Sisteme Mecatronice Seriale, Paralele Si Mixte.pdf

Florian Ion Tiberiu-Petrescu

SISTEME MECATRONICE SERIALE, PARALELE ȘI MIXTE

CREATE SPACE PUBLISHER USA 2014

Scientific reviewer: Dr. Veturia CHIROIU Honorific member of Technical Sciences Academy of Romania (ASTR) PhD supervisor in Mechanical Engineering

Copyright Title: Sisteme Mecatronice Seriale, Paralele și Mixte Author: Florian Ion TIBERIU-PETRESCU © 2011-2014, Florian Ion TIBERIU-PETRESCU [email protected]

ALL RIGHTS RESERVED. This book contains material protected under International and Federal Copyright Laws and Treaties. Any unauthorized reprint or use of this material is prohibited. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system without express written permission from the author / publisher.

ISBN 978-1-4959-2381-4 2

SCURTĂ DESCRIERE Lucrarea reprezintă o viziune ştiinţifică, unitară, generală, cuprinzătoare şi echidistantă a principalelor probleme pe care le ridică sistemele mecanice, mobile, seriale, paralele şi mixte. Se face o prezentare generală, urmată de studiul geometro-cinematic separat, al structurilor seriale, paralele şi mixte. Se continuă cu o introducere în dinamica acestor sisteme. Structura sistemelor paralele este vizualizată pe scurt. La sistemele seriale şi mixte se studiază atât cinematica directă cât şi cea indirectă, în vreme ce la sistemele paralele se urmăreşte numai cinematica indirectă (aceasta fiind mult mai utilă). Prezentarea metodelor de bază este strâns legată de calculul matricial, care este introdus pas cu pas pentru uşurarea înţelegerii fiecărei secvenţe. Cartea este structurată în mai multe capitole, care au ca bază cursurile predate masteranzilor de la disciplinele mecatronică, roboţi industriali, manipulatori, sudare automatizată, etc. Lucrarea se adresează însă în egală măsură tuturor specialiştilor, şi viitorilor specialişti (studenţi) care lucrează în aceste domenii, sau au tangenţe cu aceste frumoase discipline: mecatronica, robotica, automatizarea proceselor. Ea poate fi un instrument preţios şi pentru proiectanţii (designerii) acestor sisteme, pentru cei care construiesc, achiziţionează, utilizează, sau întreţin sisteme mecanice mobile seriale, paralele, sau mixte. Practic lucrarea este structurată ȋn trei părți principale, mecatronica sistemelor seriale, mecatronica sistemelor paralele și mecatronica sistemelor mixte. Mecatronica sistemelor seriale este urmărită inițial spațial prin metode matriciale, iar apoi plan. Mecatronica sistemelor paralele este studiată spațial și ȋn anumite plane particulare. Mecatronica sistemelor mixte beneficiază de mecanisme mixte plane, astfel ȋncȃt tot studiul urmărit se desfășoară ȋn plan.

Cu stimă și respect, Autorul

3

CUPRINS

Scurtă descriere………………………........................................................... 003 Cuprins.............................................................................................................004 Sisteme mecanice mobile, seriale, paralele și mixte (introducere)……............................................................................................005 Partea I Sisteme mecatronice seriale............................................................................012 Partea a II-a Sisteme mecatronice paralele.........................................................................137 Partea a III-a Sisteme mecatronice mixte.............................................................................190 Bibliografie...................................................................................................... 213

4

Sisteme mecanice mobile, seriale, paralele şi mixte (introducere) Definiţie şi istoric Nu există o definiţie unanim acceptată a robotului. După unii specialişti acesta este legat de noţiunea de mişcare, iar alţii asociază robotul noţiunii de flexibilitate a mecanismului, de posibilitatea lui de a fi utilizat pentru activităţi diferite sau de noţiunea de adaptabilitate, de posibilitatea funcţionării lui într-un mediu imprevizibil. Fiecare din aceste noţiuni luate separat nu reuşesc să caracterizeze robotul decât în mod parţial. Robotul combină tehnologia mecanică cu cea electronică fiind o componentă evoluată de automatizare care înglobează electronica de tip cibernetic cu sistemele avansate de acţionare pentru a realiza un echipament independent de mare flexibilitate. Cuvântul “robot” a apărut pentru prima dată în piesa R.U.R. (Robotul Universal al lui Rossum) scrisă de dramaturgul ceh Karel Capek în care autorul parodia cuvantul “robota” (muncă în limba rusă şi corvoadă în limba cehă). În anul 1923 piesa fiind tradusă în limba engleză, cuvântul robot a trecut neschimbat în toate limbile pentru a defini fiinţe umanoide protagoniste ale povestirilor ştiinţificofantastice. Istoria roboticii începe în 1940 cu realizarea manipulatorilor sincroni pentru manevrarea unor obiecte în medii radioactive. În anul 1954 Kernward din Anglia a brevetat un manipulator cu două braţe. Conceptul roboţilor industriali a fost stabilit pentru prima oară de George C. Deval care a brevetat în anul 1954 un dispozitiv de transfer automat, dezvoltat în anul 1958 de firma americană Consolidated Control Inc. În anul 1959 Joseph Engelberger achiziţionează brevetul lui Deval şi realizează în 1960 primul R.I. Unimate în cadrul firmei Unimation Inc. Epopea roboţilor industriali a început practic în anul 1963 când a fost dat în folosinţă primul robot industrial la uzinele Trenton (S.U.A.), aparţinând companiei General Motors. Primul succes industrial s-a produs în anul 1968 când în uzina din Lordstown s-a instalat prima linie de sudare a caroseriilor de automobile dotată cu 38 de roboţi Unimate. A rezultat că robotul era cel mai bun automat de sudură în puncte. Prin asocierea cu firma Kawasaki N.I. în anul 1968, în Japonia a început fabricaţia de roboţi Unimate, implementarea lor în industria automobilelor având loc în 1971 la firma Nissan-Motors. În acelaşi an roboţii Unimate pătrund în Italia, echipând linia de sudat caroserii în puncte de la firma FIAT din Torino. Companiile Unimation şi General Motors lansează în 1978 robotul PUMA (Programable Universal Machine for Assembly).

5

Firma A.S.E.A. din Suedia realizează în 1971 robotul industrial cu acţionare electrică Irb6 destinat operaţiunilor de sudură cu arc electric. În anul 1975 firma de maşini unelte Cincinatti Milacron (S.U.A.) realizează o familie de roboţi industriali acţionaţi electric T3 (The Tommorow’s Tool), astăzi larg răspândiţi. În ţara noastră în anul 1980 s-a fabricat primul robot RIP63 la Automatica Bucureşti după modelul A.S.E.A. iar prima aplicaţie industrială cu acest robot de sudare în arc electric a unei componente a şasiului unui autobuz a fost realizată în anul 1982 la Autobuzul Bucureşti. Doi ani mai târziu roboţii au fost implementaţi şi la Semănătoarea Bucureşti. Coordonarea ştiinţifică a aparţinut colectivului „MEROTEHNICA”, de la catedra de „Teoria Mecanismelor şi a Roboţilor” din „Universitatea Politehnica Bucureşti”, sub conducerea regretatului Prof. Christian Pelecudi, părintele roboticii româneşti şi fondatorul SRR (Societatea Română de Robotică), azi ARR (Asociaţia Română de Robotică). Colectivul TMR a avut după anii 80 colaborări cu firmele nipone (şi datorită regretatului Prof. Bogdan Radu, mulţi ani ambasador al României în Japonia); au fost aduşi şi implementaţi în ţară roboţi Fanuc (la vremea respectivă de ultimă generaţie). Un alt robot indigen este REMT-1 utilizat intr-o celulă de fabricaţie flexibilă la Electromotor Timişoara pentru prelucrarea prin aşchiere a arborilor motoarelor electrice. Centrul Universitar Timişoara şi-a dezvoltat foarte mult cercetările aplicative (cu micro-producţie de roboţi industriali) şi datorită sprijinului puternic al unor specialişti români de naţionalitate germană de care a beneficiat, având contracte de colaborare (în cercetare şi producţie) chiar şi cu Germania. Astăzi la Timişoara se fabrică roboţii ROMAT. Roboţii s-au dezvoltat prin creşterea gradului de echipare cu elemente de inteligenţă artificială. Pentru a culege informaţiile unui mediu, roboţii s-au dotat cu senzori tactili, de forţă, de moment video, etc. Cu ajutorul acestora robotul poate săşi creeze o imagine a mediului în care evoluează, bazându-se pe percepţia artificială. Populaţia de roboţi în 1988 era: 109.000 RI în Japonia, 30.000 RI în SUA, 34.000 RI în Europa de Vest din care 12.900 RI în Germania, 3.000 RI în Rusia. (Aproximativ 190 mii roboţi industriali pe glob, iar în 2010 s-a ajuns la circa 10 milioane).

Clasificarea R.I. JIRA (Japan Industrial Robot Association) clasifica roboţii industriali după următoarele criterii: I.)

După informaţii de intrare şi modul de învăţare: 1 – manipulator manual, care este acţionat direct de om 2 – robot secvenţial, care are anumiţi paşi ce ascultă de o procedură predeterminată, care poate fi: fixă sau variabilă după cum aceasta nu poate sau poate fi uşor schimbată. 3 – robot repetitor (robot play back) – care este învăţat la început procedura de lucru de către om, acesta o memorează iar apoi o repetă de câte ori este nevoie.

6

4 – robot cu control numeric (N. C. robot) – care execută operaţiile cerute în conformitate cu informaţiile numerice pe care le primeşte despre poziţii, succesiuni de operaţii şi condiţii. 5 – robot inteligent – este cel care îşi decide comportamentul pe baza informaţiilor primite prin senzorii săi şi prin posibilităţile sale de recunoaştere. Observaţii: a)

Manipulatoarele simple (grupele 1 şi 2) au în general 2-3 grade de libertate, mişcările lor fiind controlate prin diferite dispozitive. b) Roboţii programabili (grupele 3 şi 4) au numărul gradelor de libertate mai mare decât 3 fiind independenţi de medii adică lipsiţi de capacităţi senzoriale şi lucrând în buclă deschisă. c) Roboţii inteligenţi sunt dotaţi cu capacităţi senzoriale şi lucrează în buclă închisă. II.) După comandă şi gradul de dezvoltare al inteligenţei artificiale: roboţii industriali se clasifică în generaţii sau nivele: 1 – R.I. din generaţia 1, acţionează pe baza unui program flexibil dar prestabilit de programator şi care nu se poate schimba în timpul execuţiei operaţiilor. 2 – R.I. din generaţia a 2-a se caracterizează prin faptul că programul flexibil prestabilit de programator poate fi modificat în măsură restrânsă în urma unor reacţii specifice ale mediului. 3 – R.I. din generaţia a 3-a posedă capacitatea de a-şi adapta singuri cu ajutorul unor dispozitive logice, într-o măsură restrânsă propriul program la condiţiile concrete ale mediului ambiant în vederea optimizării operaţiilor pe care le execută. III.) După numărul gradelor de libertate ale mişcării robotului: aceştia pot fi cu 2 până la 6 grade de libertate, la care se adaugă mişcările suplimentare ale dispozitivului de prehensiune (endefectorul), pentru orientarea la prinderea, desprinderea obiectului manipulat, etc. Cele şase grade de libertate care le poate avea un robot sunt 3 translaţii dea lungul axelor de coordonate şi trei rotaţii în jurul acestora.

Marea majoritate a roboţilor construiţi până în prezent au 3-5 grade de libertate. Dintre aceştia roboţii cu 3 grade de libertate (care au o răspândire de 40,3 %) se împart în patru variante constructive în funcţie de mişcările pe care le execută (notate R-rotaţie şi T-translaţie)

7

- robot cartezian (TTT) este robotul al cărui braţ operează într-un spaţiu definit de coordonate carteziene (x,y,z)

- robot cilindric (RTT) al cărui braţ operează într-un spaţiu definit de coordonate cilindrice r, α, y

- robot sferic (RRT) a cărui spaţiu de lucru este sferic, definit de coordonatele sferice (α, φ, r)

- robot antropomorf (RRR) la care deplasarea piesei se face după exteriorul unei zone sferice. Parametrii care determină poziţia braţului fiind coordonatele α, φ, ψ.

Robot Scară

IV.)

8

Robot Antropomorfic

După existenţa unor bucle interioare în construcţia robotului: aceştia pot fi: - cu lanţ cinematic deschis, roboţi seriali (roboţii prezentaţi până la acest punct);

-

cu lanţ cinematic închis, care au în structura lor unul sau mai multe contururi poligonale închise, fapt care permite realizarea unor spaţii de lucru de o geometrie mai complicată şi conduce la o mai mare rigiditate a sistemului mecanic. Aici sunt cuprinşi şi roboţii paraleli.

Roboţi industriali tip “braţ articulat” (BA), 4R, 6R Acest tip de RI are ca mecanism generator de traiectorie un lanţ cinematic deschis compus din cuple cinematice de rotaţie. Aceştia au o mare supleţe şi penetraţie în spaţiul de lucru. Dezavantajul lor principal îl constituie rigiditatea redusă. Pe acest model s-au dezvoltat în continuare roboţii 6R de astăzi (bazaţi numai pe rotaţii, utilizând ca acţionare numai motoare electrice uşoare, compacte); aceştia au o rigiditate mai mare păstrând totodată penetraţia şi flexibilitatea modelelor 3R, 4R, şi 5R. Aproape toate firmele importante vin astăzi cu modele 6R (pe care le îmbunătăţesc în permanenţă).

De ce s-au impus azi aceste modele de roboţi (după ce zeci de ani diversitatea a fost cuvântul de ordine?); poate şi din nevoia de standardizare, sau de a găsi o soluţie comună, după o fragmentare uriaşă (oricum nu sunt încă singurii roboţi utilizaţi din categoria serialilor, dar au cea mai largă răspândire). Cele şase rotaţii (eliminarea totală a translaţiilor, care aduc multe dezavantaje datorate cuplei T în sine) fac acţionarea mai simplă, mai rapidă, cu randament mai ridicat, mai fiabilă, mai compactă şi mai sigură; ele se văd mai clar pe schema din dreapta. 9

Kawasaki

MOTOMAN

Romat

FANUC

KUKA

Se mai folosesc azi şi celule robotizate pregătite special pentru un anumit tip de operaţii.

10

Sisteme paralele Acestea au pornit relativ recent de la „Platforma Stewart” dar s-au diversificat extrem de rapid.

Platforma Stewart se bazează pe două plăci (platforme) plane prinse între ele prin diverse forme de articulaţii şi elemente. Iniţial (ca în figura din stânga sus) cuplele din partea inferioară erau articulaţii cardanice (cuple de clasa a patra C4), iar cuplele din partea superioară erau sferice (cuple de clasa a treia); în total şase elemente de legătură şi 12 cuple. (Dreapta avem numai C4). Analiza comparativă a roboţilor Primul pas constă în determinarea mişcărilor elementelor componente ale traiectoriei impuse endefectorului. Se trece apoi la optimizarea traiectoriei folosind următorul set de reguli simple : - minimizarea numărului de orientări ale dispozitivului de prehensiune în scopul reducerii numărului de cuple cinematice necesare şi în general a gradului de complexitate al robotului industrial; - reducerea la maximum a greutăţii obiectului manipulat; - reducerea volumului spaţiului de lucru; - alegerea structurii cu cel mai scăzut consum energetic în scopul micşorării costurilor; - simplificarea sistemului de programare; (de exemplu alegerea sistemului punct cu punct în locul controlului continuu al traiectoriei, acolo unde este posibil); - minimizarea numărului de senzori; - folosirea la maximum a posibilităţilor existente în scopul reducerii costului robotului şi a timpului necesar îndeplinirii misiunii.

11

Partea I – Sisteme mecatronice seriale

Geometria şi cinematica directă la sistemele MP-3R Cinematica manipulatoarelor şi roboţilor seriali se va exemplifica pentru modelul cinematic 3R (vezi figura 01), sistem cu dificultate medie, ideal pentru înţelegerea fenomenului propriuzis dar şi pentru precizarea cunoştinţelor de bază necesare antamării calculelor şi pentru sisteme mai simple şi sau mai complexe. y3  xM 

d3

a3

O3

B

M  yM 

30

 z M 

x3

z3 d2 z0, z1

y2 y1

O1

A

a1 O0

a2 O2 x1

z2

x0

20

d1

10

x2 y0

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria şi cinematica unui MP-3R Sistemul fix de coordonate a fost notat cu x0O0y0z0. Sistemele mobile legate (rigidizate) de cele trei elemente mobile (1, 2, 3) au indicii 1, 2 respectiv 3. Orientarea lor a fost aleasă convenabil dar se puteau alege şi alte orientări. Parametrii cinematici cunoscuţi (de intrare) în cinematica directă sunt unghiurile de rotaţie absolută a celor trei elemente mobile: 10, 20, 30, unghiuri legate de rotaţia celor trei actuatori (motoare electrice) montaţi în cuplele cinematice de rotaţie. Parametrii de determinat (de ieşire) sunt cele trei coordonate absolute x M, yM, zM ale punctului M, adică parametrii cinematici (coordonatele) endeffectorului (elementului de acţionare (final), care poate fi o mână de apucat, un vârf de lipit, vopsit, tăiat, etc...). Pentru început se scrie matricea vector (A 01) de schimbare a coordonatelor originii sistemului de coordonate, prin translatarea din O 0 în O1, axele rămân paralele cu ele însăşi în permanenţă:

12

0  A01  0  a1 

(1)

În continuare se scrie matricea T01 de rotaţie a sistemului x1O1y1z1 faţă de sistemul x0O0y0z0, (aceasta este o matrice pătrată 3x3).

  x  T01   y   z 

x y z

x 

cos  10      y   sin 10   z   0  

 sin 10 cos 10 0

0   0  1 

(2)

Pe prima coloană (aparţinând coordonatelor lui O 1x1) se trec coordonatele versorului lui O1x1 faţă de axele vechiului sistem x0O0y0z0; practic e vorba de proiecţiile versorului lui O1x1 pe axele vechiului sistem x0O0y0z0 de coordonate translatat în O1 (dar nerotit; apare astfel doar rotaţia efectivă, fără translaţie).

 x     y     z

(3)

Pe a doua coloană a matricei T01 se trec coordonatele versorului axei O1y1 faţă de axele vechiului sistem x0O0y0z0 translatat în O1 fără rotaţie (practic e vorba de coordonatele acestui versor faţă de vechile axe de referinţă translatate dar nerotite).

 x     y     z

(4)

Pe a treia coloană a matricei T 01 se trec coordonatele versorului axei O1z1 faţă de axele vechiului sistem x0O0y0z0 translatat în O1 fără rotaţie (practic e vorba de coordonatele acestui versor faţă de vechile axe de referinţă translatate dar nerotite).

 x     y     z

(5)

13

În cazul ales, versorul lui O1x1 (versorul are întotdeauna modulul 1) are faţă de vechiul sistem de axe x0O0y0z0 translatat în O1 fără rotaţie următoarele coordonate:

 x  1  cos 10  cos 10     y  1  sin 10  sin 10    0  z  1  cos 90  1  0  0

(6)

Versorul lui O1y1 are faţă de vechiul sistem de axe x0O0y0z0 translatat în O1 fără rotaţie următoarele coordonate:

 x  1  sin 10   sin 10     y  1  cos 10  cos 10    0  z  1  cos 90  1  0  0 

(7)

