z  8 z  2   C1 2 2

I  2 z 2  4z  8  Ln z  2  z 2  4z  8  C I  2 sen 2 x  4 sen x  8  Ln sen x  2  sen 2 x  4 sen x  8  C

2

18. I  

dx   x 2  10x  21  7θ  C dx   x 2  10x  21  7 arc sen (

sen 2x  3 cos x

x 5 )C 2

I

dx

9  sen x  cos 2 x 2 sen x cos x  3 cos x

9  4 sen x  (1  sen 2 x)

I

dx  

( 2 sen x  3 ) cos x sen 2 x  4 sen x  8

5 senh x  4 cosh x cosh x ( 9 senh 2 x  6 senh 2x  5 )

dx

5 senh x  4 cosh x cosh x ( 9 senh 2 x  12 senh x cosh x  5 ) 5 senh x  4 cosh x

dx

cosh 3 x dx cosh x ( 9 senh x  12 senh x cosh x  5 ) 2

cosh 3 x

dx

z  sen x dz  cos x dx (2z  4)  1 2z  3 2z  4 dz dz   dz   dz   z 2  4z  8 z 2  4z  8 z 2  4z  8 z 2  4z  8

I

Hacemos : I

(z  2) 2  4

z  2  2 tg θ  θ  arc tg (

I  2 z 2  4z  8  

dθ

dz

I  2 z 2  4z  8  

I

( 5 tgh x  4 ) sech 2 x 9 tgh 2 x  12 tgh x  5 sech 2 x ( 5 tgh x  4 ) sech 2 x

4 tgh 2 x  12 tgh x  5 Hacemos : z  tgh x

dx

dz  sech 2 x dx

dx  

( 5 tgh x  4 ) sech 2 x 9 tgh 2 x  12 tgh x  5 ( 1  tgh 2 x )

dx

64

5 7 (8z  12)  5z  4 2 dz I dz   8 4z 2  12z  5 4z 2  12z  5 5 8z  12 7 dz 5 7 dz I  dz    Ln 4z 2  12z  5   2 2 8 4z  12z  5 2 4z  12z  5 8 2 (2z  3) 2  4

Hacemos :

2z  3 2z  3  2 sec θ  θ  arc sec ( ) 2 dz  sec θ tg θ dθ

dx





I I I I

19.

5 7 sec θ tg θ 5 7 sec θ tg θ Ln 4z 2  12z  5   dθ  Ln 4z 2  12z  5   dθ 8 2 4 sec 2 θ  4 8 8 sec 2 θ  1 5 7 sec θ tg θ 5 7 sec θ Ln 4z 2  12z  5   dθ  Ln 4z 2  12z  5   dθ 2 8 8 8 8 tg θ tg θ



2z  3 4z  12z  5 2

2z  1

1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 1 dθ  dθ   dθ   2 2 2 2 2 tg θ  1 2 sec θ 2 x  4x  8 4 tg θ  4 dx 1 1 x2  θ  C  arc tg ( )C 2 2 2 x  4x  8 2 dx

dx

x 1

 3 tg θ  θ  arc tg (

x 1

)

3

dx  3 sec 2 θ dθ



2 4z  12z  5 2

dx

C

 x 2  2x  4 

I

(2z  1) 2 5 7 Ln 4z 2  12z  5  Ln C 8 16 (2z  1) (2z  5)



I

5 7 2z  1 Ln 4z 2  12z  5  Ln C 8 16 2z  5

Hacemos :

I

2 tgh x  1 5 7 Ln 4 tgh 2 x  12 tgh x  5  Ln C 8 16 2 tgh x  5

C

1/2

C



21.

 



3 sec 2 θ

1

dθ 

sec 2 θ

 3 tg 2 θ  1

dθ 

1

3 tg θ  3 dx 1 1 x 1  θ  C  arc tg ( )C 2 3 3 3 x  2x  4

I

 x 2  4x  8

dx

Hacemos :

(2z  1) 2 5 7 Ln 4z 2  12z  5  Ln 8 8 4z 2  12z  5

dx

dθ 

 x 2  2x  4   (x  1) 2  3

5 7 Ln 4z 2  12z  5  Ln 8 8

4z  12z  5

2 sec 2 θ

dx

I

2



 x 2  2x  4

20.

5 7 Ln 4z 2  12z  5   csc θ dθ 8 8 5 7 Ln 4z 2  12z  5  Ln csc θ  ctg θ  C 8 8 5 7 Ln 4z 2  12z  5  Ln 8 8

x2 ) 2

dx  2 sec 2 θ dθ

2

I

x 2  2 tg θ  θ  arc tg (

Hacemos :

2z  3

4z 2  12z  5

dx

 x 2  4x  8   (x  2) 2  4

2

sec 2 θ

dθ   3 sec 2 θ

1 3

dx 5  4x  x 2 dx

5  4x  x 2



dx 9  ( x  2) 2

x 2  3 sen θ  θ  arc sen ( dx  3 cos θ dθ 3 cos θ

dx 5  4x  x dx

2

5  4x  x

2



9  9 sen θ 2

dθ  

 θ  C  arc sen (

x2 ) 3

cos θ 1  sen θ

x2 )C 3

2

dθ  

cos θ dθ   dθ cos θ

 dθ

65



22.



dx  26  16x  2x dx

 26  16x  2x x 4

Hacemos :

2

Hacemos :

2



1

 2

dx  13  8x  x

2



1

 2

 3 sen θ  θ  arc sen (

x4

dx 3  ( x  4)

dx 

2

dx  26  16x  2x dx



 26  16x  2x 2



23.



2

 

1

 2

3 cos θ

dθ 

3

1

 2

cos θ 2

dθ 

1

cos θ

dθ  2 cos θ



 (x  1) (x  1) 2  9

 5  12x  3x

2



1

 3

dx



 5  12x  3x 2 dx



 5x 2  20x  23 1 dx    20x  23 5 x 2  4x  23 5 dx 1 dx    20x  23 5 (x  2) 2  3 5

1   5

 5  12x  3x

23 5 26.

2

dx



dx (x  2) 2  4 

7

x 2  7

3

dx 5   4x  x 2 3



1

 3

dx 7  ( x  2) 2 3

3 (x  2)

sen θ  θ  arc sen [

 5  12x  3x 2



]

7

cos θ dθ

3 7

dx

 5x 2

 5  12x  3x 2 dx

dx 

1 sec θ tg θ 1 1 1 x 1   dθ   dθ  θ  C  arc sec ( )C  2 3 sec θ tg θ 3 3 3 3 (x  1) x  2x  8

 5x 2

dx

Hacemos :

dx

dx

sec 2 θ dθ

5

dx

x 1 Hacemos : x 1  3 sec θ  θ  arc sec ( ) 3 dx  3 sec θ tg θ dθ 3 sec θ tg θ sec θ tg θ dx 1  dθ   dθ  3 sec θ sec 2 θ  1 (x  1) x 2  2x  8 3 sec θ 9 sec 2 θ  9

24.



25.

(x  1) x 2  2x  8

(x  1) x 2  2x  8

]

3

sec 2 θ 1 1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 5  5x 2  20x  23  5  3 2 3 dθ  15  tg 2 θ  1 dθ  15  sec 2 θ dθ tg θ  5 5 5 ( x  2) dx 1 1 1 ] C  5x 2  20x  23  15  dθ  15 θ  C  15 arc tg [ 3

dx

dx

5 (x  2)

tg θ  θ  arc tg [

dx

3  3 sen θ 1  sen θ 1 1 1 x4 dθ  θC  arc sen ( )C  2 2 2 3 2

3

5

3

)

dx  3 cos θ dθ



3

x 2 



1



1



1

3

3

3

 

(5x  1) 100x 2  40x  5



1

cos θ

3

dθ  7 7 5 3 2 2   4x  x  sen θ 3 3 3 cos θ 1 cos θ 1 dθ  dθ    dθ 2 cos θ 3 3 1  sen θ

θC 

dx

dx

1 3

arc sen [

3 ( x  2) 7

] C

66

 

dx (5x  1) 100x 2  40x  5 dx (5x  1) 100x 2  40x  5

Hacemos :

5x  1 

 

1 2 1 2

dx (5x  1) 25x 2  10x 

5 4

dx 1  6x  12  4x 2   4 

dx (5x  1) (5x  1) 2 

9 4

  27.

dx (5x  1) 100x 2 dx (5x  1) 100x 2 dx (5x  1) 100x 2

3 10x  2 sec θ  θ  arc sec ( ) 2 3

3 sec θ tg θ 1 10   dθ  40x  5 2 3 secθ 9 sec 2 θ  9 2 4 4 sec θ tg θ 1 1 sec θ tg θ   dθ   dθ 15 secθ tg θ  40x  5 15 secθ sec 2 θ  1 1 1 1 10x  2   dθ  θ  C  arc sec ( )C 15 15 15 3  40x  5

 2x 2  x  1 dx

1 dx 1 dx  2x 2  x  1  2  2 1 1  2  1 2 7 x  x (x  )  2 2 4 16



29.



dx 

dx

 2x 2  x  1  dx

 2x 2  x  1 

x2 21  4x  x 2 x2 21  4x  x 2

Hacemos :

1 7 4x  1  tg θ  θ  arc tg ( ) 4 4 7

7 sec 2 θ dθ 4 7 sec 2 θ 1 2 sec 2 θ 2 4 dθ  dθ    2 7 2 7 2 7 tg θ  1 7 tg θ  16 16 2 2 2 4x  1 dθ  θC  arc tg ( )C  7 7 7 7

39 4x  3 tg θ  θ  arc tg ( ) 4 39

3  4

39 sec 2 θ dθ 4 39 sec 2 θ dx 1 1 sec 2 θ 1 sec 2 θ 4   dθ   dθ   dθ  6x  12  4x 2   39 4  39 2 39 tg 2 θ  1 39 sec 2 θ tg θ  16 16 dx 1 1 1 4x  3  6x  12  4x 2   39  dθ   39 θ  C   39 arc tg ( 39 )  C



x

dx 1 dx   3 3 2 39 4 x  x 3 (x  )  2 4 16 2

dx 

dx

Hacemos :

x

Hacemos :

3 dx  sec θ tg θ dθ 10



dx

 6x  12  4x 2

28.

 sec 2 θ

 sec 2 θ dθ

 

dx x2

dx  

25  ( x  2) 2

dx

x2  ) θ  arc sen ( x 2  5 sen θ  5 x  5 sen θ  2  dx  5 cos θ dθ

x2 21  4 x  x 2 x2 21  4 x  x 2 x2 21  4 x  x 21  4 x  x

 21  4x  x 2

dx  

( 5 sen θ  2 ) 2 ( 5 cos θ )

dx  

( 5 sen θ  2 ) 2 cos θ dθ   ( 5 sen θ  2 ) 2 dθ cos θ

25  25 sen 2 θ

dθ  

2

dx   ( 25 sen 2 θ  20 sen θ  4 ) dθ

2

dx   [

x2

5 x2

( 5 sen θ  2 ) 2 cos θ

25 ( 1  cos 2θ )  20 sen θ  4 ] dθ 2

1  sen 2 θ

dθ

67

x



x2 x2 x2 21  4 x  x x



2

x 2 1



33 25 θ sen 2θ  20 cos θ  C 2 4



33 25 θ sen θ cos θ  20 cos θ  C 2 2



33 5 θ  5 cos θ ( sen θ  4 )  C 2 2



33 x2 21  4 x  x 5 x2 arc sen ( )5( )[ ( )  4 ] C 2 5 5 2 5

3  2x  x 2 x 2 1 3  2x  x 2 x 2 1 3  2x  x 2 x 2 1 3  2x  x

2

dx   ( 4  2 cos 2θ  4 sen θ ) dθ  4θ  sen 2θ  4 cos θ  C dx  4θ  2 sen θ cos θ  4 cos θ  C  4θ  2 cos θ ( sen θ  2 )  C dx  4 arc sen (

x 1 3  2x  x 2 x 1 )2( )( 2)C 2 2 2

dx  4 arc sen (

x 1 1 )  (x  3) 3  2x  x 2  C 2 2

2

33 x2 1 dx  arc sen ( )  (x  6) 21  4x  x 2  C 2 2 5 2 21  4 x  x

31.

dx



x 2x 2  3x  2 1 Hacemos : x z dx  

x 2 1 3  2x  x x 2 1 3  2x  x 2

Hacemos :



dx 

33 25  cos 2θ  20 sen θ ) dθ 2 2

x2





dx 

2

21  4 x  x 2





dx 

21  4 x  x 2





dx 

21  4 x  x 2





dx   (

21  4 x  x 2



30.

2

2

dx

dx  

x 2 1 4  ( x  1) 2



dx

x 1  ) θ  arc sen ( x 1  2 sen θ  2  x  2 sen θ  1 dx  2 cos θ dθ

x 2 1 3  2x  x 2 x 2 1 3  2x  x 2 x 2 1 3  2x  x 2 x 2 1 3  2x  x 2

dx  

( 2 sen θ  1 ) 2  1

dx  

( 2 sen θ  1 ) 2  1

4  4 sen 2 θ 1  sen 2 θ

2 x 1

 3  2x  x 2

( 2 sen θ  1 ) 2  1 ( cos θ dθ ) cos θ

dx   [ ( 2 sen θ  1 ) 2  1 ] dθ   ( 4 sen 2 θ  4 sen θ  2 ) dθ dx   [ 2 ( 1  cos 2θ )  4 sen θ  2 ] dθ

 

z2 

dx x 2x  3x  2 2

dx x 2x 2  3x  2

 

dz z

1 z

2 z2

dz

2



3 2 z

1

 2

 

dz 1

3 z  z2 2

z2 1 z

2



2  3z  2z 2 1

 2

 

dz 2  3z  2z 2

dz 25 3  (z  ) 2 16 4

3 5 4z  3  sen θ  θ  arc sen ( ) 4 4 5 5 dz  cos θ dθ 4 5 cos θ dx 1 1 cos θ 4  dθ   dθ   2 2 25 25 2 2 x 2x 2  3x  2 1  sen θ  sen θ 16 16 dx 1 cos θ 1 1  dθ   dθ   θC   2 cos θ 2 2 x 2x 2  3x  2

Hacemos :

( 2 cos θ dθ ) ( cos θ dθ )  



dz

z

68

  32.

4z  3 1 4/x  3   arc sen ( )C   arc sen ( )C 5 5 2 2 x 2x 2  3x  2 dx 1 4  3x   arc sen ( )C 5x 2 x 2x 2  3x  2 dx

1

sen x

Hacemos :

x 5x  8x  1 2

dx x 5x  8x  1 2

Hacemos :

sen x

 cos 2 x  2 cos x  3 dx  

dz

sen x

 cos 2 x  2 cos x  3 dx  

z2 

dx



dz z

1 z

 

2

5

8  1 2 z z dz

dz

 

z2 1 z2

5  8z  z

2

 

dz 5  8z  z

2

z4



)

21

  33.

dx x 5x 2  8x  1 dx

 

21 cos θ 21  21 sen 2 θ

dθ   

cos θ

1  sen 2 θ z4 1/x  4    dθ   θ  C   arc sen ( )  C   arc sen ( )C 21 21 x 5x 2  8x  1 dx 1  4x   arc sen ( )C 21 x x 5x 2  8x  1

sen x

 cos 2 x  2 cos x  3 dx

z  cos x dz   sen x dx sen x  sen x dz  cos 2 x  2 cos x  3 dx   cos 2 x  2 cos x  3 dx   z 2  2z  3

Hacemos :

35.

1

arc tg (

1

θC  

2 cos x  1

2

1

arc tg (

dθ  2 sec 2 θ

z 1

2

)C

2

)C

2

5 (2x  4)  7 5 2x  4 dx dx   2 dx   dx  7  2 2 2 2 2 x  4x  4 x  4x  4 x  4x  4 x  4x  4 5x  3 5 dx 5 dx 2 dx  Ln x  4x  4  7   Ln x  2 2  7  2 2 2 2 x  4x  4 (x  2) (x  2) 2

 x 2  4x  4 dx  5 Ln

cos θ dθ cos θ

 dθ   2

sec 2 θ

1

dθ    2 tg 2 θ  1

5x  3

5x  3

dθ   

1

sec 2 θ

1

5x  3



21  (z  4) 2

z  4  21 sen θ  θ  arc sen (

)

2

 x 2  4x  4 dx

34.

dz  21 cos θ dθ



z 1

2 sec 2 θ

sen x

2

dx  



 2 tg θ  θ  arc tg (

 cos 2 x  2 cos x  3 dx   2 tg 2 θ  2 dθ  

x 5x  8x  1 1 Hacemos : x z



z 1

dz  2 sec 2 θ dθ

dx



dz

 cos 2 x  2 cos x  3 dx   (z  1) 2  2

x2 

7 C x2

x 2 1

 (x  2) 2 dx x 2 1

x 2 1

4x  3

4x  3

 (x  2) 2 dx   x 2  4x  4 dx   (1  x 2  4x  4 ) dx   dx   x 2  4x  4 dx x 2 1

 (x  2) 2 dx  x  

2 (2x  4)  5 x  4x  4 2

x 2 1

 (x  2) 2 dx  x  2 Ln x 2 1

 (x  2) 2 dx  x  4 Ln

dx  x  2 

x 2  4x  4  x2 

2x  4 x  4x  4 2

dx  5 

5  C  x  2 Ln x  2 x2

5 C x2

dx (x  2) 2 2



5 C x2

69

x  3x  8 2

 x 2  2x  1 dx

36.

x 2  3x  8

x9



x 9

 x 2  2x  1 dx   (1  x 2  2x  1) dx   dx   x 2  2x  1 dx    37.



1 (2x  2)  10 x 2  3x  8 1 2x  2 dx dx  x   2 dx  x   dx  10  2 2 2 2 x  2x  1 x  2x  1 x  2x  1 (x  1) 2 x 2  3x  8

1 10 1 dx  x  Ln x 2  2x  1   C  x  Ln x  1 2 2 x 1 2 x  2x  1

2

3x  5

 x 2  8x  42 3x  5

4x  5

3x  5

x 2  2x  2

4x  5

 x 2  2x  2 dx  2 Ln ( x Hacemos :

2

dx  2 

 2x  2 )  

2x  2 x 2  2x  2 dx

dx  

 x 2  8x  42

dx

 x 2  2x  2 4x  5

 x 2  2x  2 dx  2 Ln ( x 4x  5

 x 2  2x  2 dx  2 Ln ( x 4x  5

 x 2  2x  2 dx  2 Ln ( x 38.

3x  5

 x 2  8x  42 dx

2

2

2

 2x  2 )  

sec 2 θ tg 2 θ  1 sec 2 θ 2

3x  5

 x 2  8x  42 dx  3x  5

 x 2  8x  42 dx 

sec θ

dθ

dθ  2 Ln ( x 2  2x  2 )   dθ

 2x  2 )  θ  C  2 x  2 )  arc tg (x  1)  C

dx 

3x  5

(x  1) 2  1 x 1  tg θ  θ  arc tg (x  1)

dx  2 Ln ( x 2  2 x  2 )  

x4

)

26

3 26 sec 2 θ Ln ( x 2  8x  42 )  7  dθ 2 26 tg 2 θ  26 3

 x 2  8x  42 dx 

x 2  2x  2

dx  sec 2 θ dθ 4x  5

dx 

2

 8x  42 ) 

7

3 Ln ( x 2 2 3 Ln ( x 2 2 3 Ln ( x 2 2 3 Ln ( x 2 2

 8x  42 ) 

7

 x 2  8x  42 dx  2 Ln ( x

 x 2  2x  2 dx  x 2  2x  2 dx  

 26 tg θ  θ  arc tg (

dx  26 sec 2 θ dθ

10  C x 1

10 dx  x  Ln x  1  C 2 x 1 x  2x  1

2 (2x  2)  1

x 4

Hacemos :

x 2  3x  8

4x  5

3 (2x  8)  7 3 2x  8 dx dx   2 dx   dx  7  2 2 2 2 2 x  8x  42 x  8x  42 x  8x  42 x  8x  42 3x  5 3 dx dx  Ln ( x 2  8x  42 )  7  2 2 x  8x  42 (x  4) 2  26 3x  5

39.

 8x  42 )   8x  42 )   8x  42 ) 

sec 2 θ

dθ  26 tg 2 θ  1

26 7 26 7 26 7

sec 2 θ

 sec 2 θ dθ  dθ θC arc tg (

26

x4

)C

26

2x 3

 2x 2  4x  3 dx 5x  6

2x 3

1

 2x 2  4x  3 dx   (x  2  2x 2  4x  3 ) dx  2 x

2

 2x  

5x  6 2x  4 x  3 2

5 (4x  4)  1 1 2 4 dx  x  2x   2x 2  4x  3  2x 2  4x  3 dx 2 2x 3 2x 3

1

2

 2x 

5 4x  4 dx dx    2 2 4 2x  4x  3 2x  4 x  3

2x 3

1

2

 2x 

5 1 Ln ( 2x 2  4x  3 )   4 2

 2x 2  4x  3 dx  2 x  2x 2  4x  3 dx  2 x

dx (x  1) 2 

1 2

dx

70

Hacemos :

1

x 1



dx 

1

2

 senh x 5  senh x 5

tg θ  θ  arc tg [ 2 (x  1) ] 2

sec θ dθ

1 sec 2 θ 1 2 5 1 2 2  2x 2  4x  3 dx  2 x  2x  4 Ln ( 2x  4x  3 )  2  1 2 1 dθ tg θ  2 2 2x 3

2x 3

1 2 5 1 2  2x 2  4x  3 dx  2 x  2x  4 Ln ( 2x  4x  3 )  2 2x 3

 senh

2

1 2 5 1  2x  Ln ( 2x 2  4x  3 )  4 2

 2x 2  4x  3 dx  2 x

sec 2 θ

 

tg 2 θ  1 sec 2 θ sec 2 θ

3.

2x 3

1 2 5 1  2x  Ln ( 2x 2  4x  3 )  θC 4 2

2x 3

1 2 5 1  2x  Ln ( 2x 2  4x  3 )  arc tg [ 2 (x  1) ]  C 4 2

 2x 2  4x  3 dx  2 x  2x 2  4x  3 dx  2 x  2x 2  4x  3 dx  2 x

VI. INTEGRALES DE LA FORMA

 sen

m

n

x cos x dx

y

 senh

m

n

x cosh x dx

CASO I: Uno de los exponentes m ó n es un entero impar positivo

1.

 sen x cos x dx 3 4 2 4 2 4  sen x cos x dx   sen x cos x sen x dx   (1  cos x) cos x sen x dx 3 4 4 6 4 6  sen x cos x dx   (cos x  cos x) sen x dx   cos x sen x dx   cos x sen x dx 3

 sen 2.

3

4

1 1 x cos 4 x dx   cos 5 x  cos 7 x  C 5 7

 senh x 5  senh x 5  senh x 5

cosh x dx cosh x dx   senh 4 x cosh 1/2 x senh x dx cosh x dx   (cosh 2 x  1) 2 cosh 1/2 x senh x dx

x cosh x dx 

2 4 2 cosh 11/2 x  cosh 7/2 x  cosh 3/2 x  C 11 7 3

 senh

4

3x dx

cosh 6x  1 2 1 ) dx   (cosh 2 6x  2 cosh 6x  1) dx 2 4 1 cosh 12x  1 4  2 cosh 6x  1) dx  senh 3x dx  4  ( 2 1 1 3 4  senh 3x dx  4  ( 2 cosh 12x  2 cosh 6x  2 ) dx 1 1 3 4  senh 3x dx   ( 8 cosh 12x  2 cosh 6x  8 ) dx 1 1 3 4  senh 3x dx  96 senh 12x  12 senh 6x  8 x  C

dθ

1 2 5 1  2x  Ln ( 2x 2  4x  3 )   dθ 4 2

cosh x dx   (cosh 9/2 x  2 cosh 5/2 x  cosh 1/2 x ) senh x dx

CASO II: Ambos exponentes m y n son enteros pares y mayores o iguales que cero

dθ

2x 3

5

cosh x dx   (cosh 4 x  2 cosh 2 x  1) cosh 1/2 x senh x dx

4.

3x dx   (

 senh

4

 sen

2

x cos 4 x dx

 sen

2

x cos 4 x dx   (

1  cos 2x 1  cos 2x 2 )( ) dx 2 2

1 (1  cos 2x) (1  2 cos 2x  cos 2 2x) dx 8 1 2 4 2 2 3  sen x cos x dx  8  (1  2 cos 2x  cos 2x  cos 2x  2 cos 2x  cos 2x) dx 1 2 4 2 3  sen x cos x dx  8  (1  cos 2x  cos 2x  cos 2x) dx 1 1  cos 4x 2 4 2  sen x cos x dx  8  [1  cos 2x  2  (1  sen 2x) cos 2x] dx 1 1 1 2 4 2  sen x cos x dx  8  (1  cos 2x  2  2 cos 4x  cos 2x  sen 2x cos 2x) dx 1 1 1 2 4 2  sen x cos x dx  8  ( 2  2 cos 4x  sen 2x cos 2x) dx 1 1 1 2 4 3  sen x cos x dx  16 x  64 sen 4x  48 sen 2x  C

 sen

2

x cos 4 x dx 

71

5.

 sen

2

sen 3 x

x dx

1  cos 2x 1 cos 2x x sen 2x 2  sen x dx   2 dx   ( 2  2 ) dx  2  4  C

12. 6.

 cos

2

x dx

1  cos 2x 1 cos 2x x sen 2x 2  cos x dx   2 dx   ( 2  2 ) dx  2  4  C

13. 7.

8.

 cosh

2

 cosh

2

 sen

4

5x dx 5x dx  

9.

cosh 10x  1 cosh 10x 1 1 1 dx   (  ) dx  senh 10x  x  C 2 2 2 20 2

x dx

11.

x dx   (

 cos

x dx  sen x 

2 1 sen 3 x  sen 5 x  C 3 5

14. 7

3

x sen x dx

 cos

7

x sen x dx   cos x (1  cos x) sen x dx   (cos x  cos x) sen x dx

 cos

7

1 1 x sen 3 x dx   cos 8 x  cos 10 x  C 8 10

3

7

2

7

 cos 4 x dx

 cos 4 x dx  

(1  cos 2 x) sen x cos 4 x

dx   (cos

4

x  cos

2

15. x ) sen x dx

3

x  sec x  C

x dx

3

x dx   (cosh 2 x  1) senh x dx 

 sen

2

3x cos 4 3x dx

2

3

3x cos 4 3x dx   (

1 cosh 3 x  cosh x  C 3

1  cos 6x 1  cos 6x 2 )( ) dx 2 2

2

3x cos 4 3x dx 

 senh

8

x cosh 5 x dx

 senh x cosh x dx   senh x (1  senh x) cosh x dx 8 5 8 2 4  senh x cosh x dx   senh x (1  2 senh x  senh x) cosh x dx 8 5 8 10 12  senh x cosh x dx   (senh x  2 senh x  senh x) cosh x dx

9

sen 3 x

sen 3 x

1

1 (1  cos 6x) (1  2 cos 6x  cos 2 6x) dx  8 1 2 4 2 2 3  sen 3x cos 3x dx  8  (1  2 cos 6x  cos 6x  cos 6x  2 cos 6x  cos 6x) dx 1 2 4 2 3  sen 3x cos 3x dx  8  (1  cos 6x  cos 6x  cos 6x) dx 1 1  cos 12x 2 4  (1  sen 2 6x) cos 6x] dx  sen 3x cos 3x dx  8  [1  cos 6x  2 1 1 1 2 4 2  sen 3x cos 3x dx  8  (1  cos 6x  2  2 cos 12x  cos 6x  sen 6x cos 6x) dx 1 1 1 2 4 2  sen 3x cos 3x dx  8  ( 2  2 cos 12x  sen 6x cos 6x) dx 1 1 1 2 4 3  sen 3x cos 3x dx  16 x  192 sen 12x  144 sen 6x  C

5

5

1

 senh

 sen

 cos x dx 5 2 2 2 4  cos x dx   (1  sen x) cos x dx   (1  2 sen x  sen x) cos x dx

 cos 10.

4

 senh

 sen

1  cos 2x 2 1 ) dx   (1  2 cos 2x  cos 2 2x) dx 2 4 1 1  cos 4x 1 3 1 4  sen x dx  4  (1  2 cos 2x  2 ) dx  4  ( 2  2 cos 2x  2 cos 4x) dx 3 1 1 4  sen x dx  8 x  4 sen 2x  32 sen 4x  C

 sen

1

 cos 4 x dx  3 cos 3 x  cos x  C  3 sec

8

5

 senh

8

x cosh 5 x dx 

 sen

5

2x cos 3 2x dx

 sen

5

8

2

2

1 2 1 senh 9 x  senh 11 x  senh 13 x  C 9 11 13

2x cos 3 2x dx   sen 5 2x (1  sen 2 2x) cos 2x dx

72

16.

 sen

5

 sen

5

 sen

2x cos 2x dx   (sen 2x  sen 2x) cos 2x dx 3

5

2x cos 3 2x dx  3

17.

1 1 sen 6 2x  sen 8 2x  C 12 16

cos 3 x

 sen 4 x dx  

x cos 3 x dx

 (1  cos 4x)

3/2

3/2

(1  sen 2 x) cos x 4

sen x

3

cos x

sen 3 x

3

20.

cos 4 x

sen 3 x

dx

dx   (2 cos 2x) 2

3/2

3

dx  2 2  cos 2x dx 3

3/2 2  (1  cos 4x) dx  2 2  (1  sen 2x) cos 2x dx  2 sen 2x 

4

cos x 3

sen x

3

2 sen 3 2x  C 3

x x 18.  sen ( ) cos 2 ( ) dx 2 2 x x 1  cos x 2 1  cos x 4 2  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx   ( 2 ) ( 2 ) dx 1 4 x 2 x 2  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  8  (1  2 cos x  cos x) (1  cos x) dx 1 4 x 2 x 2 2 3  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  8  (1  2 cos x  cos x  cos x  2 cos x  cos x) dx 1 4 x 2 x 2 3  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  8  (1  cos x  cos x  cos x) dx 1 1  cos 2x 4 x 2 x 2  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  8  [1  cos x  2  (1  sen x) cos x] dx 1 1 1 4 x 2 x 2  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  8  (1  cos x  2  2 cos 2x  cos x  sen x cos x) dx 1 1 1 4 x 2 x 2  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  8  ( 2  2 cos 2x  sen x cos x) dx 1 1 1 4 x 2 x 3  sen ( 2 ) cos ( 2 ) dx  16 x  32 sen 2x  24 sen x  C

1

dx   (sen  4 x  sen  2 x) cos x dx

1

1

 sen 4 x dx   3 sen 3 x  sen x  C   3 csc

3

 (1  cos 4x)

 sen 4 x dx

19.

1 1 3 3  sen x cos x dx  8  (2 sen x cos x) dx  8  sen 2x dx 1 1 1 3 3 2 3  sen x cos x dx  8  (1  cos 2x) sen 2x dx   16 cos 2x  48 cos 2x  C 3

cos 3 x

7

cos 4 x

3

x  csc x  C

dx

dx  

(1  cos 2 x) sen x cos 3

dx 

cos

1/3

4/3

x

dx   (cos  4/3 x  cos 2/3 x) sen x dx

3 1 3  cos 5/3 x  C  ( cos 2 x  3)  C 1/3 x 5 cos x 5

sen 3 x

3

4



21.

22.

3 dx  3 sec x ( cos 2 x  3)  C 5 cos 4 x ctg x cos 9 x dx

cos x cos 10 x cos 5 x cos 9 x dx   dx   dx sen x sen x sen 1/2 x



ctg x cos 9 x dx  



ctg x cos 9 x dx  



ctg x cos 9 x dx   (sen 1/2 x  2 sen 3/2 x  sen 7/2 x) cos x dx



ctg x cos 9 x dx  2 sen x 

 cos

4

(1  sen 2 x) 2 cos x sen 1/2 x

dx  

(1  2 sen 2 x  sen 4 x) cos x sen 1/2 x

dx

4 2 sen 5/2 x  sen 9/2 x  C 5 9

x dx

1  cos 2x 2 1 ) dx   (1  2 cos 2x  cos 2 2x) dx 2 4 1 1  cos 4x 1 3 1 4  cos x dx  4  (1  2 cos 2x  2 ) dx  4  ( 2  2 cos 2x  2 cos 4x) dx 3 1 1 4  cos x dx  8 x  4 sen 2x  32 sen 4x  C

 cos

4

x dx   (

73

23.

 sen  sen

24.

25.

 sen

 sen

x dx

1 x dx   (1  cos 2 x) sen x dx  cos x  cos 3 x  C 3 5

5

x dx   (1  cos 2 x) 2 sen x dx   (1  2 cos 2 x  cos 4 x) sen x dx

 sen

5

x dx   cos x 

 cos 3

 cos

3

2 1 cos 3 x  cos 5 x  C 3 5

27.

6

6

 cos

x dx  1/5

5 1 3 1 x  sen 2x  sen 4x  sen 3 2x  C 16 4 64 48

x sen 3 x dx

 cos

1/5

x sen 3 x dx   cos 1/5 x (1  cos 2 x) sen x dx   (cos 1/5 x  cos 11/5 x) sen x dx

 cos

1/5

5 5 x sen 3 x dx   cos 6/5 x  cos 16/5 x  C 6 16

 x cos 3

3

(x 2 ) dx

(x 2 ) dx 

Hacemos :

1 2x cos 3 (x 2 ) dx 2

z  x2

dz  2x dx 1 1 3 2 3 2  x cos (x ) dx  2  cos z dz  2  (1  sen z) cos z dz 1 1 1 1 3 2 3 2 3 2  x cos (x ) dx  2 sen z  6 sen z  C  2 sen (x )  6 sen (x )  C

x dx

x dx   (

1  cos 2x 3 1 2 3  sen x dx   ( 2 ) dx  8  (1  3 cos 2x  3 cos 2x  cos 2x) dx 1 1  cos 4x 6 2  sen x dx  8  [ 1  3 cos 2x  3 ( 2 )  (1  sen 2x) cos 2x ] dx 1 3 3 6 2  sen x dx  8  ( 1  3 cos 2x  2  2 cos 4x  cos 2x  sen 2x cos 2x ) dx 1 5 3 6 2  sen x dx  8  ( 2  4 cos 2x  2 cos 4x  sen 2x cos 2x ) dx

6

 x cos

1 x dx   (1  sen 2 x) cos x dx  sen x  sen 3 x  C 3

6  sen x dx 6

29.

x dx

1  cos 2x 3 1 ) dx   (1  3 cos 2x  3 cos 2 2x  cos 3 2x) dx 2 8 1 1  cos 4x 6 2  cos x dx  8  [ 1  3 cos 2x  3 ( 2 )  (1  sen 2x) cos 2x ] dx 1 3 3 6 2  cos x dx  8  ( 1  3 cos 2x  2  2 cos 4x  cos 2x  sen 2x cos 2x ) dx 1 5 3 6 2  cos x dx  8  ( 2  4 cos 2x  2 cos 4x  sen 2x cos 2x ) dx 5 1 3 1 6 3  cos x dx  16 x  4 sen 2x  64 sen 4x  48 sen 2x  C

 cos

28.

x dx

 sen

 cos 26.

3

3

30.

sen x

 cos 4 x dx

z  cos x dz   sen x dx sen x  sen x dz 1 1 1 3  cos 4 x dx   cos 4 x dx   z 4  3z 3  C  3 cos 3 x  C  3 sec x  C

Hacemos :

31.

 (sen

2

x  cos x) 2 dx

 (sen

2

x  cos x) 2 dx   (sen 4 x  2 sen 2 x cos x  cos 2 x) dx

 (sen

2

x  cos x) 2 dx   [ (

 (sen

2

x  cos x) 2

 (sen

2

x  cos x) 2

 (sen

2

x  cos x) 2

1  cos 2x 2 1  cos 2x )  2 sen 2 x cos x  ] dx 2 2 1 1 1 1  cos 2x dx   [  cos 2x  cos 2 2x  2 sen 2 x cos x  ] dx 4 2 4 2 3 1 1  cos 4x dx   [  ( )  2 sen 2 x cos x ] dx 4 4 2 7 1 dx   (  cos 4x  2 sen 2 x cos x ) dx 8 8

74

 (sen

 cos

32.

3

x sen 4 x dx

x sen 4 x dx   (1  sen 2 x) sen 4 x cos x dx   (sen 4 x  sen 6 x) cos x dx

 cos

3

x sen 4 x dx 

 sen  sen

3

 sen

3



 

3

1 1 sen 5 x  sen 7 x  C 5 7

x sec 2 x dx

x sec 2 x dx   x sec 2 x dx 

sen 2x cos x ctg 2 x

sen 2x cos x ctg 2 x sen 2x cos x ctg 2 x

 sen

2

2

dx  

( 1  cos 2 x ) sen x 2

dx  

cos x cos x 1  cos x  C  sec x  cos x  C cos x

dx  

sen x cos 2 x

dx   sen x dx

2 sen x cos 2 x

3

x cos x dx 

 sen

2

x cos 2 x dx 



38.

5

x cos 2 x dx

39.

5

2

2

2

2

1 2 1 x cos 2 x dx   cos 3 x  cos 5 x  cos 7 x  C 3 5 7

sen x cos x dx

sen x cos x dx   sen 1/2 x cos x dx 



1 1 (2 sen x cos x) 2 dx   sen 2 2x dx  4 4 1 1  cos 4x 1 1 dx  x  sen 4x  C 4 2 8 32

x cos 2 x dx 2

 sen

2

1  cos 2x 2 1  cos 2x  sen x cos x dx   ( 2 ) ( 2 ) dx 1 4 2 2  sen x cos x dx  8  (1  2 cos 2x  cos 2x) (1  cos 2x) dx 1 4 2 2 2 3  sen x cos x dx  8  (1  2 cos 2x  cos 2x  cos 2x  2 cos 2x  cos 2x) dx 4

 sen

37.

x cos 2 x dx 

5

x cos 2 x dx

 sen

4

 sen x cos x dx   (1  cos x) cos x sen x dx 5 2 2 4 2  sen x cos x dx   (1  2 cos x  cos x) cos x sen x dx 5 2 2 4 6  sen x cos x dx   (cos x  2 cos x  cos x) sen x dx

dx  2  sen x dx  2  (1  cos x) sen x dx ctg 2 x 2 dx  2 cos x  cos 3 x  C 3

2

4

sen 3 x

dx

2

 sen

1 (1  cos 2x  cos 2 2x  cos 3 2x) dx 8 1 1  cos 4x 4 2 2  sen x cos x dx  8  [1  cos 2x  2  (1  sen 2x) cos 2x] dx 1 1 1 4 2 2  sen x cos x dx  8  (1  cos 2x  2  2 cos 4x  cos 2x  sen 2x cos 2x) dx 1 1 1 4 2 2  sen x cos x dx  8  ( 2  2 cos 4x  sen 2x cos 2x) dx 1 1 1 4 2 3  sen x cos x dx  16 x  64 sen 4x  48 sen 2x  C

 sen

3

34.

36.

x  cos x) 2 dx 

 cos

33.

35.

2

7 1 2 x  sen 4x  sen 3 x  C 8 32 3

 cos (sen x) cos x dx

2 2 sen 3/2 x  C  sen 3 x  C 3 3

z  sen x dz  cos x dx cos (sen x ) cos x dx   cos z dz  sen z  C  sen (sen x)  C 

Hacemos :

40.



sen 3 x 3

x2

Hacemos :

dx

z 3 x dx dz  3 2 3 x

75



3

sen x 3



41.

x2

dx  3 

3

sen x 3

3 x2

dx  3  sen z dz   3 cos z  C   3 cos 3 x  C

 

cos x sen 3 x dx  



3

45.

2 2 cos 3/2 x  cos 7/2 x  C 3 7

43.

 sen

3

3x tg 3x dx 

1 1 1 Ln sec 3x  tg 3x  sen 3x  sen 3 3x  C 3 3 9

3

5

3

cos x sen 5 x dx  

sen 3 x

1/3

 cos 2 x 3 cos x

 sen

3

( 1  cos 2 x ) sen x

 sen

3

dx   ( cos 7/3 x  cos 1/3 x ) sen x dx

cos

7/3

7/3

x  cos 1/3 x ) sen x dx

3 4 cos 4 /3 x



x

3 3 3 cos 2 /3 x  C  sec 4 /3 x  cos 2 /3 x  C 2 4 2

3x tg 3x dx  

(1  cos 2 3x) 2 sen 4 3x dx   dx cos 3x cos 3x 1  2 cos 2 3x  cos 4 3x dx   (sec 3x  2 cos 3x  cos 3 3x) dx cos 3x

 sen 3x tg 3x dx   [ sec 3x  2 cos 3x  ( 1  sen 3x ) cos 3x ] dx 3 2  sen 3x tg 3x dx   ( sec 3x  2 cos 3x  cos 3x  sen 3x cos 3x ) dx 3

sen 2 x  cos 2 x

2

dx

1

sen 4 x  cos 4 x

1  2 sen 2 x cos 2 x

sen 4 x  cos 4 x

1 1  cos 2 2x 1 dx    ( sec 2x  cos 2x ) dx cos 2x 2

sen 4 x  cos 4 x

1

 sen 2 x  cos 2 x dx   2 

46.

sec 2x  tg 2x 

1 sen 2x  C 4

sen 4 3x

 cos 3 3x dx Hacemos :

z  3x dz  3 dx

sen 4 3x

 cos 3 3x

dx 

1 sen 4 3x 1 sen 4 z 1 ( 1  cos 2 z ) 2 (3 dx)  dz  dz 3  cos 3 3x 3  cos 3 z 3 cos 3 z

sen 4 3x

dx 

1 ( 1  2 cos 2 z  cos 4 z ) 1 dz   ( sec 3 z  2 sec z  cos z ) dz 3 3 3 cos z

 cos 3 3x

3x tg 3x dx

3  sen 3x tg 3x dx  

(sen 2 x  cos 2 x) 2  2 sen 2 x cos 2 x

 sen 2 x  cos 2 x dx   4 Ln

 cos 2 x 3 cos x dx   ( cos  cos 2 x 3 cos x

2

3 3 3 cos 4/3 x  cos 10/3 x  cos 16/3 x  C 4 5 16

sen 3 x

dx 

dx  

1 sen 2 2x 2  sen 2 x  cos 2 x dx   sen 2 x  cos 2 x dx   sen 2 x  cos 2 x dx 1 1  (1  cos 2 2x) sen 4 x  cos 4 x 1 1  cos 2 2x 2  sen 2 x  cos 2 x dx   sen 2 x  cos 2 x dx   2  cos 2 x  sen 2 x dx

dx

sen 3 x

sen 3 x

2

sen 4 x  cos 4 x

 sen 2 x  cos 2 x dx  sen 2 x  cos 2 x

cos x sen 5 x dx

 cos 2 x 3 cos x dx  

44.

