Sma Rangkuman Mtk Un.docx

1

Rangkuman Materi Ujian Nasional MATEMATIKA ALJABAR A. PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA A. Pangkat Rasional 1) Pangkat negatif dan nol Misalkan a  R dan a  0, maka: 1 1 a) a-n = atau an = n an a b) a0 = 1 2) Sifat-Sifat Pangkat Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku: a) ap × aq = ap+q b) ap : aq = ap-q c)

a  = a

d)

a  b

e)

p q



b) sifat-sifat logaritma sebagai berikut: (1) glog (a × b) = glog a + glog b

b 

(2) glog a = glog a – glog b (3) glog an = n × glog a (4) glog a =

pq

n

a n b

C. Logaritma a) Pengertian logaritma Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka: g log a = x jika hanya jika gx = a atau bisa di tulis : (1) untuk glog a = x  a = gx (2) untuk gx = a  x = glog a

n

= a ×b

 an

n

(8) g log a  a

1. Hasil dari

n m

 a

A. B.

𝑟 5 𝑠−4

C.

𝑝2

a b

=

d)

a b

= (a  b)  2 ab

e)

a b

= (a  b)  2 ab

𝑝4 𝑞5

c a b



−1

× (𝑟 7 𝑠−2 )

=

c a b

𝑝−2 𝑞 8

×

𝑟 7 𝑠−2

𝑟 5 𝑠−4 𝑝4 𝑞5 −2−4 8−5 7−5 −2+4

adalah …

B. 2(√5 + √2)

E. −4(√5 + √2)

C. −2(√5 + √2) Jawaban: E −12

=

√5−√2

=

−12

×

√5+√2

√5−√2 √5+√2 −12(√5+√2) 5−2 −12(√5+√2) 3

= −4(√5 + √2)

a 2 b a b

√5−√2

D. −3(√5 + √2)

c(a  b )

a b

𝑝6 −12

A. 3(√5 + √2)

=

c( a  b )  a b 

𝑠

𝑞 3 𝑟 2 𝑠2

2. Bentuk sederhana dari

a  a  b a b b b b b



𝑝6 𝑝4

Jawaban: C

=

3) Merasionalkan penyebut Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah-kaidah sebagai berikut:



𝑝6

E. 𝑞3 𝑟 2 𝑠2

D. 𝑞3 𝑟 2 𝑠2

𝑝4

a b

 a b a b

adalah …

𝑞 3 𝑟 2 𝑠2

=𝑝 𝑞 𝑟 −6 3 2 2 =𝑝 𝑞 𝑟 𝑠

c)

c a b

−1

𝑝4 𝑞 5

× (𝑟 7 𝑠−2 )

𝑞 3 𝑟 2 𝑠2

𝑟 5 𝑠−4

b) a c – b c = (a – b) c

𝑝−2 𝑞 8

𝑞 3 𝑟 2 𝑠2

𝑝−2 𝑞 8

a) a c + b c = (a + b) c

c)

g

Contoh Soal

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:

b)

a

n (7) g log a m = m glog a

1

c a b

log g

log g (6) glog a × alog b = glog b

b

a) a n  n a

a)

p

1

(5) glog a =

n

1) Definisi bentuk Akar Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:

b)

log a

n

B. Bentuk Akar

m an

p

9

3. Hasil dari

log 3+ 2log 27. 3log 256 5log 100− 5log 4

adalah …

2

A.

49

B.

2

49

C.

4

23

D.

2

45

E.

4

23 4

Jawaban: B 9

log 3+ 2log 27. 3log 256 5

log 100− 5log 4

9

= =

5

100 4 2

log

𝑥−5

A. 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥−2 ; 𝑥 ≠ 2

1 9 log 9+3 .8 log 3. 3log 2 2 5log 25 1

=2 =

1

log 92 + 2log 33 . 3log 28

=

1 +24 2

2

=

49 4

B. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS A. Domain Fungsi (DF) 1. F(x) = √𝐹(𝑥) ,DF semua bilangan R,dimana f(x) ≠ 0 2. F(x) =

f (x) g(x)

, DF semua bilangan R, dimana g(x) ≠ 0

B. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 1. (f  g)(x) = f(g(x)) 2. (f  g  h)(x) = f(g(h(x))) 3. (f  g)– 1 (x) = (g– 1  f– 1)(x) ax  b  dx  b 4. f(x) = , maka f– 1(x) = cx  d cx  a 5. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax 6. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x

1

; 𝑥 ≠ − 3. Rumus fungsi 𝑔(𝑥) = ⋯ 3𝑥+1 A. 𝑥 − 1

C. 3𝑥 + 2 3𝑥

𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)−1

5

D. 𝑓 −1 (𝑥) = E. 𝑓 −1 (𝑥) =

9𝑥+5 𝑥−2 9𝑥−5 𝑥−2

;𝑥 ≠ 2 ;𝑥 ≠ 2

Jawaban: E Gunakan sifat invers fungsi nomor 4 C. PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a  0 2) Nilai diskriminan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac 3) Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: b D 2a 4) Pengaruh diskriminan terhadap sifat akar: a) Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real dan berbeda / berlawanan; b) Ketika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional; c) Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar); d) Jika D ≥ 0, maka maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real; 5) Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka: a) Jumlah akar–akar persamaan kuadrat :

x1  x 2   b a

b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat : D , x1 > x2 a

x1  x 2 

3𝑥

E. 3𝑥−3

B. 2𝑥 + 2 D. 3𝑥−1 Jawaban: C 3𝑥+2 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥+1 𝑓(𝑔(𝑥)) =

𝑥−5

x1,2 

Contoh soal 1. Diketahui 𝑓(𝑥 − 1) = 3𝑥 + 1 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 5. Rumus komposisi (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = ⋯ A. 3𝑥 2 + 12𝑥 − 19 B. 3𝑥 2 + 12𝑥 − 11 C. 3𝑥 2 + 12𝑥 − 14 D. 9𝑥 2 + 36𝑥 − 27 E. 9𝑥 2 + 36𝑥 + 27 Jawaban: B Misalkan 𝑡 = 𝑥 − 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 = 𝑡 + 1 𝑓(𝑥 − 1) = 3𝑥 + 1 𝑓(𝑡) = 3(𝑡 + 1) + 1 𝑓(𝑡) = 3𝑡 + 3 + 1 𝑓(𝑡) = 3𝑡 + 4 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 2 + 4𝑥 − 5) = 3(𝑥 2 + 4𝑥 − 5) + 4 = 3𝑥 2 + 12𝑥 − 15 + 4 = 3𝑥 2 + 12𝑥 − 11 𝑥 2. Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 ; 𝑥 ≠ 1 dan (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥+2

2

C. 𝑓 −1 (𝑥) = 9𝑥−5 ; 𝑥 ≠ 9

2 2

𝑥−5

B. 𝑓 −1 (𝑥) = 9𝑥−2 ; 𝑥 ≠ 9

×1+24× 2log 2

1 ×1+24×1 2

𝑔(𝑥) − 2𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 2 −𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 2𝑥−5 3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥−9 ; 𝑥 ≠ 9, invers dari 𝑓(𝑥) adalah …

3𝑥+2

3𝑥+1 3𝑥+2

= 3𝑥+1

𝑔(𝑥). (3𝑥 + 1) = (𝑔(𝑥) − 1)(3𝑥 + 2) 3𝑥𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 3𝑥𝑔(𝑥) + 2𝑔(𝑥) − 3𝑥 − 2

c) Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat :

x1  x 2  c a

d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat a. x12  x22 = ( x1  x2 ) 2  2( x1  x2 ) b. x13  x23 = ( x1  x2 )3  3( x1  x2 )( x1  x2 )

3

Catatan: Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka 1. x1 + x2 = – b 2. x1  x 2  D 3. x1 · x2 = c

Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus : a.

x1  x 2   b

b.

x1  x 2  c

a

a

2. Menggunakan metode invers, yaitu jika  dan  simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:

B. Pertidaksamaan Kuadrat a( 1 ) 2  b( 1 )  c  0 , dengan –1 invers dari  Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, Catatan: dan ax2 + bx + c > 0. Pada saat menggunakan metode invers Anda harus Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 kuadrat adalah sebagai berikut: 1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk C. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat 1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik baku (jika bentuknya belum baku) (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y): 2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari Y nilai akar–akar persamaan kuadratnya) (xe, ye) 3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya: NoTanda a

b

>

≥

Keterangan  Daerah HP +++ – – – + + + (tebal) ada di x1 x2 tepi, menggunaka Hp = {x | x < x1 atau x > x1} n kata hubung atau

(x, y)

Daerah HP penyelesaian

 x1, x2 adalah +++ – – – + + + akar–akar x1 x2 persaman Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1} kuadrat ax2 + bx + c = 0

X

0

y = a(x – xe)2 + ye

2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik tertentu (x, y): Y (x, y)

+++ – – – + + +

c

<

x1

x2

Hp = {x | x1 < x < x2}

+++ – – – + + + d

≤

x1 x2 Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}

 Daerah HP (tebal) ada tengah  x1, x2 adalah akar–akar persaman kuadrat ax2 + bx + c = 0

B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru dengan akar–akar  dan , dimana  = f(x1) dan  = f(x2) dapat dicari dengan cara sebagai berikut: 1. Menggunakan rumus, yaitu: x2 – ( + )x +   = 0 catatan :

(x2, 0)

(x1, 0) 0

X y = a(x – x1) (x – x2)

D. Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola Kedudukan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = 2 ax + bx + c ada tiga kemungkinan seperti pada gambar berikut ini.

