Soal Osn Smp Intan.docx

1. Misalkan nn adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima 3n−43n−4, 4n−54n−5, dan 5n−35n−3 adalah... A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 Alternatif Pembahasan: show Dikatakan bahwa nn adalah bilangan bulat, dan 3n−43n−4, 4n−54n−5, dan 5n−35n−3bilangan prima, maka langsung kita uji untuk nilai nn bilangan bulat. 





untuk n=0n=0 maka;

3n−4=−43n−4=−4 (Tidak Memenuhi)(Tidak Memenuhi), 4n−5=−54n−5=−5 (Tidak Memenuhi)(Tidak Memenuhi), dan 5n−3=−35n−3=−3 (Tidak Memenuhi)(Tidak Memenuhi) untuk n=1n=1 maka; 3n−4=−13n−4=−1 (Tidak Memenuhi)(Tidak Memenuhi), 4n−5=−14n−5=−1 (Tidak Memenuhi)(Tidak Memenuhi), dan 5n−3=25n−3=2 (Memenuhi)(Memenuhi) untuk n=2n=2 maka; 3n−4=23n−4=2 (Memenuhi)(Memenuhi), 4n−5=34n−5=3 (Memenuhi)(Memenuhi), dan 5n−3=75n−3=7 (Memenuhi)(Memenuhi)

Untuk n=2n=2, 3n−43n−4, 4n−54n−5, dan 5n−35n−3 adalah bilangan bilangan prima. Sehingga jawabnya adalah 2+3+7=122+3+7=12 \A\A

2.Diketahui aa dan bb adalah dua bilangan bulat positif, serta bb merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada 20172017. Jika 1a+4b=1121a+4b=112 maka pasangan bilangan (a,b)(a,b) yang mungkin ada sebanyak... A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 Alternatif Pembahasan: 1a+4b=1121a+4b=112 b+4aab=112b+4aab=112

show

12b+48a=ab12b+48a=ab ab−48a−12b=0ab−48a−12b=0 (a−12)(b−48)−12⋅48=0(a−12)(b−48)−12⋅48=0 (a−12)(b−48)=12⋅48(a−12)(b−48)=12⋅48 (a−12)(b−48)=22⋅3⋅24⋅3(a−12)(b−48)=22⋅3⋅24⋅3 (a−12)(b−48)=26⋅32(a−12)(b−48)=26⋅32 Karena bb merupakan bilangan ganjil maka bentuk perkalian ruas kanan yang mungkin adalah   

(a−12)(b−48)=26⋅32⋅30(a−12)(b−48)=26⋅32⋅30 dengan (a−12)=26⋅32(a−12)=26⋅32 dan (b−48)=30(b−48)=30 (a−12)(b−48)=26⋅31⋅31(a−12)(b−48)=26⋅31⋅31 dengan (a−12)=26⋅31(a−12)=26⋅31 dan (b−48)=31(b−48)=31 (a−12)(b−48)=26⋅32(a−12)(b−48)=26⋅32 dengan (a−12)=26(a−12)=26 dan (b−48)=32(b−48)=32

maka pasangan bilangan (a,b)(a,b) yang mungkin ada sebanyak 33 \B

4. Jika bilangan bulat positif xx dan yy merupakan solusi sistem persamaan

x+2y=p+6x+2y=p+6 2x−y=25−2p2x−y=25−2p linear maka banyak nilai pp adalah... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Alternatif Pembahasan: show x+2y=p+6x+2y=p+6...(pers.1)(pers.1) 2x−y=25−2p2x−y=25−2p...(pers.2)(pers.2) Solusi sistem persamaan linear kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi persamaan (1)(1) dan (2)(2) x+2y=p+6x+2y=p+6 |×2×2 2x−y=25−2p2x−y=25−2p |×1×1 ------------------------------