3x tg 3x dx   ( sec 3x  cos 3x  sen 2 3x cos 3x ) dx

sen 4 x  cos 4 x

 cos x sen x dx   cos x ( 1  cos x ) sen x dx 5 1/3 2 4 3  cos x sen x dx   cos x ( 1  2 cos x  cos x ) sen x dx 5 1/3 7/3 13/3 3  cos x sen x dx   ( cos x  2 cos x  cos x ) sen x dx 

3

cos x sen 3 x dx cos x sen 3 x dx   cos 1/2 x ( 1  cos 2 x ) sen x dx   ( cos 1/2 x  cos 5/2 x ) sen x dx

42.

 sen

sen 4 3x

2

 cos 3 3x dx   3 Ln

1 1 sec z  tg z  sen z   sec 3 z dz 3 3 I

I   sec z dz 3

I

1 1 Ln sec z  tg z  sec z tg z  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2

76 4

sen 3x

2

1 1 1 sec z  tg z  sen z  Ln sec z  tg z  sec z tg z  C 3 6 6

sen 4 3x

1

sec z  tg z 

sen 4 3x

1

sec 3x  tg 3x 

 cos 3 3x dx   3 Ln  cos 3 3x dx   2 Ln  cos 3 3x dx   2 Ln 47.

 sech  sech

3

3

1 1 sec z tg z  sen z  C 6 3 1 1 sec 3x tg 3x  sen 3x  C 6 3

VII. INTEGRALES DE LA FORMA

z  tgh x

1.

x dx   1  z 2 dz

Hacemos :

 sech

3

 sech

3

x dx 

 sech

3

x dx 

x dx 

3  sech x dx 

48.

 tg

5



1  cos 2θ dθ 2

cos 5 x

cos 3/2 x dx  

(1  cos 2 x) 2 cos 7/2 x

m

y

tg 3 x

3

tg 3 x

1

sen 4 x cos 7/2 x

sen x dx  

tg 3 x

1

 sec 4 x dx  4 cos 2.

cos 7/2 x

5 3 7/2 3/2 1/2  tg x cos x dx   (cos x  2 cos x  cos x) sen x dx

sec 5 x

n

 ctg

5

x dx

 ctg

5

x dx  

2

( sec x tg x ) dx

x  sec 5 x ) ( sec x tg x ) dx 1

1

2

x

1 cos 4 x  C 4

x (cos 2 x  2)  C

ctg 4 x (csc 2 x  1) 2 ( csc x ctg x ) dx   ( csc x ctg x ) dx csc x csc x

(csc 4 x  2 csc 2 x  1) (  csc x ctg x ) dx csc x 1 5 3  ctg x dx   (csc x  2 csc x  csc x ) (  csc x ctg x ) dx 1 5 4 2  ctg x dx   4 csc x  csc x  Ln csc x  C

sen x dx

(1  2 cos 2 x  cos 4 x)

sec 2 x  1

 sec 4 x dx   2 sec 2 x  4 sec 4 x  C   2 cos

x cos 3 x dx

5 3  tg x cos x dx  

tg 2 x

5  ctg x dx  

sen 5 x

 tgh x sech x dx m n  ctgh x csch x dx

y

tg 3 x

 sec 4 x dx   (sec

1 z 2

1 1 1 1 θ  sen 2θ  C  θ  sen θ cos θ  C 2 4 2 2 1 1 arc sen z  z 1  z 2  C 2 2 1 1 arc sen (tgh x)  tgh x 1  tgh 2 x  C 2 2 1 1 arc sen (tgh x)  tgh x sech x  C 2 2

5 3  tg x cos x dx  

n

 sec 4 x dx tg 3 x

z

x dx   1  sen 2 θ cos θ dθ   cos 2 θ dθ  

3

m

 sec 4 x dx   sec 5 x ( sec x tg x ) dx  

1

z  sen θ  θ  arc sen z dz  cos θ dθ

 sech

 tg x sec x dx m n  ctg x csc x dx

CASO I: Si m es un entero impar positivo

x dx   1  tgh 2 x sech 2 x dx

dz  sech 2 x dx 3

x cos 3 x dx 

5

x dx

Hacemos :

 sech

2 2 cos 5/2 x  4 cos 1/2 x  cos 3/2 x  C 5 3 2 2 5 3 5 /2 1/2 3/2  tg x cos x dx  5 sec x  4 sec x  3 cos x  C

 tg

sen x dx

3.

 tgh

3

x sech x dx

77

 tgh

3

 tgh

3

x sech x dx  

2

tgh x sech x

x sech x dx    ( sech

( sech x tgh x ) dx  

1/2

x  sech

3/2

1  sech x

 csch x dx   csch x csch x dx   (ctgh x  1) csch 6 4 2 2  csch x dx   (ctgh x  2 ctgh x  1) ( csch x) dx

2

6

( sech x tgh x ) dx

sech x

x ) (  sech x tgh x ) dx

2 3 5/2  tgh x sech x dx  2 sech x  5 sech x  C

4.

 ctgh x csch x dx 5 3 4 2  ctgh x csch x dx   ctgh x csch x ( csch x ctgh x ) dx 5 3 2 2 2  ctgh x csch x dx   (1  csch x) csch x ( csch x ctgh x ) dx 5 3 2 4 2  ctgh x csch x dx   (1  2 csch x  csch x) csch x ( csch x ctgh x ) dx 5 3 2 4 6  ctgh x csch x dx   (csch x  2 csch x  csch x) (  csch x ctgh x ) dx 5

 ctgh

5

3

9.

5.

6.

3/2

1 2 1 x csch 3 x dx   csch 3 x  csch 5 x  csch 7 x  C 3 5 7

7.

3

2 9/2 2 tg x  tg 5/2 x  C 9 5

1 x dx   ctg 3 x  ctg x  C 3

3 3 10.

2

2

 csch

4

x sech 4 x dx   (tgh 2 x  tgh 4 x ) sech 2 x dx  6

x dx

sen 7 2x cos x cos x

1 1 tgh 3 x  tgh 5 x  C 3 5

2

2

x dx

7

sen 2x cos x cos x sen 7 2x cos x

dx dx   dx 

cos x sen 7 2x cos x cos x sen 7 2x cos x cos x 7

sen 2x cos x cos x sen 7 2x cos x cos x sen 7 2x cos x

 tgh

4

dx  dx 

cos x 3

dx 

7

(2 sen x cos x) cos x

1

cos x

3 128

1 3

2

7

3

cos x sen 7 x cos 8 x

1

cos x

 sen 7/3 x cos 8/3 x dx  4 3 2  sen 7/3 x dx

1

sec 2 x sec 2 x

 43 2 1 4

dx 

1

3

tg 7/3 x

 (tg 2

1 3

1 3

7/3

dx 

1

 43 2

(1  tg 2 x) sec 2 x

3  4 /3 3 tg x  tg 2 /3 x ]  C 4 2

[

3 3 ctg 4 /3 x  tg 2 /3 x ]  C 4 2

4 2

tg 7/3 x

x  tg 1/3 x) sec 2 x dx

[

4 2 dx 

2x dx

 tgh 2x dx   (1  sech 2x) dx   (1  2 sech 2x  sech 2x) dx 4 2 2 2  tgh 2x dx   [ 1  2 sech 2x  (1  tgh 2x) sech 2x ] dx 4 2 2 2 2  tgh 2x dx   ( 1  2 sech 2x  sech 2x  tgh 2x sech 2x ) dx 4 2 2 2  tgh 2x dx   ( 1  sech 2x  tgh 2x sech 2x ) dx  tgh

4

2

2x dx  x 

cos x

sec 4 x

1

2

1 1 tgh 2x  tgh 3 2x  C 2 6

2

4

dx

dx 5

 dx   4 3 2 tg 7/3 x cos 4 x 4 3 2 tg 7/3 x

dx 

4

 tgh x sech x dx 2 4 2 2 2 2 2 2  tgh x sech x dx   tgh x sech x sech x dx   tgh x (1  tgh x) sech x dx

 tgh 8.

3

4

4

cos x

3

 csc x dx 4 2 2 2 2 2 2  csc x dx   csc x csc x dx   (ctg x  1) csc x dx   (ctg x  1) (csc x) dx  csc

3

4

x sec 4 x dx   (tg 7/2 x  tg 3/2 x ) sec 2 x dx 

2

cos 7/3 x

 tg x sec x dx 3/2 4 3/2 2 2 3/2 2 2  tg x sec x dx   tg x sec x sec x dx   tg x (tg x  1) sec x dx  tg

6

3

2

1 2 x dx   ctgh 5 x  ctgh 3 x  ctgh x  C 5 3

 csch

3

CASO II: Si n es un entero par positivo 3/2

4

dx

78 2

11.

sen x

 cos 6 x dx sen 2 x

 cos 6 x dx   tg

15. 2

sen 2 x

 cos 6 x dx   (tg 12.

 tg  tg

2

2

4

1 3 1 tg x  tg 5 x  C 3 5

 sec

4

x ctg 3 x

 sec

4

x ctg 3 x

2

x  tg 4 x) sec 2 x dx 

x sec x dx

x sec x dx   (sec 2 x  1) sec x dx   sec 3 x dx  Ln sec x  tg x

16.

I   sec x dx

1 1 I  Ln sec x  tg x  sec x tg x  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 1 1 2  tg x sec x dx  2 Ln sec x  tg x  2 sec x tg x  Ln sec x  tg x  C 1 1 2  tg x sec x dx   2 Ln sec x  tg x  2 sec x tg x  C 6

17.

x dx

 tg x dx   (sec x  1) dx   (sec x  3 sec x  3 sec x  1) dx 6 2 2 2 2 2 2  tg x dx   [ (1  tg x) sec x  3 (1  tg x) sec x  3 sec x  1 ] dx 6 2 4 2 2 2 2  tg x dx   [ (1  2 tg x  tg x) sec x  3 (1  tg x) sec x  3 sec x  1 ] dx 6

2

3

6

4

2

2 3 1 tg x  tg 5 x  3 tg x  tg 3 x  3 tg x  x  C 3 5 1 5 1 3 6  tg x dx  5 tg x  3 tg x  tg x  x  C

 tg

14.

6

x dx  tg x 

 tgh

4

 tgh

4

18.

2

2

1 x dx  x  tgh x  tgh 3 x  C 3

2

2

x ctg 3 x dx  

 tgh

6

sec 2 x sec 2 x

dx  

(tg 2 x  1) sec 2 x

dx tg 3/2 x 2 dx   (tg 1/2 x  tg 3/2 x ) sec 2 x dx  tg 3/2 x  2 tg 1/2 x  C 3 2 dx  tg 3 x  2 ctg x  C 3 tg 3/2 x

x sech 4 x dx

 tgh

6

x sech 4 x dx   tgh 6 x (1  tgh 2 x) sech 2 x dx   (tgh 6 x  tgh 8 x) sech 2 x dx

 tgh

6

x sech 4 x dx 

 cos 3 x

2 2

 cos 3 x

2

sen 2x sen 2x

 cos 3 x

2

 cos 3 x

2

 ctg

4

1 1 tgh 7 x  tgh 9 x  C 7 9

dx

sen 2x

 cos 3 x

sen 2x

dx   dx  

2 3

cos x 2 sen x cos x dx cos

7/2

x sen

1/2

x

dx  

2 3

cos x 2 sen 1/2 x cos 1/2 x

dx

 cos 4 x

sen 1/2 x

dx

  tg 1/2 x sec 4 x dx

cos 1/2 x

dx   tg 1/2 x (1  tg 2 x) sec 2 x dx   (tg 1/2 x  tg 3/2 x) sec 2 x dx dx  2 tg x 

sen 2x

2 5/2 2 tg x  C  tg x ( tg 2 x  5)  C 5 5

3x dx

 ctg 3x dx   ctg 3x ctg 3x dx   (csc 3x  1) ctg 3x dx 4 2 2 2 2 2 2  ctg 3x dx   (ctg 3x csc 3x  ctg 3x) dx   (ctg 3x csc 3x  csc 3x  1) dx 4

x dx

 tgh x dx   tgh x tgh x dx   (1  sech x) tgh x dx 4 2 2 2 2 2 2  tgh x dx   (tgh x  sech x tgh x) dx   (1  sech x  tgh x sech x) dx 4

x ctg 3 x dx

 sec

I

 tg

4

x sec 4 x dx   tg 2 x sec 2 x sec 2 x dx   tg 2 x (1  tg 2 x) sec 2 x dx

3

13.

 sec

 ctg

4

2

2

2

1 1 3x dx   ctg 3 3x  ctg 3x  x  C 9 3

2

79

19.

20.

 tg  tg

3

 tg

3

3

 tg

dx

x dx   (sec 2 x  1) tg x dx   (tg x sec 2 x  tg x) dx   (tg x sec 2 x  x dx  3

sen x ) dx cos x

21.

3

dx

3

2

3x sec 3 3x dx 

2



23.

1 1 sec 5 3x  sec 3 3x  C 15 9



 sen 2 x cos 4 x



dx 2

sen x 2



cos 6 x

dx 2

6

tg x cos x

cos x dx

 sen 2 x cos 4 x   tg dx

 sen 2 x cos 4 x

2

x (1  tg 2 x) 2 sec 2 x dx

dx

 sen 2 x cos 4 x   (tg

2

x  2  tg 2 x) sec 2 x dx  

dx

1

 sen 2 x cos 4 x   ctg x  2 tg x  3 tg 22.

3

1 1  2 tg x  tg 3 x  C tg x 3



sec 4 x 4

tg x

24.

dx

dx

 sen 5 x cos 5 x   sen 5 x 5

cos 10 x



dx tg 5 x cos 10 x

cos x

 sen 5 x cos 5 x   tg

5

cos x tg x

  tg 1/2 x sec 2 x dx

dx

dx  

(1  tg 2 x) sec 2 x 4

tg x

dx   (tg  4 x  tg 2 x) sec 2 x dx

4

sec x

1 1 1 dx   tg 3 x   C   ctg 3 x  ctg x  C 3 tg x 3 tg x 4

sen 2 (x)

 cos 6 (x) dx sen 2 (x)

dx

dx 2

xC

 sen 5 x cos 5 x

dx



  tg 2 x (1  2 tg 2 x  tg 4 x) sec 2 x dx

tg 4 x

sen x cos 4 x cos x



 2 tg x  C

sen x cos 3 x sec 4 x

dx



dx



23.

x  4 tg 3 x 

sen x cos 3 x dx

sen x cos x



  tg 2 x sec 6 x dx

5

dx

3

dx

 sen 2 x cos 4 x dx

x (1  4 tg 2 x  6 tg 4 x  4 tg 6 x  tg 8 x) sec 2 x dx

6  4 tg x  tg 3 x) sec 2 x dx tg x dx 1 4 1 4 2 2  sen 5 x cos 5 x   4 tg x  2 tg x  6 Ln tg x  2 tg x  4 tg x  C dx 1 1 4 4 2 2  sen 5 x cos 5 x   4 ctg x  2 ctg x  6 Ln tg x  2 tg x  4 tg x  C

3x sec 3 3x dx

3

5

 sen 5 x cos 5 x   (tg

1 2 1 tg x  Ln cos x  C  tg 2 x  Ln sec x  C 2 2

 tg 3x sec 3x dx   (sec 3x  1) sec 3x sec 3x tg 3x dx 3 3 4 2  tg 3x sec 3x dx   (sec 3x  sec 3x) sec 3x tg 3x dx  tg

 sen 5 x cos 5 x   tg

x dx

x (1  tg 2 x) 4 sec 2 x dx

  tg 5 x sec10 x dx

 cos 6 (x) dx   tg sen 2 (x)

2

 cos 6 (x) dx   [ tg sen 2 (x)

1

(x) sec 4 (x) dx   tg 2 (x) [ 1  tg 2 (x) ] sec 2 (x) dx 2

 cos 6 (x) dx  3π tg

(x)  tg 4 (x) ] sec 2 (x) dx

3

(x) 

1 5 tg (x)  C 5π

80



25.



5

sen 3 x cos 5 x dx 3

5

sen x cos x



dx

 26.

dx sen 3 x cos 5 x dx 3

5



3

sen x cos 3 x



cos x

5

4

3

cos x tg x

2 3

30.

2 3

5  tg x dx 

2

3

2

3

 sec 29.

x dx 

 sec 4

 tg

5

4

2

4

x sec 4 x dx

 tg

6

x sec 4 x dx   tg 6 x (1  tg 2 x) sec 2 x dx   (tg 6 x  tg 8 x) sec 2 x dx

 tg

6

x sec 4 x dx 

I1

1 7 1 tg x  tg 9 x  C 7 9

7

x sec x dx 4

6

1 4

3 8

3 8

 sec 3 x tg x  sec x tg x  Ln sec x  tg x  C1

(Idem Prob. 6 - Int. por partes)

1 1 Ln sec x  tg x  sec x tg x  C 2 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 1 3 3 1 1 3 I  sec x tg x  sec x tg x  Ln sec x  tg x  Ln sec x  tg x  sec x tg x  C 4 8 8 2 2 1 1 1 I  sec 3 x tg x  sec x tg x  Ln sec x  tg x  C 4 8 8 I2 

32.

1 x dx   sec 2 x sec 2 x dx   (1  tg 2 x) sec 2 x dx  tg x  tg 3 x  C 3

I2

I 2   sec 3 x dx

1 3 tg x  tg x  x  C 3

x dx

7

1 2 1 sec 11 x  sec 9 x  sec 7 x  C 11 9 7

I1   sec x dx

2

 tg x sec x dx   tg x sec x ( sec x tg x ) dx 5 7 2 2 6  tg x sec x dx   (sec x  1) sec x ( sec x tg x ) dx 5

6

6

I1

 tg x dx   (sec x  1) dx   (sec x  2 sec x  1) dx 4 2 2 2 2 2 2  tg x dx   [ (1  tg x) sec x  2 sec x  1 ] dx   (tg x sec x  sec x  1) dx

28.

x sec 7 x dx 

2

5

x dx 2

4

 tg

4

I   (sec 2 x  1) sec 3 x dx   (sec 5 x  sec 3 x) dx   sec 5 x dx   sec 3 x dx

x) dx

1 4 1 1 1 tg x  tg 2 x  Ln cos x  C  tg 4 x  tg 2 x  Ln sec x  C 4 2 4 2

4

 tg

5

7

31. I   tg 2 x sec 3 x dx 3

4

 tg

 2 tg 1/2 x  tg 3/2 x  C  2 ctg x  tg 3/2 x  C

x dx

5

 tg

  tg 3/2 x sec 4 x dx

  tg 3/2 x (1  tg 2 x) sec 2 x dx   (tg 3/2 x  tg1/2 x) sec 2 x dx

sen x cos x

 tg

8

dx

 tg x dx   tg x (sec x  1) dx   (tg x sec x  tg 5 3 2 2  tg x dx   [ tg x sec x  (sec x  1) tg x ] dx 5 3 2 2  tg x dx   ( tg x sec x  tg x sec x  tg x ) dx

27.

 tg x sec x dx   (sec x  2 sec x  1) sec x ( sec x tg x ) dx 5 7 10 8 6  tg x sec x dx   (sec x  2 sec x  sec x) ( sec x tg x ) dx

dx

cos 4 x

 sen 3 x dx cos 4 x

 sen 3 x

cos 4 x

dx  

(1  sen 2 x) 2 sen 3 x

 sen 3 x dx   (csc

3

dx  

1  2 sen 2 x  sen 4 x sen 3 x

dx

x  2 csc x  sen x) dx   csc 3 x dx  2 Ln csc x  ctg x  cos x I

81

I   csc x dx 3

I

 sec

1 1 Ln csc x  ctg x  csc x ctg x  C1 (Idem Prob. 4 - Int. por partes) 2 2 4

cos x

1

 sen 3 x dx  2 Ln cos 4 x

csc x  ctg x 

1

3

 sen 3 x dx   2 csc x ctg x  2 Ln 33.

dx  

sen 3 x 3

cos x cos x

sen 3 x

 cos 4 x dx   (sec

2

dx   tg 3 x sec x dx   tg 2 x tg x sec x dx

x  1) tg x sec x dx 

1 sec 3 x  sec x  C 3

sen 2 x

sen 2 x

sen 2 x

 cos 3 x dx   cos 2 x cos x dx   tg sen 2 x

 cos 3 x dx   (sec

3

2

x sec x dx   (sec 2 x  1) sec x dx

x  sec x) dx   sec 3 x dx  Ln secx  tgx

39.

I

I   sec x dx 1 1 Ln sec x  tg x  sec x tg x  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2

sen 2 x

 cos 3 x

dx 

sen 2 x

35.

 sec  sec

6

6

40.

1 1 Ln sec x  tg x  sec x tg x  Ln secx  tgx  C 2 2 1

1

 cos 3 x dx  2 sec x tg x  2 Ln

2x tg 2 2x dx   (1  tg 2 2x) tg 2 2x sec 2 2x dx   (tg 2 2x  tg 4 2x) sec 2 2x dx

 sec

4

2x tg 2 2x dx 

 sec

x dx   (1  tg 2 x) 2 sec 2 x dx   (1  2 tg 2 x  tg 4 x) sec 2 x dx

3

41.

1 3 1 tg 2x  tg 5 2x  C 6 10

x tg3 x dx

 sec

3

x tg3 x dx   sec 2 x tg 2 x sec x tg x dx   sec 2 x (sec 2 x  1) sec x tg x dx

 sec

3

x tg3 x dx   (sec 4 x  sec 2 x) sec x tg x dx 



1 1 sec 5 x  sec 3 x  C 5 3

tg x sec 6 x dx

  

tg x sec 6 x dx   tg x (1  tg 2 x) 2 sec 2 x dx



tg x sec 6 x dx 

tg x sec 6 x dx   tg1/2 x (1  2 tg 2 x  tg 4 x) sec 2 x dx tg x sec 6 x dx   (tg 1/2 x  2 tg5/2 x  tg 9/2 x) sec 2 x dx

 ctg 2x csc

 ctg

5

2

2

2 3/2 4 2 tg x  tg 7/2 x  tg11/2 x  C 3 7 11

2x dx

2x dx  

1 ctg 2 2x  C 4

x csc 4 x dx

 ctg

5

x csc 4 x dx   ctg 5 x (1  ctg 2 x) csc 2 x dx   (ctg 5 x  ctg 7 x) csc 2 x dx

 ctg

5

1 1 x csc 4 x dx   ctg 6 x  ctg 8 x  C 6 8

secx  tgx  C

x dx

2x tg 2 2x dx

 ctg 2x csc

3

I

4

2 3 1 tg x  tg 5 x  C 3 5

4

38.

 cos 3 x dx

x dx  tg x 

 sec

37.

 cos 4 x dx

 cos 4 x

34.

csc x  ctg x  cos x  C

sen 3 x

sen 3 x

 sec

36.

1 csc x ctg x  2 Ln csc x  ctg x  cos x  C 2

6

 tg  tg

2

2

x cos 3 x sen 2 x dx

x cos 3 x sen 2 x dx  

sen 2 x 2

cos x

cos 3 x sen 2 x dx   sen 4 x cos x dx 

1 sen 5 x  C 5

82

42. I   csc 5x dx 5

Hacemos : I

dx dx dx 2  sen 2 x cos 2 x  4  (2 sen x cos x) 2  4  sen 2 2x  4  csc 2x dx

z  5x dz  5 dx

dx

 sen 2 x cos 2 x  2 ctg 2x  C

1 1 csc 5 5x (5 dx)   csc 5 z dz 5 5 I1

VIII.INTEGRALES DE LA FORMA

I1   csc z dz 5

1 3 3 I1   csc 3 z ctg z  csc z ctg z  Ln csc z  ctg z  C1 4 8 8 (Idem Prob. 31 - Int. por partes) 1 3 3 I csc 3 z ctg z  csc z ctg z  Ln csc z  ctg z  C 20 40 40 1 3 3 I csc 3 5x ctg 5x  csc 5x ctg 5x  Ln csc 5x  ctg 5x  C 20 40 40

1.

 sen mx cos nx dx  sen mx sen nx dx  cos mx cos nx dx

y y y

 sen 2x cos 3x dx 1

 sen 2x cos 3x dx  2  [ sen (2x  3x)  sen (2x  3x) ] dx 1

 ctg

43.

4

x dx

4

2

2

4

1



  45.

2

5

2

2.

1 1

tg 5 x

1

1

 cos 3x cos 4x dx  2 sen x  14 sen 7x  C (1  tg 2 x) sec 2 x

sec 4 x

tg 5 x

dx   (tg 5 x  tg 3 x) sec 2 x dx

1 1 1 1 dx   tg 4 x  tg 2 x  C   ctg 4 x  ctg 2 x  C 5 4 2 4 2 tg x

dx

1

 cos 3x cos 4x dx  2  [ cos (x)  cos 7x ] dx  2  ( cos x  cos 7x ) dx

dx

dx  

 cos 3x cos 4x dx

 cos 3x cos 4x dx  2  [ cos (3x  4x)  cos (3x  4x) ] dx

2

tg x

sec 4 x

1

 sen 2x cos 3x dx  2 cos x  10 cos 5x  C

2

1 3  ctg x dx   (ctg x csc x  csc x  1) dx   3 ctg x  ctg x  x  C 4

sec 4 x

1

 sen 2x cos 3x dx  2  [ sen (x)  sen 5x ] dx  2  (  sen x  sen 5x ) dx

 ctg x dx   (csc x  1) dx   (csc x  2 csc x  1) dx 4 2 2 2  ctg x dx   [ (1  ctg x) csc x  2 csc x  1 ] dx 4 2 2 2 2  ctg x dx   (ctg x csc x  csc x  2 csc x  1) dx

44.

 senh mx cosh nx dx  senh mx senh nx dx  cosh mx cosh nx dx

 sen 2 x cos 2 x

3.

 senh 3x senh 4x dx 1

 senh 3x senh 4x dx  2  [ cosh (3x  4x)  cosh (3x  4x) ] dx 1

1

 senh 3x senh 4x dx  2  [ cosh 7x  cosh (x) ] dx  2  ( cosh 7x  cosh x ) dx 1

1

 senh 3x senh 4x dx  14 senh 7x  2 senh x  C

83

4.

 cosh 4x senh x dx

1

1

 cos 2x cos 7x dx  2  [ cos (2x  7x)  cos (2x  7x) ] dx

1

 cos 2x cos 7x dx  2  [ cos (5x)  cos 9x ] dx  2  ( cos 5x  cos 9x ) dx

 cosh 4x senh x dx  2  [ senh (x  4x)  senh (x  4x) ] dx

1

1

 cosh 4x senh x dx  2  [ senh 5x  senh (3x) ] dx  2  ( senh 5x  senh 3x ) dx 1

1

8. I   sen x sen 2x sen 3x dx

5. I   cos 3 2x sen 3x dx I   cos 2 2x cos 2x sen 3x dx   (

I 1  cos 4x ) cos 2x sen 3x dx 2

1 1 I   cos 2x sen 3x dx   cos 4x (cos 2x sen 3x) dx 2 2 1 1 I   (sen x  sen 5x) dx   cos 4x (sen x  sen 5x) dx 4 4 1 1 I   (sen x  sen 5x) dx   (cos 4x sen x  cos 4x sen 5x) dx 4 4 1 1 1 I   cos x  cos 5x   (cos 4x sen x  cos 4x sen 5x) dx 4 20 4 1 1 1 I   cos x  cos 5x   (sen 3x  sen 5x  sen x  sen 9x) dx 4 20 8 1 1 1 1 1 1 I   cos x  cos 5x  cos 3x  cos 5x  cos x  cos 9x  C 4 20 24 40 8 72 3 1 3 1 I   cos x  cos 3x  cos 5x  cos 9x  C 8 24 40 72

6.

I

9.

 sen 3x sen 5x dx  7.

 cos 2x cos 7x dx

 sen 4x cos 5x dx 1 1

1

 sen 4x cos 5x dx  2  [ sen (x)  sen 9x ] dx  2  (  sen x  sen 9x ) dx 1

1

 sen 4x cos 5x dx  2 cos x  18 cos 9x  C 10.

 sen 8x sen 3x dx 1

 sen 8x sen 3x dx  2  [ cos (8x  3x)  cos (8x  3x) ] dx 1

1

 sen 8x sen 3x dx  2  [ cos (5x)  cos 11x ] dx  2  ( cos 5x  cos 11x ) dx 1

1 1 [ cos (2x)  cos 8x ] dx   ( cos 2x  cos 8x ) dx  2 2 1 1 sen 2x  sen 8x  C 4 16

1

 sen 8x sen 3x dx  10 sen 5x  22 sen 11x  C

1

 sen 3x sen 5x dx 

1 1 sen x (cos x  cos 5x) dx   (sen x cos x  sen x cos 5x) dx  2 2 1 1 1 1 (sen 2x  sen 4x  sen 6x) dx   cos 2x  cos 4x  cos 6x  C  4 8 16 24

 sen 4x cos 5x dx  2  [ sen (4x  5x)  sen (4x  5x) ] dx

 sen 3x sen 5x dx

 sen 3x sen 5x dx  2  [ cos (3x  5x)  cos (3x  5x) ] dx

1

 cos 2x cos 7x dx  10 sen 5x  18 sen 9x  C

1

 cosh 4x senh x dx  10 cosh 5x  6 cosh 3x  C

1

11.

 cosh 3x cosh x dx 1

 cosh 3x cosh x dx  2  [ cosh (3x  x)  cosh (3x  x) ] dx 1

1

1

 cosh 3x cosh x dx  2  ( cosh 4x  cosh 2x ) dx  8 senh 4x  4 senh 2x  C 12.

 senh 4x senh x dx

84

1  senh 4x senh x dx  2  [ cosh (4x  x)  cosh (4x  x) ] dx 1 1  senh 4x senh x dx  2  [ cosh 5x  cosh (3x) ] dx  2  ( cosh 5x  cosh 3x ) dx 1 1  senh 4x senh x dx  10 senh 5x  6 senh 3x  C

13.

17.

1

 cos x cos 5x dx  2  [ cos (x  5x)  cos (x  5x) ] dx 1

1 1

1

18.

1

1

 sen 2x cos 7x dx  10 cos 5x  18 cos 9x  C 14.

 sen 3x cos x dx 1

 sen 3x cos x dx  2  [ sen (3x  x)  sen (3x  x) ] dx 1

1

19. 1

 sen 3x cos x dx  2  [ sen 2x  sen 4x ] dx   4 cos 2x  8 cos 4x  C 15.

 sen x cos 3x dx 1

 sen x cos 3x dx  2  [ sen (x  3x)  sen (x  3x) ] dx 1

1

 sen x cos 3x dx  2  [ sen (2x)  sen 4x ] dx  2  (  sen 2x  sen 4x ) dx  sen x cos 3x dx  16.

1 1 cos 2x  cos 4x  C 4 8

1

 cos x cos 5x dx  8 sen 4x  12 sen 6x  C

 sen 2x cos 7x dx  2  [ sen (5x)  sen 9x ] dx  2  (  sen 5x  sen 9x ) dx 1

1

 cos x cos 5x dx  2  [ cos (4x)  cos 6x ] dx  2  ( cos 4x  cos 6x ) dx

 sen 2x cos 7x dx  sen 2x cos 7x dx  2  [ sen (2x  7x)  sen (2x  7x) ] dx

 cos x cos 5x dx

20.

x

3x dx 2 x 3x  sen 2 cos 2 dx  x 3x  sen 2 cos 2 dx  x 3x  sen 2 cos 2 dx 

 sen 2 cos

3x dx 2 x 3x  sen 2 sen 2 dx  x 3x  sen 2 sen 2 dx  x 3x  sen 2 sen 2 dx 

1 x 3x x 3x [ sen (  )  sen (  ) ] dx  2 2 2 2 2 1 1 [ sen ( x )  sen 2x ] dx   (  sen x  sen 2x ) dx 2 2 1 1 cos x  cos 2x  C 2 4

x

 sen 2 sen

1 x 3x x 3x [ cos (  )  cos (  ) ] dx  2 2 2 2 2 1 1 [ cos ( x )  cos 2x ] dx   ( cos x  cos 2x ) dx  2 2 1 1 sen x  sen 2x  C 2 4

 cosh 2x cosh 9x dx 1

 cosh 2x cosh 9x dx  2  [ cosh (2x  9x)  cosh (2x  9x) ] dx

 sen 2x sen 9x dx

1

1

 sen 2x sen 9x dx  2  [ cos (2x  9x)  cos (2x  9x) ] dx 1

1 1  sen 2x sen 9x dx  14 sen 7x  22 sen 11x  C

1

1

 cosh 2x cosh 9x dx  22 senh 11x  14 senh 7x  C

1

 sen 2x sen 9x dx  2  [ cos (7 x)  cos 11x ] dx  2  ( cos 7x  cos 11x ) dx

1

 cosh 2x cosh 9x dx  2  [ cosh 11x  cosh (7 x) ] dx  2  ( cosh 11x  cosh 7x ) dx

21.

 senh x senh 7x dx 1

 senh x senh 7x dx  2  [ cosh (x  7x)  cosh (x  7x) ] dx

85

1 1  senh x senh 7x dx  2  [ cosh 8x  cosh (6x) ] dx  2  ( cosh 8x  cosh 6x ) dx 1 1  senh x senh 7x dx  16 senh 8x  12 senh 6x  C

22.

 sen  sen

3

3

x cos 3x dx

x cos 3x dx   sen x (

1  cos 2x ) cos 3x dx 2

1 sen x (cos 3x  cos 2x cos 3x) dx 2 1 1 3  sen x cos 3x dx  2  sen x [ cos 3x  2 (cos x  cos 5x) ] dx 1 1 1 3  sen x cos 3x dx  2  sen x ( cos 3x  2 cos x  2 cos 5x ) dx 1 1 1 3  sen x cos 3x dx  2  ( sen x cos 3x  2 sen x cos x  2 sen x cos 5x ) dx 1 1 1 1 3  sen x cos 3x dx  4  (  sen 2x  sen 4x  2 sen 2x  2 sen 4x  2 sen 6x ) dx 1 3 3 1 3  sen x cos 3x dx  4  (  2 sen 2x  2 sen 4x  2 sen 6x ) dx 3 3 1 3  sen x cos 3x dx  16 cos 2x  32 cos 4x  48 cos 6x  C

 sen

23.

3

 cos

x cos 3x dx 

2

 cos

2

x sen 2 4x dx 

 cos

2

x sen 4x dx 

 cos

2

x sen 2 4x dx 

2

 senh  senh

2

2

x cosh 5x dx 

 senh

2

x cosh 5x dx 

 senh

2

x cosh 5x dx 

1 ( cosh 2x cosh 5x  cosh 5x ) dx 2 1 1 [ (cosh 7x  cosh 3x)  cosh 5x ] dx 2 2 1 1 1 senh 7x  senh 3x  senh 5x  C 28 12 10

 senh (2 sen x) cosh (sen x) cos x dx

z  sen x dz  cos x dx senh (2 sen x) cosh (sen x) cos x dx   senh 2z cosh z dz 

Hacemos :

1

 senh (2 sen x) cosh (sen x) cos x dx  2  [ senh (2z  z)  senh (2z  z) ] dz 1

 senh (2 sen x) cosh (sen x) cos x dx  2  ( senh 3z  senh z ) dz 1

1

 senh (2 sen x) cosh (sen x) cos x dx  6 cosh 3z  2 cosh z  C 1

1

 senh (2 sen x) cosh (sen x) cos x dx  6 cosh (3 sen x)  2 cosh (sen x)  C IX. INTEGRALES DE LA FORMA

 P(x) e

ax

dx

,  P(x) sen ax dx

y

 P(x) cos ax dx

x sen 2 4x dx

2 2  cos x sen 4x dx   (

24.

25.

 senh

2

1  cos 2x 1  cos 8x )( ) dx 2 2

1 ( 1  cos 8x  cos 2x  cos 2x cos 8x ) dx 4 1 1 [ 1  cos 8x  cos 2x  (cos 6x  cos 10x) ] dx 4 2 1 1 1 1 1 x  sen 8x  sen 2x  sen 6x  sen 10x  C 4 32 8 48 80

I

1 4x 24x 2  12x  2 48x  12 48 e (8x 3  6x 2  2x  5    )C 4 4 42 43

1 4x 24x 2  12x  2 48x  12 48 e (8x 3  6x 2  2x  5    )C 4 4 16 64 1 4x I  e (16x 3  4x  9)  C 8 I

2. I   (3x 2  2x  1) sen 2x dx

x cosh 5x dx

x cosh 5x dx   (

1. I   (8x 3  6x 2  2x  5) e 4x dx

cosh 2x  1 ) cosh 5x dx 2

I

1 6 1 6x  2 cos 2x (3x 2  2x  1  )  sen 2x ( )C 2 2 2 2 2

86

1 6 1 6x  2 I   cos 2x (3x 2  2x  1  )  sen 2x ( )C 2 4 2 2 1 1 I   cos 2x (6x 2  4x  1)  sen 2x (3x  1)  C 4 2

3. I   (x 3  3x) e 6x dx

I  sen u (u 5  8u 

I I

1 6x 3 3x 2  3 6x 6 e ( x  3x    )C 6 6 36 216 1 6x e (36x 3  18x 2  102x  17)  C 216

I

4. I  

I

4 e 3x

dx

1 3x 6x  2 6 e [ 3x 2  2x  1   ] C 12 3 (3) 2

1 3x 6x  2 6 e (3x 2  2x  1   )C 12 3 9 1 I   e 3x (9x 2  12x  1)  C 36 I

5. I   (2x 4  2x  1) sen 2x dx I

1 24x 2 48 1 8x 3  2 48x cos 2x (2x 4  2x  1   )  cos 2x (  )C 2 2 2 22 24 23

1 24x 2 48 1 8x 3  2 48x cos 2x (2x 4  2x  1   )  cos 2x (  )C 2 4 16 2 2 8 1 1 I   cos 2x (2x 4  6x 2  2x  2)  cos 2x (4x 3  6x  1)  C 2 2 1 I  cos 2x (x 4  3x 2  x  1)  cos 2x (4x 3  6x  1)  C 2 I

6. I   (u 5  8u) cos u du

120u 14

)  cos u (

5u 4  8 60u 2 120   )C 1 13 15

7. I   (x 3  5x 2  2) e 2x dx I

3x 2  2x  1

12



I  sen u (u 5  20u 3  112u )  cos u (5u 4  60u 2  112)  C

1 6x 3 3x 2  3 6x 6 e ( x  3x    )C 6 6 6 2 63

I

20u 3

1 2x 3 3x 2  10x 6x  10 6 e ( x  5x 2  2    )C 2 2 22 23

1 2x 3 3x 2  10x 6x  10 6 e ( x  5x 2  2    )C 2 2 4 8 1 2x I  e (4x 3  14x 2  14x  1)  C 8

8. I   x 4 cos x dx I  sen x (x 4 

12x 2 12



24 14

)  cos x (

4x 3 24x  )C 1 13

I  sen x (x 4  12x 2  24)  cos x (4x 3  24x)  C

9. I   x 2 sen 2x dx 1 2 1 2x cos 2x (x 2  )  sen 2x ( )  C 2 2 2 2 2 1 2 1 2x I   cos 2x (x 2  )  sen 2x ( )  C 2 4 2 2 1 1 I   cos 2x (2x 2  1)  x sen 2x  C 4 2 I

10. I   x 2 cos

x dx 2

x 2 x [ x  (2) (2 2 ) ]  2 cos [ (2x) (2) ]  C 2 2 x 2 x I  2 sen (x  8)  8x cos  C 2 2 I  2 sen

87 X.

 R (x

INTEGRALES DE LA FORMA

n

, a  x ) dx y 2

2

 R (x

n

, x  a ) dx 2

2



(Donde n es un número entero impar positivo)

1.



x5 x2 9

3.

dx

Hacemos : z 2  x 2  9 

    

x

x2 9 x

5

x2 9 x5 x2 9 x5 x2 9 x5 x2 9

dx  

x

4

x dx  

x2 9 2

(z  9) 2

2

z2 4

x3

 (x 2  9) 3/2

z dz  

2

x

2.



x2 3

2

x3

 (x 2  9) 3/2

1 5 z  6z 3  81z  C 5

x

dx  dx 

1 x 2  9 [ (x 2  9) 2  30 (x 2  9)  405 ]  C 5

dx 

1 x 2  9 (x 4  12x 2  216)  C 5

4.

 

x2 3 x5  x

dx

dx   dx  

dx  

x 1 4

2

x2 3

x dx  

(z  3)  1 2

z2

4

z2 9 z

x dx  

dz   (1 

2

x 9

9 z

2

z2 9

z dz  

(z 2 ) 3/2

) dz  z 

z3

z dz

9 1  C  (z 2  9)  C z z

1

(x 2  9  9)  C 

z2 9

x 9 2

(x 2  18)  C

x5

5

dx  

x5

2

(x 2  9) 3/2

2

x4 (3  x 2 ) 4

 (3  x 2 ) 4 dx  

x  z 3 2

x2

1

dx 

x5

2

x2  z2 9

x2  3 z2

 z dz  x dx

2

x5

z 

3 2z

1

7

4



2

5.



x3 2x 2  7

dx

z dz   

(z 2 ) 4

dz    (

1 2z

(3  z 2 ) 2

C 

 (3  x 2 ) 4 dx  2 (3  x 2 ) 3 [ 3  3 (3  x

2

1 dx  x 2  3 [ (x 2  3) 2  10 (x 2  3)  40 ]  C 2 5 x 3

3

x dx   

9  6z 2  z 4

 (3  x 2 ) 4 dx  2z 6

z  6z  8 z dz   z dz z 4

1 1 dx   (z  6z  8) dz  z 5  2z 3  8z  C  z (z 4  10z 2  40)  C 2 5 5 x 3

x5  x

dx

Hacemos : z 2  3  x 2 

z dz  x dx



1 x 2  3 (x 4  4x 2  19)  C 5

 (3  x 2 ) 4 dx

 (3  x 2 ) 4

Hacemos : z  x  3  x x

3

 (x 2  9) 3/2

1 z (z 4  30z 2  405)  C 5

2

5

3

 (x 2  9) 3/2

(z  9) z dz z 2

x

x5  x

dx 

z dz  x dx

dx   (z  9) dz   (z  18z  81) dz  2

x 3 2

Hacemos : z 2  x 2  9 

x2  z2  9

z dz  x dx 5

x5  x

2

9 z

7

1 2z 6



6 z

5



1 z3

(3  z 2 ) 2 z8

z dz

) dz

(3  3z 2  z 4 )  C

)  (3  x 2 ) 2 ]  C 

x 4  3x 2  3 2 (3  x 2 ) 3

C

88

Hacemos : z 2

 2x 2  7  x 2 

z 7 2 2

2x 3

 (x 2  1) 4 dx  2 

1 z dz  x dx 2

2x 3

z 7 2 2 z dz  1 z  7 z dz 4 z z2

 (x 2  1) 4

2

    6.



x3 2x 2  7 x3 2x  7 2

dx   dx 

x2

1 x dx   2 2x 2  7

8.

1 1 7 1 (z 2  7) dz  z 3  z  C  z (z 2  21)  C 4 12 4 12

2x 2  7 x3 4x

2



1 2x 2  7 (x 2  7)  C 6

 

dx

Hacemos : z 2  4  x 2 

x2  4  z2



 z dz  x dx

   7.

x3 4 x2 x3 4x

2

x3 4 x2

2x

dx   dx 

x2 4 x2

x dx   

4  z2 z2

z dz  

z2  4 z dz   (z 2  4) dz z

1 3 1 1 z  4z  C  z (z 2  12)  C  4  x 2 (4  x 2  12)  C 3 3 3

dx  



2 (x 2  1) 2



z

5



1 z

) dz  

7

1 3 (x 2  1) 3

dx

z dz  x dx x2

 (x 2  1) 4 dx  2  (x 2  1) 4

x dx  2 

z 2 1 (z 2 ) 4





x 2  z 2 1 z dz  2 

z 2 1 z8

z dz

1 2z

C  

4



1

C

3z 6

3x 2  1 6 (x 2  1) 3

C

dx

x 2  z 2 1

(3  x ) x 3 2 2

(1  x 2 ) 2 (3  x 2 ) 2 x 3 (1  x 2 ) 2 (3  x 2 ) 2 x 3 (1  x 2 ) 2 (3  x 2 ) 2 x 3 (1  x )

2 2

(3  x ) x 2 2

(1  x )

2 2

3

dx  

(3  x 2 ) 2 x 2

dx  

(z 2  2) 2 (z 2  1)

dx  

(z 4  4z 2  4) (z 2  1)

(1  x 2 ) 2 z4

4 z

3

(3  z 2  1) 2 (z 2  1) (z 2 ) 2

z dz  

z3

dx   (z 3  3z  dx 

x dx  

) dz 



x 3  3x  3 x2  x 2 x 3  3x  3 x x2 2

x  3x  3 3

x x2 2

z dz

(z 2  2) 2 (z 2  1)

dz  

z3 z 6  3z 4  4 z3

dz

dz

1 4 3 2 2 z  z  C 4 2 z2

1 2 3 2 (x  1) 2  (x 2  1)  C 2 4 2 x 1

XI. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES f (x) 

1.

Hacemos : z 2  x 2  1  2x 3

1

1

1 4  x 2 (x 2  8)  C 3

3

 (x 2  1) 4

(1  x 2 ) 2

dz  2  (

z dz  x dx

1 1 dx  2x 2  7 (2x 2  7  21)  C  2x 2  7 (2x 2  14)  C 2 12 12 2x  7 dx 

(3  x 2 ) 2 x 3

z

7

Hacemos : z 2  1  x 2 

x3 x3



dx  

z 2 1

P(x) Q(x)

dx dx   (x  1  dx 

1 x x2 2

) dx 

1 2 dx x x 2 (x  1) (x  2)

1 2 dx x x 2 2 x x2

89

x 2  6x  8

1 A B   (x  1) (x  2) x  1 x  2 1  A(x  2)  B(x  1) 1  (A  B)x  (2A  B)

 x 2  2x  5 dx  x  4 Ln(x 3.

AB0   A  1/3, B  1/3 2A  B  1

    2.

x 3  3x  3 x x2 2

x 3  3x  3 x2  x 2 x 3  3x  3 x2  x 2 x  3x  3 3

x x2 2

dx 

(x  1) (x  x  1)

dx 

1 2 1 dx 1 dx x x   2 3 x 1 3  x  2

dx 

1 2 1 1 x  x  Ln x  1  Ln x  2  C 2 3 3

dx 

1 2 1 x 1 x  x  Ln C 2 3 x2



A  2B  0    A  B  C  0 A  1/3, B  1/6, C  1/2 A  B  C  1  dx 1/3 1/6 (2x  1)  1/2  x 3  1   ( x  1  x 2  x  1 ) dx dx 1 dx 1 2x  1 1 dx  x 3  1  3  x  1  6  x 2  x  1 dx  2  x 2  x  1 dx 1 1 1 dx 2  x 3  1  3 Ln x  1  6 Ln(x  x  1)  2  1 2 3 (x  )  2 4 dx 1 1 1 2x  1 2  x 3  1  3 Ln x  1  6 Ln(x  x  1)  3 arc tg ( 3 )  C

3  8x

x  2x  5 x 2  2x  5 3  8x  A(2x  2)  B 3  8x  2Ax  (2A  B) 2A  8   A  4, B  11 2A  B  3

x 2  6x  8

4.

