Skrypt Z Fsit

Opracowanie zagadnień wersja 1.0.3RC jb

Spis treści 1 Pytania

3

2 Termodynamika 2.1 Zasady Termodynamiki . . . . . . . . . . . . 2.2 Transformacja Legenderea w termodynamice 2.3 Relacja Gibbsa-Duhlema . . . . . . . . . . . 2.4 Zasada Pracy Maksymalnej . . . . . . . . . 2.5 Stabilność układów termodynamicznych . . 2.6 Entropia gazu doskonałego . . . . . . . . . . 2.7 Potencjał chemiczny . . . . . . . . . . . . . 2.8 Reguła faz Gibbsa . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Termodynamika reakcji chemicznych . . . . 2.10 Relacja Claussiusa-Clapeyrona . . . . . . . . 3 Podstawy Fizyki Statystycznej 3.1 Zespół mikrokanoniczny . . . . 3.2 Zespół Kanoniczny . . . . . . . 3.3 Wielki zespół kanoniczny . . . . 3.4 Rozkład Maxwella-Boltzmanna 3.5 Funkcja gęstości stanów . . . . 3.6 Rozkład Fermiego-Diraca . . . . 3.7 Rozkład Bosego-Einsteina . . . 3.8 Gaz elektronowy . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

0

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

4 4 4 4 6 6 7 8 8 9 10

. . . . . . . .

10 10 11 14 15 16 18 18 19

Disclaimer: Nie odpowiadam za adekwatność tej pracy. Ni za efekry relacjonowanai jej na egz Źródło: prof. Zagórski, Notatki ze strony wiciowca, Muzzy, prof. Hołyst 0 Że strony: http://85000i.googlepages.com/, tam tez dostępne źródło pracy 0 Jakby ktoś bardzo chciał to może sobie to pozmieniać, zamieścić gdzie tam chce, ale winien dać odnośnik do mojej strony i wskazać autora pracy. Użycie komercyjne (nie wiem po co, ale) zakazane. 0 Na licencji CC-Uznanie autorstwa-na tych samych warunkach-użycie niekomercyjne 0 Wykonano z użyciem LATEX i LEd 0

1

SPIS TREŚCI

2

3.8.1 Dla T = OK . . . . . . . . . . 3.8.2 Dla T > OK . . . . . . . . . . 3.9 Gaz Bozonowy . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Potencjał chemiczny . . . . . . 3.9.2 Koncentracja Bosego-Einsteina 3.10 T > T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Zastosowania 4.1 Model Isinga . . . . . . . . . . 4.2 Rozszerzenia modelu Isinga . 4.3 Jednowymiarowy model Isinga 4.3.1 Wyliczenie Z . . . . . . 4.4 Funkcja korelacji . . . . . . . 4.5 Podatność . . . . . . . . . . . 4.6 Model pola średniego . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

19 20 23 23 24 25

. . . . . . .

25 25 26 26 26 28 29 31

1 PYTANIA

3

Pytania1

1

Termodynamika i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x.

Zasady Termodynamiki Transformacja Legendere’a w termodynamice Relacja Gibbsa – Duhlema Zasada pracy maksymalnej Stabilność układów termodynamicznych, równowaga termodynamiczna Entropia dla gazu doskonałego Potencjał chemiczny dla gazu doskonałego Reguła faz Gibbsa Termodynamika reakcji chemicznych, gaz doskonały Równanie Claussiusa-Clapeyrona

Podstawy fizyki statystycznej i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii.

Rozkład mikrokanoniczny Rozkład kanoniczny, wyprowadzenie, własności, fluktuacje Wielki rozkład Kanoniczny , wyprowadzenie, własności, fluktuacje Rozkład Maxwella-Boltzmanna Gęstość stanów Rozkład Fermiedo-Diraca Rozkład Bosego-Einsteina Gaz elektronowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe ix. Gaz bozonowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe x. Gaz fotonowy, potencjał chemiczny, energia wewnętrzna, ciepło właściwe xi. Kondensacja Bosego-Einsteina

Zastosowania fizyki statystycznej i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. xi. xii. xiii. xiv. 1

Model Isinga, przykłady zastosowań Rozszerzenia modelu isinga Model Isinga w jednym wymiarze Funkcje korelacji łańcucha Isinga Podatność łańcucha Isinga Teoria pola średniego (molekularnego), temperatura krytyczna, wykładniki krytyczne Hipoteza uniwersalności zjawisk krytycznych Teoria Landaua przejść Fazowych, wykładniki krytyczne Teoria chaosu deterministycznego, mapa logistyczna Hipoteza skalowania Grupa renormalizacji na przykładzie modelu Isinga i modelu perkolacji Równanie transportu Boltzmanna Równanie dyfuzji Przewodnictwo elektryczne Boldem te zrobione, kursywą te ważne, skreślone nie obowiązują w roku 2006/2007

2 TERMODYNAMIKA

2

4

Termodynamika

2.1

Zasady Termodynamiki

0. Istnieje intensywna zmienna zwana temperaturą T, o takiej własności że wtedy i tylko wtedy gdy układy A i B są w stanie równowagi termodynamicznej T(A)=T(B). Stanem równowagi termodynamicznej nazywamy stan stacjonarny (czyli taki w którym parametry są stałe w czasie) i taki ze nei ma makroskopowych przepływów. Przykładowo jak masz sobie włączony kaloryfer to nie jest on w stanie równowagi, choć pewnie ma ustalone parametry, bo ciepło z niego ucieka (i jest doń dostarczane z sieci). 1. Istnieje eistensywna funkcja stanu że w każdym procesie jej przyrost wynosi: df.

∆U = Uk − Up = Q + W 2. Istnieje ekstensywna funkcja stanu zwana entropią taka że w każdym procesie: dQ dS ≥ T Przy równość dotyczy procesów odwracalnych. 3. Różnica entropii pomiędzy dwoma stanami układu o tej samej temperaturze T, pomiędzy którymi można przejść w sposób odwracalny spada do zera gdy temperatura spada do zera. Lub inaczej: (ale mniej ogólnie). Entropia idealnego kryształu zbiega do zera gdy temperatura zbiega do zera.