Versorul lui O1z1 are faţă de vechiul sistem de axe x 0O0y0z0 translatat în O1 fără rotaţie următoarele coordonate:

 x  1  cos 900  1  0  0    0  y  1  cos 90  1  0  0   0  z  1  cos 0  1  1  1 

(8)

A se vedea matricea T01 obţinută (relaţia 2). Trecerea de la sistemul x1O1y1z1 la sistemul de coordonate x2O2y2z2 se face în două etape distincte. Prima este o translaţie a întregului sistem astfel încât (axele fiind paralele cu ele însăşi) central O1 să se deplaseze în O2; apoi urmează etapa a doua în care are loc o rotaţie a sistemului axele rotindu-se iar centrul O rămânând în permanenţă fix. Translaţia sistemului de la 1 la 2 se marchează prin matricea de tip vector coloană A12.

d1  A12  a2  0 

(9)

Pe vechea axă O1x1, O2 s-a translatat cu d1, pe axa O1y1, O2 s-a translatat cu a2, iar pe axa O1z1, O2 nu a suferit nici o translaţie. Versorul lui O2x2 are faţă de sistemul x1O1y1z1 (translatat, dar nu şi rotit) coordonatele:

 x  1;  y  0;  z  0

14

(10)

Versorul lui O2y2 are faţă de sistemul x1O1y1z1 translatat în O2 (nu şi rotit) coordonatele:

 x  0;

 y  0;

z  1

(11)

Deoarece acum O2y2 a luat locul axei O1z1. Versorul lui O2z2 are faţă de sistemul x1O1y1z1 translatat în O2 (nu şi rotit) coordonatele:

 x  0;

 y  1;

z  0

(12)

Deoarece axa O2z2 a luat locul axei O1y1 fiind însă de sens opus ei. Matricea pătrată de transfer (de rotaţie) se scrie:

  x  T12   y   z 

x y z

x 

1      y   0    z  0  

0 0 1

0   1   0 

(13)

Trecerea de la sistemul x2O2y2z2 la sistemul de coordonate x3O3y3z3 se face tot în două etape distinct, o translaţie şi o rotaţie. O2 translatează în O3 (axele păstrându-se paralele cu ele însăşi).

  d 2  cos  20  A23  d 2  sin  20      a3   

(14)

Apoi O3 stă pe loc şi axele se rotesc. Versorul lui O 3x3 are faţă de sistemul de axe x2O2y2z2 translatat în O3 (nerotit) coordonatele :

 x  1;  y  0;

z  0

(15)

Versorul lui O3y3 are faţă de sistemul de axe x 2O2y2z2 translatat în O3 (nerotit) coordonatele β:

 x  0;

 y  1;

z  0

(16)

15

Versorul lui O3z3 are faţă de sistemul de axe x2O2y2z2 translatat în O3 (nerotit) coordonatele :

 x  0;

 y  0;

z 1

(17)

Practic sistemul x3O3y3z3 nu s-a rotit absolut deloc faţă de sistemul x2O2y2z2 (de la 2 la 3 a avut loc doar o translaţie). Matricea de rotaţie în acest caz este matricea unitate.

  x  T23   y   z 

x y z

x 

1      y   0    z  0  

0 1 0

0   0  1 

(18)

Matricea vector (coloană) care poziţionează punctul M în sistemul de coordonate x3O3y3z3 se scrie:

X 3M

   x3M  d3  cos 30    y3M   d3  sin 30     z3M    0  

(19)

Coordonatele punctului M în sistemul (2) x2O2y2z2 (adică faţă de el) se obţin printr-o transformare matriceală de forma:

X 2 M  A23  T23  X 3M

(20)

Se efectuează întâi produsul matricelor:

T23  X 3M

1    0  0 

Se calculează apoi X2M.

16

0 1 0

0   d3  cos 30  d3  cos 30   0  d3  sin 30   d3  sin 30          0 0 1     

(21)

X 2 M  A23  T23  X 3 M

    d 2  cos  20  d 3  cos  30   d 2  sin  20   d 3  sin  30         a3    0    

  d 2  cos  20  d 3  cos  30   d 2  sin  20  d 3  sin  30       a3  

(22)

Coordonatele punctului M în (faţă de) sistemul (1) x1O1y1z1 se obţin astfel:

X1M  A12  T12  X 2 M

T12  X 2 M

1    0  0 

0 0 1

(23)

0   d 2  cos  20  d 3  cos  30    1   d 2  sin  20  d 3  sin  30        a 3 0   (24) 

d 2  cos  20  d 3  cos  30     a3    d 2  sin  20  d 3  sin  30 

X 1M  A12  T12  X 2 M

d1  d 2  cos  20  d 3  cos  30     a2    a3    0  d 2  sin  20  d 3  sin  30 

  d1  d 2  cos  20  d 3  cos  30     a 2  a3     d 2  sin  20  d 3  sin  30   

(25)

17

Coordonatele punctului M în sistemul fix x0O0y0z0 se scriu:

X 0 M  A01  T01  X 1M

T01  X 1M

T01  X 1M

cos  10    sin 10   0 

 sin 10 cos 10 0

0  d  d  cos   d  cos     1 2 20 3 30     0   a2  a3     1   d 2  sin  20  d 3  sin 30    

  (d1  d 2  cos  20  d 3  cos 30 )  cos 10  (a2  a3 )  sin 10   (d1  d 2  cos  20  d 3  cos 30 )  sin 10  (a2  a3 )  cos 10      d 2  sin  20  d 3  sin 30  

(26)

(27)

(27’)

X 0 M  A01  T01  X 1M    0  (d1  d 2  cos  20  d 3  cos  30 )  cos 10  (a2  a3 )  sin 10   0   (d1  d 2  cos  20  d 3  cos  30 )  sin 10  (a2  a3 )  cos 10     a1    d 2  sin  20  d 3  sin  30  

(28)

  (d1  d 2  cos  20  d 3  cos  30 )  cos 10  (a2  a3 )  sin 10   (d1  d 2  cos  20  d 3  cos  30 )  sin 10  (a2  a3 )  cos 10      a1  d 2  sin  20  d 3  sin  30  

X0M se pune sub forma:  xM  X 0 M   y M    z M    d1  cos 10  a2  sin 10  d 2  cos  20  cos 10  a3  sin 10  d 3  cos  30  cos 10  d1  sin 10  a2  cos 10  d 2  cos  20  sin 10  a3  cos 10  d 3  cos  30  sin 10      a1  d 2  sin  20  d 3  sin 30  

18

(29)

Aceleaşi calcule vor fi urmărite în continuare printr-o metodă directă, având în vedere calculele matriciale. X 0 M  A01  T01  X 1M  A01  T01  ( A12  T12  X 2 M )   A01  T01  A12  T01  T12  X 2 M  A01  T01  A12  T01  T12  ( A23  T23  X 3M ) 

(30)

 A01  T01  A12  T01  T12  A23  T01  T12  T23  X 3M

Se reţine relaţia:

X 0 M  A01  T01  A12  T01  T12  A23  T01  T12  T23  X 3M

(30’)

Se efectuează produsele matriciale din expresia (30’) aceasta rămânând sub forma unei sume de matrice.

cos  10   T01  A12  sin 10   0  cos  10   T01  T12  sin 10   0 

0  d1  d1  cos 10  a2  sin 10   (31) 0  a2   d1  sin 10  a2  cos 10     0   0 1      

 sin 10 cos 10 0

 sin 10 cos 10 0

cos  10   T01  T12  A23  sin 10  0 

0  1     0   0   1  0  

0 0 1

0 0 1

0 cos 10      1   sin 10   0  0  

0 0 1

sin 10   (32)   cos 10   0  

sin 10    d 2  cos  20    cos 10   d 2  sin  20       a  3 0    

(33)

  d 2  cos 10  cos  20  a3  sin 10   d 2  sin 10  cos  20  a3  cos 10      d 2  sin  20  

19

cos  10   T01  T12  T23  sin 10  0  cos  10    sin 10  0 

0 0 1

0 0 1

sin 10  1      cos 10   0   0  0  

0 1 0

0   0   1 

sin 10     cos 10   0  

cos  10   T01  T12  T23  X 3M  sin 10  0  d 3  cos 10  cos  30   d 3  sin 10  cos  30  d 3  sin  30 

0 0 1

sin 10    d 3  cos  30    cos 10   d 3  sin  30       0 0    

    0  d1  cos 10  a2  sin 10  d 2  cos 10  cos  20  a3  sin 10  X 0 M  0   d1  sin 10  a2  cos 10   d 2  sin 10  cos  20  a3  cos 10       a1      0 d 2  sin  20     d 3  cos 10  cos  30   xM   d 3  sin 10  cos  30    y M   d 3  sin  30   z M    d1  cos 10  a2  sin 10  d 2  cos  20  cos 10  a3  sin 10  d 3  cos  30  cos 10   d1  sin 10  a2  cos 10  d 2  cos  20  sin 10  a3  cos 10  d 3  cos  30  sin 10      a1  d 2  sin  20  d 3  sin  30  

20

(34)

(35)

(36)

Prin cinematica directă se obţin coordonatele carteziene x M, yM, zM ale punctului M (endeffectorul) în funcţie de cele trei deplasări unghiulare independente 10, 20, 30, obţinute cu ajutorul actuatorilor.

  x  f ( ,  ,  ) x 10 20 30  M   y M  f y (10 ,  20 ,  30 )   z M  f z (10 ,  20 ,  30 )  

(37)

 xM  d1  cos 10  a2  sin 10  d 2  cos  20  cos 10  a3  sin 10  d 3  cos 30  cos 10 (38)   y M  d1  sin 10  a2  cos 10  d 2  cos  20  sin 10  a3  cos 10  d 3  cos 30  sin 10  z  a  d  sin   d  sin  1 2 20 3 30  M

Calculele se fac cu deplasările unghiulare absolute, dar deplasările actuatorilor nu coincid toate cu cele independente. Ele se determină astfel:

10  10  21   20  32   30   20

(39)

Primele două rotaţii relative ale actuatorilor coincid cu rotaţiile independente (utilizate în calcule), dar a treia rotaţie relativă a ultimului actuator se obţine ca o diferenţă între două rotaţii absolute. Vitezele şi acceleraţiile se obţin prin derivarea relaţiilor (38) cu timpul.

21

Geometria şi cinematica directă la MP-3R cu ajutorul operatorilor 4x4 Cinematica manipulatoarelor şi roboţilor seriali se va exemplifica pentru modelul cinematic 3R (vezi figura 01). y3 d3

a3

O3

B

30

 xM 

M  yM   z M 

x3

z3 d2 z0, z1

y2 y1

O1

A

a1 O0

a2 O2 x1

z2

x0

20

d1

10

x2 y0

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria şi cinematica unui MP-3R Sistemul fix de coordonate a fost notat cu x0O0y0z0. Sistemele mobile legate (rigidizate) de cele trei elemente mobile (1, 2, 3) au indicii 1, 2 respectiv 3. Orientarea lor a fost aleasă convenabil. Parametrii cinematici cunoscuţi (de intrare) în cinematica directă sunt unghiurile de rotaţie absolută a celor trei elemente mobile: 10, 20, 30, unghiuri legate de rotaţia celor trei actuatori (motoare electrice) montaţi în cuplele cinematice de rotaţie. Parametrii de determinat (de ieşire) sunt cele trei coordonate absolute xM, yM, zM ale punctului M, adică parametrii cinematici (coordonatele) endeffectorului (elementului de acţionare (final), care poate fi o mână de apucat, un vârf de lipit, vopsit, tăiat, etc...). Matricile 3x3 se transforma în 4x4 (e vorba de un operator matematic) prin adaugarea a doi vectori zero (formati din trei elemente 0), unul linie şi altul coloană, şi adăugarea şi a unui element 1 pe diagonala principală (ultimul element). Matricea T01 îmbrăcată devine T014.

22

  x  T01   y   z    x   y  T014    z  0 

x 

cos  10      y   sin 10   z   0  

x y z

x

x

y

y

z

z

0

0

 sin 10 cos 10 0

cos  10 0     0 sin 10   0  0   1    0 

0   0   1 

 sin 10 0 cos 10

0

0

1

0

0

0   0   0   1 

(1)

Matricea de tip vector coloană (formată din trei elemente) suferă o transformare minimă primind un al patrulea element de valoare fixă 1, pentru cazul utilizării ei doar la produse de matrice. Forma comodă a matricii A12 este A12c.

d1  d1  a    c A12  a2   A12   2  0  0    1 

(2)

Produsul rezultat este tot un vector coloană 4x1: cos  10   sin 10  4 c T01  A12    0    0 

 sin 10 0 cos 10

0

0

1

0

0

0   d  d1  cos 10  a2  sin 10  1 0   d1  sin 10  a2  cos 10   a2       0  0  0     1   1    1 

(3)

Când matricile vector se înmulţesc este suficientă transformarea lor în operatorul matematic vector coloană 4x1. Dacă însă o matrice vector trebuie să se adune pentru transformarea sumei (din spaţiul cu 3 dimensiuni 3x3 ori 3x1) într-o operaţie de înmulţire (produs, în spaţiul cu 4 dimensiuni 4x4 sau 4x1) de matrici, nu se mai admit forme 4x1 ci doar 4x4.

23

cos  10   sin 10  4 4 T01  T12    0    0  cos  10   sin 10    0    0 

0  1   0  0    0  0     1  0 

 sin 10 0 cos 10

0

0

1

0

0

0

sin 10

0

 cos 10

0   0   0   1 

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

cos  0 sin 10 10   sin 10 0  cos 10  4 4 c T01  T12  A23   1 0  0   0 0  0  d 2  cos 10  cos  20  a3  sin 10  d  sin   sin   a  cos   10 20 3 10   2   d 2  sin  20     1  

cos  10   sin 10  4 4 4 T01  T12  T23    0    0 

24

0 0

sin 10  cos 10

1

0

0

0

0  1   0  0    0  0     1  0 

0   0  0  1 

(4)

0  d  cos   20   2  0  d 2  sin  20         a3  0      1   1  

0

0

1

0

0

1

0

0

0   0  0  1 

(5)

(6)

cos  10   sin 10  4 4 4 T01  T12  T23    0    0  cos  10   sin 10  4 4 4 c T01  T12  T23  X 3M    0    0  d3  cos 10  cos 30  d  sin   cos   10 30   3    d3  sin 30       1  

0

sin 10

0

 cos 10

1

0

0

0

0

sin 10

0

 cos 10

1

0

0

0

0   0   0   1  0  d3  cos 30     0  d3  sin 30      0  0      1   1  

(6’)

(7)

Ne-am pregătit matricele necesare însumării, acum putem trece direct la adunarea lor în forma vectori coloană (3x1 sau 4x1). În acest fel se obţine rezultatul final direct, iar operatorii cu care ne-am complicat nu mai folosesc la nimic (aparent). Vom folosi totuşi forma cu operatori mai întâi pentru a vedea cum funcţionează aceştia, iar apoi vom relua algoritmul în mod inteligent pentru a înţelege rolul operatorilor. Pentru a transforma adunarea în înmulţire (produs de matrice) prin operatori, trebuie obligatoriu să avem matrice 4x4. În acest caz fie că avem un produs, fie că e vorba de o sumă efectuăm produsul matricelor operatori 4x4 (deci utilizând matricele lărgite la 4x4 efectuăm numai produs de matrice indiferent dacă e vorba de o sumă în 3x3 sau de o înmulţire). O matrice vector 4x1 se scrie operaţional 4x4 prin completarea matricei unitate 3x3 dedesuptul ei cu un vector zero linie 1x3 (0, 0, 0) iar la dreapta cu vectorul original 4x1. La efectuarea sumei propriuzise lucrurile se complică iar la prima vedere această complicaţie pare inutilă, însă rolul ei este unul esenţial (aşa cum o să vedem mai târziu) pentru a putea lucra direct cu matrice de transfer. Acesta este rolul real al operatorilor. 25

Adunarea care trebuie efectuată este (între matricele operatori se pune semnul loc de +):

A  (T  A )  (T  T  A )  (T  T  T  X 4 01

4 01

c 4 12

4 01

4 12

c 4 23

4 01

4 12

4 23

c 4 3M

)

(a se vedea relaţia (8):

4 c 4 A01  (T014  A12c ) 4  (T014  T124  A23 )  (T014  T124  T234  X 3cM ) 4 

1   0  0  0  1   0  0   0 

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

 0  1    0  0  a1  0    1  0  

0

0

1

0

0

1

0

0

(d1  cos 10  a2  sin 10 )    (d1  sin 10  a2  cos 10 )  0    1  

(d 2  cos 10  cos  20  a3  sin 10 )    (d 2  sin 10  cos  20  a3  cos 10 )  d 2  sin  20    1 

1 0 0 (d  cos   cos  ) 1 0 0 (d1  cos 10  a2  sin 10 )  3 10 30       0 1 0 (d  sin   a  cos  ) 1 10 2 10  0 1 0 (d 3  sin 10  cos 30 )      a1  d 3  sin 30 0 0 1  0 0 1      0 0 0  0 0 0 1 1      1 0 0 (d  cos   cos   a  sin  )  1 0 0 (d  cos   cos  ) 2 10 20 3 10 3 10 30       0 1 0 ( d  sin   cos   a  cos  ) 0 1 0 ( d  sin   cos  ) 2 10 20 3 10   3 10 30      d 2  sin  20 d 3  sin 30 0 0 1  0 0 1       0 0 0  1 0 0 0 1    

Relaţia (8) continuă cu (8’)

26

(8)

 în

1 0 0 (d  cos   a  sin   d  cos   cos   a  sin  )  1 10 2 10 2 10 20 3 10     0 1 0 (d1  sin 10  a2  cos 10  d 2  sin 10  cos  20  a3  cos 10 )   (a1  d 2  sin  20 ) 0 0 1      1 0 0 0    1 0 0 (d  cos   cos  ) 3 10 30     0 1 0 (d 3  sin 10  cos 30 )    d 3  sin 30 0 0 1    0 0 0  1   1 0 0 (d cos   a sin   d cos  cos   a sin   d cos  cos  ) 1 10 2 10 2 10 20 3 10 3 10 30     0 1 0 (d1 sin 10  a2 cos 10  d 2 sin 10 cos  20  a3 cos 10  d 3 sin 10 cos 30 )    (a1  d 2  sin  20  d 3  sin 30 ) 0 0 1      1 0 0 0   

(8’)

În continuare se va determina pas cu pas matricea de transfer, de la stânga la dreapta sistemului, lucru care nu era posibil în sistemul 3x3. Relaţia (9) se scrie în forma (9’); se vede cum suma se transformă în produs datorită operatorilor 4x4, fapt ce ne permite efectuarea operaţiei între matrici de la stânga la dreapta deoarece nu mai adunăm ci înmulţim.

X 0 M  A01  T01  X1M

(9)

4 X 04M  A01  T014  X14M  D01  X 04M

cos  10 1 0 0 0        sin 10 0 1 0 0   D01    0 0 1 a1   0    0 0 0 1      0 

0  cos 10     0 0 sin 10    1 0  0     0 1  0  

 sin 10 0 cos 10 0 0

(9’)

0    0 0   1 a1    0 1 

 sin 10 0 cos 10 0 0

X 1M  A12  T12  X 2 M X 14M  A124  T124  X 24M  D12  X 24M  D12  A124  T124

(10)

(11)

27

 1 0 0 d  1 0 1      0 0 0 1 0 a2   D12    0 0 1 0  0 1    0 0 0 1  0 0    

0  1 0      1 0  0 0  0 0  0 1     0 1  0 0   0

d1     1 a2   0 0    0 1   0

(12)

Am găsit trecerile de la 0 la 1 şi de la 1 la 2; în acest moment nu mergem mai departe până nu stabilim trecerea de la 0 la 2.

