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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I SOLUCIÓN - TAREA

Calcular la deflexión y la rotación en los puntos indicados: 1) Viga empotrada con carga distribuida triangular, el punto está en el extremo del voladizo.

𝑹𝑨 =

𝒘𝒍 𝟐

𝑴𝑨 =

𝒘𝒍𝟐 𝟔

Diagrama M/EI:

𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝜽= ∗ 𝟔𝑬𝑰 𝟒 𝒘𝒍𝟑 𝜽= 𝟐𝟒𝑬𝑰

𝒚=

𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟒𝒍 ∗ ∗ 𝟔𝑬𝑰 𝟒 𝟓

𝒚=

𝒘𝒍𝟒 𝟑𝟎𝑬𝑰

2) Viga empotrada con carga distribuida uniforme, el punto está en el centro del voladizo.

𝑹𝑨 = 𝒘𝒍 𝒘𝒍𝟐 𝑴𝑨 = 𝟐 Diagrama de momentos:

Diagrama M/EI1:

Ecuación de momento: 𝑴(𝒙) = −

𝒘𝒙𝟐 𝒘𝒍𝟐 + 𝒘𝒍𝒙 − 𝟐 𝟐

Ecuación de rotaciones: 𝑬𝑰𝟏 𝜽(𝒙) = −

𝒘𝒙𝟑 𝒘𝒍𝒙𝟐 𝒘𝒍𝟐 𝒙 + − 𝟔 𝟐 𝟐

Ecuación de deflexiones: 𝑬𝑰𝟏 𝒚(𝒙) = −

𝒘𝒙𝟒 𝒘𝒍𝒙𝟑 𝒘𝒍𝟐 𝒙𝟐 + − 𝟐𝟒 𝟔 𝟒

Rotación en l/2: 𝒘 𝒍 𝟑 𝒘𝒍 𝒍 𝟐 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝑬𝑰𝟏 𝜽(𝒍⁄𝟐) = − ( ) + ( ) − ( )=− + − 𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒𝟖 𝟖 𝟒 𝟕𝒘𝒍𝟑 𝜽(𝒍⁄𝟐) = − 𝟒𝟖𝑬𝑰𝟏

Deflexión en l/2: 𝒘 𝒍 𝟒 𝒘𝒍 𝒍 𝟑 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟐 𝒘𝒍𝟒 𝒘𝒍𝟒 𝒘𝒍𝟒 𝑬𝑰𝟏 𝒚(𝒍⁄𝟐) = − ( ) + ( ) − ( ) =− + − 𝟐𝟒 𝟐 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟖𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟔 𝟏𝟕𝒘𝒍𝟒 𝒚(𝒍⁄𝟐) = − 𝟑𝟖𝟒𝑬𝑰𝟏

3) Viga simple con carga distribuida uniforme en toda la luz y una carga puntual aplicada en el segundo tercio de la luz. Los puntos de interés están en los tercios de la viga.

Diagrama de momentos por carga distribuida:

Valor del momento en l/3: 𝑤𝑙 2⁄ 8 = 𝑙 𝑙 2 𝑙 2 (2 − 3) (2) ∆𝑀

∆𝑀 =

𝑤𝑙 2 72

𝑀(𝑙/3) =

𝑤𝑙 2 𝑤𝑙 2 − 8 72

𝑀(𝑙/3) =

𝑤𝑙 2 9

Utilizando las siguientes herramientas para el cálculo de áreas:

Diagrama de momentos por carga puntual:

Diagramas de carga elástica M/EI:

