Solidos (2).docx

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MATRICES DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIAS Ejercicio 01 En el interior de un sólido, suponiendo la ausencia de fuerzas internas; determinar los posibles valores de las constantes C1, C2 y C3 para que la siguiente distribución de esfuerzos pueda existir en un sólido en equilibrio.

 x  5C1.x.z 2

Txy  C2 ( x.C1  y 2 )  5 y.z 2

 y  8C3 .z 5

Txz  C3 . y 3  C2

 z  2C2 .z

Tyz  2 x 2 .C3 SOLUCIÓN

Por dato del problema tenemos:

B  ( Bx , By , Bz )  (0,0,0) Forma diferencial de las ecuaciones de equilibrio:

 x Txy Txz    Bx  0 .............(1) x y z Txy  y Tyz    By  0 .............(2) x y z Txy Tyz  z    Bz  0 .............(3) x y z Reemplazando valores en (1), (2) y (3) se tiene: 2 2  (5C1.x.z 2 )  C2 ( x.C1  y )  5 y.z   (C3 . y 3  C2 )   0 x y z

5C1.z 2  2C2 . y  5 z 2  0 .........(4)  C2 ( x.C1  y 2 )  5 y.z 2  x



 (8C3 .z 5 )  (2 x 2 .C3 )   By  0 y z

C2 .C1  0 ................................(5)  (C3 . y 3  C2 )  (2 x 2 .C3 )  (2C2 .z )    Bz  0 x y z C2  0

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Remplazando C2 en (4), (5) tenemos:

C2  0 , C1  1 y C3 puede tomar cualquier valor. Por lo que la distribución de esfuerzos queda de la siguiente forma:

 x  5 x.z 2

Txy   5 y.z 2

 y  8C3 .z 5

Txz  C3 . y 3

z 0

Tyz  2 x 2 .C3

Ejercicio 02 Una barra rectangular de material elástico lineal, está sometido a tres fuerzas normales F3; paralelas a las aristas p = 15cm, q = 20cm y r = 5cm. Hallar la relación existente entre las fuerzas para que el volumen del prisma no varíe. Considerar: E  2  105 kg / cm2 ,

  0.3

SOLUCIÓN  Calculando los esfuerzos:

x 

F1 q.r

y 

F2 p.r

z 

F3 p.q

 Hallando  X ,  Y ,  Z (reemplazando los esfuerzos)

F  F 1 1F  x   ( y   z    1   ( 2  3  E E  q.r p.r p.q   1 X   p.F1   (q.F2  r. F3 )   p.q.r.E   1 Y   q.F2   ( p.F1  r. F3 )   (1) p.q.r.E   1 Z   r. F3   ( p.F1  q.F2 )   p.q.r.E 

X 

 Por condición del problema: MECANICA DE SÓLIDOS I

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V  0



 X  Y   Z  0

(2)

Reemplazando (1) en la ecuación (2) se tiene:

1 1 1  p.F1   (q.F2  r. F3 )    q.F2   ( p.F1  r. F3 )   r. F3   ( p.F1  q.F2 )   0 p.q.r.E p.q.r.E p.q.r.E 1  p.F1   (q.F2  r. F3 )  q.F2   ( p.F1  r. F3 )  r. F3   ( p.F1  q.F2 )   0 p.q.r.E 1 (1  2  0.3)(15.F1  20.F2  5. F3 )  0 15  20  5  2  105 15.F1  20.F2  5. F3  0 3F1  4 F2  F3  0

 Reemplazando datos se tiene:

1 (1  2  0.3)(15.F1  20.F2  5. F3 )  0 15  20  5  2  105

15.F1  20.F2  5. F3  0 Por lo tanto la relación existente entre las fuerzas es:

3F1  4F2  F3  0

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ESFUERZOS SOBRE PLANOS DE ORIENTACION ARBITRARIA: Ejercicio 03

 9 8 1    En una viga la matriz de esfuerzos es:   8 4 3 (kg / cm2 ) ; se pide determinar el    1 3 2  vector esfuerzo que pasa por cualquier punto del sólido y que es paralelo al PQR.

Z R R 5

R

R 1 P X

R

3 cm

R

R

R

R

Q Y

SOLUCION: 

Hallamos la ecuación del plano:

x y z    1  15 x  5 y  3z  15 1 3 5 

Cosenos directores del vector normal al plano PQR

m

15

152  52  32 15 m 259



...... n 

5

152  52  32 5 n 259

..... l 

3

152  52  32 3 l 259

El vector esfuerzo es igual:

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    Px   9 8 1          Py    8 4 3  *      1 3 2    Py     

15     259      Px 5        Py     259      3   Py    259  

Vectorialmente :  P 

98 91 36 i j k 259 259 259

98   259  91  259  36  259 

ESFUERZOS Y DIRECCIONES PRINCIPALES:

Ejercicio 04

1.4 7.2 0   según la matriz :   7.2 5.6 0  ( N / m2 ) ; a) determinar los esfuerzos principales y   0 0 15.2  sus respectivas direcciones: SOLUCION: 

Hallamos los esfuerzos:

7.2 0  1.4    7.2 5.6   0   0   0 0 15.2    (1.4   )

5.6   0 7.2 0  7.2 0 0 15.2   0 15.2  

(1.4   )(5.6   )(15.2   )  (7.2) 2 (15.2   )  0 (15.2   )( 2  7  44)  0 (15.2   )(  11)(  4)  0  1  15.2 , 2  11 , 3  4   1  15.2 N / m 2 ,  2  11 N / m 2 ,  3  4 N / m 2 

para las direcciones principales, reemplazamos cada valor:

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Para   11 7.2 0   I  0 1.4  11      7.2 5.6  11 0   M    0    0 0 15.2  11  N   0  4.2 N  0  N  0.....(a ) 9.6 I  7.2M  0......* 7.2 I  5.4M  0......** como el modulo del vector unitario es uno tenemos: I 2  M 2  N 2  1.......(b) de * y ** se tiene : 3 9 I  M  I2  M 2 4 16 reemplazando valores en (b) : I  0.6 , M  0.8 , N  0   hallando cosenos directores : 0.6 0.8 0 I  0.6 , M   0.8, N  0 2 2 2 2 2 0.6  0.8 0.6  0.8 0.6  0.82 rpta : (0.6, 0.8, 0) Para   4 7.2 0  I  0 1.4  4      7.2 5.6  4 0   M    0    0 0 15.2  4   N   0  19.2 N  0  N  0.....(a ) 5.4 I  7.2 M  0......* 7.2 I  9.6 M  0......** como el modulo del vector unitario es uno tenemos: I 2  M 2  N 2  1.......(b) de * y ** se tiene : 4 16 I   M  I2  M 2 3 9 reemplazando valores en (b) : I  0.8 , M  0.6 , N  0   hallando cosenos directores : 0.8 0.6 0 I  0.8 , M   0.6, N  0 0.8 2  0.62 0.8 2  0.62 0.6 2  0.82 rpta : (0.8, 0.6, 0)

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ESFUERZOS MAXIMOS: Ejercicio 05 Se tiene la siguiente matriz de esfuerzos que le corresponden a una viga:

 2 4 30    4 6 16  ( Mpa) 30 16 4  a) hallar los esfuerzos principales. b) determinar los esfuerzos cortantes máximos. SOLUCION 

Determinante de matriz es igual a cero:

4 30  2    4 6   16   0   30 16 4    6   16 4 16 4 6 (2   )  4.  30. 0 16 4   30 4   30 16 (2   )  4    6     256(2   )   16  4     1920   1920  900  6      0  3  12 2  1112  2088  0

1   28.93

2  39.08

3  1.85

  1  39.08 Mpa ,  2  1.85Mpa ,  3   28.93 Mpa , se tiene que :  1   2   3 0   39.08 0     0 1.85 0   0 0 28.93   Hallando esfuerzos cortantes maximos : ( 1 3 ) 2 ( 2 3 )  2 (  )  1 2 2

 max   max  max

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39.08  28.93  34.005 Mpa 2 1.85  28.93   15.39 Mpa 2 39.08  1.85   18.615 Mpa 2 

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Ejercicio 06

Encontrar el esfuerzo cortante máximo si el estado de esfuerzos en un punto es: 7 𝜎 = (0 0

0 0 8 6) 6 3

SOLUCION: 7−𝜆 Ecuación característica:| 0 0

0 8−𝜆 6

0 6 |=0 3−𝜆

Encontramos las raíces características desarrollando el determinante. [(7 − 𝜆)(8 − 𝜆)(3 − 𝜆) + 0 + 0] − [0 + 0 + (6)(6)(7 − 𝜆)] = 0 (7 − 𝜆)[(8 − 𝜆)(3 − 𝜆) − 36] = 0 (7 − 𝜆)(𝜆 − 12)(𝜆 + 1) = 0 ∴ 𝜆1 = 7,

𝜆2 = 12

𝜆3 = −1

𝜎2 = 7

𝜎3 = 12

 Esfuerzos principales: 𝜎1 = −1

 El esfuerzo principal máximo es: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

|𝜎3 − 𝜎1 | 10 − (−1) = 2 2 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 5.5

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ESTADO PLANO DE ESFUERZOS: Ejercicio 07 En una superficie plana se aplican esfuerzos, como se indican en la figura, en planos perpendiculares, como se indican en la figura; además se someten a esfuerzos cortantes. a) calcular el valor del esfuerzo cortante, sabiendo que el máximo esfuerzo principal es

350 kg / cm2 . b) Calcular el esfuerzo normal en el plano de esfuerzos y cortante máximo.

 y  150 kg / cm2

 x  240 kg / cm 2

SOLUCION: 