X 04M  D01  X 14M  D01  D12  X 24M  D02  X 24M  D02  D01  D12 cos  10   sin 10  D02    0    0  cos  10   sin 10   0    0 

0  1 0     0 0  0 0    1 a1  0 1    0 1  0 0  

 sin 10 0 cos 10 0 0

0

sin 10

0

 cos 10

1

0

0

0

d1     1 a2   0 0    0 1  

(13)

0

(d1 cos 10  a2 sin 10 )    (d1 sin 10  a2 cos 10 )   a1    1 

(14)

Acum se poate merge mai departe pe lanţ pentru a determina D 23.

28

X 2 M  A23  T23  X 3M X

4 2M

 A T  X 4 23

4 23

4 3M

trece în (15)

 D23  X

4 3M

 D23  A  T 4 23

4 23

1 0 0 d cos   1 0 0 0 1 0 0 d cos   2 20 2 20             0 1 0 d 2 sin 20  0 1 0 0 0 1 0 d 2 sin  20  D23       a3  0 0 1 0 0 0 1  a3  0 0 1       0 0 0  0 0 0 1 0 0 0  1 1      

(16)

Matricea de transfer intrare ieşire D03 se poate găsi acum cu uşurinţă.

X 04M  D02  X 24M  D02  D23  X 34M  D03  X 34M  D03  D02  D23 cos  10   sin 10 D03    0    0  cos  10   sin 10   0    0 

0

sin 10

0

 cos 10

1

0

0

0

0

sin 10

0

 cos 10

1

0

0

0

(d1 cos 10  a2 sin 10 )    1 0 0 d 2 cos  20     (d1 sin 10  a2 cos 10 ) 0 1 0 d 2 sin  20       a1 0 0 1  a   3      1  0 0 0 1  

(17)

(18)

(d 2 cos 10 cos  20  a3 sin 10  d1 cos 10  a2 sin 10 )    (d 2 sin 10 cos  20  a3 cos 10  d1 sin 10  a2 cos 10 )   (d 2 sin  20  a1 )    1 

Formula (17) se poate utiliza simplificat, reducând matricele X (4x4) la forma vector coloană 4x1, deoarece practic nu mai avem decât o operaţie de înmulţire între matricea 4x4 de transfer D03 şi vectorul X3M; ca o observaţie (se pot utiliza ambele forme, dar nefiind necesară trecerea vectorilor X de tip 4x1 la forma matrice 4x4, e de preferat lucrul cu forma mai simplă).

29

X 04M  D03  X 34M  X 0cM  D03  X 3cM

X 0cM  D03  X 3cM

 x0 M   x3 M  d 3  cos 30  y  y  d  sin   30    0 M   D03   3 M   D03   3   z0 M   z3 M  0        1  1  1 

(19)

(20)

d 3 cos 10 cos 30  d 2 cos 10 cos  20  a3 sin 10  d1 cos 10  a2 sin 10  d sin  cos   d sin  cos   a cos   d sin   a cos   10 30 2 10 20 3 10 1 10 2 10   3   d 3 sin 30  d 2 sin  20  a1     1    

c

Din vectorul X 0 M de tip 4x1 se obţine uşor vectorul X 0 M de tip 3x1, care ne interesează efectiv, eliminând linia finală, adică elementul 1.

X 0M

  d3 cos 10  cos 30  d 2 cos 10  cos 20  a3 sin 10  d1 cos 10  a2 sin 10   d3 sin 10  cos 30  d 2 sin 10  cos 20  a3 cos 10  d1 sin 10  a2 cos 10      d3 sin 30  d 2 sin 20  a1  

(21)

Putem acum să scriem coordonatele punctului M luate fiecare separat, ca funcţii de unghiurile de rotaţie independente, 10 , 20 , 30 ale celor trei elemente mobile.

 x M  d 3 cos 10  cos  30  d 2 cos 10  cos  20   a sin   d cos   a sin  10 1 10 2 10  3  y M  d 3 sin 10  cos  30  d 2 sin 10  cos  20   a cos   d sin   a cos  10 1 10 2 10  3  z M  d 3 sin  30  d 2 sin  20  a1

30

(22)

Geometria şi cinematica inversă la MP-3R Cinematica inversă la manipulatoarele şi roboţii seriali se va exemplifica pentru modelul cinematic 3R (vezi figura 01). În cinematica inversă cunoaştem deja relaţiile de legătură directe (1) şi trebuie să determinăm relaţiile inverse, adică să determinăm rotaţiile independente 10 , 20 , 30 ale celor trei elemente mobile, în funcţie de parametrii cinematici impuşi endefectorului x M, yM, zM, cunoscuţi (daţi, impuşi). Cu unghiurile independente determinate se vor afla apoi rotaţiile relative corespunzătoare deplasărilor celor trei motoraşe de acţionare din cuplele de rotaţie (deplasările actuatorilor).  xM  d3 cos 10  cos 30  d 2 cos 10  cos 20  a3 sin 10  d1 cos 10  a2 sin 10   yM  d3 sin 10  cos 30  d 2 sin 10  cos 20  a3 cos 10  d1 sin 10  a2 cos 10  z  d sin   d sin   a 3 30 2 20 1  M

(1)

y3 d3

a3

O3

B

30

 xM 

M  yM   z M 

x3

z3 d2 z0, z1

y2 y1

O1

A

a1 O0

a2 O2 x1

z2

x0

20

d1

10

x2 y0

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria şi cinematica unui MP-3R Sistemul fix de coordonate a fost notat cu x0O0y0z0. Sistemele mobile legate (rigidizate) de cele trei elemente mobile (1, 2, 3) au indicii 1, 2 respectiv 3. Orientarea lor a fost aleasă convenabil. Sistemul (1) reprezintă un sistem transcedental de trei ecuaţii (1.1-1.3) cu trei necunoscute ( 10 ,

20 , 30 ) ce trebuiesc determinate; ecuaţiile sistemului 1

se rearanjează în forma care se poate vedea în sistemul (1’).

31

 xM  d1  cos 10  a2  sin 10  d 2  cos  20  cos 10  a3  sin 10  d 3  cos 30  cos 10 (1.1)   yM  d1  sin 10  a2  cos 10  d 2  cos  20  sin 10  a3  cos 10  d 3  cos 30  sin 10 (1.2)  z  a  d  sin   d  sin  (1.3) 1 2 20 3 30  M

(1’)

Se doreşte rezolvarea sistemului (1’) în mod direct cu obţinerea de soluţii exacte independente. Primul pas este înmulţirea ecuaţiei (1.1) cu

 sin 10 şi a relaţiei (1.2) cu

cos 10 , după care se adună cele două expresii rezultate obţinându-se ecuaţia trigonometrică (2) care se rezolvă cu soluţiile (3), adică se determină pentru primul parametru independent 10 valorile trigonometrice ale funcţiilor cosinus şi sinus de

10 .  xM  sin10  yM  cos 10  a2  a3

(2)

 (a  a3 )  y M  xM  xM2  y M2  (a2  a3 ) 2 cos 10  2 xM2  y M2    (a2  a3 )  xM  y M  xM2  y M2  (a2  a3 ) 2  sin 10  xM2  y M2 

(3)

Când vrem să obţinem direct valoarea unui unghi atunci când îi cunoaştem funcţiile sin şi cos, utilizăm expresia (4):

10  semn(sin10 )  arccos(cos 10 )

(4)

Unghiul este dat direct de funcţia arccos, iar semnul lui sinus, care poate fi +1 sau -1, trimite unghiul în cadranul său, în semicercul de sus sau cel de jos. La pasul următor înmulţim ecuaţia (1.1) cu

cos 10 şi relaţia (1.2) cu

sin 10 , adunăm expresiile obţinute şi obţinem ecuaţia trigonometrică (5). xM  cos 10  yM  sin 10  d1  d 2  cos 20  d3  cos 30

(5)

Aceasta împreună cu relaţia (1.3) formează sistemul (6) care generează ultimii parametri independenţi

32

 20 si 30 .

   xM  cos 10  y M  sin 10  d1  d 2  cos  20  d 3  cos 30 (5)   z  a1  d 2  sin  20  d 3  sin 30 (1.3)   M

(6)

Cu notaţiile (7) obţinem pentru sistemul de ecuaţii (6) soluţiile directe şi exacte (8); ecuaţiile (6) capătă forma (6’).

  C1  d 2  cos  20  d 3  cos 30 (5' )   C  d 2  sin  20  d 3  sin 30 (1.3' )   2

(6’)

Sistemul (6’) se scrie sub forma (6’’).

  C1  d 2  cos  20  d 3  cos 30 (5' ' )   C2  d 2  sin  20  d 3  sin 30 (1.3' ' ) 

(6’’)

Ecuaţiile (6’’) se ridică la pătrat fiecare în parte şi apoi se adună, obţinânduse expresia (6’’’).

K  2  C1  d 2  cos 20  2  C2  d 2  sin 20

(6’’’)

Expresia (6’’’) se ridică la pătrat şi rezultă o ecuaţie de gradul doi în

cos  20 care generează soluţiile pentru cos  20 , iar pentru sin se schimbă forma 2

ecuaţiei (6’’’) termenii cu sin şi cos permutând între ei, astfel încât după ridicarea expresiei la pătrat ecuaţia rămasă să fie în pentru funcţia sin.

sin 2  20 şi generând astfel soluţiile

Cu cele două expresii sin şi cos se poate calcula exact valoarea unghiului, care va fi dată de arccos, şi va prelua semicercul superior pentru un sinus pozitiv, şi semicercul inferior pentru un semn al lui sinus negativ.

 30 în mod similar, punând cu cos 30 , iar sin  20 cu

Algoritmul se poate relua şi pentru unghiul sistemul (6’’) corespunzător (fac rocada

cos  20

sin 30 ); urmează algoritmul descris mai sus prin ridicarea la pătrat, etc... Pentru a fi mai siguri că toate soluţiile satisfac sistemul simultan, valorile funcţiilor trigonometrice pentru unghiul  30 se extrag direct din sistemul (6’’). Expresia lor depinde direct de valoarea unghiului calculat la pasul precedent (  20 ) dar toate valorile satisfac în mod sigur sistemul din care au fost deduse.

33

C1  x M  cos 10  y M  sin 10  d 1  C 2  z M  a1  2 2 2 2 k  C1  C 2  d 2  d 3

(7)

 k  C1  C2  4  C12  d 22  4  C22  d 22  k 2 cos  20  2  (C12  C22 )  d 2   2 2 2 2 2 sin   k  C2  C1  4  C1  d 2  4  C2  d 2  k 20  2  (C12  C22 )  d 2   20  semn(sin  20 )  arccos(cos  20 )   C1  d 2  cos  20 cos  30  d3   C2  d 2  sin  20 sin  30  d3   30  semn(sin  30 )  arccos(cos  30 )

(8)

Determinarea vitezelor unghiulare ale actuatorilor

 xM  sin10  yM  cos 10  a2  a3

(2)

Derivăm ecuaţia (2) şi obţinem relaţia (9).

 x M  sin 10  x M  cos 10  10   y M  cos 10  y M  sin 10  10  0

(9)

Ecuaţia (9) se aranjează în forma (10):

( x M  cos 10  y M  sin 10 )  10   y M  cos 10  x M  sin 10

(10)

Viteza unghiulară a primului actuator are expresia (11):

10 

y M  cos 10  x M  sin 10 xM  cos 10  yM  sin 10

(11)

Din sistemul (6’’) derivat obţinem vitezele unghiulare ale celorlalţi doi actuatori. Se derivează (6’’) şi rezultă sistemul (12).

34

  C1  d 2  cos  20  d 3  cos 30 (5' ' )   C  d 2  sin  20  d 3  sin 30 (1.3' ' )   2

(6’’)

C1  d 2  sin  20  20  d 3  sin 30  30    C2  d 2  cos  20  20  d 3  cos 30  30

(12)

Înmulţim prima relaţie a sistemului (12) cu

cos 30 iar pe a doua cu

sin 30 , după care adunăm relaţiile rezultate şi obţinem expresia (13): C 1  cos  30  C 2  sin  30  d 2  sin  20  cos  30   20   d 2  sin  30  cos  20   20 

(13)

 d 3  sin  30  cos  30   30  d 3  sin  30  cos  30   30 Relaţia (13) se scrie sub forma (14).

C1  cos 30  C 2  sin 30  d 2  sin  20  cos 30  20   d 2  sin 30  cos  20  20  0

(14)

Relaţia (14) se pune sub forma (15).

C1  cos 30  C 2  sin 30  d 2  sin(20  30 )  20  0

(15)

Din (15) explicităm viteza unghiulară a celui de al doilea actuator, şi obţinem relaţia (16).

20 

C1  cos 30  C 2  sin 30 d 2  sin(30   20 )

În continuare înmulţim prima relaţie a sistemului (12) cu doua cu

(16)

cos  20 iar pe a

sin  20 , după care adunăm relaţiile rezultate şi obţinem expresia (17):

C 1  cos  20  C 2  sin  20  d 2  sin  20  cos  20   20   d 2  sin  20  cos  20   20 

(17)

 d 3  sin  20  cos  30   30  d 3  sin  30  cos  20   30

35

Relaţia (17) se scrie sub forma (18).

C1  cos 20  C 2  sin 20  d3  sin(20  30 )  30

(18)

Din (18) explicităm viteza unghiulară a ultimului actuator, şi obţinem relaţia (19).

30 

C1  cos  20  C 2  sin  20 d 3  sin( 20  30 )

(19)

Vitezele unghiulare ale celor trei actuatori se vor explicita în continuare în sistemul (20).

 y M  cos 10  x M  sin 10 10  xM  cos 10  y M  sin 10   C1  cos  30  C 2  sin  30    20 d 2  sin( 30   20 )   C  cos  20  C 2  sin  20 30  1 d 3  sin( 20   30 ) 

(20)

Pentru determinarea lor mai trebuiesc calculaţi câţiva parametri. Cu relaţia (21) notăm parametrul variabil C1.

C1  xM  cos 10  yM  sin 10  d1 Derivăm (21) şi obţinem

(21)

C1 (relaţia 22).

C 1  x M  cos 10  x M  sin 10  10   y M  sin 10  y M  cos 10  10

(22)

Variabila C2 are expresia mai simplă (23).

C2  z M  a1 Se derivează relaţia (23) şi se obţine pentru

C 2  zM

36

(23)

C 2 expresia (24). (24)

Sinteza traiectoriilor optime cu ajutorul funcţiilor de comandă la nivelul cuplelor cinematice conducătoare 1. Condiţii iniţiale pentru sinteza traiectoriilor în spaţiul cuplelor motoare Înainte de a studia traiectoria unui punct trasor, prin intermediul legilor de comandă din spaţiul cuplelor cinematice active ale robotului, trebuie stabilită configuraţia MPz în care punctul caracteristic ocupă poziţiile iniţială şi finală. În cazul general, traiectoria punctului caracteristic al MPz este materializată printr-o curbă în spaţiul geometric 3D, curbă care se poate obţine prin interpolare pe anumite porţiuni, în funcţie de punctele de precizie stabilite. Pentru manipularea unui obiect, între poziţiile iniţială şi finală, sunt necesare următoarele operaţii de lucru: apucare (în poziţia iniţială), ridicare-desprindere (de suprafaţa de aşezare), deplasare (spre poziţia finală), coborâre-aşezare (într-un dispozitiv) şi eliberare (în poziţia finală). Corespunzător acestor operaţii, la nivelul fiecărei cuple cinematice motoare (actuatoare) se identifică 4 poziţii distincte (fig. 1): iniţială, de ridicare, deplasare, apropiere şi finală.

qj  j

 j3

3( final )

 j2

2

 j1

1

 j0

0(initial ) 0

t 0  t init

t1

t2

t 3  t final

t

Fig. 1 Extremele “traiectoriei” legii de mişcare, la nivelul unei cuple cinematice motoare, trebuie să fie cuprinse între limitele fizice şi geometrice ale MPz.

37

t1  t 0 , t 3  t 2 (fig. 1), ai segmentelor iniţial (0  1) şi final (2  3) , corespund ritmului de avansare a griperului Intervalele de timp

(dispozitiv de apucare) la şi de la suprafaţa obiectului manipulat. Aceşti timpi sunt un parametru constant şi este funcţie de caracteristica motorului electric de acţionare din fiecare cuplă cinematică activă. În timpul intermediar t 2  t1 , corespunzător segmentului mijlociu 1  2 , apar valorile maxime ale vitezei şi acceleraţiei unghiulare din mişcarea relativă a unui braţ j faţă de cel adiacent j  1 . Pentru optimizarea mişcării (din cuplele cinematice motoare) se foloseşte maximul acestui timp (t 2  t1 ) max ceea ce corespunde timpului maxim al cuplei cinematice active cu viteza cea mai mică. În ambele puncte intermediare 1 şi 2 , ale curbei funcţiei de comandă, trebuie ca poziţia (ca deplasare instantanee), viteza şi acceleraţia să îndeplinească condiţiile de continuitate faţă de segmentul anterior 0  1 respectiv posterior 2  3. Pentru a satisface aceste cerinţe de continuitate în toate cele 4 puncte cunoscute (0,1,2,3) se vor folosi funcţii polinomiale ale căror prime două derivate sunt continue în intervalul de timp

(t 0 , t 3 ) .

Având în vedere condiţiile iniţiale impuse traiectoriei punctului trasor, rezultă pentru funcţia de comandă (a unei cuple cinematice motoare) următorul bilanţ de necunoscute: 

În punctul iniţial 0 se înregistrează o necunoscută, reprezentată de poziţia 0 ;



În punctele

1 şi 2 sunt 2.3=6 necunoscute (poziţia, viteza, acceleraţia):    1 , 1 , 1 ;  2 ,  2 , 2 ;

În punctul final 3 există o singură necunoscută: poziţia unghiulară  3 . Cele 8 necunoscute pot fi coeficienţii unei funcţii polinomiale de gradul 7 care interpolează întreaga traiectorie, în intervalul de timp menţionat t 3  t 0 .



O astfel de funcţie polinomială se scrie pentru cupla cinematică conducătoare j sub forma: 7

q j (t )   a k t k  a 7 t 7  a 6 t 6  a5 t 5  a 4 t 4  a3 t 3  a 2 t 2  a1t  a 0

(1)

k 0

Extremele unei astfel de funcţii polinomiale de gradul 7 tind să fie plasate în afara domeniului de existenţă a mişcării realizare de cuplele cinematice active, respectiv al braţelor robotului.

38

O abordare posibilă practic şi eficientă pe ansamblu constă în împărţirea întregii traiectorii a punctului trasor, respectiv a curbei funcţiei de comandă, în mai multe segmente, astfel ca polinoamele de grad mai mic de 7 să poată fi utilizate pentru interpolarea fiecărui segment de traiectorie. Se cunosc mai multe posibilităţi de împărţire a traiectoriei la nivelul cuplei cinematice motoare, aceste variante fiind de 3, 4 sau 5 porţiuni distincte. Cele mai convenabile variante sunt cele cu 3 porţiuni, cu 3 polinoame de grade 4-3-4 sau 3-5-3. Varianta cu 5 porţiuni foloseşte 5 polinoame de acelaşi grad 3, adică 3-3-3-3-3. Pentru o traiectorie la care legea de comandă este modelată cu polinomiala 4-3-4, pe un Mp cu n cuple cinematice motoare (c.c.m.) se vor obţine 3n segmente de curbă şi 8n coeficienţi. 2 Sinteza polinoamelor de interpolare tip 4-3-4 Se introduce pentru fiecare segment de traiectorie, la nivelul c.c.m., o variabilă (adimensională) de timp normat t  0,1 , ceea ce permite rezolvarea similară a fiecărei porţiuni de curbă, pentru legea de mişcare a fiecărei c.c.m. (ca unghi de rotaţie relativă a braţului).