Utilizando el método de caga elástica: Cálculo de rotaciones en l/3: Por carga distribuida: 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟏 𝒘 𝒍 𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝟏𝟑𝒘𝒍𝟑 𝒍 𝜽( ⁄𝟑) = − ∗ ∗ + ∗( ) = − − = 𝟐𝟒𝑬𝑰 𝟗𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟐𝟒𝑬𝑰 𝟓𝟒𝑬𝑰 𝟑𝟐𝟒𝑬𝑰 𝟔𝟒𝟖𝑬𝑰 Por carga puntual: 𝟒𝑷𝒍𝟐 𝑷𝒍 𝒍 𝟏 𝟓𝑷𝒍𝟐 𝜽(𝒍⁄𝟑) = − ∗ ∗ = 𝟖𝟏𝑬𝑰 𝟗𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝟏𝟔𝟐𝑬𝑰 Efecto de cargas totales: 𝟏𝟑𝒘𝒍𝟑 𝟓𝑷𝒍𝟐 𝜽(𝒍⁄𝟑) = + 𝟔𝟒𝟖𝑬𝑰 𝟏𝟔𝟐𝑬𝑰

Cálculo de deflexiones en l/3: Por carga distribuida: 𝒘𝒍𝟑 𝒍 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟏 𝒍 𝒘 𝒍 𝟑 𝒍 𝒘𝒍𝟒 𝒘𝒍𝟒 𝒘𝒍𝟒 𝒚(𝒍⁄𝟑) = ∗ − ∗ ∗ ∗ − ∗( ) ∗ = − − 𝟐𝟒𝑬𝑰 𝟑 𝟗𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟔 𝟕𝟐𝑬𝑰 𝟒𝟖𝟔𝑬𝑰 𝟏𝟗𝟒𝟒𝑬𝑰 𝟒

𝟏𝟏𝒘𝒍 𝒚(𝒍⁄𝟑) = 𝟗𝟕𝟐𝑬𝑰 Por carga puntual: 𝟒𝑷𝒍𝟐 𝒍 𝑷𝑳 𝒍 𝟏 𝒍 𝟕𝑷𝒍𝟑 𝒚(𝒍⁄𝟑) = ∗ − ∗ ∗ ∗ = 𝟖𝟏𝑬𝑰 𝟑 𝟗𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝟗 𝟒𝟖𝟔𝑬𝑰 Efecto de cargas totales: 𝟏𝟏𝒘𝒍𝟒 𝟕𝑷𝒍𝟑 𝒚(𝒍⁄𝟑) = + 𝟗𝟕𝟐𝑬𝑰 𝟒𝟖𝟔𝑬𝑰

Cálculo de rotaciones en 2l/3: Por carga distribuida: 𝟏𝟑𝒘𝒍𝟑 𝜽(𝟐𝒍⁄𝟑) = 𝜽(𝒍⁄𝟑) = 𝟔𝟒𝟖𝑬𝑰 Por carga puntual: 𝟓𝑷𝒍𝟐 𝟐𝑷𝒍 𝒍 𝟏 𝟐𝑷𝒍𝟐 𝜽(𝟐𝒍⁄𝟑) = − ∗ ∗ = 𝟖𝟏𝑬𝑰 𝟗𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝟖𝟏𝑬𝑰 Efecto de cargas totales:

𝟏𝟑𝒘𝒍𝟑 𝟐𝑷𝒍𝟐 𝜽(𝟐𝒍⁄𝟑) = + 𝟔𝟒𝟖𝑬𝑰 𝟖𝟏𝑬𝑰

Cálculo de deflexiones en 2l/3: Por carga distribuida: 𝟒

𝟏𝟏𝒘𝒍 𝒚(𝟐𝒍⁄𝟑) = 𝒚(𝒍⁄𝟑) = 𝟗𝟕𝟐𝑬𝑰 Por carga puntual: 𝟓𝑷𝒍𝟐 𝒍 𝟐𝑷𝑳 𝒍 𝟏 𝒍 𝟒𝑷𝒍𝟑 𝒚(𝟐𝒍⁄𝟑) = ∗ − ∗ ∗ ∗ = 𝟖𝟏𝑬𝑰 𝟑 𝟗𝑬𝑰 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐𝟒𝟑𝑬𝑰 Efecto de cargas totales: 𝟏𝟏𝒘𝒍𝟒 𝟒𝑷𝒍𝟑 𝒚(𝟐𝒍⁄𝟑) = + 𝟗𝟕𝟐𝑬𝑰 𝟐𝟒𝟑𝑬𝑰

Calcular los momentos de empotramiento:

4) Viga empotrada con carga distribuida triangular, el punto está en el extremo del voladizo.