4 3

2

2. Persamaan kuadrat 𝑥 − 𝑝𝑥 + 𝑝 − 4 = 0 mempunyai dua akar real berbeda. Nilai p yang memenuhi adalah … A. –1 < p < –3 B. 1 < p < 3 C. P < –3 atau p > 1 D. P < –1 atau p > 3 E. P < 1 atau p > 3 Jawaban: E 3 TEOREMA 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑝 − 4 = 0, persamaan kuadrat Dimisalkan garis g : y = mx + n dan parabola h : y = mempunyai dua akar real berbeda jika D > 0 ax2 + bx + c. 𝐷>0 Apabila persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 3 parabola h, maka akan diperoleh sebuah persamaan (−𝑝)2 − 4(1) (𝑝 − 4) > 0 kuadrat baru yaitu: 𝑝2 − 4𝑝 + 3 > 0 yh = yg Pembuat nol 2 (𝑝 − 3)(𝑝 − 1) = 0 ax + bx + c = mx + n 2 𝑝 = 3 atau 𝑝 = 1 ax + bx – mx+ c – n = 0 2 ax + (b – m)x + (c – n) = 0…Pers. kuadrat baru diskriminan dari persamaan kuadrat baru tersebut Jadi, nilai p yang memenuhi p < 1 atau p > 3 3. Sebuah fungsi kuadrat mempunyai rumus 𝑓(𝑥) = adalah: D = (b – m)2 – 4a(c – n) −3𝑥 2 − 9𝑥 + 1. Titik puncak grafik fungsi kuadrat Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah … baru tersebut akan dapat diketahui kedudukan garis g 3 1 3 3 A. (3, 7) C. ( , 7 ) E. (− , −7 ) terhadap parabola h tanpa harus digambar grafiknya 2 4 2 4 3 3 terlebih dahulu yaitu: B. (3, –7) D. (− 2 , 7 4) 1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki Jawaban: D dua akar real, sehingga garis g memotong Fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 − 9𝑥 + 1 parabola h di dua titik berlainan Titik puncak fungsi kuadrat: (𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 ) 𝑏 𝐷 2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki Dengan, 𝑥𝑝 = − 2𝑎 dan 𝑦𝑝 = − 4𝑎 dua akar yang kembar, sehingga garis g Diperoleh: menyinggung parabola h 𝑏 −9 9 3 𝑥𝑝 = − 2𝑎 = − 2(−3) = − 6 = − 2 3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak 𝐷 𝑏 2 −4𝑎𝑐 (−9)2 −4(−3)(1) 93 3 𝑦𝑝 = − 4𝑎 = − 4(−3) = − = = 7 memiliki akar real, sehingga garis g tidak −12 12 4 memotong ataupun menyinggung parabola h. Jadi, titik puncak grafik fungsi kuadrat tersebut 3 3 adalah (− 2 , 7 4). Contoh Soal D. SISTEM PERSAMAAN LINEAR 1. Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − (𝑝 + 1)𝑥 + 𝑝 = 2 2 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2 . Jika 𝑥1 + 𝑥2 = 7 + 𝑝, nilai 𝑝 A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) yang memenuhi adalah … a1x  b1y  c1 A. p = -3 atau p = 2 1. Bentuk umum :  a 2 x  b 2 y  c 2 B. p = -2 atau p = -3 C. p = -2 atau p = 3 2. Dapat diselesaikan dengan metode grafik, D. p = 2 atau p = 3 substitusi, eliminasi, dan determinan. E. p = 3 atatu p = -1 3. Metode determinan: jawaban: C a1 b1 𝑥 2 − (𝑝 + 1)𝑥 + 𝑝 = 0 D= = a1b2 – a2b2; 𝑏 a 2 b2 𝑥1 + 𝑥2 = − 𝑎 = 𝑝 + 1 𝑐

𝑥1 . 𝑥2 = 𝑎 = 𝑝 𝑥12 + 𝑥22 = 7 + 𝑝 (𝑥1 + 𝑥2 )2 − 2𝑥1 . 𝑥2 = 7 + 𝑝 (𝑝 + 1)2 − 2𝑝 =7+𝑝 2 𝑝 + 2𝑝 + 2 − 2𝑝 =7+𝑝 2 𝑝 −𝑝−6=0 (𝑝 − 3)(𝑝 + 2) = 0 p = 3 atau p = - 2

Dx = x= x=

c1

b1

c2

b2

;

Dy =

Dx ; D

Dx ; D

a1

c1

a2

c2

y= y=

Dy D

;

;

Dy D

z=

Dz D

5

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) a1x  b1y  c1z  d1  1. Bentuk umum : a 2 x  b 2 y  c 2 z  d 2 a x  b y  c z  d 3 3 3  3 2. Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan. 3. Metode determinan: a1 D = a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 = c3

= (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1) d1 b1 c1 a1 d1 c1 Dx = d 2 b 2 c 2 ; Dy = a 2 d 2 c 2 ; d 3 b3 c3 a 3 d 3 c3 a1 Dz = a 2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 ; d3

x=

Dx ; D

y=

Dy D

;

z=

Dz D

C. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Jika x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan bilangan/konstanta, pertidiksamaan linera dapat dituliskan sebagai berikut: ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, dan ax + by ≥ c. Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel. 1. 2x + 3y < 6 2. 3x + 4y > 12 3. x + y ≤ 10 4. 5x - 2y ≥ 20 Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang berupa daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian ini merupakan titik-titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Contoh Soal 1. diketahui x dan y memenuhi persamaan 2𝑥 + 3𝑦 = −1 { 𝑥 + 2𝑦 = −2 nilai xy= A. -12 B.-10 C. -4 D. 4 E. 12 Jawaban:A Sistempersamaan tersebut melibatkan dua variable berbeda sehingga disebut SPLDV. 2𝑥 + 3𝑦 = −1 … . (1) 𝑥 + 2𝑦 = −2 … . . (2) menggunakan metode eliminasi substitusi. eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) 2𝑥 + 3𝑦 = −1 × 1 2𝑥 + 3𝑦 = −1 | | 𝑥 + 2𝑦 = −2 × 2 2𝑥 + 4𝑦 = −4 ______________ _ −𝑦 = 3 𝑦 = −3 Substitusikan y=-3 kedalam persamaan (1)

2𝑥 + 3𝑦 = −1 2𝑥 + 3 × (−3) = −1 2 − 9 = −1 2𝑥 = 8 𝑥=4 Diperoleh x=4 dan y=-3 Nilai xy = 4 x (-3) = -12 Jadi nilai y=-12 2. Diberikan SPLTV berikut 3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 16 … (1) { 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 … (2) 4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 = 18 … . (3) Nilai a – b + c = …. A. -10 B. -8 C. 0 D. 4 E. 10 Jawaban: E terdapa tiga variable pada sistem persamaan tersebut, sehingga disebut SPLTV. untuk menyelesaikan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi. eliminasi c dari persamaan (1) dan (2) 3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 16 … (1) × 𝟏 3𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 16 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 … (2) × 𝟐 4𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 2 ________________ -a -3b =14 ….(4) Eliminasi c dari pers (2) dan (3) 2a + b + c = 1 4a -2b +c =18 -2a +3b = -17 …..(5) eliminasi b dari persamaan (4) dan (5) -a -3b =14 -2a +3b = 17 – -3a = -3 a =1 subtitusi persamaan (1) ke (4) -a -3b =14 -1 -3b =14 b = -5 Subtitusikan a=1 dan b=-5 ke persamaan (2) 2a+b+c=1 2.1 + (-5) + c= 1 c=4 nilai a – b + c = 1- (-5) + 4 =1+5+4 = 10 3. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10. Penyelesaian: Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis lurus) Membuat dua titik bantu. Untuk x = 0, maka y = 10. Diperoleh titik (0, 10) Untuk y = 0, maka x = 10. Diperoleh titik (10, 0)

6 Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.

1. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c 2. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c 3. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 10. Untuk mengecek/menyelidiki tersebut dengan batas garis ax + by = c kebenarannya sebgai berikut. Daerah yang diarsir memuat (0,0). Jika (0,0) kita substitusikan C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai ke x + y ≤ 10 akan diperoleh Maksimum, dan Nilai Minimum 0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan yang benar.

