Soal 12 Nasab

Soal 12 1 2 Menentukan basis solusi dari persamaan differensial ( x + 1) y ′′ − ( x − ) y ′ + y = 0 2 dengan Metode Frobenius Penyelesaian •

Ubah bentuk PD : 1 ( x + 1) 2 y ′′ − ( x − ) y ′ + y = 0 …(i) 2 1  x −  y 2 y ′′ −  y′ + =0 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 (x+1) 3  ( x + 1) − 2  1 y ′′ − y′ + y=0 2 ( x + 1) ( x + 1) 2

…dikalikan

1 ( x + 1) 2

…manipulasi x dlm bentuk

…manipulasi agar menjadi bentuk b( x + 1) c( x + 1) y′ + y ( x + 1) ( x + 1) 2

3    ( x + 1) − 2 ( x + 1) −1   1  y = 0 y ′′ −  . y ′ +  2 −1  ( x + 1)   ( x + 1) 2   ( x + 1)   3   1−  1 2( x + 1)   y ′′ − y′ + y=0  ( x + 1)  ( x + 1) 2      2( x + 1) − 3   2( x + 1)  1 y ′′ −   y′ + y=0 …asumsikan ( x + 1) ≈ µ ( x + 1) 2  ( x + 1)     2µ − 3    1 2µ   y ′′ − y ′ + 2 y = 0 … (ii)  µ  µ     b( µ ) c( µ ) y ′ + 2 y = 0 … (iii) • Bila disesuaikan dengan bentuk y ′′ + µ µ  2µ − 3   Maka → b( µ ) =   − 2µ 

→ c( µ ) = 1 ~

y = ∑ am x m+ r m =0

= a0 x r + a1 x r +1 + a2 x r +2 + ... ~

y ′ = ∑ ( m + r )am x m+r −1 = r.a0 x r −1 + ( r + 1) a1 x r + ( r + 2 ) a2 x r +1 + ... m =0 ~

y ′′ = ∑ ( m + r )( m + r − 1) am x m+ r −2 = r ( r − 1) a0 x r −2 + ... m =0

•

[

Masukan ke persamaan (iii) b( µ ) c( µ ) y ′′ + y′ + 2 y = 0 µ µ  2µ − 3    1 − 2µ   y ′′ + y′ + 2 y = 0  µ  µ      2µ − 3  1 y ′′ +   y′ + 2 y = 0 2  µ  − 2µ 

3   y ′′ +  − µ −1 + µ −2  y ′ + µ 2 y = 0 …masukan ke deret y, y ′, y ′′ 2   r ( r − 1) a0 µ r −2 + ( r + 1).r.a0 µ r −1 + ( r + 2 )( r + 1) a2 µ r + ...

]

(

)

3   +  − µ −1 + µ −2 . r.a0 µ r −1 + ( r + 1) a1 µ r + ( r + 2) a2 µ r +1 + ... 2   −2 r + µ . a0 µ + a1µ r +1 + a2 µ r +2 + ... = 0

( )( •

)

Menentukan persamaan indikator dengan mengambil pangkat terkecil µ r −3 3  µ r −3  .r.a0  = 0 … 2  3 .r.a0 = 0 … karena µ r −3 ≠ 0 2 3 r=0 … karena a0 ≠ 0 2 r=0 Nilai r yang diharapkan adalah bukan tunggal, melainkan mempunyai 2 nilai r ,untuk dimasukan ke solusi r1 untuk y1 ( µ ) dan r2 untuk y 2 ( µ ) . Maka dengan mencari persamaan indicator baru dengan mengambil pangkat terkecil µ r −2 µ r −2 [ ( r ( r − 1) a0 + ( − r.a0 ) + a0 ) ]

r ( r − 1) a0 − r.a0 + a0 = 0 … a0 ( r ( r − 1) − r.a0 + a0 ) = 0

( r ( r − 1) − r + 1) = 0

…

karena µ r −2 ≠ 0 karena a0 ≠ 0

r − r − r +1 = 0 r 2 − 2r + 1 = 0 ( r − 1)( r − 1) = 0 , r1, 2 = 1 ⇒ r1 = r2 = r 2

•

Nilai r1 = r2 , r1 , r2 merupakan akar-akar kembar dari persamaan indikator sehingga solusi untuk PD termasuk dalam solusi pada kasus 2 yaitu y1 ( µ ) = µ r1 a0 + a1 µ + a2 µ 2 + ... …(iv)

(

(

)

)

y 2 ( µ ) = y1 ( µ ) ln ( µ ) + µ r2 A1 µ + A2 µ + A3 µ 3 + ...

