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Estimation d’état des systèmes non linéaires par une approche multimodèle découplé Rodolfo Orjuela, Benoît Marx, José Ragot et Didier Maquin Centre de Recherche en Automatique de Nancy UMR7039, Nancy-Université, CNRS 2, Avenue de la forêt de Haye 54516 Vandœuvre-Lès-Nancy Cedex, France

2èmes Journées Doctorales / Journées Nationales MACS JD-JN-MACS 2007, 9 – 11 Juillet, 2007, Reims , France

Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN)

Estimation d’état des systèmes non linéaires

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Introduction Principe du multimodèle ξ1 (t )

ξ1 (t )

zone de fonctionnement 1 zone de fonctionnement 2

Espace de zone de

fonctionnement

fonctionnement 3 zone de fonctionnement 4

ξ2 (t )

SYSTEME NON LINEAIRE

ξ2 (t )

REPRESENTATION MULTIMODELE

Décomposition en zones de fonctionnement Un sous-modèle simple modélise chaque zone Agrégation judicieuse des sous-modèles

Intérêts des multimodèles Propriété d’approximateur universel Extension des résultats du cas linéaire au cas non linéaire Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN)

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Plan

1

Structures des multimodèles Multimodèle de Takagi-Sugeno Multimodèle découplé

2

Résultats principaux Stabilité du multimodèle découplé Estimation d’état

3

Exemple

4

Conclusion

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Structures des multimodèles

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Structures des multimodèle Structure classique Multimodèle de Takagi-Sugeno : Multimodèle à état unique  L L   ˙ = { ∑ µi (ξ (t))Ai }x(t) + { ∑ µi (ξ (t))Bi }u(t),  x(t)   

µi (ξ (t))

i=1 L

i=1

y (t) = { ∑ µi (ξ (t))}Ci x(t), i=1

  

L

∑ µi (ξ (t)) = 1, ∀t

i=1

0 ≤ µi (ξ (t)) ≤ 1

ξ (t) : variable de décision

Les sous-modèles partagent un même vecteur d’état Analogue à un modèle à paramètres variables dans le temps L’ordre des sous-modèles est le même Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN)

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Structures des multimodèle Nouvelle structure Multimodèle découplé  x˙i (t) = Ai xi (t) + Bi u(t),    yi (t) = Ci xi (t), L    y (t) = ∑ µi (ξ (t))yi (t), i=1   L ∑ µ (ξ (t)) = 1, ∀t µi (ξ (t)) i=1 i ξ (t) : variable de décision  0 ≤ µi (ξ (t)) ≤ 1 L’espace d’état de chaque sous-modèle est indépendant

La sortie du multimodèle est la somme pondérée des sorties des sous-modèles L’ordre des sous-modèles peut être différent Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN)

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Résultats principaux

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Stabilité du multimodèle découplé Réécriture des équations du multimodèle ˜ ˜ ˙ x(t) = Ax(t) + Bu(t), ˜ y (t) = C(t)x(t),

x˙ i (t) = Ai xi (t) + Bi u(t), yi (t) = Ci xi (t),

⇔

L

y (t) =

∑ µi (ξ (t))yi (t),

i=1

xi ∈ Rni

x ∈ Rn , n =

⇔

L

∑ ni

i=1

avec :

et



 ˜ = A  

A1 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0 Ai 0

0 0

..

0 0

0

.

0 0

..

. 0 0 AL





B1



µ1 (t)C1T

 ..   ..   .  ˜  B.  ˜ T  , B =  i  , C(t) =   µi (t)Ci  .  . .. .. BL

 T x(t) = x1T (t) · · · xiT (t) · · · xLT (t) ∈ Rn .

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

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µL (t)CLT

T     

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Stabilité du multimodèle découplé Critère de stabilité Le multimodèle découplé est stable si et seulement si tous les sous-modèles sont stables

Analyse de la stabilité ˜: Étude des valeurs propres de la matrice A   A1 0

 ˜ = A  

0 0

0 0

0

0

0

. 0 0 0 Ai 0

0 0

..

0 0

0 0

..

. 0 0 AL

  , 

˜ est une matrice bloc diagonale A ˜ ∈ C− si et seulement si λ (Ai ) ∈ C− λ (A)

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∀ i = 1...L

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Estimation d’état Structure de l’observateur Extension de l’observateur de Luenberger classiquement utilisé : xˆi (t) = Ai xˆi (t) + Bi u(t) + Ki (y (t) − yˆ (t)), yˆi (t) = Ci xˆi (t), L

yˆ (t) =

∑ µi (t)yˆi (t).

i=1

Réécriture des équations précédentes : ˜ xˆ (t) + Bu(t) ˜ ˜ (y (t) − yˆ (t)), xˆ (t) = A +K ˜ xˆ (t), yˆ (t) = C(t)  T T ˜ = K K · · · KiT · · · KLT , 1   ˜ C(t) = µ1 (t)C1 · · · µi (t)Ci · · · µL (t)CL ,  T T T xˆ (t) = xˆEstimation · · · desxˆsystèmes · xˆLT (t) 1 (t) d’état i (t) non· ·linéaires Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN) JDMACS 2007

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Erreur d’estimation L’erreur d’estimation donnée par : e(t) = x(t) − xˆ (t), et sa dérivée par :

˙ e(t) =



 ˜ ˜ −K ˜ C(t) A e(t),

˙ e(t) = Aobs (t)e(t),

Objectif : Assurer que λ (Aobs (t)) ∈ C− . Fonction de Lyapunov quadratique : V (e(t)) = eT (t)Pe(t),

P = P T et P > 0.