E. PROGRAM LINEAR

1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) 2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum 3) Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya

A. Persamaan Garis Lurus

B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Gambarkan garis ax + by = c

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut: 1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika

7

tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan 2. Titik potong antara kedua kurva (x, y) Contoh Soal 1. Perhatikan Gambar berikut!

Nilai maksimum f(x,y)= 3x + 2y yang memenuhi daerah arsiran adalah A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12 Jawaban: D berdasarkan gambar terdapat 3 titik potong yaitu, (0,0) (3,0) dan (0,4). Persamaan garis yang melalui 𝑥 titik (a,0) dan (0,b) dapat dirumuskan dengan 𝑎 +

menyatakan banyak roti jenis A dan y menyatakan banyak roti jenis B, model matematika dari permasalahan itu adalah…. A. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 30; 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 50 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 B. 𝑥 + 2𝑦 ≤ 50; 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 30 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 C. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 50; 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 30 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 D. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 30; 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 50 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 E. 2𝑥 + 𝑦 ≤ 30; 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 50 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 Jawaban : E x = banyak roti jenis A y = banyak roti jenis B untuk menyusun model matematikanya dapat dibuat tabel seperti berikut Roti Jenis A (x) Jenis B (y) pembatas

Tepung (gram) mentega 150 50 gram 75 75 gram 2,25 kg = 2.250 1,25 kg = 1.250 gram gram pertidaksamaan untuk bahan tepung adalah 150𝑥 + 75𝑦 ≤ 2.250 2x + y = 30 ……(1) pertidaksamaan untuk bahan mentega adalah.. 𝑦 = 1 2 + 3y ≤ 50 ……(2) 𝑏 jadi persamaan garis yang melalui (4,0) dan (0,4) Banyak roti tidak mungkin negative sehingga adalah : 𝑥 ≥ 0 ;𝑦 ≥ 0 𝑥 𝑦 + =1 jadi model matematika dari permasalahan tersebut 4 4 adalah 4𝑥 + 4𝑦 = 16 2𝑥 + 𝑦 ≤ 30; 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 50 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 𝑦 = 4 … … (1) persamaan garis yang melalui (3,0) dan (0,6) adalah : 𝑥 𝑦 F. MATRIKS +6=1 3 A. Transpose Matriks 6𝑥 + 3𝑦 = 18 a b Jika A =   , maka transpose matriks A adalah 2𝑥 + 𝑦 = 6 … … (2) c d eliminasi y dari persamaan 1 dan 2 a c 2x + y = 6  AT =  b d x +y=4– x=2 B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks subtitusikan x =2 ke persamaan (1) 2 + y = 4 diperoleh Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks y = 2, tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan diperoleh titik potong (2,2) dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak nilai f(x,y) = 3x + 2y dibeberapa titik pojok. k l a b  f(0,0) = 3 x 0 + 2 x 0 = 0  , maka A + B =  , dan B =  Jika A =  m n  c d   f(3,0) = 3 x 3 + 2 x 0 =9 a b  k l   a  k b  l  f(2,2) = 3 x 2 + 2 x 2 = 10  maksimum   =    +  f(0,4) = 3 x 0 + 2 x 4 = 8  c d  m n c  m d  n jadi nilai maksimumnya adalah 10 C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n 2. ibu akan membuat dua jenis roti, yaitu roti jenis A a b  a b   an bn    , maka nA = n   =  Jika A =  dan roti jenis B. Roti jenis A memerlukan 150 gram c d  c d   cn dn  tepung dan 50 gram mentega. Roti jenis B memerlukan 75 gram tepung dan 75 gram mentega. D. Perkalian Dua Buah Matriks  Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila banyak tepung yang tersedia 2,25 kg, sedangkan jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah bayak mentega yang tersedia adalah 1,25 kg. jika

8

𝑥 1 baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil 3 2 1. Diketahui matriks 𝐴 = ( ), 𝐵 = ( ), dan −1 𝑦 1 0 perkaliannya adalah matriks berordo m × q. 6 −4 𝐶=( ). Jika 𝐶 𝑇 adalah transpose matriks C,  Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian 1 −3 elemen–elemen baris A dengan kolom B. nilai 𝑥 − 3𝑦 yang memenuhi persamaan matriks 3𝐴 − 𝐵 = 𝐶 𝑇 adalah … a b  k l m  , dan B =   , maka Jika A =  A. –6 B. –3 C. 0 D. 3 E. 6 c d  n o p Jawaban: E a b  k l m  ×   = A × B=  6 −4 6 1 𝐶=( ) ⟺ 𝐶𝑇 = ( ) c d  n o p 1 −3 −4 −3 3𝐴 − 𝐵 = 𝐶 𝑇  ak  bn al  bo am  bp    𝑥 1 3 2 6 1  ck  dn cl  do cm  dp  3( )−( )=( ) −1 𝑦 1 0 −4 −3 3𝑥 3 3 2 6 1 ( )−( )=( ) E. Matriks Identitas (I) −3 3𝑦 1 0 −4 −3 1 0 3𝑥 − 3 3 − 2 6 1  I =   ( )=( ) 0 1 −3 − 1 3𝑦 −4 −3   3𝑥 − 3 1 6 1  Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks ( )=( ) −4 3𝑦 −4 −3 identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A Dari kesamaan matriks tersebut diperoleh: 3𝑥 − 3 = 6 ⇔ 𝑥 = 3 F. Determinan Matriks berordo 2×2 3𝑦 = −3 ⟺ 𝑦 = −1 a b Jika A =   , maka determinan dari matriks A Jadi nilai 𝑥 − 3𝑦 = 3 − 3(−1) = 6 c d 3 2 2. Diketahui matriks 𝐴=( ) dan 𝐵= a b 0 5 dinyatakan Det(A) = = ad – bc −3 −1 c d ( ). Jika 𝐴𝑇 adalah transpose matriks A dan −17 0 Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑇 , determinan matriks X = … 1. det (A ± B) = det(A) ± det(B) Jawaban: E 2. det(AB) = det(A)  det(B) 3 2 3 0 𝐴=( ) ⟺ 𝐴𝑇 = ( ) 0 5 2 5 3. det(AT) = det(A) 𝐴𝑋 = 𝐵 + 𝐴𝑇 1 4. det (A–1) = 3 2 −3 −1 3 0 det( A) ( )𝑋 = ( )+( ) 0 5 −17 0 2 5 −3 + 3 −1 + 0 3 2 G. Invers Matriks ( )𝑋 = ( ) −17 +2 0+5 0 5  Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila 3 2 0 −1 ( )𝑋 = ( ) A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah invers 0 5 −15 5 matriks B atau B adalah invers matriks A. 3 2 |𝑋| 0 −1 | | =| | 0 5 −15 5 a b Bila matriks A =   , maka invers A adalah: [(3)(5) − (0)(2)]|𝑋| = 0(5) − (−15)(−1) c d [15]|𝑋| = −15 1 1  d  b 1   , ad – bc ≠ 0 A  Adj(A)  |𝑋| = −1 Det(A) ad  bc   c a  1 2 4 3 3. Diketahui matriks 𝐴 = ( ), 𝐵 = ( ), dan  Sifat–sifat invers dan determinan matriks 3 4 2 1 1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1 𝐴𝑋 = 𝐵. matriks 𝑋 adalah … 2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1 −6 5 −6 −5 A. ( ) D. ( ) −5 4 5 4 H. Matriks Singular −6 −5 6 5 B. ( ) E. ( ) matriks singular adalah matriks yang tidak −5 4 5 −4 6 −5 mempunyai invers, karena nilai determinannya sama C. ( ) −5 4 dengan nol Jawaban: D 𝐴𝑋 = 𝐵 I. Persamaan Matriks Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 –1 1 1) A × X = B  X = A × B 4 −2 4 3 𝑋 = 4−6 ( )( ) –1 −3 1 2 1 2) X × A = B  X = B × A 1 16 − 4 12 − 2 𝑋 = −2( ) Contoh Soal −12 + 2 −9 + 1

9

12 10 𝑋 = −2( ) −10 −8 1 −6 −5 𝑋 = −2( ) 5 4 1

 S 

a 1 r

Contoh Soal 1. Diketahuia suku ke-3 dan ke-6 suatu barisan aritmetika berturut-turut 8 dan 23. Suku ke-30 G. BARISAN DAN DERET barisan tersebut adalah … A. Barisan Aritmetika dan Geometri A. 141 B. 143 C. 148 D. 151 E. 158 U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan Jawaban: B yang memiliki ciri khusus sebagai berikut Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Suku ke-3 bernilai 8, maka 𝑈3 = 8 ⇔ 𝑎 + (3 − 1)𝑏 = 8 ⇔ 𝑎 + 2𝑏 = 8 Suku ke-6 bernilai 23, maka 𝑈6 = 23 ⇔ 𝑎 + (6 − 1)𝑏 = 23 ⇔ 𝑎 + 5𝑏 = 23 Eliminasi: 𝑎 + 2𝑏 = 8 𝑎 + 5𝑏 = 23 Diperoleh: 𝑎 = −2 dan 𝑏 = 5 Nilai suku ke-30 𝑈30 = 𝑎 + (30 − 1)𝑏 = 𝑎 + 29𝑏 𝑈30 = −2 + 29(5) = 143 2. Diketahui suatu deret geometri positif mempunyai rasio 3. Jika jumlah tiga suku pertamanya 26, nilai suku ke-5 deret tersebut adalah … A. 27 B. 54 C. 81 D. 108 E. 162 Jawaban: E Jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan 𝑎(𝑟 𝑛 −1)