Diagramas de momento:

𝑩

𝜽𝑨𝑩 = ∫ 𝑨

𝜽𝑨𝑩 =

𝑴𝒅𝒙 =𝟎 𝑬𝑰

𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟏 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟏 𝒘𝒍𝟐 𝒍 𝟐 𝑴𝑨 𝒍 𝑴𝑩 𝒍 ∗ ∗ + ∗ + ∗ ∗ + ∗ ∗ + + =𝟎 𝟏𝟔𝑬𝑰 𝟒 𝟐 𝟏𝟔𝑬𝑰 𝟐 𝟏𝟔𝑬𝑰 𝟒 𝟐 𝟑𝟐𝑬𝑰 𝟐 𝟑 𝟐𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰

𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝒘𝒍𝟑 𝑴𝑨 𝒍 𝑴𝑩 𝒍 + + + + + =𝟎 𝟏𝟐𝟖𝑬𝑰 𝟑𝟐𝑬𝑰 𝟏𝟐𝟖𝑬𝑰 𝟗𝟔𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝟐𝑬𝑰 𝒘𝒍𝟐 𝒘𝒍𝟐 𝒘𝒍𝟐 𝒘𝒍𝟐 + + + + 𝑴𝑨 + 𝑴𝑩 = 𝟎 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 + 𝑴𝑨 + 𝑴𝑩 = 𝟎 𝟗𝟔

𝑩

𝜹𝑨𝑩 = ∫ 𝑨

𝜹𝑨𝑩 =

𝑴𝒙𝒅𝒙 𝑬𝑰

𝒘𝒍𝟑 𝒍 𝒘𝒍𝟑 𝒍 𝒘𝒍𝟑 𝟓𝒍 𝒘𝒍𝟑 𝒍 𝑴𝑨 𝒍 𝒍 𝑴𝑩 𝒍 𝟐𝒍 ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ =𝟎 𝟏𝟐𝟖𝑬𝑰 𝟔 𝟑𝟐𝑬𝑰 𝟐 𝟏𝟐𝟖𝑬𝑰 𝟔 𝟗𝟔𝑬𝑰 𝟐 𝟐𝑬𝑰 𝟑 𝟐𝑬𝑰 𝟑

𝒘𝒍𝟒 𝒘𝒍𝟒 𝟓𝒘𝒍𝟒 𝒘𝒍𝟒 𝑴𝑨 𝒍𝟐 𝑴𝑩 𝒍𝟐 + + + + + =𝟎 𝟕𝟔𝟖𝑬𝑰 𝟔𝟒𝑬𝑰 𝟕𝟔𝟖𝑬𝑰 𝟏𝟗𝟐𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰 𝟑𝑬𝑰 𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 𝑴𝑨 + + 𝑴𝑩 = 𝟎 𝟏𝟐𝟖 𝟐

Despejando MB en ambas expresiones: 𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 𝑴𝑨 𝑴𝑩 = − − 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝑴𝑩 = −

𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 − 𝑴𝑨 𝟗𝟔

Igualando se obtiene el momento de empotramiento MA: −

𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 𝑴𝑨 𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 − =− − 𝑴𝑨 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟗𝟔

𝑴𝑨 = −

𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 𝟏𝟗𝟐

Por lo tanto, el momento de empotramiento MB: 𝑴𝑩 = −

𝟏𝟏𝒘𝒍𝟐 𝟏𝟗𝟐

Reacciones en el empotramiento: 𝑽𝑨 = 𝑽𝑩 =

𝒘𝒍 𝟒