2.2

Transformacja Legenderea w termodynamice

Mamy sobie funkcję f (x,y, . . .), chcemy mieć funkcję g te same informacje co ta pierwotna.

df ,y, . . . dx




ale taką żeby zawierała

. Zebrane potencjały na rysunku na następnej Okazuje się że taką funkcją jest g = f −x ∂f ∂x stronie (no albo gdzieś w okolicy:P)(pomaga je zapamiętać)

2.3

Relacja Gibbsa-Duhlema 0

Rozważamy układ U złożony z λ (takich samych) układów U . Zauważamy ze S,U,V,N są ekstensywne, czyli: S V U N

= λS 0 = λV 0 = λU 0 = λN 0

2 TERMODYNAMIKA

5

Ponieważ S = λS 0 mamy: S(λU, λV, λN ) = λS

(1)

Różniczkujemy po λ: ∂S ∂S ∂S U· V · N ∂λU ∂λV ∂λN Ponieważ jest to prawdziwe dla każdej λ to wstawiamy λ = 1. S=

S=

∂S ∂S ∂S U· V · N ∂U ∂V ∂N

Wzór na różniczkę entropii: dS =

1 (dU + pdV − µdN ) T

Wynikają z niego następujące relacje: ∂S 1 = ∂U T p ∂S = ∂V T ∂S µ =− ∂N T Wstawiamy do równania: U pV Nµ + − T T T Po prostych przekształceniach algebraicznych ,. S=

df.

N µ = U + P V − ST = G Dochodzimy do ostatecznego wyniku: G = µN

(2)

2 TERMODYNAMIKA

2.4

6

Zasada Pracy Maksymalnej

Jak chcecie przeczytać ‘pouczające’ wyprowadzenie to zapraszam na info.fuw.edu.pl/ ~gkubalsk/skryptfs.ps. Osobiście wolę takie machanie rękami: Mamy policzyć maksymalną pracę nieobjętościową. Jest ona mniejsza niż z zmiana energii wewnętrznej układu. Czyli W = −(∆U − X) (minus wynika z tego ze liczymy pracę układu nad otoczeniem, cokolwiek w tym stylu, nigdy nie potrafię się tu połapać). Należy teraz odjąć ciepło jakie ciało oddało otoczeniu, czyli W = −(∆U − T ∆S − X). Ponieważ rozważamy pracę nieobjętościową to mamy: W = −(∆U − T ∆S + p∆V ). Wyciągamy znak ∆ przed nawias i mamy: W = −∆(U − T S − pV )

2.5

(3)

Stabilność układów termodynamicznych

Po długich rozważaniach stwierdzilem że te wyprowadzenia są masakryczne i ja się ich uczył nie będę. Ale jak zapamiętać na egzamin w procesie o ustalonych parametrach X, Y i Z minimalizuje się potencjał którego naturalnymi zmiennymi są X, Y i Z. Można też agitować inaczej (za podr. prof. Hołysta) Procesy samorzutne w stałej temperaturze i ciśnieniu Rozważmy układ będący w kontakcie z otoczeniem. Całość jest izolowana i wiemy że T, p = const. Mamy więc następujące równania: ∆So t + ∆Su ≥ 0 entropia rośnie. Otoczenie jest >> układu. Więc możemy przyjąć że jest ono w stanie równowagi termodynamicznej: ∆U ∆Q ∆So t = = T T bo układ izolowany nie wykonuje pracy. Ponieważ całość jest izolowana to: ∆Uo t = ∆Uu k Po wymnożeniu i wstawieniu wszstkiego do pierwszego równania mamy: ∆U − T ∆S ≤ 0

2 TERMODYNAMIKA

7 df.

Po wstawieniu definicji F = U − T S otrzymujemy: ∆F ≤ 0 Dalej należy agitować tak: jeśli układ jest w stanie równowago znaczy że nie może samożutnie zmienić swohjego stanu, czyli wszystkie zmiany muszą zwiększać F. Czyli F jest w minimum. Energia Gibbsa Centralnie tak samo: ∆So t + ∆Su ≥ 0 entropia rośnie. Otoczenie jest >> układu. Więc możemy przyjąć że jest w stanie równowagi termodynamicznej: ∆Uo t = T ∆S − p∆V bo układ izolowany nie wykonuje pracy. Ponieważ całość jest izolowana to: ∆Uo t = ∆Uu k ∆Vo t = ∆Vu k Ostatecznie:

df.

∆U − S∆T + p∆V = ∆G ≤ 0

2.6

Entropia gazu doskonałego

Wzór na różniczkę entropii: dS =

1 (dU + pdV − µdN ) T

Przy stałej liczbie cząstek (jak chcemy sobie zmieniać liczbę cząstek trzeba się pomęczyć bardziej):

dS =

1 1 nR (dU + pdV ) = (ncv dT + ) T T V

(4)

Całkujemy obustronnie: Z S=

dS = ncv ln T + nR ln V + C(n)

Teraz: Pierwszy wyraz jest ekstensywny, drugi i trzeci — nie wiadomo. Ale całość jest ekstensywna, więc nadajemy taką postać stałej C(n) by to ładnie wyrazić. df.

C(n) = n · σ − nR ln V

2 TERMODYNAMIKA

8

gdzie σ jest nową stałą liczbową (nie zależną od N) Ostatecznie: S = n(cv ln T + R ln

2.7

V + σ) T

(5)

Potencjał chemiczny

F = U − TS dF = −SdT − pdV + µdN

(6) (7)

Jeśli T i V są stałe to dF = µdN , skąd:  µ=

dF dN

 T,V

Wstawiamy wzór na S do definicji F: F = U − TS = ncV T − T (ncv ln T + nR ln

V + σ) N

Dalej: µ=

∂F = ∂N = cv T − T (Rcv ln T + Rln = µ0 (T ) + T R ln c

gdzie c =

2.8

V ) + RT N (8)

V . N

Reguła faz Gibbsa

P - ilość Faz B - liczba rodzajów cząstek Dla każdego rodzaju cząstek jest tak że µp są równe dla każdej fazy (z warunków stabilności układów). Czyli dla każdej cząstki mamy (P-1) więzów postaci µi = µj , gdzie i, j to indeksy faz. Ponieważ i6=j mamy P-1 więzów. Liczba więzów: B(P − 1). Liczba stopni swobody (no nie wiem dlaczego jest ich tyle, nie rozumiałem wyjaśnień w źródłach, więc tu to są raczej takie mocne spekulacje).

2 TERMODYNAMIKA

9

Możemy manipulować p, V oraz koncentracjami każdego składnika każdej fazy, ale jeśli znamy koncentrację B-1 związków w jakiejś fazie to znamy też koncentracje ostatniego związku. Liczba stopni swobody: P (B − 1) + 2. Liczba zmiennych swobodnych: P (B − 1) + 2 − B(P − 1) = B − P + 2.