Catatan : 1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan 2. U1 = a = suku pertama suatu barisan 3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b

dengan 𝑆𝑛 = 𝑟−1 Oleh karena jumlah tiga suku pertama 26 maka: 𝑆3 = 26 𝑎(33 −1)

3−1 𝑎(27−1)

= 26

= 26 26𝑎 = 26 × 2 52 𝑎 = 26 ⇔ 𝑎 = 2 B. Deret Aritmetika dan Geometri Nilai suku ke-5 U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb 𝑈5 = 2(35−1 ) = 2(34 ) = 162 3. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 10 m. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan sampai bola berhenti adalah … m. A. 30 B. 40 C. 60 D. 70 E. 90 Jawaban: D Lintasan bola membentuk deret geometri. Panjang lintasan seluruhnya terdiri atas dua bagian, yaitu lintasan bola turun dan lintasan bola naik. Lintasan bola turun: 30 90 10 + 4 + 16 + ⋯ Catatan: 1. Antara suku ke-n dan deret terdapat hubungan yaitu :  Un = Sn – Sn – 1  U1 = a = S1 2. Terdapat deret tak hingga suatu barisan geometri yaitu:

2

3

𝑎 = 10 dan 𝑟 = 4 𝑆∞ =

𝑎

1−𝑟

=

10

3 1− 4

=

Lintasan bola naik: 30 90 + 16 + ⋯ 4

10 1 4

= 40

10

𝑎=

30 4

𝑆∞ =

3

𝑥(−2 sin 3𝑥)

dan 𝑟 = 4

𝑎

1−𝑟

30/4

=

1−

3 4

=

30/4 1 4

−2𝑥

sin 3𝑥

= lim tan 2𝑥 tan 2𝑥 = lim tan 2𝑥 × lim tan 2𝑥 = 30

=

Total panjang lintasan = 40 + 30 = 70

𝑥→0 −2 3 2

𝑥→0

× =− 2

3. Nilai lim

𝑥→0

3

2 sin2 (𝑥−1)

𝑥→1 𝑥 2 −2𝑥+1

=⋯

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. ∞ KALKULUS A. LIMIT FUNGSI Jawaban: B sin2 (𝑥−1) sin2 (𝑥−1) A. Limit fungsi aljabar lim 𝑥 2 −2𝑥+1 = lim (𝑥−1)2 𝑥→1 𝑥→1 f (a) 0 f ( x) Jika diselesaikan  , maka lim Misal 𝑢 = 𝑥 − 1 x  a g ( x) g (a) 0 Jika 𝑥 → 1 maka 𝑢 → 0 dengan cara sebagai berikut: sin2 (𝑥−1) sin2 (𝑥−1) sin2 𝑢 lim 𝑥 2 −2𝑥+1 = lim (𝑥−1)2 = lim 𝑢2 1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan 𝑥→1 𝑥→1 𝑢→0 1 2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau =1=1 penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar 3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) B. TURUNAN (DERIVATIF) bisa di turunkan A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan f ( x ) f ' (a ) Trigonometri lim  x  a g ( x ) g ' (a ) Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka: C. Limit Mendekati Tak Berhingga 1. y = u + v,  y’ = u’+ v’ n n 1 2. y = c·u,  y’= c· u’ ax  bx  ... 1. lim = p , dimana: 3. y = u·v,  y’= v· u’ + u· v’ x   cx m  dx m 1  ... u a 4. y = ,  y’= (v· u’ – u· v’) : v2 a. p = , jika m = n v c 5. y = un,  y’= n·un – 1 · u’ b. p = 0, jika n < m 6. y = sin u,  y’= cos u· u’ c. p = , jika n > m 7. y = cos u,  y’= – sin u·u’ 2. lim ax  b  cx  d = q, dimana: 8. y = tan u,  y’= sec2 u·u’ x  9. y = cotan u,  y’ = – cosec2 u·u’ a. q = , bila a > c 10. y = sec u,  y’ = sec u· tan u·u’ b. q = 0, bila a = c 11. y = cosec, u  y’ = –cosec u· cotan u·u’ c. q = –, bila a < c





bq lim  ax 2  bx  c  ax 2  qx  r    2 a x

3.

Contoh Soal 1. Nilai limit dari lim (√25𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − 5𝑥 + 2) = 𝑥→∞

⋯ A. 5

B.

5

C.

2

3 2

D. 1

E.

3 10

Jawaban: B lim (√25𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − 5𝑥 + 2) 𝑥→∞

= lim (√25𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − √(5𝑥 − 2)2 ) 𝑥→∞

= lim (√25𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − √25𝑥 2 − 20𝑥 + 4) 𝑥→∞

Didapat: 𝑏 = 5, 𝑞 = −20, 𝑎 = 25 lim (√25𝑥 2 + 5𝑥 − 2 − 5𝑥 + 2) =

𝑥→∞ 5−(−20)

=

=

25

2√25 10 𝑥(cos 6𝑥−1)

𝑏−𝑞 2√𝑎

5

=2

2. lim sin 3𝑥𝑡𝑎𝑛2 2𝑥 = ⋯ 𝑥→0

3

A. − 4

3

B. − 2

C. 1

Jawaban: B 𝑥(−2 sin2 3𝑥)

𝑥(cos 6𝑥−1)

lim sin 3𝑥𝑡𝑎𝑛2 2𝑥 = lim sin 3𝑥 tan 2𝑥 tan 2𝑥

𝑥→0

𝑥→0

3

D. 4

3

E. 2

Keterangan: y' : turunan pertama dari y u’ : turunan pertama dari u v’ : turunan pertama dari v Identitas trigonometri yang banyak digunakan : 2sin u  cos u = sin 2u B. Aplikasi turunan suatu fungsi Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya: 1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = a , yaitu m = f’(a) Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (a, b) dan bergradien m adalah: y – b = m(x – a) 2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0 3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0 4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0 Contoh Soal

11

′ (𝑥)

2𝑥−5

=0 1. Diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥−4 dan 𝑓’(𝑥) adalah turunan 4. 𝑓(𝑥) dikatakan mencapai stasioner jika 𝑓 Dari turunan ke dua: pertama dari 𝑓(𝑥). Nilai 𝑓’(1) = ⋯ 1. 𝑓(𝑥) dikatakan mencapai stasioner jenis maksimum A. –22 B. –12 C. –2 D. 7 E. 22 jika 𝑓 ′ (𝑥) = 0 dan 𝑓"(𝑥) < 0 Jawaban: D 2. 𝑓(𝑥) dikatakan mencapai stasioner jenis minimum 2𝑥−5 jika 𝑓 ′ (𝑥) = 0 dan 𝑓"(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) = 3𝑥−4 3. 𝑓(𝑥) dikatakan mencapai stasioner jenis belok jika Misalkan: 𝑓 ′ (𝑥) = 0 dan 𝑓"(𝑥) = 0 𝑢(𝑥) = 2𝑥 − 5 maka 𝑢′(𝑥) = 2 Contoh Soal 𝑣(𝑥) = 3𝑥 − 4 maka 𝑣 ′ (𝑥) = 3 1. Pernyataan berikut yang benar untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥−5 𝑢(𝑥) 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 6 adalah … 𝑓(𝑥) = 3𝑥−4 = 𝑣(𝑥) A. Nilai minimum –26 dan nilai maksimum –1 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 2 B. Nilai minimum –26 dan nilai maksimum 1 (𝑣(𝑥)) 2(3𝑥−4)−(2𝑥−5)3 C. Nilai minimum –26 dan nilai maksimum 26 𝑓 ′ (𝑥) = (3𝑥−4)2 D. Nilai minimum –1 dan nilai maksimum 26 2(3(1)−4)−(2(1)−5)3 −2+9 𝑓 ′ (1) = = = 7 E. Nilai minimum 1 dan nilai maksimum 26 (3(1)−4)2 1 Jawaban: D 2. Turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − cos 𝑥) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12𝑥 + 6 adalah… 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 2 + 6𝑥 − 12 A. 1 − cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 + 6 B. 1 − cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 Stasioner 𝑓’(𝑥) = 0 C. 1 − cos 𝑥 − sin 𝑥 6𝑥 2 + 6𝑥 − 12 = 0 D. 1 + cos 𝑥 + sin 𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 E. 1 + cos 𝑥 − sin 𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0 Jawaban: A 𝑥 = −2 atau 𝑥 = 1 Misalkan: ′ (𝑥) Untuk 𝑥 = −2  𝑓 ′′ (−2) = 12(−2) + 6 = −18 𝑢(𝑥) = 𝑥 maka 𝑢 =1 Karena 𝑓 ′′ (−2) < 0 maka 𝑥 = −2 merupakan titik 𝑣(𝑥) = 1 − cos 𝑥 maka 𝑣(𝑥) = sin 𝑥 balik maksimum 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − cos 𝑥) Untuk 𝑥 = 1  𝑓 ′′ (1) = 12(1) + 6 = 18 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) Karena 𝑓 ′′ (1) > 0 maka 𝑥 = 1 merupakan titik balik 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣 ′ (𝑥) minimum 𝑓 ′ (𝑥) = 1(1 − cos 𝑥) + 𝑥(sin 𝑥) Nilai maksimum; 𝑓 ′ (𝑥) = 1 − cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 3 𝑓(−2) = 2(−2)3 + 3(−2)2 − 12(−2) + 6 = 26 3. Turunan pertama dari 𝑓(𝑥) = √sin2 3𝑥 adalah … 1 Nilai minimum; 2 3 A. 3 cos −3 3𝑥 D. −2 cotan 3𝑥 ( √sin2 3𝑥 ) 𝑓(1) = 2(1)3 + 3(1)2 − 12(1) + 6 = −1 1