 4 (2x  2)  11 x 2  2x  5

dx

dx

 x 2  2x  5 dx  x  4  x 2  2x  5 dx  11  x 2  2x  5 x 2  6x  8

 x 2  2x  5 dx  x  4 Ln(x

2

 2x  5)  11 

dx

 x 3 1 dx

 x 3  1   (x  1) (x 2  x  1)

dx

2x  2

B(2x  1)  C A  x 1 x 2  x 1

1  (A  2B)x 2  (A  B  C) x  (A  B  C)

A(2x  2)  B

 x 2  2x  5 dx  x  



1  A(x 2  x  1)  B(2x  1)(x  1)  C(x  1)

 x 2  2x  5 dx   (1  x 2  2x  5 ) dx  x   x 2  2x  5 dx

x 2  6x  8

dx

2

x 2  6x  8

3  8x

dx

1

 x 2  2x  5 dx

2

11 x 1 arc tg ( )C 2 2

 x 3 1 dx

3  8x

 2x  5) 

 x 3  1   (x  1) (x 2  x  1)

1 2 1/3  1/3 x x(  )dx 2 x 1 x  2

x 2  6x  8

2

1 (x  1) (x  x  1) 2



B(2x  1)  C A  x 1 x 2  x 1

dx

1  A(x 2  x  1)  B(2x  1)(x  1)  C(x  1)

(x  1) 2  4

1  (A  2B)x 2  (A  B  C) x  (A  B  C)

A  2B  0   A  B  C  0 A  1/3, B  1/6, C  1/2 A  BC 1  dx

1/3

 x 3 1   ( x 1     5.

90

6.

1/6 (2x  1)  1/2

) dx x 2  x 1 dx 1 dx 1 2x  1 1 dx     dx   3 2 2 2 x  x 1 x 1 3 x 1 6 x  x 1 dx 1 1 1 dx  Ln x  1  Ln(x 2  x  1)   3 1 3 6 2 x 1 3 (x  ) 2  2 4 dx 1 1 1 2x  1  Ln x  1  Ln(x 2  x  1)  arc tg ( )C 3 6 3 3 x 1 3

(x  2) (x  3) (x  1)

A (x  2)

2



(1  u) (1  u) (1  u )

 

BCD  0

 (x  2) 2 (x 2  4x  3) 

C(2u)  D A B   1 u 1 u 1 u 2

 A(1  u)(1  u 2 )  B(1  u)(1  u 2 )  C(2u)(1  u)(1  u)  D(1  u)(1  u) 2u 2  (A  B  2C)u 3  (A  B  D)u 2  (A  B  2C)u  (A  B  D) A  B  2C  0  A  B  D  2   A  1/2, B  1/2, C  0, D  1 A  B  2C  0 A  B  D  0 

1  (B  C  D)x 3  (A  6B  5C  7D)x 2  (4A  11B  8C  16D)x  (3A  6B  4C  12D)

1 1 x 3  Ln C x2 2 x 1



2u 2

1  A(x  3)(x  1)  B(x  2)( x  3)( x  1)  C(x  2) 2 ( x  1)  D(x  2) 2 ( x  3)

dx

sen x u2 2u 2 2u 2 dx   2u du   du   du cos x 1  (u 2 ) 2 1 u 4 (1  u) (1  u) (1  u 2 ) 2

B C D   x  2 x  3 x 1

  A  6B  5C  7D  0   A  1, B  0, C  1/2, D  1/2  4A  11B  8C  16D  0 3A  6B  4C  12D  1   dx 1 1/2 1/2  (x  2) 2 (x 2  4x  3)   ( (x  2) 2  x  3  x  1 ) dx dx dx 1 dx 1 dx  (x  2) 2 (x 2  4x  3)   (x  2) 2  2  x  3  2  x  1 dx 1 1 1  (x  2) 2 (x 2  4x  3)  x  2  2 Ln x  3  2 Ln x  1  C

u 2  sen x

2u 2

dx



sen x sen x sen x dx   cos x dx   cos x dx 2 cos x cos x 1  sen 2 x



 (x  2) 2 (x 2  4x  3)   (x  2) 2 (x  3) (x  1) 1



2u du  cos x dx

dx

2

sen x dx cos x

Hacemos :

 (x  2) 2 (x 2  4x  3) dx



7.

sen x 1/2 1/2 1 dx   (   ) du cos x 1 u 1 u 1 u 2 sen x 1 du 1 du du dx     cos x 2 1 u 2  1 u  1 u 2



sen x 1 1 dx   Ln 1  u  Ln 1  u  arc tg u  C cos x 2 2



sen x 1 u 1 1 sen x  1 dx  Ln  arc tg u  C  Ln  arc tg sen x  C cos x 2 u 1 2 sen x  1 dx

 x (x 69  1) 3 68

dx 1 69x  x (x 69  1) 3  69  x 69 (x 69  1) 3 dx

Hacemos :

u  x 69  1 du  69x 68 dx

91

dx

 x (x 69  1) 3  1 u (u  1) 3



A u

3

1 du  69 (u  1) u 3

B



u

2





2t 2

1 du  3 69 u (u  1)

(t  2 t  1) (t  2 t  1) 2

3

1 du 1 du 1 du 1 du   3   2     69 3 69 u 69 u 69 u 69 u  1 x (x  1) dx 1 1 1 1    Ln u  Ln u  1  C 69 3 2 69u 69 69 x (x  1) 138u

69

69

dx 1 x 1 1  x (x 69  1) 3  69 [ Ln x 69  1  x 69  1  2 (x 69  1) 2

] C

] C

8. I   tg x dx

Hacemos :

t

 tg x

dx  I I

2t t 2 1 t 4

2t 1 t 4

dt  



1 t 4

dt  

2t 2 (t  1  2 t) (t  1  2 t) 2

2

I

2 4

 t2 

I

2 1 dt 2 1 dt Ln(t 2  2 t  1)    Ln(t 2  2 t  1)   4 2 t 2  2t  1 4 2 t 2  2t  1

x arc tg (t ) 2

(t 2  1) 2  2t 2 dt  

2t 2 (t  2 t  1) (t  2 t  1) 2

2

dt

1 dt 2  2  t 2  2t  1 4

2 t 2  2t  1 1 Ln( )  4 t 2  2t  1 2

dt (t 

2 2 1 )  2 2



2t  2

 t2 

1 2

2t  1

dt 

1 dt 2  t 2  2t  1

dt (t 

2 2 1 )  2 2

I

tg x  2 tg x  1 2 2 2 Ln( ) arc tg ( 2 tg x  1)  arc tg ( 2 tg x  1)  C 4 2 2 tg x  2 tg x  1 x sec 2 x 3  4 tgx  sec 2 x

dx

x sec 2 x 3  4 tg x  1  tg 2 x

Hacemos :

dt

2t  1

dt 

2 t 2  2t  1 2 2 Ln( ) arc tg ( 2 t  1)  arc tg ( 2 t  1)  C 2 4 2 2 t  2t  1

I

2t 2

2t  2

I

9. I  

dt

2t 2

t 2  2t  1

2 1 2 1 (2t  2 )  (2t  2 )  4 2 4 2 ] dt 2 2 t  2t  1 t  2t  1

I

1 u 1 1 1 [ Ln   ] C 69 u u 2u 2

dx 1 x 11 1 1  x (x 69  1) 3  69 [ Ln x 69  1  x 69  1  2 (x 69  1) 2

2

C(2t  2 )  D



I  [

dx

 x (x 69  1) 3



   2 A  B  2 C  D  2 2 1 2 1 , B , C , D  A 4 2 4 2  2B  2D  0   2 A  B  2C  D  0 

C  D  0 B  C  0   A  1, B  1, C  1, D  1 A  B  0  A  1  dx 1 1 1 1 1  x (x 69  1) 3  69  ( u 3  u 2  u  u  1) du



t  2t  1 2

2A  2C  0

1  (C  D)u 3  (B  C)u 2  (A  B)u  A

dx

A(2t  2 )  B

2t 2  (2A  2C)t 3  ( 2A  B  2C  D)t 2  ( 2B  2D)t  ( 2A  B  2C  D)

1  A(u  1)  B(u)(u  1)  C(u )(u  1)  D(u )





2t 2  A(2t  2 )(t 2  2t  1)  B(t 2  2t  1)  C(2t  2 )(t 2  2t  1)  D(t 2  2t  1)

C D  u u 1 2



2

ux du  dx

dx  

x sec 2 x 4  4 tg x  tg 2 x

dv 

sec 2 x

( tg x  2 ) 2 1 v  tg x  2

dx

dx  

x sec 2 x ( tg x  2 ) 2

dx

92 2

I

x dx x sec x    dx tg x  2  tg x  2 tg x  2  ( tg x  2 ) sec 2 x

I

x sec 2 x  dx tg x  2 ( tg x  2 ) ( 1  tg 2 x )

Hacemos : I

10.

4x 2  6

 tg x dz  sec 2 x dx

4x 2  6 x (x  3) 2

(z  2) (1  z )



A  2B  4  C0  A  2, B  1, C  0  3A  6 

1  A(1  z 2 )  B(2z)(z  2)  C(z  2) 1  (A  2B)z 2  (4B  C)z  (A  2C)

x 1 I  Ln tg x  2 5 I

I

z2 1 z 2

2  arc tg z  C 5

tg x  2 x 1 2  Ln  arc tg (tg x)  C 2 tg x  2 5 5 1  tg x tg x  2 2 tg x  2 2 x 1 x 1  Ln  xC    Ln  xC 2 tg x  2 5 5 tg x  2 5 sec x 5 sec x

A B(2x)  C  x x2 3

4x 2  6  (A  2B)x 2  Cx  3A

B(2z)  C A  z2 1 z 2

A  2B  0   4B  C  0  A  1/5, B  1/10, C  2/5 A  2C  1  x 1/5 1/10 (2z)  2/5 I (  ) dz tg x  2 z2 1 z 2 x 1 dz 1 2z 2 dz I   dz   tg x  2 5  z  2 10  1  z 2 5 1 z 2 x 1 1 2 I  Ln z  2  Ln (1  z 2 )  arc tg z  C tg x  2 5 10 5 x 1 1 2 I  Ln z  2  Ln 1  z 2  arc tg z  C tg x  2 5 5 5



4x 2  6  A(x 2  3)  B(2x)(x)  C(x)

x dz  tg x  2  (z  2) (1  z 2 ) 2

4x 2  6

 x 3  3x dx   x (x 2  3) dx

z

1

4x 2  6

 x 3  3x dx

4x 2  6

2

2x

 x 3  3x dx   ( x  x 2  3 ) dx  2  4x 2  6

 x 3  3x dx  2 Ln x  Ln (x 4x 2  6

 x 3  3x dx  Ln [ x 11.

2

2

dx 2x  dx x  x2 3

 3)  C  Ln (x 2 )  Ln (x 2  3)  C

(x 2  3) ]  C

x5

 (x 2  4) 2 dx 8x 3  16x

x5

 (x 2  4) 2 dx   [ x  (x 2  4) 2 8x 3  16x (x  4) 2

2



A(2x)  B (x  4) 2

2



] dx 

1 2 8x 3  16x x  dx 2 (x 2  4) 2

C(2x)  D x2  4

8x 3  16x  A(2x)  B  C(2x)(x 2  4)  D(x 2  4) 8x 3  16x  2Cx 3  Dx 2  (2A  8C)x  (B  4D) 2C  8

  D0   A  8, B  0, C  4, D  0 2A  8C  16 B  4D  0 

93

x

5

1

 (x 2  4) 2 dx  2 x x5

 (x 2  4) 2

dx 

x5



1

 

x 4  4x 2  14x x 2  2x  8

x  4x  14x 4

2

x  2x  8 2

x  4x  14x 4

2

 [

 8(2x) (x 2  4) 2



4(2x) x2  4

2



8 x2  4

 4 Ln (x 2  4)  C

   13.

x 2  2x  8 x 4  4x 2  14x x 2  2x  8 x 4  4x 2  14x x 2  2x  8

dx   (x 2  2x  8  dx 

18x  64 x 2  2x  8

) dx

1 3 18x  64 x  x 2  8x   dx 3 (x  4) (x  2)

1 68/3  14/3 dx  x 3  x 2  8x   (  ) dx 3 x4 x2 dx 

1 3 68 dx 14 dx x  x 2  8x   3 3  x4 3  x2

1 68 14 dx  x 3  x 2  8x  Ln x  4  Ln x  2  C 3 3 3

dx

 (x 2  2x  5) 3 dx dx  (x 2  2x  5) 3   [ (x  1) 2  4 ]3

Hacemos :

 (x 2  2x  5) 3 Hacemos :

1

dz

  4

(z 2  4) 2

u z

dv 

z  x 1 dz  dx



2

dz

1 z2 dz 4  (z 2  4) 3

z

dz (z  4) 3 1 v  2 4 (z  4) 2

dx

A  B  18   A  68/3, B  14/3 2A  4B  64 x 4  4x 2  14x

dx

du  dz

x  2x  8 18x  64 A B   (x  4) (x  2) x  4 x  2 18x  64  A(x  2)  B(x  4) 18x  64  (A  B)x  (2A  4B) 2

dx dz 1 (z  4)  z  (x 2  2x  5) 3   (z 2  4) 3  4  (z 2  4) 3 2

] dx

1 2 2x 2x x 8 dx  4  dx 2 2 2 2 (x  4) x 4

 (x 2  4) 2 dx  2 x 12.

2

2

dx 1 dz 1 z  (x 2  2x  5) 3  4  (z 2  4) 2  4 [  4 (z 2  4) 2



1 dz ]  2 4 (z  4) 2

dx 1 dz z 1 dz  (x 2  2x  5) 3  4  (z 2  4) 2  16 (z 2  4) 2  16  (z 2  4) 2 dx z 3 dz  (x 2  2x  5) 3  16 (z 2  4) 2  16  (z 2  4) 2 dx

 (x 2  2x  5) 3



z 16 (z 2  4) 2



3 1 (z 2  4)  z 2 [ dz ] 16 4  (z 2  4) 2 2

dx z 3 dz 3 z  (x 2  2x  5) 3  16 (z 2  4) 2  64  z 2  4  64  (z 2  4) 2 dz

Hacemos :

u1  z du 1  dz

dv1 

z

dz (z  4) 2 1 v1   2 2 (z  4) 2

dx z 3 dz 3 z 1 dz  (x 2  2x  5) 3  16 (z 2  4) 2  64  z 2  4  64 [  2 (z 2  4)  2  z 2  4 ] dx z 3 dz 3z 3 dz  (x 2  2x  5) 3  16 (z 2  4) 2  64  z 2  4  128 (z 2  4)  128  z 2  4 dx z 3z 3 dz  (x 2  2x  5) 3  16 (z 2  4) 2  128 (z 2  4)  128  z 2  4 dx z 3z 3 z  (x 2  2x  5) 3  16 (z 2  4) 2  128 (z 2  4)  256 arc tg ( 2 )  C

94

3 (x  1)

x 1

3 x 1  (x 2  2x  5) 3  16 [ (x  1) 2  4 ] 2  128 [ (x  1) 2  4 ]  256 arc tg ( 2 )  C 3 (x  1) dx x 1 3 x 1  (x 2  2x  5) 3  16 (x 2  2x  5) 2  128 (x 2  2x  5)  256 arc tg ( 2 )  C dx

dx dx  (x 2  4) 2   (x 2  2 2 ) 2 n  2,

2 (2)  3 dx x dx  (x 2  4) 2  2 (2 2 ) (2  1) (x 2  2 2 ) 21  2 (2 2 ) (2  1)  (x 2  2 2 ) 21

14. Demostrar la fórmula de reducción : dz

2n  3

z

dz

 (z 2  k 2 ) n  2k 2 (n  1)(z 2  k 2 ) n 1  2k 2 (n  1)  (z 2  k 2 ) n 1 In



In



In



dz

1 k2 1 k

2



(z 2  k 2 )  z 2 (z 2  k 2 ) n dz

u z du  dz

In

 

In



In



16.

1 2

k 1

k2

dz

x 2  x 1

 x 3  x 2  x  1 dx x 2  x 1

 x 3  x 2  x 1

dz z2

1

 (z 2  k 2 ) n 1  k 2  (z 2  k 2 ) n

Hacemos :

In

dx x 1 dx x 1 x  (x 2  4) 2  8 (x 2  4)  8  x 2  4  8 (x 2  4)  16 arc tg ( 2 )  C

; n2

(z 2  k 2 ) n

k2

dv 

z

(x  1) (x  1) 2

z

1

z

dz

1

x 2  x 1

2k 2 (n  1)(z 2  k 2 ) n 1 z 2k 2 (n  1)(z 2  k 2 ) n 1

[ 



1

B C  x 1 x 1

]

x 2  x 1 x 2  x 1

dx

 (x 2  4) 2

1



5/4  1/4  ) dx x 1 x 1

dx

5

dx

1

dx

1

5

1

 x 3  x 2  x  1 dx   2 (x  1)  4 Ln x  1  4 Ln x  1  C

 2k 2 (n  1) (z 2  k 2 ) n 1

dz z 2n  3 dz  (z 2  k 2 ) n  2k 2 (n  1)(z 2  k 2 ) n 1  2k 2 (n  1)  (z 2  k 2 ) n 1

1/2

 x 3  x 2  x  1 dx  2  (x  1) 2  4  x  1  4  x  1

dz

k 2 2k 2 (n  1) (z 2  k 2 ) n 1 2n  3 dz

15. Usando la fórmula de reducción, calcular



 x 3  x 2  x  1 dx   ( (x  1) 2

dz

 (z 2  k 2 ) n 1  2k 2 (n  1)( z 2  k 2 ) n 1  2k 2 (n  1)  (z 2  k 2 ) n 1 1

(x  1)

2

B C 1   A  2C  1  A  1/2, B  5/4, C  1/4 A  B  C  1

 (z 2  k 2 ) n 1  k 2 [ 2(n  1)( z 2  k 2 ) n 1  2(n  1)  (z 2  k 2 ) n 1 ]

z

A

dx

x 2  x  1  (B  C)x 2  (A  2C)x  (A  B  C)

2(n  1)(z 2  k 2 ) n 1

dz

(x  1) 2 (x  1)

x  x  1  A(x  1)  B(x  1)(x  1)  C(x  1) 2

1

1



x 2  x 1

2

dz

(z 2  k 2 ) n

v 

x 2  x 1

dz

dx  

17.

x 1

 x 3  2x 2  3x dx x 1

x 1

 x 3  2x 2  3x dx   x (x 2  2x  3) dx

95

x 1 x (x  2x  3) 2



A B(2x  2)  C  x x 2  2x  3



x 2  x 1 x3  x2

dx 

1 x2  Ln C x x 1

x  1  A(x 2  2x  3)  B(2x  2)(x)  C(x) x  1  (A  2B)x 2  (2A  2B  C)x  3A

19.

A  2B  0    2A  2B  C  1 A  1/3, B  1/6, C  4/3  3A  1  x 1 1/3 1/6 (2x  2)  4/3  x 3  2x 2  3x dx   ( x  x 2  2x  3 ) dx x 1 1 dx 1 2x  2 4 dx  x 3  2x 2  3x dx  3  x  6  x 2  2x  3 dx  3  x 2  2x  3 x 1 1 1 4 dx 2  x 3  2x 2  3x dx  3 Ln x  6 Ln(x  2x  3)  3  (x  1) 2  2

x 1

1

1

 x 3  2x 2  3x dx  3 Ln x  6 Ln (x 

18.



x 2  x 1

x x 2 x  x 1 3

x x 3

2

2

x  x 1 2

x 2 (x  1)

 2x  3) 

x2  x 2

x2  x 2 (x  1) (x  4) 2



x3  x2 x 2  x 1 x3  x2

x 1 2

x2  x 2

A

B C  x x 1



x (x  1) 2

2 1 dx dx dx dx   (   ) dx    2  2 2 x x  1 x x 1 x x 1 1 dx   2 Ln x  Ln x  1  C   Ln x 2  Ln x  1  C x x

C(2x)  D x2  4

x2  x 2

1

x2  x 2

1

x2  x 2

1

1/6 (2x)  1 x 1 2

2x



 1/6 (2x)  2 x2  4 dx

1

] dx 2x

dx

 x 4  5x 2  4 dx  6  x 2  1 dx   x 2  1  6  x 2  4 dx  2  x 2  4

dx

1



2A  2C  0  B  D  1   A  1/6, B  1, C  1/6, D  2 8A  2C  1  4B  D  2

2 2 x 1 arc tg ( )C 3 2

B  C  1  A  B  1 A  1, B  2, C  1 A  1 



A(2x)  B

x 2  x  2  (2A  2C)x 3  (B  D)x 2  (8A  2C)x  (4B  D)

 x 4  5x 2  4 dx  6 Ln (x

2

 1)  arc tg x 

x 2 1

1 x Ln (x 2  4)  arc tg ( )  C 6 2 x

 x 4  5x 2  4 dx  6 Ln ( x 2  4 )  arc tg x  arc tg ( 2 )  C

x 2  x  1  (B  C)x 2  (A  B)x  A

x  x 1



x 2  x  2  A(2x)(x 2  4)  B(x 2  4)  C(2x)(x 2  1)  D(x 2  1)

x 2  x  1  A(x  1)  B(x)(x  1)  C(x 2 )

2

2

 x 4  5x 2  4 dx   [ x 2  x 1

x2

x2  x  2

 x 4  5x 2  4 dx   (x 2  1) (x 2  4) dx

dx

dx  



2

x2  x  2

 x 4  5x 2  4 dx

20.

2x 2  3x  3

 (x  1) (x 2  2x  5) dx 2x 2  3x  3

(x  1) (x  2x  5) 2



B(2x  2)  C A  x  1 x 2  2x  5

2x 2  3x  3  A(x 2  2x  5)  B(2x  2)(x  1)  C(x  1) 2x 2  3x  3  (A  2B)x 2  (2A  4B  C)x  (5A  2B  C)

96

A  2B  2    2A  4B  C  3 A  1, B  3/2, C  1 5A  2B  C  3   2x  3x  3

1

2

 (x  1) (x 2  2x  5) dx   [ x  1  2x 2  3x  3

dx

22.

x2

3/2 (2x  2)  1 x 2  2x  5

] dx

x2 (x 3  1) (x 3  9)

dx

 (x  1) (x 2  2x  5) dx    x  1  2  x 2  2x  5 dx   x 2  2x  5 2x 2  3x  3

3

 (x  1) (x 2  2x  5) dx   Ln x  1  2 Ln (x 2x 2  3x  3

3

 (x  1) (x 2  2x  5) dx   Ln x  1  2 Ln (x 21.

2

2

 2x  5)    2x  5) 

dx (x  1) 2  4

1 x 1 arc tg ( )C 2 2

x2

x2

 x 6  10x 3  9

x2

 1  x 6 dx   x 6  1 dx   (x 3  1) (x 3  1) dx x2 (x  1) (x  1) 3



A(3x 2 )  B x 1 3



C(3x 2 )  D x 1

 1/6 (3x 2 ) 1/6 (3x 2 )  ] dx x 3 1 x 3 1 1 3x 2 1 3x 2 dx   dx  6 x 3 1 6 x 3 1

 1  x 6 dx   [

 1  x 6 dx  x

2

1

 1  x 6 dx  6 Ln x

3

1 

dx   [

x3  9

 1/24 (3x 2 ) x 3 1

x2

1

3x 2

x2

1

3

 x 6  10x 3  9 dx   24 Ln x

3

 A(3x 2 )(x 3  1)  B(x 3  1)  C(3x 2 )(x 3  1)  D(x 3  1) x 2  (3A  3C)x 5  (B  D)x 3  (3A  3C)x 2  (B  D) 3A  3C  0   BD  0   A  1/6, B  0, C  1/6, D  0  3A  3C  1  B  D  0 

x2

x 3 1

C(3x 2 )  D





1/24 (3x 2 ) x3 9

] dx

3x 2

1

 x 6  10x 3  9 dx   24  x 3  1 dx  24  x 3  9 dx

x2

x2

A(3x 2 )  B

 A(3x 2 )(x 3  9)  B(x 3  9)  C(3x 2 )(x 3  1)  D(x 3  1) x 2  (3A  3C)x 5  (B  D)x 3  (27A  3C)x 2  (9B  D) 3A  3C  0   BD  0   A  1/24, B  0, C  1/24, D  0  27A  3C  1  9B  D  0 

 1  x 6 dx x2



x2

x2

3

x2

 x 6  10x 3  9 dx   (x 3  1) (x 3  9) dx

2x  2

3

x2

 x 6  10x 3  9 dx

x2

1

 x 6  10x 3  9 dx  24 Ln 23.

x 3 1

C

 x 4  x 2  1 dx x 3  4x  1

x 3  4x  1

x 3  4x  1

 x 4  x 2  1 dx   (x 2  1) 2  x 2 dx   (x 2  1  x) (x 2  1  x) dx

 x 4  x 2 1

dx  

x 3  4x  1 (x 2  x  1) (x 2  x  1)

x 3  4x  1

1 1 x 1 Ln x 3  1  C  Ln C 6 6 x 3 1

x3 9

1 Ln x 3  9  C 24

x 3  4x  1

x 3  4x  1

3

1 

(x  x  1) (x  x  1) 2

2



A(2x  1)  B x  x 1 2



dx

C(2x  1)  D x 2  x 1

97

x  4x  1  A(2x  1)(x  x  1)  B(x  x  1)  C(2x  1)(x  x  1)  D(x  x  1) 3

2

2

2

2x 2

2

x  4x  1  (2A  2C)x  (A  B  C  D)x  (A  B  C  D)x  (A  B  C  D) 2A  2C  1   A  B  C  D  0   A  1/2, B  3/2, C  0, D  2 ABCD  4  A  BC D 1   3

3

x 3  4x  1

 x 4  x 2  1 dx   [

(x  x  1) (x  x  1) 2

2

1/2 (2x  1)  3/2 x  x 1 2



2 x  x 1

x 3  4x  1

1

2x  1

x 3  4x  1

1

2

 x  1) 

3 2

x 3  4x  1

1

2

 x  1) 

3

3

2

 x 4  x 2  1 dx  2 Ln (x

dx

 24.

dx dx 2 1 2 3 1 2 3 (x  )  (x  )  2 4 2 4 arc tg (

2x  1

3

)

3

4

arc tg (

2x  1

3

)C

3

I

x 3  4x  1

1 2x  1 4 2x  1 dx  Ln (x 2  x  1)  3 arc tg ( ) arc tg ( )C 4 2 2 3 3 3 x  x 1 2x

 x 4  x 2 1

26.

dx

2x dx 2 1 2 3 (x  )  2 4 2 1 Hacemos : z  x  2 dz  2x dx 2x dz 2 2z 2 2x 2  1 dx   arc tg ( )  C  arc tg ( )C  x 4  x 2 1  2 3 3 3 3 3 z  4

I

2x 2 x 4  x 2 1 2x 2

(x 2  1) 2  x 2

2x 2 (x 2  1  x) (x 2  1  x)

dx  

2x 2 (x 2  x  1) (x 2  x  1)



C(2x  1)  D x 2  x 1

x2

 x 6  10x 3  9 dx x2

 x 6  10x 3  9 dx   (x 3  1) (x 3  9) dx x2 (x 3  1) (x 3  9)



A(3x 2 )  B x 3 1



C(3x 2 )  D x3  9

x 2  A(3x 2 )(x 3  9)  B(x 3  9)  C(3x 2 )(x 3  1)  D(x 3  1) x 2  (3A  3C)x 5  (B  D)x 3  (27A  3C)x 2  (9B  D)

3A  3C  0

  BD  0   A  1/24, B  0, C  1/24, D  0  27A  3C  1  9B  D  0 

dx dx  

x  x 1 2

1 x 2  x 1 1 2x  1 1 2x  1 Ln ( ) arc tg ( ) arc tg ( )C 2 2 3 3 3 3 x  x 1

x2

2x

 x 4  x 2  1 dx  

25. I  

A(2x  1)  B

2x 2  (2A  2C)x 3  (A  B  C  D)x 2  (A  B  C  D)x  (A  B  C  D) 2A  2C  0   A  B  C  D  2   A  1/2, B  1/2, C  1/2, D  1/2 ABCD  0  ABCD  0   1/2 (2x  1)  1/2 1/2 (2x  1)  1/2 I  [  ] dx x 2  x 1 x 2  x 1 1 2x  1 1 dx 1 2x  1 1 dx I  dx     dx   2 2 2 2 2 x  x 1 2 x  x 1 2 x  x 1 2 x  x 1 1 1 dx 1 1 dx I   Ln ( x 2  x  1)    Ln ( x 2  x  1)   1 3 2 1 3 2 2 2 (x  ) 2  (x  ) 2  2 4 2 4

 x 4  x 2  1 dx  2  x 2  x  1 dx  2  x 2  x  1  2  x 2  x  1  x 4  x 2  1 dx  2 Ln ( x



2x 2  A(2x  1)(x 2  x  1)  B(x 2  x  1)  C(2x  1)(x 2  x  1)  D(x 2  x  1)

] dx

dx

2

dx

x2

 x 6  10x 3  9

dx   [

 1/24 (3x 2 ) 1/24 (3x 2 )  ] dx x 3 1 x3  9

98 2

3x

2

1

 x 6  10x 3  9 dx   24 Ln x

x2

1

3

x

1

3x

2

I

 x 6  10x 3  9 dx   24  x 3  1 dx  24  x 3  9 dx

x2

 x 6  10x 3  9 27. I   I I

dx 

1 

1 Ln x 3  9  C 24

28.

1 x3 9 Ln C 24 x 3 1

2 x 2  2x  1 2 2 Ln( ) arc tg ( 2 x  1)  arc tg ( 2 x  1)  C 2 8 4 4 x  2x  1

dx

 x8  x6 dx dx  x 8  x 6   x 6 (x 2  1)

1

dx

x (x  1) 6

1 x 4 dx

(x 2  1) 2  2x 2 dx



(x  2 x  1) (x  2 x  1)



A(2x  2 )  B x  2x  1 2



C(2x  2 )  D x 2  2x  1

1  A(2x  2 )(x 2  2x  1)  B(x 2  2x  1)  C(2x  2 )(x 2  2x  1)  D(x 2  2x  1) 1  (2A  2C)x 3  ( 2A  B  2C  D)x 2  ( 2B  2D)x  ( 2A  B  2C  D) 2A  2C  0

   2 A  B  2 C  D  0 2 1 2 1 , B , C , D  A 8 4 8 4  2B  2D  0   2 A  B  2C  D  1 

2x  2

I

2 1 dx 2 1 dx Ln(x 2  2 x  1)    Ln(x 2  2 x  1)   8 4 x 2  2x  1 8 4 x 2  2x  1

2x  1

2 x 2  2x  1 1 I Ln( )  8 x 2  2x  1 4

dx

x

5



C x

4



D x

3



E x

2



F G(2x)  H  x x 2 1

2

2

2

F  2G  0 E  H  0  DF  0   CE  0   A  1, B  0, C  1, D  0, E  1, F  0, G  0, H  1 BD  0  AC  0   B0   A 1 

dx 1 1 1  x 8  x 6   5x 5  3x 3  x  arc tg x  C

2 8

 x2 

1 dx 2  4  x 2  2x  1 8

B

dx dx dx dx dx  x8  x 6   x 6   x 4   x 2   x 2 1

I

dx 



dx 1 1 1 1  x 8  x 6   ( x 6  x 4  x 2  x 2  1) dx

2 1 2 1 (2x  2 )   (2x  2 )  8 4 8 4 ] dx I  [  2 2 x  2x  1 x  2x  1 2x  2

x

6

1  (F  2G)x 7  (E  H)x 6  (D  F)x 5  (C  E) x 4  (B  D) x 3  (A  C) x 2  Bx  A

(x 2  1  2 x) (x 2  1  2 x)

2

A

1  A(x  1)  Bx(x  1)  Cx (x  1)  Dx 3 (x 2  1)  Ex 4 (x 2  1)  Fx5 (x 2  1)  2Gx 7  Hx 6

dx

1



2

(x 2  2 x  1) (x 2  2 x  1)

2

2

 x2 

2x  1

dx 

1 dx   4 2 2 1 2 2 1 (x  )  (x  )  2 2 2 2

1 dx 4  x 2  2x  1

29. I   I

x7  x3

dx x 12  2x 4  1 1 x 4 1 4x 3 dx 4  (x 4 ) 3  2x 4  1

Hacemos :

t  x4 dt  4x 3 dx

99

I

1 t 1 1 t 1 dt   dt  3 4 t  2t  1 4 (t  1) (t 2  t  1)

t 1 (t  1) (t 2  t  1)



1  (A  C)t 2  (2A  B  C)t  A AC 0

  2A  B  C  0 A  1, B  1, C  1  A 1  dx 1 1 1 1  x (x 7  1) 2  7  [ t  (t  1) 2  t  1 ] dt

B(2t  1)  C A  t 1 t 2  t 1

t  1  A(t 2  t  1)  B(2t  1)(t  1)  C(t  1) t  1  (A  2B)t 2  (A  B  C)t  (A  B  C) A  2B  0   A  B  C  1  A  2, B  1, C  2  A  B  C  1 1 (2t  1)  2 1 2 I  [  ] dt 4 t 1 t 2  t 1 1 dt 1 2t  1 1 dt I    dt   2 2 2 t 1 4 t  t 1 2 t  t 1 1 1 1 dt I  Ln t  1  Ln t 2  t  1   1 5 2 4 2 (t  ) 2  2 4

I

1 1 1 2t  1  5 Ln t  1  Ln t 2  t  1  Ln C 2 4 2 5 2t  1  5

1 1 1 2x 4  1  5 I  Ln x 4  1  Ln x 8  x 4  1  Ln C 2 4 2 5 2x 4  1  5 dx

 x (x 7  1) 2

30.

dx

 x (x 7  1) 2 Hacemos :



t (t  1)

2



dx 1  x (x 7  1) 2  7 Ln

7x 6

1

  7 tx

x 7 (x 7  1) 2 7

A B C   2 t (t  1) t 1

1  A(t  1) 2  B(t)  C(t)(t  1)

dx

t 

dx 1 7  x (x 7  1) 2  7 Ln x





1 dt 7  t 1

1 1  Ln t  1  C 7 (t  1) 7



1



1 Ln x 7  1  C 7

7 (x  1) dx 1 1  Ln x   Ln x 7  1  C 7 2 7 x (x  1) 7 (x  1) 7 7

dx

 x (x 999  1) 2

31.

dx

 x (x 999  1) 2 Hacemos :



dt  7x 6 dx dx 1 dt   7 2 7 t (t  1) 2 x (x  1) 1

dx 1 dt 1 dt  x (x 7  1) 2  7  t  7  (t  1) 2



1 999x 998 dx 999  x 999 (x 999  1) 2

t  x 999

dt  999x 998 dx dx 1 dt   999 2 999 x (x  1) t (t  1) 2 1

t (t  1)

2



A B C   t (t  1) 2 t  1

1  A(t  1) 2  B(t)  C(t)(t  1) 1  (A  C)t 2  (2A  B  C)t  A AC 0   2A  B  C  0 A  1, B  1, C  1  A 1 

100

 

1 1 1 1  [   ] dt  999 2 2 999 t (t  1) t 1 x (x  1) dx 1 dt 1 dt 1 dt       999 2 2 999 t 999 999 t 1 x (x  1) (t  1) dx

dx 1  x (x 999  1) 2  999 Ln

t 

dx 1 999  x (x 999  1) 2  999 Ln x

1





1 Ln x 999  1  C 999

 1) 1  Ln x 999  1  C  1) 999

999 (x

999

dx

 x (x 9  1) 3



1 9x 8  dx  x (x 9  1) 3 9 x 9 (x 9  1) 3

dt  9x dx 1 dt   9 3 9 t (t  1) 3 x (x  1)

t (t  1) 3



A B C D    3 2 t (t  1) t 1 (t  1)

1  A(t  1) 3  B(t)  C(t)(t  1)  D(t)(t  1) 2 1  (A  D)t 3  (3A  C  2D) t 2  (3A  B  C  D)t  A AD0

    A  1, B  1, C  1, D  1 3A  B  C  D  0  A 1 dx 1 1 1 1 1  x (x 9  1) 3  9  [ t  (t  1) 3  (t  1) 2  t  1 ] dt 3A  C  2D  0



dx

1 dt 1 dt 1 dt 1 dt         9 3 3 2 9 t 9 (t  1) 9 (t  1) 9 t 1 x (x  1)

2



1 1  Ln t  1  C 9 (t  1) 9

dx

 x12 (x 11  1) dx

11x 10

1

 x12 (x 11  1)  11  (x 11 ) 2 (x 11  1) dx t  x 11

 x12

dt  11x 10 dx dx 1 dt   2 11 (x  1) 11 t (t  1)

1

dx

1

33.

t  x9 8



dx

 x (x 9  1) 3

1

t 

18 (t  1) 1 1 1 1  Ln x 9    Ln x 9  1  C 9 2 9 9 18 (x  1) 9 (x  1) 9 1 1 1  Ln x    Ln x 9  1  C 9 2 9 18 (x  1) 9 (x  1) 9

Hacemos :

dx

Hacemos :

dx

 x (x 9  1) 3

1 1  Ln t  1  C 999 (t  1) 999

dx 1  x (x 999  1) 2  Ln x  999 (x 999 32.

dx 1  x (x 9  1) 3  9 Ln

t (t  1) 2



A t

2



B C  t t 1

1  A(t  1)  B(t)(t  1)  C(t 2 ) 1  (B  C) t 2  (A  B)t  A B  C  0  A  B  0 A  1, B  1, C  1  A 1  dx 1 1 1 1  x 12 (x 11  1)  11  [ t 2  t  t  1 ] dt

dx

1

dt

 x 12 (x 11  1)  11  t 2 dx

1



1 dt 1 dt  11  t 11  t  1

1

 x 12 (x 11  1)   11t  11 Ln dx

1

dx

1

1

t 

 x 12 (x 11  1)   11x 11  11 Ln x

1 Ln t  1  C 11

11

1



1 Ln x 11  1  C 11

 x 12 (x 11  1)   11x 11  Ln x  11 Ln x

11

1  C

101

34.

1  (A  C)t 2  (2A  B  C) t  A

ctg x

 (sen 7 x  1) dx

AC 0

ctg x

cos x

1

  2A  B  C  0 A  1, B  1, C  1  A 1  ctg x 1 1 1 1  (sen 7 x  1) 2 dx  7  [ t  (t  1) 2  t  1 ] dt ctg x 1 dt 1 dt 1 dt  (sen 7 x  1) 2 dx  7  t  7  (t  1) 2  7  t  1

6

7 sen x cos x

 (sen 7 x  1) dx   sen x (sen 7 x  1) dx  7  sen 7 x (sen 7 x  1) dx t  sen 7 x

Hacemos :

dt  7 sen 6 x cos x dx ctg x 1 dt  (sen 7 x  1) dx  7  t (t  1)

1

1

1

 (sen 7 x  1) dx  7 Ln sen ctg x

1

1 dt 1 dt 1 1   Ln t  Ln t  1  C t 7  t 1 7 7

7

x

1 Ln sen 7 x  1  C 7

1

7

x 1  C

cos x

 (sen 7 x  1) 2

dx  

Hacemos :

t  sen x

sen x (sen 7 x  1) 2

7

dt  7 sen 6 x cos x dx ctg x 1 dt  (sen 7 x  1) 2 dx  7  t (t  1) 2 t (t  1)

2



7

x

1 7 (sen x  1) 7

1

36.



1 Ln sen 7 x  1  C 7

1

A B C   2 t (t  1) t 1

1  A(t  1) 2  B(t)  C(t)(t  1)

dx 

1 7 sen 6 x cos x dx 7  sen 7 x (sen 7 x  1) 2

7

x 1  C

tg x

 (cos 99 x  1) 2 dx tg x

sen x

1

 99 cos 98 x sen x

 (cos 99 x  1) 2 dx   cos x (cos 99 x  1) 2 dx   99  cos 99 x (cos 99 x  1) 2 dx t  cos 99 x

dt   99 cos 98 x sen x dx tg x 1 dt  (cos 99 x  1) 2 dx   99  t (t  1) 2

 (sen 7 x  1) 2 dx

1

1

Hacemos :

ctg x

ctg x

ctg x

1 1  Ln t  1  C 7 (t  1) 7

ctg x

 (sen 7 x  1) dx  Ln sen x  7 Ln sen 35.

t 

 (sen 7 x  1) 2 dx  Ln sen x  7 (sen 7 x  1)  7 Ln sen

 (sen 7 x  1) dx  7  [ t  t  1 ] dt  7  ctg x

1

 (sen 7 x  1) 2 dx  7 Ln sen

A  B  0  A  1, B  1 A 1  ctg x

ctg x

 (sen 7 x  1) 2 dx  7 Ln

1 A B   t (t  1) t t 1 1  A(t  1)  B(t) 1  (A  B)t  A

1 t (t  1)

2



A B C   t (t  1) 2 t  1

1  A(t  1) 2  B(t)  C(t)(t  1) 1  (A  C)t 2  (2A  B  C)t  A AC 0   2A  B  C  0 A  1, B  1, C  1  A 1 

102

1 1 1 1  (cos 99 x  1) 2 dx   99  [ t  (t  1) 2 t  1 ] dt tg x 1 dt 1 dt 1 dt  (cos 99 x  1) 2 dx   99  t  99  (t  1) 2  99  t  1 tg x

1

1

37. I  

I

x 4 sen x  sen x  cos x (x  1) cos x 4

(x  1) sen x  cos x 4

(x  1) cos x 4

(t  1) (t  1) (t  1)



I1 

I2

x 1  C



I2

sen x dx cos x

dx 4

tgh x dx

Hacemos :

 tgh x

dx 

2t 1 t 4



tgh x dx 



dt

C(2t)  D A B   t 1 t 1 t 2 1

1 1 1 t 1 Ln t  1  Ln t  1  arc tg t  C  Ln  arc tg t  C 2 2 2 t 1

1 Ln 2

tgh x  1 tgh x  1

 arc tg ( tgh x )  C

cos x sen x  1 dx sen x  2 t 2  sen x  1

cos x sen x  1 2t 2 2 dx   sen x  2  1  t 2 dt   (2  1  t 2 ) dt  2t  2 arc tg t  C



cos x sen x  1 dx  2 sen x  1  2 arc tg ( sen x  1)  C sen x  2

dx

 sen 5x (1  cos 5x) dx

dt

(t  1) (t  1) (t 2  1)

2t dt  cos x dx

40.

t2

tgh x dx  

Hacemos :

1 sen x  1 2 x 2  2x  1 2 2 I  Ln  arc tg sen x  Ln( ) arc tg ( 2 x  1)  arc tg ( 2 x  1)  C 2 2 8 4 4 sen x  1 x  2x  1



2t 2

1/2 1/2 1   ) dt t 1 t 1 t 2 1 1 dt 1 dt dt tgh x dx       2 2 t 1 2 t 1 t 1



39.

x 1 2 x 2  2x  1 2 2 I2  Ln( ) arc tg ( 2 x  1)  arc tg ( 2 x  1)  C 2 2 8 4 4 x  2x  1 Idem. Prob. 27 Int. Funciones Racionales

38.

t 4 1

dt  

tgh x dx    (



sen x dx dx   4 cos x x 1

1 sen x  1 Ln  arc tg sen x  C1 Idem. Prob. 06 Int. Func. Racionales 2 sen x  1

2t 2

 A(t  1)(t 2  1)  B(t  1)(t 2  1)  C(2t)(t  1)(t  1)  D(t  1)(t  1) 2t 2  (A  B  2C)t 3  (A  B  D)t 2  (A  B  2C)t  (A  B  D) A  B  2C  0 A  B  D  2   A  1/2, B  1/2, C  0, D  1 A  B  2C  0  A  B  D  0 



I1

I1

99



dt  

2t 2

dx

dx  

1 t 4

2

1 1 1  (cos 99 x  1) 2 dx   99 Ln t  99 (t  1)  99 Ln t  1  C tg x 1 1 1 99 99  (cos 99 x  1) 2 dx   99 Ln cos x  99 (cos 99 x  1)  99 Ln cos x  1  C tg x

2t 2

2t 2

tg x

 (cos 99 x  1) 2 dx  Ln cos x  99 (cos 99 x  1)  99 Ln cos

tgh x dx  



1

5 sen 5x

 sen 5x (1  cos 5x)   5  sen 2 5x (1  cos 5x) dx

103

dx  sen 5x (1  cos 5x)

1 5 sen 5x   dx 5 (1  cos 2 5x) (1  cos 5x)



t  cos 5x dt   5 sen 5x dx dx 1 dt 1 dt  sen 5x (1  cos 5x)   5  (1  t 2 ) (1  t )  5  (t 2  1) (t  1) dx 1 dt  sen 5x (1  cos 5x)  5  (t  1) (t  1) 2

Hacemos :

1 (t  1) (t  1) 2





dx

1

dt

1/2

1

 dt

1/4 ] dt t 1

 sen 5x (1  cos 5x)  20  t  1  10  (t  1) 2 dx

1



1

1 dt  20 t  1



1

 sen 5x (1  cos 5x)  20 Ln t  1  10 (t  1)  20 Ln t  1  C dx 1 t 1 1  sen 5x (1  cos 5x)  20 Ln t  1  10 (t  1)  C dx

1

 sen 5x (1  cos 5x)  20 Ln

cos x sen x

2 dx

 

cos x sen x

Hacemos :

2

 sen x 2

cos x sen x

t  cos x 2

2t dt   sen x dx

dx   2 

dt   4 

dt 1 t 4

1 t 1  cos x  2 arc tg t  C  Ln  2 arc tg ( cos x )  C 1 t 1  cos x

x5

x5

1

x3

 x 3  1 dx  3  x 3  1 3x

2 dx cos x sen x 2 dx

t (1  t ) 4

 x 3  1 dx

42.

cos 5x  1 1  C cos 5x  1 10 (cos 5x  1)

 Ln

cos x sen x

Hacemos : 41.