2.9

Termodynamika reakcji chemicznych

Relacja G-D: G=

X

µi Ni

Przykładowo: 2H2 + O2 ⇔ 2H2 O dG = µH2 dNH2 + µO2 dNO2 + µH2 O dNH2 O Oznaczamy dNO2 jako dN i dostajemy: dG = 2µH2 dN + µO2 dN − 2µH2 O dN = dN (2µH2 + µO2 d − 2µH2 O ) X = dN µi νi gdzie νi to współczynnik stechiometryczny stojący przy i-tym związku. Dalej z warunków równowagi: dG =0 dN X µi νi = 0 Dalej potraktujemy że reakcja zachodzi w gazie doskonałym, czyli: µ = µ0 (T ) + T R ln c Z warunku stabilności: X

µi νi = 0 X = (νi µ0i (T ) + T Rνi ln c) ⇒ X X − µOi νi = RT νi ln ci ⇒ X Y =− µOi νi = RT ln cνi i

(9)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Ostatecznie: Y

cνi i

 P  νi µOi df. = exp − =k kB T

10

(10)

Gdzie k to stała reakcji chemicznej, która nie zależy od koncentracji. (W ostatnim przekształceniu zamieniliśmy R na kB — przy okazji koncentracja jest teraz cząsteczkowa nie molowa).

2.10

Relacja Claussiusa-Clapeyrona

W każdym punkcie krzywej równowagi faz (z warunku równowagi) mamy: µA = µB Z relacji Gibbsa-Duhlema mamy: µ=

G N

Różniczkujemy i wykorzystujemy że dN = 0: dµ =

dG −SdT + V dp dG GdN + = = N N N N

Dalej wykorzystujemy definicję gęstości entropii i objętości na jedną cząsteczkę (v = V /N ): dµ = −sdT + vdp Korzystamy z relacji równowagi: −s1 dT + v1 dp = −s2 dT + v2 dp Skąd po uporządkowaniu, przemnożeniu i ustaleniu: ∆s = s1 − s2 i ∆V = v1 − v2 dostajemy: ∆s dp = ∆v dT

3 3.1

(11)

Podstawy Fizyki Statystycznej Zespół mikrokanoniczny

Jest on postulowany a nie wyprowadzany. Co najwyżej sprawdza się jego poprawność - hipoteza ergodyczna, która stwierdza że średnia stanu po czasie z jednej cząstki jest równa średniemu stanowi zespołu cząstek.

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

11

Rozkład mikrokanoniczny opisuje układ izolowany, tj. mający stałą energię (E0 ) i stałą ilość cząstek. Dopuszczamy niewielkie fluktuacje energii E ∈< E0 − ∆E; E0 + ∆E >. Postulujemy taki rozkład prawdopodobieństwa konkretnego stanu układu: ( 1 , E ∈< E0 − ∆E; E0 + ∆E > ∆Γ 0, E ∈< / E0 − ∆E; E0 + ∆E >

(12)

gdzie ∆Γ to ilość możliwych stanów (lub objętość podprzestrzeni stanów dozwolonych). Postulujemy że entropia dana jest wzorem : S = kB ln ∆Γ

(13)

TODO (Przestzreń stanów; Hipoteza Ergodyczna) 3.2

Zespół Kanoniczny

Zespół kanoniczny opisuje układ bący w kontakcie energetycznym z otoczeniem, ale pozostający w stałej temperaturze. Założenia: Otoczenie >> układ Układ będący sumą naszego układu i otoczenia jest izolowane Ponieważ otoczenie jest większe od układu a układ jest << od otoczenia, to samo otoczenie jjest opisywane rozkładem mikrokanonicznym. Oznaczenia: Parametry układu: E, S Parametry otoczenia: E 0 , S 0 Parametry całości: Et , St Postulujemy następujący wzór: P (Ω(E)) ∼ ∆Γ0 (E 0 ) Oznacza on że prawdopodobieństwo pewnego konkretnego stanu układu zależy od tego na ile sposobów otoczenie może ten stan zrealizować. Przykładowo stan w którym w pod-układzie jest cała energia otoczenia jest mało prawdopodobny, bowiem można ten stan zrealizować na jeden sposób (cała energia w podukładzie). Traktujemy otoczenie jako izolowane(opisane rozkładem mikrokanonicznym). S 0 = k ln(∆Γ0 ) ⇒ ∆Γ0 = e

S 0 (E 0 ) kB

(14)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

12

Ponadto: ∂S 0 Z definicji różniczki: 0 S (E ) = S (Et − E) ≈ ≈ S (E) + ∂S S(E + dE) = S(E) + ∂E dE ∂(−E) E = const − T 0

0

0

Ostatecznie ∆Γ0 wynosi: S 0 (Et −E) kB

∆Γ0 = e

const− k ET

=e

= econst · e−

B

E kB T

− k ET

∼e

B

Wreszcie wyliczamy P (Ω): − k ET

P (Ω) ∼ ∆Γ0 ∼ e

B

(15) Ostatecznie: P (Ω) = Gdzie Z dobieramy tak żeby

E 1 − kB T e Z

P

(16)

{Ω} P (Ω) = 1, dostajemy Z =

E

P

kB T {Ω} e

Energia: 1 X −βE Ee Z ∂ −βE Zauważamy że: − e = Ee−βE ∂β 1 X ∂ −βE 1 ∂ X −βE 1 ∂ =− e =− e =− Z Z ∂β Z ∂β Z ∂β ∂ 1 ∂ Zauważamy że: lnZ = Z ∂β Z ∂β ∂ = lnZ ∂β

U = hEi =

Energia: ∂ U = − ∂β lnZ

(17)

Energia swobodna: Jak wiemy ,F = U − T S, oraz dF = −SdT − pdV + µdN ⇒ ∂F = −S ∂T Przekształcamy: ∂F F = U − TS ⇒ U = F + TS = F − T = T2 ∂T

F − T ∂F ∂T 2 T

!

∂ =T ∂T 2

  F T

(?)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

13

Z drugiej strony:  −1 β= 1 ∂ ∂ ln Z ∂T ∂β ∂ ln Z ∂ ln Z kT U =− ln Z = − = ∂β (??) = −kT 2 −1 = − = − kT 2 ∂β ∂T ∂β ∂T ∂T ∂T ∂T Po dodaniu (?) i (??) mamy: F = −kT ln Z

(18)

Entropia:   ∂T ln Z 1 ∂Z ∂F = |F = −kT ln Z| = k = k ln Z + T S= ∂T ∂T Z ∂T   P E Z= e− kT 1X E  = ∂Z P {Ω} E − E = k ln Z + T ∂T = {Ω} kT 2 e kT Z kT
2 {Ω}   X X X −E −E 1 1 1 E −E  e kT = 1 = k ln Z e kT + = Zauważamy że zawsze: e kT Z Z Z kT {Ω} {Ω} {Ω}     X X E E E k k E 1 = lnZ + e− kT = − ln + ln e− kT 2 e− kT 2 Z kT Z Z {Ω} {Ω}   X E k X 1 − E2 =− e kT e− kT = −k ln ln P (Ω)P (Ω) (19) Z Z {Ω} {Ω} | {z } Wyraz zaznaczony klamerką to przecież P (Ω). Ostatecznie: S = −khln P (Ω)i