3

B. 2 cos −3 3𝑥

E. 2 cotan 3𝑥 ( √sin2 3𝑥 )

1

2

C. 3 cos −3 3𝑥 sin 3𝑥 Jawaban: E Misalkan 𝑢 = 3𝑥 dan 𝑣 = sin 𝑢 maka 𝑓(𝑥) = 𝑣 1/3 𝑑𝑢

𝑑𝑣 ′ (𝑥)

𝑓 𝑓

𝑑𝑣

𝑑𝑓

2

= 3, 𝑑𝑢 = cos 𝑢 , 𝑑𝑣 = 3 𝑣 −1/3

′ (𝑥)

=

𝑑𝑓(𝑥) 2

=

𝑑𝑥 −1/3

= 3𝑣

𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑣

𝑑𝑣

𝑔(2𝑥 − 1), A suatu konstanta. Jika f naik pada 𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 1, nilai minimum relatif g adalah … 2

5

A. 3

B. 3

1

C. 3

1

D. − 3

5

E. − 3

Jawaban: C 1

Diketahui: 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 3 − 𝐴2 𝑥 + 1

𝑑𝑢

× 𝑑𝑢 × 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑔(2𝑥 − 1)

× cos 𝑢 × 3

1

cos 𝑢

(sin 𝑢)2/3

𝑓 ′ (𝑥) = 2(sin 𝑢)−1/3 cos 𝑢 = 2 (sin 𝑢)1/3 × (sin 𝑢)2/3 cos 𝑢

1

2. Diketahui fungsi 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 3 − 𝐴2 𝑥 + 1; 𝑓(𝑥) =

3

𝑓 ′ (𝑥) = 2 sin 𝑢 × (sin 𝑢)2/3 = 2 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑢 × √sin2 𝑢 3

𝑓 ′ (𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 3𝑥 × √sin2 3𝑥 C. TITIK STASIONER DAN NILAI EKSTREM Dari turunan pertama: 1. Gradien garis singgung kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah 𝑚 = 𝑓’(𝑎) 2. 𝑓(𝑥) dikatakan naik jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 3. 𝑓(𝑥) dikatakan turun jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0

𝑓(𝑥) = 3 (2𝑥 − 1)3 − 𝐴2 (2𝑥 − 1) + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 2(2𝑥 − 1)2 − 2𝐴2 𝑓 naik pada 𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 1, berarti turun pada 0 < 𝑥 < 1 dan stasioner di 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1 Jadi, 𝑓’(0) = 0 dan 𝑓’(1) = 0 𝑓’(0) = 2(2(0) − 1)2 − 2𝐴2 = 0 𝐴2 = 1 1

Dengan demikian diperoleh 𝑔(𝑥) = 3 𝑥 3 − 𝑥 + 1 Menentukan nilai minimum relative fungsi g. Fungsi g mencapai stasioner jika 𝑔’(𝑥) = 0

12 2

𝑔’(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 − 1 = 0 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1 Buat diagram tanda nilai fungsi 𝑔’(𝑥) di setiap nilai 𝑥 dengan batas 𝑥 = 1 dan 𝑥 = −1

Dari diagram di atas tampak bahwa fungsi g mencapai minimum di 𝑥 = 1 Nilai minimum fungsi g: 1

1

𝑔(𝑥) = 3 (1)3 − (1) + 1 = 3

y=

dy dx , dx

dengan

dy dx

adalah turunan pertama y

B. Integral Tentu Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus: b

b  f ( x)dx  [ F ( x)] a  F (b)  F (a) , dengan F(x)

L =

a

adalah integral (antidiferensial) dari f(x) C. Penggunan Integral Tentu a) Untuk Menghitung Luas Daerah

A. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu 1) Rumus-Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri 1.  dx = x + c 2.  a dx = a  dx = ax + c 3.  xn dx =

1 x n1 + n1

c

4.  sin ax dx

=–

5.  cos ax dx

=

1 a

sin ax + c

6.  sec2 ax dx

=

1 a

tan ax + c

1 a

cos ax + c

7.  [ f(x)  g(x) ] dx =  f(x) dx   g(x) dx Catatan: 1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan a. 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B) b. –2sinAsinB = cos(A + B) – cos(A – B) c. sin2A = 12 {1  cos 2 A} d. cos2A = 12 {1  cos 2 A} e. sin 2A = 2sin A  cos A 2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka metode pengintegralan yang bisa digunakan adalah: a. Metode substitusi Jika bentuk integran :  u v dx , dengan u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du b. Metode Parsial dengan TANZALIN Jika bentuk integran :  u dv , dengan u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du

a. Luas daerah L pada gb. 1 b

L =  f ( x)dx , a

untuk f(x)  0 b. Luas daerah L pada gb. 2 b

L = –  f ( x)dx , atau a

b

L =  f ( x)dx

untuk f(x)  0

a

c. Luas daerah L pada gb. 3 b

L =  { f ( x)  g ( x)}dx , a

2) Penggunaan Integral Tak Tentu dengan f(x)  g(x Integral tak tentu di gunakan untuk mencari b) Untuk Menghitung Volume Benda Putar persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu: f(x) = f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:

13

b

b

a

a

V =   ( f ( x)) 2 dx atau V =   y 2 dx

d

d

c

c

V =   { f 2 ( y)  g 2 ( y)}dy atau V =   ( x12  x 22 )dy Contoh Soal 2

1. Hasil dari ∫0 3(𝑥 + 1)(𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = ⋯ A. –58 B. –56 Jawaban: A

C. –48

2

D. –14

E. 14

2

∫0 3(𝑥 + 1)(𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = 3 ∫0 (𝑥 2 − 5𝑥 − 6) 𝑑𝑥 1

5

= 3 (3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 6𝑥) 1

5

1

5

= 3 [(3 (2)3 − 2 (2)2 − 6(2)) − (3 (0)3 − 2 (0)2 − 6(0))] 8

= 3 (3 − 10 − 12 − 0) = −58 2. Hasil dari ∫ cos3 𝑥 𝑑𝑥 adalah … 1

d

d

A. 4 cos 4 𝑥 + 𝐶

c

c

B. sin 𝑥 − 3 sin3 𝑥 + 𝐶

V =   ( g ( y )) 2 dy atau V =   x 2 dy

1

C. 3 cos 2 𝑥 sin 𝑥 + 𝐶 1

D. 3 sin3 𝑥 − sin 𝑥 + 𝐶 E. sin 𝑥 − 3 sin3 𝑥 + 𝐶 Jawaban: B Misalkan 𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= cos 𝑥 ⇔ 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥

∫ cos 3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − sin2 𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑢2 ) 𝑑𝑢 b

V =   {( f ( x)  g ( x)}dx atau V a

2

2

b

=   ( y12 a

1



y 22 )dx

= 𝑢 − 3 𝑢3 + 𝐶 1

= sin 𝑥 − 3 sin3 𝑥 + 𝐶 3. Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 = −𝑥 + 2 dan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 adalah … satuan 8

A. 3

B.

Jawaban: B

10 3

C.

14 3

D.

16 3

E.

26 3

14

GEOMETRI DAN TRIGONOMETRI A. TRIGONOMETRI I 1. Trigonometri Dasar

Luas Daerah : 2

= ∫0 (2 − 𝑥 2 + 𝑥) 𝑑𝑥 1

= (2(2) − 3 (2)3 + 2 (2)2 ) − 0 8

= 4−3+2 =

10

3𝜋

A. 5

cos  =



tan  =

3

4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 dan 𝑦 = 2 − 𝑥 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah … satuan volum 𝜋



y r x r y x

Nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku-siku istimewa (gambar. 1 dan gambar.2) cos tan º sin

1

= 2𝑥 − 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 1

sin  =

2. Perbandingan trigonometri sudut Istimewa (30º, 45º, 60º)

2

𝐿 = ∫0 ((4 − 𝑥 2 ) − (−𝑥 + 2)) 𝑑𝑥 1



B. 10

C.

3𝜋 5

D.

7𝜋

E.

5

9𝜋 5

30 ½

½ 3

1 3 3

45 ½ 2

½ 2

1

60 ½ 3

½

gambar1

gambar 2

3

Jawaban: A 3. Perbandingan Trigonometri sudut berelasi Perbandingan trigonometri sudut berelasi dapat dicari dengan menggunakan bantuan lingkaran satuan seperti pada gambar 3

2

𝑉 = 𝜋 ∫1 (𝑦12 − 𝑦22 )𝑑𝑥

gambar 3

2

= 𝜋 ∫1 ((2𝑥 − 𝑥 2 )2 − (2 − 𝑥)2 ) 𝑑𝑥 2

1. Sudut berelasi (90º – )

2

a) sin(90º – ) = cos  b) cos(90º – ) = sin  c) tan(90º – ) = cot  2. Sudut berelasi (180º – ) a) sin(180º – ) = sin  b) cos(180º – ) = – cos  c) tan(180º – ) = – tan  3. Sudut berelasi (180º + ) a) sin(180º + ) = – sin  b) cos(180º + ) = – cos  c) tan(180º + ) = tan  4. Sudut berelasi (– )

= 𝜋 ∫1 (4𝑥 2 − 4𝑥 3 + 𝑥 4 − (4 − 4𝑥 + 𝑥 2 )) 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫1 (3𝑥 2 − 4𝑥 3 + 𝑥 4 − 4 + 4𝑥) 𝑑𝑥 1

= 𝜋[𝑥 3 − 𝑥 4 + 5 𝑥 5 − 4𝑥 + 2𝑥 2 ] 1

= 𝜋 [((2)3 − (2)4 + 5 (2)5 − 4(2) + 2(2)2 ) − 1

((1)3 − (1)4 + 5 (1)5 − 4(1) + 2(1)2 )] = 𝜋 ((8 − 16 +

32 5

2)) 8

9

= 𝜋 (− 5 + 5) =

𝜋 5

1

− 8 + 8) − (1 − 1 + 5 − 4 +

15

a) sin(– ) b) cos(– ) c) tan(– )

= – sin  = cos  = – tan 

4. Rumus–Rumus dalam Segitiga

2) sin A – sin B = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B) 3) cos A + cos B = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B) 4) cos A – cos B = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B) sin( A  B) 5) tan A + tan B = cos A cos B sin( A  B) 6) tan A – tan B = cos A cos B

1. Aturan sinus : sin A  sin B  sin C  2r Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah: 8. Sudut Rangkap 1) sin 2A = 2sinA·cosA 2) cos 2A = cos2A – sin2A = 2cos2A – 1 = 1 – 2sin2A 2 tan A 3) tan 2A = 1  tan 2 A 4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A a

b

c

2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya:

3. a) b)

c)

9. Persamaan Trigonometri 1. sin xº = sin p x1 = p + 360k x2 = (180 – p) + 360k b b a 2. cos xº = cos p x1 = p + 360k  x2 = – p + 360k c c 3. tan xº = tan p a. sisi sisi sisi b. sisi sudut sisi x1 = p + 180k x2 = (180 + p) + 180k Luas segitiga 4. Bentuk: A trig2 + B trig + C = 0 diselesaikan L = ½ a · b sin C,  dengan kondisi “sisi sudut sisi” seperti menyelesaikan persamaan kuadrat a 2  sin B  sin C L = ,  dengan kondisi “sudut sisi Contoh Soal 2 sin(B  C) 1. Diketahui P sudut lancip. jika sin sudut P = 5/13, tan sudut” sudut P = …. L = s( s  a)(s  b)(s  c ) , s = ½(a + b + c) A. 25/144 B. 5/12 C. 13/12 D. 12/5 E. 144/25  dengan kondisi “sisi sisi sisi” Jawaban B

5. Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1) sin (A  B) = sin A cos B  cos A sin B 2) cos (A  B) = cos A cos B  sin A sin B tan A  tan B 3) tan (A  B) = 1  tan A  tan B 6. Perkalian Sinus dan Kosinus 1) 2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B) sin A cos B = ½{sin(A + B) + sin(A – B)} 2) 2cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B) cos A sin B = ½{sin(A + B) – sin(A – B)} 3) 2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B) cos A cos B = ½{cos(A + B) + cos(A – B)} 4) –2sin A sin B = cos(A + B) – cos(A – B) sin A sin B = –½{cos(A + B) – cos(A – B)} 7. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus, Kosinus dan Tangen 1) sin A + sin B = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)

a = √132 − 5 a = √169 − 25 a = 12 tan sudut P = 5/a =5/12 2. nilai dari

sin 150°+sin

120°

cos 210°−cos 300°

C. √2

A. -2 B. -1 D. 1 E. 2 Jawaban : B sin 150°+sin

120°

cos 210°−cos 300°

=…….

= = = =

sin(180−30)°+sin(180−60)° cos(180+30)°−cos(180−60)° 𝑠𝑖𝑛 30°+𝑠𝑖𝑛 60°

𝑐𝑜𝑠 30°−𝑐𝑜𝑠 60° 1 1 + √3 2 2 1 1 − √3− 2 2 1 1 + √3 2 2 1 1 −( √3+ ) 2 2

= -1

16

3. Diketahui sin  =

1 5

√3,  sudut lancip. Nilai cos 2

= ….. Jawaban : D

𝐵𝐶

Aturan sinus :sin 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐵 = 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐴 𝐴𝐶 4√2 = sin 30° sin 45° 4√2 ↔= 1 2 √2 4√2 ↔ 𝐴𝐶 = √2 ↔ 𝐴𝐶 = 4 2. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkarang luar 8 cm adalah….cm2 A. 192 B. 192√3 C. 288 D. 288√3 E. 384 Jawaban A segi-12 beraturan terdiri dari 12 segitiga yang kongruen dengan sudut 360:12= 30º, ↔

1

sin  = 5 √3, =

√6 3

cos 2 = 1 – 2 sin2  √6

2

=1−2 ×(3) 6

=1– 2𝑥9 = 1−

12 9

3

1

= −9 = −3

jadi nilai cos2 = -1/3 B. ATURAN SINUS DAN KOSINUS 1. Rumus–Rumus dalam Segitiga 1. Aturan sinus : sin A  sin B  sin C  2r Aturan sinus digunakan apabila kondisi segitiganya adalah: a

b

c

2. Aturan Kosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Aturan kosinus digunakan jika kondisi segitiganya: b

𝐴𝐶

a

b

C. KEDUDUKAN JARAK DAN SUDUT DALAM RUANG DIMENSI TIGA

 c

Luas segitiga AOB =1/2 x OA x OB x sin AOB = ½ x 8 x 8 x sin 30º = 32 x ½ = 16 cm2 Luas segi 12 yaitu 16 x 12 = 192 cm2

c

A. JARAK 1. Garis Tegak Lurus a. sisi sisi sisi b. sisi sudut sisi Bidang Sebuah garis tegak 3. Luas segitiga lurus pada sebuah bidang a) L = ½ a . b sin C, ∆ dengan kondisi “sisi sudut sisi” jika garis itu tegak lurus a 2  sin B  sin C pada setiap garis di bidang b) L = , dengan kondisi “sudut sisi 2 sin(B  C) itu. sudut” 2. Jarak Titik dan Garis c) L = , s = ½(a + b + c) ∆ dengan kondisi “sisi sisi Jarak titik A dan garis g sisi” Contoh soal adalah panjang ruas garis AA’, 1. Perhatikan gambar berikut. dengan titik A’ merupakan proyeksi A pada g.