4

2t

A  B  2C  0  A  B  D  0   A  1/4, B  1/4, C  0, D  1/2 A  B  2C  0 A  B  D  1  2 dx 1/4 1/4 1/2  cos x sen x   4  (1  t  1  t  1  t 2 ) dt 2 dx dt dt dt  cos x sen x   1  t   1  t  2  1  t 2 2 dx  cos x sen x  Ln 1  t  Ln 1  t  2 arc tg t  C

AC 0   2A  B  0  A  1/4, B  1/2, C  1/4 A  B  C  1

1/4

2 dx

t 2 (1  t 4 ) dt

dt   2 

1  (A  B  2C)t 3  (A  B  D)t 2  (A  B  2C)t  (A  B  D)

1  (A  C)t 2  (2A  B)t  (A  B  C)

1

cos x sen x

2t

1  A(1  t )(1  t 2 )  B(1  t )(1  t 2 )  C(2t)(1  t )(1  t)  D(1  t )(1  t)

1  A(t  1) 2  B(t  1)  C(t  1)(t  1)

dx

2

(1  t) (1  t) (1  t 2 ) C(2t)  D 1 A B    2 (1  t ) (1  t ) (1  t ) 1  t 1  t 1 t 2

A B C   t  1 (t  1) 2 t  1

 sen 5x (1  cos 5x)  5  [ t  1  (t  1) 2

2 dx

 sen x cos x (1  cos x) 2

dx



t  x 3 1

2

dx



x3  t  1

dt  3x 2 dx x5 1 t 1 1 1 1 1 dx   dt   (1  ) dt  t  Ln t  C1 3 3 t 3 t 3 3 x 1 x5

1

 x 3  1 dx  3 (x

3

1 1 1  1)  Ln x 3  1  C1  x 3  Ln x 3  1  C 3 3 3

104

43. I  

I

x  x 1

4x 2  8x  A(x 2  1) 2  B(x  1)(x 2  1) 2  C(2x)(x  1) 2  D(x  1) 2

3

(x 2  2) 2

dx

x 3  2x  x  1

 E(2x)(x  1) 2 ( x 2  1)  F(x  1) 2 ( x 2  1)

dx  

x (x 2  2)  x  1

dx

(x  2) (x  2) x x dx I dx   dx   2 2 2 2 x 2 (x  2) (x  2) 2 1 2x 1 2x dx I  dx   dx   2 2 x2  2 2 (x 2  2) 2 (x  2) 2 I

2

2

2

2

1 1 1 (x 2  2)  x 2 Ln (x 2  2)    dx 2 2 (x 2  2) 2 (x 2  2) 2

1 1 1 dx 1 x2 Ln (x 2  2)      dx 2 2 (x 2  2) 2 x 2  2 2 (x 2  2) 2 x Hacemos : ux dv  dx 2 (x  2) 2 1 du  dx v  2 2 (x  2)

I

1 1 1 dx x 1 dx Ln (x 2  2)       2 2 2 2 2 2 4 2 (x  2) x  2 4 (x  2) x 2 1 1 x 1 dx I  Ln (x 2  2)     2 2 (x 2  2) 4 (x 2  2) 4 x 2  2 I

I

1 2x 1 x Ln (x 2  2)   arc tg ( )C 2 2 2 4 (x  2) 4 2

I  Ln x 2  2  I  Ln x  2  2

44. I  

2x 4 (x  2) x2 2

4 (x 2  2)

4x  8x

1



arc tg (

4 2 1



4 2

x

)C

4x 2  8x  (B  2E)x 5  (A  B  4E  F)x 4  (2B  2C  4E  2F)x 3  (2A  2B  4C  D  4E  2F)x 2  (B  2C  2D  2E  2F)x  (A  B  D  F) B  2E  0

  A  B  4E  F  0   2B  2C  4E  2F  0  A  1, B  2, C  1, D  4, E  1, F  1 2A  2B  4C  D  4E  2F  4  B  2C  2D  2E  2F  8  ABDF  0 

I  [

arc tg (

)C

4x 2  8x (x  1) (x  1) 2

2

2



A (x  1)

2



C(2x)  D E(2x)  F B   x  1 (x 2  1) 2 x 2 1

2

2

I

1 1 dx dx x2  2 Ln x  1   Ln ( x 2  1)   4 4 dx x 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 (x 2  1) 2

I

(x  1) 2 1 1 dx x2   Ln [ ]3  4 dx x 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 (x 2  1) 2

Hacemos :

2

dx

1 (2x)  4 1 (2x)  1 2   ] dx x  1 (x 2  1) 2 x 2 1

( x 2  1)  x 2 1 1 dx  2 Ln x  1   Ln ( x 2  1)   4 dx x 1 x 2 1 x 2 1 (x 2  1) 2

2 x



I

ux du  dx

2

(x  1) 2 (x 2  1) 2

(x  1) dx

2

dx 2x dx 2x dx  dx  4   dx   2 2 2 2  2 2 x  1 (x  1) (x  1) (x  1) x 1 x 1 1 1 dx dx  2 Ln x  1  4  Ln ( x 2  1)   2 2 2 x 1 x 1 (x  1) x 2 1

I   I

1

dv 

x

dx (x  1) 2 1 v  2 (x 2  1) 2

I

(x  1) 2 1 1 dx 2x dx   Ln [ ]3   2 2 2 2 2 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1

I

(x  1) 2 1 2x  1 dx   Ln [ ]  2 2 x 1 x 2 1 x 1 x 1

105

I I

(x  1) 1 2x  1   Ln [ ]  arc tg x  C x 1 x 2 1 x 2 1 2

3x 2  x (x  1) (x 2  1)

45. I   I

 Ln [

(x  1) 2 x 2 1

Hacemos :

]  arc tg x  C

dx (x  x ) (x 2  x  1) 2 dx

x (x  1) (x 2  x  1) 2

x (x  1) (x 2  x  1) 2



C(2x  1)  D E(2x  1)  F A B    x x  1 (x 2  x  1) 2 x 2  x 1

1  A(x  1)(x 2  x  1) 2  B(x)(x 2  x  1) 2  C(2x  1)(x)(x  1)  D(x)(x  1)  E(2x  1)(x)(x  1)(x  x  1)  F(x)(x  1)(x  x  1) 2

2

1  (A  B  2E)x 5  (3A  2B  5E  F)x 4  (5A  3B  2C  6E  2F)x 3  (5A  2B  3C  D  4E  2F)x 2  (3A  B  C  D  E  F)x  A A  B  2E  0

   5A  3B  2C  6E  2F  0   A  1, B  1, C  0, D  1, E  0, F  1  5A  2B  3C  D  4E  2F  0  3A  B  C  D  E  F  0    A 1 1 1 1 1 I  [    ] dx 2 2 2 x x  1 (x  x  1) x  x 1 dx dx dx dx I      2 2 2 x x 1 (x  x  1) x  x 1  3A  2B  5E  F  0

dx dx  1 2 3 2  1 2 3 [ (x  )  ] (x  )  2 4 2 4 x 1 dx dx I  Ln   1 3  1 3 x (x  ) 2  [ (x  ) 2  ] 2 2 4 2 4 I  Ln x  Ln x  1  

1 2

dz  dx x 1 dz dz I  Ln   3 3 x (z 2  ) (z 2  ) 2 4 4 3 (z 2  )  z 2 x 1 dz 4 4 I  Ln    dz x 2 3 3 2 3 2 z  (z  ) 4 4

2

1

z x

I  Ln

x 1 dz 4 dz 4 z2      dz 3 3 3 3 3 x z2  z2  (z 2  ) 2 4 4 4

x 1 7 dz 4 z2     dz x 3 3 2 3 2 3 2 z  (z  ) 4 4 z Hacemos : u z dv  dz 3 (z 2  ) 2 4 1 du  dz v  3 2 (z 2  ) 4 x 1 7 dz 2z 2 dz I  Ln      x 3 3 2 3 2 3 2 3 z  3 (z  ) z  4 4 4 x 1 2z 5 dz I  Ln    3 x 3 2 3 3 (z 2  ) z  4 4 x 1 2z 10 2z I  Ln   arc tg ( )  C 3 x 3 3 (z 2  ) 3 3 4 1 1 2 (x  ) 2 (x  ) x 1 10 2 2 ] C I  Ln   arc tg [ 1 2 3 x 3 3 3 3 [ (x  )  ] 2 4

I  Ln

106

x 1 2x  1 10 2x  1 I  Ln   arc tg ( )C 2 x 3 3 (x  x  1) 3 3 3x  2

 x (x  1) 3 dx

46.

3x  2 x (x  1) 3



dx

 x1/2 (1  x1/4 )  4t  4 Ln t  1  C  4x 2.



3x  2  (A  D)x 3  (3A  C  2D) x 2  (3A  B  C  D)x  A AD 0

  3.



3x  2

x2

a  bx m1/n1 a  bx m2 /n 2 a  bx mk /n k XII. INTEGRALES DEL TIPO  R [ x, ( ) ,( ) ,. . ., ( ) ] dx c  dx c  dx c  dx

1.

t  6 x 1



x 1  3 x 1 dx x 1  x 1 3



Hacemos :



6t 5 t3  t2

dt  

6t 3 1 dt  6  (t 2  t  1  ) dt t 1 t 1

 2t 3  3t 2  6t  6 Ln t  1  C  2 x  1  3 3 x  1  6 6 x  1  6 Ln 6 x  1  1  C

1

  2

x 2  1 2x 1 x 2 x 2

dx

z  x2 dz  2x dx



x 2  1 dx 1 z  1 dz 1 z 1 1 z 1     dz   dz 2 x 2 1  z z 2 2 z z 1 z z  1 z 1 1 x

x 2  1 dx 1 z 1 1 dz 1 dz dz      1 x 2 x  2  2 2 2 2 z z 1 z 1 z z 2 1 Hacemos : z  sec θ

dz  sec θ tg θ dθ

 x 1/2 (1  x 1/4 )

dx

x 1  3 x 1 dx

x 2  1 dx 1 x 2 x

dx

Hacemos :

dx

x 2  1 dx 1 x 2 x

4x  3

 x (x  1) 3 dx  Ln [ ( x  1) 2 ]  2 (x  1) 2  C

x 1  t 6



3x  2

dx dx dx dx  2 2 2 x  (x  1) 3 x 1 (x  1) 3x  2 1 2 dx  2 Ln x    2 Ln x  1  C 3 2 x 1 x (x  1) 2 (x  1)

x 1  3 x 1

dx  6t 5 dt

3x  2  A(x  1) 3  B(x)  C(x)(x  1)  D(x)(x  1) 2

 x (x  1) 3 dx  2 

 4 Ln x 1/4  1  C

dx

Hacemos :

A B C D    x (x  1) 3 (x  1) 2 x  1

 3A  C  2D  0   A  2, B  1, C  2, D  2 3A  B  C  D  3  A2 3x  2 2 1 2 2  x (x  1) 3 dx   [ x  (x  1) 3  (x  1) 2  x  1 ] dx



1/4

x t4



dx  4t 3 dt 4t 3

 x1/2 (1  x1/4 )  

t  x 1/4

t 1 dt  4  dt  4  (1  ) dt 2 t 1 t 1 t (1  t)

z

z 2 1



sec θ tg θ x 2  1 dx 1 sec θ tg θ 1   dθ   dθ 2 x 2 2 sec θ sec 2 θ  1 1 x sec 2 θ  1



x 2  1 dx 1 sec θ tg θ 1 sec θ tg θ 1 1   dθ   dθ   sec θ dθ   dθ 2 x 2 tg θ 2 sec θ tg θ 2 2 1 x

 1

107

4.



x  1 dx 1 x 2 x

 Ln sec θ  tg θ  θ  C



x 2  1 dx 1 x 2 x

 Ln z  z 2  1  arc sec z  C



x 2  1 dx 1 x 2 x

 Ln x 2  x 4  1  arc sec (x 2 )  C



2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

sen 2 x  2 cos 2 x Hacemos : z  sen x dz  cos x dx dz I2   2  z2

1 2

tg 2 x  2 dx

tg x  2



tg 2 x  2 dx  

sec 2 x

2

dx  

tg x  2 2

dx  

tg 2 x  2

sec x  1  2 2

tg x  2 2

dx  

sec x  1 2

tg x  2 2

I2  

dx

tg 2 x  2



I2

sec 2 x

dx tg 2 x  2 Hacemos : z  tg x

5.

dz  sec x dx z2  2



I1

 Ln sec θ  tg θ  C 3  Ln

I1

 Ln tg x  tg 2 x  2  C1

I2  

tg 2 x  2

dθ  

z

)

2

z 2

2 cos θ 2 1  sen θ 2

dθ  

)  C 2  arc sen (

sen x 2

cos θ dθ   dθ cos θ )  C2

sen x

)C

2

dx

x  t 14



t  x 1/14

2 tg 2 θ  1 z2  2 2

dθ   

z 2

sec 2 θ dθ   sec θ dθ sec θ  C3

t 16  t 15

dt  14 

t 5 1 dt t 1

x 1/7  x 1/2

dx 

14 5 7 4 14 3 t  t  t  7 t 2  14t  C 5 2 3

x 1/7  x 1/2

dx 

14 5/14 7 2/7 14 3/14 x  x  x  7 x 1/7  14x 1/14  C 5 2 3

 x 8/7  x 15/14 6.

(t 2  t 7 ) (14t 13 )

dx  14  ( t 4  t 3  t 2  t  1) dt

 x 8/7  x 15/14

 Ln z  z 2  2  C1

dx  

x 1/7  x 1/2

 x 8/7  x 15/14

2

2 sec 2 θ

I1

dx

dθ  

x 1/7  x 1/2

 x 8/7  x15/14

 x 8/7  x 15/14



dz  2 sec 2 θ dθ 2 tg 2 θ  2

dx

tg 2 x  2 dx  Ln tg x  tg 2 x  2  arc sen (

x 1/7  x 1/2

z2  2

z

z  2 tg θ

2 sec 2 θ

2  sen 2 x

dx  14t 13 dt

dz

Hacemos :

2  2 sen θ 2

Hacemos :

2



2 cos θ

I 2  θ  C 2  arc sen (

dx

I1

I1

cos x

dz  2 cos θ dθ

tg 2 x  2 dx  



dx  

z  2 sen θ  θ  arc sen (

Hacemos :



I1

cos x

I2  

x 2/7  x 1/7

 x 8/7  x15/14

dx

108

xt

Hacemos :

dx  14t x

2/7

x

1/7

x 2/7  x 1/7

(t  t ) (14t 4

2

t

16

t

13

)

15

dt  14 

t 1 dt t 1

x 3 1

9.

     8.





x 1 3

x 1 x 1 3

x 1

x t2



dx   dx  

t 1

x 1 x 3 1 1 x 1 x

1 x 1 x

1 x

t 3 1

(2t dt)  

(2t  1)  1 t  t 1 2

(t  1) (t 2  t  1) 2t  1

dt  

t  t 1 2

dt  

dt  

1

2t t 2  t 1



dt

1 x

2

arc tg (

3



t  t 1 2

1 x

x 9 4t 2 dx   dt x 9 (1  t 2 ) (1  t) (1  t)

(1  t ) (1  t) (1  t)

1 x 1 x

dx  

1 x 2

A(2t)  B 1 t

2



C D  1 t 1 t

 A(2t)(1  t)(1  t)  B(1  t)(1  t)  C(1  t 2 )(1  t )  D(1  t 2 )(1  t ) 4t 2  (2A  C  D)t 3  (B  C  D)t 2  (2A  C  D) t  (B  C  D)  2A  C  D  0  B  C  D  4   A  0, B  2, C  1, D  1 2A  C  D  0  B  C  D  0 

)C

dx  



4t 2

1

dx  

cos θ dθ cos θ

x 9 1 36t 4t 2 dx   . t. dt   dt x 9 9 (1  t 2 ) (1  t 2 ) 2 (1  t 2 ) (1  t 2 )

2

3

1 x

dθ  1  x 2  

9 (1  t 2 ) x 9  t 2  x x 9 1 t 2 36t dx  dt (1  t 2 ) 2

4t 2

dx

1 x 1 x

1  sen θ 2

1 t 2

dt

2 x 1

cos θ

x 9 dx x 9

dx  Ln t 2  t  1  

dx  Ln x  x  1 



dx  1  x 2   dθ  1  x 2  θ  C  1  x 2  arc sen x  C

t  x 1/2 2t (t  1)

2

dx  1  x 2  

Hacemos :

dt 1 3 x 1 (t  ) 2  2 4 x 1 2 2t  1 dx  Ln t 2  t  1  arc tg ( )C 3 3 3 x 1 3

1 x

x

dx  2t dt x 1

1 x



dx

Hacemos :

1 x



dx  7x 1/7  14x 1/14  28 Ln x 1/14  1  C

dx

dx  cos θ dθ

2 ) dt t 1

x 2/7  x 1/7

x 1

1 x

1  2x dx dx  1  x 2    2 2 1 x 1 x 1 x 2 x sen θ  θ  arc sen x

dx  

Hacemos :

2

dx  7t 2  14t  28 Ln t  1  C

 x 8/7  x 15/14

1 x



x 2/7  x 1/7

 x 8/7  x 15/14



1/14

dt

dx  14  ( t  1 

 x 8/7  x 15/14

7.

13

dx  

 x 8/7  x 15/14

t x



14

dx 1 x 2



x 1 x 2

dx

x

x 9 2 1 1 2 1 1 dx   (   ) dt   (   ) dt 2 2 x 9 1 t 1 t t 1 t 1 1 t 1 t

109

1

x 9 t 1 dx  2 arc tg t  Ln t  1  Ln t  1  C  2 arc tg t  Ln C x 9 t 1

1 x

x 9 x 9 dx  2 arc tg ( )  Ln x 9 x 9

x 

1

x

x 9 x 9 dx  2 arc tg ( )  Ln x 9 x 9 2

x 9 1 x 9 C x 9 1 x 9 x 9  x 9 x 9  x 9

Hacemos :

2 t C

2x

2x 1 2  x 1/3 4  (2  x) 2 3 2  x dx  2  ( 2  x ) (2  x) 2 dx 2

Hacemos :

t dt 

2

2x 2x 4

2x

1

dx

 (2  x) 2 3 2  x dx  2  t

1/3

dt 

3 2/3 3 2  x 2/3 t C  ( ) C 4 4 2x



 

sen 2 x  sen x dx  

Hacemos :

 

sen x sen x  1

1  sen x sen x  1 t  1  sen x  sen x  1  t

sen x sen x  1 1  sen x

cos x dx  

2

cos x dx

sen x 1  sen x

cos x dx

dt   cos x dx 1 t 1 t 1 t 1 t sen 2 x  sen x dx    dt    dt    dt t t 1 t t 1 t 1/2 (1  2t )  1/2 1 1  2t 1 dt sen 2 x  sen x dx    dt    dt   2 2 t  t2 t  t2 t  t2

 sen θ  θ  arc sen t  cos θ dθ cos θ

sen 2 x  sen x dx   t  t 2   dθ   t  t 2  θ  C



sen 2 x  sen x dx   t  t 2  arc sen t  C



sen 2 x  sen x dx   (1  sen x)  (1  sen x) 2  arc sen 1  sen x  C



sen 2 x  sen x dx   sen x  sen 2 x  arc sen 1  sen x  C



1  sen 2 θ

dθ   t  t 2  

cos θ dθ cos θ



cos 2 x  cos x dx



cos 2 x  cos x dx   cos x cos x  1 dx  



cos 2 x  cos x dx  

sen 2 x  sen x dx

sen 2 x  sen x dx   sen x sen x  1 dx  

dt

  t  t2   2 t 1 t 2 t 1 ( t ) 2

sen 2 x  sen x dx   t  t 2  

Hacemos : 11.

dt



12.

(2  x) 2

t dt

 (2  x) 2 3 2  x dx

10.

sen 2 x  sen x dx   t  t 2  



 



t dt 2 t

1  cos 2 x

sen x dx  

dt  sen x dx 1 t 1 t 1 t cos 2 x  cos x dx   dt   t t 1 t 1/2 (1  2t)  1/2 1 cos 2 x  cos x dx   dt   2 t  t2 dt cos 2 x  cos x dx  t  t 2    2 t 1 t

Hacemos :



cos x cos x  1

1  cos x cos x  1 t  1  cos x  cos x  1  t

cos x cos x  1

dt  

sen x dx

cos x 1  cos x

sen x dx

1 t

dt t 1 t 1  2t 1 dt dt   2 t  t2 t  t2 dt t  t2   2 t 1 ( t )2

 sen θ  θ  arc sen t  cos θ dθ

cos 2 x  cos x dx  t  t 2  

cos θ 1  sen θ 2

dθ  t  t 2  

cos θ dθ cos θ

110

13.



cos x  cos x dx  t  t   dθ  t  t  θ  C



cos 2 x  cos x dx  t  t 2  arc sen t  C



cos 2 x  cos x dx  (1  cos x)  (1  cos x) 2  arc sen 1  cos x  C



cos 2 x  cos x dx  cos x  cos 2 x  arc sen 1  cos x  C

2

2

2

Hacemos :

1  x dx 1 4t 4t 2 t2   t . . dt   dt   4  1  x x 2  1  t 2 (1  t 2 ) 2  (1  t 2 ) 2  (1  t 2 ) 2 dt 2 ( ) 1 t 2 t Hacemos : ut dv  dt (1  t 2 ) 2 1 du  dt v 2 (1  t 2 )

dx

 (cos x  sen x)

cos 2x

dx

 (cos x  sen x)

cos 2x

dx

 (cos x  sen x)



dx cos x (1  tg x) cos 2 x  sen 2 x dx



cos 2 x (1  tg x) 1  tg 2 x t  1  tg x  tg x  1  t

Hacemos :

cos 2x



sec 2 x (1  tg x) 1  tg 2 x

dx

t

1 u

dt  

 u



cos 2x

cos 2x

dx

 (cos x  sen x) 14.



1  x dx 1 x x 2



1  x dx 2t dt dt 2t      Ln t  1  Ln t  1  C 2  t 1  t 1 1 x x 2 1 t 1 t 2



1 x 2 1  x dx 2t t 1 1 x   Ln C    Ln 1 x 1 x x 2 t 1 1 t 2 1 1 x



1  x dx 1 x 2    Ln 1 x x 2 x



1  x dx 1 x 2 1 1 x 2    Ln C 1 x x 2 x x

u2

dx

 (cos x  sen x)

1 t

du

dx

 (cos x  sen x)

1  x dx 2t dt 2t dt  2  2 2 2 2 2 2 1 x x 1 t 1 t 1 t t 1 1  x dx 2t dt 2t 1/2  1/2  2  2(  ) dt 2 2 2 1 x x (t  1) (t  1) t 1 t 1 1 t 1 t



dt   sec 2 x dx dx dt dt    (cos x  sen x) cos 2x   2 t 1  (1  t ) t 2t  t 2

Hacemos :

cos 2x



1 u

du

du

2

u2

u 2 1  u u2

 2u  1  C  

2  (1  tg x) 1  tg x



1 u2

2u  1

2 1  C  t C 



2t

1  tg x 1  tg x

1 x 1 t 2  t 2  x 1 x 1 t 2  4t dx  dt (1  t 2 ) 2

du 2u  1

C

1 x  1 x 1 x  1 x

1 x 1 1 x C 1 x 1 1 x

C

t C

15.

2  senx cos x dx 3  senx Hacemos : t  3  sen x  sen x  t  3



dt  cos x dx



2  ( t  3) 2  senx 2  senx cos x dx   cos x dx   dt 3  senx 3  senx t

111



2  senx 5 t 5 t 5 t 5 t cos x dx   dt   dt   dt 3  senx t t 5 t 5t  t 2



1/2 (5  2t)  5/2 2  senx 1 5  2t 5 dt cos x dx   dt   dt   3  senx 2 2 t 5 t 5t  t 2 5t  t 2



2  senx dt cos x dx  5t  t 2  5  3  senx 2 t 5  ( t )2

Hacemos :

t dt 2 t

 5 sen θ  θ  arc sen  5 cos θ dθ

2  senx 5 cos θ cos x dx  5t  t 2  5  dθ 3  senx 5  5 sen 2 θ



2  senx 5 cos θ cos x dx  t 5  t  5  dθ  t 5  t  5  dθ 3  senx 5 cos θ



2  senx cos x dx  t 5  t  5θ  C  t 5  t  5 arc sen 3  senx



2  senx cos x dx  3  senx 3  senx

5  (3  senx )  5 arc sen



2  senx cos x dx  3  senx 3  senx

2  senx  5 arc sen

1 x 1 x

 t 3  x

dx 

 6t 2

Hacemos :

I  t.

I  (

1 1 t

3

1 t 3

3

t 1 3



.

(1  t 3 ) 2

 6t 2 (1  t )

3 2

1 t 3 1 t 3

dt

dt  

6t 3 (t  1) (t  1) 3

3

dt

(t  1) (t  t  1)

3 (t  1) (t  t  1) 2

3 t 1

) dt  3 

dt t 1 3

3

dt t 1 3





3 dt (t  1) (t 2  t  1)

B(2t  1)  C A  t 1 t 2  t 1

3  A(t 2  t  1)  B(2t  1)(t  1)  C(t  1)

3  D(t 2  t  1)  E(2t  1)(t  1)  F(t  1)

t C 5

3  senx C 5

3  senx C 5

3  (D  2E)t 2  (D  E  F)t  (D  E  F) D  2E  0   D  E  F  0 D  1, E  1/2, F  3/2 D  E  F  3  1/2 (2t  1)  3/2 1/2 (2t  1)  3/2 1 1 I  [  ] dt   [  ] dt 2 t 1 t 1 t  t 1 t 2  t 1 1 3 dt 1 3 dt I  Ln t  1  Ln t 2  t  1    Ln t  1  Ln t 2  t  1   2 2 t 2  t 1 2 2 t 2  t 1 1 3 dt 3 dt I  Ln t 2  1  Ln (t 2  t  1) (t 2  t  1)     1 3 1 3 2 2 2 (t  ) 2  (t  ) 2  2 4 2 4 1 2t  1 2t  1 I  Ln t 2  1  Ln t 4  t 2  1  3 arc tg ( )  3 arc tg ( )C 2 3 3 2t  1 2t  1 I  Ln t 2  1  Ln t 4  t 2  1  3 arc tg ( )  3 arc tg ( )C 3 3 I  Ln

Donde : 3

2

A  2B  0    A  B  C  0 A  1, B  1/2, C  3/2 A  B  C  3  E(2t  1)  F 3 D   2 t  1 (t  1) (t  t  1) t 2  t 1

t 5

1  x dx 1 x x

3 dt

3  (A  2B)t 2  (A  B  C)t  (A  B  C)



16. I   3

I

t 2 1 t  t 1 4

2

t 3

 3 arc tg (

1 x 1 x

2t  1 3

)  3 arc tg (

2t  1 3

)C

112

17. I   I

dx 4

(x  1) 3 (x  2) 5

1 x 1 4 dx (x  1) (x  2) x  2

x 1 x2

Hacemos :

dx 

2t  1 4

( I

12t 3 (1  t 4 ) 2

1 t

4

 1) (

2t  1 4

1 t

4

1 t 4

I  [

dt

1

I

2t 4  1

 t 4  x

12t 3

. t.

(1  t )

4 2

 2)

1

dt  

9t

4

.

12t 4 (1  t )

4 2

18. I  

1 x

(1  t )

4 2

dx

I  2  t . 8t 4  8t 2 (1  t 2 ) 3

.

4t

1  t 2 (1  t 2 ) 2



A(2t)  B (1  t 2 ) 3



dt  

8t 2 ( t 2  1)

C(2t)  D (1  t 2 ) 2

(1  t 2 ) 3 



24 (1  t )

2 2

 24 

(1  t )

2 3

(1  t 2 )  t 2 (1  t )

2 3

dt (1  t ) t2 (1  t )

2 3

8



1 t 2

dt (1  t )

1 t 2 8

(1  t )

2 2

(1  t )

2 3

8

(1  t )

2 2

dt 1 t 2 dt

dt  24 

dt

ut

dt

dt

t2

dt  8 

] dt

8 

2 2

dt  24 

 16 

2 2

Hacemos :

(1  t )

2 2

8

dt 1 t 2

t

dv 

dt (1  t 2 ) 3 1 du  dt v 4 (1  t 2 ) 2 4t dt dt dt I 4 8  8 2 2 2 2 2 2 (1  t ) (1  t ) (1  t ) 1 t 2 4t dt dt I  12  8 2 2 2 2 (1  t ) (1  t ) 1 t 2

1 u 1 t 2 t2  u  1 u 1 t 2  4t du  dt (1  t 2 ) 2

1 t 2

2 3

I  16 

1 u u du 1 u

Hacemos :

I  16  I  16 

dx  2u du I2

(1  t ) dt

dt

x u2

Hacemos :

16

I  16 

4 4 4 x 1 dt  t  C  4 C 3 3 3 x2

1 x

2E  0   F8   2C  4E  0  A  0, B  16, C  0, D  24, E  0, F  8 D  2F  8  2A  2C  2E  0   BDF  0

dt  

8t 4  8t 2 (1  t 2 ) 3

dt

E(2t)  F

I I

1 t 2

8t 4  8t 2  A(2t)  B  C(2t)(1  t 2 )  D(1  t 2 )  E(2t)(1  t 2 ) 2  F(1  t 2 ) 2 8t 4  8t 2  2Et 5  Ft 4  (2C  4E)t 3  (D  2F)t 2  (2A  2C  2E)t  (B  D  F)

I

4t (1  t )

2 2

4t (1  t )

2 2

4t (1  t )

2 2

 12   12   12 

(1  t 2 )  t 2 (1  t )

2 2

dt 1 t

 12 

2

t2 (1  t )

2 2

dt  8 

dt 1 t 2

t2 (1  t )

dt  4 

2 2

dt  8 

dt 1 t 2

dt 1 t 2

dt 1 t 2

113

ut

Hacemos :

t

dv 

33/2 (2t  1)  171/2 3  ] dt t 1 t2  t  2 dt 33 2t  1 171 dt I  2t 6  3t 4  8t 3  6t 2  48t  3   dt    2 2 t 1 2 t  t  2 2 t t2 33 171 2t  1 I  2t 6  3t 4  8t 3  6t 2  48t  3 Ln t  1  Ln t 2  t  2  arctg ( )C 2 7 7 33 I  2 x  3 3 x  8 4 x  6 6 x  48 12 x  3 Ln 12 x  1  Ln 6 x  12 x  2 2 I  2t 6  3t 4  8t 3  6t 2  48t   [

dt

(1  t ) 1 du  dt v 2 (1  t 2 ) 4t 6t dt dt 4t 6t dt I  6 4   2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1  t ) 1 t 1 t 1 t (1  t ) 1 t 1 t 2 I

 6t 3  2t (1  t )

2 2

 2 arc tg t  C 

I  (u  2) 1  u 2  2 arc tg

1 u 3 1 u ) 2 1 u 1 u 1 u  2 arc tg C 1 u 2 1 u (1  ) 1 u

6(

1 u 1 x  C  ( x  2) 1  x  2 arc tg C 1 u 1 x



171

arctg (

x

20.

2x  9

Hacemos :

x  t 12 dx  12t

12t

11

t 6  t 4  2t 3

 11

t  x 1/12

dt

dt  12 

t

36t  72t  96 2

(t  1) (t  t  2) 2

3



2

dt

3t  6t  8

x

2

(t  1) (t  t  2)

I  2t  3t  8t  6t  48t   4

dx 2x  9

2x  9  t 2 dx  t dt t



8

t3  t  2

I  12  [ t 5  t 3  2t 2  t  4  6

x

2

] dt

36t 2  72t  96 (t  1) (t 2  t  2)



21. dt

B(2t  1)  C A  t 1 t2  t  2

dx 2x  9

t 9 .t 2 2

2 3

 arc tg (

3x  5 dx 

36t 2  72t  96  (A  2B)t 2  (A  B  C)t  (2A  B  C)



A  2B  36    A  B  C  72 A  3, B  33/2, C  171/2 2A  B  C  96 





t2 9 2

x

dt  2 

dt t 9 2

2 3

t 3

 arc tg ( )  C

2x  9 )C 3

3x  5 dx x

Hacemos :

36t 2  72t  96  A(t 2  t  2)  B(2t  1)(t  1)  C(t  1)

)C

7

dx

x 3 x 24 x

Hacemos :

2 12 x  1

7

dx

19. I  

I

2 2

 t 2  x

t2 5 3

2 t dt 3

3x  5 2 t t2 5 dx   . t dt  2  dt  2  [ 1  ] dt 2 x 3 t2 5 (t  5 ) (t  5 ) t 5 3 3x  5 5  5 dt dt dx  2t   (  ) dt  2t  5   5 x t 5 t 5 t 5 t 5

114



3x  5 t 5 dx  2t  5 Ln t  5  5 Ln t  5  C  2t  5 Ln C x t 5



3x  5 dx  2 3x  5  5 Ln x

3x  5  5 3x  5  5

C

dx 



1  x dx 1 x x

4t (1  t 2 ) 2

  t .

1

dt

.

4t

1  t 2 (1  t 2 ) 2

dt  

4t 2 (t 2  1) (t 2  1)

dt

1 t 2



22.

dx



x x 3

x  t6

Hacemos :



t  x 1/6

dx  6t dt



x 3 x dx



x x dx 3

 23.

x 3 x



6t 5 t3  t2

dt  

6t 3 6 dt   ( 6t 2  6t  6  ) dt t 1 t 1

 2 x  3 3 x  6 6 x  6 Ln 6 x  1  C x 1

 (x  1) 2 3 x  1 dx Hacemos :

x 1 x 1 dx  

 t 3  x (t 3  1) 2

t 3 1 t 3 1

dt

x 1 1 6t 2 1 6t 3 dx   . t . dt   .  (x  1) 2 x  1  t 3 1  2 2 (t 3  1) 2 dt ( t 3  1) 2 2 ( ) (  1) t 3 1 t 3 1 1 x 1 3 3 3 4 3 x 1 4  (x  1) 2 3 x  1 dx   2  t dt   8 t  C   8 3 ( x  1)  C 1

24.



(t  1) (t  1) (t 2  1)

1  x dx 1 x x

 t 2  x

1 t 2 1 t 2

C(2t)  D A B   t 1 t 1 t 2 1

 A( t  1)(t 2  1)  B(t  1)(t 2  1)  C(2t)(t  1)( t  1)  D(t  1)( t  1) 4t 2  (A  B  2C)t 3  (A  B  D)t 2  (A  B  2C)t  (A  B  D) A  B  2C  0   A  B  D  4  A  1, B  1, C  0, D  2 A  B  2C  0   A  B  D  0 



1  x dx 1 1 2 dt dt dt  (   ) dt     2 2 1 x x t 1 t 1 t 2 1 t 1  t 1 t 1 1  x dx t 1  Ln t  1  Ln t  1  2 arc tg t  C  Ln  2 arc tg t  C 1 x x t 1



1  x dx  Ln 1 x x



1  x dx  Ln 1 x x

25. I  

x 3 2 x x 3 2 x

Hacemos : 1 x 1 x

dt

4t 2

3

Hacemos :



(t  1) (t  1) (t  1)



6t 2

4t 2

2

 2t 3  3t 2  6t  6 Ln t  1  C

1



4t 2

5

dx

1  x dx 1 x x

1 x 1 1 x 1 x  2 arc tg C 1 x 1 x 1 1 x 1 x  1 x 1 x  1 x

 2 arc tg

dx

2  x  t3 dx  3t 2 dt



x t 3  2

1 x C 1 x

115

I I

(t  2) t 3

t3  2  t

. 3t 2 dt  

3t  6t 6

3

t3  t  2

dt   ( 3t 3  3t 

3t  6t 2

t3  t  2

dx  

) dt

3 4 3 2 3t 2  6t 3 3 3t 2  6t t  t  dt  t 4  t 2   dt 4 2 4 2 t3  t  2 (t  1) (t 2  t  2)

(

B(2t  1)  C A   2 (t  1) (t  t  2) t  1 t2  t  2

I

3t 2  6t  A(t 2  t  2)  B(2t  1)(t  1)  C(t  1) 3t 2  6t  (A  2B)t 2  (A  B  C)t  (2A  B  C) A  2B  3

  A  B  C  6 A  3/4, B  15/8, C  27/8 2A  B  C  0  I I I

I I



arc tg (

2 3 2  x 1

4 7

26. I   I

7

3

(x  1) 2 (x  1) 4

x 1 x 1

 t 3  x

  

t 1 3

t 3 1

 1) (

t 3 1

. t.  1)

6t 2 (t 3  1) 2

1

dt    (

2t 3 t 3 1

.

)(

2 t 3 1

)

6t 3 (t 3  1) 2

dt

3 3 3 x 1 dt   t  C   3 C  2 2 2 x 1

x 2  1 x 3

1 x

x 2  1 x 3

 

1 x

x  1 x 2

3

1 x

x 2  1 x 3

1 x

x  1 x 2

3





1 x 1 3 dx (x  1) (x  1) x  1

Hacemos :





dx

t 3 1

t 3 1

dt

dx

1 x  t 6



x t 6 1

dx  6t 5 dt

28.

)C

t 3 1

Hacemos :

3 4 3 2 3/4 15/8 (2t  1)  27/8 t  t  [  ] dt 4 2 t 1 t2  t  2 3 4 3 2 3 15 27 dt t  t  Ln t  1  Ln t 2  t  2   2 4 2 4 8 8 t t2 3 4 3 2 3 15 27 dt t  t  Ln t  1  Ln t 2  t  2  1 2 7 4 2 4 8 8  (t  )  2 4 3 4 3 2 3 15 27 2t  1 2 t  t  Ln t  1  Ln t  t  2  arc tg ( )C 4 2 4 8 4 7 7 33 3 3 15 (2  x ) 4  3 (2  x ) 2  Ln 3 2  x  1  Ln 3 (2  x ) 2  3 2  x  2 4 2 4 8 27



27.

(t 3  1) 2

1

I  

3t 2  6t

6t 2

1 x

dx  

(t 6  1) 2  t 3 t

2

. 6t 5 dt   (t 12  2t 6  1  t 3 ) . 6t 3 dt

dx   (6t 15  12t 9  6t 6  6t 3 ) dt dx 

3 16 6 10 6 7 3 4 t  t  t  t C 8 5 7 2

dx 

3 6 6 3 (1  x) 8/3  (1  x) 5/3  (1  x) 7/6  (1  x) 2/3  C 8 5 7 2

x  1  x 1 x 1  x 1

x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1

dx

dx   dx   dx   dx 

( x  1  x  1) ( x  1  x  1) ( x  1  x  1) ( x  1  x  1) x  1  2 (x  1) (x  1)  x  1 x 1 x 1 2x  2 (x  1) (x  1) 2

dx

dx

dx   [ x  (x  1) (x  1) ] dx

1 2 1 x 1 x   (x  1) (x  1) dx  x 2   (x  1) dx 2 2 x 1

116

x 1 1 t  t 2  x x 1 1 t 2 4t dx  dt (1  t 2 ) 2

2

Hacemos :

 

x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1

dx  dx 

ut

Hacemos :

du  dt

  

x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1

   

x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1

x 1  x 1

1 2 1 t 4t x (  1) . t . dt 2 2 1 t (1  t 2 ) 2

x 1  x 1

2

2

dv  v

t (1  t 2 ) 3 1

dx 

1 2 2t dt t2 x  2 2 dt 2 (1  t 2 ) 2 1 t 2 (1  t 2 ) 2

v

(1  t 2 ) 2 1

dt

2 (1  t 2 )

dx 

1 2 2t dt t dt x  2   2 2 2 2  2 (1  t ) 1 t 1 t 1 t 2

dx 

1 2 2t t dt x    2 2 2  2 (1  t ) 1 t 1 t 2

dx 

1 2 2t t dt x    2 2 2 2 (1  t) (1  t) (1  t ) 1 t

dx 

1 2 2t t 1/2 1/2 x   (  ) dt 2 2 2 2 1 t 1 t (1  t ) 1 t

dx 

1 2 2t t 1 1 t x    Ln C 2 2 2 2 2 1 t (1  t ) 1 t

dx 

1 2 t (1  t 2 ) 1 1 t x   Ln C 2 2 2 2 1 t (1  t )

x 1  x 1



x 1  x 1 x 1  x 1



x 1  x 1



29.