(20)

Multiplikatywność sumy statystycznej Jeśli da się tak podzielić układ by: E = E1 + E2 + . . . En (co jest nie zawsze możliwe, bo kiedy mamy oddziaływania międzyukładowe to energia dwóch układów jest istotnie różna od sumy energii poszczególnych układów), to mamy: Z=

X

e

E1 +E2 +...En kB T

=

{Ω}

X {Ω}

E1

e kB T ·

X {Ω}

E2

e kB T

X

E3

·e kB T . . . ·

{Ω}

X {Ω}

= Z 1 · Z2 · . . . · Zn Fluktuacje Odchylenie std. w kwadracie zmienej X dane jest wzorem 2 σX = h(X − hXi)2 i = hX 2 i − hXi2

En

e kB T

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

14

Dalej podstawiamy za X E: hEi = U = −

1 ∂2 Z 00 Z = Z ∂β 2 Z {Ω}  0 2 0  Z ZZ 00 − Z 0 2 ∂U Z0 0 − = = U − = = Z Z2 Z ∂β ∂T ∂T ∂U df. · = = −kT 2 ; = Cv = kT 2 CV ∂β ∂β ∂T

Z hE 2 i = P Z 00 Z ∂U =− ∂T

σ2 =

Z0 Z E 2 e−βE =

(21)

Ponieważ CV ∼ n to σ 2 ∼ N . Więcej: σE E

3.3

∼

√1 n

(22)

Wielki zespół kanoniczny

Wielki zespół kanoniczny opisuje układ otwarty pozostający w kontakcie z otoczeniem, tj. mogący wymieniać energięi materię z otoczeniem. Warunki jak dla kanonicznego ,ale zamiast E trzeba wszędzie pisać E, N. Wyprowadzenie P (Ω), U, N jest centralnie takie samo jak dla kanonicznego, no tyle że zamiast Z jest Z. Wyniki: 1 −βE−µN e Z X Z= e−β(E−µN )

P (E,N ) =

{Ω}

∂ ln Z ∂µ ∂ U = µhN i − ln Z ∂β

hN i = kB T

Fluktuacje: Też tak samo: σE2 ∼ N 2 σN = kB T

∂hN i ∂µ

założenie

∼

kB T hN i

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

15

Entropia: Chcemy żeby było tak samo jak dla kanonicznego, tj. S = −kB hln P (E,N )i. Z S = −kB hln P i = −kB P (E,N ) ln P (E,N )dΩ {Ω} Z 1 −β(E−µN ) e [− ln Z − β(E − µN )] dΩ (23) = −kB {Ω} Z Pierwszy czynnik z − ln Z −β(E −µN ) = − ln Z −βE +βµN − po wysumowaniu da nam − ln Z (bo ta suma to musi dać jeden nie ,), drugi −βU , trzeci µβhN i. Ostatecznie: kb [+ ln Z + βU − µβhN i]

(24)

df.

F Centralnie z dyni: F = U − T S = U + kB T [− ln Z − βU µβ + hN i], jest też: kB T = β −1 czyli mamy: −kB T ln Z + µhN i

(25)

Wielki potencjał chemiczny df.

kB T ln Z = F − µhN i = F − G = Φ

Φ = kB T ln Z

3.4

(26)

Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Interesuje nas prawdopodobieństwo znalezienie cząstki w określonym przedziale ~r i ~v . Standardowo — jest ono dane wzorem: dN (~r,~v ) = const · e−β(~e,~v) drdv N gdzie  to energia cząstki o określonych parametrach. P (~r, ~v ) =

Teraz skonscentrujemy się na wyznaczeniu stałej, ogólnie jest to nietrywialne i trzeba do niego znać dokładną postać zależności od prędkości i położenia. Przyjmijmy że energia potencjalna jest nieistotna a energia kinetyczna jest ‘normalna’. =

mv 2 2

Wyznaczamy to z warunku na stałą ilość cząstek: mv 2 dN (~c) = Ae−β 2 N Z y mv 2 dN (~c) =A e−β 2 dvx dvy dvz N

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

16

Podstawiamy dvx dvy dvz ⇒ v 2 sinθdθdφ dv | {z } = 4π (27)

y mv 2 dN (~c) = 4πB v 2 e−β 2 dv N Bardziej interesuje nas stała B. Całkę liczmy przy pomocy całki Gaussa: r Z ∞ π ax2 e = a −∞ Różniczkujemy ją dwukrotnie po a by dostać: r Z ∞ 1 π 2 −ax2 xe = 2 a3 −∞ Ponieważ my całkujemy od 0 do ∞ to mamy dostajemy połowę powyższej wartości: r  3/2 1 1 2πkT dN (~c) 8π =B =B N 4 β 3 m3 4π m  m 3/2 mv 2 dN (v) = 4πN e−β 2 dv (28) 2πkT

3.5

Funkcja gęstości stanów

Jest tu trochę machania ręką i wyprowadzenie jest inne niż w Zagórskim. Nie lubimy sumować po stanach (jest ich dużo ,) wolimy sumować, czy całkować po energii (bo albo stanów jest jakoś mało, albo całka jest analityczna). Ale nie można tak bezpośrednio przejść od jednego do drugiego. Wyobrażmy sobie że grupujemy stany o tej samej energii i mamy funkcję która zwraca nam ilość stanów wtedy możemy napisać: X X X= g()X {Ω}



Wyprowadzenie dla rozkładu kwantowego: Jednowymiarowa studnia potencjału Mamy cząstkę w studni potencjału danej wzorem: ( 0, x ∈ (0; L) ∞, x ∈ / (0,l)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

17

Teraz trzeba rozwiązać równanie Shrodingera: 2 ˆ = Eψ ⇒ −~ ∂ ψ + V ψ = Eψ Hψ 2m ∂x2

W takim wypadku psi ma postać ψ = A sin(Bx), ale A nas kopletnie nie istneresuje. . Wstawiamy do Schroedingera Wyznaczamy B z warunku ψ(L) = 0 ⇒ BL = nπ ⇒ B nπ L i wyliczamy E. −~2 2       = E A sin(Bx) sin(Bx) B A 2m Wyliczamy E i mamy: ~2 π 2 2 E=− n 2mL2 Trójwymiarowa studnia potencjału Analogicznie: E=−