…(v)

•

Mencari koefisien a0 , a1 , a2 ,... , A1 , A2 , A3 ,... Persamaan … (i) ( x + 1) 2 y ′′ −  x − 1  y′ + y = 0 2  ( x + 1) 2 y ′′ +  − x − 1  y ′ + y = 0 2  ( x + 1) 2 y ′′ −  − ( x + 1) + 3  y′ + y = 0 …konversi ( x + 1) ≈ µ 2  3  µ 2 y ′′ −  − µ +  y ′ + y = 0 …masukan ∑ y, ∑ y ′, ∑ y ′′ 2  ~ ~ ~ 3 ~ µ 2 .∑ ( m + r ).( m + r − 1) am µ m+ r −2 − µ ∑ ( m + r ) µ m+ r −1 + ∑ ( m + r ) µ m+r −1 + ∑ am µ m+r = 0 2 m =0 m =0 m =0 m =0 ~ ~ ~ ~ 3 ( m + r ).( m + r − 1) am µ m+r − ∑ ( m + r ) am µ m+r + ∑ ( m + r ) µ m+r −1 + ∑ am µ m+r = 0 ∑ 2 m =0 m=0 m =0 m =0 m + r = s + r Untuk m=s Dan Untuk m + r − 1 = s + r m = s +1 •

Buat persamaan dengan mengambil µ s+ r 3   µ s + r ( m + r ).( m + r − 1) am − ( m + r ) am + ( m + r ) am + am  = 0 2   m s Ganti dalam 3   µ s + r ( s + r ).( s + r − 1) a s − ( s + r ) a s + ( s + r ) a s + a s  = 0 2  

3   s+ r ( s + r ).( s + r − 1) a s − ( s + r ) a s + 2 ( s + r + 1) as +1 + a s  = 0 …karena µ ≠ 0 3 a s [ ( s + r ).( s + r − 1 − 1) + 1] + a s +1 ( s + r + 1) = 0 2 3 a s [ ( s + r ).( s + r − 2 ) + 1] + a s +1 ( s + r + 1) = 0 2 3 as +1 ( s + r + 1) = −a s [ ( s + r ).( s + r − 2 ) + 1] 2 − a s ( ( s + r ).( s + r − 2 ) + 1) 2 a s +1 = . ( s + r + 1) 3 − 2a s ( ( s + r ).( s + r − 2 ) + 1) a s +1 = … substitusi r = 1 3( s + r + 1) − 2a s ( ( s + 1).( s − 1) + 1) a s +1 = 3( s + 2) − 2a s s 2 − 1 + 1 = 3( s + 2 ) − 2a s .s 2 = 3( s + 2 ) − 2a0 .0 2 =0 Untuk s ⇒ a1 = 3( 2 ) Jadi s mulai dari s = 1 − 2a1.12 − 2a1 − 2 a2 = = 2 = a1 3.3 3 9 − 2a2 .2 2 − 2.4.a2 − 2.4.( − 2 ) a1 16a1 4a1 a3 = = = = 3 = 3.4 3.4 3.3.3.4 3 .4 27 2 − 2a3 .3 − 2.9.a3 − 2.9.4.a1 − 8a1 − 8a1 a4 = = = = = 3.5 3.5 34.5 9.5 45 2 2 − 2a4 .4 − 2.16.(−8)a1 8 .2a1 128a1 a5 = = = = 3.6 3.6 3.4.5 135 135 . . . Dst

((

•

) )

Karena nilai r kembar maka a s +1 ≈ As +1 , maka − 2 As s 2 As +1 = 3( s + 2 ) 2 A2 = − a1 9

4 a1 27 −8 A4 = a1 45 128 As = a1 135 A3 =

•

… dst

Masukan a s ke persamaan (iv) y1 ( µ ) = µ r1 a0 + a1 µ + a2 µ 2 + ...

(

)

2 4 r  2 ( x + 1) 3 − 8 ( x + 1) 4 + 128 ( x + a ) 5 − ... + ... y1 ( x + 1) = ( x + 1) 1  − ( x + 1) + 27 45 135  9  •

Masukan As ke persamaan (v) y 2 ( µ ) = y1 ( µ ) ln ( µ ) + µ r2 A1 µ + A2 µ + A3 µ 3 + ...

(

)

4  2 ( x + 1) 2 − 8 ( x + 1) 3 + ... y 2 ( x + 1) = y1 ( x + 1). ln ( x + 1) + ( x + 1). − ( x + 1) + 27 45  9 