Solucion De Ecuaciones

Taller: Solución de ……..ecuaciones Estrategias, métodos y conceptos

Presentado por: A. Dalmau Caribbean University 28 de febrero, 2009

Tabla de contenido Introducción ................................................................................................................. 2 Objetivos: ................................................................................................................. 2 Historia del álgebra ...................................................................................................... 2 Definición de una ecuación .......................................................................................... 2 Ecuaciones Sencillas .................................................................................................... 3 Polinomiales ............................................................................................................. 3 Lineales (grado 1) ................................................................................................ 3 Solución algebraica .......................................................................................... 3 Interpretación gráfica ....................................................................................... 3 Cuadráticas (grado 2) ........................................................................................... 3 Factorizando ..................................................................................................... 3 Completando el cuadrado ................................................................................. 4 Interpretación gráfica ....................................................................................... 4 Fórmula cuadrática ........................................................................................... 5 Interpretación gráfica ....................................................................................... 5 Ecuaciones que se pueden reducir a forma cuadrática ......................................... 6 Cúbicas (grado 3) ................................................................................................. 6 Factorizando ..................................................................................................... 6 Caso especial – fórmula cúbica ........................................................................ 6 Grados mayores .................................................................................................... 7 Factorizando ..................................................................................................... 7 Análisis gráfico ................................................................................................ 7 Métodos numéricos (Bisección y Método Newton) ........................................ 8 Ecuaciones con exponentes racionales ..................................................................... 9 Transcendentales ...................................................................................................... 9 Sistemas de ecuaciones .............................................................................................. 10 Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas ......................................................... 10 Referencias ................................................................................................................. 11

Taller: Solución de ecuaciones v.2 2-28-09

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Solución de Ecuaciones Introducción La solución de ecuaciones es una destreza que debemos dominar como parte de nuestra preparación profesional. Es parte esencial en la solución de problemas matemáticos que se presentan en muchas disciplinas. Al resolver una ecuación, a veces decimos que estamos hallando las “raíces de la ecuación” así que estos son conceptos sinónimos. Este taller pretende servir de guía presentando estrategias y conceptos que ayuden en la solución e interpretación de estas soluciones. Es necesario un conocimiento básico de álgebra para el mejor aprovechamiento del mismo.

Objetivos:


Demostrar métodos algebraicos para la solución de distintos tipos de ecuaciones
Demostrar enfoques gráficos que ayuden a interpretar las soluciones de ecuaciones
Presentar métodos alternos a manera de herramientas para la solución de ecuaciones
Mejorar la destreza en la aplicación del álgebra en la solución de ecuaciones

Historia del álgebra El origen del álgebra se remonta al año 250 y se le atribuye a un griego de nombre Diophantus de Alejandría (n. 210, m. 290) con la publicación de “Arithmetic”. También se le atribuye a un matemático persa, Muhammad ibn Mūsā al Khwārizmī (n..780, m..850), quien en el año 825 publica “El libro de resumen de calculaciones mediante la transposición y la reducción” de cuyo título en árabe, de la palabra al-jabr que significa reunión, se acuña el nombre de álgebra.

Definición de una ecuación Una ecuación se puede definir como dos expresiones algebraicas unidas por el signo de igualdad, por ende el nombre de ecuación (igualdad). Las expresiones algebraicas pueden ser de cualquier tipo y grado de complejidad, con una sola o múltiples variables. Cuando hablamos de la solución de una ecuación, nos referimos al conjunto de valores que al sustituirse en la variable (o variables) de la ecuación hacen que la ecuación sea cierta. Ejs.: 1. 3  12  3

Solución:   5

2. 
 9  0

Solución:   3

5. sen. 
 cos. 
 1

No tiene solución real

3. 
 4  1 4. 
 5  4

Esta expresión NO es una ecuación

Cualquier número real es una solución

Una ecuación que sea siempre cierta, sin importar el valor que se le asigne a la variable, se dice que es una identidad. Otras ecuaciones por el contrario serán siempre falsas no importa el valor que se le asigne a la variable. Estas ecuaciones decimos que son son, contradicciones. Un tercer tipo de ecuación será cierta para uno o varios valores, pero falso para el resto de los números reales. A estas ecuaciones las conocemos como ecuaciones condicionales. Taller: Solución de ecuaciones v.2 2-28-09

