Solucion De Problemas

 En la figura se muestra un circulo con radio 1 inscrito en la parábola y=x2. Encuentre el centro del círculo.

La ecuación del círculo será: x2 + (y+k)2 = 1, debido a que el radio es 1 y tomando k como la distancia sobre el eje y. Como estas curvas se tocan, es posible afirmar que: x2 = -√(1-x2)-k

1

el signo menos se toma porque utilizaremos la parte inferior del circulo. Al observar la figura se ve que ambas tienen la misma pendiente en el punto de interseccion, debido a esto es posible igualar las pendientes de cada función, o igualar las derivadas: Dx(-√(1-x2)-k) = Dx(x2)

Al resolver esta ecuación encontramos dos soluciones: x=√3/2, y x=-√3/2, estas dos soluciones me dice en donde las curvas tienen una pendiente igual, se observa que por simetría esto puede ser cierto, entonces tomamos el positivo por comodidad y lo sustituimos en 1: (√3/2)2 = -√(1-(√3/2)2)-k k=5/4 Una grafica en maple (programa que me auxilio para resolver este problema) da:

 Determine el punto donde la curvas y=x3-3x+4 y y=3(x2-x) son tangentes entre sí, es decir, tienen una tangente común. (el punto donde las curvas tienen la misma tangente). Si tienen una tangente en comun entonces las derivadas deben ser las mismas, entonces: Dx(x3 - 3x + 4) = Dx(3(x2 - x)) 3x2 - 3 = 3(2x - 1) x2 - 1 = 2x - 1 x2 - 2x =0 x1= 2, x2=0 De estos dos valores obtenidos hay un solo que coincide en las dos curvas, es decir al valuar el x 1 en las dos ecuaciones dadas obtenemos el valor de 6 en ambas, pero al valuar x2 en una obtenemos 4 y en otra obtenemos 0 por lo tanto el punto en donde las curvas son tangentes es el punto (2,6). La grafica nos da:

Al observar otra grafica en el graficador que se encuentra en el blog se obtiene que: