Soal Aplikasi

1. Suatu batang yang sama (uniform) membawa tiga piringan seperti pada gambar di samping. Momen inersia kutub piringan pada salah satu sisinya adalah I, dan pada piringan yang tengah adalah 4I. Konstanta kekakuan putiran (torsial stiffnes) batang antara dua piringan (putiran diperlukan untuk menghasilkan suatu perbedaan perpindahan sudut satu radian

antara piringan-piringan secara berurutan) adalah k. Carilah gerakan piringan jika suatu putiran 2T0 sin ωt dikenakan pada piringan yang tengah, dengan mengandaikan pada t=0 piringan dalam keadaan diam dan tak ada putaran pada batang.

Jawab: Pada saat t, misalkan perpindahan sudut piringan pada salah satu sisinya adalah θ1 dan pada yang di tengah adalah θ 2 . Perbedaan - perbedaan putaran sudut pada sisi-sisi dua bagian batang, dari kiri ke kanan adalah θ 2 − θ1 dan θ1 − θ 2 . Putiran kembali yang bekerja pada piringan adalah masing-masing k (θ 2 − θ1 ), k (θ1 − θ 2 ) − k (θ 2 − θ1 ) dan − k (θ1 − θ 2 ) . Putiran total yang bekerja pada

massa apabila berotasi, sama dengan hasil kali momen inersia kutub massa terhadap sumbu rotasi dan percepatan sudutnya; dengan demikian persamaan gerak piringan yang di tengah adalah d 2θ 4 I 22 = k (θ1 − θ 2 ) − k (θ 2 − θ1 ) + 2T0 sin ωt atau (2 ID 2 + k )θ 2 = kθ1 + T0 sin ωt dt 1) dan persamaan salah satu sisi piringan adalah d 2θ I 21 = k (θ 2 − θ1 ) atau ( ID 2 + k )θ1 = kθ 2 dt 2) 2 Dioperasikan pada 2) dengan (2 ID + k ) dan disubstitusikan dari 1), (2 ID 2 + k )( ID 2 + k )θ1 = k (2 ID 2 + k )θ 2 = k 2θ1 + T0 k sin ωt , atau 2 2 2 3) D ( 2 I D + 3kI )θ1 = T0 k sin ωt. Akar-akar karakteristiknya 0, 0, ai, -ai, dimana a2=3k/2I, dan

T0 k sin ωt Iω (2 Iω 2 − 3k ) Tk = C1 + C2t + C3 cos αt + C4 sin αt + 2 2 0 2 sin ωt 2 I ω (ω − α 2 ) I dari 2), θ 2 = ( D 2 + 1)θ1 dan k 4)

θ1 = C1 + C2t + C3 cos αt + C4 sin αt +

2

I I T k − T ω2I θ 2 = C1 + C2t + C3 (1 − α 2 ) cos αt + C4 (1 − α 2 ) sin αt + 20 2 20 sin ωt k k 2 I ω (ω − α 2 ) 5) Dari 4) dan 5), diperoleh dengan menurunkan, dθ1 Tk 4' ) = C2 − C3α sin αt + C4α cos αt + 2 0 2 cos ωt , dan dt 2 I ω (ω − α 2 ) 5' )

dθ 2 I 2 I 2 T0 k − T0ω 2 I = C2 − C3α (1 − α ) sin αt + C4α (1 − α ) cos αt + 2 cos ωt dt k k 2 I ω (ω 2 − α 2 )

θ1 = θ 2 = 0,

dθ1 dθ 2 = =0 dt dt

jika t = 0, diperoleh C1 + C2 = 0 Gunakan syarat awal I Tk I 2 T0 k − T0ω 2 I C1 + C3 (1 − α 2 ) = 0, C2 + C4α + 2 0 2 = 0 , dan C + C α ( 1 − α ) + =0 2 4 k 2 I ω (ω − α 2 ) k 2 I 2ω (ω 2 − α 2 ) T0ω T maka C1 = C3 = 0, C4 = − ; C2 = 0 2 2 3Iα (ω − α ) 3Iω T0 t α 2 sin ωt ω sin αt T0 t α 3 sin ωt − ω 3 sin αt ( + 2 2 − ) = ( + ), dan 3I ω ω (ω − α 2 ) α (ω 2 − α 2 ) 3I ω αω 2 (ω 2 − α 2 ) T (α sin ωt − ω sin αt ) θ 2 = θ1 − 0 2 Iα (ω 2 − α 2 )

θ1 =