1 2 1 1 x  x ( x  1) ( x  1)  Ln 2 2 2

dx 

1 2 1 1 x  x x 2  1  Ln x  x 2  1  C 2 2 2

x 1  x 1

5

x ( x  x2 )

x  t 10

5

2



A

x( x  x )

1 t (t  1)

t  x 1/10



dx  10t 9 dt 10t 9

dx

5

x 1  x 1

dx 

dx

Hacemos :



x 1 x 1 x 1 (1  ) 1 1 x 1 x 1 x 1  Ln C x 1 2 2 x 1 (1  ) 1 x 1 x 1

1 dx  x 2  2 x 1  x 1



4 (1  t )

(1  t 2 )  t 2 1 2 2t x  2 dt 2 (1  t 2 ) 2 (1  t 2 ) 2

1 2 2t t 1 1 x    Ln 1  t  Ln 1  t  C 2 2 2 2 2 2 (1  t ) 1 t

x 1  x 1

dt

dx 

dv 

x 1  x 1

dx 

2

2 2

t

x 1  x 1



1 2 2 4t 1 t x ( ) dt  x 2  8  dt 2 2 2 2 2 1  t (1  t ) (1  t 2 ) 3

1 2 2t dt x  2 2 2 2 (1  t ) (1  t 2 ) 2

du  dt

x 1  x 1



dx 

ut

Hacemos :

x 1  x 1



t

5



 B t

4

t

10



(t  t )

C t

3

5



4

D t

2



dt  10 

dt t (t  1) 5

E F  t t 1

1  A(t  1)  B(t)(t  1)  C(t 2 )(t  1)  D(t 3 )(t  1)  E(t 4 )(t  1)  Ft 5 1  (E  F)t 5  (D  E)t 4  (C  D)t 3  (B  C)t 2  (A  B)t  A EF0 D  E  0  C  D  0  A  1, B  1, C  1, D  1, E  1, F  1 B  C  0 A  B  0   A 1

C

117

   

1 1 1  10  ( 5  4  3  2   ) dt 5 2 t t 1 t t t t x( x  x ) dx 5 10 5 10   4  3  2   10 Ln t  10 Ln t  1  C 5 t 2t 3t t x ( x  x2 ) dx

1

1

dx 5

x( x  x ) 2

dx 5

x( x  x ) 2

5



2t

4



3t

5



5

2 x

10

2

3

1

5



t



2

10

 3

10

x

3



5

x



10 10

 10 Ln

x

10 10

x

x 1

C

x x 1  x 1 3

I  

2t 3 t2  t

33. I  

6

x

1 x 3



t 6 x 1

dx  6t 5 dt I

t 6 1

6t 9  6t 3 . 6t 5 dt   dt t 1 t3  t2

I   ( 6t 8  6t 7  6t 6  6t 5  6t 4  6t 3 ) dt I I

2 9 3 8 6 7 6 6 5 3 4 t  t  t t  t  t C 3 4 7 5 2 2 3 6 6 3 (x  1) 3/2  (x  1) 4/3  (x  1) 7/6  ( x  1)  (x  1) 5/6  (x  1) 2/3  C 3 4 7 5 2

31. I  

dx (2x  1)

2/3

 (2x  1)1/2

2x  1  t 6

Hacemos :



t  6 2x  1

dx  3t 5 dt I I

3t

5

t t 4

3

dt  

2

3t 3 3 dt   ( 3t  3  ) dt  t 2  3t  3 Ln t  1  C t 1 t 1 2

3 (2x  1)1/3  3 (2x  1)1/6  3 Ln 6 2x  1  1  C 2

32. I  

dx 1  2x  4 1  2x

dt   

2t 2 2 dt   (  2t  2  ) dt   t 2  2t  2 Ln t  1  C t 1 t 1 4 1  2x

1  C

dx

x  t6

t  x 1/6



dx  6t 5 dt

dx

x 1  t 6

Hacemos :

t  4 1  2x

dx   2t 3 dt

Hacemos : 30. I  



I   1  2x  2 4 1  2x  2 Ln

10 t  10 Ln C t t 1 5

1  2x  t 4

Hacemos :

I I

t

. 6t 5 dt  

6t 6

dt   ( 6t 4  6t 2  6 

6

) dt 1 t 1 t 1 t 2 6 5 66 5 t  2t 3  6t  6 arc tg t  C  x  2 x  6 6 x  6 arc tg 6 x  C 5 5

34. I  

2

2

dx x (1 2 x  3 x )

Hacemos :

x  t6



t  x 1/6

dx  6t 5 dt 6t 5 dt dt I dt  6  6 6 3 2 3 2 t (1  2t  t ) t (2t  t  1) t (t  1) (2t 2  t  1) C(4t  1)  D 1 A B    2 t t  1 t (t  1) (2t  t  1) 2t 2  t  1 1  A(t  1)(2t 2  t  1)  B(t)(2t 2  t  1)  C(4t  1)(t)(t  1)  D(t)(t  1) 1  (2A  2B  4C)t 3  (A  B  3C  D)t 2  (B  C  D)t  A 2A  2B  4C  0  A  B  3C  D  0  A  1, B  1/4, C  3/8, D  1/8 BCD  0   A 1 1 1/4 3/8 (4t  1)  1/8 I  6 [   ] dt t t 1 2t 2  t  1

118

3 9 3 dt I  6 Ln t  Ln t  1  Ln 2t 2  t  1   2 2 4 4 2t  t  1 3 9 3 dt I  6 Ln t  Ln t  1  Ln 2t 2  t  1   1 7 2 4 8 (t  ) 2  4 16 3 3 3 3 4t  1 I  Ln t 8  Ln (t  1) 2  Ln (2t 2  t  1) 3  arc tg ( )C 4 4 4 2 7 7 3 t8 3 4t  1 I  Ln  arc tg ( )C 2 2 3 4 2 7 7 (t  1) (2t  t  1) 3 x x 3 4 x 1 I  Ln  arc tg ( )C 2 3 6 3 6 4 2 7 7 ( x  1) (2 x  x  1) 3

35. I   I

dx n

( n : número natural )

(x  a) n 1 (x  b) n 1

1 xb n dx (x  a) (x  b) x  a

xb x a

Hacemos :

dx 

n (b  a) t

(

b  at n 1 t n

 a) (

1 t n

1

I [

ba

][

(b  a) t n

1 t 1 t n n xb C ba x a n

n

. ]

XIII.INTEGRALES DE LA FORMA

x 2 4x 2  x  4 1 Hacemos : x  u

   

dx x 2 4x 2  x  4 dx x

2

4x 2  x  4 dx

x

2

4x  x  4 dx

x

2

4x  x  4

2

2

2u 

b  at n

du 

1 t n

n 1

(1  t n ) 2 b  at n

dx



Hacemos :

 t n  x

1

I

I

6

1.

du

u2 du

   

1

u2 1/8 (8u  1)  1/8

1

  8 

u u2   du 2 4 1 4u  u  4  4 u2 u

4u 2  u  4 8u  1 4u  u  4 2

du du 

1 1 4u 2  u  4   4 8

n (b  a) t n 1

 b) n (b  a) t n (1  t n ) 2

(1  t n ) 2 dt 

 dt

n n dt  tC ba  ba

  

dx (x  a) px 2  qx  r

, nN



dx

1 1   4u 2  u  4   2 2 4 8 x 4x  x  4 dx x 2 4x 2  x  4 dx x 2 4x 2  x  4 dx x

2

4x  x  4 dx

x

2

4x  x  4

2

2

1 du 8  4u 2  u  4 du 1 63 (2u  ) 2  4 16

1 63  tg θ 4 4 63 sec 2 θ dθ 8

dt

. t.



 dx  

63 sec 2 θ 8 dθ 63 2 63 tg θ  16 16



1 1 sec 2 θ 4u 2  u  4   dθ 4 16 tg 2 θ  1



1 1 sec 2 θ 4u 2  u  4   dθ 4 16 sec θ



1 1 4u 2  u  4   sec θ dθ 4 16



1 1 4u 2  u  4  Ln sec θ  tg θ  C1 4 16

119

    2.



dx x 2 4x 2  x  4 dx x

2

4x  x  4 2

dx x 2 4x 2  x  4 dx x 2 4x 2  x  4



1 1 4 4u 2  u  4 8u  1 4u 2  u  4  Ln   C1 4 16 63 63





1 1 1 4u 2  u  4  Ln 2u   4u 2  u  4  C 4 16 4





1 4





4 x

2



1 1 2 1 4 1  4  Ln    4 C x 16 x 4 x2 x

4x 2  x  4 1 x 8 4x 2  x  4  Ln  C 4x 16 4x x



dx (x  2) x 2  3x  9

x 2 

Hacemos :

1 u

 dx  



dx (x  2) x 2  3x  9 dx (x  2) x  3x  9 2

u

Hacemos :

u2

3.



dx (x  2) x

2

dx (x  2) x 2



 

u2 1 1 1 (  2) 2  3 (  2)  9 u u u du

 

du u 2  7u  1

dx (x  2) x  3x  9 2

dx (x  2) x 2  3x  9 dx (x  2) x 2  3x  9 dx (x  2) x 2  3x  9

45 sec θ 2

 Ln

2u  7



2 u 2  7u  1

45

45

 C1

 Ln 2u  7  2 u 2  7u  1  C  Ln

2 1 2 7 72 ( )  1  C x2 x2 x2

 Ln

7 x  12 2 x 2  3x  9  C x2 x2

 Ln

7 x  12  2 x 2  3x  9 C x2

x 3



dx x 2 3x 2  2x  1 1 du Hacemos : x   dx   u u2



7 45 (u  ) 2  2 4

45 sec θ tg θ dθ 2 45 sec θ tg θ sec θ tg θ 2   dθ    dθ 45 45  3x  9 sec 2 θ  1 sec 2 θ  4 4 sec θ tg θ   dθ    sec θ dθ  Ln sec θ  tg θ  C1 tg θ  3x  9

du 



7 2

 

(x  2) x 2  3x  9

du du





dx

  

x 3 x 2 3x 2  2x  1 x 3

x2

dx   

1

u2 3/2 (2u  2)  2

du u 2  2u  3 3 2u  2 du dx    du  2  2 3x 2  2x  1 u 2  2u  3 u 2  2u  3 x 3 du dx  3 u 2  2u  3  2  2 3x  2x  1 (u  1) 2  2

x 2 3x 2  2x  1 x 3 x2

dx   

1 3 du 3u  1 u .   du 2 2 3 2 u u  2u  3  1 u2 u

u  1  2 tg θ

Hacemos :

du  2 sec 2 θ dθ



x 3 x 2 3x 2  2x  1

dx  3 u 2  2u  3  2 

2 sec 2 θ 2 tg 2 θ  2

dθ

120

       

4.



x 3 x 2 3x 2  2x  1 x 3

x2 x2 x2

3x  2x  1

2

2

x 3 x

3x  2x  1

2

2

x 3 x 2 3x 2  2x  1 x 3 x 2 3x 2  2x  1 3

x  x3 x4

 5.

3

xx x

3

tg 2 θ  1

Hacemos :

dθ

3

4

x  x3 x4

dx  3 u 2  2u  3  2 Ln

u 2  2u  3 2



dx

 (x  1) 4 x 2

1 x

dx  

2



1 u

 dx  

du u2

 

u2 1 1 (  1) 2 4 u u

 

u4 (1  u) 2

du

dx 4 1 2  (x  1) 4 x 2   [  u  2u  3  1  u  (1  u) 2

u 1 2

] du

dx 1 3 1 2  (x  1) 4 x 2   3 u  u  3u  4 Ln 1  u  1  u  C

 C1

dx 1 1  (x  1) 4 x 2   3 (x  1) 3  ( x  1) 2

2 1 1 2  3  2 Ln  1   3 C 2 x x x x

3 3x 2  2x  1 x  1  3x 2  2x  1  2 Ln C x x



3 1  4 Ln 1   x 1 x 1

1

1 1 x 1 dx 1 1 3 x x 1  (x  1) 4 x 2   3 (x  1) 3  ( x  1) 2  x  1  4 Ln x  1  x  C

dx  3 u 2  2u  3  2 Ln u  1  u 2  2u  3  C dx  3

x 1 

du

2

x 3 x

sec θ

sec 2 θ dx  3 u  2u  3  2  dθ sec θ 3x 2  2x  1 x 3 dx  3 u 2  2u  3  2  sec θ dθ 2 3x  2x  1 x 3 dx  3 u 2  2u  3  2 Ln sec θ  tg θ  C1 2 3x  2x  1

XIV.

INTEGRALES DE LA FORMA

CASO I: Si c  0 Hacemos:

 R ( x,

C

ax 2  bx  c ) dx

ax 2  bx  c  tx  c

dx x

Hacemos :



dx  3 u 2  2u  3  2 

2

1 u

 dx  

u 3

dx   

du

1 1  u u 3 du 1 u2 4 u

6.

2

1

   3 u 2  1 u du    3 u 2  1 2u du 2

3 3 1 3 1  x 2 4/3 dx   (u 2  1) 4/3  C   (  1) 4/3  C   ( ) C 8 8 x2 8 x2



dx x 2x 2  x  1

Hacemos :

2x 2  x  1  tx  1 

2x 2  x  1  1 x

2x 2  x  1  t 2 x 2  2 tx  1  (2  t 2 ) x 2  (1  2t ) x  0 2t  1 x 2 t2 2x 2  x  1  t (

dx

 (x  1) 4 x 2

t

dx 

2 ( t 2  t  2) (2  t 2 ) 2

2t  1 2 t2 dt

) 1 

t2  t  2 2 t2

121

  

dx x 2x 2  x  1 dx x 2x  x  1 2

dx x 2x 2  x  1

1

 (

2t  1 2 t2

)(

2 (t  t  2) 2

t2  t  2 2 t2

. )

(2  t 2 ) 2

dt  

2 dt 2t  1

8.

2x  x  1  1 ) 1  C x 2

 Ln 2t  1  C  Ln 2 (



dx x x 2  3x  2

2 2x 2  x  1  2  x C x

7.



ax  bx  c  a x  t

x 2  3x  2

x x  x 1 2

x 2  x 1  x  t 

x



t x 2  x 1  x  (1  2t)x  (1  t 2 )  0

t 2 1 1  2t



t 2 1  t 2  t 1 x  x 1  t  1  2t 1  2t dx 

 

dx

2 ( t 2  t  1) (1  2t) 2



dt

1



.

2 ( t 2  t  1)

dt  2 

dt

t 2 1  t 2  t 1 (1  2t) 2 t 2 1 )( ) 1  2t 1  2t dx 2 1 1 dt dt  dt   (  ) dt    2 (t  1) (t  1) t  1 t  1 t  1 t 1 x x  x 1 dx t 1  Ln t  1  Ln t  1  C  Ln C 2 t 1 x x  x 1 x x 2  x 1

dx x x 2  x 1

dx x x 2  3x  2

2t

2 t2 1 t

 1) 

2

1

 (

t 1 t 2

dt

(1  t 2 ) 2 2t

2

1 t

2



dx

)(

. t 1 t

2

)

2t (1  t )

2 2

x x  3x  2 dx 2

x x 2  3x  2 dx x x 2  3x  2

dt

 2 

(t  2 ) (t  2 )



1



1

dt

 2 t

x 2  x 1  x 1 x 2  x 1  x 1

C



dx

2

x x 2  3x  2

9. I  



1

dx x

2

x  2x  4 2

2



1

2

Ln t  2 

(

 Ln

 t(

dt  2 

1

2



1 t 2

dx 

x 2  x  1  x 2  2tx  t 2



2 t2

2

dx

Hacemos :

x2 x 1

x  2  t 2 (x  1)  (1  t 2 )x  (t 2  2)  0 x

CASO II: Si a  0 Hacemos:

 (x  2) (x  1)  t (x  1)  t 

x 2  3x  2

Hacemos :

 Ln

ax 2  bx  c  t ( x  r)

CASO III: Si ax 2  bx  c tiene dos raíces reales r y s Hacemos:

Ln

dt t 2 2

1



 2  ( 2 2  2 2 ) dt t 2

t 2

dt

 2 t 1 2

2

Ln t  2  C 

x2  2 1 x 1 C  Ln x2 2  2 x 1

1 2

Ln

t 2 t 2

x  2  2 (x  1) x  2  2 (x  1)

C

C

122

Hacemos :

x 2  2x  4

x  2x  4  2 x 2

 tx  2  t 

x 2  2x  4  t 2 x 2  4tx  4  (1  t 2 )x 2  (2  4t)x  0

x

1 u

 dx  

du

u2 du

u u2   du 2 1 1 2 x 2 x 2  2x  4 4u  2u  1  4 u2 u2 u 1/8 (8u  2)  1/4 dx   du  2 2 x x  2x  4 4u 2  2u  1 dx 1 8u  2 1 du   du    2 2 2 2 8 4 x x  2x  4 4u  2u  1 4u  2u  1 dx 1 1 du   4u 2  2u  1    2 2 4 4 1 3 x x  2x  4 (2u  ) 2  2 4 1 3 Hacemos : 2u   tg θ 2 2 3 du  sec 2 θ dθ 4 3 sec 2 θ dx 1 1 2 4   4u  2u  1   dθ  2 2 4 4 3 2 3 x x  2x  4 tg θ  4 4



dx

 

1 1 3 2 1 3 1 I    dt   [  ] dt   t   Ln 2t  1  C 2 8 8 (2t  1) 2t  1 8 16 (2t  1) 8



dx



1 1 sec 2 θ 4u 2  2u  1   dθ 4 8 tg 2 θ  1

x 2  2x  4  2 I  8x





1 1 sec 2 θ 4u 2  2u  1   dθ 4 8 sec θ



1 1 4u 2  2u  1   sec θ dθ 4 8



1 1 4u 2  2u  1  Ln sec θ  tg θ  C1 4 8



1 1 2 4u 2  2u  1 4u  1 4u 2  2u  1  Ln   C1 4 8 3 3

x

2 (2t  1) 1 t 2

x 2  2x  4 dx 

 t(

4 (t 2  t  1) (1  t 2 ) 2 1

I

4t  2 1 t 2

)2 

2 (t 2  t  1) 1 t 2

dt

.

4 (t 2  t  1)

dt 

I

1 1 t 2 dt 2  (2t  1) 2

2 (2t  1) 2 2 (t 2  t  1) (1  t 2 ) 2 ] [ ] 1 t 2 1 t 2 1 1 t  5/4 1 1 4t  5 [  ] dt    dt   dt 2  4 (2t  1) 2 8 8 (2t  1) 2 [

4t  5



A



(2t  1) (2t  1) 4t  5  A  B(2t  1) 4t  5  2Bt  (A  B) 2

2

B 2t  1

2B  4   A  3, B  2 A  B  5

3 2 x 2  2x  4  4 16 (  1) x

1 2 x 2  2x  4  4  Ln 1  C 8 x

x 2  2x  4  2 3x 1 x  4  2 x 2  2x  4 I   Ln C 8x x 16 (x  4  2 x 2  2x  4 ) 8 10.

Hacemos :



dx x 2 x 2  2x  4

  

x 2 x 2  2x  4 dx x 2 x 2  2x  4 dx x

2

x  2x  4 dx

x

2

x  2x  4

2

2

dx x 2 x 2  2x  4

123

   

x2

1 1   4u 2  2u  1  Ln 4u  1  2 4u 2  2u  1  C 4 8 x 2  2x  4 dx

x 2 x 2  2x  4



1 4

4 x2



2 1 4 4 2  1  Ln  1  2  1  C x 8 x x2 x





x 2  2x  4 1 4  x 2 x 2  2x  4   Ln  C 4x 8 x x x 2  2x  4 dx

x

2

x2

dx



x x  2x  3 2

Hacemos :

 x  t  t  x  2x  3  x x  2 x  3  x 2  2tx  t 2  (2  2t)x  (3  t 2 )  0 x  2x  3 2

2

2

x

dx 

  12.

dx x x  2x  3 2

dx x x 2  2x  3





t2 3 2 (1  t)

x 2  2x  3



t2 3  t 2  2t  3 t  2 (1  t) 2 (1  t)

 t 2  2t  3 2 (1  t) 2







t  3  t  2t  3 [ ][ ] 2 (1  t) 2 (1  t) 2

2

arc tg (

2

t

3

3

)C 

2 3

.

 t 2  2t  3 2 (1  t)

arc tg (

2

dt  2 

dt t 3 2

x 2  2x  3  x 3

)C

x x  2x  3 2

dx x x  2x  3 2

13.

 dx  

du u2

  

1 u 1 3



u2 1 2  3 u2 u du

 

du 1  2u  3u

2



1 3



du 1 2  u u2 3 3

4 1  (u  ) 2 9 3

1 2  sen θ 3 3 2 du  cos θ dθ 3 u

2 cos θ 1 cos θ   3 dθ   dθ  2 2 3 4 4 3 2 x x  2x  3 1  sen θ  sen θ 9 9 dx 1 cos θ 1 1   dθ    dθ   3 θ  C 2 cos θ 3 3 x x  2x  3 3 1 dx 1 3u  1 1 x   arc sen ( )C   arc sen ( )C 2 2 3 3 x x 2  2x  3 dx 1 3 x   arc sen ( )C 2 2x 3 x x  2x  3 dx



1

dx (x  1) x 2  3x  2

Hacemos :

x 2  3x  2

 (x  2) (x  1)  t (x  1)  t 

x  2  t 2 (x  1)  (1  t 2 )x  (t 2  2)  0 x

dx

x x 2  2x  3 1 Hacemos : x  u



dt

1

dx

Hacemos :

x 2  2x  4 1 4  x  2 x 2  2x  4   Ln C 4x 8 x x 2  2x  4 dx



11.

du

dx

2 t2 1 t 2

x 2  3x  2

 t(

2 t2 1 t

2

 1) 

t 1 t 2

x2 x 1

124

dx 

 

2t (1  t )

2 2

dx

1



(x  1) x  3x  2 2

(

dx

2t

2

1 t 2

.

 1) (

t 1 t 2

1



(x  1) x 2  3x  2

Hacemos :

dt

(

1

)(

.

t

1 t 2 1 t 2 dx x2 2 C  2 x 1 (x  1) x  3x  2



14.

)

2t (1  t 2 ) 2 2t

2 2 ) (1  t )

dt

I2

dt  2  dt  2t  C

I2 I2

dx

I2

(x  1) x 2  3x  2

x 1 

Hacemos :

1 u

 dx  

du

I2

u2

du

 

dx

 

(x  1) x  3x  2 2

dx

2 x  x2

I

x2

I2

I2

 

2 x  x2 dx

du 1 u



1 x2 C  2 C x 1 x 1

 du 1 u

I2

dx x2

dx

x2

2 x  x2 dx

x2

2 x  x2





dx x 2 x  x2 dx

x 2 x  x2





dx 2 x  x2 dx

9 1  (x  ) 2 4 2

2 x  x2 dx

x2

2 x  x2 dx

x2

2 x  x2 dx

x2

2 x  x2 dx

x2

2 x  x2 dx



   

3 cos θ 2  dθ 9 9 2 x 2 x  x2  sen θ 4 4 dx cos θ  dθ x 2 x  x2 1  sen 2 θ dx cos θ  dθ cos θ x 2 x  x2 dx   dθ x 2 x  x2 dx θ x 2 x  x2 dx 2x  1  arc sen ( ) 3 x 2 x  x2 dx

 2 x  x2 1 du Hacemos : x   dx   u u2 x2

du

du

2x  1 u2  arc sen ( ) 3 1 1 1 1 1 1 2  2  u u2 u u u2 u2 u du 2x  1 I  2  du    arc sen ( ) 2 2 3 2u  u  1 2u  u  1 1/4 (4u  1)  1/4 du 2x  1 I  2  du    arc sen ( ) 2 2 3 2u  u  1 2u  u  1 I  2 

dx

2 x  x2 x2

1 1 1 (  1) 2  3 (  1)  2 u u u

 2 1 u  C  2 1

(x  1) x 2  3x  2

15. I  

u2

1 3  sen θ 2 2 3 dx  cos θ dθ 2 x

u

2



1 4u  1 1 du 2x  1 du    arc sen ( )  2 2 2 2 3 2u  u  1 2u  u  1 1 du 2x  1 I   2u 2  u  1   arc sen ( )  3 2 2 1 1 u2  u  2 2 I

125

I   2u 2  u  1 

1 2

 2

2x  1  arc sen ( ) 3 1 2 9 (u  )  4 16 du

I   2u 2  u  1  I   2u 2  u  1 

x I

x 2 



1

Ln

2 2 1

Ln

 

dx (x  2) x  4x  1 2

dx (x  2) x 2  4x  1



1

du 

1

Hacemos :

2 2

1 1 1  Ln x 2 2

2 x  x2 1  Ln x 2 2

2 x  x2 2 I  Ln x 4

4u  1 2 2

 arc sen (



2 x  x2 4x 2x  1   arc sen ( )C x 3 2 2x 2 x  x2  2 2 2x  1   arc sen ( )C x 4 3

du u2

u



dx (x  2) (x  2)  3



2

1



3

 

u2 1

1 u

u

2

3

 



1  u2 3

sen θ cos θ dθ

3

(x  2) x 2  4x  1

dx (x  2) x  4x  1 2

 

1 1 x  x 2 x 1 x  x 2

1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2

1  3u 2

3

dx



17.

du

du



1



1

 3

cos θ

3

1

dθ  

 3

cos θ

1 1 1  sen 2 θ  sen 2 θ 3 3 dx 1 cos θ 1 1   dθ   dθ   θC   3 cos θ 3 3 (x  2) x 2  4x  1

2x  1 )C 3

4 1 2 1 2x  1  1  x  arc sen ( )C 2 x 3 2 2 x

 dx  

1

4u  1 2 2 2u 2  u  1 2x  1   arc sen ( )  C1 3 3 3 2u 2  u  1 

1 u

du

2x  1 I   2u  u  1   sec θ dθ  arc sen ( 3 ) 2 2 1 2x  1 I   2u 2  u  1  Ln sec θ  tg θ  arc sen ( )  C1 3 2 2

2

(x  2) x 2  4x  1

1

2

2

dx

Hacemos :

1 3 Hacemos : u   sec θ 4 4 3 du  sec θ tg θ dθ 4 3 sec θ tg θ 1 2x  1 4 I   2u 2  u  1  dθ  arc sen ( )  3 2 2 9 9 2 sec θ  16 16 sec θ tg θ 1 2x  1 I   2u 2  u  1  dθ  arc sen ( )  3 2 2 sec 2 θ  1 sec θ tg θ 1 2x  1 I   2u 2  u  1  dθ  arc sen ( )  tg θ 3 2 2

I



16.

3

arc sen ( 3u)  C  

1

arc sen (

3

3 )C x2

dx

dx   dx  

dx x 1 x  x 2 dx x 1 x  x 2

 

1 x  x 2 x 1 x  x 2

dθ

dx

dx dx   Ln x x x 1 x  x 2

126



1 1 x  x

2

x 1 x  x 2

Hacemos :

x

dx  Ln x  

1 u

 dx  

dx



x 1 x  x 2 du



u2

1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x

du

 

1 1 x  x

2

x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2

Hacemos :

dx  Ln x  

du 

     

1 1 x  x

x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x

2

x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x

2

x 1 x  x 2



 Ln x  

du u 2  u 1

1 3 (u  ) 2  2 4



3 tg θ 2



3 sec 2 θ dθ 2

3 sec 2 θ sec 2 θ 2 dθ  Ln x   dθ 2 3 2 3 tg θ  1 tg θ  4 4

dx  Ln x  

dx  Ln x  



18.



du

dx  Ln x  

1 u 2

2

u2 1 1 1 1  u u u2

2 u  u 1 3



x 1 x  x 2

1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2

dx  Ln x  2  2 1  x  x 2  C

dx

dx   dx  

3

 C1

1 x  x 2

1 x  x 2



dx  Ln x  Ln 2u  1  2 u 2  u  1  C 2 1 1 dx  Ln x  Ln  1  2  1  C x x2 x

x 1 x  x 2 dx x 1 x  x 2

dx  Ln x  

dx  

2u  1

dx

 

1 x  x 2 x 1 x  x 2

dx

dx dx   Ln x x x 1 x  x 2

dx x 1 x  x 2

1 x  x 2 1 x

 tx  1  t 

1  x  x 2  t 2 x 2  2 tx  1  (1  t 2 ) x 2  (1  2t ) x  0 1  2t x t 2 1

dx  Ln x  Ln sec θ  tg θ  C1 dx  Ln x  Ln

1 1 x  x 2

Hacemos :

sec 2 θ dθ  Ln x   sec θ dθ sec θ

2

2

x  2  2 1 x  x 2 C x

dx  Ln x  Ln

 

1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2

 t(

1  2t t 2 1

2 ( t  t  1)

) 1 

 t 2  t 1 t 2 1

2

( t 2  1) 2

dt 1

dx  Ln x   ( dx  Ln x  2 

1  2t t 2 1 dt 1  2t

dx  Ln x  Ln 1 

)(

 t 2  t 1 t 2 1

. )

2 ( t 2  t  1) (t 2  1) 2

 Ln x  Ln 1  2t  C

2 1 x  x 2  2 C x

dt

127

 

1 1 x  x

x 1 x  x 2 1 1 x  x 2 x 1 x  x 2



19.

2

dx  Ln



x  2  2 1 x  x 2 x2



C



C



dx (1  x) 1  x  x 2

Hacemos : 1  x 



x  2  2 1 x  x x

dx  Ln x  Ln

2

dx (1  x) 1  x  x 2 dx (1  x) 1  x  x 2

Hacemos :

u

1 2

1 u

 dx  

 

u2 1 1 1 1  (  1)  (  1) 2 u u u du

 

du



(1  x) 1  x  x 2 dx (1  x) 1  x  x 2

(1  x) 1  x  x 2 dx

Hacemos :

1 x  2 1 x  x 2 C x 1



2u  1 3

 C1



C

1 x  2 1 x  x 2

 t  x  t 1 x  x 2  x 1  x  x 2  t 2  2tx  x 2  (2t  1)x  (1  t 2 )  0 t 2 1 2t  1

1 x  x 2



x 1

1 x  x 2

dx 

3

 Ln

(1  x) 1  x  x 2

1 3 (u  ) 2  2 4

2 u 2  u 1

2 1 2 1 1 2 ( )  1  C 1 x 1 x 1 x

dx

3 tg θ 2

 Ln

 Ln

 Ln

(1  x) 1  x  x 2

u 2  u 1

3 sec 2 θ dθ 2 3 sec 2 θ dx sec 2 θ sec 2 θ 2   dθ   dθ     3  2  sec θ dθ 3 2 (1  x) 1  x  x 2 tg θ  1 tg θ  4 4 dx    sec θ dθ  Ln sec θ  tg θ  C1  (1  x) 1  x  x 2

dx

2

dx

x

du 



(1  x) 1  x  x



20.

2

u du

 



du

dx

 t

2 ( t 2  t  1) (2t  1) 2

dx (1  x) 1  x  x 2 dx



t 2 1 t 2  t 1  2t  1 2t  1 dt

1 t 2 1 t 2  t 1 (1  )( ) 2t  1 2t  1



1

2 ( t 2  t  1) (2 t  1) 2

2 ( t 2  t  1)

dt

dt t 2  2t t 2  t  1 (2 t  1) 2 ( )( ) 2t  1 2t  1 dx dt dt 1/2  1/2 2 2 2  2(  ) dt  t (t  2) t t2 t  2t (1  x) 1  x  x 2



 Ln 2u  1  2 u 2  u  1  C



(1  x) 1  x  x 2

dx (1  x) 1  x  x

2

dx (1  x) 1  x  x 2

.

.

 Ln t  Ln t  2  C  Ln  Ln

x  1 x  x 2 x  2  1 x  x 2

t C t2

C

128



21.

 

dx x  x 2 1

dx x  x 1 dx

x  x 2 1



dx  

x  x 2 1 x 2  x 2 1

(x  x  1) ( x  x  1) 1   (x  x 2  1) dx  x 2   x 2  1 dx 2 2 x  x 1 2

2

2

x  1  (x  1) (x  1)



x 1 x 1

x  1  t 2 (x  1)  (1  t 2 )x  (t 2  1)  0 x

dx

t 2 1 t 1 2

4t ( t  1) 2

2

Hacemos :

1 2

 x2 8 

 

 1) 

ut

( t 2  1) 3

dv 

dx x  x 2 1 dx x  x 2 1 dx x  x 2 1

1 2

 x2 

x  x 2 1

t 1

dx

2



1 2

 x2  1 2

 x2 



( t 2  1) 2 2t ( t 2  1) 2 2t ( t  1) 2

2

x  x 2 1 dx x  x 2 1

dt



t

dt (t 2  1) 3 1 v 2 4 (t  1) 2

2t

2

2t

dt

t2

du  dt





1 2t 4t 1 8t 2  x 2   2 . 2 2 dt  x 2   2 3 dt 2 t  1 ( t  1) ( t  1) x  x 2 1 2 x  x 2 1

dx

t 2 1

dx

dx

x  x 1 2

x  x 1

dx  



x  x 1 dx 2

t 2 1

x 2 1  t (





dx

2 2 2



dt ( t 2  1)  t 2 ( t 2  1) 2 dt t 1 2

2



dt t2

( t  1) 2

2

dt

dx x  x 2 1 dx x  x 2 1



22.

( t 2  1) 2

dt (t  1) 2 1 v 2 2 (t  1)



1 2

(t  1)

1 2

(t  1)

 x2   x2  1 2

 x2  1 2

 x2  1 2

 x2 



t

dv 

du  dt

dx



 t (x  1)  t 

2

Hacemos :

ut

Hacemos :

2t 2

2

2t 2

2

t (t  1) 2

(t  1) 2

2

t (t 2  1) (t  1) 2

2

t (t 2  1) (t  1) 2

2

2

dt

2 

t 1 2

t t 1 2

(





t t 1 2

dt t 1 2

dt t 1 2

1/2  1/2  ) dt t 1 t 1



1 1 Ln t  1  Ln t  1  C 2 2



1 t 1 Ln C 2 t 1

x 1 x 1 (  1) 1 x 1 x 1  Ln x 1 2 (  1) 2 x 1

1 2 x  2



1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

 x 2  x x 2  1  Ln

x 1 1 x 1 C x 1 1 x 1

x 1  x 1 x 1  x 1

 x 2  x x 2  1  Ln x  x 2  1  C

(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

dx

dx  

11 x  x 2  2 1 x  x 2

dx  

x 2  x  2  2 1 x  x 2

x 2 1 x  x 2 x 2 1 x  x 2

dx

dx

C

129

 

(1  1  x  x )

2 2

x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x

2

1 x  x

Hacemos :

2

1 x 2 dx 

     

x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x

1 x  x



2

(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x )

2 2

x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

Hacemos :

x

1 u

(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

dx  



x2 x 2 1 x  x 2 x2 x

2

1 x  x

2

dx   dx  

dx 1 x  x 2

2

dx



1 3 (x  ) 2  2 4

dx x



2

2 x

 

3 tg θ 2

3 sec 2 θ dθ 2

(1  1  x  x 2 ) 2

2

dx  

dx  

dx  

dx   dx   dx   dx  

x2 x 2 1 x  x 2 x2 x

2

1 x  x

2

x2 x 2 1 x  x 2 x2 x 2 1 x  x 2 x2 x 2 1 x  x 2 x2 x 2 1 x  x 2

 dx  

dx 

 dx  

dx  

3 sec 2 θ 2 2 dθ  x 3 2 3 tg θ  4 4



sec 2 θ

2 dθ  x tg 2 θ  1

23.

sec 2 θ 2 dx   dθ  sec θ x dx   sec θ dθ 

(1  1  x  x 2 ) 2 x

2

1 x  x

2

(1  1  x  x 2 ) 2 x

2

1 x  x

2

(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2



dx 

2 2u  1  Ln 2x  1  2 1  x  x 2   du x u 2  u 1

dx 

2  Ln 2x  1  2 1  x  x 2  2 u 2  u  1  C x

dx 

2 1 1  Ln 2x  1  2 1  x  x 2  2  1  C x x2 x

dx 

2 2 1 x  x 2  Ln 2x  1  2 1  x  x 2  C x x

dx  

(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

2 ( 1  x  x 2  1)  Ln 2x  1  2 1  x  x 2  C x

dx

1 x  x 2

 tx  1  t 

1 x  x 2 1 x

1  x  x 2  t 2 x 2  2 tx  1  (1  t 2 ) x 2  (1  2t ) x  0 2t  1 x 1 t 2

2 x

2 1 x  x 2 3

x 2 1 x  x 2

Hacemos :

dx  Ln sec θ  tg θ 

dx  Ln

(1  1  x  x 2 ) 2

1 x  x 2

2 x 

2x  1 3

2  x

dx 

 t(

2t  1 1 t 2

2 ( t 2  t  1) (1  t 2 ) 2

) 1 

t 2  t 1 1 t 2

dt

t 2  t 1 2 ) 2 (1  1  x  x 2 ) 2 2 (t 2  t  1) 1  t dx  .  2  2t  1 t 2  t  1 (1  t 2 ) 2 dt x 1 x  x 2 ( )2 ( ) 1 t 2 1 t 2 (1 

du u2

2  Ln 2x  1  2 1  x  x 2   x 1 u2

1 2 du u . 1 1 u2 1  u u2

t  2t 2 2 ) (1  1  x  x 2 ) 2 2 (t 2  t  1) 1 t 2 dx  . dt  2  2t  1 2 t 2  t  1 (1  t 2 ) 2 x 1 x  x 2 ( ) ( ) 1 t 2 1 t 2 (

130

   

(1  1  x  x )

2 2

x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2 (1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

dx  2  dx  2  dx  2 

(t  2t )

2 2

(2t  1) 2 (1  t 2 )

dt  2 

t 2 (1  4 t  4 t 2 ) (4t 2  4 t  1) (1  t 2 ) t2 1 t 2

dt  2  (  1 

t (1  2 t ) 2

2

(2t  1) 2 (1  t 2 )

dt  2 

t 2 (4t 2  4t  1) (4t 2  4t  1) (1  t 2 )

1 t C 1 t

1 x  x 2 1 (1  1  x  x ) 2 ( 1  x  x  1) x dx    Ln C  2 2 x x 1 x  x 1 x  x 2 1 1 x 2 2



(1  1  x  x 2 ) 2 x 2 1 x  x 2

24. I  

I

x 2  x 1 x x 2  x 1

x2  x

2

dx  

1

2 ( 1  x  x 2  1) x  1 x  x 2 1  Ln C x x  1 x  x 2 1

x

dx

dx   x x 2  x 1 x x 2  x 1 x 1 dx I dx   x 2  x 1 x x 2  x 1 1/2 (2x  1)  3/2 dx I dx   x 2  x 1 x x 2  x 1 1 2x  1 3 dx dx I  dx    2 2 x 2  x 1 x 2  x 1 x x 2  x 1 3 dx dx I  x 2  x 1    2 1 3 x x 2  x 1 (x  ) 2  2 4



3 tg θ 2

3 sec 2 θ dθ 2 3 sec 2 θ 3 dx 2 2 x  x 1   dθ   2 2 3 2 3 x x  x 1 tg θ  4 4

dt

I  x 2  x 1 

3 sec 2 θ dx dθ    2 tg 2 θ  1 x x 2  x 1

3 sec 2 θ dx dθ   2 2  sec θ x x  x 1 3 dx I  x 2  x  1   sec θ dθ   2 2 x x  x 1 3 dx I  x 2  x  1  Ln sec θ  tg θ   2 2 x x  x 1 I  x 2  x 1 

I  x 2  x 1 

dx

1 2

dx 

I

1/2 1/2  ) dt 1 t 1 t

dx  2t  Ln 1  t  Ln 1  t  C  2t  Ln

Hacemos :

dt

3 2 x 2  x  1 2x  1 dx Ln   2 3 3 x x 2  x 1

3 dx Ln 2 x  1  2 x 2  x  1   2 2 x x  x 1 1 du x  dx   u u2

I  x 2  x 1  Hacemos :

du I  x 2  x 1 

u2 1 1  1 u2 u du

3 Ln 2 x  1  2 x 2  x  1   2 u 2  u 1 3 du x 2  x  1  Ln 2 x  1  2 x 2  x  1   2 1 3 (u  ) 2  2 4

I  x 2  x 1  I

3 Ln 2 x  1  2 x 2  x  1   2 1 u

131

1 u 2

Hacemos :

du 

I  x 2  x 1 

I  x 2  x 1 



3 tg θ 2



3 sec 2 θ dθ 2 3 Ln 2x  1  2 x 2  x  1   2



3 sec 2 θ 2 dθ 3 2 3 tg θ  4 4

 

3 sec 2 θ Ln 2x  1  2 x 2  x  1   dθ 2 tg 2 θ  1

3 sec 2 θ Ln 2x  1  2 x 2  x  1   dθ 2 sec θ 3  x  1  Ln 2x  1  2 x 2  x  1   sec θ dθ 2 3  x  1  Ln 2x  1  2 x 2  x  1  Ln sec θ  tg θ  C1 2

I  x 2  x 1  I  x2 I  x2 I

3 2 u 2  u  1 2u  1 x  x  1  Ln 2x  1  2 x 2  x  1  Ln   C1 2 3 3 2

I  x 2  x 1  I

3 2 1 1 x 2  x  1  Ln 2x  1  2 x 2  x  1  Ln  1  2  1  C 2 x x2 x

I  x 2  x 1 



25.



3 Ln 2x  1  2 x 2  x  1  Ln 2u  1  2 u 2  u  1  C 2

x2 (x  1) x 2  1 x2

3 2  x  2 x  x 1 Ln 2x  1  2 x 2  x  1  Ln C 2 x 2

 

(x  1)  3

(x  1) x 2  1 (x  1) x 2  1 Hacemos : x  tg θ

dx  sec 2 θ dθ

dx  

dx x 2 1

3

dx

(x  1) x  1 2

x2 (x  1) x 2 x2 (x  1) x 2 x2 (x  1) x 2 x2 (x  1) x 2 x2 (x  1) x 2

dx  

sec 2 θ tg θ  1 2

dθ  3 

dx (x  1) x 2  1

sec 2 θ dx dθ  3  sec θ 1 (x  1) x 2  1 dx dx   sec θ dθ  3  1 (x  1) x 2  1 dx dx  Ln sec θ  tg θ  3  1 (x  1) x 2  1 dx dx  Ln x 2  1  x  3  1 (x  1) x 2  1 dx dx  Ln x  x 2  1  3  1 (x  1) x 2  1 dx  

x 1 

Hacemos :

1 u

 dx  

du u2 du

   

dx

dx  

x2



x2 (x  1) x 2  1 x2 (x  1) x  1 2

x2 (x  1) x 2  1 x2 (x  1) x  1 2

x2 (x  1) x  1

(x  1) x 2  1

Hacemos :

2

dx  Ln x  x 2  1  3 

dx  Ln x  x 2  1  3  dx  Ln x  x 2  1  3  dx  Ln x  x 2  1 

dx  Ln x  x 2  1 

1 1  tg θ 2 2 1 du  sec 2 θ dθ 2 u

3 2 3 2

u2 1 1 (  1) 2  1 u u du (u  1) 2  u 2 du 2u 2  2u  1 du

 

u2  u 

1 2

du 1 1 (u  ) 2  2 4

132

 

x2 (x  1) x  1 2

x2 (x  1) x 2  1

dx  Ln x  x 2  1 

dx  Ln x  x 2  1 

x2

3 2 3 2

 

1 sec 2 θ 2 dθ 1 2 1 tg θ  4 4

 

2

sec θ tg 2 θ  1

dθ

sec 2 θ dx  Ln x  x  1  dθ   2 sec θ (x  1) x 2  1 x2 3 dx  Ln x  x 2  1    sec θ dθ 2 (x  1) x 2  1 x2 3 dx  Ln x  x 2  1  Ln sec θ  tg θ  C1  2 2 (x  1) x  1

 

x2 (x  1) x  1 2

x2 (x  1) x  1 2

dx  Ln x  x 2  1  dx  Ln x  x 2  1 

3

Ln

2 3

2u 2  2u  1

2





(x  1) x  1 2

x2 (x  1) x 2  1



26.



dx  Ln x  x 2  1 

dx  Ln x  x 2  1 

3

2

u

2

Ln

(x  1)

2

2

3



2 1 x 1

2

Ln

x 2 1 2 (x  1)



( cos x  sen x ) 1 

sen 2x 2



1 C 2

du  sec 2 x dx dx ( cos x  sen x ) 1 

dx ( cos x  sen x ) 1  sen x cos x

sen 2x 2





cos 2 x ( 1  tg x ) sec 2 x  tg x sec 2 x ( 1  tg x ) tg 2 x  1  tg x sec 2 x ( 1  tg x ) 1  tg x  tg 2 x

dx

dx

du (1  u) 1  u  u 2

t 2 1 2t  1

du 





dx

 t  u  t 1 u  u 2  u 1  u  u 2  t 2  2tu  u 2  (2t  1)u  (1  t 2 )  0

1 u  u 2

1 1   C x 1 2



1 u  u 2

u

 

dx

sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2 Hacemos : u  tg x

x 1 C x 1

dx sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2 dx

sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2

Hacemos :

Ln

sen 2x 2

dx

2 2u 2  2u  1  2u  1  C1

2 x2

( cos x  sen x ) 1 



3

2

dx

t 2 1 t 2  t 1  2t  1 2t  1

 t

2 ( t 2  t  1) (2t  1) 2

dx ( cos x  sen x ) 1 

sen 2x 2

dx

dt

 

1 t 2 1 t 2  t 1 (1  )( ) 2t  1 2t  1 1

2 ( t 2  t  1) (2 t  1) 2

2 ( t 2  t  1)

dt

dt t 2  2t t 2  t  1 (2 t  1) 2 ( )( ) 2t  1 2t  1 dt dt 1/2  1/2 2 2 2  2(  ) dt  t (t  2) t t2 sen 2x t  2t ( cos x  sen x ) 1  2 sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2 dx

.

.

133

dx

t  Ln t  Ln t  2  C  Ln C  t2 sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2

  

dx sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2 dx sen 2x ( cos x  sen x ) 1  2 dx ( cos x  sen x ) 1 



 Ln

 Ln

u  2  1 u  u 2

C



tg x  1  tg x  tg x 2

tg x  2  1  tg x  tg 2 x tg x  sec 2 x  tg x tg x  2  sec 2 x  tg x

C

C

 4e  4 dx

e 2x  4e x  4 dx e 2x  4e x  4

28. I  

I

dx e 2x  4e x  4



ex

 4e  4 1 Hacemos : z  u x

dx e

2x

 4e  4

Hacemos :

1 2

 arc sen (

z2 2z

)C 

1 ex  2 arc sen ( )C 2 2 ex

dx (x  1) 3 5x 2  8x  4

(x  1)

ex

e 2x  4e x  4

dx

x

dz



z z  4z  4 du  dz   u2 du

 

1  2u

2

1 u

du du u2     2 1 4 1  4u  4u 2  (1  2u ) 2  4 u2 u

 2 sen θ

2 du   cos θ dθ 2

1 u3

I  

dz  e dx e



dθ 

2

dx

I  

z  ex

dx 2x

1 cos θ 1 cos θ dθ   dθ  2 2 2 cos θ 2  2 sen θ 1  sen θ 1 1 1 1  2u dθ  θ  C  arc sen ( )C 2 2 2 2

  2

3

5 (x  1) 2  2 (x  1)  1 x 1 

1 u

 dx  

du u2

du

x



e

2 cos θ

1

x

Hacemos :

e 2x  4e x  4

Hacemos :





dx 2x

dx



27.

sen 2x 2

 Ln

u  1 u  u 2



u2 u2   du 2 5 2 5  2u  u  1 u2 u

(u 2  2u  5)  2u  5 5  2u  u 2

I    5  2u  u 2 du   I    5  2u  u 2 du  

du 2u  5 5  2u  u 2 2u  2 5  2u  u

2

du du  3 

I    5  2u  u 2 du  2 5  2u  u 2  3  I  2 5  2u  u 2   (u  1) 2  4 du  3 

Hacemos :

u 1

du 5  2u  u 2 du

5  2u  u 2 du (u  1) 2  4

 2 tg θ

du  2 sec 2 θ dθ I  2 5  2u  u 2   4 tg 2 θ  4 ( 2 sec 2 θ dθ )  3 

2 sec 2 θ 4 tg 2 θ  4

dθ

134

I  2 5  2u  u 2  4  tg 2 θ  1 sec 2 θ dθ  3  I  2 5  2u  u 2  4  sec 3 θ dθ  3 

2

sec θ tg 2 θ  1

XV. INTEGRALES DE LA FORMA

dθ

1.