 

Timpul normat variază de la t  0 (timpul iniţial al fiecărui segment de traiectorie, la nivelul c.c.m.) la t  1 (timpul final pentru fiecare din segmentele curbei legii de comandă a c.c.m.). Se defineşte timpul real limitele

 i 1

(minim) şi

i



în secunde, a cărui variaţie este cuprinsă între

(maxim), adică

   i 1 ,  i  .

Timpul normat se calculează cu formula

t

   i 1  0, 1  i   i 1

(2)

Curba legii de mişcare a unei c.c.m. constă din segmente polinomiale

p i (t ) care împreună formează curba de variaţie a legii de comandă a c.c.m. j. Cele 3 funcţii polinomiale pentru fiecare c.c.m. sunt:

p1 (t )  a14t 4  a13t 3  a12t 2  a11t  a10

(3)

p2 (t )  a23t 3  a22t 2  a21t  a20

(4)

p3 (t )  a34t 4  a33t 3  a32t 2  a31t  a30

(5)

39

Condiţiile la limită care trebuie satisfăcute de funcţiile (13.3, 4, 5), la o c.c.m. de rotaţie, sunt: Punctul 0 :

 0   t 0 ;  0  0;  0  0;

             t    t ;  t    t ;  t    t ;

Punctul 1 : 1   t1 ;  t1   t1 ;  t1   t1 ;  t1   t1 ; Punctul 2 :  2   t 2 ; Punctul 3 :  3

 2

 2

 2

 2

 2

 2

  t 3 ;  3  0;  3  0.

Ecuaţiile polinomiale (3, 4, 5) se derivează în funcţie de timpul real



:

dp i t  dt dp i t     d d dt dp t  1 1   i   p i t ; i  1,2,3,4  i   i 1 dt  i

(6)

d 2 pi t   dt  d 2 pi t   i t       d 2 dt 2  d  d 2 pi t  1 1     pi t ; i  1,2,3,4 2 2 ( i   i 1 ) dt ( i ) 2

(7)

 i t  

2

Pe intervalul (0  1) , din polinomul (3) se deduc viteza şi acceleraţia unghiulare, cu ajutorul formulelor (6, 7):

1 (t ) 

1 (4a14t 3  3a13t 2  2a12t  a11 );  1

(8)

 1 (t ) 

1 (12a14t 2  6a13t  2a12 ) 2  1

(9)

Pentru t  0 ecuaţiile (3, 8, 9) devin:

 1 (0)  a10 ;  a10   0 ;

40

 1 (0) 

1 a11 ;  a11   0  1  0;  1

 1 (0) 

2 1 a12 ;  a12   0  12  0. 2 2  1

(10)

În aceste condiţii ecuaţia (3) se scrie:

p1 (t )  a14t 4  a13t 3   0

(11)

Pentru t  1 ecuaţiile (3, 8, 9) devin:

1 (1)  a14  a13   0

(12)

 1 (1) 

1 (4a14  3a13 )  1

(13)

 1 (1) 

6 (2a14  a13 )  12

(14)

Pe intervalul formulele:

(1  2) , din ecuaţia polinomială (4), se obţin prin derivare

 2 (t ) 

1 (3a 23t 2  2a 22t  a 21 )  2

(15)

 2 (t ) 

1 (6a 23t  2a 22 )  12

(16)

Pentru t  0 , ecuaţiile (4, 15, 16) devin:

 2 (0)  a 20 ;  2 (0) 

1 2 a 21 ;  2 (0)  a 22 .  2  22

(17)

Din condiţiile de continuitate din punctul 1 rezultă egalităţile:

 2 (0)  1 (1);  2 (0)  1 (1);  2 (0)   1 (1).

(18)

sau explicit, observând relaţiile (12, 13, 14, 17)

a 20  a14  a13   0 ; 1 1 a 21  (4a14  3a13 );  2  1 2 

2 2

a 22 

6  12

(19)

(2a14  a13 ).

Pentru t  1 ecuaţiile (4, 15, 16) devin:

41

 2 (1)  a 23  a 22  a 21  a 20

Pe intervalul

(20)

 2 (1) 

1 (3a 23  2a 22  a 21 )  2

(21)

 2 (1) 

2 (3a 23  a 22 )  12

(22)

(2  3) , ecuaţia polinomială (5) se scrie (dacă se face înlocuirea

t  t  1 ):

 3 (t )  a34t 4  a33t 3  a32t 2  a31t  a30 în care pentru

(23)

t  0,1 se deduce t   1,0 .

Din (23) se obţin, prin derivare, formulele vitezei şi acceleraţiei unghiulare în forma:

 3 (t ) 

1 (4a34t 3  3a33t 2  2a32t  a31 );  3

(24)

 3 (t ) 

1 (12a34t 2  6a33t  2a32 ). 2  3

(25)

Pentru

t  0 respectiv t  1 ecuaţiile (23, 24, 25) se scriu:

 3 (1)  a34  a33  a32  a31  a30 1 (4a34  3a33  2a32  a31 )  3 1  3 (1)  2 (12a34  6a33  2a32 )  3

 3 (1) 

(26) (27) (28)

Condiţiile de continuitate din punctul 2 se scriu:

 3 (1)   2 (1);  3 (1)   2 (1);  3 (1)   2 (1).

(29)

sau explicit, observând relaţiile (20, 21, 22) şi (26, 27, 28):

a34  a33  a32  a31  a30  a 23  a 22  a 21  a 20

42

(30)

1 1 (4a34  3a33  2a32  a31 )  (3a 23  2a 22  a 21 )  3  2

(31)

1 1 (12a34  6a33  2a32 )  (6a 23  2a 22 ) 2  3  22

(32)

Pentru liberi:

t  1 (t  0) , din ecuaţiile (26, 27, 28) se deduc coeficienţii termeni

 3 (0)  a 30 ;  3 (0) 

1 a 31 ;  a 31  0;  3

 3 (0) 

2 a 32 ;  a 32  0.  32

(33)

În final se reţin următoarele ecuaţii: (10, 10’, 10’’), (12, 19, 19’,19’’), (20, 30, 31, 32), ( 33, 33’, 33’’), ale căror expresii sunt: a10 = 0; a11 = 0; a12 = 0; a13 + a14 = 1 - 0; a20 = a13 + a14 + 0; 3a13 + 4a14 =(1/2). a21; 3(a13 + 2a14) = (1/2)2.a22; a20 + a21 + a22 + a23 = 2; a20 + a21 + a22 + a23 = a30 - a31 + a32 - a33 + a34; a21 + 2a22 + 3a23 = (2/3).(a31 - 2a32 + 3a33 - 4a34); 2a22 + 3a23 = (2/3)2.(a32 - 3a33 + 6a34 a30 = 3; a31 = 0; a32 = 0. Din cele 14 ecuaţii rămân numai 7 ecuaţii distincte: a13 + a14 = 1 - 0;

(1*)

a13 + a14 + a21 + a22 + a23 = 2 - 0;

(2*)

a13 + a14 + a21 + a22 + a23 + a33 - a34 = 3 - 0;

(3*)

3a13 + 4a14 =(1/2). a21;

(4*)

3(a13 + 2a14) = (1/2)2.a22;

(5*)

a21 + 2a22 + 3a23 = (2/3).(3a33 - 4a34);

(6*)

2a22 + 3a23 = 3(2/3)2.(a33 + 2a34.

(7*)

În ecuaţiile (1*) - (7*) se cunosc intervalele de timp real 1 = 1 - 0; 2 = 2 1; 3 = 3 - 2; şi unghiurile relative (1 - 0), (2 - 0), (3 - 0).

43

Din cele 7 ecuaţii se obţin cele 7 necunoscute, respectiv coeficienţii: a13, a14, a21, a22, a23, a33, a34 Practic, se impun unghiurile relative

 01  1   0  1 (1)  1 (0)  a14  a13 ;

(34)

12   2  1   2 (1)   2 (0)  a 23  a 22  a 21;

(35)

 23   3   2   3 (1)   3 (0)  a34  a33 .

(36)

Coeficienţii a14 , a13 , a 23 , a 22 , a 21 , a34 , a33 se calculează ca soluţii ale sistemului liniar format din ecuaţiile (34, 35, 36), la care se adaugă două ecuaţii echivalente cu ultimele două din (19) şi alte două ecuaţii echivalente cu relaţiile (31, 32):

1 1 a 21  (4a14  3a13 );  2  1

1 3 a 22  (2a14  a13 ); 2  2  12 1 1 (4a34  3a33 )  (3a 23  2a 22  a 21 );  3  2

3  32

(2a34  a33 ) 

1  22

(3a 23  a 22 ).

(37)

(38)

(39)

(40)

În ultimele patru ecuaţii se impun intervalele de timp

 1   1   0 ;  2   2   1 ;  3   3   2 . care corespund celor trei intervale de deplasări unghiulare din primele trei ecuaţii.

44

Vitezele şi acceleraţiile în cinematica directă la MP-3R

y3  xM 

d3

a3

O3

B

M  yM 

30

 z M 

x3

z3 d2 z0, z1

y2 y1

O1

20

d1 A

a1 O0

a2 O2 x1

x2

z2

x0

y0

10

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria şi cinematica unui MP-3R Sistemul fix de coordonate a fost notat cu x0O0y0z0. Sistemele mobile legate (rigidizate) de cele trei elemente mobile (1, 2, 3) au indicii 1, 2 respectiv 3. Orientarea lor a fost aleasă convenabil. Se porneşte de la relaţia matricială a vitezelor (1) deja cunoscută:

X 0 M  A01  T01  X 1M  A01  T01  ( A12  T12  X 2 M )   A01  T01  A12  T01  T12  X 2 M   A01  T01  A12  T01  T12  ( A23  T23  X 3M ) 

(1)

 A01  T01  A12  T01  T12  A23  T01  T12  T23  X 3M Aceasta se scrie sub forma (2) simplificată:

X 0 M  A01  P1  P2  T03  X 3M

(2)

Unde:

0  A01  0  a1 

(3)

45

  d1  cos 10  a2  sin 10  P1  d1  sin 10  a2  cos 10      0  

(4)

  d 2  cos 10  cos  20  a3  sin 10  P2  d 2  sin 10  cos  20  a3  cos 10      d 2  sin  20  

(5)

cos  10   T03  sin 10  0 

(6)

X 3M

0 0 1

sin 10     cos 10   0  

   x3M  d 3  cos  30    y3M   d 3  sin  30     z3M    0  

(7)

Se derivează relaţia (2) matricială şi se obţine expresia (8):

X 0 M  A 01  P1  P2  T03  X 3M  T03  X 3M   P1  P2  T03  X 3M  T03  X 3M   P  T  X  T  X 12

03

3M

03

(8)

3M

Deoarece:

 0  0   A01  0   0  0 a1  0

46

(9)

     d1  sin 10  10  a2  cos 10  10  P1   d1  cos 10  10  a2  sin 10  10        0  

(10)

     d 2  sin 10  10  cos  20  d 2  cos 10  sin  20  20  a3  cos 10  10  (11) P2   d 2  cos 10  10  cos  20  d 2  sin 10  sin  20  20  a3  sin 10  10        d 2  cos  20  20  

  sin 10  10   T03   cos 10  10    0 

X 3 M

0 0 0

 cos 10  10   sin 10  10     0 

     x 3 M   d 3  sin  30   30    y 3M    d 3  cos  30   30     z3M    0    

(12)

(13)

P12  P1  P2       d1 sin 1010  a2 cos 1010  a3 cos 1010  d 2 sin 1010 cos  20  d 2 cos 10 sin  2020   d cos    a sin    a sin    d cos   cos   d sin  sin    10 10 2 10 10 3 10 10 2 10 10 20 2 10 20 20  1      d 2 cos  2020  

(14)

În continuare se determină cele două produse matriciale (15 şi 16) din relaţia (8).

47

T03  X 3M

  sin 10  10    cos 10  10   0 

0 0 0

 cos 10  10   sin 10  10     0  

      d 3  cos  30   d 3  sin 10  10  cos  30   d 3  sin  30    d 3  cos 10  10  cos  30          0     0  

T03  X 3M

cos  10    sin 10  0 

0 0 1

  sin 10     d 3  sin  30  30      cos 10    d 3  cos  30  30       0   0    

(15)

(16)

   d 3  cos 10  sin  30  30    d 3  sin 10  sin  30  30      d 3  cos  30  30   Putem acum să-l determinăm pe

X 0 M

48

X 0 M :

    (d1 sin 1010  a2 cos 1010  a3 cos 1010  d 2 sin 1010 cos  20   d cos  sin    d sin   cos   d cos  sin   )  10 20 20 3 10 10 30 3 10 30 30  2  (17)       (d1 cos 1010  a2 sin 1010  a3 sin 1010  d 2 cos 1010 cos  20      d 2 sin 10 sin  20 20  d 3 cos 1010 cos  30  d 3 sin 10 sin  3030 )        ( d cos    d cos   ) 2 20 20 3 30 30  

Urmează relaţiile acceleraţiilor. Se derivează relaţia (8) şi se obţine expresia (18):

  T  X  T  X  T  X  T  X  X0 M  P 12 03 3M 03 3M 03 3M 03 3M (18)          P12  T03  X 3M  2  T03  X 3M  T03  X 3M Unde:   P   P   P 12 1 2     2 2 2 2 (  d cos    a sin    a sin    d cos   cos   10 10 2 10 10 3 10 10 2 10 10 20  1   d sin   sin    d sin   sin    d cos  cos   2 ) 2 10 10 20 20 2 10 10 20 20 2 10 20 20         (d1 sin 10102  a2 cos 10102  a3 cos 10102  d 2 sin 10102 cos  20     2  d 2 cos 1010 sin  20 20 d 2cos 1010 sin  20 20  d 2 sin 10 cos  20 20 )       2 (d 2 sin  20 20 )    

(19)

 se datorează faptului că cele trei Forma destul de simplă a matricei P 12 viteze unghiulare ale actuatorilor s-au considerat constante (aşa cum e normal să fie).   cos 10  102    T03   sin 10  102    0 

X3M

2  T03  X 3M

0 0 0

  sin 10  102   2 cos 10  10     0 

 2   d 3  cos 30  30  2    d 3  sin 30  30     0  

 2  d 3  sin 10  10  sin 30  30       2  d 3  cos 10  10  sin 30  30      0  

(20)

(21)

(22)

49

T03  X 3 M

  cos 10  102    sin 10  102    0 

0 0 0

  sin 10  102     d 3  cos  30  cos 10  102   d 3  sin  30         0 (23)    0 

   d 3  cos 10  102  cos  30      d 3  sin 10  102  cos  30    0    

T03  X3M

cos  10    sin 10  0 

0 0 1

sin 10   2    d 3  cos  30  30    2   cos 10    d 3  sin  30  30       0 0    

(24)

 d  cos   cos    2  10 30 30   3 2     d 3  sin 10  cos  30  30   2    d 3  sin  30  30   Se obţine matricea acceleraţiilor endefectorului în funcţie de rotaţiile şi vitezele unghiulare ale celor trei actuatori, cu 10  ct , 20  ct , 30  ct . X 0 M    (d1 cos 10102  a2 sin 10102  a3 sin 10102  d 2 cos 10102 cos  20     2  2 d sin   sin    d cos  cos    2 d sin   sin    2 10 10 20 20 2 10 20 20 3 10 10 30 30    d cos   2 cos   d cos  cos   2 )  10 10 30 3 10 30 30  3      2 2 2 2 (d1 sin 1010  a2 cos 1010  a3 cos 1010  d 2 sin 1010 cos  20    2d cos   sin    d sin  cos   2  2d cos   sin     2 10 10 20 20 2 10 20 20 3 10 10 30 30   2  d 3 sin 10102 cos  30  d 3 sin 10 cos  3030  )       2 2 (d 2 sin  20 20  d 3 sin  3030 )    

50

(25)

Elemente de dinamică la MP-3R (partea I-a) y3’ y3

 xM 

d3

a3 B

y3*

O3

30

G3

z3*

 z M 

G3*

x3

y2*

z3

M  yM 

d2 G2*

z0, z1

z1*

z2* y1

O1

d1

a1 G1 O0

G1*

z2

x0

10

A

y2’

y2 20

a2 O2 G2 x1

x2 y0

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria, cinematica şi dinamica unui MP-3R Centrele de greutate ale elementelor. În fig. 1, s-au reprezentat centrele de greutate ale sistemului MP-3R. Pentru fiecare element în parte s-au considerat două elemente pentru a putea efectua calculele separat pentru direcţiile diferite ale părţilor fiecărui element. Astfel elementul 1 a fost separat în două părţi O0O1 cu centrul de greutate în G1 şi O1A cu centrul de greutate în G1*. Elementul doi a fost împărţit în două subelemente: AO 2 cu centrul de greutate în G2 şi O2B cu centrul de greutate în G2*. Ultimul element (elementul trei al MP-3R) a fost şi el reconsiderat fiind divizat în două subelemente: BO3 cu centrul de greutate în G3, şi O3M cu centrul de greutate în G3*. Pentru antamarea calculelor s-au considerat toate centrele de greutate poziţionate la mijlocul elementelor respective, elementele fiind de tip bară (cilindrică, sau de altă formă). Dinamica oricărui sistem necesită cunoaşterea energiei mecanice cinetice a sistemului. Este punctul de plecare numărul unu al determinării unor calcule şi relaţii de calcul dinamic al oricărui sistem mecanic. Problema la sistemele MP-3R este faptul că ele lucrează spaţial şi deci energia cinetică a sistemului cuprinde elemente spaţiale (nu se poate încadra numai într-un plan). Ecuaţia Lagrange utilizată are forma clasică (1) cunoscută:

51

d    dt  qk

     Qk  qk

(1)

cu k=1, 2, 3. Cea mai normală determinare dinamică a unui sistem se face utilizând ecuaţiile „Lagrange”. Din sistemul (1) se vor scrie trei ecuaţii diferite. Pentru aceasta este necesar ca în prealabil să determinăm ecuaţia energiei cinetice (mecanice) a sistemului considerat (    (qk , qk ) ). În spaţiu energia cinetică are pentru fiecare element în parte şase componente (în cazul cel mai general): trei pentru vitezele liniare şi alte trei pentru vitezele unghiulare. În cazul vitezelor liniare, decât să scriem trei energii cinetice (aceeaşi masă a elementului înjumătăţită şi înmulţită separat cu pătratul fiecărei componente scalare a vitezei în centrul de masă) este mai simplu să scriem doar o singură ecuaţie rezultantă, adică să înmulţim jumătate din masa elementului respectiv (în cazul de faţă fiecare subelement va fi cotat ca un element, astfel încât din trei elemente vor rezulta şase) cu pătratul vitezei absolute a elementului considerat, determinată (viteza absolută) în centrul de masă al elementului respectiv. Astfel vom determina vitezele absolute în centrele de masă ale elementelor şi pătratele vitezelor absolute, după care împreună şi cu momentele inerţiale (masice) mecanice şi cu pătratele vitezelor unghiulare ale elementului determinate pe trei axe mobile (solidare cu elementul în mişcare) aşezate în formă rectangulară (se alege practic un sistem de coordonate mobile, rectangular, solidar cu fiecare element în parte). În cazul cel mai general pentru fiecare din cele şase elemente rezultate vom avea maxim patru expresii pentru energia cinetică (mecanică) a sistemului. În continuare se vor determina vitezele absolute (şi pătratele lor) pentru fiecare din cele şase elemente rezultate ale sistemului (MP-3R). În centrul de greutate G1 viteza absolută este nulă (2).

vG1  0  1  0

(2)

În centrul de greutate G1* viteza absolută are valoarea (3).

vG1* 

d1  1 2

vG21* 

1 2 2  d1  1 4

În centrul de greutate G2 viteza absolută capătă expresia (4).

