Soal Aplikasi Nasab

Nama : MAHMUDAH NIM : 106017000486 Soal Aplikasi  Suatu massa m (gambar 4-4) digantungkan pada ujung suatu pegas tegak dengan konstanta k (gaya yang diinginkan untuk menghasilkan regangan satuan). Suatu gaya luar f(t) bekerja pada massa dan juga suatu gaya tahanan yang sebanding dengan kecepatan sesaatnya. Andaikan bahwa x adalah perpindahan massa pada saat t dan massa bergerak dari keadaan diam pada x = 0 a. Tentukan suatu persamaan differensial untuk gerakan ini b. Tentukan x pada saat t Jawab : a. Gaya tahanan tersebut diberikan oleh − β

dx , gaya pembalikan pegas diberikan dt

oleh –kx. Maka berdasarkan hukum Newton. m Atau Dimana

m

d 2x dx = −β − kx + F (t ) 2 dt dt

------------ x=0

d 2x dx +β + kx = F (t ) 2 dt dt

x = 0 , x′ = 0

x

(1) (2)

-----Gambar 4-4

b. Ambil transformasi Laplace dari (1) , L{ F (t )} = F ( s ), L( x ) = X , diperoleh

[

]

m s 2 X − sx(0) − x ′(0) + β [ sX − x (0)] + kX = F ( s) Sehingga dengan menggunakan (2) X =

Dimana R =

F (s) = ms + βs + k 2

F ( s) 2   β  m  s +  + R 2m   

k β2 disini ada 3 kasus yang diperhatikan − m 4m 2

Kasus 1 : R > 0 Dalam kasus ini misalkan R = w 2 diperoleh     sin wt − βt 1   2m w L−1  = e  2  s + β  + w2      2m  Kemudian gunakan teorema konvolusi, dari (3) kita peroleh t

x=

1 − β ( t −u ) 2m F (u ) e sin w(t − u )du ∫ wm 0

Kasus 2 : R = 0     1 − βt  −1  = te 2 m dan teorema konvolusi (3) memberikan : Dalam kasus ini L  2   s + β      2m   1

x=

1 − β ( t −u ) m F ( u )( t − u ) e du m ∫0

Kasus 3 : R < 0 Dalam kasus ini R = −α 2 diperoleh :     sin αt − βt 1  2m α −1  L  =e 2  s + β  + α 2      2m  Kemudian gunakan teorema kovolusi (3) yang memberikan : t

1 − β ( t −u ) 2m x= F ( u ) e sinh α (t − u )du αm ∫0