I  2 5  2u  u 2  4  sec 3 θ dθ  3 Ln sec θ  tg θ I  2 5  2u  u  3 Ln sec θ  tg θ  4  sec θ dθ 3

I1

I1   sec θ dθ 3

1 1 I1  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 I  2 5  2u  u 2  3 Ln sec θ  tg θ  2 Ln sec θ  tg θ  2 sec θ tg θ  C1 I  2 5  2u  u 2  Ln sec θ  tg θ  2 sec θ tg θ  C1 I  2 5  2u  u  Ln 2

5  2u  u 2 u  1 5  2u  u 2 u  1  2( )( )  C1 2 2 2 2

I  2 5  2u  u 2  Ln u  1  5  2u  u 2 

1 (u  1) 5  2u  u 2  C 2

1 I   (u  3) 5  2u  u 2  Ln u  1  5  2u  u 2  C 2 1 1 2 1 1 2 1 I (  3) 5    Ln 1 5   C 2 2 x 1 x  1 (x  1) x 1 x  1 (x  1) 2 I

I

I

1 4  3x 5x 2  8x  4 x 5x 2  8x  4 ( )  Ln  C 2 x 1 x 1 x 1 x 1 (4  3x) 5x 2  8x  4 2 (x  1) 2

(3x  4) 5x 2  8x  4 2 (x  1) 2

 Ln

 Ln

m

(a  bx n ) p dx

CASO I: p es un número entero: x  z r Donde: r = m.c.m.(denominador de m y n)

sec 2 θ dθ sec θ

I  2 5  2u  u 2  4  sec 3 θ dθ  3  sec θ dθ

2

x

5x 2  8x  4  x C x 1 5x 2  8x  4  x C x 1

x

1/2

m

(1  x 1/3 ) 2 dx

1 1 , n  , p  2 2 3



pZ

x  z 6 r  m.c.m.(2 , 3 )  6   dx  6z 5 dz 1/2 1/3  2  x (1  x ) dx  

x

1/2

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx  

x 1/2 (1  x z

1/3 2

)

3

(1  z )

2 2

dx  

[1  (z )

6 1/3 2

( 6z 5 dz )  6 

(1  x 1/3 )  2 dx  6  [ z 4  2z 2  3 

1/2 1/3  2  x (1  x ) dx 

(z 6 )1/2

( 6z 5 dz )

]

z

8

(1  z 2 ) 2

4z 2  3 (1  z 2 ) 2

dz

] dz

6 5 4z 2  3 z  4z 3  18z  6  dz 5 (1  z 2 ) 2

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx 

4 (1  z 2 )  1 6 5 z  4z 3  18z  6  dz 5 (1  z 2 ) 2

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx 

6 5 dz dz z  4z 3  18z  24  6 2 5 1 z (1  z 2 ) 2

1/2 1/3  2  x (1  x ) dx 

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx 

1/2 1/3  2  x (1  x ) dx 

Hacemos :

u z

(1  z 2 )  z 2 6 5 dz z  4z 3  18z  24  6 dz 5 1 z 2 (1  z 2 ) 2 6 5 dz dz z2 z  4z 3  18z  24  6 6 dz 5 1 z 2 1 z 2 (1  z 2 ) 2 6 5 dz z2 z  4z 3  18z  18  6 dz 5 1 z 2 (1  z 2 ) 2 dv 

z (1  z 2 ) 2

dz

135

du  dz

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx 

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx 

x

1/2

(1  x 1/3 )  2 dx 

x

1/2

(1  x 1/3 ) 2 dx 

CASO II:

2.

x

1/3

v



1

dx 6 6 1/6  x 6 (65  x 6 )1/6   x (65  x ) dx

2 (1  z ) 2

6 5/6 36 x x  4 x  18 6 x  21 arc tg 6 x  C 5 1 3 x

m 1 es un número entero: a  bx n  z s Donde: s = denomin. de p n

(2  x 2/3 )1/4 dx

1 2 1 m , n , p 3 3 4



2  x 2/3  z 4 m 1  2  Z   1/3 3 n  dx  6x z dz

 x (2  x ) dx   x (z ) . 6x z dz  6  x z 1/3 2/3 1/4 4 4 8 4  x (2  x ) dx  6  (z  2) z dz  6  (z  2z ) dz 1/3

x

1/3

x

1/3

x

1/3

CASO III:

2/3 1/4

 6 6 6 65  x  z x  1 m 1 m   6, n  6, p     p   1  Z  65x 6  1  z 6 6 n  1 7 5 dx   x z dz 65  dx 1 6 6 6 1/6 1 7 5 6 1 1 7 5  x 6 (65  x 6 )1/6   x (z x ) ( 65 x z dz)   65  x . z x . x z dz

6 5 dz 3z dz z  4z 3  18z  18   3 2 2 5 1 z 1 z 1 z 2 6 5 dz 3z z  4z 3  18z  21   2 5 1 z 1 z 2 6 5 3z z  4z 3  18z  21 arc tg z  C 5 1 z 2

1/3

4 1/4

1/3

3

2/3

4

dz

dx

 x 6 (65  x 6 )1/6 4.



(65  x 6 ) 5/6 1 1 5 4 z dz   z  C   C 65  325 325x 5



x

x 3  1 dx



x

x 3  1 dx   x 1/2 (x 3  1)1/2 dx

 3 2 3 x  1  z x  1 1 m 1 m  , n  3, p    p  1  Z  1  x 3  z 2 2 2 n  2 dx   x 4 z dz 3  2 2 3 1/2 2 3 1/2 4 1/2 3/2 4  x x  1 dx   x (z x ) ( 3 x z dz)   3  x .z x .x z dz

1 2 1 (2  x 2/3 )1/4 dx  6 ( z 9  z 5 )  C  z 5 (10z 4  36)  C 9 5 15 1 (2  x 2/3 )1/4 dx  (2  x 2/3 ) 5/4 [ 10 (2  x 2/3 )  36 ]  C 15 1 2/3 1/4 (2  x ) dx  (2  x 2/3 ) 5/4 (10x 2/3  16)  C 15

Hacemos :



x

x 3  1 dx  

2 sec 2 θ 2 tg θ sec 3 θ . sec θ tg θ dθ    dθ  3 (sec 2 θ  1) 2 3 (tg 2 θ) 2

m 1  p es un número entero: a  bx n  z s x n Donde: s = denomin. de p n



x

x 3  1 dx  

2 tg θ sec 3 θ 2 sec 3 θ 2 dθ   dθ    csc 3 θ dθ   4 3 3 3 tg θ 3 tg θ



x

2 6 2 2 1 2 z2 x z dz    . z 2 dz    dz  3 3 (z 2  1) 2 3 (z 2  1) 2 z  sec θ

x 3  1 dx  

dz  sec θ tg θ dθ

I

3.

dx

 x 6 (65  x 6 )1/6

I   csc θ dθ 3

136

1 1 I  Ln csc θ  ctg θ  csc θ ctg θ  C1 (Idem Prob. 4 - Int. por partes) 2 2 2 1 1 3  x x  1 dx   3 ( 2 Ln csc θ  ctg θ  2 csc θ ctg θ)  C 2 1 1 3  x x  1 dx  3 csc θ ctg θ  3 Ln csc θ  ctg θ  C 2



x 3  1 dx 

x



x  1 dx  3

x



x  1 dx  3

x

z

1  Ln 3 (z  1) 3 2

z

1  Ln 2 3 (z  1) 3

z z 1 2

z 1 z 2 1

3(

x 3/2 x 3 1 x



x



5.

 

x

4

4

x 3  1 dx 

1  e 4x

Hacemos :



1  e 4x e

 1)

1 Ln 6

x x4  x 1  Ln 3 6

ex

4

3



x 3/2 x 3  1 1  Ln 3 6

ex

x

C 

x 3 1

x 3  1 dx 

1  e 4x

z 1

x 3/2 x 1 3

x 3/2



C z

1  Ln 2 3 (z  1) 3

 z 1 z 1

1 z 1 z 1 z 1  Ln C   Ln C 2 2 6 z  1 6 z 1 3 (z  1) 3 (z  1)

x 3  1 dx 

x

1 2

z

x 3 1





m  2, n  4, p 

C



1  e 4x e 2x

C 1

x 3  1  x 3/2 x 3  1  x 3/2 x 3 1  x x x 3 1  x x

1 u 4 u

2

x

1 e

4x

dx    u 4 z 4 dz   

z4 z 1 4

dz    (1 

1 z 1 4

) dz   z  

dz z 1

e

x

dz

dx   z  

2

C

C

2A  C  D  0  B  C  D  0   A  0, B  1/2, C  1/4, D  1/4  2A  C  D  0  B  C  D  1 



4

1  e 4x e

4

1 e e

4

x 4x

x

1  e 4x e

x

dx   z   (

 1/2 1 z

2



1/4  1/4  ) dz z 1 z 1

dx   z 

1 dz 1 dz 1 dz     2 2 1 z 4 z 1 4  z 1

dx   z 

1 1 1 arc tg z  Ln z  1  Ln z  1  C 2 4 4 4

 du   u 2 (1  u 4 )1/4 du

1  e 4x e

4

. e x dx

 ex du  e x dx 4

4

dx    u  2 (z 4 u 4 )1/4 . u 5 z 3 dz    u  2 .z u . u 5 z 3 dz

1  (2A  C  D)z 3  (B  C  D)z 2  (2A  C  D)z  (B  C  D)



u

dx  

ex

1  A(2z)(z 2  1)  B(z 2  1)  C(1  z 2 )(z  1)  D(1  z 2 )(z  1)

1

dx dx  

1  e 4x



(1  z ) (z  1) (z  1) A(2z)  B 1 C D    2 2 z 1 z 1 (1  z ) (z  1) (z  1) 1 z

 4

4

1 4

1  u 4  z 4 u 4  m 1   p  0  Z  u  4  1  z 4 n  5 3 du  u z dz 



4

1 e e

4

4x

x

1  e 4x ex

dx  

dx  

1 u u

4

1 u 4 1 1 u 4 1 1 u 4  u  arc tg ( )  Ln C 4 u 2 u 4 1 u 4  u

4



4

1 u 4 1 1 u )  Ln C 4 4 1 u 4 1 u

4

1 1 u arc tg ( 2 u

4

4

4

4

137



4

1 e e

x

3

6.

4x

dx  

4

1 e e

4x

x



4

1 1 e arc tg ( 2 ex

4x

)

4

1 1 e  e Ln C 4 4 1  e 4x  e x 4x

x

8.

x

 ( 3 x  1 ) 2 dx 1 1 , n  , p  2  3 3 x  z 3 r 3   dx  3z 2 dz m

3

x

 ( 3 x 1)2 3



dx  

3

3

dx 

x

6 5 6 z  2z 3  C  ( 3 x  1 ) 5/2  2 ( 3 x  1 ) 3/2  C 5 5

dx

 (1  x 2 ) 3/2 dx 2 3/2  (1  x 2 ) 3/2   (1  x ) dx

pZ

m  0, n  2, p  

z3

3

( z3 1)2

. 3z 2 dz  3 

3z  2

x

( 3 x  1 )1/2

 ( 3 x  1 ) 2 dx  3  [ z  2  (z  1) 2

] dz 

z3 (z  1) 2

dz

x

9 (z  1)  3 3 2 3 dz dz  6z   dz  z 2  6z  9  3 2 2 z  1 (z  1) (z  1) 2

3

x

3 2 3  6z  9 Ln z  1  C z 1



dx dz 2 2 3/2 3 3 3 3 2  (1  x 2 ) 3/2   (z x ) (x z dz)   z x . x z dz   z dz   z 2

3 2 9z  6 z  6z   dz 2 (z  1) 2

3

3 2

dx 1  (1  x 2 ) 3/2  z  C 

1 1 x 2 x

 ( 3 x  1 ) 2 dx  2 z  ( 3 x  1 ) 2 dx  2 z 3

x

3 2/3  6 3 x  9 Ln 3 x  1 

 ( 3 x  1 ) 2 dx  2 x 7.

 

( 3 x  1 )1/2 3

( x 1)

1/2

x



( 3 x  1 )1/2 3

x

( 3 x  1 )1/2 3

x 1

x

3

dx   x 1/3 ( x1/3  1 )1/2 dx 

3

x 1/3  1  z 2 m 1  2  Z   2/3 n  dx  6x z dz

dx   x 1/3 (z 2 )1/2 (6x 2/3 z dz)  6  x 1/3 . z . x 2/3 z dz dx  6  x 1/3 z 2 dz  6  (z 2  1) z 2 dz  6  (z 4  z 2 ) dz

10.



C 

x 1 x 2

C

dx 3

x (1  x 2 ) 2

2 2 , n  , p  1 3 3 x  z 3 r 3   dx  3z 2 dz

dx

1 1 1 m , n , p 3 3 2



3

3

m

C

x

3

3

9. 3

1  x 2  z 2 x 2  m 1   p  1  Z  x 2  1  z 2 n  dx   x 3 z dz  

dx 3

2

3

2

x (1  x ) dx 2

x (1  x ) 2

x3 1 x 2





pZ

3z 2 3

3

z (1  z ) 6

6

dz  3 

z2 z (1  z ) 2

2

dz  3 

dz 1 z 2

 3 arc tg z  C  3 arc tg (3 x )  C

dx

m  3, n  2, p  

1 2



1  x 2  z 2 m 1  2  Z   1 n  dx   x z dz

138

x



3

1 x 2 x3



x

dx   

1 x 2

x . (1  z ) 2

z2

. x 1 z dz   

(1  z ) z dz z 2

1 1 dx    (1  z ) dz  z 3  z  C   z (3  z 2 )  C 3 3 2

1 x 2



x.x

dx  

2

3

1 x 2

dx  

1 1 1  x 2 (3  1  x 2 )  C   1  x 2 (x 2  2)  C 3 3

4

(1  x ) 3 dx  8  (z 4  1) z 6 dz  8  (z 10  z 6 ) dz 

4

(1  x ) 3 dx 

4

(1  x ) 3 dx 

11.

dx

 x 2 (1  x 2 ) 3/2

m   2, n  2, p  

dx

 x 2 (1  x 2 ) 3/2 dx

 x 2 (1  x 2 ) 3/2 dx

 x 2 (1  x 2 ) 3/2

4 4

 

x 2 z2

dz   

z 2 1 z2

dz  

1 z 2 z2

dz  

dz z2

1 x 2



3

3

1  x 1/2  z 4 m 1  2  Z   1/2 3 n  dx  8x z dz

(1  x ) 3 dx   (z 4 ) 3/4 (8x 1/2 z 3 dz)  8  z 3 . x1/2 z 3 dz  8  x 1/2 z 6 dz

x

dx   x 1/3 (2  x 1/3 )1/2 dx

3

x

23 x



3

x

x

53

53



2  x 1/3  z 2 m 1  2  Z   2/3 n  dx   6x z dz

dx    x 1/3 (z 2 )1/2 (6x 2/3 z dz)  6  x 1/3 . z . x 2/3 z dz dx  6  x 1/3 z 2 dz  6  (2  z 2 ) z 2 dz  6  (2z 2  z 4 ) dz dx  4z 3 

x

23 x



14.

x

23 x

x



x

23 x



1 x 2 C x

(1  x ) 3 dx   (1  x 1/2 ) 3/4 dx

1 3 , p 2 4

3



1 1 1 x 2   zC    C z x 1 x 2 x x

dx

x

23 x



  dz

(1  x ) 3 dx

m  0, n 

4

1  x 2  z 2 x 2  m 1   p  2  Z  x  2  1  z 2 n  dx   x 3 z dz  



3

8 7 8 z (7z 4  11)  C  (1  x ) 7/4 (7  7 x  11)  C 77 77 8 (7 x  4) (1  x ) 7/4  C 77

1 1 1 m , n , p 3 3 2

   x 2 (z 2 x 2 ) 3/2 x3 z dz    x  2 . z 3 x 3 . x 3 z dz

dx  x 2 (1  x 2 ) 3/2   12.

3 2

3

23 x



dx 2 2 3/2  x 2 (1  x 2 ) 3/2   x (1  x ) dx

23 x



13.

8 11 8 7 z  z C 11 7

dx 

6 5 1 z  C  z 3 (20  6z 2 )  C 5 5

1 1 (2  3 x ) 3/2 (20  12  6 3 x )  C  (2  3 x ) 3/2 (8  6 3 x )  C 5 5

dx  

2 (4  3 3 x ) (2  3 x ) 3/2  C 5

(1  x 3 ) 2 dx (1  x 3 ) 2 dx   x 5 (1  x 3 ) 2/3 dx

m  5, n  3, p 

2 3



1  x 3  z 3 m 1  2  Z   2 2 n  dx  x z dz

x

53

(1  x 3 ) 2 dx   x 5 (z 3 ) 2/3 (x 2 z 2 dz)   x 5 . z 2 . x 2 z 2 dz

x

53

(1  x 3 ) 2 dx   x 3 z 4 dz   (z 3  1) z 4 dz   (z 7  z 4 ) dz

139

x

53

(1  x 3 ) 2

x

53

(1  x 3 ) 2

x

53

1  x 1/3



15.

(1  x 3 ) 2



x 2/3



x

1  x 1/3



x



16.



2/3

3

3

2/3

3

3

dx

 x 3 (1  x 3 )1/3

m   3, n  3, p  



1  x 1/3  z 2 m 1  1  Z   2/3 n  dx  6x z dz

dx   x

2 1/2

(z )

(6x

2/3

z dz)  6  x

 2/3

.z. x

2/3

z dz  6  z dz

dx  2z 3  C  2 (1  x 1/3 ) 3/2  C  2 (1  3 x ) 3/2  C

18.

4

4

3



2  x 2/3  z 4 m 1  2  Z   1/3 3 n  dx  6x z dz

x (2  x 2 )1/4 dx   x 1/3 (z 4 )1/4 (6x 1/3 z 3 dz)  6  x 1/3 . z . x1/3 z 3 dz 3



3

x (2  x 2 )1/4 dx  6  x 2/3 z 4 dz  6  (z 4  2) z 4 dz  6  (z 8  2z 4 ) dz



3

x (2  x 2 )1/4 dx 



3



3

3

x (2 

3



(1  x ) dx 1 2  x 3 (1  x 3 )1/3   z dz   2 z  C   2x 2

2

3

3

1 3

1  x 3  z 3 x 3  m 1   p  1  Z  x 3  1  z 3 n  dx   x 4 z 2 dz  

dx 3 3 3 1/3 4 2 3 1 1 4 2  x 3 (1  x 3 )1/3   x (z x ) (x z dz)   x . z x . x z dz

x (2  x 2 )1/4 dx   x 1/3 (2  x 2/3 )1/4 dx

x (2 

3

dx 3 3 1/3  x 3 (1  x 3 )1/3   x (1  x ) dx

x (2  x 2 )1/4 dx

3

2 (5 x 2/3  8) (2  x 2/3 ) 5/4  C 15

x (2  x 2 )1/4 dx 

3 2/3

 2/3

1 2 1 m , n , p 3 3 4



17.

dx   x 2/3 (1  x 1/3 )1/2 dx

2 1 1 m , n , p 3 3 2

1  x 1/3



dx

x 2/3 1  x 1/3

1 1 1 5 dx  z 8  z 5  C  z (5z 3  8)  C 8 5 40 1 dx  (1  x 3 ) 5/3 (5  5x 3  8)  C 40 1 dx  (5x 3  3) (1  x 3 ) 5/3  C 40

2 9 12 5 1 z  z  C  z 5 (10z 4  36)  C 3 5 15 1 x 2 )1/4 dx  (2  x 2/3 ) 5/4 (20  10 x 2/3  36)  C 15 1 x 2 )1/4 dx  (10 x 2/3  16) (2  x 2/3 ) 5/4  C 15

dx 1 x 4 dx

1 x

4

  (1  x 4 ) 1/4 dx

m  0, n  4, p  

4 4

C

dx 1 x

4

dx 1 x 4

1 4



1  x 4  z 4 x 4  m 1   p  0  Z  x  4  1  z 4 n  dx   x 5 z 3 dz  

   (z 4 x 4 ) 1/4 (x 5 z 3 dz)    z 1 x 1 . x 5 z 3 dz    x 4 z 2 dz  

z2 z 4 1

z2 (z  1) (z  1) (z  1) 2

dz   



z2 (z  1) (z  1) (z 2  1)

dz

C(2z)  D A B   z 1 z 1 z 2 1

 A(z 2  1)(z  1)  B(z 2  1)(z  1)  C(2z)(z 2  1)  D(z 2  1) z 2  (A  B  2C)z 3  (A  B  D)z 2  (A  B  2C)z  (A  B  D)

z2

A  B  2C  0 A  B D 1    A  1/4, B  1/4, C  0, D  1/2 A  B  2C  0 ABD  0   dx 1/4 1/4 1/2 1 dz 1 dz 1 dz   (   ) dz        4 2 2 z 1 z 1 z 1 4 z 1 4 z 1 2 z 1 1 x 4 dx 1 1 1 1 z 1 1   Ln z  1  Ln z  1  arc tg z  C  Ln  arc tg z  C 4 4 4 2 4 z 1 2 1 x 4 4

4 4

dx 1 x 4 dx 1 x 4

1 4

 Ln

1 4

 Ln

4

140

x 5  2x 2

1 x 4  x

4

1 x 4  x



x 5  2x 2

 (1  x 3 ) 3/2 x 5  2x 2

 (1  x 3 ) 3/2 x 5  2x 2

dx 

x 5  2x 2

 (1  x 3 ) 3/2

dx  

x 5  2x 2

dx  

 (1  x 3 ) 3/2

 (1  x 3 ) 3/2

x5 (1  x 3 ) 3/2

(1  x 3 ) 3/2

3 1 x 3 4 3 1 x

3



x5 (1  x 3 ) 3/2

x  2x 5

2

 (1  x 3 ) 3/2

dx  

3 2

 4

dx  

x  2x

dx  

2

2

dx 

3 1 x

3

4 3 1 x 3 4 3 1 x 3 4 3 1 x

3

4 3 1 x

3



2 5 3  2 x . z . x z dz 3



2 3 2 4 2 x3 x z dz     2 dz 3 3 1 x 3 3 z



2 z 2 1 4 2 2 dz dz     dz    2 3 3 z2 z 3 1 x 3 3



2 2 z C 3 3z



2 2 1 x 3  C 3 3 1 x 3

2 2 1 x 3  C 3 3 1 x 3

dx

 x 5 (25  x 5 )1/5

 5 5 5 25  x  z x  1 m 1 m   5, n  5, p     p   1  Z  25x 5  1  z 5 5 n  1 6 4 dx   x z dz 25  dx 1 5 5 5 1/5 1 6 4 5  1  1 6 4  x 5 (25  x 5 )1/5   x (z x ) ( 25 x z dz)   25  x . z x . x z dz

dx

dx

  x 5 (1  x 3 ) 3/2 dx

dx

1  x  z m 1  2  Z   2 2 n dx  x z dz 3 

2   x 5 (z 2 ) 3/2 ( x 2 z dz) 3 3 1 x 3

x 5  2x 2

4

dx 5 5 1/5  x 5 (25  x 5 )1/5   x (25  x ) dx

3

m  5, n  3, p  

 (1  x 3 ) 3/2

x  2x

2 3x 2 x5 dx   dx  3 (1  x 3 ) 3/2 (1  x 3 ) 3/2 4

 (1  x 3 ) 3/2

dx  

 (1  x 3 ) 3/2

4

x2

x 5  2x 2

5

1 1 x 4 arc tg ( )C 2 x

dx  2 

 (1  x 3 ) 3/2

dx  

2

 (1  x 3 ) 3/2

dx

dx  

x  2x

5

20.

19.

dx  

5

1 x 4 1 4 1 1 x 4 x  arc tg ( )C 2 x 1 x 4 1 x

4

 (1  x 3 ) 3/2

 x 5 (25  x 5 )1/5



(25  x 5 ) 4/5 1 1 4 3 z dz   z  C   C 25  100 100x 4

2

21.

e e

9x

9x

(1  e 3x ) 5/4 dx

(1  e 3x ) 5/4 dx   e 8x (1  e 3x ) 5/4 e x dx

Hacemos :

 ex du  e x dx u

141

e

9x

(1  e

3x 5/4

)

dx   u (1  u ) 8

3 5/4

du

1  u 3  z 4 m 1 m  8, n  3, p    3  Z   4 2 3 n du   u z dz 3  4 8 5 2 3 9x 3x 5/4 8 4 5/4 4  2 3  e (1  e ) dx   u (z ) ( 3 u z dz)   3  u . z . u z dz 4 6 8 4 9x 3x 5/4 4 2 8  e (1  e ) dx   3  u z dz   3  (1  z ) z dz 4 4 9x 3x 5/4 4 8 8 8 12 16  e (1  e ) dx   3  (1  2z  z ) z dz   3  (z  2z  z ) dz 4 1 9 2 13 1 17 9x 3x 5/4  e (1  e ) dx   3 [ 9 z  13 z  17 z ]  C 4 1 2 1 9x 3x 5/4 3 9/4 3 13/4 3 17/4  e (1  e ) dx   3 [ 9 (1  u )  13 (1  u )  17 (1  u ) ]  C 4 1 2 1 9x 3x 5/4 3x 9/4 3x 13/4 3x 17/4  e (1  e ) dx   3 [ 9 (1  e )  13 (1  e )  17 (1  e ) ]  C 5 4

22.

cos x sen 7 x

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2 cos x sen 7 x

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2 Hacemos :

(1  sen 4 x) 3/2

23.

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2 3 m  7, n  4, p   2



dx  

u7 (1  u )

4 3/2

3

dx

1  u 4  z 2 m 1  2  Z   1 3 n du  u z dz 2  dx   u (z )

cos x sen 7 x

dx 

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2

du   u 7 (1  u 4 ) 3/2 du

7

2 3/2

1 ( u 3 z dz) 2

1 7 3 3 1 u . z . u z dz   u 4 z  2 dz  2 2

cos x sen 7 x

dx 

1 1 1 1 z C  1 u 4  C 2 2z 2 2 1 u 4

cos x sen 7 x

dx 

1 1 1  sen 4 x  C 2 2 1  sen 4 x

x5 8x 3  27

x5 8x  27 3

dx

dx   x 5 (8x 3  27) 1/3 dx

1 m  5, n  3, p   3

3

cos x sen 7 x

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2

3

3

u  sen x du  cos x dx

cos x sen 7 x

1 u4 1 z 2 1 1 1 dz dz   dz   dz    2 2 z2 2 2 2 z2 z

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2

dx

dx  

dx 

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2

3 cos x sen 7 x

cos x sen 7 x

 (sen 2 x  cos 2 x  sen 4 x) 3/2

24.



8x 3  27  z 3 m 1  2  Z   1 2 2 n dx  x z dz 8 

x5

1 1 1 dx   x 5 (z 3 ) 1/3 ( x  2 z 2 dz)   x 5 . z 1 . x  2 z 2 dz   x 3 z dz 8 8 8 8x  27 3

x5 8x  27 3

x5 8x  27 3

dx 

1 1 3 1 1 5 27 2 (z  27) z dz  (z 4  27z) dz  z  z C 88 64  320 128

dx 

1 27 (8x 3  27) 5/3  (8x 3  27) 2/3  C 320 128

dx

 x 7 (x 3  1) 4/3 dx 7 3 4/3  x 7 (x 3  1) 4/3   x (x  1) dx

m   7, n   3, p  

4 3



x 3  1  z 3 m 1   2  Z   4 2 n  dx   x z dz

dx 7 3 4/3 4 2 7  4 4 2  x 7 (x 3  1) 4/3   x (z ) (x z dz)   x . z . x z dz

142 3

dx x 3  2  x 7 (x 3  1) 4/3   x z dz   z 2

dz   

z 1 3

z

2

dz    z dz  

dz z

dx 1 2 1 1 3 1 2/3  x 7 (x 3  1) 4/3   2 z  z  C   2 (x  1)  (x 3  1)1/3  C dx

 x 7 (x 3  1) 4/3 XVI.



(1  x 3 ) 2/3 2x

2

INTEGRALES DE LA FORMA

1.



x (1  x 3 )1/3

C

3.

 R (cosx , senx) dx

 2 1 z 2 2z  dz , cos x  , sen x   dx  2 2  1 z 1 z 1 z 2  2 dz 2 dx 2 1  z  dz  cos x  2 sen x  3   1  z 2 4z 2 1  z  4z  3 (1  z 2 )  3 1 z 2 1 z 2 dx 2 dz dz  cos x  2 sen x  3   2z 2  4z  4 dz   z 2  2z  2   (z  1) 2  1

1

x z  tg ( ) 2

3

tg x

 2  tg 2 x dx z

 dz  tg x  dx  , cos x  2 1 z

 

1

tg x

1

z 2 1

1

1 z 2

, sen x 

z

tg 2 x  1

1

sec 2 x

 2  tg 2 x dx  2 Ln ( z 2  2 )  C  2 Ln ( tg 2 x  2 )  C  2 Ln ( tg 2 x  2 )  C 4.

dx

 4  3 cos x Hacemos :

x z  tg ( ) 2

 2 1 z 2 2z  dz , cos x  , sen x   dx  2 2  1 z 1 z 1 z 2 

2

x

dx

 4  3 cos x  

dx

 3  cos 2 x  dz 1 z  Hacemos : z  tg x  dx  , cos x  , sen x  2 2 1 z  1 z 1 z 2  dz dx dz dz 1 dz 1 z 2      3  cos 2 x    2 2 1 3 4 3 (1  z )  1 4  3z 3  z2 2 3 1 z

3 tg x )C 2

arc tg (

1 z 2 tg x z dz z z z  2  tg 2 x dx   2  z 2 . 1  z 2   (z 2  1) (z 2  2) dz   ( z 2  1  z 2  2 ) dz tg x 1 2z 1 2z 1 1 2 2  2  tg 2 x dx  2  z 2  1 dz  2  z 2  2 dz  2 Ln (z  1)  2 Ln (z  2)  C

 cos x  2 sen x  3  arc tg (z  1)  C  arc tg [ tg ( 2 )  1 ]  C 2.

dx

Hacemos :

dx

dx

3 3z 1 3z arc tg ( )C  arc tg ( )C 6 2 2 2 3

 3  cos 2 x  2

 cos x  2 sen x  3 Hacemos :

dx

 3  cos 2 x 

2

4

2 dz 1 z 2 dz   dz  2  2 2 2 3 (1  z ) 4 (1  z )  3 (1  z ) 7  z2 1 z 2

dx 2 z 2 7  4  3 cos x  7 arc tg ( 7 )  C  7 arc tg [ 5.

x tg ( ) 2 ] C 7

dx

 2  sen x  3 cos x Hacemos :

x z  tg ( ) 2

 2 1 z 2 2z  dz , cos x  , sen x   dx  2 2  1 z 1 z 1 z 2 

143

2 2 1 z dz   dz 2 2 3 (1  z ) 2 (1  z )  2z  3 (1  z 2 ) 2z 2  1 z 2 1 z 2 dx dz dz  2  sen x  3 cos x  2  5  2z  z 2  2  6  (z  1) 2 Hacemos : u  z  1 du  dz dx du du du  2  sen x  3 cos x  2  6  u 2  2  ( 6  u) ( 6  u)  2  (u  6 ) (u  6 ) 2

dx

 2  sen x  3 cos x  

1 dx



1 2 6 2 6  ) du   6 u 6 6

dx

1 6

Ln u  6 

1 6

du

 u

Ln u  6  C 

 6

1 6

Ln

1

u 6 u 6

dx

 2  sen x x  2 1 z 2 2z  z  tg ( )  dx  dz , cos x  , sen x  2 2 2  1 z 1 z 1 z 2  2 dx 2 2 1  z 2 dz   2  sen x    2 (1  z 2 )  2z dz   2z 2  2z  2 dz 2z 2 1 z 2 dx dz dz 2 2z  1  arc tg ( )C  2  sen x   z 2  z  1   3 1 2 3 3  (z  ) 4 2 x 2 tg ( )  1 dx 2 2  arc tg [ ] C  2  sen x 3 3

Hacemos :

x z  tg ( ) 2

 2 1 z 2 2z  dz , cos x  , sen x   dx  2 2  1 z 1 z 1 z 2 

2 dx  5  3 cos x

 5

2 2 1 z 2 dz   dz   dz 2 2 2 3 (1  z ) 5 (1  z )  3 (1  z ) 2  8z 2

1 z 2 dx dz 1 dz  5  3 cos x   1  4z 2  4  1 2 z 4

1 2

1 2

x 2

 arc tg (2z)  C  arc tg [ 2 tg ( ) ]  C

du

 6 u

x tg ( )  1  6 dx 1 z 1 6 1 2 C  2  sen x  3 cos x  6 Ln z  1  6  C  6 Ln x tg ( )  1  6 2 6.

dx

 5  3 cos x Hacemos :

1

 2  sen x  3 cos x  2  ( u   2  sen x  3 cos x  

7.

6 C

8.

sen x

 1  sen x dx x  2 1 z 2 2z  z  tg ( )  dx  dz , cos x  , sen x  2 2 2  1 z 1 z 1 z 2  2z sen x 4z 1  z 2 . 2 dz   1  sen x dx    (1  z 2 ) (z  1) 2 dz 2z 1  z 2 1 1 z 2 A(2z)  B 4z C D    2 2 2 2 z 1 (1  z ) (z  1) 1 z (z  1)

Hacemos :

4z  A(2z)(z  1) 2  B(z  1) 2  C(1  z 2 )  D(1  z 2 )(z  1) 4z  (2A  D)z 3  (4A  B  C  D)z 2  (3A  2B  D)z  (B  C  D) 2A  D  0

 4A  B  C  D  0  A  0, B  2, C  2, D  0 3A  2B  D  4   BCD  0 sen x 2 2 dz dz  1  sen x dx   [ 1  z 2  (z  1) 2 ] dz  2  1  z 2  2  (z  1) 2

sen x

2

x

 1  sen x dx  2 arc tg z  z  1  C  2 arc tg [ tg ( 2 ) ] 

2 C x tg ( )  1 2

144

sen x x  1  sen x dx  2 ( 2 ) 

2 2 C  x C x x tg ( )  1 tg ( )  1 2 2

dx

Hacemos :

2

9.

dx

z2

1

z2 1  z 2 . dz  dx   1  cos 2 x   (2  z 2 ) (1  z 2 ) dz 1 1 z 2 1 1 z 2 sen x

A(2z)  B



2  z2



z (2  z ) 2

1

2

 1  cos 2 x dx 

2

arc tg (

2 2 arc tg (

z

) dz  2 

dz 2z

2



dz

1 z 2

2

u  4x du  4 dx

z

2



B  z 2  z2

1

dx

)  arc tg z  C )  arc tg ( tg x )  C  2 arc tg (

A



dx

1

1

 sen 2 4x  tg 2 4x   8 tg 4x  8

2 tg x

2

1 dz 1 z 2   2 2 4 z z (2  z 2 )  z2 1 z 2 C(2z)  D

 sen 2 4x  tg 2 4x   8 tg u  8

1 z 2

tg x

dx

)xC

1

 sen 2 4x  tg 2 4x   8 [ ctg 4x 

2

dx

 sen 2 4x  tg 2 4x Hacemos :

z

B  2C  0 A  D  0   A  1/2, B  0, C  0, D  1/2 2B  0   2A  1 dx 1 1/2 1/2 1 dz 1 dz  sen 2 4x  tg 2 4x  4  ( z 2  2  z 2 ) dz  8  z 2  8  2  z 2 dx 1 1 z  sen 2 4x  tg 2 4x   8z  8 2 arc tg ( 2 )  C

1 z 2

 1  cos 2 x dx   ( 2  z 2  1  z 2

sen 2 x

1 z 2

, sen u 

1  (B  2C)z 3  (A  D)z 2  2Bz  2A

C(2z)  D

 A(2z)(1  z 2 )  B(1  z 2 )  C(2z)(2  z 2 )  D(2  z 2 ) z 2  (2A  2C)z 3  (B  D)z 2  (2A  4C)z  (B  2D) 2A  2C  0 B  D  1   A  0, B  2, C  0, D  1 2A  4C  0 B  2D  0 

 1  cos 2 x dx 

1

1  A(2  z 2 )  Bz (2  z 2 )  C(2z)(z 2 )  Dz 2

z2

sen 2 x

1

 sen 2 4x  tg 2 4x  4 

2

sen 2 x

du

dz

 dz 1 z  z  tg x  dx  , cos x  , sen x  2 2 1 z  1 z 1 z 2 

(2  z 2 ) (1  z 2 )

1

1 z

 

sen x

z2

4 dx

 dz  tg u  du  , cos u  2

z

 1  cos 2 x dx Hacemos :

10.

1

 sen 2 4x  tg 2 4x  4  sen 2 4x  tg 2 4x  4  sen 2 u  tg 2 u

11.

arc tg (

tg u

2

)C

2

1

arc tg (

tg 4x

2 1 2

)C

2 arc tg (

tg 4x

) ] C

2

dx

 3  sen 2 x  cos 2 x Hacemos :

z

 dz  tg x  dx  , cos x  2  

1 z

1 1 z

2

, sen x 

z 1 z 2

145

dz dx

 3  sen 2 x  cos 2 x   dx

 3  sen 2 x  cos 2 x  12.

dz 1 dz 1 z    2 2 1 4 z 1 2  4z  z2 3  2 1 z 2 1 z 2 2 2 arc tg ( 2 z)  C  arc tg ( 2 tg x )  C 4 4 2

sen 2x

 sen 4 x  cos 4 x dx sen 2x

3z  2

2 sen x cos x

 sen 4 x  cos 4 x dx   sen 4 x  cos 4 x dx  dz 1 z  Hacemos : z  tg x  dx  , cos x  , sen x  2 1 z  1 z 2 1 z 2  2z sen 2x dz 2z 2z 1 z 2 .   4 dz   2 2 dz  sen 4 x  cos 4 x dx   z 4 2 1 1 z z 1 (z )  1  2 2 2 2 (1  z ) (1  z ) sen 2x 2z 2 2  sen 4 x  cos 4 x dx   (z 2 ) 2  1 dz  arc tg (z )  C  arc tg ( tg x )  C

13.

3 sen x  2 cos x 3 tg x  2 3 sen x  2 cos x cos x  2 sen x  3 cos x dx   2 sen x  3 cos x dx   2 tg x  3 dx cos x  dz 1 z  Hacemos : z  tg x  dx  , cos x  , sen x  2 1 z  1 z 2 1 z 2  3 sen x  2 cos x 3z  2 dz 3z  2  2 sen x  3 cos x dx   2z  3 . 1  z 2   (2z  3) (1  z 2 ) dz

sen 2x

 sen 4 x  cos 4 x dx sen 2x

sen 2x 4 sen 2x dx   dx 2 1  cos 2x 2 1  cos 2x 2 2  2 cos 2x ( ) ( ) 2 2 sen 2x 2 sen 2x  2 sen 2x  sen 4 x  cos 4 x dx   1  cos 2 2x dx   1  cos 2 2x dx Hacemos : u  cos 2x

 sen 4 x  cos 4 x dx  

du  2 sen 2x dx du  sen 4 x  cos 4 x dx   1  u 2   arc tg u  C   arc tg ( cos 2x )  C

(2z  3) (1  z ) 2



B(2z)  C A  2z  3 1 z 2

3z  2  A(1  z 2 )  B(2z)(2z  3)  C(2z  3) 3z  2  (A  4B)z 2  (6B  2C)z  (A  3C) A  4B  0   6B  2C  3 A  10/13, B  5/26, C  12/13 A  3C  2  3 sen x  2 cos x 10/13 5/26 (2z)  12/13 ) dz  2 sen x  3 cos x dx   ( 2z  3  1 z 2 3 sen x  2 cos x 10 dz 5 2z 12 dz  2 sen x  3 cos x dx   13  2z  3  26  1  z 2 dz  13  1  z 2 3 sen x  2 cos x 5 5 12 2  2 sen x  3 cos x dx   13 Ln 2z  3  26 Ln 1  z  13 arc tg z  C 3 sen x  2 cos x 12 5 5 2  2 sen x  3 cos x dx  13 arc tg z  13 Ln 2z  3  13 Ln 1  z  C

3 sen x  2 cos x

12

2z  3

5

 2 sen x  3 cos x dx  13 arc tg z  13 Ln 3 sen x  2 cos x

12

1 z 2 5

 2 sen x  3 cos x dx  13 arc tg ( tg x )  13 Ln

sen 2x

 2 sen x  3 cos x dx  13 x  13 Ln

3 sen x  2 cos x 14.  dx 2 sen x  3 cos x

 2 sen x  3 cos x dx  13 x  13 Ln

C

2 tg x  3 1  tg 2 x

3 sen x  2 cos x

12

5

2 tg x  3 C sec x

3 sen x  2 cos x

12

5

2 sen x  3 cos x  C

C

146

1  tg x 1  z dz z 1  1  tg x dx   1  z . 1  z 2   (1  z) (1  z 2 ) dz

15. Calcular las constantes A y B en : a sen x  b cos x

 c sen x  d cos x dx  Ax  B Ln

c sen x  d cos x  C

z 1

Derivando ambos miembros :

(1  z) (1  z ) 2

a sen x  b cos x ( dx ) '  ( Ax  B Ln c sen x  d cos x  C ) ' c sen x  d cos x B ( c cos x  d sen x ) a sen x  b cos x A c sen x  d cos x c sen x  d cos x a sen x  b cos x  A ( c sen x  d cos x )  B ( c cos x  d sen x )

z  1  (A  2B)z 2  (2B  C)z  (A  C) A  2B  0  2B  C  1  A  1, B  1/2, C  0 A  C  1  1  tg x 1/2 (2z) 1 dz 1 2z  1  tg x dx   [ 1  z  1  z 2 ] dz   1  z  2  1  z 2 dz 1  tg x 1 2 2  1  tg x dx  Ln 1  z  2 Ln 1  z  C  Ln 1  z  Ln 1  z  C

c A  d B  a ac  bd bc  ad , B  A 2 2 d A  c B  b c d c2  d2 3 sen x  2 cos x

 2 sen x  3 cos x dx Aplicando el método anterior: 3 sen x  2 cos x  2 sen x  3 cos x dx  Ax  B Ln 2 sen x  3 cos x  C Derivando ambos miembros :

1  tg x

 1  tg x dx  Ln 1  tg x

 1  tg x dx  Ln

3 sen x  2 cos x ( dx ) '  ( Ax  B Ln 2 sen x  3 cos x  C ) ' 2 sen x  3 cos x B ( 2 cos x  3 sen x ) 3 sen x  2 cos x A 2 sen x  3 cos x 2 sen x  3 cos x 3 sen x  2 cos x  A ( 2 sen x  3 cos x )  B ( 2 cos x  3 sen x )

18.

3 sen x  2 cos x  ( 2A  3B ) sen x  ( 3A  2B ) cos x

 dz  tg x  dx  , cos x  2  

1 z

1 1 z 2

, sen x 

1  tg x 1  tg 2 x

 C  Ln

1  tg x C sec x

cos x  sen x  C

dx

z

 dz  tg x  dx  , cos x  2 1 z

 

1 z 2

dx

 sen 2 x  5 sen x cos x  

z

2

1 1 z

2

, sen x 

z 1 z 2

z 1 z 2



5z



dz  1/5 1/5  (  ) dz z (z  5)  z z 5

1 z 1 z 2 dx 1 dz 1 dz 1 1  sen 2 x  5 sen x cos x   5  z  5  z  5   5 Ln z  5 Ln z  5  C tg x  5 dx 1 z 5 1  sen 2 x  5 sen x cos x  5 Ln z  C  5 Ln tg x  C dx 1  sen 2 x  5 sen x cos x  5 Ln 1  5 ctg x  C 2

1  tg x

z

1 z 2

 C  Ln

dz

 1  tg x dx Hacemos :

1 z

 sen 2 x  5 sen x cos x Hacemos :

2A  3B  3  12 5  A , B 3A  2B  2 13 13 3 sen x  2 cos x 12 5  2 sen x  3 cos x dx  13 x  13 Ln 2 sen x  3 cos x  C

17.

B(2z)  C A  1 z 1 z 2

z  1  A(1  z 2 )  B(2z)(1  z)  C(1  z)

a sen x  b cos x  ( c A  d B ) sen x  ( d A  c B ) cos x

16.



147

19.

cos x

 sen 2 x  6 sen x  5 dx

u z

Hacemos :

du  dz dx

u  sen x du  cos x dx cos x du du 1/4 1/4  sen 2 x  6 sen x  5 dx   u 2  6u  5   (u  5) (u  1)   ( u  5  u  1 ) du cos x 1 du 1 du 1 1  sen 2 x  6 sen x  5 dx  4  u  5  4  u  1  4 Ln u  5  4 Ln u  1  C

Hacemos :

cos x

20.

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x   dx

dx

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x 

dx

 3 sen 2 x  5 cos 2 x Hacemos :

z

 dz  tg x  dx  , cos x  2

1

1 z

 

1 z 2

, sen x 

dx

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x 

z 1 z 2

dz dx

 3 sen 2 x  5 cos 2 x dx



 3 sen 2 x  5 cos 2 x  21.

1 z 2 3z 2





5

dz

1

3z 2  5

  3

dx

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x 

dz z2 

5 3

1 z 2 1 z 2 3 tg x 3 3z 1 arc tg ( )C  arc tg ( )C 3 5 5 15 5

dx

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x z

 dz  tg x  dx  , cos x  2  

1 z

1 1 z 2

, sen x 

z 1 z 2

dz dx

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x  

z

2

1 z dx

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x  

2



1 z

dz 3 2 13 (z  )  2 4

2





1 1 z

2

22.