2x+4y=2p+122x+4y=2p+12 2x−y=25−2p2x−y=25−2p _ ------------------------------

5y=4p−135y=4p−13

y=4p−135y=4p−135 Karena nilai yy harus bilangan bulat positif, maka nilai p>134p>134 dan 4p−134p−13 harus kelipatan 5. Nilai pp yang memenuhi adalah 7,12,17,22,...7,12,17,22,... x+2y=p+6x+2y=p+6 |×1×1 2x−y=25−2p2x−y=25−2p |×2×2 ------------------------------

x+2y=p+6x+2y=p+6 4x−2y=50−4p4x−2y=50−4p + ------------------------------

5x=56−3p5x=56−3p x=56−3p5x=56−3p5 Karena nilai xx harus bilangan bulat positif, maka nilai p<18p<18 dan 56−3p56−3p harus kelipatan 5. Nilai pp yang memenuhi adalah 17,12,7,2,...17,12,7,2,... Nilai pp yang memenuhi untuk xx dan yy adalah 7,12,177,12,17 dan pp yang diinginkan adalah banyaknya yaitu 33. \B\B

5. Diketahui fungsi ff memenuhi persamaan 5f(1x)+f(2x)x2=x5f(1x)+f(2x)x2=x, untuk x≠0x≠0. Nilai f(1)f(1) sama dengan... A. 3737 B. 314314 C. 318318 D. 1717 Alternatif Pembahasan:

show

5f(1x)+f(2x)x2=x5f(1x)+f(2x)x2=x Untuk x=1x=1 5f(11)+f(2⋅1)12=15f(11)+f(2⋅1)12=1 5f(1)+f(2)1=15f(1)+f(2)1=1 5f(1)+f(2)=15f(1)+f(2)=1 ... [pers.1] Selanjutnya untuk memilih nilai xx sebenarnya adalah sembarang asal tidak melanggar syarat x≠0x≠0. Tetapi karena untuk x=1x=1 terdapat variabel f(1)f(1) dan f(2)f(2) maka kita usahakan

pemilihan nilai xx berikutnya akan memunculkan variabel f(1)f(1) dan f(2)f(2). Untuk x=12x=12

5f(112)+f(2⋅12)(12)2=125f(112)+f(2⋅12)(12)2=12 5f(112)+f(1)14=125f(112)+f(1)14=12 5f(2)+4f(1)=125f(2)+4f(1)=12 ... [pers.2] Lalu Eliminasi atau substitusi persamaan (1)(1) dan (2)(2) 5f(1)+f(2)=15f(1)+f(2)=1 |×5×5 5f(2)+4f(1)=125f(2)+4f(1)=12 |×1×1 ---------------------------------

25f(1)+5f(2)=525f(1)+5f(2)=5 5f(2)+4f(1)=125f(2)+4f(1)=12 _ ---------------------------------

21f(1)=9221f(1)=92 f(1)=314f(1)=314 \B\B 6. Pada jajar genjang ABCDABCD, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm4 cm dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah 9 cm9 cm. Luas jajar genjang ABCDABCD adalah...

A. minimal 36 cm236 cm2. B. tepat 36 cm236 cm2. C. maksimal 36 cm236 cm2. D. Antara 36 cm236 cm2 dan 81 cm281 cm2. Alternatif Pembahasan:

show

Untuk menghitung luas jajaran genjang sama dengan menghitung luas persegi panjang karena jajar genjang adalah persegi empat, yaitu alas×tinggialas×tinggi Jika pada jajar genjang kita beri titik EE pada ABAB sehingga DEDE adalah garis tinggi. Sehingga berlaku AD2=AE2+DE2AD2=AE2+DE2

AD2=42+DE2AD2=42+DE2 AD2=16+DE2AD2=16+DE2 AD=√ 42+DE2 AD=42+DE2 maka dari persamaan diatas dapat kita simpulkan nilai AD>4AD>4 sehingga luas jajar genjang dengan alas ADAD dan tinggi 9 cm9 cm adalah,

[ABCD]=AD×9[ABCD]=AD×9 [ABCD]>36[ABCD]>36 Jika pada jajar genjang kita beri titik FF pada ADAD sehingga BFBF adalah garis tinggi. Sehingga berlaku AB2=BF2+AF2AB2=BF2+AF2