52

(3)

 2 O G  d 2   a2  1  1 2 2  vG2  O1G2  1   2  a2  2  2  2 2 2 vG2  O1G2   1  d1   2    1   

(4)

În centrul de greutate G2* pătratul vitezei absolute ia forma (5).

1   xG2*  d1  cos 10  a2  sin 10  2  d 2  cos  20  cos 10   y  d  sin   a  cos   1  d  cos   sin  1 10 2 10 2 20 10  G2* 2  1  zG  a1   d 2  sin  20 2* 2   xG  d1  sin 10  10  a2  cos 10  10   2* 1  1   d 2  sin  20  20  cos 10   d 2  cos  20  sin 10  10 2 2   y G  d1  cos 10  10  a2  sin 10  10   2* 1  1  2  d 2  sin  20  20  sin 10  2  d 2  cos  20  cos 10  10   z  1  d  cos    20 20  G2* 2 2  1 1 2 vG2 2*  d12  102  a22  102   d 22  20   d 22  102  cos 2  20  4 4   d  d   2  cos   a  d      sin  20 2 2 10 20 20  1 2 10

(5)

În centrul de greutate G3 coordonatele scalare de poxiţie iau forma (6) iar pătratul vitezei absolute îmbracă forma (7).

 1    xG3  d1  cos 10   a2  2 a3   sin 10  d 2  cos 10  cos  20     1    yG3  d1  sin 10   a2  a3   cos 10  d 2  sin 10  cos  20 (6) 2     zG  a1  d 2  sin  20  3 

53

 1    xG3  d1  sin 10  10   a2  2 a3   cos 10  10      d 2  sin 10  10  cos  20  d 2  cos 10  sin  20  20   y  d  cos      a  1 a   sin      2 1 10 10 3 10 10  G3 2     d 2  cos 10  10  cos  20  d 2  sin 10  sin  20  20  z  d  cos    2 20 20  G3 2  1   2  2 2 2 2 2 2 2 2 2    v  x  y  z  d    d    cos   a  a  2  G3 G3 G3 G3 1 10 2 20 20 3   10  2     d 2   2  cos 2   d 2   2  sin 2   2  d  d   2  cos   20 2 20 20 1 2 10 20  2 10 1     2  d 2   a2  2 a3   sin  20  10  20    2  2  2   2 1  2 2 v  d  a  a  G3  1  2 3   d 2  cos  20  2  d1  d 2  cos  20   10  2       (7)  d 2   2  2  d   a  1 a   sin      2 2 3 20 10 20  2 20 2   În centrul de greutate G3* coordonatele scalare de poxiţie iau forma (8) iar pătratul vitezei absolute îmbracă forma (9).

  xG3*  d1  cos 10  a2  a3   sin 10    d  cos   cos   1  d  cos   cos  10 20 3 30 10  2 2   yG3*  d1  sin 10  a2  a3   cos 10    d 2  sin 10  cos  20  1  d3  cos 30  sin 10  2  1  zG3*  a1  d 2  sin  20   d3  sin 30 2 

54

(8)

 xG3*   d1  sin 10  10  a2  a3   cos 10  10    d 2  sin 10  10  cos  20  d 2  cos 10  sin  20  20   1 1   d 3  sin 30  30  cos 10   d 3  cos 30  sin 10  10 2  2  y G  d1  cos 10  10  a2  a3   sin 10  10   3*  d 2  cos 10  10  cos  20  d 2  sin 10  sin  20  20    1  d  sin     sin   1  d  cos   cos    30 30 10 3 30 10 10  2 3 2  1  zG3*  d 2  cos  20  20   d 3  cos 30  30 2    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 vG3*  xG3*  y G3*  zG3*  d1  10  (a2  a3 )  10  d 2  10  cos  20   1 1 2 2  d 22  20  sin 2  20   d 32  30  sin 2 30   d 32  102  cos 2 30   4 4  1 2 2 2 2 2 2  d 2  20  cos  20   d 3  30  cos 30  4   d  d      cos   cos   2  d  d   2  cos   20 30 1 2 10 20  2 3 20 30  d1  d 3  102  cos 30  2  d 2  (a2  a3 )  10  20  sin  20   2  d 3  (a2  a3 )  10  30  sin 30  d 2  d 3  10  cos  20  cos 30   d  d      sin   sin  (9) 20 30  2 3 20 30   1 vG2  [d12  (a2  a3 ) 2  d 22  cos 2  20   d 32  cos 2 30  4  3*  2  d  d  cos   d  d  cos   d  d  cos   cos  ]   2  1 2 20 1 3 30 2 3 20 30 10   2 2 1 2 2  d 2  20  4  d 3  30  d 2  d 3  20  30  cos(30   20 )    2  d 2  (a2  a3 )  10  20  sin  20  d 3  (a2  a3 )  10  30  sin 30

Putem acum să recapitulăm valorile tuturor pătratelor vitezelor determinate în cele şase centre de greutate ale sistemului (relaţia 10).

55

vG2 1  0    1 vG2 1*   d12  12 4   ______________________________________________________    2   v 2  O G 2   2  d 2   a2     2 G2 1 2 1 1 1   2       1 2 vG2  d12  102  a22  102  1  d 22  20   d 22  102  cos 2  20  2* 4 4   d  d   2  cos   a  d      sin  20 2 2 10 20 20  1 2 10  _______________________________________________________   2    vG2  d12   a2  1 a3   d 22  cos 2  20  2  d1  d 2  cos  20   102  3 2       1    2 2  d 2  20  2  d 2   a2  2 a3   sin  20  10  20  (10)   1 vG2 3*  [d12  (a2  a3 ) 2  d 22  cos 2  20   d 32  cos 2 30  4   2  d  d  cos   d  d  cos   d  d  cos   cos  ]   2  1 2 20 1 3 30 2 3 20 30 10   2 2 1 2 2  d 2  20  4  d 3  30  d 2  d 3  20  30  cos(30   20 )    2  d 2  (a2  a3 )  10  20  sin  20  d 3  (a2  a3 )  10  30  sin 30

56

Elemente de dinamică la MP-3R (partea a II-a) y3’ y3

 xM 

d3

a3 B

y3*

O3

30

G3

z3*

 z M 

G3*

x3

y2*

z3

M  yM 

d2 G2*

z0, z1

z1*

z2* y1

O1

d1

a1 G1 O0

G1*

A

y2’

y2 20

a2 O2 G2 x1

z2

x0

x2 y0

10

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria, cinematica şi dinamica unui MP-3R Centrele de greutate ale elementelor. În fig. 1, s-au reprezentat centrele de greutate ale sistemului MP-3R. În continuare se vor determina momentele de inerţie masice (mecanice) şi relaţiile energiei cinetice pentru fiecare element cinematic considerat (aşa cum s-a stabilit deja există şase elemente în loc de trei). Pentru elementul 1, O0O1 , se determină momentul de inerţie mecanic pe axa principală, singura care permite o rotaţie a elementului (relaţia 11).

J Gz11 

1  m1  r12 2

(11)

Momentul de inerţie mecanic (masic) se notează cu J. El trebuie să fie deosebit de momentul de inerţie geometric (rezistent), care se notează în general (corect) cu I. Momentele inerţiale masic şi geometric se leagă între ele întotdeauna printr-o relaţie fizico-matematică. Dacă momentul inerţial geometric este utilizat cu precădere la calculele de rezistenţa materialelor şi în proiectarea organelor de maşini, în cadrul fizicii mecanice, a mecanicii, mecanismelor, roboticii, motoarelor, transmisiilor, (etc...) studiul dinamic 57

(fiziologic) al mecanismelor şi componentelor sistemelor se face obligatoriu şi cu ajutorul maselor inerţiale aflate în mişcare; masele obijnuite ale elementelor (notate cu m) sunt utilizate la mişcarea de translaţie, iar masele inerţiale (notate cu J) au un rol determinant în mişcarea de rotaţie (a elementelor sistemului). Există momente inerţiale mecanice (masice) proiectate pe un punct, pe o axă, sau pe un plan. Convenţia în mecanică şi mecanisme este să utilizăm în general (cu precădere) momentele de inerţie masice proiectate într-un punct, de obicei punctul fiind centrul de greutate (de masă, sau de simetrie) al elementului respectiv. Pentru elementul 1 utilizăm centrul de masă G1 care pentru axa principală z, a elementului (care este şi axa principală de rotaţie) are acelaşi moment inerţial masic (mecanic) în orice punct al axei (relaţia 11). Pentru două axe rectangulare x şi y momentul masic inerţial are valoarea înjumătăţită (relaţia 12), pentru cazurile cele mai des utilizate, când avem un corp cilindric de rază r1 oarecare. O altă relaţie aproximativă utilizată pentru aceste valori inerţiale atunci când corpul este lung şi foarte subţire (când raza este neglijabilă în raport cu lungimea) este relaţia (13), unde l 1 ar fi a1 dacă raza r1 ar fi neglijabilă în raport cu lungimea a1. O relaţie mai exactă (generală) pentru acest caz ar fi (14).

J Gx11  J Gy11 

1 z1 1  J G1   m1  r12 2 4

(12)

J Gx11  J Gy11 

1  m1  l12 12

(13)

J Gx11  J Gy11 

1 1  m1  r12   m1  a12 4 12

(14)

În continuare vom utiliza numai relaţia (12), deoarece sistemele studiate au elemente cilindrice cu diametre semnificative (razele cilindrilor aproximativi sunt suficient de mari). Dacă forma elementului nu este cilindrică ea se poate aproxima tot cu un cilindru. Pentru elementul 1 nu avem rotaţie decât după axa z. Energia cinetică a elementului unu capătă forma (15) (se consideră dublul energiei cinetice):

2   1  m1  v G21  J Gz11  102  (15)

1 1  0   m1  r12  102   m1  r12  102 2 2

Pe elementul 1*, în centrul de greutate G1* energia cinetică se scrie (16):

2  1*  m1*  vG21*  J Gz11**  102  

58



1 1 1  m1*  d12  102   m1*  r12*  102   m1*  102  d12  r12* 4 4 4



(16)

Pe elementul 2 în centrul de greutate G2 energia cinetică ia forma (17). 2 2   2  m2  vG2 2  J Gy22  102  J Gz 22  20  '

1 1 1   2  m2   d12   a22   102   m2  r22  102   m2  r22  20  (17) 4 4 2   1 1 1   2  m2   d12   a22   r22   102   m2  r22  20 4 4 2   Pe elementul 2* în centrul de greutate G2* energia cinetică ia forma (18 şi 20). 2 2   2*  m2*  vG2 2*  J Gz 22*  20  J Gy 22*  102  *

*

1    m2*   d12  a22   d 22  cos 2  20  d1  d 2  cos  20   102  4   1 2   m2*  d 22  20  m2*  a2  d 2  sin  20  10  20  4 _____________________________________________



(18)



J2 2 J2 1  20   1  sin 2  20  102 cu J 2   m2*  r22* 2 2 2 __________________________________________________



Se utilizează şi relaţiile intermediare (19 şi 21) pentru determinarea energiilor cinetice de pe element corespunzătoare rotaţiilor.

J2 1  z 2* 2 2 2 2  J G2*   20  2   20  4  m 2*  r2*   20  J2  y 2* 2  1  sin 2  20  102   J G2*  10  2   1 2 2 2  4  m 2*  r2*  1  sin  20  10 







(19)



59

2 2   2*  m2*  vG2 2*  J Gz 22*  20  J Gy22*  102  *

*

1 1   (20)   d12  a22   d 22  cos 2 20  d1  d 2  cos 20   r22*  (1  sin 2 20 )   4 4   1 2  m2*  102   m2*  d 22  r22*  20  m2*  a2  d 2  sin 20  10  20 4





Relaţiile (21) explică obţinerea expresiilor (19); a se urmări şi figura 2, în care se pot observa cele două triedre rectangulare diferite formate de axele din punctul G2*. Se cunosc momentele de inerţie mecanice J 2* pe axele z2* şi xb, momentul inerţial J2 pe axa principală a elementului 2* şi trebuie calculat momentul inerţial de pe axa y2* verticală, dar înclinată faţă de element cu unghiul 20  90 (elementul se află dea lungul axei G2*ya).

ya

a  b  1

y2* J2

J a

y 2* G 2*

1 xb 20-90 180-20

b

J2*=J2/2

20 G2* 2 J2*=J2/2

x2*

z2*

Fig. 2. Geometria şi cinematica în punctul G2* Momentele inerţiale.

60

a  b  1  2 2 2 a  b  1 a  1  cos( 20  90)  1  sin  20  b  1  cos(180   20 )  1  sin( 20  90)    *  J Gy 2  12  J 2  a2  J 2  b2  J 2  a2  J 2  a2  b2  2 2 2  2*  J J J J 2 2 2 2 2 2 2  2  a  2  1  2  a  1  2  1  sin  20  1  2 2 2 2   J2 2 J2 y 2* 2 2  2  1  1  sin  20  J G2*  2  1  sin  20

















(21)





Pe elementul 3, în centrul de greutate G3, energia cinetică ia forma (22) şi expresia finală (26). 2 2   3  m3  vG2 3  J Gy33  102  J Gz33  30 '

(22)

Unde dublul energiei cinetice datorate translaţiei are expresia (23). 2   3t  m3  vG2 3  2   1    m3  d12   a2   a3   d 22  cos 2 20  2  d1  d 2  cos 20   102  2     1   2  m3  d 22  20  2  m3  d 2   a2   a3   sin 20  10  20 2  

(23)

Dublul energiilor cinetice datorate rotaţiei elementului pe cele două axe se determină cu relaţiile (24 şi 25).

2   3ry3'  J Gy33  102 

1  m3  r32  102 4

(24)

2 2   3rz3  J Gz33  30 

1 2  m3  r32  30 2

(25)

'

2   1 1   2   3  d12   a2   a3   d 22  cos 2  20  2  d1  d 2  cos  20   r32   2 4    

1 2  m3  r32  30  2 1    2  m3  d 2   a2   a3   sin  20  10  20 2  

2  m3  102  m3  d 22  20 

(26)

61

Pe elementul 3*, în centrul de greutate G3*, energia cinetică ia forma (27) şi expresia finală (31). 2 2   3*  m3*  vG2 3  J Gz33*  30  J Gy33*  102 *

*

(27)

Unde dublul energiei cinetice datorate translaţiei are expresia (28). 2   3*t  m3*  vG2 3   m3*  [d12  a2  a3   d 22  cos 2  20 

1 2  d3  cos 2 30  4  2  d1  d 2  cos  20  d1  d3  cos 30  d 2  d3  cos  20  cos 30 ]  102  2

(28)

1 2  m3*  d32  30  m3*  d 2  d3  20  30  cos(30   20 )  4  2  m3*  d 2  a2  a3   10  20  sin  20  2  m3*  d 22  20 

 m3*  d3  a2  a3   10  30  sin 30

Dublul energiilor cinetice datorate rotaţiei elementului pe cele două axe se determină cu relaţiile (29 şi 30).

2 2   3*rz3*  J Gz33*  30 

J3 2 1 2  30   m3*  r32*  30 2 4

2   3*ry3*  J Gy33*  102 

J3  (1  sin 2 30 )  102  2

*

*

1   m3*  r32*  (1  sin 2 30 )  102 4

(29)

(30)

2   3*  m3*  [d12  a2  a3   d 22  cos 2  20 

1 2  d3  cos 2 30  4  2  d1  d 2  cos  20  d1  d3  cos 30  d 2  d3  cos  20  cos 30  2

1 2 1 2 2  r3*  (1  sin 2 30 )]  102  m3*  d 22  20   m3*  (d32  r32* )  30  4 4  m3*  d 2  d3  cos(30   20 )  20  30  

 2  m3*  d 2  a2  a3   sin  20  10  20   m3*  d3  a2  a3   sin 30  10  30

62

(31)

Elemente de dinamică la MP-3R (partea a III-a)

y3’ y3

a3 B

y3*  xM 

d3 O3 G3

30 z3*

 z M 

G3*

x3

y2*

z3

M  yM 

d2 G2*

z0, z1

z1*

z2*

y2’

y2

y1 O1

d1

a1 G1 O0

G1*

z2

x0

10

20 A

a2 O2 G2 x1

x2 y0

10  10  21   20 32  30   20

Fig. 1. Geometria, cinematica şi dinamica unui MP-3R Centrele de greutate ale elementelor. În fig. 1, s-au reprezentat centrele de greutate ale sistemului MP-3R. În continuare se vor determina momentele motoarelor de acţionare (variaţia momentelor necesare ale celor trei actuatori). Se scrie pentru început energia cinetică a întregului sistem, cuprinzând cele trei elemente desfăcute fiecare în câte două (32). Relaţia energiei cinetice a întregului sistem (32) este foarte lungă. Se utilizează relaţia (1) Lagrange (curs 07) din care se obţin practic trei expresii, corespunzătoare celor trei actuatori, mai precis corespunzătoare momentelor celor trei actuatori.

63

1 2







1 1  m1  r12  102   m1*  102  d12  r12*  2 4  2 1 2 1 2 2 1 2  m2   d1   a2   r2   10   m2  r22  20  4 4 2  

c    



1 1   m2*  d12  a22   d 22  cos 2  20  d1  d 2  cos  20   r22*  1  sin 2  20 4 4  1 2  102   m2*  d 22  r22*  20  m2*  a2  d 2  sin  20  10  20  m3  102  4 2   1 1    d12   a2   a3   d 22  cos 2  20  2  d1  d 2  cos  20   r32   2 4    



  



1 1   2  m3  r32  30  2  m3  d 2   a2   a3   sin  20  10  20  2 2   1 2 2 2 2 2 2 2  m3*  10  [d1  a2  a3   d 2  cos  20   d 3  cos 30  2  d1  d 2  cos  20  4 1 2  d1  d 3  cos 30  d 2  d 3  cos  20  cos 30   r3*  1  sin 2 30 ]  4 1 2 2 2 2 2  m3*  d 2  20   m3*  d 3  r3*  30  m3*  d 2  d 3  cos(30   20 )  20  30  4 2  m3  d 22  20 









 2  m3*  d 2  a2  a3   sin  20  10  20  m3*  d 3  a2  a3   sin 30  10  30

(32)



Ecuaţiile Lagrange de speţa a II-a utilizate au forma clasică (1) cunoscută:

d    dt  qk

     Qk  qk

(1)

cu k=1, 2, 3. Se utilizează expresia (32) a energiei cinetice a întregului sistem. Parametrii independenţi (coordonatele generalizate neolonome) se scriu sub forma (33). Qk reprezintă forţele generalizate (la noi ele sunt chiar momentele motoare ale actuatorilor).

q   ; q   ; q   ; 10 2 20 3 30  1  q1  10  10; q2  20  20; 

q3  30  30

(33)

Prima derivată (relaţia 34) este derivata parţială a energiei cinetice totale (a întregului sistem) la parametrul independent 10 (adică se derivează parţial energia cinetică a sistemului la viteza unghiulară a primului actuator).