Panjang AC=…..Cm A. 2√2 B. 2√3 C. 4 D. 4√2 E. 4 √3 Jawaban : C

3. Jarak titik dan bidang Jarak antara titik A dan bidang adalah panjang ruas garis AA’ dengan titik A’ merupakan proyeksi titik A pada bidang 4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat

17

garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut. 5. Jarak Garis dan Bidang yang Sejajar Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.

sejajar berarti tidak memiliki titik potong, analisa jawaban A sampai E. diperoleh jawaban B karena garis AE terletak pada bidang ABFE, dan bidang ABFE sendiri sejajar dengn bidang CDHG, maka garis AE sejajar bidang CDHG. 2. Perhatikan Balok KLMN.OPQR berikut

6. Jarak Antar titik sudut pada kubus

Catatan Penting Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan dapat dengan mudah dicari. B. SUDUT 1. Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang. 2. Sudut Antara Dua Bidang

Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang  dan . Catatan Penting Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garisgaris bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga. Contoh soal 1. Perhatikan kubus ABCD EFGH berikut ini

Pasangan garis dan bidang yang sejajar adalah… A. AD dan CDHG B. AE dan CDHG C. BC dan ABFE D. EF dan ABFE E. EH dan ABFE Jawaban B

sudut antara garis MN dan LR adalah …. A.LRM B. LRN C. LRQ D. LRO E. NMR Jawaban C Garis MN dan LR bersilangan, Oleh karena garis QR sejajar dengan garis MN maka sudut antara garis MN dan LR sama dengan sudut antara garis QR dan LR, yaitu sudut LRQ. jadi sudut antara garis MN dan LR sama dengan sudut LRQ D. Persamaan Lingkaran dan garis singgung Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran 1) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jarinya (r) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 2) Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (– ½ A, –½B) dan jari-jari: r = ( 1 A) 2  ( 1 B) 2  C 2

2

3) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

r

ax1  by1  c a 2  b2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2 x x1 + y y1 = r2 b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2 c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0 xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0 2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah-langkahnya:

18

1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a) 2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka akan diperoleh dua buah titik singgung pada lingkaran. 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

2

𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑟 → 2𝑥 − 4𝑦 = 20 Garis memotong sumbu X, Berarti: y=0 → 2x-4(0) = 20 2x=20 x=10 Jadi, garis singgung memotong sumbu X dititik (10,0)

B. TRANSFORMASI 3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m A. Macam-macam Transformasi diketahui 2 2  Garis singgung lingkaran (x – a) + (y – b) = a  1. Translasi (Pergeseran) ; T =   2 r dengan gradien m b  y – b = m(x – a)  r m 2  1 Contoh soal 1. Persamaan Lingkaran dengan pusat (3,2) dan berdiameter 2 √6 adalah… A. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0 B. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 6𝑦 + 7 = 0

 x'  x   a   x   x'  a          atau          y'   y   b   y   y'   b 

2. Refleksi (Pencerminan) 1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka: x  x' x  x'    M  atau    M 1    y  y'   y  y' 

C. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 7 = 0

2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb:

D. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0 E. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 13 = 0

Jawaban D Diketahui P(3,2) dan d=2√6 jadi r = ½. 2√6 =√6 persamaan lingkaran yang berpusat di P(3,2) dan berjari √6 sebagai berikut: (𝑥

−𝑎

)2 + (𝑦

−𝑏

)2 = 𝑟 2 2

(𝑥 3)2 + (𝑦 2)2 = (√ ) − − 6 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 6 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 13 = 6 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0 jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0

2. Garis singgung lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 20 di titik (2, 4) memotong sumbu X dititik ... A. (20,0) B. (10,0) C.(5,0) D. (-5,0) E. (-10,0) Jawaban B 𝑥 2 + 𝑦 2 = 20 untuk x=2 dan y= -4 diperoleh: 22 + (−4)2 = 4 + 16 = 20 Diperoleh titik (2,-4) terletak pada lingkaran, sehingga persamaan garis singgungnya:

3. Rotasi (Perputaran)

19 0

Rotasi 120 searah jarum jam sama dengan rotasi sudut putaran -1200. Matriks transformasi yang mewakili transformasi tersebut adalah: cos(−120) − sin(−120) ( )= sin(−120) cos(−120) cos(120) sin(120 ( ) − sin(120) cos(120) 1

−2

=( 1 − 2 √3

1

√3 1) −2

2

2. Diketahui T1 adalah pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥, dan transformasi T2 adalah rotasi dengan pusat O (0,0) sebesar 900 dengan arah putar berlawanan dengan putaran jarum jam. Persamaan bayangan garis 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 oleh transformasi T1 dilanjutkan T2 adalah … A. 3𝑥 + 4𝑦 − 8 = 0 B. 3𝑥 − 4𝑦 − 8 = 0 C. 3𝑥 + 4𝑦 + 8 = 0 D. 4𝑥 − 3𝑦 − 8 = 0 E. 4𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0 Jawaban: A 4. Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k Transformasi T1 dilanjutkan T2 (x,y) 𝑀𝑦=𝑥 (y,x)𝑅90° (-x,y) dan pusat di O Diperoleh x’ = -x ↔ x = -x’  x'   x  x  1  x'     k         y’ = y ↔ y = y’  y  k  y'   y'   y subtitusikan x dan y kedalam persamaan garis: B. Komposisi Transformasi 3x – 4y + 8 = 0 a b  p q 3(-x’) -4(y’)+8=0     c d r s -3x’- 4y’ +8=0     P’(x’, y’); maka P(x, y)   3x’ + 4y – 8=0  x '   p q  a b  x         Jadi persamaan bayangan garis adalah 3x+4y-8=0 y' r s c d y   



 

STATISTIKA C. Luas Hasil Transformasi A. STATISTIKA 1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi Ukuran Pemusatan Data adalah tetap. 1). Rata-rata a b   2. Luas bangun hasil transformasi  x  x 2  x 3  ...  x n  adalah: 1. Data tunggal: X  1 c d n a b 2. Data terkelompok: L’ = L  c d Cara konvensional Cara sandi Contoh Soal  fi  xi  f  u  X X  Xs   i i c 1. Matriks transformasi yang mewakili rotasi 1200  fi   fi  searah jarum jam adalah … Keterangan: 1 1 1 1 − 2 √3 − 2 − 2 √3 2 fi = frekuensi kelas ke-i A. (1 ) D. (1 1 1 ) − √3 √3 xi = Nilai tengah data kelas ke-i 2 2 2 2 B. (

1

1

2 1

2

− 2 √3

C. (

−

2

1

1

2

2

1

− 2 √3

Jawaban: C

√3 1 )

√3 1) −2

1

−2

E. (1 2

√3

1

− 2 √3 ) 1 2

Xs = Rataan sementara , pilih xi dari data dengan fi terbesar ui = …, -2, -1, 0, 1, 2 … , disebut kode. 0 merupakan kode untuk Xs c = panjang kelas interval 2). Rataan Gabungan (penggabungan rata-rata 2 atau lebih kelompok data)

20

Xg 

n1  x1  n2  x 2  n3  x 3  ... n1  n2  n3  ...

(iii) Q3 (kuartil atas) merupakan median data bentangan sebelah kanan  i N fk Qi = L Qi   4 f Qi 

dengan n1, n2, n3, … : banyaknya data kelompok 1, kelompok 2, kelompok 3 … dst

 c  

x1 , x 1 , x 1 ... : nilai rata-rata data kelompok 1, Keterangan: i = jenis kuartil (1, 2, atau 3) kelompok 2, kelompok 3 … dst fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil 3). Median fQi = Frekuensi kelas kuartil Median adalah data yang berada tepat ditengah, N = Jumlah seluruh data setelah data tersebut diurutkan. LQi = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil a. Data tunggal: x1, x2, x3, …, xn: c = panjang kelas interval median merupakan data ke ½(n + 1) atau Contoh Soal Me = X 1 ( n 1) 3. Perhatikan tabel berikut. 2

b. Data terkelompok: Me = Q2 1 N f Q = L  2 k c 2

Q2



fQ 2



Keterangan: fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil fQ2 = Frekuensi kelas kuartil ke 2 N = Jumlah seluruh data LQ2 = tepi bawah kelas yang memuat kelas kuartil ke 2 c = panjang kelas interval 4). Modus

Modus adalah data yang sering muncul atau berfrekuensi terbesar.

