Soal 2.docx

GEOMETRI Kategori: Sulit Sumber: Buat Sendiri 1. Ibu Adi ingin membuat kue berbentuk lingkaran. Diatas kue diisikan hiasan berbentuk segitiga samasisi dengan ujung-ujung segitiga menyinggung keliling permukaan kue. Di dalam segitiga juga ditambahkan hiasan berbentuk lingkaran lagi dengan luas

75  sedemikian hingga 9

lingkaran tersebut menyinggung sisi-sisi segitiga. Berapakah luas daerah di dalam kue namun di luar segitiga… satuan luas 2  a. 20   3  3  4  b. 20   3  3  2  c. 25   3  3  4  d. 25   3  3  4  e.    3  3 

Jawaban: C Pembahasan:

ditanyakan: luas daerah yang diarsir = …? 75   r 2 9 75 r2  9 75 5 r  3 9 3

.r =jari-jari lingkaran dalam Diketahui bahwa segitiga ABC sama sisi, jadi A  B  C    60

1 r  AD tan  2 1 1 r  AC tan 60 2 2 1 r  AC tan 30 2 5 1 1 3  AC. 3 3 2 3 1 AC  5 2 AC  10  AB  BC

Jari-jari lingkaran luar (R):

AC 2 sin  10 R 1 2. 3 2 10 R 3

R

Luas segitiga ABC =

ss  AB s  BC s  AC   15.5.5.5  1875  25 3 Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran luar – luas segitiga

L  R 2  25 3 2

 10  L   3   25 3 3  100 L   25 3 3 4  L  25   3  3  4  Jadi luas daerah yang diarsir = 25   3  satuan luas 3 

Kategori: Gampang Sumber: Buat Sendiri 2. Santi memiliki selembar karton berbentuk persegi dengan Panjang sisi 18 cm. Suatu ketika Santi ingin membuat sebuah kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat buah persegi pada setiap pojok-pojok karton tersebut. Panjang diagonal ruang kotak tersebut ketika volume kotak yang dibuat maksimum adalah… a. 12

cm

b. 12√2

cm

c. √279

cm

d. √288

cm

e. √297

cm

Jawaban: E Pembahasan : Misalkan: sisi persegi hasil potongan pojok karton = x Kotak yang terbentuk memiliki sisi alas dengan Panjang = 18 – 2x dan tingginya sebesar x

Syarat yang harus dipenuhi untuk nilai x adalah x > 0 dan 18 – 2x > 0 18 > 2x 9>x Sehingga nilai x nantinya akan berada diantara 0 dan 9 V = Luas alas x tinggi V = (18 –2x )2x

V = (324 – 72x + 4x2)x V = 324x – 72x2 + 4x3 Volume kotak yang terbentuk mencapai maksimum saat turunan pertama persamaan di atas = 0 V’ = 0 324 – 144x + 12x2 = 0 12x2 – 144x + 324 = 0 x2 – 12x + 27 = 0 (x – 9)(x – 3) = 0 x = 9 atau x = 3 nilai x yang memenuhi syarat adalah x = 3 sehingga didapatkan panjang sisi alas kotak = 12 dan tingginya = 3

panjang diagonal sisi alas = 12√2 2

diagonal ruang = √(12√2) + 32 = √288 + 9 = √297 𝑐𝑚

Sumber: Buat Sendiri Kategori: Gampang 1. Sebuah tabung diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 4m. Selanjutnya tabung diiris oleh bidang miring yang melalui titik A, B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume terbesar tabung yang teriris adalah… a. 4 π b. 8 π c. 10 π d. 12 π e. 16 π JAWABAN: D Pembahasan :

volume tabung maksimal = luas alas x tinggi = π x 4x4 = 16π meter kubik Setelah diiris setinggi T, maka volume tabung menjadi 8π meter kubik karena bidang tersebut miring jadi volume bawah tabung yang terkena pancung adalah 4π meter kubik. maka volume terbesar tabung terpancung adalah

16π – 4π = 12π meter kubik

ALJABAR Sumber: Buat Sendiri Kategori: Sulit 1. Diketahui akar akar dari persamaan sin a  cos 2a  sin 3a  cos 4a  0 adalah nilai dari sina. Jumlah dari akar-akar tersebut adalah… a. 1 b. ½ c. 1/3 d. ¼ e. 1/5 Jawaban: B Pembahasan : Diketahui: Diketahui akar akar persamaan sin a  cos 2a  sin 3a  cos 4a  0 adalah nilai dari sina Ditanyai: jumlah dari akar-akar tersebut Jawab sin a  cos 2a  sin 3a  cos 4a  0 sin a  1  2 sin 2 a  3 sin a  4 sin 3 a  1  2 sin 2 2a  0