64

 1 1   m1  r12  10   m1*  d12  r12*  10  10 2 4





1 1 1      m2   d12   a22   r22   10  m2*   d12  a22   r22*   10  4 4 4     1 1   m2*  10    d 22  cos 2  20  d1  d 2  cos  20   r22*  sin 2  20   4 4   

2   1 1   1  m2*  a2  d 2  20  sin  20  m3  10  d12   a2   a3    r32   2 2   4  





 m3  10  d 22  cos 2  20  2  d1  d 2  cos  20  1 1     2  m3  20  d 2   a2   a3   sin  20  m3*  10  d12  a2  a3    r32*   2 4     1   m3*  10   d 22  cos 2  20   d32  cos 2 30  2  d1  d 2  cos  20  4   d1  d3  cos 30  d 2  d3  cos  20  cos 30   m3*  20  d 2  a2  a3   sin  20 

1 2   r3*  sin 2 30   4 

1  m3*  30  d 3  a2  a3   sin 30 2

(34)

Expresia (34) obţinută se derivează absolut cu timpul şi se obţine relaţia (35). S-au considerat vitezele unghiulare constante în timp. d    1    m2*  10    d 22  cos  20  sin  20  20  d1  d 2  sin  20  20  dt  10   2 

1 2  1  r2*  sin  20  cos  20  20    m2*  a2  d 2  20  cos  20  20  2  2





 m3  10   2  d 22  cos  20  sin  20  20  2  d1  d 2  sin  20  20  1    m3  20  d 2   a2   a3   cos  20  20  m3*  10  2   1  2    2  d 2  cos  20  sin  20  20   d 32  cos 30  sin 30  30  2   2  d1  d 2  sin 2020  d1  d3  sin 30  30  d 2  d3  sin  20  20  cos 30 

(35)

1 2   r3*  sin 30  cos 30  30   2  1  m3*  20  d 2  a2  a3   cos  20  20   m3*  30  d3  a2  a3   cos 30  30 2  d 2  d3  cos  20  sin 30  30 

65

Urmează derivata parţială a energiei cinetice a întregului sistem cu parametrul independent 10 (36).

 0 10

(36)

Prima ecuaţie Lagrange (din cele trei) se poate scrie acum sub forma (37).

d        M10 dt  10  10

(37)

Înlocuind expresiile derivate mai sus în ecuaţia (37) aceasta capătă forma (38). Expresia (38) reprezintă variaţia necesară a momentului motor al primului actuator.

M 10  

d    1    m2*  10    d 22  cos  20  sin  20  20  d1  d 2  sin  20  20  dt  10   2

1 2  1  r2*  sin  20  cos  20  20    m2*  a2  d 2  20  cos  20  20  2  2





 m3  10   2  d 22  cos  20  sin  20  20  2  d1  d 2  sin  20  20  1    m3  20  d 2   a2   a3   cos  20  20  m3*  10  2   1  2    2  d 2  cos  20  sin  20  20   d32  cos 30  sin 30  30  2   2  d1  d 2  sin 2020  d1  d3  sin 30  30  d 2  d 3  sin  20  20  cos 30 

(38)

1 2   r3*  sin 30  cos 30  30   2  1  m3*  20  d 2  a2  a3   cos  20  20   m3*  30  d3  a2  a3   cos 30  30 2  d 2  d3  cos  20  sin 30  30 

În continuare repetăm procedura anterioară pentru elementul al doilea, derivând parţial energia cinetică totală a sistemului în raport cu coordonata generalizată 20 (care reprezintă viteza unghiulară a celui de al doilea actuator). Se obţine astfel relaţia (39).

66

 1 1   m2  r22  20   m2*  d 22  r22*  20  20 2 4





1  m2*  a2  d 2  sin  20  10  m3  d 22  20  2 1    m3  d 2   a2   a3   sin  20  10  m3*  d 22  20  2   1   m3*  d 2  d3  cos(30   20 )  30  2  m3*  d 2  a2  a3   sin  20  10 

(39)

Relaţia rezultată (39) se derivează a doua oară, de data asta absolut, în funcţie de timp şi se obţine expresia (40). Se consideră pe parcursul acestei derivări absolute că vitezele unghiulare ale actuatorilor nu variază în raport cu timpul (sunt aproximativ constante).

d    1     m2*  a2  d 2  cos  20  20  10  dt  20  2 1    m3  d 2   a2   a3   cos  20  20  10  2   1   m3*  d 2  d3  sin(30   20 )  30  20   30  2  m3*  d 2  a2  a3   cos  20  20  10

(40)

Urmează derivata parţială a energiei cinetice a sistemului în funcţie de deplasarea unghiulară a celui de al doilea actuator (41).

67

 1 1    m2*  d 22  cos  20  sin  20  102   m2*  d1  d 2  sin  20  102   20 4 2 1 1  m2*  r22*  sin  20  cos  20  102   m2*  a2  d 2  cos  20  10  20  4 2  m3  d 22  cos  20  sin  20  102  m3  d1  d 2  sin  20  102  

(41)

1    m3  d 2   a2   a3   cos  20  20  10  m3*  d 22  cos  20  sin  20  102  2   1  m3*  d1  d 2  sin  20  102   m3*  d 2  d 3  sin  20  cos 30  102  2 1   m3*  d 2  d3  sin(30   20 )  20  30  m3*  d 2  a2  a3   cos  20  10  20 2

Utilizând relaţiile (40) şi (41) introduse în ecuaţia Lagrange (42) se obţine expresia (43) a variaţiei momentului motor al celui de al doilea actuator.

d        M 20 dt  20  20 1 2 M 20    m3*  d 2  d3  sin(30   20 )  30  2 1     m3  m3*   m2*   d 22  cos  20  sin  20  102  4   1   m2*  r22*  cos  20  sin  20  102  4 1     m3  m3*   m2*   d1  d 2  sin  20  102  2   1   m3*  d 2  d3  sin  20  cos 30  102 2

(42)

(43)

Se derivează acum parţial energia cinetică totală a sistemului şi pentru elementul al treilea, derivând parţial energia cinetică totală a sistemului în raport cu coordonata generalizată 30 (care reprezintă viteza unghiulară a celui de al treilea actuator). Se obţine astfel relaţia (44).

68

 1   m3*  30  d32  r32*  30 4





1  m3*  d 2  d3  20  cos(30   20 )  2 1   m3*  d3  a2  a3   sin 30  10 2 

(44)

Se derivează absolut în funcţie de timp expresia (44) obţinută, considerând vitezele unghiulare ale actuatorilor aproximativ constante în timp, şi se obţine relaţia (45).

d    1      m3*  d 2  d3  sin(30  20 )  30  20   20  dt  30  2 (45) 1   m3*  d3  a2  a3   cos 30  30  10 2 Se derivează parţial energia cinetică a întregului sistem în funcţie de deplasarea unghiulară a celui de al treilea actuator şi rezultă expresia (46).

 1    m3*  d 32  cos  30  sin  30  102   30 4 1 1   d 1  d 3  m3*  sin  30  102   m3*  d 2  d 3  cos  20  sin  30  102  (46) 2 2 1 1   m3*  r32*  sin  30  cos  30  102   m3*  d 2  d 3  sin( 30   20 )  4 2 1   20   30   m3*  d 3  a 2  a 3   cos  30  10   30 2 Utilizând relaţiile (45) şi (46) prin introducerea lor în ecuaţia Lagrange (47) se obţine expresia (48) a variaţiei momentului motor al celui de al treilea actuator.

69

d        M 30 dt  30  30

M 30 

(47)

1 2  m3*  d 2  d 3  sin( 30   20 )   20  2

1   m3*  d 2  d 3  cos  20  sin  30  102  2 1   m3*  d 32  cos  30  sin  30  102  4 1   m3*  r32*  cos  30  sin  30  102  4 1   m3*  d 1  d 3  sin  30  102 2

(48)

Utilizând expresiile (38), (43), şi (48), se pot determina variaţiile momentelor motoare, momentelor actuatorilor, pentru întreaga plajă de utilizare. Se utilizează deplasările şi vitezele unghiulare determinate la primele cursuri, valori care se dau sub forma unor funcţii (în cinematica directă), se obţin din relaţiile studiate (în cinematica indirectă), sau se determină din condiţiile impuse endefectorului pentru a parcurge anumite traiectorii optimizate (prestabilite), (a se revedea cursul 5). Se poate face o sinteză dinamică pentru alegerea optimă a celor trei

actuatori.

Interesant este faptul că momentele motoarelor depind de masele, formele şi dimensiunile elementelor, dar şi de parametrii cinematici ai actuatorilor, 10 , 20 , 20 , 30 , 30 , mai puţin 10 . Deci motoarele nu sunt influenţate dinamic de poziţia primului element, sau mai clar spus de unghiul de rotaţie al primului element (vezi figura 1), mişcarea reală, dinamică fiind influenţată doar de poziţiile elementelor doi şi trei, cât şi de vitezele unghiulare ale celor trei actuatori (motoare de acţionare).

70

Sistemele mecatronice seriale pot fi tratate mai simplu ȋn plan (2R) În figura 1 este prezentată schema geometro-cinematică a unei structuri de bază 3R.

Fig. 1. Schema geometro-cinematică a unei structuri 3R moderne (antropomorfe)

Pornind de la această platformă se poate studia prin adaus orice altă schemă, n-R modernă. Platforma (sistemul) din figura 1, are trei grade de mobilitate, realizate prin trei actuatoare (motoare electrice) sau actuatori. Primul motor electric antrenează întregul sistem într-o mişcare de rotaţie în jurul unui ax vertical O0z0. Motorul (actuatorul) numărul 1, este montat pe elementul fix (batiu, 0) şi antrenează elementul mobil 1 într-o mişcare de rotaţie, în jurul unui ax vertical. Pe elementul mobil 1, se construiesc apoi toate celelalte elemente (componente) ale sistemului. Urmează un lanţ cinematic plan (vertical), format din două elemente mobile şi două cuple cinematice motoare. E vorba de elementele cinematice mobile 2 şi 3, ansamblul 2,3 fiind mişcat de actuatorul al doilea montat în cupla A, fix pe elementul 1. Deci al doilea motor electric fixat de elementul 1 va antrena elementul 2 în mişcare de rotaţie relativă faţă de elementul 1, dar automat el va mişca întregul lanţ cinematic 2-3.

71

Ultimul actuator (motor electric) fixat de elementul 2, în B, va roti elementul 3 (relativ în raport cu 2). Rotaţia 10 realizată de primul actuator, este şi relativă (între elementele 1 şi 0) şi absolută (între elementele 1 şi 0). Rotaţia 20 realizată de al doilea actuator, este şi relativă (între elementele 2 şi 1) şi absolută (între elementele 2 şi 0), datorită poziţionării sistemului. Rotaţia =32 realizată de al treilea actuator, este doar relativă (între elementele 3 şi 2), cea absolută corespunzătoare (între elementele 3 şi 0) fiind o funcţie de =32 şi de 20. Lanţul cinematic 2-3 (format din elementele cinematice mobile 2 şi 3) este un lanţ cinematic plan, care se încadrează într-un singur plan sau în unul sau mai multe plane paralele. El reprezintă un sistem cinematic aparte, care va fi studiat separat. Se va considera elementul 1 de care este prins lanţul cinematic 2-3 ca fiind fix, cuplele cinematice motoare A(O2) şi B(O3) devenind prima cuplă fixă, iar cea dea doua cuplă mobilă, ambele fiind cuple cinematice C5, de rotaţie. Pentru determinarea gradului de mobilitate al lanţului cinematic plan 2-3, se aplică formula structurală dată de relaţia (1), unde m reprezintă numărul elementelor mobile ale lanţului cinematic plan, în cazul nostru m=2 (fiind vorba de cele două elemente cinematice mobile notate cu 2 şi respectiv 3), iar C5 reprezintă numărul cuplelor cinematice de clasa a cincea, în cazul de faţă C5=2 (fiind vorba de cuplele A şi B sau O2 şi O3).

M 3  3  m  2  C5  3  2  2  2  6  4  2

(1)

Lanţul cinematic 2-3 având gradul de mobilitate 2, trebuie să fie acţionat de două motoare. Se preferă ca cei doi actuatori să fie două motoare electrice, de curent continuu, sau alternativ. Acţionarea se poate realiza însă şi cu altfel de motoare. Motoare hidraulice, pneumatice, sonice, etc. Schema structurală a lanţului cinematic plan 2-3 (fig. 2) seamănă cu schema sa cinematică. 72

Fig. 2. Schema structurală a lanţului cinematic plan 2-3 legat la elementul 1 considerat fix

Elementul conducător 2 este legat de elementul considerat fix 1 prin cupla motoare O2, iar elementul conducător 3 este legat de elementul mobil 2 prin cupla motoare O3. Rezultă un lanţ cinematic deschis cu două grade de mobilitate, realizate de cele două actuatoare, adică de cele două motoare electrice, montate în cuplele cinematice motoare A şi B sau O2 respectiv O3.

73

Cinematica directă a lanţului plan 2-3

deschis.

În figura 3 se poate urmări schema cinematică a lanţului plan 2-3

Fig. 3. Schema cinematică a lanţului cinematic plan 2-3 legat la elementul 1 considerat fix

În cinematica directă se cunosc parametrii cinematici ϕ20 şi ϕ30 şi trebuiesc determinaţi prin calcul analitic parametrii xM şi yM, care reprezintă coordonatele scalare ale punctului M (endefectorul M). Se proiectează vectorii d2 + d3 pe sistemul de axe cartezian considerat fix, xOy, identic cu x2O2y2. Se obţine sistemul de ecuaţii scalare (2).

  x2 M  xM  xO3  x3M  d 2  cos  20  d 3  cos 30  d  cos     y2 M  yM  yO3  y3M  d 2  sin  20  d 3  sin 30  d  sin 

(2)

După ce se determină coordonatele carteziene ale punctului M cu ajutorul relaţiilor date de sistemul (2), se pot obţine imediat şi parametrii unghiului  cu ajutorul relaţiilor stabilite în cadrul sistemului (3). 74

  2 2 2 d  x M  y M  2 2 d  x M  y M  xM xM  cos   2 d xM  y M2   yM sin   y M  2  d xM  y M2    semn(sin  )  arccos(cos  )

(3)

Sistemul (2) se scrie mai concis în forma (4) care se derivează în funcţie de timp, obţinându-se sistemul de viteze (5), care derivat cu timpul generează la rândul său sistemul de acceleraţii (6).

 xM  d 2  cos  20  d 3  cos  30   d  cos   d  cos(     )  2 20 3 20   y M  d 2  sin  20  d 3  sin  30    d 2  sin  20  d 3  sin(   20   )

(4)

vMx  x M  d 2  sin  20  20  d 3  sin 30  30    d 2  sin  20  20  d 3  sin 30  (  20 )  y vM  y M  d 2  cos  20  20  d 3  cos 30  30   d  cos     d  cos   (   ) 20 20 3 30 20  2

(5)

2 2 aMx  xM  d 2  cos  20  20  d 3  cos  30  30   2 2  d 2  cos  20  20  d 3  cos  30  (  20 )  y 2 2 aM  yM  d 2  sin  20  20  d 3  sin 30  30   d  sin    2  d  sin   (   ) 2 2 20 20 3 30 20 

(6)

75

Observaţie: vitezele unghiulare ale actuatorilor s-au considerat constante (relaţiile 7).

20  20  ct ;   ct  si 30  ct .

(7)

Se considerã  20     30  0. Relaţiile (3) se derivează şi ele şi se obţin sistemul de viteze (8) şi cel de acceleraţii (9).

d 2  xM2  y M2  2  d  d  2  xM  x M  2  y M  y M   d  d  xM  x M  y M  y M   d  xM  x M  y M  y M  d   d  cos   xM  d  sin   y M d  cos   d  sin     x M | ( sin  )  d  sin   d  cos     y M | (cos  )   _____________________________ d    x M  ( sin  )  y M  (cos  )    y  cos   x M  sin    M d   ______________________________  d  xM  x M  y M  y M  d

76

(8)

d 2  xM2  y M2  2  d  d  2  xM  x M  2  y M  y M   d  d  xM  x M  y M  y M d 2  d  d  x 2  x  x  y 2  y  y M M M M M M    2 2 2 d  x M  xM  xM  y M  y M  yM  d  d   d  cos   xM  d  sin   y M d  cos   d  sin     x | ( sin  ) M  d  sin   d  cos     y | (cos  ) M   _____________________________ d     x  sin   y  cos  M M    d    d    yM  cos   y M  sin      x  sin   x  cos    M  M      yM  cos   xM  sin   y M  sin     x M  cos     d    d  _______________________________________________   x 2  xM  xM  y M2  y M  yM  d 2 d  M d 

(9)

În continuare se vor determina poziţiile, vitezele şi acceleraţiile, în funcţie de poziţiile scalare ale punctului O3. Se porneşte de la coordonatele scalare ale punctului O3 (10).

77

  xO3  d 2  cos  20    yO3  d 2  sin  20

(10)

Se determină apoi vitezele scalare, şi acceleraţiile punctului O3, prin derivarea succesivă a sistemului (10), în care se înlocuiesc după derivare produsele d.cos sau d.sin cu poziţiile respective, xO3 sau yO3, care devin în acest fel variabile (a se vedea relaţiile 11 şi 12).

  xO3  d 2  sin  20  20   yO3  20    y O3  d 2  cos  20  20  xO3  20 2 2  xO3  d 2  cos  20  20   xO3  20  2 2   yO3  d 2  sin  20  20   yO3  20

(11)

(12)

S-au pus astfel în evidenţă vitezele şi acceleraţiile scalare ale punctului O3 în funcţie de poziţiile iniţiale (scalare) şi de viteza unghiulară absolută a elementului 2. Viteza unghiulară s-a considerat constantă.

Aplicaţii: Tehnica determinării vitezelor şi acceleraţiilor în funcţie de poziţii, este extrem de utilă în studiul dinamicii sistemului, a vibraţiilor şi zgomotelor provocate de sistemul respectiv. Această tehnică este des întâlnită în studiul vibraţiilor sistemului. Se cunosc vibraţiile poziţiilor scalare ale punctului O3 şi se determină apoi cu uşurinţă vibraţiile vitezelor şi acceleraţiilor punctului respectiv cât şi a altor puncte ale sistemului toate ca funcţii de poziţiile scalare cunoscute ale punctului O3. Tot prin această tehnică se pot calcula nivelele de zgomot locale în diverse puncte ale sistemului, cât şi nivelul global de zgomot generat de sistem, cu o aproximaţie suficient de mare în comparaţie cu zgomotele obţinute prin măsurători experimentale, cu aparatura adecvată. Studiul dinamicii sistemului poate fi dezvoltat şi prin această tehnică.