Berat Badan (Kg) Banyak Siswa 40 – 44 3 45 – 49 9 50 – 54 5 55 – 59 7 60 – 64 4 65 – 69 2 Rata-rata berat badan siswa pada data dalam tabel di atas adalah … kg A. 51 B. 51,5 C. 52 D. 52,5 E. 53 Jawaban: E Berat Badan xi fi fi . xi 40 – 44 42 3 126 45 – 49 47 9 423 50 – 54 52 5 260 55 – 59 57 7 399 60 – 64 62 4 248 65 – 69 67 2 134 Jumlah 30 1.590 Rata-rata berat badan: ∑ 𝑓 .𝑥 1590 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑖 = 30 = 53

d Mo = L mo   1 c d  1 d2  Lmo = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 𝑖 d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan 4. Perhatikan tabel dibawah ini. kelas sesudahnya Data Frekuensi 20 – 25 4 5). Kuartil 26 – 31 6 Kuartil adalah membagi bentangan data menjadi 32 – 37 8 empat bagian sama panjang setelah data tersebut di 38 – 43 9 urutkan dari yang terkecil (Xmin) sampai yang 44 – 49 11 terbesar (Xmaks), seperti pada bagan di bawah ini. 50 – 55 8 56 – 61 4 Kuartil bawah dari data pada tabel di atas adalah … Xmin, Q1, Q2, Q3, dan Xmaks disebut dengan statistika 5 A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 E. 36 serangkai: Jawaban: C Kuartil bawah = Q1



Data terkelompok:

1

𝑄1 = 𝐿1 + 4

𝑛−∑ 𝑓𝑄1 𝑓𝑄1 1

×𝑝

×50−10

𝑄1 = 31,5 + 4 6 × 6 = 31,5 + 2,5 = 34 5. Tabel berikut menunjukkan nilai ujian matematika a. Data tunggal: dan IPA dari siswa kelas XIIA (i) Tentukan median (Q2) dengan cara membagi Nilai Matematika IPA bentangan data menjadi dua bagian 30 – 39 3 5 40 – 49 6 5 (ii) Q1 (kuartil bawah) merupakan median data 50 – 59 4 2 bentangan sebelah kiri

21

60 – 69 8 5 1. Dari 9 orang akan dipilih menjadi pengurus tim yang 70 – 79 4 8 terdiri atas seorang ketua, seorang sekretaris, dan 80 – 89 3 3 seorang bendahara. Banyaknya susunan pengurus tim 90 – 99 2 2 yang mungkin adalah … Rata-rata hasil ujian Matematika 61,5 dan rata-rata A. 27 B. 84 C. 120 D. 504 E. 540 hasil ujian IPA 62,16. Siswa dinyatakan lulus ujian Matematika jika memperoleh nilai minimal 50 dan Jawaban: D lulus ujian IPA jika memperoleh nilai minimal 60. Pada permasalahan ini, memilih 3 orang dari 9 orang Pernyataan berikut yang benar adalah … dengan memperhatikan urutan. Dengan demikian A. Hasil ujian Matematika lebih baik daripada hasil banyak cara membuat susunan tim adalah 9P3 ujian IPA 9! 9! 9×8×7×6! 𝑃39 = (9−3)! = 6! = = 504 B. Sebanyak 60% siswa lulus ujian Matematika dan 6! 70% siswa lulus ujian IPA 2. Pada suatu tes penerimaan karyawan, seorang C. Modus nilai ujian Matematika sama dengan pelamar wajib mengerjakan 8 soal di antara 15 soal. modus nilai ujian IPA Soal nomor 1 sampai 4 harus dikerjakan. Banyak D. Modus nilai ujian Matematika lebih besar cara memilih soal yang dapat dilakukan adalah … daripada modus nilai ujian IPA E. Median nilai ujian Matematika lebih kecil cara. daripada median nilai ujian IPA A. 7.920 B. 6.453 C. 1.365 Jawaban: A D. 330 E. 165 Dari tabel terlihat sebanyak 21 siswa lulus ujian Jawaban: D Matematika dan 18 siswa lulus ujian IPA. Karena Oleh karena 4 soal wajib dikerjakan (soal nomor 1 banyaknya siswa yang mengikuti ujian Matematika dan IPA jumlahnya sama, maka bisa disimpulkan sampai dengan 4), pelamar dapat memilih 4 soal bahwa hasil ujian Matematika lebih baik daripada lainnya dari 11 soal tersisa. hasil ujian IPA. Banyak pilihan soal yang dapat dilakukan adalah 11

11!

11!

11×10×9×8×7!

𝐶4 = 4!(11−4)! = 4!×7! = 4×3×2×1×7! = 330 B. KAIDAH PENCACAHAN 1. Aturan perkalian 3. Dalam kantong berisi 5 kelereng merah dan 6 Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap kelereng putih . dari dalam kantong diambil 3 yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a1 kelereng sekaligus, banyak cara pengambilan cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan sedemikian hingga paling banyak terdapat 2 kelereng tahap ke-n dapat terjadi dalam an cara yang berbeda , putih adalah … maka total banyaknya cara peristiwa tersebut dapat A. 60 B. 70 C. 75 D. 135 E. 145 terjadi adalah a1 × a2 × a3 × ... × an. Jawaban: E Pengambilan 3 kelereng paling banyak 2 kelereng 2. Permutasi putih, maka susunan yang mungkin adalah MMM, Permutasi adalah pola pengambilan yang MMP, MPP. memperhatikan urutan (AB  BA), jenisnya ada 3, Banyak cara pengambilan MMM: yaitu: 5! 5×4×3! a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; 𝐶5 = = = 10 3

n! n Pr  (n  k)!

n! ,n1 + n2 + n3 + …  n n1! n1! n1!

c) Permutasi siklis (lingkaran); n Psiklis

 (n  1)!

3. Kombinasi Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA). Kombinasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah n Cr

Contoh Soal



3!×2!

Banyak cara pengambilan MMP:

b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; n Pn1 , n2 , n3 

3!(5−3)!

n! (n  r )!r!

5!

6!

𝐶25 × 𝐶16 = 2!(5−2)! × 1!(6−1)! =

5×4×3! 6×5! × 1!×5! 2!×3!

= 10 × 6 = 60

Banyak cara pengambilan MPP: 𝐶15 × 𝐶26 = =

5! 6! × 1!(5−1)! 2!(6−2)! 5×4! 6×5×4! × 2!×4! = 5 × 1!×4!

15 = 75

Banyak cara pengmbilan paling banyak 2 kelereng putih = 10 + 60 + 75 = 145 cara

C. PELUANG A. Peluang Suatu Kejadian a) Kisaran nilai peluang : 0  P(A)  1

22

b) P(A) =

n( A ) , n(A) banyaknya kejadian A dan n(S)

n(S) banyaknya ruang sampel Peluang komplemen suatu kejadian: P(Ac) = 1 – P(A) Peluang gabungan dari dua kejadian: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Peluang dua kejadian saling lepas : P(AB)= P(A) + P(B) Peluang dua kejadian saling bebas: P(AB)= P(A) × P(B) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas)

c) d) e) f) g)

P(A/B)=

P( A  B) P(B)

Contoh Soal 1. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 8 akan dibentuk bilangan ratusan. Dari bilangan yang terbentuk akan dipilih sebuah bilangan. Peluang terpilih bilangan ratusan ganjil adalah… F.

1

1

3

B. 4

8

5

C. 8

3

D. 8

E. 4

5

4

20

5

= 9 × 8 = 72 = 18 3. Amir akan melakukan tandangan penalty ke gawang yang dijaga Burhan.peluang membuat gol dalam 3

sekali tendangan adalah 5. Jika Amir melakukan 4 kali tendangan penalty, peluang untuk membuat 3 gol sebesar… 18

24

H. 125

36

B. 125

216

C. 125

D. 125

Jawaban: D 3

P(G) = P(gol) = 5 3

2

P(T) = P(tidak gol) = 1 − 5 = 5 Dalam 4 kali tendangan, tercipta 3 gol. Secara lengkap kejadian tersebut dapat dinyatakan dengan urutan sebagai berikut. Kejadian Tendangan I II III IV K1 G1 G2 G3 T4 K2 G1 G2 T3 G4 K3 G1 T2 G3 G4 K4 T1 G2 G3 G4 P(K1) = P(G1) × P(G2) × P(G3) × P(T4)

Jawaban: C Banyak bilangan ratusan yang dapat dibentuk:

3

3

3

2

54

P(K1) = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 P (K2) sampai P(K4) dicari dengan cara serupa, sehingga diperoleh: 54

= 7 × 8 × 8 = 448 Banyak bilangan ratusan ganjil yang dapat dibentuk:

= 7 × 8 × 3 = 168 Peluang terpilih bilangan ratusan ganjil: 168

2. Dua anak melakukan percobaan dengan mengambil bola secara bergantian masing-masing satu bola dari dalam kantung yang berisi 4 bola merah dan 5 bola hijau. Jika dalam setiap pengambilan tanpa dikembalikan, peluang kejadian anak pertama mengambil 1 bola berwarna hijau dan anak ke dua juga mengambil 1 bola berwarna hijau adalah … 5

6

B. 18

7

C. 18

8

D. 18

9

E. 18

Jawaban: A n(M) = 4 n(H) = 5 n(S) = 4 + 5 = 9 Peluang anak pertama mengambil 1 bola hijau: =

𝑛(𝐻) 𝑛(𝑆)

5

=9

Peluang anak ke dua mengambil 1 bola hijau: =

𝑛(𝐻)−1 𝑛(𝑆)−1

Karena K1, K2, K3 dan K4 adalah kejadian yang saling bebas, maka peluang Amir membuat 3 gol dalam 4 kali tendangan adalah P(K1) + P(K2) + P(K3) + P(K4) 54

3

G. 18

P(K2) = P(K3) = P(K4) = 625

54

54

54

216

= 625 + 625 + 625 + 625 = 625

= 448 = 8

4

=8

Peluang anak pertama dan anak ke dua mengambil 1 bola hijau:

72

E. 125