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Ecuaciones Sencillas Polinomiales Lineales (grado 1)


    0 ;
0

Solución algebraica

Se despeja directamente por : Ej.:

1. 2  5  0 #  




2. 4  16  0 #      4 3. 7  12    2 21    6  36 20  42 

  
  

! "





Interpretación gráfica

2  5  0 #  


7  12    2 #    




Cuadráticas (grado 2)


 ଶ     0 ;
0

Factorizando Ejs.: 1. 
 5  6


 5  6  0

  6  1  0 60

10

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Despejar la ecuación por 0

Igualar cada factor a 0 y resolver cada una delas

Factorizar el polinomio de la izquierda

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6

  1

2. 4
 3  2  4   4
 2  2  0 4  2  1  0 4  2  0 10    
1

ecuaciones Despejar la ecuación por 0 Factorizar el polinomio de la izquierda

Igualar cada factor a 0 y resolver cada una de las ecuaciones

Completando el cuadrado Ej.: 1. 
   2  1 
 



  3  0

Despejar la ecuación por 0  en este caso no factoriza





  3     





     










&  '  

  (.  

Añadir el cuadrado de la mitad del coeficiente de 



Reagrupar

  
; 2



2. 2
 8  6  4  2 2
 6  2  0 2 
 3  1  0




 3     

& 
'   




Reagrupar







Interpretación gráfica

Factorizar el lado izquierdo




   2  1 
 #   
; 2 

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Despejar la ecuación por 0  en este caso no factoriza Añadir el cuadrado de la mitad del coeficiente de 



  (.

. √ 5.


Despejar por , tomando en cuenta ambas raices Factorizar el coeficiente de 
si no es igual a 1


 3  1    0   

Factorizar el lado izquierdo

Despejar por , tomando en cuenta ambas raices



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Fórmula cuadrática La fórmula cuadrática es un método alterno al de completar el cuadrado o al de factorizar.

Ej.:

1. 2
 1    1

 √ ଶ  4
.  ;  ଶ  4
 0 2


2
   2  0 



1 1
 422 22

1 √17. -  . 1.28 , 0.78 4

2. 3
 2  1 

 3

Despejar la ecuación por 0

Como el polinomio no factoriza usamos la fórmula cuadrática con: "  2 ; !  1 ; ,  2 Verificar que ambas soluciones son válidas.

 10 3 9
   3  0

Despejar la ecuación por 0 y eliminar el denominador

0

Como 21
 4933  107 la ecuación no tiene solución.

3
 

1 1
 493 29

Como el polinomio no factoriza usamos la fórmula cuadrática con: "  9 ; !  1 ; ,  3

Analizando este último ejemplo gráficamente podemos entender claramente la razón por la cual la ecuación no tiene solución.

Interpretación gráfica  3
 2  1  # no tiene solución real 3

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Analizando la representación gráfica de la ecuación podemos ver claramente que las gráficas nunca se intersecarán. Por esta razón la ecuación no tiene una solución real.

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Ecuaciones que se pueden reducir a forma cuadrática En ocasiones podemos identificar un comportamiento cuadrático en ecuaciones que no lo sean usando una sustitución adecuada. Ej.:

1. 2 
. 1  √. 1 య

2
⁄  1   ⁄  1 య

27
 1  7  1 7 . 1.28 , 0.78

 ⁄ . 1.28  . 1.28  . 2.10

Cúbicas (grado 3)