~2 π 2 2 2 2 n + n + n x y z 2mL2

Da się to ładnie wyliczyć. Trzeba pokazać że jeśli V (x,y,z) = V (x)V (y)V (z) to Ψ(x,y,z) = Ψ(x)Ψ(y)Ψ(z). I potem napisać sobie równanie S. z Lagranżianem w i wychodzi. Ilość stanów o energii  < E

Zauważamy że równanie:


~2 π 2 2 2 2 n + n + n x y z 2mL2 q 2 . Z tym że bierzemy tylko jej ćwiartkę (n jest jest równaniem kuli o promieniu: 2mL ~2 π 2 dodatnie, bo naturalne) Objętość tej kuli wynosi: E=−

14 V = π 83

r

2mL2 ~2 π 2

!3 =

3 3 1 L3 √ 1 Vk √ 2mE = 2mE 2 3 2 3 6π ~ 6π ~

W ostatnim przekształceniu podstawiłem L3 = Vk , czyli objętość kryształu. Mamy już V, potrzebujemy teraz ∆Γ, czyli ilości stanów. Musimy tutaj uzględnic spin (bo ten nie wpływa specjalnie na energię w tym przybliżeniu). Dla elektronów ∆Γ = 2V , dla bozonów jakoś dużo więcej ,. ∆Γ to ilość stanów o energii mniejszej od E. Interesuje nas teraz ilość stanów o energii E, a ściślej Ed. Czyli musimy ∆Γ zróżniczkować. g()d =

V 2π 2


2m 3/2 2 ~

√

√ df. d = A d

(29)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

3.6

18

Rozkład Fermiego-Diraca

Tworzymy sobie Zα czyli wielką sumę statystyczną konkretnego stanu kwantowego. Jest ona dość trywialna — albo jest w tym stanie dokładnie jedna cząstka, albo dokładnie żadna (wtedy α = 0). Zα = e0 + e−β(α −µ) ∂ ln Z, czyli: Jak wiemy: hN i = kB T ∂µ

hN iα =


1 1 ∂ e−β(α 0µ) 1 1 + e−β(α µ) = = β Z ∂β 1 + e−β(α −µ) + 1 1 + eβ(α −µ)

I to już jest rowzwiązanie. Jest to funkcja podająca prawdopodobieństwo tego że w konkretnym stanie o energii α jest cząstka. f () =

3.7

1 1+eβ(α −µ)

(30)

Rozkład Bosego-Einsteina

Centralnie tak samo. Z tym że w stanie może być nieskończenie wiele cząstek. ∞ X

Zα =

e−nβ(α −µ)

n=0

Korzystamy z wzoru na sumę szeregu geometrycznego: ∞ X

tn =

n=0

1 1−t

Mamy: Zα =

1 1 − e−nβ(α −µ)

Jak ostatnio:
1 1 ∂ ln Z = 1 − e−nβ(α −µ) · 1 − e−nβ(α −µ) )2 · βe−nβ(α −µ) β ∂µ ( −nβ(α −µ) e 1 = = 1 − e−nβ(α −µ) e−nβ(α −µ) − 1

{Nα } =

Ostatecznie: f () =

1 e−β(α −µ) −1

(31)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

3.8 3.8.1

19

Gaz elektronowy Dla T = OK

Zastanówmy się co się dzieje z funkcją, gdy T = 0K 1 f () = β( 1 + e α −µ) df.

Mamy wtedy arcyciekawe (,) wyrażenie (µ0 = µ): 1 f () = ∞( 1 + e α −µ0 ) Kiedy potencjał chemiczny µ0 = α to cholera wie co się dzieje wyrażenie jest nieoznaczone2 . Gdy natomiast µ0 < α mamy wyrażenie postaci: 1 =1 f () = 1 + e−∞ gdy µ0 > α : 1 f () = =0 1 + e+∞ Czyli funkcja fermiego przechodzi w funkcję schkową. Wyjaśnia się nam tez sens skłądnika µ0 , jest energia poniżej której wszystkie stany są obsadzone a powyżej — żadne. Wyznaczamy µ0 Wyznacza się je zawsze z warunku na ilość cząstek: Z µ0 Z Z ∞ f ()g()d = g()d = A N 0

0

0

µ0

√

3 2 ed = Aµ 2 3

, gdzie A jest wyznaczone w 3.5 (str. 17), czyli:   23 2 3 ~2 −1 µ0 = = NA (3π 2 c) 3 2 2m df. N V

gdzie c =

Ostatecznie: µ0 =

2 ~2 (3π 2 c) 3 2m

Wyznaczamy U0 Jak ostatnio: Z

µ0

5 3 2 2 23 3 g() = A(µ0 ) 2 = Aµ0 (mu0 ) 2 = µ0 AN A−1 = µ0 N 5 5 52 5 0 Użyłem wzoru na µ0 , ostatecznie: 3 U0 = µ0 N 5

U=

2

Pojawia się w nim składnik 0 · ∞

(32)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

20

Wyznaczamy p F = U − ST , jeśli T=0 F = U . 2 ∂ 3 ∂µ0 3 ~2 ∂F = N =− N (3π 2 ) 3 p=− ∂V 5 ∂V 5 2m ∂V 2 U0 = 3V

p=

3.8.2



N V

 23 =−

U0 c

3 2

·N

5 2 2 · − · V −3 3 3

2 U0 3 V

(33)

Dla T > OK

Trochę matematyki, ale trzeba mieć to z głowy. Całka Fermiego Z Ip =

∞

p f ()d

0

gdzie f () to funkcje Fermiego. Najpierw całkujemy przez części (p = dψ, f () = ϕ). 1 p+1  p+1 d 1 1 dϕ = = −1 · eβ(−µ) · β β(−µ) d 1 + e (1 + eβ(−µ))2 eβ(−µ) eβ(−µ) = −β = e2β(−µ) + 2eβ(−µ) − 1 (1 + eβ(−µ))2 −β = β(−µ) (e + 1)(e−β(−µ) + 1) ψ=

Ponieważ dla wartości krańcówych i ψ i ϕ się zerują mamy: Z ∞ Z ∞ +β 1 Ip = − ψdϕd = p+1 β(−µ) d p+1 0 (e + 1)(e−β(−µ) + 1) 0 Następnie zmieniamy zmienne y = β( − µ),  = kT y + µ, d = β1 d. to jeśli  = 0 mamy wyrażenie w stylu Założenie: kT << µ. A ponieważ y = −µ kT duże − małe i możemy przyjąć że wynosi ono −∞. Dlatego przesuwamy granice całkowania do −∞3 . 3