(13). 78

Viteza absolută a punctului O3 (modulul vitezei) este dată de relaţia

2 2 vO3  xO2 3  y O2 3  d 22  20  sin 2  20  d 22  20  cos 2  20  2  d 22  20  d 2  20

(13)

Acceleraţia absolută a punctului O3 pentru viteză unghiulară constantă, este dată de relaţia (14). 4 4 aO3  xO2 3  yO2 3  d 22  20  cos 2  20  d 22  20  sin 2  20 

 d  2 2

4 20

 d2  

(14)

2 20

În continuare se vor determina parametrii cinematici scalari ai punctului M, endefector, în funcţie şi de parametrii de poziţie ai punctelor O3 şi M (sistemele de relaţii 15-17) .

 xM  xO3  d 3  cos  30   y M  yO3  d 3  sin  30  d 3  cos  30  xM  xO3 d  sin   y  y 30 M O3  3    xM  xO3  d 3  sin  30   30    y    ( y  y )  (  )  O3 20 O3 M 20   y    y  (  )  ( y  y )    y   M 20 O3 M M 20  O3    y M  y O3  d 3  cos  30  30     xO3   20  ( xM  xO3 )  ( 20   )       xM  ( 20   )  xO3    ( xM  xO3 )    xM   20  y  y  d  cos   (  ) M 3 30 20  O3  x  x  d  sin   (  ) O3 3 30 20  M

(15)

(16)

79

 xM  ( y O3  y M )    y M   20   yM  ( x M  xO3 )    x M   20    y  y  ( x  x )  (  ) M O3 M 20  O3  x  x  ( y  y )  (  ) O3 O3 M 20  M   2     xM  ( xO3  xM )  ( 20   )    ( xO3  xM )     20  xM   20  2     yM  ( yO3  y M )  ( 20   )    ( yO3  y M )     20  y M   20     2  2  xM  2  ( xO3  xM )     20  ( xO3  xM )    xM   20  y  2  ( y  y )      ( y  y )   2  y   2 O3 M 20 O3 M M 20  M   2 2  xM  ( xO3  xM )  (2     20   )  xM   20  2  2  yM  ( yO3  y M )  (2     20   )  y M   20   2  xM  ( xO  xM )  ( 20  ) 2  xO   20 3 3  2  yM  ( yO3  y M )  ( 20  ) 2  yO3   20 

80

(17)

Cinematica inversă a lanţului plan 2-3.

deschis.

În figura 4 se poate urmări schema cinematică a lanţului plan 2-3

Fig. 4. Schema cinematică a lanţului cinematic plan 2-3 legat la elementul 1 considerat fix

În cinematica inversă se cunosc parametrii cinematici xM şi yM, care reprezintă coordonatele scalare ale punctului M (endefectorul M) şi trebuiesc determinaţi prin calcule analitice parametrii 20 şi 30. Se determină mai întâi parametrii intermediari d şi φ cu relaţiile (3) deja cunoscute.

 2 2 2 2 2 d  x M  y M ; d  x M  y M  xM xM y  ; sin   M  cos   d d xM2  y M2    semn(sin  )  arccos(cos  ) 

yM xM2  y M2

(3)

81

În triunghiul oarecare O2O3M se cunosc lungimile celor trei laturi ale sale, d2, d3 (constante) şi d (variabilă), astfel încât se pot determina în funcţie de lungimile laturilor toate celelalte elemente ale triunghiului, mai exact unghiurile sale, şi funcţiile trigonometrice ale lor (ne interesează în mod deosebit sin şi cos).

Pentru determinarea unghiurilor  20 si 30 se pot utiliza diverse metode, dintre care se vor prezenta în continuare două dintre ele (ca fiind cele mai reprezentative): metoda trigonometrică şi metoda geometrică. o Metoda Trigonometrică

Determinarea poziţiilor Se scriu ecuaţiile de poziţii scalare (18):

d 2  cos  20  d 3  cos 30  xM d  sin   d  sin   y 20 3 30 M  2  2 2 cos  20  sin  20  1 cos 2   sin 2   1 30 30 

(18)

Problema acestor două ecuaţii scalare, trigonometrice, cu două necunoscute (  20 si 30 ) este că ele transced (sunt ecuaţii trigonometrice, transcedentale, unde necunoscuta nu apare direct 20 ci sub forma cos20 şi sin20, astfel încât în realitate în cadrul celor două ecuaţii trigonometrice nu mai avem două necunoscute ci patru: cos20, sin20, cos30 şi sin30). Pentru rezolvarea sistemului avem nevoie de încă două ecuaţii, astfel încât în sistemul (18) s-au mai adăugat încă două ecuaţii trigonometrice, mai exact ecuaţiile trigonometrice de bază „de aur” cum li se mai zice, pentru unghiul 20 şi separat pentru unghiul 30. În vederea rezolvării primele două ecuaţii ale sistemului (18) se scriu sub forma (19).

d 2  cos  20  xM  d 3  cos 30  d 2  sin  20  yM  d 3  sin 30 82

(19)

Fiecare ecuaţie a sistemului (19) se ridică la pătrat, după care se însumează ambele ecuaţii (ridicate la pătrat) şi se obţine ecuaţia de forma (20).

d 22  (cos 2  20  sin 2  20 )  xM2  yM2  2  d 2  xM  cos  20   2  d 2  yM  sin  20  d 32  (cos 2 30  sin 2 30 )

(20)

Acum este momentul să se utilizeze cele două „ecuaţii de aur” trigonometrice scrise în finalul sistemului (18), cu ajutorul cărora ecuaţia (20) capătă forma simplificată (21).

d 22  xM2  yM2  2  d 2  xM  cos 20  2  d 2  yM  sin 20  d32 (21) Se aranjează termenii ecuaţiei (21) în forma mai convenabilă (22).

d 22  d32  xM2  yM2  2  d 2  ( xM  cos 20  yM  sin 20 )

(22)

Se împarte ecuaţia (22) cu 2.d2 şi rezultă o nouă formă (23).

xM  cos  20  yM  sin  20 

d 22  d 32  xM2  yM2 2  d2

(23)

Din figura 7 se observă relaţia (24) care e scrisă şi în sistemul (3).

xM2  yM2  d 2

(24)

Se introduce (24) în (23) şi se amplifică fracţia din dreapta cu d, astfel încât expresia (23) să capete forma (25), convenabilă.

xM  cos  20  yM  sin  20 

d 22  d 2  d 32 d 2  d2  d

(25)

83

Acum e momentul introducerii expresiei cosinusului unghiului O2, în funcţie de laturile triunghiului oarecare O2O3M (26).

d 2  d 2  d 32 cos Oˆ 2  2 2  d2  d

(26)

Cu relaţia (26) ecuaţia (25) capătă forma simplificată (27).

xM  cos 20  d  cos Oˆ 2   yM  sin 20

(27)

Dorim să eliminăm sinφ20, fapt pentru care am izolat termenul în sin, şi se ridică la pătrat ecuaţia (27), pentru ca prin utilizarea ecuaţiei de aur trigonometrice a unghiului φ20 să transformăm sin în cos, ecuaţia devenind una de gradul al doilea în cosφ20. După ridicarea la pătrat (27) capătă forma (28).

xM2  cos 2  20  d 2  cos 2 Oˆ 2  2  d  xM  cos Oˆ 2  cos  20   yM2  sin 2  20

(28)

Se utilizează formula de aur şi expresia (28) capătă forma (29) care se aranjează convenabil prin gruparea termenilor aducându-se la forma (30).

xM2  cos 2  20  d 2  cos 2 Oˆ 2  2  d  xM  cos Oˆ 2  cos  20   yM2  yM2  cos 2  20 ( xM2  yM2 )  cos 2  20  2  d  xM  cos Oˆ 2  cos  20   ( y 2  d 2  cos 2 Oˆ )  0 M

(29)

(30)

2

Discriminantul ecuaţiei (30) de gradul doi în cos obţinute se calculează cu relaţia (31).

84

  d 2  xM2  cos 2 Oˆ 2  d 2  ( y M2  d 2  cos 2 Oˆ 2 )   d 2  ( x 2  cos 2 Oˆ  y 2  d 2  cos 2 Oˆ )  M

2

M

2

 d 2  ( y M2  y M2  cos 2 Oˆ 2 )  d 2  y M2  (1  cos 2 Oˆ 2 )  d 2  y M2  sin 2 Oˆ 2

(31)

Radicalul de ordinul doi din discriminant se exprimă sub forma (32).

R    d 2  yM2  sin 2 Oˆ 2  d  yM  sin Oˆ 2

(32)

Soluţiile ecuaţiei (30) de gradul doi în cos se scriu sub forma (33).

d  xM  cos Oˆ 2  d  y M  sin Oˆ 2  d2 x  cos Oˆ 2  y M  sin Oˆ 2  M  d x y  M  cos Oˆ 2  M  sin Oˆ 2 d d

cos  201, 2 

(33)

În continuare în soluţiile (33) se înlocuiesc rapoartele cu funcţiile trigonometrice corespunzătoare ale unghiului , expresiile (33) căpătând forma (34).

xM y  cos Oˆ 2  M  sin Oˆ 2  d d  cos   cos Oˆ 2  sin   sin Oˆ 2  cos(  Oˆ 2 )

cos  201, 2 

(34)

cos  20  cos(  Oˆ 2 ) Ne întoarcem acum la ecuaţia (27) pe care o ordonăm în forma (35), cu scopul rezolvării ei în sin. Ecuaţia (35) se ridică la pătrat şi prin utilizarea ecuaţiei de aur trigonometrice a unghiului φ20 se obţine forma (36). 85

xM  cos 20  d  cos Oˆ 2  yM  sin 20

(35)

 xM2  cos 2  20  d 2  cos 2 Oˆ 2  y M2  sin 2  20    2  y M  d  cos Oˆ 2  sin  20    x 2  x 2  sin 2   d 2  cos 2 Oˆ  y 2  sin 2   M 20 2 M 20  M  2  y M  d  cos Oˆ 2  sin  20 (36)    2 2 2 ˆ ( xM  y M )  sin  20  2  y M  d  cos O2  sin  20   ( x 2  d 2  cos 2 Oˆ )  0 M 2    2 d  sin 2  20  2  y M  d  cos Oˆ 2  sin  20  ( xM2  d 2  cos 2 Oˆ 2 )  0 Discriminantul ecuaţiei (36) de gradul doi în cos ia forma (37).

  y M2  d 2  cos 2 Oˆ 2  d 2  ( xM2  d 2  cos 2 Oˆ 2 )   d 2  ( xM2  y M2  cos 2 Oˆ 2  xM2  cos 2 Oˆ 2  y M2  cos 2 Oˆ 2 )   d 2  ( x 2  x 2  cos 2 Oˆ )  d 2  x 2  sin 2 Oˆ M

M

2

M

(37)

2

Soluţiile ecuaţiei (36) se scriu sub forma (38).

y M  d  cos Oˆ 2  xM  d  sin Oˆ 2  d2 y  cos Oˆ 2  xM  sin Oˆ 2 y M x  M   cos Oˆ 2  M  sin Oˆ 2  d d d (38)  sin   cos Oˆ 2  cos   sin Oˆ 2  sin(  Oˆ 2 )

sin  20 

sin  20  sin(  Oˆ 2 ) 86

Am obţinut relaţiile (39), din care se deduce relaţia de bază (40).

 cos  20  cos(  Oˆ 2 )  ˆ  sin  20  sin(  O2 )

20    Oˆ 2

(39)

(40)

Se repetă procedura şi pentru determinarea unghiului 30, pornind din nou de la sistemul (18), în care primele două ecuaţii transcedentale se rescriu sub forma (41), în vederea eliminării unghiului 20 de data aceasta.

d 2  cos  20  d 3  cos 30  xM d  sin   d  sin   y 20 3 30 M  2  2 2 cos  20  sin  20  1 cos 2   sin 2   1 30 30 

(18)

d 2  cos  20  xM  d 3  cos 30  d 2  sin  20  yM  d 3  sin 30

(41)

Se ridică cele două ecuaţii ale sistemului (41) la pătrat şi se adună, rezultând ecuaţia de forma (42), care se aranjează în formele mai convenabile (43) şi (44).

d 22  xM2  yM2  d32  2  d3  xM  cos 30  2  d3  yM  sin 30

xM  cos 30  yM  sin 30  d 

d 2  d 32  d 22 2  d  d3

xM  cos 30  yM  sin 30  d  cos Mˆ

(42)

(43)

(44)

87

Dorim să-l determinăm mai întâi pe cos astfel încât vom izola pentru început termenul în sin, ecuaţia (44) punându-se sub forma (45), care prin ridicare la pătrat generează expresia (46), expresie ce se aranjează sub forma (47).

xM  cos 30  d  cos Mˆ   yM  sin 30

(45)

xM2  cos 2 30  d 2  cos 2 Mˆ  2  d  xM  cos Mˆ  cos 30 

(46)

 yM2  yM2  cos 2 30

d 2  cos 2 30  2  d  xM  cos Mˆ  cos 30  ( yM2  d 2  cos 2 Mˆ )  0 (47) Ecuaţia (47) este o ecuaţie de gradul II în cos, cu soluţiile date de expresia (48).

cos  30   

d  xM  cos Mˆ  d 2  xM2  cos 2 Mˆ  d 2  ( y M2  d 2  cos 2 Mˆ ) d2



d  xM  cos Mˆ  d 2  y M2  (1  cos 2 Mˆ )

 d2 d  xM  cos Mˆ  d  y M  sin Mˆ   d2 x y  M  cos Mˆ  M  sin Mˆ  cos   cos Mˆ  sin   sin Mˆ  d d  cos(  Mˆ )

(48)

cos  30  cos(  Mˆ ) Scriem în continuare ecuaţia (44) sub forma (49), unde se izolează de data aceasta termenul în cos în vederea eliminării sale, pentru a-l putea determina pe sin. 88

xM  cos 30  d  cos Mˆ  yM  sin 30

(49)

Ecuaţia (49) se ridică la pătrat şi se obţine ecuaţia de forma (50), care se aranjează sub forma convenabilă (51).

xM2  (1  sin 2 30 )   d 2  cos 2 Mˆ  yM2  sin 2 30  2  yM  d  cos Mˆ  sin 30

(50)

d 2  sin 2 30  2  yM  d  cos Mˆ  sin 30  ( xM2  d 2  cos 2 Mˆ )  0 (51) Expresia (51) este o ecuaţie de geadul II în sin, care admite soluţiile date de relaţia (52).

sin  30   

d  y M  cos Mˆ  d 2  y M2  cos 2 Mˆ  d 2  ( xM2  d 2  cos 2 Mˆ ) d2



d  y M  cos Mˆ  d 2  xM2  (1  cos 2 Mˆ )

 d2 d  y M  cos Mˆ  d  xM  sin Mˆ   d2 y x  M  cos Mˆ  M  sin Mˆ  sin   cos Mˆ  cos   sin Mˆ  d d ˆ  sin(  M )

(52)

sin  30  sin(  Mˆ ) Se reţin relaţiile (53) din care se deduce şi expresia (54).

 cos 30  cos(  Mˆ ) (53)  ˆ)  sin   sin(   M 30 

30    Mˆ

(54)

89

Determinarea vitezelor şi acceleraţiilor Determinarea vitezelor Din sistemul (8) se reţin doar relaţiile (55), necesare în studiul vitezelor la cinematica inversă. Se porneşte de la relaţia care leagă cosinusul

unghiului Oˆ 2 de laturile triunghiului, relaţie care se derivează în funcţie de

 timp, şi se obţine astfel valoarea Oˆ 2 scris mai simplu, O 2 (relaţiile 56).

y M  cos   x M  sin     d  d  xM  x M  y M  y M  d

2  d 2  d  cos O2  d 22  d 32  d 2    2  d 2  d  cos O2  2  d 2  d  sin O2  O 2  2  d  d      O  d 2  d  cos O2  d  d 2  d 2  d  sin O2

(55)

(56)

Se derivează relaţia (40) şi se obţine viteza unghiulară 20   20 (relaţia 57).

20    Oˆ 2

(40)

20  20    O 2

(57)

Pentru a-l determina pe  20 (relaţia 57) avem nevoie de  care se calculează din (55), şi de O 2 care se determină din (56). La rândul său O 2 necesită pentru calculul său d care se calculează tot din sistemul (55).

90

Vitezele de intrare x M si y M se cunosc, sunt impuse ca date de intrare, sau se aleg convenabil, ori se pot calcula pe baza unor criterii impuse. În mod similar se determină şi viteza unghiulară 30  30 .

2  d 3  d  cos M  d 32  d 22  d 2    2  d 3  d  cos M  2  d 3  d  sin M  M  2  d  d      M  d 3  d  cos M  d  d  d 3  d  sin M

(58)

Se derivează relaţia (54) pentru a obţine viteza unghiulară

30  30 , (expresia 59).  se calculează cu expresia deja cunoscută din sistemul (55), iar M se determină din sistemul (58) şi cu ajutorul sistemului (55) care-l determină şi pe d .

30    Mˆ

30  30    M

(54)

(59)

Determinarea acceleraţiilor Din sistemul (9) se reţin doar relaţiile (60), necesare în studiul acceleraţiilor în cinematica inversă. Relaţia din sistemul (56) se derivează a doua oară cu timpul, şi se obţine sistemul (61).

 y  cos   xM  sin   y M  sin     x M  cos     d     M   d (60)  2 2 2       x  x  x  y  y  y  d d  M M M M M M  d 

91

2  d 2  d  cos O2  d 22  d 32  d 2   2  d  d  cos O  2  d  d  sin O  O  2  d  d  2 2 2 2 2     d 2  d  sin O2  O2  d 2  d  cos O2  d  d    dd 2 cos O2  dd  2dd 2 sin O2  O 2  dd 2 cos O2  O 22  d 2   O2   d 2  d  sin O2

(61)

În continuare se derivează expresia (57) şi se obţine relaţia (62), care generează acceleraţia unghiulară absolută  2   20 , care se calculează cu 

 scos din sistemul (61), iar pentru scos din sistemul (60), şi cu O 2  mai este necesar d scos tot din (60). determinarea lui O 2

20  20    O 2   2   20   20  20    O 2

(57)

(62)

Acum se derivează a doua oară (58) şi se obţine sistemul (63).

2  d 3  d  cos M  d 32  d 22  d 2   2  d  d  cos M  2  d  d  sin M  M  2  d  d  3 3   d 3  d  sin M  M  d 3  d  cos M  d  d         2 2   dd 3 cos M  dd  2dd 3 sin M  M  dd 3 cos M  M  d M  d 3  d  sin M

92

(63)

Se derivează din nou cu timpul relaţia (59), şi se obţine expresia (64)  . a acceleraţiei unghiulare absolute  3   30 care se determină cu  şi M

 se scoate din sistemul (63), şi  se scoate din sistemul (60), iar M are nevoie şi de d care se scoate tot din sistemul (60).

30  30    M

(59)

  3   30   30  30    M

(64)

oo Metoda Geometrică Determinarea poziţiilor Se porneşte prin scrierea ecuaţiilor de poziţii, geometrice (geometro-analitice) (65). Coordonatele scalare (xM, yM) ale punctului M (endefectorul) sunt cunoscute, şi trebuiesc determinate şi coordonatele scalare ale punctului O3, pe care le vom nota cu (x, y). Relaţiile sistemului (65) se obţin prin scrierea ecuaţiilor geometroanalitice ale celor două cercuri, de raze d3 şi respectiv d2. 2 2 2  ( x  xM )  ( y  yM )  d 3  2 2 2  x  y  d 2

(65)

Se desfac binoamele primei ecuaţii a sistemului, se introduce ecuaţia a doua în prima, se mai utilizează şi expresia lui d 2  xM2  yM2 , se amplifică fracţia cu factorul convenabil d  d 2 , şi se obţine expresia finală din sistemul (66), care se scrie împreună cu ecuaţia a doua a sistemului (65) în noul system (67), care trebuie rezolvat.