AB2=BF2+AF2AB2=BF2+AF2 AB2=92+AF2AB2=92+AF2 AB=√ 92+AF2 AB=92+AF2 maka dari persamaan diatas dapat kita simpulkan nilai AB>9AB>9 sehingga luas jajar genjang dengan alas ABAB dan tinggi 4 cm4 cm adalah,

[ABCD]=AB×4[ABCD]=AB×4 [ABCD]>36[ABCD]>36 Saat jajar genjang membentuk empat persegi panjang dengan jarak antara sepasang sisi sejajar adalah 4 cm4 cm dan 9 cm9 cm maka luas jajar genjang adalah 36cm236cm2. Kesimpulan akhir luas jajar genjang adalah Minimal 36cm236cm2 \A\A

7. Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 11 satuan panjang dan ∠DAB=30∘∠DAB=30∘. Luas daerah trapesium ABCDABCD yang diarsir adalah...

A. 1212. B. 11. C. 12√ 3 123. D. 12+12√ 3 12+123. Alternatif Pembahasan: show Untuk mempermudah pengucapan kita beri beberapa titik tambahan pada gambar, Titik pusat lingkaran kita beri nama titik OO Pada garis ABAB kita beri titik EE dimana DE=BCDE=BC, sehingga kita peroleh persegi panjang DEBCDEBC dan segitiga siku-siku AEDAED

Karena △AED△AED adalah segitiga siku-siku maka berlaku;

sin 30∘=DEADsin 30∘=DEAD 12=DE212=DE2 DE=1DE=1 AE2+DE2=AD2AE2+DE2=AD2 AE2+12=22AE2+12=22 AE2=3AE2=3 AE=√ 3 AE=3 Kita perhatikan kembali △ODE△ODE adalah segitiga sama sisi, sehingga berlaku;

OD2=OF2+DF2OD2=OF2+DF2 12=OF2+(12)212=OF2+(12)2 1=OF2+141=OF2+14 OF2=1−14OF2=1−14 OF=√ 34 OF=34 OF=12√ 3 OF=123 dari hasil perhitungan diatas bisa kita peroleh panjang CDCD,

CD=1−12√ 3 CD=1−123

Luas ABCDABCD=Luas ADEADE + Luas BCDEBCDE

[ABCD]=[ADE]+[BCDE][ABCD]=[ADE]+[BCDE] [ABCD]=12AE⋅ED+CD⋅BC[ABCD]=12AE⋅ED+CD⋅BC [ABCD]=12√ 3 ⋅1+(1−12√ 3 )⋅1[ABCD]=123⋅1+(1−123)⋅1 [ABCD]=12√ 3 +1−12√ 3 [ABCD]=123+1−123 [ABCD]=1[ABCD]=1 \B\B 8. Diketahui persegi panjang ABCDABCD dengan AB=12AB=12 dan BC=5BC=5. Panjang lintasan DPQBDPQB pada gambar berikut adalah...

A. 1191311913 B. 1201312013 C. 2141321413 D. 2391323913 Alternatif Pembahasan: show ABCDABCD adalah persegi panjang sehingga berlaku BQ=DPBQ=DP dan CQ=APCQ=AP

AC2=AB2+BC2AC2=AB2+BC2 AC2=122+52AC2=122+52 AC2=144+25AC2=144+25 AC=13AC=13 Luas ABCDABCD dapat kita hitung, yaitu;

AB⋅BC=2⋅[ABC]AB⋅BC=2⋅[ABC] 12⋅5=2⋅12AC⋅BQ12⋅5=2⋅12AC⋅BQ

60=13⋅BQ60=13⋅BQ BQ=6013BQ=6013 DP=6013DP=6013 Sekarang kita coba hitung panjang PQPQ, dari △BQC△BQC