 ⁄ . 0.78  . 0.78  . 0.47

La ecuación se presenta como una ecuación radical De9inimos 7   ⁄ - 7
 
⁄ Al sustituir en la ecuación original, ésta se convierte en una ecuación cuadrática. Se resuelve por el método más apropiado. Como 7   ⁄ , sustituimos el valor de 7 de la so  lución cuadrática y despejamos por x. Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original. Reescribir en forma de exponentes racionales


 ଷ   ଶ      0 ;
0

La primera estrategia que se debe aplicar es la de factorizar, tal como se hace con las ecuaciones cuadráticas. Si se logra factorizar la ecuación, la solución es inmediata. Sin embargo, la factorización de ecuaciones cúbicas puede ser un proceso my complicado, así otros métodos alternos son necesarios para facilitar la solución de estas ecuaciones.

Factorizando Ej.: 1.    4
 2  7  36    4
 9  36  0


  4  9  4  0   4
 9  0

  4  3  3  0   4  3  3  0   4   3   3

Despejar la ecuación por 0

Factorizar el polinomio de la izquierda Igualar cada factor a 0 y resolver cada una de las ecuaciones

Caso especial – fórmula cúbica Bajo ciertas condiciones podemos aplicar una fórmula para resolver una ecuación cúbica, parecido a la aplicación de la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas. La fórmula cúbica es bastante restringida ya que sólo se puede aplicar si a, b y c están relacionadas de la siguiente forma: !
, ; !  √3", ; 3"

Ej.:

1. 3   6
 4  9  0

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en cuyo caso aplicamos la fórmula:

  √ ଷ  27
ଶ .  3
య

Identi9icamos "  3, !  6, ,  4 ? @  9. 6/12

   4
 9  36  0

!  !   27"
@ 3" య 6  6  27 · 3
· 9  3·3  . 2.05978



య

Verificar si !  √3",.  √3 · 3 · 4.  √36.  6  ! Como la ecuación cumple con el requisito de la relación entre a, b y c, aplicamos directamente la fórmula cúbica. Verificar el resultado.

Cuando no podemos aplicar ninguno de los métodos anteriores podemos usar cualquiera de las estrategias sugeridas a continuación, que también aplican a ecuaciones de grados mayores. Grados mayores En teoría podemos tener ecuaciones de cualquier grado de la forma


௡  ௡ 
௡ିଵ  ௡ିଵ 
௡ିଶ  ௡ିଶ   
ଵ  
଴  0 ;
௡ 0

Las estrategias para resolver estas ecuaciones se reducen a métodos numéricos. La alternativa de factorización es un proceso extremadamente complicado en particular si la ecuación contiene muchos términos de grados variados sin un factor común. Sin embargo, la factorización no se debe descartar por completo según lo demuestra el siguiente ejemplo. Factorizando Ej.: 1.    6   12   7  71  3      6   12   7  7  21 

.    6   9   0

.   
 6  9  0 .     3
 0 0 3

Despejar la ecuación por 0 Igualar cada factor a 0 y resolver cada una de las ecuaciones Factorizar el polinomio de la izquierda

Análisis gráfico

Si la factorización no es una alternativa viable, podemos hacer un análisis gráfico. Ejs.: 1.   

 5  4 
  2 





Usamos una calculadora gráfica o un programa de computadora para hacer la gráfica de ambas expresiones algebraicas en la ecuación. Vemos que efectivamente ambas gráficas se intersecan en el plano lo que nos asegura que la ecuación tiene soluciones reales. Usando la opción de “intersección” de la calculadora o el programa, identificamos las coordenadas o posiciones de x donde ocurren las intersecciones. Estos valores son las soluciones de la ecuación.

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2. 0.1   1.2  .8  3   24  25

En este ejemplo, al hacer las gráficas de ambos lados de la ecuación, observamos que básicamente una de las curvas está contenida en su totalidad “dentro” de la otra curva. Si este comportamiento es el correcto, las dos gráficas no tendrán oportunidad alguna de intersecarse por lo cual esta ecuación no tendrá una solución real. Es importante asegurarse de que en efecto las gráficas no se intersecan fuera del campo de visión de la pantalla.

