Solucion Ejerc 2 Vectores Diego Sastre

Descripción del ejercicio 2 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:

SOLUCIÓN • Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos.

Sean los vectores dados en la gráfica: 𝑣⃗ = (−4, 1) 𝓌 ⃗⃗⃗⃗ = (3, 5) La magnitud del vector 𝑣⃗ es:

|𝑣⃗| = √(−4)2 + 12 |𝑣⃗| = 4,13 La dirección del vector 𝑣⃗ está dada por:

1 = |𝑣⃗| sin 𝛽 1 = sin 𝛽 |𝑣⃗| 3 = sin 𝛽 4,13 3 𝛽 = sin−1 4,13 𝛽 = 14,04𝑜 La magnitud del vector 𝑤 ⃗⃗⃗ es:

|𝑤 ⃗⃗⃗| = √32 + 52 |𝑤 ⃗⃗⃗| = 5,83 La dirección del vector 𝑤 ⃗⃗⃗ está dada por:

3 = |𝑤 ⃗⃗⃗| cos 𝜆 3 = cos 𝜆 |𝑤 ⃗⃗⃗| 3 = cos 𝜆 5,83 3 𝜆 = cos −1 5,83 3 𝜆 = cos −1 5,83 𝜆 = 59,03𝑜 •

• Encontrar el ángulo entre los vectores.

El ángulo entre los dos vectores está dado por:

|𝑣⃗| |𝓌 ⃗⃗⃗⃗| cos 𝜎 = 𝑣⃗ ⋅ 𝓌 ⃗⃗⃗⃗

|𝑣⃗| |𝓌 ⃗⃗⃗⃗| cos 𝜎 = (−4𝑖 + 𝑗) ⋅ (3𝑖 + 5𝑗) (4,13)(5,83) cos 𝜎 = −12 + 5 cos 𝜎 =

−7 24.08

El ángulo entre los dos vectores es: 𝜎 = 73,79𝑜

• • Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. Suma de los vectores: 𝑠⃗ = 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗ = (−4 + 3)𝑖 + (1 + 5)𝑗 𝑠⃗ = 𝑣⃗ + 𝑤 ⃗⃗⃗ = −1𝑖 + 6𝑗 La magnitud del vector suma es: |𝑠⃗| = √(−1)2 + 62 |𝑠⃗| = 6,08 La dirección del vector suma es: −1 = |𝑠⃗| cos 𝜃 𝜃 = 80,53𝑜 • • Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. El área del paralelogramo formado por los dos vectores se calcula con el producto cruz: ⃗⃗| |𝓌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| sin 𝜎 𝐴 = 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = |𝑣 𝐴 = 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = (4,13)(5,83) sin 73,79

𝑜

𝐴 = 23,12 • • Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

b) Dados los vectores calcular: 𝑣⃗ = 3𝒾 − 4𝒿 + 2𝓀

𝓌 ⃗⃗⃗⃗ = 2𝒾 + 5𝒿 + 4𝓀

•

−3𝑣⃗ + 2𝓌 ⃗⃗⃗⃗

−3(3𝒾 − 4𝒿 + 2𝓀) + 2(2𝒾 + 5𝒿 + 4𝓀) (−9𝒾 − 12𝒿 + 6𝓀) + (4𝒾 + 10𝒿 + 8𝓀)

−5𝒾 − 2𝒿 + 14𝓀 •

6(𝑣⃗ ⋅ 𝓌 ⃗⃗⃗⃗ ) 6((3𝒾 − 4𝒿 + 2𝓀) ∙ (2𝒾 + 5𝒿 + 4𝓀)) 6 (6𝒾 − 20𝒿 + 8𝓀)

36𝒾 − 120𝒿 + 48𝓀 • • Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. La magnitud del vector 𝑣⃗ es: |𝑣⃗| = √32 + (−4)2 + 22 |𝑣⃗| = 5,38 Los cosenos directores del vector 𝑣⃗ son: 3 cos 𝜚 = = 0,55 |𝑣⃗| cos 𝜑 =

−4 = −0,74 |𝑣⃗|

cos 𝜔 = La magnitud del vector 𝑤 ⃗⃗⃗ es:

2 = 0,37 |𝑣⃗|

|𝑤 ⃗⃗⃗| = √22 + 52 + 42 |𝑤 ⃗⃗⃗| = 6,71 Los cosenos directores del vector 𝑤 ⃗⃗⃗ son: 2 cos 𝛼 = = 0,29 |𝑤 ⃗⃗⃗|

•

cos 𝜀 =

5 = 0,74 |𝑤 ⃗⃗⃗|

cos 𝜉 =

4 = 0,59 |𝑤 ⃗⃗⃗|

• Calcular el producto cruz y el producto punto.