BC2=CQ2+BQ2BC2=CQ2+BQ2 52=CQ2+(6013)252=CQ2+(6013)2 CQ2=52−(6013)2CQ2=52−(6013)2 CQ2=(5+6013)(5−6013)CQ2=(5+6013)(5−6013) CQ2=(65+6013)(65−6013)CQ2=(65+6013)(65−6013) CQ2=(12513)(513)CQ2=(12513)(513) CQ2=625169CQ2=625169 CQ=2513CQ=2513 PQ=AC−2⋅CQPQ=AC−2⋅CQ PQ=13−2⋅2513PQ=13−2⋅2513 PQ=13−5013PQ=13−5013 Panjang lintasan

DPQB=DP+PQ+QBDPQB=DP+PQ+QB DPQB=6013+13−5013+6013DPQB=6013+13−5013+6013 DPQB=7013+13DPQB=7013+13 DPQB=23913DPQB=23913 \D\D 9. Diketahui M={10,11,12,13,⋯,99}M={10,11,12,13,⋯,99} dan AA adalah himpunan bagian MM dari yang mempunyai 44 anggota. Jika jumlah semua anggota AAmerupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan AA yang mungkin adalah... A. 1.9801.980 B. 148.995148.995 C. 297.990297.990 D. 299.970299.970 Alternatif Pembahasan: show Anggota himpunan A ada sebanyak 4 dan jumlah keempatnya adalah bilangan genap. Jumlah 4 bilangan adalah bilangan genap terjadi dari beberap kemungkinan, 1. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan genap 2. Dua adalah bilangan genap dan dua adalah bilangan ganjil

3. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan ganjil

Karena AA adalah himpunan bagian dari M=(10,11,12,13,⋯,99)M=(10,11,12,13,⋯,99), maka banyak anggota AA yang mungkin adalah,

1. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan genap

Mgenap=(10,12,14,⋯,98)Mgenap=(10,12,14,⋯,98) n(Mgenap)=45n(Mgenap)=45 Banyak anggota AA yang beranggotakan 4 bilangan genap adalah, n(A)=C454n(A)=C445 n(A)=45⋅44⋅43⋅424⋅3⋅2⋅1n(A)=45⋅44⋅43⋅424⋅3⋅2⋅1 n(A)=148.995n(A)=148.995 2. Dua adalah bilangan genap dan dua adalah bilangan ganjil

Mgenap=(10,12,14,⋯,98)Mgenap=(10,12,14,⋯,98) n(Mgenap)=45n(Mgenap)=45 Mganjil=(11,13,15,⋯,99)Mganjil=(11,13,15,⋯,99) n(Mganjil)=45n(Mganjil)=45 Banyak anggota AA yang beranggotakan 2 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil adalah,

n(A)=C452⋅C452n(A)=C245⋅C245 n(A)=45⋅442⋅1⋅45⋅442⋅1n(A)=45⋅442⋅1⋅45⋅442⋅1 n(A)=990⋅990n(A)=990⋅990 n(A)=980.100n(A)=980.100 3. Keempat bilangan tersebut adalah bilangan ganjil

Mganjil=(11,13,15,⋯,99)Mganjil=(11,13,15,⋯,99) n(Mganjil)=45n(Mganjil)=45 Banyak anggota AAyang beranggotakan 4 bilangan ganjil adalah, n(A)=C454n(A)=C445 n(A)=45⋅44⋅43⋅424⋅3⋅2⋅1n(A)=45⋅44⋅43⋅424⋅3⋅2⋅1 n( A)=148.995n(A)=148.995 Total banyak kemungkinan anggota AA adalah Kemungkinan 1 + Kemungkinan 2 + Kemungkinan 3.

148.995+980.100+148.995=1.278.090148.995+980.100+148.995=1.278.090 \-\-

10. Dari 44 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan x1, x2, x3x1, x2, x3 dan x4x4. Jika jangkauan data tersebut adalah 1616, x1=16medianx1=16median, x2=12medianx2=12median, dan x3=x4x3=x4, maka nilai rata-rata data tersebut adalah... A. 1010 B. 1111 C. 1212 D. 1313 Alternatif Pembahasan: show Data x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4 sudah terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar. Maka data-data yang bisa kita peroleh antara lain;   