Una calculadora gráfica es de gran ayuda para poder resolver problemas de grados mayores. También hay muchos programas gráficos en internet que se pueden usar. Por ejemplo: http://www.padowan.dk/graph/Download.php Métodos numéricos Los métodos numéricos se aplican básicamente a ecuaciones polinomiales de grados mayores donde la ecuación se ha igualado a cero. Estos métodos presentan procedimientos que facilitan la aproximación de soluciones reales de la ecuación. Dos de los métodos más comunes son: a) Método de bisección Parte de dos valores de la variable para los cuales la ecuación de un valor positivo para uno de ellos y un valor negativo para el otro. Se procede entonces a localizar el punto medio entre los dos valores de las variables y buscar el valor de la ecuación para este nuevo valor. De acuerdo a si da positivo o negativo se parea con el valor anterior de la variable con el signo opuesto y se busca un nuevo punto medio. Este procedimiento se continúa hasta alcanzar la precisión deseada en la solución. Es un método algo lento pero fácil de aplicar. b) Método de Newton Este método parte de cualquier valor de la variable pero preferiblemente de un valor de la variable para el cual la ecuación dé un valor pequeño (cerca de cero). A partir de ese valor se hace uso de cálculo para conseguir la ecuación de la línea tangente al punto original seleccionado. Entonces se consigue el intercepto en x de la tangente. El valor de ese intercepto se usa como si fuera el valor original y se consigue una nueva ecuación para la nueva tangente. Se continúa el procedimiento hasta alcanzar la exactitud deseada. Este procedimiento tiende a ser más rápido que el de bisección, pero más complejo en su aplicación y también puede ser no convergente bajo ciertas condiciones. No se presentarán ejemplos de estos métodos, pero es importante señalar que muchas calculadoras gráficas tienen la capacidad de resolver ecuaciones usando algoritmos internos que básicamente usan alguno de estos métodos numéricos. También se puede usar un programa como Microsoft Excel para crear una tabla de cómputos que facilite las tediosas calculaciones requeridas. En internet se pueden conseguir herramientas para resolver ecuaciones de casi cualquier tipo, com por ejemplo: http://www.numberz.co.uk/ES.html

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Ecuaciones con exponentes racionales Un exponente racional se puede representar con un radical y no se pueden clasificar como polinomios por lo cual la estrategia de factorización no es recomendable. En el caso de ecuaciones con radicales podemos aplicar el siguiente procedimiento. Parte esencial de este procedimiento es el verificar la solución final, sustituyendo en la ecuación original para asegurar que en efecto, la solución encontrada hace que la ecuación original sea cierta. Esta verificación es particularmente obligatoria cuando la ecuación contenga radicales con índices pares. Ejs.: య La ecuación se presenta como una ecuación radical 1. √5  7. 5  2 √5  7.  3

య

Aislar el radical a un lado de la ecuación

B√5  7. C  3 

5  7  27

Cancelar el radical elevando ambos lados de la ecuación al cubo Despejar por x

√  1.  3  √  3.

La ecuación tiene dos radicales

య

4

Verificar la solución.

2. √  1. √  3.  3

B√  1. C  B3  √  3. C





  1  9  6√  3.   3 



 √  3.

& . '  B√  3. C 


 




3






 

Aislar uno de los radicales a un lado de la ecuación Cuadrar ambos lados de la ecuación Al cuadrar se cancelan los radicales originales pero surge otro nuevo Aplicamos el procedimiento nuevamente aislando el radical y terminamos de resolver la ecuación. Al verificar el resultado: (   1. (   3.  3 

 



   3 Falso 

Al verificar podemos detectar que la solución hallada no es válida y por lo tanto la ecuación no tiene solución real.