 4 sin 3 a  4 sin a  2  2 sin 2 a  sin 2a   0

 a  4 sin a  2  2sin a  4 sin a  2  2sin

2





 4 sin a  4 sin a  2  2 sin a  4 sin a cos 2 a  0 3

 4 sin 3  4 sin 3

2

2



 a  0

2

a  4 sin 2 a 1  sin 2 a  0

2

a  4 sin 2 a  4 sin 4

 4 sin 3 a  4 sin a  2  10 sin 2 a  8 sin 4 a  0 8 sin 4 a  4 sin 3 a  10 sin 2 a  4 sin a  2  0

Nilai dari sin(a) merupakan akar-akar persamaan sin a  cos 2a  sin 3a  cos 4a  0 , maka jumlah akar-akar tersebut yaitu

sin a 1 sin a 2 sin a 3 sin a 4    4 

 8  sin a 1 sin a 2 sin a 3 sin a 4  1 2 NB:sifat akar suku banyak berderajat empat f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

x1+x2+x3+x4=-b/a

Kategori: Sedang Sumber: Buat Sendiri

75

2. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga

5 a 2  4b 2



(log 2) 5a

2

9 ab 4b 2

(5 3 ) 9 ab

a adalah… b a. 1 dan ¼ b. 5/4 dan 1 c. 1 d. ¼ e. 5/4

JAWABAN: E Pembahasan:

75

5 a 2  4b 2



(log 2) 5a

2

9 ab 4b 2

(5 3 )

9 ab

kedua ruas dipangkatkan

1 b2

1

 75  

75 5

5

1

5 a 2  4b 2

a2

a 9  4 b b 2

b  

2

 (log 2)   (5 3 ) 9 ab 

5 a 2 9 ab 4 b 2

 (log 2)

5

a2 b2

b2

  sehingga  

a 9  4 b

a2 a 9  4  0 2 b b

Misalkan a/b = x, maka: 5x 2  9x  4  0

(5 x  4)( x  1)  0

x  1 atau x 

4 5

Karena a  b maka x  1 , Jadi

a 4  . b 5

75

5

a2 b2

5 4



(log 2)

a2 b2

(5 3 )

a 9  4 b

9

a b

sehingga

, nilai

Sumber: Buat Sendiri Kategori; Sulit 3. Diketahui fungsi f dan g dengan f ' (4)  1 dan g ' (4)  6 . Jika pada saat x  4 turunan dari

f ( f .g )( x) adalah 27 dan turunan dari  (x) adalah g

1 , maka turunan dari 75

f 2 ( x) g ( x)  g 2 ( x) saat x  4 dengan f (4), g (4)  100 adalah... f ( x) 243 a. 4 234 b. 3 234 c. 5 234 d. 7 e. 234 Jawaban: A Pembahasan : f ' (4)  1 , g ' (4)  6 untuk x  4 ( f .g )' ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)  27

 f ' (4) g (4)  g ' (4) f (4)  27  g (4)  6 f (4)  27

 f (4) 

27  g (4) ...(1) 6

'

f f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x) 1   ( x)   saat x  4 75 g 2 ( x) g 

g (4)  6 f (4) 1  75 g 2 ( x)

 g (4)  6 f (4) 

g 2 (4) 75

 f (4) 

75 g (4)  g 2 (4) ...(2) 450

Subtitusi persamaan (1) dan (2)

27  g (4) 75g (4)  g 2 (4)  6 450

2025  75 g (4)  75 g (4)  g 2 (4)  0 2025  150 g (4)  g 2 (4)  0 ( g (4)  15) atau ( g (4)  135)

g (4)  15 atau g (4)  135 (TM)

Karena syarat f (4), g (4)  100 maka nilai yang memenuhi adalah g (4)  15 . Subtitusi g (4)  15 ke persamaan (1) f (4) 

27  g (4) 6

f (4) 

27  15 2 6

Jadi nilai f (4)  2 dan g (4)  15 Menentukan turunan dari

f 2 ( x) g ( x)  g 2 ( x) f ( x)

Misal f 2 ( x) g ( x)  a , g 2 ( x)  b , dan f ( x )  c  a  b  (a  b)' c  (a  b)c'    c2  c  '

a '  2 f ( x) f ' ( x) g ( x)  f 2 ( x) g ' ( x )  2 f (4) f ' (4) g (4)  f 2 (4) g ' (4)  2(2)(1)(15)  (2) 2 (6)

 84

b'  2 g ( x ) g ' ( x )

 2 g (4) g ' (4)  2(15)(6)

 180 Jadi, (a  b)'  84  180  264

(a  b)  f 2 ( x) g ( x)  g 2 ( x)

 f 2 (4) g (4)  g 2 (4)  2 2 (15)  (15) 2  60  225  285  a  b  (a  b)' c  (a  b)c' 264(2)  285(1) 528  285 243       4 4 4 c2  c  '

Jadi, turunan dari

f 2 (4) g (4)  g 2 (4) 243  f (4) 4