J=x4−x1J=x4−x1 16=x4−x116=x4−x1 Me=x2+x32Me=x2+x32 dan x3=x4x3=x4 x1=16 Medianx1=16 Median x1=16(x2+x32)x1=16(x2+x32) x1=x2+x312x1=x2+x312 x2=12 Medianx2=12 Median x2=12(x2+x32)x2=12(x2+x32) x2=x2+x34x2=x2+x34 4x2=x2+x34x2=x2+x3 3x2=x33x2=x3 x4−x1=16x4−x1=16 x3−x2+x312=16x3−x2+x312=16 3x2−x2+3x212=163x2−x2+3x212=16 3x2−4x212=163x2−4x212=16 3x2−x23=163x2−x23=16 9x23−x23=169x23−x23=16 8x2=488x2=48 x2=6x2=6 3x2=x33x2=x3 3⋅6=x33⋅6=x3 x3=18x3=18 x4=18x4=18



x1=x2+x312x1=x2+x312 x1=6+1812x1=6+1812 x1=2x1=2

Rata-rata data adalah

¯x=x1+x2+x3+x44x¯=x1+x2+x3+x44 ¯x=2+6+18+184x¯=2+6+18+184 ¯x=444x¯=444 ¯x=11x¯=11 \B Soal dan Pembahasan Isian Singkat 1. Diketahui nn dan kk adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai kk yang memenuhi pertidaksamaan 815
05195 dari pertidaksamaan diatas jika kita anggap n+k=195n+k=195 maka 104
58 67
adalah 9797 Kita uji apakah untuk nilai n=112n=112 hanya ada satu nilai kk yang memenuhi, 815
<78 67⋅1616
P=1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+2018⋅22017P=1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+2018⋅22017 ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan 2 sehingga kita peroleh;

2P=2+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+2018⋅220182P=2+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+2018⋅22018 P=1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+2018⋅22017P=1+2⋅2+3⋅22+4⋅23+⋯+2018⋅22017 2P=2+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+2018⋅220182P=2+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+2018⋅22018 −− -----------------------------------------------------------------------------------

P−2P=1+2+22+23+⋯+22017−2018⋅22018P−2P=1+2+22+23+⋯+22017−2018⋅2201 8 −P=1+2+22+23+⋯+22017−2018⋅22018−P=1+2+22+23+⋯+22017−2018⋅22018 P=2018⋅22018−(1+2+22+23+⋯+22017)P=2018⋅22018−(1+2+22+23+⋯+22017) P=2018⋅22018−(22018−1)P=2018⋅22018−(22018−1) P=2018⋅22018−22018+1P=2018⋅22018−22018+1 P=22018(2018−1)+1P=22018(2018−1)+1 P=22018(2017)+1P=22018(2017)+1 P=2017⋅22018+1P=2017⋅22018+1 3. Diketahui p,q,r,sp,q,r,s adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan rr dan ssadalah solusi persamaan x2+px+q=0x2+px+q=0 serta bilangan pp dan qq adalah solusi persamaan x2+rx+s=0x2+rx+s=0. Nilai p+q+r+sp+q+r+s sama dengan... Alternatif Pembahasan: show Pada soal disampaikan solusi x2+px+q=0x2+px+q=0 adalah rr dan ss sehingga berlaku

r+s=−pr+s=−p

rs=qrs=q Lalu solusi solusi x2+rx+s=0x2+rx+s=0 adalah pp dan qq sehingga berlaku

p+q=−rp+q=−r pq=spq=s r+s=−pr+s=−p p+q=−rp+q=−r −− ---------------------

r+s−p−q=−p+rr+s−p−q=−p+r s=qs=q rs=qrs=q rq=qrq=q r=1r=1 pq=spq=s ps=sps=s p=1p=1 r+s=−pr+s=−p p+q=−rp+q=−r ++ ---------------------

p+q+r+s=−p−rp+q+r+s=−p−r p+q+r+s=−(p+r)p+q+r+s=−(p+r) p+q+r+s=−(1+1)p+q+r+s=−(1+1) p+q+r+s=−2