Sol 2 Progresiones Prob

SOLUCIONES (PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS PROGRESIONES)

1.

Es una P.A., con a1 = 6, d=4. Hallamos a 20 = 82 jardineras, a n = 4n + 2

2. Hallaremos las campanadas de 1, 2, 3, ..., 12 horas que corresponden a medio día y lo multiplicamos por 2 (día completo).

1+2+...+12=S12 =

(1 + 12 ) ⋅12 = 78 porque es P.A.

2 Total campanadas del día=2 ⋅ S12 = 156 campanadas

3. 7,10 '5,14,17 '5,... son los metros que vamos a utilizar para el piso 1,2,... a 59 = 7 + 58 ⋅ 3'5 = 210m, pues es P.A., a1 = 7, d = 3'5

4.

P.A., a1 = 86, a 6 = 134 ⇒ a 6 = a1 + 5d ⇒ 134 = 86 + 5d ⇒ d = 9 '6

Como a n = 230 ⇒ 230 = 86 + (n − 1) ⋅ 9 '6 ⇒ n = 16 ⇒ fila nº 16

5. Pablo sigue una P.A., a1 = 1.000, d = 1.000 ⇒ a10 = a1 + 9d ⇒ 10.000m recorre Pablo Emilio sigue una P.G., a1 = 200, r = 2 ⇒ a10 = a1 ⋅ r 9 ⇒ 102.400m recorre Emilio

6.

Antes: P.A., con a1 = 0 '50, d = 0 '60 Ahora: precio = 0 '01 ⋅ minuto

0 '50€ me cobrarían antes por media hora, 0 '30€ me cobrarán ahora por media hora. a 3 = 0 '50 + 2 ⋅ 0 '60 = 1'70€ me cobrarían antes por 3 horas, 1'80€ me cobrarán ahora por 3 horas. a 5 = 0 '50 + 4 ⋅ 0 '60 = 2 '90€ me cobrarían antes por 5 horas, 3€ me cobrarán ahora por 5 horas.

7. 1, 2, 4,8,16,... bacterias que habrá después de 0,10, 20, 30, 40, ... minutos ⇒ P.G. a1 = 1, r = 2. 5 horas = 5 ⋅ 6 = 30 períodos de 10 minutos ⇒ a 31 = 1⋅ 230 = 1.073.741.824 bacterias

8. Juan: P.A. a1 = 2.000,d=0 ⇒ S12 =

( 2.000 + 2.000 ) ⋅12 = 24.000€ anuales Juan 2

Marta: P.A. a1 = 500,d=300 ⇒ a12 = 500 + 11⋅ 300 = 3800 ⇒ S12 = 7 ⋅ ( 2 − 1)

( 500 + 3.800 ) ⋅12 = 25.800€ anuales Marta

12

María: P.G. a1 = 7,r=2 ⇒ S12 =

2 −1 El mejor sueldo anual es el de María.

= 28.665€ anuales María

2

9. Hay 1+2+...+16=S16 =

(1 + 16 ) ⋅16 = 136 troncos en total 2

10. El rumor es conocido por 1, 3, 9, 27, ... nuevas personas en el momento inicial, 9h, 9'30h, ... Es una P.G., con a1 = 1, r = 3 Para las 9h tenemos a 2 , para las 10h tenemos a 4 ,..., luego para las 16h será a16 ⇒ hallar en 16 El total de personas que conocen el rumor es la suma de los que se van enterando, es decir, S16 =

1 ⋅ (316 − 1) = 21.523.360 personas 3 −1

11. 5, 8,11, ... euros recibe por 1m, 2m, 3m, ... Es una P.A., con a1 = 5, d = 3. Hay que averiguar a 27 = 5 + 26 ⋅ 3 = 83€ recibirá

12. 5, 25, 125, ... familias que van recibiendo la carta Es una P.G., con a1 = 5, r = 5. Hay que averiguar n para que a n = 625 625 = 5 ⋅ 5n −1 ⇒ 125 = 5n −1 ⇒ 53 = 5n −1 ⇒ 3 = n − 1 ⇒ n = 4 ⇒ 4 envíos

13. 10, 20,40, ... virus que tenemos en el inicio, después de 1 día, de 2 días, ... Es una P.G., con a1 = 10, r = 2. Como después de un día es el segundo término de la sucesión, después de 15 días será el término 16 de la sucesión ⇒ a16 = 10 ⋅ 215 = 327.680 virus

14. a1 = 200.000, a 3 = 345.600 es una P.G. ⇒ a 3 = a1 ⋅ r 2 ⇒ 345.600=200.000 ⋅ r 2 ⇒ r 2 = 1'728 ⇒ r = ± 1'728 = ±1'31 (en este caso, el -1'31 no tiene sentido, pues no pueden salir términos negativos, que indicarían nº negativo de personas) ⇒ r = 1'31 En 1997, a 2 = a1 ⋅ r = 200.000 ⋅1'31 = 262.907 personas en 1997 En 2001, a 6 = a1 ⋅ r 5 = 200.000 ⋅ (1 '31) = 771.590 personas en 2001 5

15. 10, 20, 40, ... es una P.G. ⇒ a1 = 10, r = 2 ⇒ S14 =

10 ⋅ ( 214 − 1)

0'15 ⋅163.830=24.574'50€

2 −1

16. 7+14+21+...+a 20 es la suma una P.A. de a1 = 7, d = 7 ⇒ S 20 =

= 163.830 litros totales sacamos

20 ⋅ ( 7 + 140 ) 2

= 1.470

a 20 = 7 + 19 ⋅ 7 = 140

17.