Producto punto: 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = (3𝒾 − 4𝒿 + 2𝓀) ∙ (2𝒾 + 5𝒿 + 4𝓀)) 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = 6 − 20 + 8 𝑣⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗⃗ = −6 Producto cruz: 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = (3𝒾 − 4𝒿 + 2𝓀) × (2𝒾 + 5𝒿 + 4𝓀)) 𝑖⃗ 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = |3 2

𝑗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝓀 −4 2 | 5 4

−4 2 3 −4 ⃗⃗⃗⃗ 3 2 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = | | 𝑖⃗ − | | 𝑗⃗ + | |𝓀 5 4 2 5 2 4 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [((−4)(4)) − ((2)(5))] 𝑖⃗ − [((3)(4)) − ((2)(2))] 𝑗⃗ + [((3)(5)) − ((−4)(2))] ⃗⃗⃗⃗ 𝓀 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = [−16 − 10]𝑖⃗ − [12 − 4]𝑗⃗ + [15 + 8]⃗⃗⃗⃗ 𝓀 𝑣⃗ × 𝑤 ⃗⃗⃗ = −26𝑖⃗ − 8𝑗⃗ + 23⃗⃗⃗⃗ 𝓀 • • Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Descripción del ejercicio 3 La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2 = (-4,8) m/s. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ? • • ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ∆𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑉1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = −4𝑖 + 8𝑗 − (5𝑖 − 3𝑗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = −9𝑖 + 11𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−9)2 + (11)2 = 9,59 |∆𝑉 •

• ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 𝑉2 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑉1 −9𝑖 + 11𝑗 𝑎= = = = −0,31𝑖 − 0,44𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡2 − 𝑡1 29 − 25 ∆𝑇 |𝑎| = 0,53

• • Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector. • • Dados:𝑎⃗ = (5, 12) y 𝑏⃗⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal π que la medida en radianes del ángulo 𝑏⃗⃗ y 𝑎⃗ sea 3 = 60𝑜 . La magnitud de 𝑎⃗ es:

|𝑎⃗| = 13 La magnitud de 𝑏⃗⃗ es: |𝑏⃗⃗| = √1 + 𝑘 2 La llamaremos ecuación 1 El producto punto es: 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 5 + 12𝑘 La fórmula del coseno entre dos vectores es: cos 𝜃 =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ |𝑎⃗||𝑏⃗⃗|

Sustituimos la ecuación 1 en la fórmula del coseno entre dos vectores y tenemos: cos 60𝑜 =

𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ 5 + 12𝑘 = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| 13√1 + 𝑘 2

1 5 + 12𝑘 = 2 13√1 + 𝑘 2

(√1 + 𝑘 2 )2 = ( 1 + 𝑘2 =

10 24𝑘 2 + ) 13 13

100 + 576𝑘 2 169

169 − 100 = 576𝑘 2 − 169𝑘 2 69 = 407𝑘 2 Nos da como resultado que: 𝑘 = 2.42

Descripción del ejercicio 4 Sean las siguientes matrices:

Realizar las siguientes operaciones, si es posible:

SOLUCIÓN: a) 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 Recordemos: Para poder multiplicar matrices es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. 9 + 0 + 0 + 15 −5 + 0 − 2 + 21 6 + 0 + 6 − 15 −18 + 5 + 0 + 15 10 + 15 − 6 + 21 −12 + 30 + 18 − 15 𝐴∙𝐵 =[ ] 9 + 0 + 0 + 40 −5 + 0 − 3 + 56 6 + 0 + 9 − 40 45 + 2 + 0 + 0 −25 + 6 + 3 + 0 30 + 12 − 9 + 0 24 2 𝐴∙𝐵 =[ 49 47 59 139 𝐴∙𝐵∙𝐶 =[ 217 −97