  240  xy  Formamos matriz de esfuerzos:    x xy        xy  y    xy 150 

a) Por dato  1  350 kg / cm 2 Reemplazamos en formula:

1 



350 

x

y  



  y   4 2 xy 2

x

2

 240  150    240  150 

700  90 

2

 4 2 xy

2

 90 

2

 4 2 xy

 xy  301.66 kg / cm2

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

Hallamos  2 con la fórmula:

2  2  2 



x

y  



  y   4 2 xy 2

x

2

 240  150    240  150 

2

 4(301.66) 2

2 90 

 90 

2

 4(301.66) 2 2

 2  112.40 kg / cm 2 b) El esfuerzo normal se obtiene:

 x`   y`  

x

y  2



 240  150  2

 45 kg / cm2

Esfuerzo máximo cortante:

 max  



 1   2   350  112.40  2



2

 231.2 kg / cm 2

Planos principales:

tan 21 

2 xy

x  y

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 tan 21 

2(301.66)  1  28.55 ,  2  90  28.55   2  118.55 240`140

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Ejercicio 08 La sección de una viga cuadrada, está sometida a diferentes esfuerzos; calcular los planos principales y esfuerzos principales.

 y  20 Mpa

 x  100 Mpa

 xy  80 Mpa

SOLUCION:  x  xy  100 80        80 20   xy  y 



Formamos matriz de esfuerzos:   



Hallamos Planos principales:

tan 21  

2 xy

x  y

 tan 21 

2(80)  1  26.5 ,  2  90  26.5   2  116.5 100  20

Esfuerzos principales:

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1  1 



x

y  



2

100  20   100  20 

2 



x

y  



2

 802

2

Esfuerzo cortante máximo:

 1   2  140  60  2



2

 100 Mpa

Esfuerzos normales:

 x`   y`  

  y   4 2 xy 2

x

100  20   100  20 

 max  

 802

2

 2  60 Mpa 

2

2

 1  140 Mpa

2 

  y   4 2 xy 2

x



x

y  2



140  60  2

 40 Mpa

Direcciones:

tan 21  

x  y 120  tan 21    1  18.5 , 2  90  28.55   2  71.5 2 xy 140

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EJERCICIOS SOBRE RECIPIENTES SOMETIDOS A PRESIÓN. RECIPIENTES DE DOBLE CURVATURA. ECUACIÓN DE LAPLACE. Ejercicio 09

El calderín de un compresor almacena aire comprimido a una presión de 600 kPa. Su diámetro interior es 600 mm y está fabricado con acero S275 de 2 mm. Comprobar que no se supera el límite elástico en el punto P según el criterio de von Mises.

Solución

La tensión circunferencial es:

𝑝𝑟 600 ∗ 103 ∗ 0.3 𝜎𝑡 = = = 9 ∗ 107 𝑃𝑎 = 90𝑀𝑃𝑎 −3 𝑒 2 ∗ 10

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Por otra parte, la tensión meridiana es:

𝑝𝑟 800 ∗ 103 ∗ 0.3 𝜎𝑚 = = = 4.5 ∗ 107 𝑃𝑎 = 45𝑀𝑃𝑎 −3 2𝑒 4 ∗ 10 Por lo tanto:

𝝈𝒆𝒒 = √𝝈𝒕 𝟐 + 𝝈𝒎 𝟐 − 𝝈𝒕 ∗ 𝝈𝒎 = 𝟕𝟕. 𝟗𝟒𝑴𝑷𝒂 < 𝟐𝟕𝟓𝑴𝑷𝒂

Ejercicio 10 El depósito de la figura está fabricado a partir de dos casquetes semiesféricos de acero S275 de 9 m de diámetro interior y 50 mm de espesor, unidos mediante tornillos. El gas contenido en el depósito está a una presión de 3MPa Se pide: a) Comprobar que no se alcanza el límite elástico en el depósito. b) Indicar el número necesario de tornillos para garantizar la unión si la resistencia a tracción de los tornillos es 𝑭𝒕, 𝑹𝒅 = 176,4 kN.

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Solución

a) La tensión en el depósito es:

𝑝𝑟 3 ∗ 106 ∗ 4.5 𝜎= = = 135𝑀𝑃𝑎 𝑒 2 ∗ 50 ∗ 10−3 Así pues, según von Mises

𝜎𝑒𝑞 = 𝜎 = 135𝑀𝑃𝑎 < 275MPa

b) La carga total que ha de soportar la unión es

𝑃𝑍 = 𝑝𝐴 = 3 ∗ 106 ∗ π ∗ 4.52 = 190.85 MN

Por lo tanto, el número de tornillos preciso ha de ser mayor de

𝑃𝑍 135 ∗ 106 n> = = 707.4 𝑅𝑡,𝑅𝑑 190.85 ∗ 103

Se precisan al menos 707 tornillos para garantizar la unión.

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