Sam nie wiem po co jak zaraz taylorem czeba będzie jechać i wyciąć tylko y ∼ 0

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

21

Dostajemy (wreszcie!) jakąś ludzką postać tego bagna: Z ∞ 1 1 Ip = β( − µ)p+1 y dy 1 + p −∞ (e + 1)(e−y + 1) Jedziemy Taylorem (rozwijamy funkcję potęgową w szereg Taylora w punkcie µ4 ): 1 (µ + yKT )p+1 ≈ µp+1 + (p + 1)µp ykT + p(p + 1)µp−1 (ykT )2 2 Dalej piszemy sobie: Ip = Ip1 + Ip2 + Ip3 gdzie kolejne Ip odpowiadają wyrażeniom szeregu Taylora. Całka z drugiego elementu jest równa zeru bo jest całką z funkcji parzystej i nie parzystej. Całka z pierwszego jest raczej prosta (jak się pamięta co nieco o funkcjach hiperbolicznych). Trzy wzory: 1 cosh2 x cosh(2x) = cosh2 (x) + sinh2 x1 tanh0 =

(e−y

IP1

= cosh2 (x) − sinh2 x

−1 1 1 −1 = −y =− y y + 1)(e + 1) e +e +2 2 cosh +1 1 1 =− 2 y 2 cosh 2 + sinh2 y2 + 2 1 1 =− 2 y 2 y 2 cosh 2 + sinh 2 + cosh2 y  1 = − tanh0 4 2

µp+1 = p+1

Z

+∞

−∞

−1 1 µp+1 dy = (e−y + 1)(ey + 1) 4p+1

y 2

Z

−

sinh2 y2

+∞

−∞

tanh0

=−

y  2

1 1 2 2 cosh2

dy =

Trzecia całka jest już nietrywialna: Wyliczamy najpierw całkę pomocniczą: Z Z Z 1 1 1 −ay −ay ye dy = − e dy = 2 e−ay d(ay) = 2 a a a 4

(34)

Przypominamy że: w szeregu Taylora są pochodne w punkcie w którym rozwijamy!

y 2

µp+1 p+1

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Ip3

p = − (kT 2 )µp−1 2

22

Z

∞

f 0 (y)y 2 dy

−∞

Zauważamy że funkcja podcałkowa jest parzysta więc możemy zmienić granice całkowania na od zera do ∞ i postawic przed całością 2. Teraz całkujemy przez częśći zęby powrócić do f (y) (funkcji Fermiego). I3p

= pµ

p+1

2

Z

∞

f (y)ydy

(kT )

0

Tą całkę rozwalamy tak: 1 e−y = f (y) = 1 + ey 1 − (−e− y) To rozwijamy w szereg potęgowy5 . ∞

∞

X X e−y −y n −ny (−1)n e−ny f (y) = = e (−1) e = − 1 − (−e y) 1 0 Wstawiamy do całki i wykonujemy całkowanie ‘całki pomocniczej’. Dostajemy: pµp+1 (kT )2

∞ X

(−1)l−1

1

12 l

Korzystamy z funkcji Zeta Riemanna: ∞ X 1 ζ(r) = lr l=1

Przekształcamy: ∞ X

l−1 1

(−1)

1

2

1 1 1 = 1 − 2 + 2 − 2 + . . . = ζ(2) − 2 l 2 3 4



1 1 1 + 2 + 2 + ... 2 2 4 6

1 1 1 = ζ(2) − (1 + 2 + 2 ) = ζ(2) − 2ζ(2) 2 2 3 Korzystając z Wikipedii mamy: ζ(2) = π6 . Ostatecznie:

∞ X 1

(−1)l−1

12 π = l 12

Zbieramy całe to to tałatajstwo do kupy i mamy: 5

Szereg sumy geometrycznej



(35)

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Ip =

Ip1

+

Ip2

 =

23

 2 µp+1 p−1 2π + pµ (kT ) 2 p+1 1

Za te wszystkie mordęgi mamy tera natychmiastowy wzór na µ  N = AI1/2 = A

2 3 ∓2 − 1 µ2 + µ 2 (kT )2 3 12



Wyciągamy µ3/2 przed nawias i wyliczamy je by otrzymać:  2/3 "  2 #−2/3 2 2A π kT µ= 1+ 3N 8 µ Zauważamy6 że czynnik przed nawiasem to µ0 , w nawiasie zamieniamy µ na µ0 (chyba można tak zrobić bo całe obliczenia i tak są tak przybliżone że gorzej raczej nie będzie), a potem korzystamy z wzoru na przybliżenie:(1 + x)α = 1 + αx. Ostatecznie:

"

2

µ = µ0 1 −

π 12



kT µ0

2 #

TODO (Reszta ble) 3.9

Gaz Bozonowy

Funkcja gęstości Jak dla fermionów, ale stała inna (bo spin inny): √ g() = B  Ale mamy B = const · A, gdzie a to stała dla fermionów. 3.9.1

Potencjał chemiczny

Mamy funkcję rozkładu: f () =

1 e−β(α −µ)

−1

Wiąże nam ona β i µ, przy pomocy równania: Z ∞ N= f ()g()d 0

Czyli µ jest funkcją β. 6

Jak ja kocham jak tak piszą!

3 PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

24

Temperatura graniczna Bozonki śmiesznie zachowują się w okolicy temperatury T0 takiej że µ(T0 ) = 0, więc wyznaczmy ją (od razu wstawiamu µ = 0): Z ∞ Z ∞p 1 (e) β d N= f ()g()d = B e −1 0 0 Wstawiamy β = x: 3/2

∞

Z

N = B(kT )

1

x2 0

ex

1 dx −1

Ostatnia całka jest liczbą niewymierną (jak ktoś wie jak to policzyć to niech wali to wkleję wyprowadzenie — mnie to powaliło). R∞ 1 Oznaczamy: B1 = B · 0 x 2 ex1−1 dx. Mamy: 

kT0 =

N B1

2/3

(36)

Ponieważ B (czyli i B1 ) ma postać B = const · V to: T0 = const · c2/3

(37)

gdzie c to koncentracja. 3.9.2

Koncentracja Bosego-Einsteina

Poniżej temperatury T0 µ jest równe zeru. Ponieważ R ∞ funkcja bosego jest funkcją rosnącą parametru T to dla temperatur T < T0 całka 0 f ()g()d maleje z temperaturą. Ale przecież N nie może zależeć od temperatury! Więc piszemy: Z N = N0 +

∞

f ()g()d 0

Ponieważ z jednej strony: mamy:

R∞ 0

f ()g()d = B1 (KT )3/2 , a z drugiej N = B1 (KT0 )3/2

" N0 = N − B1 (KT )3/2 = N 1 − Z U=

∞ 5/2

Z

f ()g()d = B(kT ) 0



∞

T T0 1

x2 0

3/2 #

ex

1 dx −1

4 ZASTOSOWANIA

25

Ta całka podobnie jak poprzednia jest równa liczbie: U = B2 (KT )5/2 df.