14 40 48 −16

−3 21 ] −25 33

6 116 46 −142

169 17 612 −236

152 338 ] 237 435

b) 4𝐵 ∙ 2𝐴 36 4 4𝐵 = [ 0 20

−20 24 2 0 12 24 −4 10 ] 2𝐴 = [ 4 12 2 0 28 −20 10 4

4 6 12 6 ] 6 16 −6 0

4𝐵 ∙ 2𝐴 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

c) 3𝐶 ∙ (−7𝐵) −63 35 −42 0 −6 9 15 7 −21 −42 3𝐶 = [ 12 9 ] 15 12] −7𝐵 = [ 0 7 −21 −3 0 −27 24 −35 −49 35

483 (−7𝐵) 3𝐶 ∙ = [−1239 651

9𝑥 2 − 2 3𝑥 2 𝑦 2 d) 𝐷2 = [3𝑦 2 + 3 9𝑦 2 − 𝑦 4 𝑥+𝑦 3𝑥 2 12𝑥 2 + 2 e) 𝐷 ∙ 𝐶 = [ 4𝑦 2 − 3 𝑥−𝑦

546 252 −1470

588 −777] 1533

9𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑦 3𝑥 + 3𝑦 2 + 3𝑦 − 6] 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 − 2

9𝑥 2 15𝑥 2 + 18 12𝑥 2 − 16 3𝑦 2 − 6 5𝑦 2 − 18 4𝑦 2 + 39 ] 2 −9𝑥 − 9𝑦 + 3 8𝑥 + 8𝑦 + 5

f) 𝐶 𝑇 ∙ 𝐷

0 −2 𝐶𝑇 = [ 3 5

4 −1 3 0 ] 5 −9 4 8 11 4𝑦 2 9 −6𝑥 2 + 3𝑦 2 𝐶𝑇 ∙ 𝐷 = 6 9𝑥 2 + 5𝑦 2 [20 15𝑥 2 + 4𝑦 2

𝑥 − 𝑦 + 12 13 −9𝑥 − 9𝑦 + 9 8𝑥 + 8𝑦 + 2 ]

g) det(𝐵) no es posible calcularla porque la matriz no es cuadrada.

0 3𝑥 2 h) det(𝐷) = |3 𝑦 2 1 0

−2 3 | = −9 × 𝑥3 + 9 × 𝑥2 + 2 × 𝑦2 − 9 × 𝑥2 × y (𝑥 + 𝑦)

i) (𝐵 𝑇 − 𝐶)𝑇 9 1 𝐵 = [−5 3 6 6 𝑇

0 5 −1 7 ] 3 −5

9 𝐵 − 𝐶 = [−9 7 𝑇

9 −9 7 3 0 6 (𝐵 𝑇 − 𝐶)𝑇 = [ ] −3 −6 12 0 3 −13

3 −3 0 0 −6 3 ] 6 12 −13

Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 0𝑋, Rotación en 0𝑌, Rotación en 0𝑍.

Haciendo la rotación, tomando al eje y como eje de giro, la matriz de rotación 𝑅(𝑦, 𝜑)que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜑) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 1 a) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧 , cuando el punto, 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [1] con 𝜙 = 90𝑜 , 2 con respecto al eje 0𝑌. Sabemos que: cos 90𝑜 = 0 y sin 90𝑜 = 1 tenemos entonces:

0+0+2 0 0 1 1 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜑) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [ 0 1 0] ∙ [1] = [ 0 + 1 + 0 ] −1 + 0 + 0 −1 0 0 2 El vector nos da como resultado: 𝑃𝑥𝑦𝑧

2 =[ 1 ] −1

1 b) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧 , cuando el punto , 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [2] con 𝜙 = 45𝑜 , con 3 respecto a eje 0𝑌. Sabemos que: cos 45𝑜 =

√2 2

y sin 45𝑜 =

√2 2

𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜑) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤

tenemos entonces:

√2 2 = 0 √2 [2

√2 √2 √2 + 0 + 3 1 2 2 2 0+2+0 1 0 ∙ [2 ] = 3 √2 √2 √2 0 + 0 + 3 [2 2 ] 2 ] 0

El vector nos da como resultado: 2√2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 2 ] 2√2