1

Ln u 

13

du 13 13 ) (u  ) 2 2

(u  

1 13 ) du 13 2 1 du 13



u

13 2

13 1 13  Ln u  C 2 2 13

13 1 2  C  1 Ln 2u  13  C Ln 13 13 13 2u  13 u 2 u

dx

1

Ln

13

13

Ln

2z  3  13 2z  3  13

C

2 tg x  3  13 2 tg x  3  13

C

dx

 cos 2 x  5 cos x  6

dz z  3z  1



13  13 u u 2 1 du   13 13 u 2

1

Hacemos :

1 z 2 3z

13 u2  4 1

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x   sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x 

dx

Hacemos :

du

 sen 2 x  3 sen x cos x  cos 2 x   (

u 5 1 sen x  5  C  Ln C u 1 4 sen x  1

1

 sen 2 x  6 sen x  5 dx  4 Ln

3 2

2

dx

x  2 1 z 2 2z  z  tg ( )  dx  dz , cos x  , sen x  2 2 2  1 z 1 z 1 z 2  2

1 z 2 dz 5 (1  z 2 )  6 (1  z 2 ) 2 1 z 2

 cos 2 x  5 cos x  6   (1  z 2 ) 2

148

2 (1  z ) 2

dx

dx

2 (z 2  1)

dx

z 2 1

 cos 2 x  5 cos x  6   2z 4  10z 2  12 dz   z 4  5z 2  6 dz dx

 cos 2 x  5 cos x  6 z 1 2

(z  2) (z  3) 2

2





z 2 1 (z 2  2) (z 2  3)

A(2z)  B z 2 2



dz

C(2z)  D z2  3



24.

sen 2 x  2 cos 2 x 3  cos 2 x

Hacemos :

du u2 

1 4

2

 arc tg (2u)  C  arc tg (2z  1)  C

z

dx

 dz  tg x  dx  , cos x  2 1 z

 

z2

 

sen x  2 cos x 2

2

3  cos x 2

sen 2 x  2 cos 2 x 3  cos 2 x z2  2

(2  3z ) (1  z )

dx

 cos 2 x  2 sen x cos x  2 sen 2 x

2

1  z 2 . dz 1 1 z 2 1 z 2

dx  

z2  2



(2  3z 2 ) (1  z 2 )

A(6z)  B 2  3z

2



1 z

2

, sen x 

z 1 z 2

2



dx   1  z 3

2

1



z2  2

.

dz

[ 3 (1  z )  1 ] 1  z 2 2

dz

C(2z)  D 1 z 2

z 2  2  A(6z)(1  z 2 )  B(1  z 2 )  C(2z)(2  3z 2 )  D(2  3z 2 )

 dz  tg x  dx  , cos x  2 1 z

1 1 z 2

, sen x 

z 1 z 2

dz dx

 cos 2 x  2 sen x cos x  2 sen 2 x  

z2  z 

dz 1 1 (z  ) 2  2 4

dx

2

 

1

 1 2

 cos 2 x  2 sen x cos x  2 sen 2 x  arc tg (2 tg x  1)  C

2A  2C  0 B  D  1   A  0, B  1, C  0, D  2 6A  4C  0 3B  2D  1  dx 1 2 dz dz  cos 2 x  5 cos x  6   [ z 2  2  z 2  3 ] dz    z 2  2  2  z 2  3 dx 1 z 2 z  cos 2 x  5 cos x  6   2 arc tg ( 2 )  3 arc tg ( 3 )  C x x tg ( ) tg ( ) dx 1 2 2 2  cos 2 x  5 cos x  6   2 arc tg [ 2 ]  3 arc tg [ 3 ]  C

z

dz

1

 cos 2 x  2 sen x cos x  2 sen 2 x  2 

z 2  1  (2A  2C)z 3  (B  D)z 2  (6A  4C)z  (3B  2D)

Hacemos :

1 u z 2 du  dz dx

Hacemos :

z 2  1  A(2z)(z 2  3)  B(z 2  3)  C(2z)(z 2  2)  D(z 2  2)

23.

1

 cos 2 x  2 sen x cos x  2 sen 2 x  2 

 cos 2 x  5 cos x  6   (1  z 2 ) 2  5 (1  z 2 ) (1  z 2 )  6 (1  z 2 ) 2 dz

1 1 z

2



1 z 2 2z 1 z

2



2z

2

1 z

2



dz 2z  2z  1 2

z 2  2  (6A  6C)z 3  (B  3D)z 2  (6A  4C)z  (B  2D) 6A  6C  0  B  3D  1   A  0, B   8, C  0, D  3 6A  4C  0  B  2D  2



sen 2 x  2 cos 2 x 3  cos x 2

dx   (

8 2  3z

2



3 1 z

2

) dz  

8 dz dz 3  3 2 1 z 2  z2 3

149

   25.

sen x  2 cos x 2

2

3  cos 2 x sen x  2 cos x 2

2

3  cos x 2

sen 2 x  2 cos 2 x 3  cos x 2

8 3

dx  

arc tg (

3z

3 2

2

dx  3 arc tg (tg x) 

8

dx  3x 

8

arc tg (

6

arc tg (

3 tg x

6

)C

2

3 tg x

1.

 du  u  C

3.

u

5.

u  a du 

7. 9.

)C

2

sen 4 x  cos 4 x

 sen 2 x  cos 2 x dx sen 4 x  cos 4 x

 sen 2 x  cos 2 x dx   

(

1  cos2x 2 1  cos2x 2 ) ( ) 1 2  2 cos 2 2x 2 2 dx    dx 4 cos 2x cos 2 x  sen 2 x

sen 4 x  cos 4 x

1 1  cos 2 2x 1 1  sen 2 x  cos 2 x dx   2  cos 2x dx   2  sec 2x dx  2  cos 2x dx sen x  cos x 4

4

1

 sen 2 x  cos 2 x dx   4 Ln

sec 2x  tg 2x 

1 sen 2x  C 4

1  tg x 26.  dx 2 sen x cos x 1  tg x tg x dx dx 1 dx  2 sen x cos x dx   2 sen x cos x   2 sen x cos x dx   sen 2x  2  cos 2 x 1  tg x 1 1 1 2  2 sen x cos x dx   csc 2x dx  2  sec x dx  2 Ln csc 2x  ctg 2x  2 tg x  C

27.

FÓRMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

)  3 arc tg z  C

sen x tg x

 sen 3 x  cos 3 x dx sen x tg x

 sen 3 x  cos 3 x Hacemos :

dx  

tg 2 x sec 2 x tg 3 x  1

dx

 tg x du  sec 2 x dx

 Ln u  C



u n 1  C , n  1 n 1

4.

e

au C Ln a

6.

 sen u du   cos u  C

 cos u du  sen u  C

8.

 tg u du  Ln

 ctg u du  Ln

10.

 sec u du  Ln

12.

 sec

14.

 sec u tg u du  sec u  C

n

du 

sen u  C

u

du  e u  C

sec u  C sec u  tg u  C

u du  tg u  C

11.

 csc u du  Ln

13.

 csc

15.

 csc u ctg u du   csc u  C

16.

 senh u du  cosh u  C

17.

 cosh u du  senh u  C

18.

 tgh u du  Ln

19.

 ctgh u du  Ln

20.

 sech

21.

 csch

22.

 sech u tgh u du   sech u  C

23.

 csch u ctgh u du   csch u  C

24.

du 1 u  a 2  u 2  a arc tg ( a )  C , ( a  0 )

25.

du 1  u 2  a 2  2a Ln

26.

du 1  a 2  u 2  2a Ln

27.



28.



29.



u

1 3u 2 1 3  sen 3 x  cos 3 x dx   u 3  1 du  3  u 3  1 du  3 Ln u  1  C sen x tg x 1 3  sen 3 x  cos 3 x dx  3 Ln tg x  1  C sen x tg x

du u

2.

u2

2

csc u  ctg u  C

u du   ctg u  C

2

senh u  C

u du   ctgh u  C

du a u 2

2

du u u2 a2

u a C, (a  0) ua

u a

 arc sen ( )  C , ( a  0 ) 1 a

 arc sec

u a

C, (a  0)

2

2

u du  tgh u  C

du u a 2

cosh u  C

2

ua C, (a  0) u a

 Ln u  u 2  a 2  C

150

dx



a 2  u 2 du 

1 u [ u a 2  u 2  a 2 arc sen ( ) ]  C , ( a  0 ) 2 a

31.



u 2  a 2 du 

1 [ u u 2  a 2  a 2 Ln u  u 2  a 2 ]  C , ( a  0 ) 2

 x 6  1   (1  x 2 ) (x 4  x 2  1)   (1  x 2 ) (x 2 

32.



u 2  a 2 du 

1 [ u u 2  a 2  a 2 Ln u  u 2  a 2 ]  C , ( a  0 ) 2

(1  x ) (x  3x  1) (x  3x  1)

30.

2.

 x 6 1 dx

dx

1 2

2

2



A(2x)  B 1 x

2



dx 3x  1) (x 2  3x  1)

C(2x  3 )  D x  3x  1 2



E(2x  3 )  F x 2  3x  1

1  A(2x)(x 4  x 2  1)  B(x 4  x 2  1)  C(2x  3 )(1  x 2 )(x 2  3x  1)  D(1  x 2 )(x 2  3x  1)  E(2x  3 )(1  x 2 )(x 2  3x  1)

MAS PROBLEMAS RESUELTOS

1.





 F(1  x 2 )(x 2  3x  1)

x 1 dx x 1

1 x 1 x

1  (2A  2C  2E)x 5  (B  3C  D  3E  F)x 4  (2A  C  3D  E  3F)x 3

x 1 x 1 dx dx dx   dx    2 2 x 1 x x 1 x 1 x x 2 1 I1

I1



I1  

x 2 1

x  x 2 1 x 2 1 [ x  x 2 1 ]

Hacemos :

u

du I1   u



dx

 x  x 2 1

du 

I2

I2

dx

x  x 2 1 x 2 1

1

  B  3C  D  3E  F  0   2A  C  3D  E  3F  0 1 3 1 3 1 , D , E , F  A  0, B  , C   B  2D  2F  0 3 12 12 12 12   2A  C  3D  E  3F  0  B  3C  D  3E  F  1 

1 3 1 3 1 (2x  3 )   (2x  3 )  dx 3 12 12 12 12  [   ] dx x 6 1 1 x 2 x 2  3x  1 x 2  3x  1 dx

 Ln u  C1  Ln x  x  1  C1 2

sec θ tg θ sec θ sec θ  1 2

 dx

dθ  

1

dx

3

2x  3

 x 6  1  3  1  x 2  12  x 2 

dx

sec θ tg θ dθ   dθ  θ  C 2  arc sec x  C 2 sec θ tg θ

1

x 1 dx  Ln x  x 2  1  arc sec x  C x 1



3x  1

dx 

1 dx 3  12  x 2  3x  1 12

2x  3

 x2 

3x  1

dx

1 dx  2 12 x  3x  1 3

 x 6  1  3 arc tg x  12 Ln x

dx  sec θ tg θ dθ

x

2A  2C  2E  0

 dx

x x 2 1 Hacemos : x  sec θ

I2  

 (B  2D  2F)x 2  (2A  C  3D  E  3F)x  (B  3C  D  3E  F)

1 12 

2

dx (x 

3 2 1 )  2 4

 3x  1 

3 1 Ln x 2  3x  1   12 12

dx (x 

3 2 1 )  2 4

151

dx

1

3

 x 6  1  3 arc tg x  12 Ln 3.

 ( arc sen x   ( arc sen x  Hacemos :

 ( arc sen x  4.

x 2  3x  1

1 1 arc tg (2x  3 )  arc tg (2x  3 )  C 6 6



) dx   arc sen x dx  

1 x u  arc sen x 2

x 1 x 2 x 1 x

2

dv  dx

dx

v

1 x 2

  

2x  x  4

1 x

2

dx

x x 1 x 2

dx  

x

x2 dx . 2x  3 3x 2  11x  10

dx 2x  x  4



1 x 2

2x  3 (3x 2  11x  10) x2

t[3(

2 2

3  2t 2 t2 2

1 t

2

z2

I1



I1

 2z  2 Ln

I1

 2 x  2 Ln

I2



x x4 dx   dx x4 x4

z 4 2

. 2z dz  2  z2  C1 z2

I2

z2 z 4 2

dz  2  ( 1 

( x  2) ( x  2)

 C1

4 z 4 2

x 2

 2 x  2 Ln

( x  2) 2

x 2

) dz  2z  8 

dz z 4 2

 C1

 2 x  2 Ln

( x  2) 2  C1 x4

x4 dx x4 x 4  u 2

3  2t 2 t2 2 dt

. )  10 ]

2t ( t 2  2) 2

dt

 2 arc tg t  C  2 arc tg

2x  3 C x2

u

2

I2



I2

 2u  2 2 Ln

I2

 2 x  4  2 2 Ln

I2

 2 x  4  2 2 Ln

3 (3  2t 2 ) 2  11 (3  2t 2 ) ( t 2  2)  10 ( t 2  2) 2 dt

 2

2x  x  4 dx x4

 x  u2  4

dx  2u du

)  11 ( 2

( 2x  x  4 ) ( 2x  x  4 )

dx  

x  z2

Hacemos :

1



2x  x  4

dx  2z dz

dx





x dx x4

dx

2x  3 3  2t 2  t2  x  2 x2 t 2 2t dx  dt (t 2  2) 2

x2 dx . 2x  3 3x 2  11x  10

2x  x  4

Hacemos :

) dx  x arc sen x  C

x2 dx . 2x  3 3x 2  11x  10

dx

I1

I1

) dx  x arc sen x  

x2 dx . 2x  3 3x 2  11x  10

Hacemos :

dx





x

x2 dx . 2x  3 3x 2  11x  10



5.

) dx

2

du 

 ( arc sen x 





x 1 x x

x  3x  1 2

u 44 2

. 2u du  2  u2 2 u2 2

u2 u 8 2

 C2

du  2  ( 1 

8 u 8 2

 2 x  4  2 2 Ln

( x  4  2 2)2 ( x  4  2 2) ( x  4  2 2) ( x  4  2 2)2  C2 x4

) du  2u  16  x4 2 2 x4 2 2

 C2

du u 8

 C2

2

152

dx



6.

2x  x  4 dx

 2 2x  2 2 Ln

( x  2) x4

2

 2 2x  2 x  4  2 2 Ln

 2 x  4  2 2 Ln

( x  4  2 2) x4

( x  2) 2 ( x  4  2 2 ) 2



2x  x  4



( x  2) ( x  4  2 2 )  2 2x  2 x  4  4 2 Ln C x4 2x  x  4

(x  4)

2

2

e

C

8.

C

( ctg x  Ln sen x ) dx  e x Ln sen x  C

x7

 (1  x 4 ) 2 dx u  x4

Hacemos :

dx

dv 

du  4x 3 dx

v

x4

x3

x3



x7

x 3 x (1  3 x ) 2



dx  6z 5 dz



x

3

x (1  x ) 3

2

dx



x 3 x (1  3 x ) Hacemos :

2

 6

6z 5

x 3 x (1  3 x ) 2 dx



x 3 x (1  3 x ) 2

3

z 6 (1  z 6 ) 2

(1  z )  z 2

(1  z )

v

dz 1 z 2

(1  z )

2 2

 

 3 arc tg z 

dz  6 

dz  6 

z

dv 

6

2

2 2

du  dz



3

z6

u z

dx

dz 1 z

2

z5

dz  6 

z (1  z ) 5

6

2 2

z

dz (1  z )

(1  z )

2 2

u e

du  e dx x

x4

1

6 e 4x

 1 e x

dz

6e

1 z 2

1 z 2

3

4x

 1 e x 6 e 4x

dz 1 z 2

3

dz 1 z 2

 C  3 arc tg 6 x 



36 x 1 3 x

 1 e x

3z 1 z 2 C

dv  ctg x dx

 Ln sen x

x x x x  e ( ctg x  Ln sen x ) dx  e Ln sen x   e Ln sen x dx   e Ln sen x dx

u  ex du  e x dx

2 (1  z 2 )

3z

1 x 4  C

dx

Hacemos :

1

3z

v

2 2

6 e 4x

 1 e x

dz

 e ( ctg x  Ln sen x ) dx x x x  e ( ctg x  Ln sen x ) dx   e ctg x dx   e Ln sen x dx x

9.

2

x

Hacemos :

4 (1  x 4 )

 (1  x 4 ) 2 dx  4 (1  x 4 )   1  x 4 dx  4 (1  x 4 )  4 Ln

x  z6

dx

dx

(1  x 4 ) 2 1

dx

Hacemos :

7.

x

10.

  

dx  6 

e 3x e x 1 e x

dx  6 

u3 1 du  6  (  u 2  u  1  ) du 1 u u 1

dx  2u 3  3u 2  6u  6 Ln u  1  C dx   2e 3x  3e 2x  6e x  6 Ln e x  1  C

ax a x

ax a x ax a x

Hacemos :

dx

dx  

a  x ( a  x) ( a  x)( a  x)

dx  a



dx ax



x ax

x  a sen 2 θ dx  2a sen θ cos θ dθ

dx  

a  x ( a  x) a x dx   dx ax ax

dx  2 a a  x  

x ax

dx

153

ax



a x ax



a x ax



a x

a sen θ a  a sen 2 θ

dx  2 a a  x  2a 

sen 2 θ cos θ 1  sen 2 θ

n

 sen kx 

dθ  2 a a  x  2a 

dx  2 a a  x  2a  sen 2 θ dθ  2 a a  x  2a  (

sen 2 θ cos θ dθ cos θ

1  cos 2θ ) dθ 2

a dx  2 a a  x  a θ  sen 2θ  C  2 a a  x  a θ  a sen θ cos θ  C 2 a x ax



a x ax



a x

dx  2 a a  x  a arc sen ( dx  a arc sen (

x

x

)a (

a

x

)(

a

ax

)C

a

)2 a ax  x ax C

a

n

 sen kx 

k 1 n

 sen kx 

k 1

n

 sen kx 

k 1 n

sen x  sen 2x    sen (nx)

k 1 n

 ( 2 sen x cos kx )  sen (n  1)x  sen nx  sen x

n

 sen kx sen x  sen 2x    sen (nx) k 1 dx  cos x  cos 2x    cos (nx) dx   n  cos kx

k 1

n

2 sen x n

Determinaremos las fórmulas de las sumatorias, para lo cual aplicaremos la siguiente propiedad de sumatoria: n

 [ f (k  1)  f (k  1) ]  f (n  1)  f (n)  f (m)  f (m  1)

k m n

 [ cos (k  1)x  cos (k  1)x ]  cos (n  1)x  cos nx  cos x  cos 0

k 1 n

 (  2 sen x sen kx )  cos (n  1)x  cos nx  cos x  1

k 1

n

 sen kx  cos (n  1)x  cos nx  cos x  1

k 1 n

cos (n  1)x  cos nx  cos x  1

k 1

2 sen x



 cos kx  sen (n  1)x  sen nx  sen x

k 1

k 1

 sen kx  

k 1

2 sen (

 [ sen (k  1)x  sen (k  1)x ]  sen (n  1)x  sen nx  sen x  sen 0

 cos x  cos 2x    cos (nx) dx

 2 sen x

n 1 n 1 n 1 )x  2 sen ( )x sen ( )x 2 2 2 2 sen x n 1 n 1 n 1 sen ( )x [ sen ( )x  sen ( )x ] 2 2 2 sen x n 1 n x n 1 n x 2 sen ( )x sen x cos 2 sen ( )x sen x cos 2 2 2  2 2 2 x x sen x 2 sen cos 2 2 n 1 n sen ( )x sen x 2 2 x sen 2 2

. 2a sen θ cos θ dθ

ax



11.

dx  2 a a  x  

2

1  cos (n  1)x  cos nx  cos x 2 sen x

 cos kx 

k 1

sen (n  1)x  sen nx  sen x

2 sen x n 1 n 1 n 1 n 1 2 sen ( )x cos ( )x  2 sen ( )x cos ( )x n 2 2 2 2 cos kx   2 sen x k 1 n 1 n 1 n 1 cos ( )x [ sen ( )x  sen ( )x ] n 2 2 2  cos kx  sen x k 1 n 1 n x n 1 n x 2 cos ( )x sen x cos 2 cos ( )x sen x cos n 2 2 2 2 2 2   cos kx  x x sen x k 1 2 sen cos 2 2

154 n

 cos kx 

k 1

n 1 n cos ( )x sen x 2 2 x sen 2



n 1 n sen ( )x sen x 2 2 x n 1 sen sen ( )x sen x  sen 2x    sen (nx) 2 2 dx  dx  dx  cos x  cos 2x    cos (nx)   n 1 n n 1 cos ( )x sen x cos ( )x 2 2 2 x sen 2 sen x  sen 2x    sen (nx) 2 n 1  cos x  cos 2x    cos (nx) dx   n  1 Ln cos ( 2 )x  C

  13.

3x 2  4 2 x (4  3x 2 ) 3x 2  x  4 3x 2  4 2 x (4  3x ) 3x  x  4 2

3x 2  4 2 x (4  3x 2 ) 3x 2  x  4



4  e x dx



4  e x dx  

   

3x 2  4 2 x (4  3x ) 3x  x  4 2

2

3x 2  4 2 x (4  3x 2 ) 3x 2  x  4 3x 2  4 2 x (4  3x ) 3x  x  4 2

2

3x 2  4 2 x (4  3x 2 ) 3x 2  x  4

Hacemos :

x 3x 2  4

dx

dx   dx  

dx  

2 x (3x  4)



2 x (3x 2  4) (3x 2  4)  x

3x 2  4 2 x (4  3x 2 ) 3x 2  x  4

dx  

x

sec 2 θ

dx

1  tg 2 θ

3x  4 2

C

C

3x 2  4

. e x dx

4  u  z2

 u  z2  4

3x  4

z2



z2 4  e x dx  2z  2 Ln  C  2 4  u  2 Ln z2



4  e x dx  2 4  e x  2 Ln

z 4 2

. 2z dz  2 

z2



x 2

z 4 2

dz  2  ( 1 

4  ex  2 4  ex  2

4 z 4

3x 2  4

sec 2 θ dθ   sec θ dθ sec θ

14.

 

x2

C

dx 3 3

x2

dx 

1  x  (1  x ) 3

3 3

1 3

3x 2

dx

1  x  (1  x ) 3

3 3

) dz  2z  8 

4u 2

1  x  (1  x ) 3

2

4u 2

3x 2  x  4 

dθ  

3x 2  x  4  x

x



4  e x dx  

3x 2  4

 3x 2  4

dx  sec 2 θ dθ

dx  Ln

3x  4 2

du  2z dz

2

2 x (3x 2  4) 3/2 1 

ex

3x 2  x  4

du  e x dx 4u 4  e x dx   du u

Hacemos : dx

2 x (3x  4) 3x  4 1  2

x 3/2

dx

 3x 2  4

 tg θ

 3x 2  4 2



 3x 2  4

4  ex

dx  Ln

u  ex

Hacemos : 12.

2

dx  Ln sec θ  tg θ  C

C

dz z 4 2

155

u 1  x

Hacemos :

3

du  3x dx 2



x2

dx 

1  x 3  (1  x 3 ) 3

1 1 1 m , n , p 2 2 2

 

15.

1 3



du

1

u  u3

  u 1/2 (1  u 1/2 ) 1/2 du 3

1  u 1/2  z 2 m 1  1  Z   n du  4u 1/2 z dz 

x2

1 4 dx   u 1/2 (z 2 ) 1/2 . 4u 1/2 z dz   u 1/2 z 1 . u 1/2 z dz 3 3 1  x 3  (1  x 3 ) 3 x2

dx 

1  x  (1  x ) 3

3 3

4 4 4 4 dz  z  C  1 u  C  1 1 x 3  C  3 3 3 3



2  3x 11 dx  3x 2  7x  6  x 3 2 3



2  3x 11 sec θ tg θ 11 dx  3x 2  7x  6  dθ  3x 2  7x  6    sec θ dθ x 3 tg θ 2 3 2 3



2  3x 11 dx  3x 2  7x  6  Ln sec θ  tg θ  C1 x 3 2 3



2  3x 11 dx  3x 2  7x  6  Ln x 3 2 3



2  3x 11 7 7 dx  3x 2  7x  6  Ln x   x 2  x  2  C x 3 6 3 2 3 x 1



2  3x dx x 3



1/2 (6x  7)  11/2 2  3x 2  3x 2  3x dx   dx   dx   dx 2 x 3 x  3 2  3x 3x  7x  6 3x 2  7x  6





2  3x 1 6x  7 11 dx dx   dx   x 3 2 2 3x 2  7x  6 3x 2  7x  6

Hacemos :



2  3x 11 dx  3x 2  7x  6  x 3 2 3







2  3x 11 dx  3x 2  7x  6  x 3 2 3



Hacemos :



16.

7 11  sec θ 6 6 11 dx  sec θ tg θ dθ 6 x

2  3x 11 dx  3x 2  7x  6  x 3 2 3

dx x2 

7 x2 3 dx

7 121 (x  ) 2  6 36 x2 



7 x2 3

11 sec θ tg θ 6 dθ 121 121 2 sec θ  36 36

17.

7 x 6  11 6



(2x  x ) 2x  x 2 2

x 1 (2x  x 2 ) 2x  x 2

x 1 (2x  x ) 2x  x

 1 4x 2x

 1 4x

sec θ tg θ sec 2 θ  1

dθ

7 7 x2  x 2 3 6  C1 11 11 6 6

x

dx dx 

1 2  2x dx  2 (2x  x 2 ) 3/2

u  2x  x 2 du  (2  2x) dx

2

2x



2

dx 

1 du 2  u 3/2



1 u

C  

1 2x  x 2

C

dx dx 

1 2 x Ln 2 dx Ln 2  1  (2 x ) 2

u  2x

Hacemos :

du  2 x Ln 2 dx

2x

 1 4x

dx 

1 du 1 1 u 1 1 2x  Ln  C  Ln C Ln 2  1  u 2 2 Ln 2 1 u Ln 4 1 2x

156

18. I  

I

Hacemos :

x x2 3

dx

x 2  3 ( x  2) 2

dx  2 sec 2 θ dθ

x 3 x 2 (x  3 x  2 ) ( x  3 x  2 ) x 2  u 3

Hacemos :

dx  

I  x 5

dx

x u 3  2



I

3u

du  

3

u3  2  u3 3u 2



(u  1) (u  u  2) 2

3u 2 u3  u  2

du  

3u 2 (u  1) (u 2  u  2)

du

B(2u  1)  C A  u 1 u2 u  2

3u 2  A(u 2  u  2)  B(2u  1)(u  1)  C(u  1) 3u 2  (A  2B)u 2  (A  B  C)u  (2A  B  C) A  2B  3    A  B  C  0 A  3/4, B  9/8, C  3/8 2A  B  C  0  3/4 9/8 (2u  1)  3/8  ] du u 1 u2 u  2 3 du 9 2u  1 3 du I    du   2 2 4 u 1 8 u  u  2 8 u u2 3 9 3 du I  Ln u  1  Ln u 2  u  2   1 7 4 8 8 (u  ) 2  2 4 3 9 3 2u 1 I  Ln u  1  Ln u 2  u  2  arc tg ( )C 4 8 4 7 7 I  [

3 I  Ln 4

19. I  

3

9 x  2  1  Ln 8

(4  x 2 )1/2 5  (4  x 2 )1/2

I   [1

3

(x  2)  x  2  2  2

3

4 7

dx

5 5  (4  x )

2 1/2

] dx  x  5 

3

dx 5  (4  x 2 )1/2

2 sec 2 θ 5  (4  4 tg 2 θ)1/2

I  x  5 Ln sec θ  tg θ  25 

arc tg (

2 sec 2 θ

dθ  x  5 

dθ  x  5 

2 sec 2 θ dθ 5  2 sec θ

5  2 (1  tg 2 θ)1/2 25 sec 2 θ 1 5 4 I  x  10  dθ  x  10  ( sec θ   ) dθ 5  2 sec θ 2 4 5  2 sec θ 25 125 dθ I  x  5  sec θ dθ  dθ  2  2  5  2 sec θ 25 125 dθ I  x  5 Ln sec θ  tg θ  θ  2 2 5  2 sec θ 25 125 cos θ I  x  5 Ln sec θ  tg θ  θ dθ  2 2 5 cos θ  2 2 25 125 1 5 I  x  5 Ln sec θ  tg θ  θ (  ) dθ 2 2  5 5 cos θ  2 25 25 dθ I  x  5 Ln sec θ  tg θ  θ dθ  25  2 2  5 cos θ  2 25 25 dθ I  x  5 Ln sec θ  tg θ  θ  θ  25  2 2 5 cos θ  2 dθ I  x  5 Ln sec θ  tg θ  25  5 cos θ  2  θ  2 1 z 2 2z Hacemos : z  tg ( )  dθ  dz , cos θ  , sen θ  2 2 2  1 z 1 z 1 z 2  2

x3 x2

dx  3u 2 du 2

x  2 tg θ

2 3 x  2 1 7

)C

1 z 2 5 (1  z 2 ) 1 z 2

I  x  5 Ln sec θ  tg θ  25 

dz 2 2

dz 5 (1  z )  2 (1  z 2 ) dz 50 dz I  x  5 Ln sec θ  tg θ  50   x  5 Ln sec θ  tg θ   2 7 3 7  3z z2  3 2

157

7 I  x  5 Ln sec θ  tg θ 

25

Ln

21

3 7

Hacemos :

z  C1

1

25

Ln

21

7 3z 7 3z

 C1

θ 7  3 tg ( ) 2 C I  x  5 Ln sec θ  tg θ  Ln 1 θ 21 7  3 tg ( ) 2 1 x 7  3 tg [ arc tg ( ) ] x2  4 x 25 2 2 I  x  5 Ln   Ln  C1 1 x 2 2 21 7  3 tg [ arc tg ( ) ] 2 2 1 x 7  3 tg [ arc tg ( ) ] 25 2 2 2 I  x  5 Ln x  4  x  Ln C 1 x 21 7  3 tg [ arc tg ( ) ] 2 2 25

20.

e

4x

dx

xu

Hacemos :

4

22.

21.

e

dx   e u . 4u 3 du  4  u 3 e u du  4 e u (u 3  3u 2  6u  6)  C

e

4x

dx  e u (4u 3  12u 2  24u  24)  C  e

1

4x

(4 x 3/4  12 x1/2  24 x1/4  24)  C

Hacemos :

z 

1 x

dx  



1



x

1 z

dz z2

1 dz sen ( ) dx    z 3 sen z . 3 x x z2

   z sen z dz

1

1

x dx x a



1/2 (2x  a)  a/2 x x x dx   dx   dx   dx 2 x a x x a x  ax x 2  ax



x 1 2x  a a dx a dx dx   dx    x 2  ax   2 2 2 x a 2 2 2 x  ax x  ax x  ax



x a dx  x (x  a)   x a 2

Hacemos :

1

dx a a2 (x  ) 2  2 4

x

a a  sec θ 2 2 a dx  sec θ tg θ dθ 2 x

x 2  ax

a 2

 a 2

a sec θ tg θ 2

a sec θ tg θ dθ 2  sec 2 θ  1



x a dx  x (x  a)   x a 2



x a sec θ tg θ a dx  x (x  a)   dθ  x (x  a)   sec θ dθ x a 2 tg θ 2



x a dx  x (x  a)  Ln sec θ  tg θ  C1 x a 2



x a 2x  a 2 x 2  ax dx  x (x  a)  Ln   C1 x a 2 a a



x a dx  x (x  a)  Ln 2x  a  2 x 2  ax  C x a 2



x a dx  x (x  a)  Ln ( x  x  a ) 2  C x a 2

1

 x 3 sen ( x ) dx

1



dx  4u 3 du 4x

dv  sen z dz v   cos z

 x 3 sen ( x ) dx  z cos z   cos z dz  z cos z  sen z  C  x cos ( x )  sen ( x )  C

z

3 I  x  5 Ln sec θ  tg θ 

u z du  dz

2

2

dθ  x (x  a) 

a a sec 2 θ  4 4

158



x dx  x (x  a)  a Ln x a

23. I  

x 1 x 2x

I

1 x

I1   sec θ tg θ dθ 2

dx

2x

dx  

Hacemos :

x  x2 x 2  3x  2

 (2 x  3)  ( x  3x  2)  1

I

x  3x  2 2

2x  3 x 2  3x  2

dx  

I1  sec θ tg θ   sec θ dθ  sec θ tg θ   sec θ ( 1  tg 2 θ ) dθ I1  sec θ tg θ   sec θ dθ   sec θ tg 2 θ dθ

x 2  3x  2

dx  

3 1 I   4x 2  12 x  8   (x  ) 2  dx   2 4

I1  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ   sec θ tg 2 θ dθ

dx

I1  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  I1

x 2  3x  2 dx

2I1  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ

dx 3 1 (x  ) 2  2 4

x x 2  3x  2

3 2

 1 2

1 sec θ tg θ 1 1 1 2 I   4x  12 x  8   sec θ  sec θ tg θ dθ   2 dθ 2 4 4 1 1 2 sec θ  4 4 sec θ tg θ 1 I   4x 2  12 x  8   sec 2 θ  1 sec θ tg θ dθ   dθ 4 sec 2 θ  1 sec θ tg θ 1 sec θ tg 2 θ dθ   dθ 4 tg θ 1 I   4x 2  12 x  8   sec θ tg 2 θ dθ   sec θ dθ 4

1 1 sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  C1 2 2 1 1 2 I   4x  12x  8  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  C1 8 8 1 7 I   4x 2  12x  8  sec θ tg θ  Ln sec θ  tg θ  C1 8 8 1 7 I   4x 2  12x  8  (2x  3) (2 x 2  3x  2 )  Ln 2x  3  2 x 2  3x  2  C 8 8 1 7 I   4x 2  12x  8  (2x  3) 4x 2  12x  8  Ln 2x  3  4x 2  12x  8  C 8 8

I1 

x 2  3x  2

2

I   4x 2  12 x  8 

v  sec θ

3

dx

x 2  3x  2

3 1  sec θ 2 2 1 dx  sec θ tg θ dθ 2

dv  tg θ sec θ dθ

du  sec θ dθ

dx

I  2 x 2  3x  2   x 2  3x  2 dx  

x

u  tg θ 2

2

Hacemos :

1 sec θ tg 2 θ dθ 4 I1

x (1  x)

I

I   4x 2  12x  8  Ln sec θ  tg θ 

x  x a C

24. I   I

dx x 1 5

dx [ x 1 ][ x2  α

Hacemos : I

(1 5) (1 5) x 1][ x2  x 1] 2 2 (1 5) (1 5) , β 2 2 dx

( x 1) ( x2  α x 1) ( x2  β x 1) 1

( x 1) ( x  α x 1) ( x  β x 1) 2

2



B(2x  α)  C D(2x  β)  E A   x 1 x 2  α x 1 x 2  β x 1

159

1  A(x  α x  1)(x  β x  1)  B(2x  α)(x  1)(x  β x  1)  C(x  1)(x  β x  1) 2

2

2

2

 D(2x  β)(x  1)(x 2  α x  1)  E(x  1)(x 2  α x  1)

I

1  A(x 4  x 3  x 2  x  1)  B(2x  α)(x  1)(x 2  β x  1)  C(x  1)(x 2  β x  1)



 D(2x  β)(x  1)(x  α x  1)  E(x  1)(x  α x  1) 2

I

 (A  β B  α C  α D  β E)x  (A  α B  C  β D  E) A2B2D  0

   A β B α Cα D β E  0   A  β B  α C  α D  β E  0   A α B Cβ D  E 1 A α BCβ D E  0

I

5 1 4 5

I

 

5 1 5 1 (2x  β)  20 4 5 x 2  β x 1



4 5

Donde :

 x 2  α x 1 

α

(1 5) 2

,

4 5

β

dx

 x 2  β x 1 (1 5) 2



dx (1  5 ) x2  x 1 2



dx x2 

(1  5 ) x 1 2



5 1 4 5



dx x2 

(1  5 ) x 1 2



dx x2 

(1  5 ) x 1 2



5 1 4 5



dx x2 

(1  5 ) x 1 2

I

(x  1) 5 2x 2  (1  5 ) x  2 1 5 Ln  Ln 20 20 x 5 1 2x 2  (1  5 ) x  2 

5 1 4 5

1 5 x 2  α x 1 1 Ln x  1  Ln  Ln ( x 2  α x  1 ) ( x 2  β x  1 ) 2 5 20 20 x  β x 1 5 1

5 1 4 5

(x  1) 5 2x 2  (1  5 ) x  2 1 5 5 1 dx Ln  Ln   5 2 20 20 4 5 (1  5 ) x 1 2x  (1  5 ) x  2 x2  x 1 2 5 1 dx   4 5 (1  5 ) x2  x 1 2

dx

dx



I

 x 2  β x 1

1 5 1 5 1 Ln x  1  Ln x 2  α x  1  Ln x 2  β x  1 5 20 20 5 1 dx 5 1 dx     2 2 4 5 x  α x 1 4 5 x  β x 1

5 1

5 1 4 5

] dx

dx (1  5 ) x2  x 1 2

(x  1) 4 2x 2  (1  5 ) x  2 1 5 Ln  Ln 20 20 x 4  x 3  x 2  x 1 2x 2  (1  5 ) x  2 

2x  β 1 dx 5 1 2x  α 5 1 dx 5 1  dx   dx   2 2 5  x 1 20  x 2  α x  1 20 4 5 x  α x 1 x  β x 1 

I

5 1 5 1 (2x  α)  20 4 5 x 2  α x 1

5 1 4 5

I



2x 2  (1  5 ) x  2 1 5 1 Ln (x  1) 4  Ln  Ln x 4  x 3  x 2  x  1 2 20 20 2x  (1  5 ) x  2 20 

1 5 1 5 1 5 1 5 1 , B , C , D , E 5 20 20 4 5 4 5

1 I  [ 5  x 1

5 1 4 5

2

1  (A  2 B  2 D)x 4  (A  α B  C  β D  E)x 3  (A  β B  α C  α D  β E)x 2

A

2x 2  (1  5 ) x  2 1 5 1 Ln x  1  Ln  Ln x 4  x 3  x 2  x  1 2 5 20 2x  (1  5 ) x  2 20

I



dx [ x

(1  5 ) 2 10  2 5 ]  4 16



5 1 4 5



dx [ x

(1  5 ) 2 10  2 5 ]  4 16

(x  1) 5 2x 2  (1  5 )x  2 4x  (1  5 ) 10  2 5 1 5 Ln  Ln  arc tg [ ] 5 2 20 20 10 x 1 2x  (1  5 )x  2 10  2 5 

4x  (1  5 ) 10  2 5 arc tg [ ] C 10 10  2 5

160

25.

e

2x

e

2 x

 e 2x  e 2x e 2x  e 2x

 e 2x  e 2x e

2x

e

 2x

 e 2x  e 2x

e 2x  e  2x

 e 2x  e 2x e

2x

e

 2x

 e 2x  e 2x

e 2x  e  2x

 e 2x  e 2x

e 2x  e  2x

 e 2x  e 2x

e 2x  e  2x

 e 2x  e 2x e

2x

e

 2x

 e 2x  e 2x 26.

   

27.



dx   dx   dx  

e 2x e

2x

e e

 2x

2x

e

2x

e 2x (e 2x  e  2x ) e 4x e

4x

1

e 2x

dx  

dx  

e

2x

e

dx  

e  4x 1 e

 4x

 2x

du 

dx

e  2x e  2x e  2x (e 2x  e  2x )

dx

dx

1  cos x dx 1  cos x dx 1  cos x

arc sen 2x



arc sen 2x

1  2x 1  2x

dx

v

1  2x

2x

 2 x  1 dx   ( 2

dx 

1 1 e 4x  1 Ln e 4x  1  Ln C 4 4 e 4x

 2 x  1 dx  Ln 2  x  Ln 2  2 x (2 x  1) dx

dx 

1 1 1 Ln e 4x  1  Ln e 4x  1  Ln e 4x  C 4 4 4

Hacemos :

dx 

1 1 1 Ln e 4x  1  (4x)  C  Ln e 4x  1  x  C 2 4 2

 

dx



1

dx



dx 2x

dx  2x  (arc sen 2x ) ( 1  2x )  C

1 1 Ln e 4x  1  Ln 1  e  4x  C 4 4



1  2x

dx   (arc sen 2x ) ( 1  2x )  

dx 

28.

dx

  1  2x

1 4e 1 4e  4x dx  dx 4  e 4x  1 4  1  e  4x

arc sen 2x 1  2x



dv 

dx 

4x

4 x 1

 2 x  1 dx 4x 1 4x 1

x

1

2x

2 2x 1

) dx 

2

2x dx x2 x Ln 2 2 1

2 x Ln 2

u  2x du  ( 2 x Ln 2 ) dx

dx 1  cos x dx

u  arc sen 2x

Hacemos :

dx

1

x sec ( ) dx  2 2

 x 2 cos ( x ) 2 cos 2 ( ) 2 2 2 x dx 2 x x sec ( ) .  Ln sec ( )  tg ( )  C  2 2 2 2 2 2 x x 2 Ln sec ( )  tg ( )  C 2 2

4 x 1

 2 x 1

dx 

2x 2 du x  Ln 2 Ln 2 u (u  1)

4 x 1

 2 x 1

dx 

2x 2 du 2 du x    Ln 2 Ln 2 u Ln 2 u  1

4 x 1

 2 x 1

dx 

2x 2 2 x Ln u  Ln u  1  C Ln 2 Ln 2 Ln 2

4 x 1

 2 x 1

dx 

2x 2 2 x Ln 2 x  Ln 2 x  1  C Ln 2 Ln 2 Ln 2

4 x 1

 2 x 1

dx 

2x 2 2 x (x Ln 2 )  Ln 2 x  1  C Ln 2 Ln 2 Ln 2

4 x 1

dx 

2x 2 2x 2  x  2x  Ln 2 x  1  C  x Ln 2 x  1  C Ln 2 Ln 2 Ln 2 Ln 2

 2 x 1

dx

29.



mx dx x



2x 2 1 1 x (  ) du  Ln 2 Ln 2 u u  1

161



1/2 (m  2x)  m/2 mx mx mx mx dx   dx   dx   dx 2 x mx x mx  x mx  x 2



mx 1 m  2x m dx m dx dx   dx    mx  x 2   x 2 2 2 mx  x 2 mx  x 2 mx  x 2



mx m dx  mx  x 2   x 2

Hacemos :

 

30.

m m x  sec θ 2 2 m dx  sec θ tg θ dθ 2

mx m dx  mx  x 2   x 2



mx  x

m sec θ tg θ 2 m2 m2 sec 2 θ  4 4

m x 2







2

m 2

dθ

mx m sec θ tg θ m sec θ tg θ dx  mx  x 2   dθ  mx  x 2   dθ 2 x 2 2 tg θ sec θ  1



mx m m dx  mx  x 2   sec θ dθ  mx  x 2  Ln sec θ  tg θ  C1 x 2 2



mx m m  2x 2 mx  x 2 dx  mx  x 2  Ln   C1 x 2 m m



mx m m  2x  2 mx  x 2 dx  mx  x 2  Ln  C1 x 2 m



mx m dx  mx  x 2  Ln m  2x  2 mx  x 2  C x 2



mx m dx  mx  x 2  Ln ( x  m  x ) 2  C x 2



mx dx  mx  x 2  m Ln x



1 x 2 x4

arc sen x dx

x  mx C

31.

1 x 2 x4 1 x 2 x

4

1 x x

4

1 x 2

(1  x 2 ) 3/2 3x 3

arc sen x dx  

(1  x 2 ) 3/2 arc sen x

arc sen x dx  

(1  x 2 ) 3/2 arc sen x

arc sen x dx  

(1  x )

3x 3

2 3/2

3x

dx

x4

v 

3x 2

1 x 2

dv 

dx

du 

dx m m2 (  x) 2  2 4

u  arc sen x

Hacemos :

3

arc sen x 3

  

1 x 2 3x 3

dx

1 dx 1 dx  3  x3 3  x 1

1  Ln x  C 3 6x 2

sen 2 x

 a  b cos 2 x dx Hacemos :

z

 dz  tg x  dx  , cos x  2 1 z

 

1 1 z 2

, sen x 

z 1 z 2

z2 2

1  z 2 . dz  a  b cos 2 x dx   b 1 z 2 a 2 1 z sen x

sen 2 x



z2 [ a (1  z 2 )  b ] (1  z 2 )

dz

z2

 a  b cos 2 x dx   [ az 2  (a  b) ] (1  z 2 ) dz z2 [ az  (a  b) ] (1  z ) 2

2



A(2az)  B az  (a  b) 2



C(2z)  D 1 z 2

 A(2az)(1  z 2 )  B(1  z 2 )  C(2z)[ az 2  (a  b) ]  D[ az 2  (a  b) ] z 2  (2a A  2a C)z 3  (B  a D)z 2  [ 2a A  2(a  b) C ]z  [ B  (a  b) D ] 2a A  2a C  0   B a D 1 ab 1  , C  0, D    A  0, B  2a A  2(a  b) C  0 b b  B  (a  b) D  0  z2

162

ab 1  sen 2 x ab dz 1 dz b b  a  b cos 2 x dx   [ az 2  (a  b)  1  z 2 ] dz  b  az 2  (a  b)  b  1  z 2 2

sen x

 a  b cos 2 x

dx 

sen 2 x

 a  b cos 2 x dx 

ab dz 1 dz   ab  2 a  b b 1 z 2 z ( ) a ab a az 1 . arc tg ( )  arc tg z  C ab b ab ab

2a  x ax

ax cos θ dx  a 2  x 2  2a  dθ ax (1  sen θ) cos θ



2a  x ax

ax dθ dx  a 2  x 2  2a  ax 1  sen θ



2a  x ax

ax 1  sen θ dx  a 2  x 2  2a  dθ ax cos 2 θ



2a  x ax

ax dx  a 2  x 2  2a  ( sec 2 θ  sec θ tg θ ) dθ ax

2a  x ax

ax dx  a 2  x 2  2a tg θ  2a sec θ  C ax

sen 2 x

a tg x 1 a  b 1/2 arc tg ( )  arc tg (tg x)  C b ab



 a  b cos 2 x dx  ( ab 2 )

sen 2 x

a tg x x a  b 1/2 arc tg ( ) C b ab

2a  x  ax

2a  x  ax



 a  b cos 2 x dx  ( ab 2 )

32.