La convergence exponentielle de l’erreur d’estimation est assurée si : 1 2

V (e(t)) > 0, ∀t V˙ (e(t)) + 2α V (e(t)) < 0, ∀t

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Synthèse de l’observateur

Théorème (Convergence exponentielle) S’il existe une matrice symétrique et définie positive P, une matrice G et un scalaire positif α vérifiant les LMIs suivantes : ˜ i )T − GC ˜ i < 0, i = 1...L ˜ + α I) − (GC ˜ + α I)T P + P(A (A alors l’observateur est exponentiellement convergent. Le gain de l’observateur est donné par K = P −1 G.

α est le taux de décroissance qui sert à quantifier la vitesse de convergence de l’erreur d’estimation.

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Remarques sur la convergence exponentielle 1

2

La convergence exponentielle de l’erreur d’estimation est une notion plus forte que la convergence asymptotique (convergence asymptotique α = 0) La partie réelle des pôles de l’observateur est inférieure à −α Im

Im

r

Re

−α 3

Re

−α

Placement des pôles de l’observateur dans une nouvelle région...

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Placement des valeurs propres

Théorème Les pôles de l’observateur sont placés dans la région S(α , r ) du plan complexe s’il existe une matrice symétrique et définie positive P, une matrice G et deux scalaires positifs α et r vérifiant les LMIs suivantes : # " ˜i ˜ − GC −rP PA < 0, ˜ i )T ˜ T P − (GC A −rP ˜ i )T − GC ˜i ˜ + α I)T P + P(A ˜ + α I) − (GC (A

< 0,

˜ = P −1 G. pour i = 1...L. Le gain de l’observateur est donné par K

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Exemple

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Exemple

Il s’agit d’estimer l’état d’un système décrit par un multimodèle découplé constitué de L = 2 sous-modèles. Les valeurs numériques des matrices Ai , Bi et Ci sont :     −2 0.5 1 −0.5 0.7   0 , A2 = , A1 = 1 −0.7 −0.1 −0.4 −2 1 −0.5  T  T B1 = 1 0.2 0.5 , B2 = 0.5 1 ,     1 0.8 0 0.2 1 C1 = , C2 = . 0.7 −0.2 0.3 −1 0.4

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Exemple ˜ sont toutes dans le demi-plan Les valeurs propres de la matrice A gauche du plan complexe, le multimodèle est donc stable. Une solution, satisfaisant le théorème 2, est donnée par :  T −0.268 0.227 −0.084 −0.008 0.064 ˜ , K = −0.031 0.183 −0.299 −0.300 −0.148 | {z } | {z } K1T

K2T

pour un taux de décroissance α = 0.18 et un rayon r = 1.89. 0.5

1

e1(t)

e4(t)

0.5

0 0 0

5

10

15

1

e2(t)

−0.5

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

10

12

14

16

18

20

0.5

0 0

0

5

10

15

−0.2

e (t) 5

0

e3(t)

−0.5

−0.4

−0.6

−1 0

5

10

15

−0.8

temps (s)

temps (s)

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Application au diagnostic Un banc d’observateurs est utilisé afin de générer des signaux indicateurs de défaut (résidus) ri,j δ1 δ2 y1(t ) U (t )

SYSTEME NON LINEAIRE

y2(t )

r1,1(t ) OBSERVATEUR 1 r2,1(t )

r1,2(t ) OBSERVATEUR 2 r2,2(t )

r1,3(t ) OBSERVATEUR 3 r2,3(t )

δ1 δ2 Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN)

r1,1 ? 0

r2,1 ? 1

r1,2 1 ?

r2,2 0 ?

r1,3 ? ?

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r2,3 ? ? JDMACS 2007

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Application au diagnostic 1

r11

0 −1

Configuration r1,2 et r2,2 alors δ1 entre 5 ≤ t ≤ 7.5 Configuration r1,1 et r2,1 alors δ2 entre 12.5 ≤ t ≤ 15

0

5

10

15

20

1

25 r21

0 −1 0

5

10

15

20

25 r12

1 0 −1 0

5

10

15

20

1

25 r

22

0 −1 0

5

10

15

20

25 r13

1 0 −1 0

5

10

15

20

1

25 r

23

0 −1 0

5

10

15

20

25

temps (s)

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Conclusion et perspectives Conclusion Le multimodèle découplé est une alternative au multimodèle de Takagi-Sugeno La dimension des sous-modèles peut être différente Utilisation du multimodèle découplé pour l’estimation d’état d’un système non linéaire

Perspectives Réduire le conservatisme des conditions obtenues dû à la recherche d’une matrice P de grande dimension Synthèse d’autres types d’observateurs, par exemple, observateur proportionnel intégral et observateur à entrées inconnues Orjuela, Marx, Ragot, Maquin (CRAN)

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Merci ! ! !

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