Cada año, la población se ve multiplicada por 1'02, luego tenemos una P.G. de a1 = 5.000, r = 1'02 ⇒ a11 = 5.000 ⋅ (1'02 ) = 6.095 millones de habitantes 10

18.

P.A. de a 3 = 11, d = 3 ⇒ a 3 = a1 + 2d ⇒ 11 = a1 + 6 ⇒ a1 = 5 árboles en la 1ª fila

a 6 = a1 + 5d = 5 + 15 = 20 árboles en la última fila S6 =

( 5 + 20 ) ⋅ 6 = 75 árboles en total 2

19. Debemos andar 20,30,40,... desde el pozo al primer, segundo, tercer, ... árbol (de ida y lo mismo de vuelta) P.A. de a1 = 20, d = 10 ⇒ S100 =

(20 + 1.010) ⋅100 = 51.500 m de ida ⇒ 2 ⋅ 51.500 = 103.000 m totales recorre 2

a100 = 20 + 99 ⋅10 = 1.010

20. 1, 2, 4, ..., es P.G. de a1 = 1, r = 2 ⇒ a 64 = 1⋅ 263 = 9 '22 ⋅1018 granos por la última casilla S64 =

1⋅ ( 264 − 1) 2 −1

= 1'84 ⋅1019 dg totales = 1'84 ⋅1012 toneladas totales

21.

(1 + 30) ⋅ 30 = 465€ paga el mendigo 2 0 '00001 ⋅ (230 − 1) El ávaro paga 0'00001, 0'00002, 0'00004, ..., es P.G. de a1 = 0 '00001, r = 2 ⇒ S30 = = 10.737 ' 42€ paga el ávaro 2 −1 10.737 '42 − 465 = 10.272 '42€ debe pagar el ávaro al mendigo El mendigo paga 1, 2, 3, ..., es P.A. de a1 = 1, d = 1 ⇒ S30 =

22. 13

1 1 512, 256, 128, ..., es P.G. de a1 = 512, r = ⇒ a14 = 512 ⋅   = 0 '0625 litros =62'5 ml 2 2

23. 3

P.G. de a1 = 12, r =

2 2 ⇒ a 4 = 12 ⋅   = 3'55 m en el tercer rebote 3 3

6

2 a 7 = 12 ⋅   = 1'05 m en el sexto rebote 3 2 a n = 12 ⋅   3

n −1

50

2 a 51 = 12 ⋅   = 1'88 ⋅10−8 m en el quincuagésimo rebote 3 12 2 ⋅ S∞ − 12 = 2 ⋅ − 12 = 60 m recorre la pelota 2 1-   3

24. 1 10 1 − = = 0 '066 ⇒ 6 '6% es el porcentaje de disminución 6 100 15 P.G. de r = 1 − 0 '066 = 0 ' 934

25.

1.803'04,1.863'14,... es P.A. de a1 = 1.803'04, d = 60 '10 En 10 años hay 40 trimestres ⇒ S 40 =

(1.803'04 + 4.146 '94 ) ⋅ 40 = 118.999 ' 60€ 2

a 40 = 1.803'04 + 39 ⋅ 60 '10 = 4.146 '94

26. P.A. de a1 = 270 ' 46, d = −9 '02 ⇒ S30 =

( 270 ' 46 + 8 '88 ) ⋅ 30 = 4.190 '10€ 2

a 30 = 270 ' 46 + 29 ⋅ ( −9 '02 ) = 8'88

27. 4

1 1 P.G. de a1 = 48.080 '97, r = ⇒ a5 = 48.080 '97 ⋅   = 3.005'06€ le costó al 5º dueño 2 2 9

1 a10 = 48.080 ' 97 ⋅   = 93'91€ le costó al 10º dueño 2   1 6  48.080 '97 ⋅    − 1  2     = 94.659 ' 41€ pagaron entre los seis primeros dueños S6 = 1 −1 2   1 10  48.080 '97 ⋅    − 1  2     = 96.068 '03€ pagaron entre los diez primeros dueños S10 = 1 −1 2

28. P.G. de r = 1' 2 ⇒ a5 = peso inicial ⋅ (1'02 )

4

29.

P.G. de a1 = 3.000, r = 1'05 ⇒ a 5 = 3.000 ⋅ (1'05 ) = 3.646 '52€ el 4º año 4

a 9 = 3.000 ⋅ (1' 05) = 4.432 '37€ el 8º año 8