Soal Aplikasi Persamaan Diferensial

Soal Aplikasi Persamaan Diferensial Nama : Tuti Alawiah NIM : 106017000555 Kelas : VIB Soal Jika populasi suatu kota belipat ganda dalam 50 tahun, dalam berapa tahun populasi itu akan berlipat tiga jika diasumsikan bahwa kecepatan bertambah sebanding dengan jumlah penduduk?

Jawab Misal y menunjukkan populasi pada saat t tahun dan y0 adalah populasi pada saat t = 0, maka dy = ky atau dt

dy = k dt y .............(1)

dimana k hádala factor pembanding  Cara I : dy = k dt y dy ∫ y = ∫ k dt ln y = kt ln c y = ce kt

.......................(2)  Pada saat t = 0 dan y = y 0 , dari persamaan (2) diperoleh c = y 0 ,

kt jadi y = y 0 e

……………...(3)  Pada saat t = 50 dan y = y 0 dari persamaan (3) diperoleh

2 y 0 = y 0 e 50 k

atau e 50 k = 2

 Bila y = 3y 0 , dari persamaan (3) menghasilkan 3 = e , maka kt

350 = e 50 kt (e 50 k ) t = 2 t → t = 79

 Cara II :  Kita akan mengintegrasikan persamaan (1) dengan batasbatas t = 0, 2 y0

∫

y0

y = y 0 , dan t = 50,

y = 2 y0

50

dy = k ∫ dt , y 0

ln 2 y 0 − ln y 0 = 50 k 50 k = ln 2  Kita akan mengintegrasikan persamaan (1) dengan batasbatas t = 0, 3 y0

∫

y0

y = y 0 , dan t = t ,

y = 3 y0

t

dy = k ∫ dt , y 0

ln 3 = k t Maka 50 ln 3 = 50kt = t ln 2 t=

50 ln 3 = 79 ln 2

Jadi, populasi akan berlipat tiga dalam waktu 79 tahun