2a  x ax

2a  x  ax

 

2a  x ax 2a  x ax

Hacemos :

ax dx ax

(2a  x) (a  x) ax 2a 2  ax  x 2 dx   dx   dx ax (a  x) a 2  x 2 (a  x) a 2  x 2

33.



1/2 (a  x) (2x)  2a 2 ax dx   dx ax (a  x) a 2  x 2



ax 1  2x dx dx   dx  2a 2  2 2 ax 2 a x (a  x) a 2  x 2



ax dx dx  a 2  x 2  2a 2  ax (a  x) a 2  x 2



x  a sen θ dx  a cos θ dθ

a x



2a  x ax

ax a cos θ dx  a 2  x 2  2a 2  dθ ax (a  a sen θ) a 2  a 2 sen 2 θ



2a  x ax

ax cos θ dx  a 2  x 2  2a  dθ ax (1  sen θ) 1  sen 2 θ

 a2  x2

 

2a  x ax

1  sen θ 1  sen 2 θ

dθ

ax 2ax 2a 2 dx  a 2  x 2   C ax a2  x2 a2  x2 2a (a  x) ax dx  a 2  x 2   C  a 2  x 2  2a 2 2 ax a x

x2  x x 1  x 2 1

x2  x x 1  x 2 1 x2  x x 1  x 2 1 x2  x x 1  x 2 1 x2  x x 1  x 1 2

x2  x x 1  x 2 1

Hacemos :

 a 2  x 2  2a 

ax C ax

dx

dx  

(x 2  x) ( x  1  x 2  1) ( x  1  x 2  1) ( x  1  x 2  1)

dx  

(x 2  x) ( x  1  x 2  1)

dx  

(x 2  x) ( x  1  x 2  1)

x 1 x 2 1

dx   

x  x2

dx

dx

(x 2  x) ( x  1  x 2  1) x2  x

dx    ( x  1  x 2  1) dx

dx    x  1 dx   x 2  1 dx  

x  tg θ dx  sec 2 θ dθ

x 2 1

x

 1

dx

2 (x  1) 3/2   x 2  1 dx 3

163





x x 2

x 1  x 2 1

x x 2

x 1  x 1 2

dx  

dx  

2 (x  1) 3/2   tg 2 θ  1 sec 2 θ dθ 3



2 (x  1) 3/2   sec 3 θ dθ 3



x 2 1 x 1  3x 2  x 4 x 2 1 x 1  3x 2  x 4

dx  Ln

x 2 1 1  3x 2  x 4  C x x2

dx  Ln

x 2  1  1  3x 2  x 4 C x

I1

I1   sec 3θ dθ 1 1 Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 2 x x 2 1 1 dx   (x  1) 3/2  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C 2 3 2 2 x 1  x 1

I1 

  34.

  

x x 2

x 1  x 1 2

dx  

x 1 x 1  3x 2  x 4 x 1 2

x 1  3x 2  x 4 x 2 1 x 1  3x 2  x 4

u

dx ( x 1)

x 1 2

x 1  3x 2  x 4

3

1  3x  3x 2  x 3  x 3 dx

( x  1 ) 3 (x  1) 3  x 3

u



du  x 1 2

dx   x

1  3x 2  x 4

2

x

2

x 1 x

2

1 x 2 2 ( ) 1 x

dx

1 (x  ) 2  1 x

1 x

x 2 1 2

dx  

dx

I

du 3

1 u

3



dx

x 3 ( x 1)2 3 1 ( ) x 1

x x 1 dx ( x 1)2

2

dx  

x2 x 2 1

dx  

x



I

3

( x  1 ) 1  3x  3x 2

dx

x

du 

x 2 1

I

dx

Hacemos :

2

Hacemos :



2 1 1 (x  1) 3/2  Ln x  x 2  1  x x 2  1  C 3 2 2

35. I  

  (1  u 3 ) 1/3 du 1 3

m  0, n  3, p  



1  u 3  z 3 u 3  m 1   p  0  Z  u  3  1  z 3 n  du   u 4 z 2 dz  

I    (z 3 u 3 ) 1/3 . u 4 z 2 dz    z 1u 1 . u 4 z 2 dz I    u 3 z dz   

dx

du u 2 1

 Ln u  u 2  1  C

1 1 dx  Ln x   (x  ) 2  1  C 2 4 x x x 1  3x  x

z (z  1) (z  z  1) 2

z z 1



3

dz   

z (z  1) (z 2  z  1)

B(2z  1)  C A  z 1 z 2  z 1

z  A(z 2  z  1)  B(2z  1)(z  1)  C(z  1) z  (A  2B)z 2  (A  B  C)z  (A  B  C)

dz

164

A  2B  0    A  B  C  1 A   1/3, B  1/6, C  1/2 ABC  0  

Hacemos :

du 

1/3 1/6 (2z  1)  1/2  ) dz z 1 z 2  z 1 1 dz 1 2z  1 1 dz I    dz   2 2 3 z 1 6 z  z 1 2 z  z 1 1 1 1 dz I  Ln z  1  Ln z 2  z  1   1 3 3 6 2 (z  ) 2  2 4 1 1 1 2z  1 I  Ln z  1  Ln z 2  z  1  arc tg ( )C 3 6 3 3 I   (

I

1 Ln 3

3

3

1 u 3 1  1  Ln u 6

(1  u 3 ) 2 u2



3

1 u 3 1 2 1  arc tg ( u 3

  37. 3

1 u 3  u 3u

)C

x 3 x 2 3 1 ( )  1 x 1 x 1  arc tg [ ] C x 3 3( ) x 1 3 (1  3x  3x 2 ) 2/3 3 1  3x  3x 2 1 x  1  3x  3x 2 1 I  Ln  Ln  1 3 x 6 x x2



1

arc tg (

2

3

36.

 

x a3  x3 x a3  x3

1  3x  3x  x 2

)C

3x

a 3/2 3 x

x a3  x3

dx 

2 x 3/2 arc sen ( )C 3 a 3/2

 sec x sec 2x dx dx

cos x

cos x

 sec x sec 2x dx   cos x cos 2x   cos 2 x cos 2x dx   (1  sen 2 x) (1  2sen 2 x) dx u  sen x du  cos x dx du

2

 sec x sec 2x dx   (1  u 2 ) (1  2u 2 )   ( 1  2u 2



1 1 u 2 du

2

 sec x sec 2x dx 

1

 sec x sec 2x dx 

1

Ln

2

2

Ln

1  2u 1  2u



u

1 1 u Ln C 2 1 u

1  2 sen x 1  2 sen x



1 1  sen x Ln C 2 1  sen x

38. I   x 2  x  2  2 x 3  x 2  x  1 dx

Sabemos que:

x a 3/2 1  (

x 3/2 2 ) a 3/2

dx

) du

du du du  sec x sec 2x dx  2  1  2u 2   1  u 2   1 2   1  u 2

I   (x  1)  (x 2  1)  2 (x  1) (x 2  1) dx

dx dx  

x 3/2

dx 2a 3/2 x 2 3 x 2 du 2 dx   dx    arc sen u  C 3 3 3 a3  x3 x 3/2 2 1 u 2 2a 3/2 1  ( ) a 3/2

Hacemos : x 3 x 3 2 3 x 3 3 1 ( 3 [1  ( ) ) ] 1 ( ) 1 1 x 1 x 1 x 1 I  Ln  1  Ln  1 x x 2 x 3 6 ( ) x 1 x 1 x 1

3

u 

A  B  2 AB  A  B

I   ( x  1  x 2  1 ) dx   x  1 dx   x 2  1 dx

I

2 (x  1) 3/2   x 2  1 dx 3

165

Hacemos :

x  tg θ



x 2 1

x



dx  sec θ dθ 2



1

I

2 2 (x  1) 3/2   tg 2 θ  1 sec 2 θ dθ  (x  1) 3/2   sec 3θ dθ 3 3



I1

I1   sec θ dθ 3

1 1 Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C1 (Idem Prob. 5 - Int. por partes) 2 2 2 1 1 I  (x  1) 3/2  Ln sec θ  tg θ  sec θ tg θ  C 3 2 2 2 1 1 I  (x  1) 3/2  Ln x  x 2  1  x x 2  1  C 3 2 2

I1 

39.



4x dx 2x



4x 4x 4x 4x 4x dx   dx   dx   dx 2 2x 2 x 4x 8  2x  x 9  (1  x) 2

Hacemos :

40.

u 1  x du   dx

4x 3 u du 1 2u dx    du  3    du 2 2 2x 2 9u 9u 9u2



4x u 1 x dx  3 arc cos ( )  9  u 2  C  3 arc cos ( )  9  (1  x) 2  C 2x 3 3



4x 1 x dx  3 arc cos ( )  8  2x  x 2  C 2x 3

ex (1  e x ) e x  1

Hacemos :

dx

u 2  e x 1 2u du  e x dx



(1  e ) e  1 x

x

ex (1  e x ) e x  1 ex (1  e x ) e x  1

dx  

2u (1  u  1) u 2

2

du  2 

dx  2 arc tg (

u

dx  2 arc tg

e x 1 C 2

2

u (u  2) u 2

)  C  2 arc tg (

du  2 

e x 1

du u 2 2

)C

2

sec x sec 2x dx arc sen (tg x)

Hacemos :

u  arc sen (tg x) du  sec x sec 2x dx

 42.





41.

ex



sec x sec 2x du dx   arc sen (tg x) u

 Ln u  C  Ln arc sen (tg x)  C

1  cos x dx , 0  a  x   cos a  cos x



1  cos x 1  cos x dx   dx   cos a  cos x cos a  cos x



1  cos x dx   cos a  cos x

Hacemos :

x 2 sen 2 ( ) 2

dx a 2 x 2 cos ( )  1  2 cos ( )  1 2 2 x x sen ( ) sen ( ) 2 2 dx   dx a x x 2 2 cos ( )  cos ( ) cos ( ) a 2 2 2 ]2 cos ( ) 1  [ a 2 cos ( ) 2

x cos ( ) 2 u  a cos ( ) 2 x sen ( ) 2 dx du   a 2 cos ( ) 2

2

166

43.

x  sen ( ) 2



1  cos x dx  2  cos a  cos x



1  cos x dx  2 arc sen u  C  2 arc sen [ cos a  cos x

3

e 2x

x cos ( ) a 2 ]2 2 cos ( ) 1  [ a 2 cos ( ) 2

dx  2 

1  (A  B  D)u 3  (3A  5B  C  2D)u 2  (8B  D)u  (4A  4B  C  2D)

du

ABD  0

  3A  5B  C  2D  0  A  1/2, B  1/18, C  1/3, D  4/9  8B  D  0  4A  4B  C  2D  1  1/2 1/18 1/3 4/9 I   [    ] du 1  u 1  u (2  u) 2 2  u

1 u 2

x cos ( ) 2 ] C a cos ( ) 2

1 du 1 du 1 du 4 du    2  1  u 18  1  u 3  (2  u) 2 9  2  u 1 1 1 4 I  Ln 1  u  Ln 1  u   Ln 2  u  C 2 18 3 (2  u) 9 1 I  Ln (1  u)1/2  Ln (1  u) 1/18  Ln (2  u)  4/9  C 6  3u 1 I  Ln (1  u)1/2 (1  u) 1/18 (2  u)  4/9  C 6  3u 1 I  Ln (1  sen x)1/2 (1  sen x) 1/18 (2  sen x)  4/9  C 6  3 sen x I

dx

1 e x

u 3 1  e x

Hacemos :

 e x  u 3 1

3u 2 du  e x dx

3 3

e 2x 1 e x e 2x 1 e x

44. I  

dx   dx 

ex ex 3

1 e x

dx  3 

(u 3  1) u 2 3 3 du  3  (u 4  u) du  u 5  u 2  C u 5 2

3 3 3 (1  e x ) 5/3  (1  e x ) 2/3  C  (2e x  3) (1  e x ) 2/3  C 5 2 10 dx

45.

tg x

 (sec 999 x  1) 2 dx u  sec 999 x

Hacemos :

( cos x  4 sen x  5 ) cos x 2

dx

I

du  999 sec 998 x sec x tg x dx dx

  ( 1  sen 2 x  4 sen x  5 ) cos x ( sen 2 x  4 sen x  4 ) cos x dx cos x cos x I     2 dx    dx 2 2 2 cos x (2  sen x) cos x (2  sen x) (1  sen x) (2  sen x) 2 Hacemos : u  sen x du  cos x dx du du I     2 2 (1  u ) (2  u ) (1  u ) (1  u ) (2  u ) 2 1 (1  u) (1  u) (2  u)

2



A B C D    1  u 1  u (2  u) 2 2  u

1  A(1  u)(2  u) 2  B(1  u)(2  u) 2  C(1  u)(1  u)  D(1  u)(1  u)(2  u)

tg x

 (sec 999 x  1) 2 1 u (u  1)

2



dx 

999 sec 998 x sec x tg x 1 1 du dx    999 999 2 999 sec x (sec x  1) 999 u (u  1) 2

A B C   2 u (u  1) u 1

1  A(u  1) 2  B(u)  C(u)(u  1) 1  (A  C)u 2  (2A  B  C)u  A AC 0   2A  B  C  0 A  1, B  1, C  1  A 1 

167

1 1 1 1  (sec 999 x  1) 2 dx  999  [ u  (u  1) 2  u  1 ] du tg x 1 du 1 du 1 du  (sec 999 x  1) 2 dx  999  u  999  (u  1) 2  999  u  1

1  A(2x  a )(x 2  ax  a 2 )  B(x 2  ax  a 2 )  C(2x  a )(x 2  ax  a 2 )

tg x

 D(x 2  ax  a 2 ) 1  (2A  2C)x 3  (a A  B  a C  D)x 2  (a 2 A  a B  a 2 C  a D)x

tg x

1 1 1  (sec 999 x  1) 2 dx  999 Ln u  999 (u  1)  999 Ln u  1  C tg x 1 1 1 999 999  (sec 999 x  1) 2 dx  999 Ln sec x  999 (sec 999 x  1)  999 Ln sec x  1  C tg x

 (sec 999 x  1) 2 dx  Ln 46.

sec x 

1 1 Ln sec 999 x  1  C 999 999 (sec 999 x  1)

2  sen x dx

 cos x

2  sen x

Hacemos :



cos x 2  sen x

cos 2 x

cos x

dx  

(1  sen 2 x)

2  sen x



2u

I

du  2 

1  (u 2  2) 2 dx 1/2 1/2  cos x 2  sen x  2  (3  u 2 ) (u 2  1)  2  ( 3  u 2  u 2  1 ) du

 cos x  cos x

dx

47. I   I

2  sen x 2  sen x

 

[ 1  (u 2  2) 2 ] u du

I

du

du 3 u2 1

du u 2 1

3

Ln

3

2 3



1

Ln

2 3

2  sen x

3u 3 u

1  Ln 2 2  sen x



I

1 u 1 Ln C 2 u 1

2  sen x  1 2  sen x  1

C

I

3

2 2

1

2

2

2

(x  ax  a ) (x  ax  a ) 2

2

2



4a 3 1

4a 3 1 4a 3 1 4a 3

1 4a

A(2x  a )  B x  ax  a 2

2



C(2x  a )  D x 2  ax  a 2

 4a

(2x  a) 

3

1 4a 2 ] dx

x 2  ax  a 2

2x  a

1

Ln x 2  ax  a 2 

Ln

Ln

Ln

x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2

u 

4

(x  ax  a ) (x  ax  a ) 2

1 2

2x 2  2a 2

1

dx  dx  dx    4a 3 x 2  ax  a 2 4a 3 x 2  ax  a 2 4a 2 x 4  a 2 x 2  a 4

Hacemos :

I

1

2x  a

1

du 

x a x x dx 4

(2x  a) 

4a 4a 2 2 x  ax  a

dx

1 2



1



dx

2

2  sen x

dx

  a ABa CD  0 1 1 1 1   A 3 , B 2 , C 3 , D 2 a 2A  a B  a 2C  a D  0  4a 4a 4a 4a  3 2 3 2  a A  a B  a C  a D  1

I

 2  sen x  u  2  sen x 2u du  cos x dx u

2

dx

 cos x

2A  2C  0

I  [

dx

 cos x

 (a 3 A  a 2 B  a 3 C  a 2 D)

3

Ln

 

4a 3

Ln x 2  ax  a 2 

2a 2 2a 2 1 2a 2

 x 4  a 2 x 2  a 4 dx  3a 2 x 2  (a 2  x 2 ) 2 dx 

3a 2 (

1 x a2  x2

x a  x2 (a 2  x 2 ) 2

x  ax  a

2



dx

1 2a

2a 2

x2 a2

 x 4  a 2 x 2  a 4 dx

x2 a2

1

x2 a2

1

x2 a2

1

2

x 2  ax  a 2 2



1

du

2

 3a 2 u 2  1

.

x2 a2

2 2 2 ) 2  1 (a  x )

dx

168

I

1 4a 3 1

I

4a

3

1

I

4a

x  ax  a 2

3

Ln

2

x 2  ax  a 2 x 2  ax  a 2

Ln

x  ax  a 2

2

x 2  ax  a 2

Ln

x  ax  a 2

2



1 6a 4



du u 

1

 2a

3

2a

3

 tgh (Ln x) dx   e Ln x  e Ln x dx  

1 3a 2

3

a 3x a2  x2

)C

51.

48. Determinar un polinomio cuadrático P(x) tal que P(0)  1, P' (0)  0 de modo P(x)

Sea P(x)  ax 2  bx  c P' (x)  2ax  b P(0)  a (0) 2  b (0)  c  1  c  1 P' (0)  2a (0)  b  0  b0 Si

ax 2  bx  c x 3 (1  x) 2

es una función racional por el teorema del resto para x  1

a (1) 2  b (1)  c  0

52.

17

2

Hacemos :

u  Ln x

53.

50.

17

x

17

dx   ( 1 

2 x 2 1

) dx

1  cos x dx  

1  cos x 1  cos x

dx  

1  cos 2 x

dx  

sen x 1  cos x

dx

ea

 1  x 2 da

 senh

da 

1

ea 1 x 2

C

x ( ) dx a

x u  senh 1 ( ) dv  dx a dx du  v x x2 a2 x 1 2x 1 x 1 x 1 x  senh ( a ) dx  x senh ( a )   2 2 dx  x senh ( a )  2  2 2 dx x a x a x x 1 1 2 2  senh ( a ) dx  x senh ( a )  x  a  C

dv  x 17 dx

dx 1 v  x 18 x 18 1 1 1 1 18 Ln (x 2 ) dx  2 ( x 18 Ln x   x 17 dx )  2 ( x 18 Ln x  x )C 18 18 18 324 1 1 1 1 Ln (x 2 ) dx  2x 18 ( Ln x  )  C  x 18 ( Ln x  )C 18 324 9 162

 tgh (Ln x) dx



Hacemos :

du 

x

1  cos x dx

 1 x 2

 P(x)   x  1

 x Ln (x ) dx 17 2 17  x Ln (x ) dx  2  x Ln x dx



ea

 a  1

2

49.

x 1 2

1  cos x 1  cos x  sen x  1  cos x dx   1  cos x dx Hacemos : u  1  cos x du   sen x dx du  1  cos x dx   u  2 u  C  2 1  cos x  C

 x 3 (1  x) 2 dx es una función racional

que

x 2 1

dx

3 arc tg (

1 x dx   1 x x x

 tgh (Ln x) dx   dx  2  x 2  1  x  2 arc tg x  C

arc tg ( a 3 u )  C

1



2

e Ln x  e  Ln x

54.

 tgh

1

x ( ) dx a

169

x Hacemos : u  tgh 1 ( ) dv  dx a a du  dx v x 2 a  x2 x a 2x 1 x 1 x 1 x  tgh ( a ) dx  x tgh ( a )  a  a 2  x 2 dx  x tgh ( a )  2  a 2  x 2 dx a 1 x 1 x 2 2  tgh ( a ) dx  x tgh ( a )  2 Ln a  x  C

55.

x e ax

 (1  ax) 2

u  xe

xe

ax

xe

ax

1

 (1  ax) 2 dx   a (1  ax)  a  e  (1  ax) 2 dx  56.

x

2

(1  ax ) 2 1 v  a (1  ax )

 ax e

ax

e

ax

ax

 ax e

a 2 (1  ax)

u1

x a

 arc cos ( )

du 1  

dx   ax

ax

xe 1 ax  e C a (1  ax) a 2

C 

e

ax

a 2 (1  ax)

C

dx a2  x2

dv1

 x 2 dx

v1

 x3

1 3

x 1 x 1 x3 arc cos ( ) dx  x 3 arc cos ( )   dx a 3 a 3 a2  x2 x Hacemos : u 2  x2 dv 2  dx a2  x2

x

2

du 2

x

2

2

x

2

x

2

x arc tg ( ) dx a

 2x dx

v2

x u  arc tg ( ) a a du  dx a2  x2

dv  x 2 dx v

1 3

 x3

x 1 3 x a x3 2 x arc tg ( ) dx  x arc tg ( )  dx  a 3 a 3  a2  x2

x arc cos ( ) dx a

Hacemos :

x

x 1 x 1 2 arc cos ( ) dx  x 3 arc cos ( )  x 2 a 2  x 2  (a 2  x 2 ) 3/2  C a 3 a 3 9 x 1 3 x 1 2 2 arc cos ( ) dx  x arc cos ( )  [ 3x  2 (a  x 2 ) ] a 2  x 2  C a 3 a 9 x 1 x 1 arc cos ( ) dx  x 3 arc cos ( )  ( x 2  2a 2 ) a 2  x 2  C a 3 a 9

dx

dv 

ax

du  (1  ax) e ax dx

xe

2

Hacemos :

dx

Hacemos :

ax

57.

x

  a2  x2

x 1 x 1 1 arc cos ( ) dx  x 3 arc cos ( )  x 2 a 2  x 2   2x a 2  x 2 dx a 3 a 3 3

x 1 3 x a a 2x 2 x arc tg ( ) dx  x arc tg ( )  ( x  ) dx  a 3 a 3 a2  x2 x 1 3 x a a3 2 x arc tg ( ) dx  x arc tg ( )  x dx   a 3 a 3 3 x 1 3 x a 2 a3 2 x arc tg ( ) dx  x arc tg ( ) x   a 3 a 6 6

x

 a 2  x 2 dx 2x

 a 2  x 2 dx

x 1 3 x a 2 a3 2 x arc tg ( ) dx  x arc tg ( ) x  Ln ( a 2  x 2 )  C  a 3 a 6 6

x arc ctg ( ) a dx 58.  2 x Hacemos :

x u  arc ctg ( ) a a du   dx a2  x2

dv 

dx

x2 1 v  x

x arc ctg ( ) 1 x dx a  x 2 dx   x arc ctg ( a )  a  x (a 2  x 2 )

170

A B(2x )  C   2 2 2 2 x (a  x ) x a x 1

1  A(a 2  x 2 )  Bx (2x)  Cx 1  (A  2B)x 2  Cx  a 2 A A  2B  0  1 1 C0  A 2 , B 2 , C0 a 2a  a 2A  1  1 1 x  (2x) arc ctg ( ) 2 1 x a dx   arc ctg ( )  a [ a  2a 2  x2  x a 2  x 2 ] dx x a x arc ctg ( ) 1 x 1 dx 1 2x a  x 2 dx   x arc ctg ( a )  a  x  2a  a 2  x 2 dx x arc ctg ( ) 1 x 1 1 a 2 2  x 2 dx   x arc ctg ( a )  a Ln x  2a Ln (a  x )  C x arc ctg ( ) 1 x 1 1 a 2 2 2  x 2 dx   x arc ctg ( a )  2a Ln (x )  2a Ln (a  x )  C x arc ctg ( ) 1 x 1 a2  x2 a  x 2 dx   x arc ctg ( a )  2a Ln ( x 2 )  C 59.

 ctgh

1

x ( ) dx a

x u  ctgh 1 ( ) dv  dx a a du  dx v x 2 a  x2 x a 2x 1 x 1 x 1 x  ctgh ( a ) dx  x ctgh ( a )  a  a 2  x 2 dx  x ctgh ( a )  2  x 2  a 2 dx a 1 x 1 x 2 2  ctgh ( a ) dx  x ctgh ( a )  2 Ln x  a  C Hacemos :

x arc cos ( ) a dx 60.  x2 Hacemos :

x u  arc cos ( ) a dx du   2 a  x2

dv 

dx

x2 1 v  x

x arc cos ( ) 1 x dx a  x 2 dx   x arc cos ( a )   x a2  x2

Hacemos :

x  a sen θ dx  a cos θ dθ

a x

 a  x2 2

x arc cos ( ) 1 x a cos θ a dθ  x 2 dx   x arc cos ( a )   a sen θ a 2  a 2 sen 2 θ x arc cos ( ) 1 x 1 cos θ a dθ  x 2 dx   x arc cos ( a )  a  sen θ 1  sen 2 θ x arc cos ( ) 1 x 1 cos θ 1 x 1 dθ a  x 2 dx   x arc cos ( a )  a  sen θ cos θ dθ   x arc cos ( a )  a  sen θ x arc cos ( ) 1 x 1 a  x 2 dx   x arc cos ( a )  a  csc θ dθ x arc cos ( ) 1 x 1 a  x 2 dx   x arc cos ( a )  a Ln csc θ  ctg θ  C x arc cos ( ) 2 2 a dx   1 arc cos ( x )  1 Ln a  a  x  C  x2 x a a x x x arc cos ( ) 1 x 1 a  a2  x2 a C  x 2 dx   x arc cos ( a )  a Ln x

171

61.

( x

u  x  x 2 1  dx 

u 2 1 2u 2

x 2  1 )10 dx 

2 10  ( x  x  1 ) dx 

x

u 1 2u

I

du du 

cos x  sen x 62.  dx 5  sen 2x cos x  sen x cos x  sen x cos x  sen x  5  sen 2x dx   4  1  2 sen x cos x dx   4  sen 2 x  cos 2 x  2 sen x cos x dx cos x  sen x cos x  sen x  5  sen 2x dx   4  ( sen x  cos x ) 2 dx

Hacemos :



u  sen x  cos x du  ( cos x  sen x) dx

cos x  sen x du dx   5  sen 2x 4 u2

63. I  

I

1 2

u 2



1 2

 arc tg ( )  C  arc tg (

sen x  cos x )C 2

I

sec 2 θ

1 3

cos 1

3

1

I

3

.

.

cos a

 sech

5

1

dθ

1

u u  cos a 2

2

C 

1

x cos a  sen a

.

3

( x cos a  sen a ) 2  cos 2 a

cos a

x cos a  sen a x 2 cos 2 a  x sen 2a  1

C

x dx

Hacemos :

u  sech 3 x

dv  sech 2 x dx

du   3 sech 3 x tgh x dx

v  tgh x

 sech x dx  sech x tgh x  3  sech x tgh x dx 5 3 3 2  sech x dx  sech x tgh x  3  sech x (1  sech x) dx 5 3 3 5  sech x dx  sech x tgh x  3  sech x dx  3  sech x dx 4  sech 5 x dx  sech 3 x tgh x  3  sech 3 x dx 5

 sech

5

3

x dx 

3

2

1 3 sech 3 x tgh x   sech 3 x dx 4 4

dx

I1

(x cos a  x sen 2a  1) 3/2 2

1

dθ      cos θ dθ  cos 3 a sen θ  C a sec 3 θ cos 3 a sec θ cos 3 a

cos a

64.

cos a

1 cos a sec 2 θ 1 sec 2 θ dθ  dθ   cos a ( cos 2 a tg 2 θ  cos 2 a ) 3/2 cos 3 a ( tg 2 θ  1 ) 3/2

I

u 10 ( u 2  1)

u 2  cos 2 a

u

du  cos a sec 2 θ dθ

2

1 ( u 10  u 8 ) du 2 2 2u 1 1 11 1 9 1 11 1 9 [ u  u ] C  u  u C 2 11 9 22 18 1 1 ( x  x 2  1 )11  ( x  x 2  1 ) 9  C 22 18

2 10  ( x  x  1 ) dx  

( x

1 cos a  ( u 2  cos 2 a ) 3/2 Hacemos : u  cos a tg θ

I

x 2  1 )10 dx

Hacemos :

u  x cos a  sen a du  cos a dx du

Hacemos :

x arc cos ( ) 2 2 a dx   1 arc cos ( x )  1 Ln a  a  x  C  x2 x a a x

2

dx

( x 2 cos 2 a  2x sen a cos a  sen 2 a  cos 2 a ) 3/2 dx 1 cos a I  dx  2 2 3/2 cos a [ ( x cos a  sen a ) 2  cos 2 a ]3/2 [ ( x cos a  sen a )  cos a ]

I1   sech x dx 3

Hacemos :

u  sech x du   sech x tgh x dx

I1  sech x tgh x   sech x tgh 2 x dx I1  sech x tgh x   sech x (1  sech 2 x) dx

dv  sech 2 x dx v  tgh x

C

172

I1

 sech x tgh x   sech x dx   sech x dx

I1

 sech x tgh x   sech x dx  I1

3

20

 sech x tgh x   sech x dx

 ( tg x  sec x )

20

sec 2 x dx 

1

1

 ( tg x  sec x )

20

sec 2 x dx 

 [ sech x tgh x   1  tgh 2 x dx ]

 ( tg x  sec x )

20

sec 2 x dx 

 ( tg x  sec x )

20

sec 2 x dx 

2 I1 I1

 sech x tgh x   sech x dx 2 2

1 2 Hacemos : I1

 sen θ sech x dx  cos θ dθ (1  tgh 2 x) dx  cos θ dθ tghx 2

dx 

cos θ

1  tgh x dx  sec θ dθ 2

dθ 

cos θ 1  sen θ 2

66. dθ

65.

 [ sech x tgh x   1  sen 2 θ sec θ dθ ]  [ sech x tgh x   cos θ sec θ dθ ]

 ( tg x  sec x )

20

sec 2 x dx

 ( tg x  sec x )

20

sec 2 x dx   ( tg x  tg 2 x  1 ) 20 sec 2 x dx

Hacemos :

4

 tg x du  sec 2 x dx 20

2

z  u  u 2 1  u  du 

z 2 1 2z

2

dz

(x  1) 3 (x  2) 5

u  x 1  du  dx

dx (x  1) (x  2) 3

5



x  u 1

du 4

u (u  1  2) 3

5



du 4

u (u  3) 3

5

  u 3/4 (u  3) 5/4 du

dx

4

4

4 1

4

1

   z 2 dz  z 1  C  .  C  . C 3 5 3 3 3 z 3 u 3 (x  1) (x  2) 4 u

sec x dx   ( u  u  1 ) 2

dz 

 4 u  3  z u  3 5 m 1 m   , n  1, p     p  1  Z  1  3u 1  z 4 4 4 n  4 du   u 2 z 3 dz 3  dx 4 4    u 3/4 (z 4 u) 5/4 . u 2 z 3 dz    u 3/4 z 5 u 5/4 . u 2 z 3 dz 4 3 5 3 3 (x  1) (x  2)

u

 ( tg x  sec x ) Hacemos :

4

2

dx

Hacemos :

1 1 2 2 1 1 I1  [ sech x tgh x   dθ ]  [ sech x tgh x  θ ]  C 2 2 1 I1  [ sech x tgh x  arc sen ( tgh x ) ]  C 2 1 3 5 3  sech x dx  4 sech x tgh x  8 [ sech x tgh x  arc sen ( tgh x ) ]  C I1

4

z 20 ( z 2  1 )

1 ( z 20  z18 ) dz  2 2z 1 1 21 1 19 1 21 1 19 ( z  z )C  z  z C 2 21 19 42 38 1 1 ( u  u 2  1 ) 21  ( u  u 2  1 )19  C 42 38 1 1 ( tg x  tg 2 x  1 ) 21  ( tg x  tg 2 x  1 )19  C 42 38 1 1 ( tg x  sec x ) 21  ( tg x  sec x )19  C 42 38

sec 2 x dx  

 ( tg x  sec x )

20

du

4

z 2 1 2z

67.



dx (x  1) (x  2) 3

5

cos 2x  3 cos 4 x 4  ctg 2 x



44 u 4 x 1 C  4 C 3 u3 3 x2

dx

173



 

cos 2x  3 cos 4 x 4  ctg 2 x cos 2x  3 cos x 4  ctg x 4

2

cos 2x  3

dx  

1  2 sen x  3 2

cos 4 x 4 

 2 sen x  2 2

dx  

1

cos 4 x

tg 2 x

dx  2 

tg x ( tg 2 x  sec 2 x ) sec 2 x

dx  2 

tg x ( 2 tg 2 x  1 ) sec 2 x

cos 4 x 4  ctg 2 x Hacemos : z  tg x

4 tg x  1 2

4 tg 2 x  1

4 tg 2 x  1



cos 4 x 4  ctg 2 x

dx  2 

u  2z  1 du  4z dz

dx

dx

z ( 2z 2  1 ) 4z 2  1 dv  v

z 4z 2  1

1 4z 2  1 4

1 1 dx   (2z 2  1) 4z 2  1   8z 4z 2  1 dz  4 2 4 cos x 4  ctg 2 x



cos 4 x 4  ctg 2 x cos 2x  3 cos 4 x 4  ctg 2 x



dz

cos 2x  3







1 dx   (2z 2  1) 4z 2  1  2  z 4z 2  1 dz  4 2 2 cos x 4  ctg x

dx  

68.

1 1 (2z 2  1) 4z 2  1  (4z 2  1) 3/2  C 2 6

dx  z [ 

1 1 1 (2z 2  1)  (4z 2  1) ] 4  C 2 6 z2

cos 2x  3

 6z 2  3  4z 2  1 1 dx  z ( ) 4 C  4 2 6 z2 cos x 4  ctg x

     

cos 2x  3

1 1 dx   z ( 2  z 2 ) 4  C  4 2 3 z2 cos x 4  ctg x cos 2x  3

(1  x 2 ) 5 x6 (1  x 2 ) 5 x

6

dx dx   x 6 (1  x 2 ) 5/2 dx 5 2



dz

cos 2x  3

cos 2x  3

1 dx   tg x ( 2  tg 2 x ) 4  ctg 2 x  C 3 cos 4 x 4  ctg 2 x

m   6, n  2, p 

2

Hacemos :

cos 2x  3

tg 2 x

dz  sec 2 x dx

cos 2x  3



dx

1 1 dx   tg x ( 2  tg 2 x ) 4  C  4 3 tg 2 x cos x 4  ctg 2 x



(1  x 2 ) 5 x6 (1  x 2 ) 5 x

6

(1  x 2 ) 5 x

6

(1  x 2 ) 5 x

6

(1  x 2 ) 5 x

6

(1  x 2 ) 5 x

6

(1  x 2 ) 5 x

6

(1  x )

2 5

x

6

1  x 2  z 2 x 2  m 1   p  0  Z  x  2  1  z 2 n  3 dx   x z dz 

dx    x 6 (z 2 x 2 ) 5/2 . x3 z dz    x 6 . z 5 x 5 . x3 z dz    x 2 z 6 dz dx   

z6 z 1 2

dz    ( z 4  z 2  1 

1 z 1 2

) dz

1 1 dz dx   z 5  z 3  z   2 5 3 z 1 1 1 1/2  1/2 dx   z 5  z 3  z   (  ) dz 5 3 z 1 z 1 1 1 1 dz 1 dz dx   z 5  z 3  z    5 3 2 z 1 2  z 1 1 1 1 1 dx   z 5  z 3  z  Ln z  1  Ln z  1  C 5 3 2 2 dx 

dx 

1 z 1 1 5 1 3 Ln  z  z zC 2 z 1 5 3 1 Ln 2

1 x 2 1 (1  x 2 ) 5 (1  x 2 ) 3 1 x 2 x    C x 5x 5 3x 3 1 x 2 1 x

174

 

(1  x )

2 5

x6 (1  x 2 ) 5 x6

dx 

1 Ln 2

1 x  x 2

1 x 2  x

dx  Ln x  1  x

2



(1  x )

2 5



5x 5

(1  x 2 ) 5 5x 5



(1  x )

2 3



3x 3

(1  x 2 ) 3 3x 3



1 x x

2

C

71.

1 x 2  C x



3



3

sen 2 x cos 14 x sen 2 x cos 14 x

dx dx  

sen 2/3 x cos 14/3 x

sen 2 x

69.

  

3

sen (2x ) sen 5 x 3

sen (2x) 5

sen x sen 3 (2x) 5

sen x Hacemos :



 3 cos 14 x dx   tg

dx

sen 2 x

dx  

3

3

8 sen x cos x 5

sen x

dx  2 2 

sen

3/2

x cos

3/2

5

x

 3 cos 14 x dx   ( tg

dx

Hacemos :

sen x

dx  2 2  ctg 3/2 x csc 2 x dx  2 2   ctg 3/2 x csc 2 x dx

sen (2x) 5

sen x

sen 2 x

dx  2 2  u 3/2 du  

4 2 5/2 4 2 u C   5 5

 

1 x8

ctg 5 x  C

x 13 1 x8 x 13

dx dx   x 13 (1  x 8 )1/2 dx

1 m   13, n  8, p  2

 

1 x8 x

13

1 x8 x 13



 8 2 8 1  x  z x  m 1  p   1  Z  x 8  1  z 2 n  1 dx   x 9 z dz 4 

dx  

1 1 x 13 (z 2 x 8 )1/2 . x9 z dz    x 13 . z x 4 . x9 z dz  4 4

dx  

(1  x 8 ) 3/2 1 2 1 z dz   z 3  C   C  4 12 12x 12

dx   tg 2/3 x sec 4 x dx

x sec 2 x sec 2 x dx   tg 2/3 x ( tg 2 x  1 ) sec 2 x dx

8/3

x  tg 2/3 x ) sec 2 x dx

8/3

 u 2/3 ) du 

3 11/3 3 5/3 3 5/3 u  u C  u ( 5u 2  11 )  C 11 5 55

3 3 5 tg x ( 5 tg 2 x  11 )  C

 3 cos 14 x dx  55 72.

70.

cos 4 x

 tg x du  sec 2 x dx

sen 2 x

 ctg x du   csc 2 x dx

tg 2/3 x

u

 3 cos 14 x dx   ( u

u

3

2/3

dx  

 cos 3 x

 cos 3 x

dx

sen 2x dx sen 2x

 cos 3 x

dx

 cos 3 x

dx

 cos 3 x



1



1



1



1

dx

  2 sen 1/2 x cos 7/2 x 2

2 sen 2x Hacemos : u  tg x



sec 2 x sec 2 x tg1/2 x

 ( tg

3/2

dx 

dx

2

cos x 2 sen x cos x



sen 2x

sen 2x dx

dx 3

 cos 3 x sen 1/2 x cos 1/2 x

1

dx

  2 tg1/2 x cos 4 x

1 2



( tg 2 x  1 ) sec 2 x tg1/2 x

1

dx

x  tg 1/2 x ) sec 2 x dx

du  sec 2 x dx dx 1 2 5/2 2 1/2 3/2 1/2  cos 3 x sen 2x  2  ( u  u ) du  5 2 u  2 u  C

 cos 3 x

dx sen 2x



sec 4 x

dx  2 tg1/2 x

2 2 ( u 2  5 ) u 1/2  C  ( tg 2 x  5 ) tg x  C 5 5

175

73.

1  sen 2 x

 2 cos 2 x

I1  2 x  1  Ln

dx

sen x

1  sen x 2

 2 cos 2 x

sen x

1  sen x 2

 2 cos 2 x

sen x

dx  

sec x  tg x

dx  

2 sec x  1

u

Hacemos :

du  

2

2

2 sen x 2

2 sen x

dx  

dx  

1

sec x  sec x  1 2

2

dx

2 sen x 2

sec x

dx 

sen x

1 dx  2 sen x

dv  sec x dx 2

sen x cos x 3

1  sen 2 x 1  sen x

dx 

sen x

1  sen x 2

 2 cos 2 x

1  sen x

 2 cos 2 x

I





cos x sen x

sen x 1 dx 1 dx     cos x 2 sen x 2 sen x

dx 

sen x C cos x

sen x

x 1  3 x 1 dx x2 3 x 1 x 1 dx   dx x2 x2 I2

x 1 dx x2

Hacemos : x  1  t 2 dx  2t dt I1

2

t

2

t 1 2

dt  2  ( 1 

1 t 1 2

) dt  2t  

dt t 1 2

3

 u3 dx  3u 2 du

I2  3 

u3 u 1 3

 2t  Ln

du  3  ( 1 

1 u 1 3

) du  3u  3 

du u 1 3

du

1  A(u 2  u  1)  B(2u  1)(u  1)  C(u  1)

1 cos x sen x 1 dx dx    2 cos x sen 3 x 2 sen x

dx 

I1

I1

1 cos x tg x 1 dx dx   2  sen 3 x 2 sen x

sen x

sen x 2



sen x

sen x 2

 2 cos 2 x

74. I  

tg x

dx 



(u  1) (u 2  u  1) B(2u  1)  C 1 A   2 (u  1) (u  u  1) u  1 u 2  u 1

2 sen x

 2 cos 2 x

 C1

x 1 1

x 1 dx x2 Hacemos : x  1 I2

I 2  3u  3 

v  tg x

dx

x 1 1

t 1  C1 t 1

1  (A  2B)u 2  (A  B  C)u  (A  B  C) A  2B  0   A  B  C  0 A  1/3, B  1/6, C  1/2 A  B  C  1  1/3 1/6 (2u  1)  1/2 I 2  3u  3  [  ] du u 1 u 2  u 1 du 1 2u  1 3 du I 2  3u     du   2 2 u 1 2 u  u 1 2 u  u 1 1 3 du I 2  3u  Ln u  1  Ln u 2  u  1   1 3 2 2 (u  ) 2  2 4 1 2u  1 I 2  3u  Ln u  1  Ln u 2  u  1  3 arc tg ( )  C2 2 3 3 1 1 2u  1 I 2  3u  Ln u  1  Ln u  1  Ln u 2  u  1  3 arc tg ( )  C2 2 2 2 3 3 1 2u  1 I 2  3u  Ln u  1  Ln u 3  1  3 arc tg ( )  C2 2 2 3 I 2  3 3 x 1 

3 1 2 3 x 1 1 Ln 3 x  1  1  Ln x  2  3 arc tg ( )  C2 2 2 3

176

x 1 1

I  2 x  1  Ln  3 arc tg (

x 1 1

2 x 1 1 3

 3 3 x 1 

3 1 Ln 3 x  1  1  Ln x  2 2 2

I   e senx csc x dx  e senx ( tg x  ctg x )  

I   e senx csc x dx  e senx ( tg x  ctg x )   e senx csc x dx

)C

I  e senx ( tg x  ctg x )  C

3

75.

   

e x (x 2  8) (x  2) 2 e x (x 2  8) (x  2)

2

e x (x 2  8) (x  2)

2

e (x  8) x

2

(x  2)

2

Hacemos :

 

e x (x 2  8) (x  2) 2 e x (x 2  8) (x  2) 2

dx

77.

dx  

e x [ (x  2) 2  4 (x  2)  4 ] (x  2)

dx   e x dx  4  dx  e x  4 

e

2

dx

x 2

1 u x2 dx du   (x  2) 2

dx  4 



x

e dx x2

dv  e x dx v

 ex

ex ( x  2  4 ) ex ( x  2 ) C  C x2 x2

76. I   e senx ( sec 2 x  csc 2 x  csc x ) dx I   e senx csc x dx   e senx ( sec 2 x  csc 2 x ) dx Hacemos :

u  e sen x

dv  ( sec 2 x  csc 2 x ) dx

du  cos x e sen x dx I  e

senx

csc x dx  e

senx

(1  x 2 ) 3/2 1 e senh x ( x 1  x 2  1 )

(1  x 2 ) 3/2 1 e senh x ( x 1  x 2  1 )

(1  x 2 ) 3/2 u du 

4 ex ex 4 ex dx  e  4  dx  4 dx  e x  C x2 x2 (x  2) 2 (x  2) 2 dx 

1 e senh x ( x 1  x 2  1 )

Hacemos :

ex

x





ex ex dx  4  dx x2 (x  2) 2

(x  2)

e senx dx sen x

v  tg x  ctg x

( tg x  ctg x )   e senx cos x ( tg x  ctg x ) dx

I   e senx csc x dx  e senx ( tg x  ctg x )   e senx cos x (

sen x cos x  ) dx cos x sen x

I   e senx csc x dx  e senx ( tg x  ctg x )   e senx cos x (

sen 2 x  cos 2 x ) dx sen x cos x

 

dx   dx   x

1 e senh x ( x 1  x 2  1 )

2 3/2

dx   dx 

1 e senh x

(1  x 2 ) 3/2

(1  x 2 )1/2 (1  x 2 )1/2

(1  x 2 )1/2

(1  x 2 ) 3/2

dx

dx

1

dx 

C

dx

1 x e senh x

1 e senh x

1 e senh x

(1  x 2 )1/2

(1  x 2 ) 3/2

dx  

 e senh

1 x e senh x

1 e senh x

dx  

1 x 2

v

(1  x )

(1  x 2 ) 3/2

1 x e senh x

dv 

(1  x 2 )1/2 dx

1 e senh x ( x 1  x 2  1 )

(1  x 2 ) 3/2

dx

x 1 x e senh x

(1  x 2 )1/2



1 e senh x

(1  x 2 ) 3/2

dx