Transcendentales

Algunas funciones no tienen una expresión algebraica que las defina directamente. A estas funciones las conocemos como funciones transcendentales. Por ejemplo: sen. , cos , ln. , son funciones transcendentales que usamos con frecuencia. La estrategia básica para resolver estas ecuaciones es hacer uso de las funciones inversas para poder despejar por la variable. Ejs.: Ecuación con logaritmo natural. 1. ln3  5  2  1 ln3  5  3

exp2ln3  53  F 

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Aislar el logaritmo natural a un lado de la ecuación Cancelar el logaritmo natural aplicando la función exponencial a ambos lados de la ecuación

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3  5  F  

F  5 . 5.0285 3

Despejar por x Verificar la solución.

2. 4cos1  3  5  7 cos1  3  


Ecuación con coseno



cos  2cos1  33  cos  &
'

Aislar el coseno a un lado de la ecuación



Despejar por x

1  3 




 

2G  3 . 0.3648 9

Cancelar el coseno aplicando la función coseno inverso a ambos lados de la ecuación

Verificar la solución. En este caso hay múltiples soluciones ya que el coseno es una función periódica.

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas

Estos sistemas se pueden resolver mediante cualquiera de los siguientes métodos: H a Método de sustitución L Álgebra convencional b Método de eliminación Hc Usando matrices P Álgebra lineal

Para sistemas pequeños, de dos o tres ecuaciones, los métodos de sustitución y eliminación son fáciles de aplicar. Sin embargo para resolver sistemas de tres o más ecuaciones el uso de matrices es más práctico en especial si usamos una calculadora con capacidad para manejar matrices. "   "
?  ! H Q  "
   "

?  !


Para un sistema de dos ecuaciones, el procedimiento de matrices es el siguiente. " R"




"
 ! S T R ? S  U!
V "

WTX Y

W  T W T X  W  T Y X  W  T Y

Para matrices 2 T 2:

Ej.: 1.

R

W  

5  ?  11H Q 13  3?  29

5 13

 11 1 STR?SR S 29 3

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Sistema lineal de dos ecuaciones en dos variables. El mismo sistema representado en forma de matrices, donde A es la matriz de los coeficientes, X es el vector de las variables y B el vector de las constantes.

Se multiplica por W  ambos lados de la ecuación para despejar por el vector X (multiplicando por la izquierda)

1 "

R "
 Det W

"
" S ;

Det W  " · "

  "
 · "


Sistema lineal de dos ecuaciones en dos variables. Expresar el sistema en su forma matrizal

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Det W  53  131  2  3 1 W   
R S 13 5

 3 1 11  4 X  
R STR S  
R S 13 5 29 2 2 XR S [   2 ; ?  1 1

Calcular Det A y W  para multiplicar ambos lados de la ecuación (recordar de multiplicar ambos lados por la izquierda) 4  311  129  33  29

2  1311  529  143  145

Verificar el resultado sustituyendo en el sistema original

El método para buscar la matriz inversa de A utilizado en el ejemplo anterior sirve solamente para matrices de tamaño 2 T 2, según se indicó. Para sistemas más complicados, buscar la matriz inversa de A se hace mucho más difícil. Sin embargo muchas calculadoras gráficas tienen la capacidad de hacer cómputos de con matrices. Microsoft Excel también tiene la capacidad de hacer estos cómputos y en internet se pueden conseguir herramientas, tal como: 1. http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ 2. http://www.math.odu.edu/~bogacki/cgi-bin/lat.cgi?c=sys

Referencias 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

http://en.wikibooks.org/wiki/Algebra/Solving_equations http://www.cooldictionary.com/words/Timeline-of-algebra.wikipedia http://en.wikiversity.org/wiki/The_Special_Cubic_Formula http://www.mathcentre.ac.uk/resources/workbooks/mathcentre/web-cubicequations-john.pdf http://home.scarlet.be/~ping1339/root.htm#Newton%27s-method. http://en.wikibooks.org/wiki/Algebra/Systems_of_Equations http://www.numbertheory.org/book/cha1.pdf http://www.maths.surrey.ac.uk/explore/emmaspages/option1.html http://khvmathematics.blogspot.com/2007/11/timeline-of-mathematics.html

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