gdzie B2 = B

R∞ 0

(38)

1

x 2 ex1−1 dx

Ciepło właściwe: dU = constT 3/2 dT

CV =

3.10

T > T0

TODO (Reszta)

4

Zastosowania

4.1

Model Isinga

W modelu Isinga mamy już oddziaływania międzycząsteczkowe, czyli w szczególności P Z 6= Zi i policzenie Z jest już nietrywialne. Założenia modelu Isinga i tak upraszczają problem ponad miarę. Zakłada on że stan poszczególnych cząstek da się scharakteryzować jedną liczbą (symbol to generalnie s) przyjmującą przeliczalny zbiór wartości (generalnie dwie ,), zakłada też że siła oddziaływań pomiędzy dwoma cząstkami m i n wyraża się wzorem Emn = −Jmn sn sm gdzie Jmn to całka wymiany, to wniej siedzą takie detale jak odległość cząstek od siebie itp. W ogólności Jmn 6= Jnm , ale prawie zawsze dla zastosowań fizycznych TAK. Ogólnie energia modelu wynosi: E=

N X N X

Jmn sm sn

m=0 n=0

Z polem zewnętrznym

E=

N X N X m=0 n=0

Jmn sm sn +

X

N sn H

n=0

gdzie H to abstrakcyjna reprezentacja pola zewnętrznego7 7

ponieważ s jest zasadniczo liczbą to H nie może być np. natężeniem pola magnetycznego, bo energia ma inną jednostkę niż pole magnetyczne

4 ZASTOSOWANIA

4.2

26

Rozszerzenia modelu Isinga

Gaz sieciowy: Dzielimy przestrzeń na małe komórki, takie że w jednej na raz przebywa maksymalnie jedna cząstka. Jeśli w sąsiednich komórkach sa atomy mamy oddziaływanie. Sieci neuronowe Epidemiologia: Mamy społeczeństwo pomiędzy osobami A i B są oddziaływania jeśli jest duża szansa że jeśli A zaraził się jakimś syfem to B zarazi się od niego. Przykładowym problemem jest to ile procent populacji należy zaszczepić żeby nie było epidemii i żeby choroba wygasła. Drugim jest to kogo szczepić (osoby o dużej liości oddziaływań), i jak takie znajdować (z branki na ulicy każemy wskazać ludziom ich dowolnego znajomego i jego szczepić). Internet: Topologia internetu: link to oddziaływanie (oddziałtywania są bezzwrotne — wszystko ma linki do Wikipedii, a Wikipedia do niewielu stron z poza Wikipedii ,)

4.3

Jednowymiarowy model Isinga

Przyjmiemy dodakowe uproszczenia: Jmn = Jnm s przyjmuje dwie wartości s ∈ {−1; 1} Ponadto: Jmn

( Jm = 0

n=m+1 n 6= m + 1

Wyjaśnienie: Energie oddziaływania cząstki n na cząstkę m włączamy do energii oddziaływania cząstki m na n. Możemy wtedy przyjąć że Jnm = O, a nowa stała Jmn jest dwa razy większa od starej. Teraz energia upraszcza sie w następujący sposób: E=

=

N X N X

Jmn sm sn =

m=0 n=0 N X

N X

sm {(s1 Jm1 + s2 Jm2 + . . . + sm+1 Jm,m+1 + . . .)

n=0

Jm sm sm+1

m=0

4.3.1

Wyliczenie Z

Jeśli mamy już E wypada teraz policzyć Z. Cofamy się do najpierwszej definicji Z: X Z= eβE

4 ZASTOSOWANIA

27

U nas jest: Z=

X

eβ

P

n

βJn sn sn+1

{s}

Pierwsza suma jest sumą po możliwych stanach, tj. jej elementem jest ustalony zbiór spinów reprezentujący jeden z możliwych stanów układu. Druga suma jest po już ustalonych przez pierwszą sumę stanach układu i jej elementem jest jeden spin. OK? Dalej: Teraz dokonujemy czysto estetycznego podstawienia: Kn = βJn . Z=

X

K1 s1 s2 +K3 s2 s3 +...

e

=

{s}

−1 X NY

eKn sn sn+1

n

{s}

W iloczynie jest N-1 bo ostatni element nie oddziałuje z niczym, tj. oddziaływanie sN na sN −1 jest już włączone w oddziaływanie sN −1 na sN . A nie ma następnego elementu na który sN mógłby oddziaływać. Zasadniczo suma jest niezależna od iloczynu — sumując sumujemy po możliwych stanach, a mnożąc mnożymy owe ustalone stany. Jak są niezależne to można je przestawić miejscami: −1 N −1 X X NY Y Kn sn sn+1 e Z= =2 eKn sn sn+1 {s}

n

n

{s}

Tylko że tu jesto tyle super że sumujemy już nie po wszystkich stanach, a po stanie sn . Stan sn+1 pozostanie nieustalony. Ta zamiana jest możliwa tylko dlatego że da się wydzielić takie nie wpływające na siebie pary. Tzn. w każdej parze ustalam tylko jeden element, drugi mi znika w toku obliczeń. Gdybym musiał ustalić oba elementy nie mógłbym zamienić sumy i iloczynu. Dwa wzięło się stąd że wcześniej sumowaliśmy po wszystkich spinach, a teraz po wszystkich poza ostatnim. Czyli mamy: Z=2

N −1 X Y n

=2

N −1 Y

eKn sn sn+1 = 2

N −1 Y

sn

n

eKn sn+1 + eKn sn+1

sn

(2 cosh(Jn sn+1 )) = 2N

n

! X N −1 Y

cosh(Jn )

n

Ponieważ cosh jest funkcją parzystą to znak argumentu (a sn+1 moze zmienić tylko jego znak) nie ma znaczenia. Ostatecznie: Z = 2N

QN −1 n

cosh(Jn )

(39)

Jeśli ∀nJn = J: Z = 2N (cosh J)N −1

(40)

4 ZASTOSOWANIA

28

U

U =−

X X ∂ 1 lnZ = − Jn sinh Kn = − Jn tanh(βJn ) ∂β cosh Kn

C (jesli Jn = Jn+1 ) C=

X Jn ∂U = −kβ 2 ∂T cosh2 Kn

Funkcja korelacji Najpierw wyliczmy P wartość oczekiwaną P iloczynu spinówPtj. < sn sn+1 >. U z definicji to: U =< E >= − h Jn sn sn+1 i = − hJn sn sn+1 i = − Jn hsn sn+1 i. Porównujemy z poprzednim wzorem na U: X X − Jn hsn sn+1 i = − Jn tanh(βJn ) Po opuszczeniu sumowań otrzymujemy: hsn sn+1 i = tanh Kn Jeśli Jn = Jn+1 to możemy opuścić sumowanie bo zakładam że wszystkie hsn sn+1 i są sobie równe. Jeśli nie to nie wiem dlaczego można opuśić tu sumę.

4.4

Funkcja korelacji

Jest ona zdefiniowana jako: Γ(n,i) = hsi si+n i − hsi i hsi+n i Uproszczenia: 1. przyjmujemy że ∀i, j, n Γ(n,i) = Γ(n,j), czyli wartość funckji koleracyjnej nie zależy od położenia w jakim ją badamy. 2. Zakładamy ze pozczególne spiny mają średnią wartość równą zeru, czyli hsi i hsi+n i = 0 Wyliczamy ją z definicji: Γ(n) =

P 1X si si+n e n Kn−1 sn−1 sn Z {s}

4 ZASTOSOWANIA

29

Wyrażenie si si+n rozpisujemy na: si si+1 · si+1 si+2 · si+2 si+3 · . . . · sn+i−1 sn+1 . PowstawialiśmyPpary si si . Pary te są równe 1. Ponadto każda para w postaci: si si+1 jest równa: ∂ e n Kn−1 sn−1 sn . Tak więc: ∂KI

Γ(n) =

X P P 1X 1 ∂ ∂ ∂ si si+n e n Kn−1 sn−1 sn = ... e n Kn−1 sn−1 sn Z Z ∂Ki ∂Ki+1 ∂Kn+i+1 {s}

{s}

Ale przecież a suma to Z. Γ(n) =

Y

∂ Z = tanh Ki tanh Ki+1 . . . tanh Ki+n−1 ∂Ki+n

skożystaliśmy z wzoru na Z. Jeśli wszystkie Kn są takie same mamy: Γ(n) = (tanh K)n Wnioski: Ponieważ tanh x < 1 Γ(n) dąży do zera gdy n rośnie. Czyli zawse dalekie spiny są nieskorelowane. Czyli łańcuch isinga się nie porządkuje.

4.5

Podatność

Energia łańcucha pod wpływem pola wraża się wzorem E = E0 − γF to energia oddziaływań wewnętrznych.

P

n

sn , gdzie EO

W Pobecności pola nie jest tak że hsn i = 0. Miarą uporządkowania będzie h n sn i. 1X X= Z

!

" X

P

n

hsn i =

#

sn e−βEo +βγF

P

n sn

n

{s}

Jak zwykle w takim wypadku (kiedy nie wiadomo co zrobić) trzeba zróżniczkować po czymś: ! X n

sn e−βEo +βγF

P

n sn

=

1 ∂ X −βEo +βγF Pn sn 1 ∂ e = Z βγ ∂F βγ ∂F {s}

X=

1 1 ∂ Z βγ Z ∂F

Nie da się tego wyliczyć bo to Z tutaj nie jest dane żadnym z wzorów które wyprowadzaliśmy (bo i energia się zmieniła).

4 ZASTOSOWANIA

30

Podatność Podatność definiujemy jako ∂ X(0) ∂F Ponieważ jest ona liczona w punkcie zero to wzory znowu zaczynają obowiązyać: χ=

Oznaczenie:

∂ Z ∂F

= Z0

"   # 2  

Z0 1 Z 00 − = βγ − hs1 + s2 + . . . sn i2 + (s1 + s2 + . . . + s3 )2 χ= + βγ Z Z Ponieważ liczymy to dla F = 0 przyjmujemy że hssi i = 0, a zatem hs1 + s2 + . . . sn i2 = (hs1 i + hs2 i + . . . + hsn i)2 = 02 Drugi element P jest mniej fajny: h(s1 + s2 + . . . + s3 )2 i = hs21 i+hs22 i+. . .+hs2n i+hs1 s2 i+ hs1 s3 i + . . . = nm hsn sm i. Pierwsza część przedostatniego wyrażenia znika bo s2n = 0. Tak więc: χ = βγ

X nm

hsn sm i = βγ

X

Γ(n − m) = βγ

nm

X

tanh K n

nm

Założyliśmy że wszystkie stałe Kn są takie same. Wysumujmy to w macierzy (oznaczamy tanh K = t i N — ilość elementów w łańcuchu):   1 t t2 · · · tN −1  t 1 t · · · tN −2    2  t 1 · · · tN −3  Γ= t   .. .. .. ..  . .  . . . . .  N −1 N −2 t t ··· ··· 1 Sumujemy to po ukośnych: Pierwsza (przekątna) ma długość N. Druga — (N-1) etc. X tanh K n = N + 2(N − 1)t + 2(N − 2)t3 + 2(N − 3)t3 + . . . + 2tN −1 nm

wykonujemy mnorzenia przez t i dostajemy: X tanh K n = −N + 2N (1 + t + t2 + . . . + tN −1 ) − 2t(1 + 2t + 3t2 + . . . + (N − 1)tN −2 ) nm

Pierwszy element to suma postępu geometrycznego, drugi pochodna (element po elemencie) takiego postępu.   X 1 − tn ∂ 1 − tn n tanh K = −N + 2N − 2t 1−t ∂t 1 − t nm

4 ZASTOSOWANIA

31

Ponieważ t = tanh K więc t < 0, możemy bezpiecznie założyć że tN = tN −1 = 0. X

tanh K n = −N + 2N

nm

Ostatecznie: χ = βγN

4.6

1 1 − 2t 1−t (1 − t)2

1+t = βγN e2K 1−t

Model pola średniego

Energia jednego spinu: En = −Jsn

X

sm − γF sn

Suma po najbliższych sąsiadach. Generalnie nie podoba nam się to wyrażenie więc zastępujemy sm przez hsm i. Ponieważ średnia jest taka sama suma przechodzi na z hsi, z — to ilość sąsiadów. X X En = −Jsn sm − γF sn = −Jsn hsi − γF sn   zJ hsi = −Jzsn hsi − γF sn = γ F + sn (41) γ Oznaczenie: Fm = F +

zJhsi . γ

Suma statystyczna Liczymy sumę statystyczną jednej cząstki: X eβγ(F +Fm )s = eβγ(F +Fm )s + e−βγ(F +Fm )s = 2 cosh βγ(F + Fm ) Zn = s

Spin jednej cząstki: hsn i =

1 X sn eβγ(F +Fm ) = tanh βγ(F + Fm ) Zn

Uwikłany wzór na spin dla F=0: hsi = tanh βγFn = tanh (βγzJ hsi)