93

 d 22  d 2  d 32  xM  x  y M  y  2    d 22  d 2  d 32   xM  x  y M  y  d  d 2  2  d  d2     xM  x  y M  y  d  d 2  cos O2 

(66)

 xM  x  y M  y  d  d 2  cos O2   x 2  y 2  d 2 2 

(67)

Din prima ecuaţie a sistemului (67) se explicitează valoarea lui y, care se ridică şi la pătrat (68).

 d  d 2  cos O2  xM  x y  yM    2 2 2 2 2  y 2  d  d 2  cos O2  xM  x  2  xM  d 2  d  cos O2  x  y M2

(68)

Expresia a doua a lui (68) se introduce în relaţia a doua a lui (67) şi se obţine ecuaţia (69), care se aranjează convenabil sub forma (70).

yM2  x 2  d 2  d 22  cos 2 O2  xM2  x 2   2  xM  d 2  d  cos O2  x  yM2  d 22  0 d 2  x 2  2  xM  d 2  d  cos O2  x  d 22  ( yM2  d 2  cos 2 O2 )  0

94

(69)

(70)

Ecuaţia (70) este o ecuaţie de gradul II în x, care admite soluţiile reale (71).

x   

xM  d 2  d  cos O2  d2 xM2  d 22  d 2  cos O2  d 2  d 22  ( y M2  d 2  cos 2 O2 ) d2

xM  d 2  d  cos O2  d 2  d  y M  1  cos 2 O2 d2 xM  d 2  cos O2  d 2  y M  sin 2 O2

d x  d  cos O2  d 2  y M  sin O2  M 2  d y x   d 2   M  cos O2  M  sin O2   d  d   d 2  cos   cos O2  sin   sin O2  





 (71)

 d 2  cos   O2 

x  d 2  cos   O2 

În continuare se determină şi necunoscuta y, introducând valoarea x obţinută la (71) în prima relaţie a sistemului (68). Se obţine expresia (72).

y x  d  d 2  cos O2  xM  d 2   M  cos O2  M  sin O2  d  d  y yM





d 2  ( xM2  y M2 )  cos O2  xM2  cos O2  xM  y M  sin O2   d  yM x y   d 2   M  cos O2  M  sin O2   d  d   d 2  sin   cos O2  cos   sin O2  

(72)

 d 2  sin   O2 

95

Din (71) şi (72) reţinem doar ultimile expresii concentrate în (73).

 x  d 2  cos  O2    y  d 2  sin   O2 

(73)

Din figura (7) se pot scrie ecuaţiile (74).

 x  d 2  cos  20   y  d 2  sin  20

(74)

Comparând sistemele (73) şi (74) rezultă sistemul (75), din care se deduce direct relaţia (76).

cos  20  cos  O2   sin  20  sin   O2 

(75)

20    O2

(76)

Determinarea vitezelor Se pleacă de la sistemul de poziţii (65) care se derivează în funcţie de timp şi se obţine sistemul de viteze (77). Sistemul (77) se rescrie sub forma simplificată (78). 2 2 2  ( x  xM )  ( y  yM )  d 3  2 2 2  x  y  d 2

2  ( x  xM )  ( x  x M )  2  ( y  yM )  ( y  y M )  0  2  x  x  2  y  y  0 96

(65)

(77)

( x  xM )  x  ( y  yM )  y  ( x  xM )  x M  ( y  yM )  y M   x  x  y  y  0

(78)

În (78) desfacem parantezele şi obţinem sistemul (79).

 x  x  y  y  ( xM  x  yM  y )  ( x  xM )  x M  ( y  yM )  y M   x  x  y  y  0

(79)

Se introduce relaţia a doua a sistemului (79) în prima, după care prima expresie se înmulţeşte cu (-1), astfel încât sistemul se simplifică, căpătând forma (80).

 xM  x  yM  y  ( xM  x)  x M  ( yM  y)  y M   x  x  y  y  0

(80)

Sistemul (80) se rezolvă în doi paşi. La primul pas se înmulţeşte prima relaţie a sistemului cu (y), iar cea de-a doua cu (-yM), după care expresiile rezultate se adună membru cu membru obţinându-se relaţia (81) în care se explicitează x . La pasul doi dorim să-l obţinem pe y fapt pentru care se înmulţeşte prima relaţie a sistemului (80) cu (x) iar cea de-a doua cu (-xM), se adună relaţiile obţinute membru cu membru şi se explicitează y , rezultând relaţia (82).

x 

y  ( xM  x)  x M  ( yM  y)  y M  xM  y  y M  x

(81)

y 

 x  ( xM  x)  x M  ( yM  y)  y M  xM  y  y M  x

(82)

97

Relaţiile (81) şi (82) se scriu restrâns, în cadrul sistemului (83).

x  y  h y   x  h h

(83)

( xM  x)  x M  ( y M  y )  y M xM  y  y M  x

Determinarea acceleraţiilor Se pleacă de la sistemul de viteze (83) care se derivează în funcţie de timp şi se obţine sistemul de acceleraţii (84). Sistemul (84) se rescrie sub forma (85).

x  y  h  y  h   x  h 2  y  h y   x  h  x  h   y  h 2  x  h h  ( xM  y  y M  x)  ( xM  x)  x M  ( y M  y )  y M h  ( xM  y  y M  x)  h  ( x M  y  xM  y  y M  x  y M  x )   ( x M  x )  x M  ( xM  x)  xM  ( y M  y )  y M  ( y M  y )  yM ( x  x )  x M  ( xM  x)  xM  ( y M  y )  y M  ( y M  y )  yM h  M  xM  y  y M  x x  y  xM  y  y M  x  y M  x  h M xM  y  y M  x (84)

98

x  y  h  y  h   x  h 2  y  h y   x  h  x  h   y  h 2  x  h (85)

( x  x  y  h)  x M  ( y M  y  x  h)  y M h  M  xM  y  y M  x ( x  x)  xM  ( y M  y )  yM  y M  x  h  xM  y  h  M xM  y  y M  x

Determinarea vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare Odată determinate vitezele şi acceleraţiile punctului O3, vom putea trece mai departe la determinarea vitezelor unghiulare şi a acceleraţiilor unghiulare absolute ale sistemului. Se pleacă de la sistemul (74), care se derivează în funcţie de timp şi se obţine sistemul (86).

 x  d 2  cos  20   y  d 2  sin  20  x  d 2  sin  20   20   y  d 2  cos  20   20

(74)

(86)

Pentru rezolvarea corectă a sistemului (86), se amplifică prima relaţie a sa cu ( sin  20 ) , iar cea de-a doua cu (cos  20 ) , după care se adună ambele relaţii obţinute (membru cu membru), şi prin explicitarea lui  20 se obţine expresia căutată, (87).

99

2  20   20 

y  cos  20  x  sin  20 d2

(87)

Sistemul de viteze (86) se derivează din nou cu timpul, şi se obţine sistemul de acceleraţii unghiulare absolute (88).

 x  d 2  sin  20   20   y  d 2  cos  20   20 2  x  d 2  cos  20   20  d 2  sin  20  20  2   y  d 2  sin  20   20  d 2  cos  20  20

(86)

(88)

Pentru rezolvarea corectă a sistemului (88), se înmulţeşte prima relaţie a lui cu ( sin  20 ) şi se amplifică şi cea de-a doua cu (cos  20 ) , după care se adună membru cu membru cele două relaţii obţinute, şi se explicitează 20 , rezultând astfel expresia căutată, (89).

 2 x  d 2  cos  20   20  d 2  sin  20  20 |  ( sin  20 )   y  d  sin    2  d  cos    |  (cos  ) 2 20 20 2 20 20 20 

 2   20   20  20 

y  cos  20  x  sin  20 d2

(88’)

(89)

Reţinem cele două relaţii în sistemul (90).

y  cos  20  x  sin  20         2 20 20  d2           y  cos  20  x  sin  20 20 20 20  2 d2 100

(90)

Cu ajutorul figurii 7 exprimăm în continuare ecuaţiile (91).

 xM  x  d 3  cos 30   yM  y  d 3  sin 30

(91)

Relaţiile sistemului (91) se derivează în continuare cu timpul, şi se obţin ecuaţiile de viteze date de sistemul (92).

 x M  x  d 3  sin 30  30   y M  y  d 3  cos 30  30

(92)

Pentru rezolvarea corectă a sistemului de viteze (92) se amplifică prima sa relaţie cu ( sin 30 ) , iar cea de-a doua cu (cos 30 ) , după care se adună cele două relaţii obţinute (membru cu membru), şi se explicitează în expresia obţinută viteza unghiulară absolută, 30 , rezultând în final relaţia dorită, (93).

3  30  30 

( y M  y )  cos 30  ( x M  x )  sin 30 d3

(93)

Se derivează apoi cu timpul, sistemul de viteze (92), şi se obţine sistemul de acceleraţii unghiulare absolute (94).

 x M  x  d 3  sin 30  30   y M  y  d 3  cos 30  30 2  xM  x  d 3  cos 30  30  d 3  sin 30  30  2   yM  y  d 3  sin 30  30  d 3  cos 30  30

(92)

(94)

101

Sistemul (94) se rezolvă corect prin amplificarea primei sale relaţii cu ( sin 30 ) , şi a celei de a doua cu (cos 30 ) , după care ecuaţiile obţinute se adună (membru cu membru), iar din relaţia rezultantă se explicitează acceleraţia unghiulară absolută 30 , rezultând expresia (95).

 3   30   30  30 

( yM  y)  cos 30  ( xM  x)  sin 30 d3

(95)

Păstrăm în sistemul (96) cele două soluţii găsite, iar în sistemul (97) le centralizăm pe toate patru.

( y M  y )  cos 30  ( x M  x )  sin 30  3  30  30  d3    ( y  y)  cos 30  ( xM  x)  sin 30  3   30   30  30  M d3  y  cos  20  x  sin  20   2   20   20  d2    3  30  30  ( y M  y )  cos  30  ( x M  x )  sin  30  d3      y  cos  20  x  sin  20  2   20   20  20  d2            ( yM  y)  cos  30  ( xM  x)  sin  30 30 30 30  3 d3 

102

(96)

(97)

Trecerea de la mişcarea plană la cea spaţială În figura 5 se poate urmări schema cinematică a lanţului plan, iar în figura 6 este prezentată schema cinematică a lanţului spaţial.

Fig. 5. Schema cinematică a lanţului plan

Fig. 6. Schema cinematică spaţială

În continuare se va face trecerea de la mişcarea plană la cea spaţială. Dimensiunile plane x2Oy2 se vor proiecta pe axele zO. Astfel lungimea pe axa verticală plană Oy se va proiecta pe axa verticală spaţială Oz prin adăugarea constantei a1, iar lungimea de pe axa orizontală plană Ox se va proiecta pe axa orizontală spaţială O prin adăugarea constantei d1, conform relaţiilor date de sistemul (98). P    M '  d1  xM  P   z M  a1  y M

(98)

Proiecţiile punctului M pe axele plane se vor marca cu indicele superior P (Plan), pentru a se deosebi de axele spaţiale corespunzătoare. Datorită faptului că planul de proiecţie vertical este îndepărtat de axa O cu o distanţă constantă a2+a3, (planul de lucru vertical nu se proiectează direct pe axa O, ci pe o axă paralelă cu ea distanţată cu lungimea a2+a3), proiecţia punctului M pe planul orizontal din spaţiu nu va cădea în M’ ci în punctul M’’ (vezi figura 6).

103

Din această cauză proiecţiile lui M pe axele Ox şi Oy spaţiale, nu vor fi cele ale punctului M’ ci cele ale punctului M’’, conform relaţiilor date de sistemul (99).

    xM   M '  cos 10  (a2  a3 )  cos 10  2       y    sin   (a  a )  sin      M' 10 2 3 10  M 2 

(99)

Dorim să eliminăm unghiul de 90 deg din relaţiile (99), care au avut un rol important explicativ în înţelegerea fenomenului, pentru a se vedea cum se scriu ecuaţiile de trecere de la axele plane la cele spaţiale, fiind aici (în planul orizontal din spaţiu) vorba de o rotaţie, ale căror relaţii nu trebuiesc reţinute automat, ci deduse logic, fapt pentru care vom trece imediat de la sistemul determinat logic (99) la sistemul convenabil (100), care se va obţine acum din (99) prin eliminarea unghiului de 90 deg, din relaţiile trigonometrice.

 xM   M '  cos 10  (a2  a3 )  sin 10   yM   M '  sin 10  (a2  a3 )  cos 10

(100)

Poate că poate părea cam dificilă metoda utilizată, dar în comparaţie cu metodele matriciale spaţiale, ea este extrem de simplă şi directă, contribuind la transformarea mişcării spaţiale într-o mişcare plană, mult mai uşor de înţeles şi studiat. În sistemul (101) centralizăm toate relaţiile de trecere de la mişcarea plană la cea spaţială.

 xM  d1  xMP  cos 10  (a2  a3 )  sin 10  P  y M  d1  xM  sin 10  (a2  a3 )  cos 10  P  z M  a1  y M

(101)

Înlocuind în (101) valorile lui xMP şi y MP se obţine sistemul de ecuaţii spaţiale absolute (102). 104

 xM  d1  d 2  cos  20  d 3  cos 30   cos 10  (a2  a3 )  sin 10   y M  d1  d 2  cos  20  d 3  cos 30   sin 10  (a2  a3 )  cos 10 (102)  z  a  d  sin   d  sin  1 2 20 3 30  M

Pentru determinarea mai simplă a vitezelor şi acceleraţiilor în sistemul (101) de la care se pleacă, se notează a2  a3 cu a , astfel încât (101) capătă aspectul (103) simplificat.

 xM  d1  xMP  cos 10  a  sin 10  P  y M  d1  xM  sin 10  a  cos 10  P  z M  a1  y M

(103)

Se derivează în funcţie de timp sistemul de poziţii spaţial (103) şi se obţine sistemul spaţial de viteze (104).

 x M  x MP  cos 10  d1  xMP  sin 10  10  a  cos 10  10  P P  y M  x M  sin 10  d1  xM  cos 10  10  a  sin 10  10  P  z M  y M

(104)

Se derivează în funcţie de timp sistemul de viteze spaţial (104) şi se obţine sistemul spaţial de acceleraţii (105), care se restrânge la forma (106).

xM  xMP  cos 10  x MP  sin 10  10  x MP  sin 10  10   P 2 2  d1  xM  cos 10  10  a  sin 10  10  P P P  yM  xM  sin 10  x M  cos 10  10  x M  cos 10  10   P 2 2  d1  xM  sin 10  10  a  cos 10  10 z  yP M  M

 

 

(105)

105

















 xM  xMP  d1  xMP  102  cos 10   P  2  x M  a  10  10  sin 10   P P 2  yM  xM  d1  xM  10  sin 10   P    2  x M  a  10  10  cos 10   P zM  yM









(106)

Sistemul spaţial de viteze (104) se restrânge la forma (107), care prin utilizarea notaţiilor u şi v se rescrie sub forma simplificată (108). Şi sistemul de acceleraţii (106) se poate restrânge la forma (109), cu notaţiile w, t.

 x M  x MP  a  10  cos 10  d1  xMP  10  sin 10  P P  y M  x M  a  10  sin 10  d1  xM  10  cos 10  P  z M  y M  x  u  cos   v  sin  10 10  M  y M  u  sin 10  v  cos 10  P  z M  y M   u  x P  a   ; v  d  x P   M 10 1 M 10 



(108)



x  w  cos   t  sin  10 10  M  yM  w  sin 10  t  cos 10  P zM  yM   w  xP  d  x P   2 ; t  2  x P  a     M 1 M 10 M 10 10 



106



(107)





(109)

În continuare se vor prezenta poziţiile, vitezele şi acceleraţiile spaţiale, scrise toate restrâns în cadrul sistemului (110).

  Pozitii :   xM  s  cos 10  a  sin 10  y M  s  sin 10  a  cos 10  P  z M  a1  y M  cu s  d1  xMP ; a  a2  a3    Viteze :  x M  u  cos 10  v  sin 10   y M  u  sin 10  v  cos 10  P  z M  y M  P P cu u  x M  a  10 ; v  d1  xM  10    Accelerati i :   xM  w  cos 10  t  sin 10  y  w  sin   t  cos  10 10 (110)  M P zM  yM  cu w  xP  d  x P   2 ; t  2  x P  a     M 1 M 10 M 10 10 













Modulul vectorului de poziţie spaţial al punctului endefector M, în sistemul spaţial cartezian fix e dat de relaţia (111).



rM  xM2  yM2  zM2  s 2  a 2  a1  yMP



2

(111)

Modulul vectorului viteză absolută a punctului M se obţine cu relaţia (112). 107

vM  x M2  y M2  zM2  u 2  v 2  y MP

2

(112)

Modulul vectorului acceleraţie absolută a punctului M se obţine cu relaţia (113).

aM  xM2  yM2  zM2  w2  t 2  yMP

2

(113)

În sistemul (114) se face o recapitulare a celor trei parametri absoluţi spaţiali ai punctului M: deplasare (sau mai corect poziţie) absolută, viteză absolută, acceleraţie absolută.

r  M    vM     aM 

108



xM2  y M2  z M2  s 2  a 2  a1  y MP x M2  y M2  z M2  u 2  v 2  y MP

2

xM2  yM2  zM2  w 2  t 2  yMP

2



2

(114)

Echilibrarea statică totală şi cinetostatica lanţului cinematic plan

Echilibrarea statică totală a lanţului cinematic plan, prin metoda clasică (cu contragreutăţi) Mecanismul din figura 5 (lanţul cinematic plan), trebuie echilibrat pentru a avea o funcţionare normală. Printr-o echilibrare statică totală a sa, se realizează echilibrarea forţelor gravitaţionale şi a momentelor generate de forţele de greutate, se realizează echilibrarea forţelor de inerţie şi a momentelor (cuplurilor) generate de prezenţa forţelor de inerţie (a nu se confunda cu momentele inerţiale ale mecanismului, care apar separat de celelalte forţe, ele făcând parte din torsorul inerţial al unui mecanism, şi depinzând atât de masele inerţiale ale mecanismului cât şi de acceleraţiile unghiulare ale sale). Echilibrarea mecanismului se poate face prin diverse metode. O echilibrare parţială se realizează aproape în toate cazurile în care actuatorii (motoarele electrice de acţionare) sunt montaţi împreună cu o reducţie mecanică, o transmisie mecanică, un angrenaj cu roţi dinţate hipoid, elicoidal, de tip şurub melc – roată melcată. Un astfel de reductor numit unisens (mişcarea permisă de el este o rotaţie în ambele sensuri, dar transmiterea forţei şi a momentului motor, se poate face doar într-un singur sens, de la melc către roata melcată, invers dinspre roata melcată către şurubul melc forţa nu se poate transmite şi nici mişcarea nu este posibilă mecanismul blocându-se, fapt ce îl face apt pentru transmiterea mişcării de la volanul unui vehicol către roţile acestuia, în cadrul mecanismului de direcţie, el nepermiţând ca forţele de la roţi datorate denivelărilor terenului, să fie transmise către volan şi implicit şoferului, sau acest mecanism este apt pentru contoarele mecanice, astfel încât acestea să nu se răsucească şi invers, etc) poate echilibra transmisia lăsând forţele şi momentele motoare să se desfăşoare, dar nepermiţând elementelor cinematice să influenţeze mişcarea prin forţele lor de greutate şi de inerţie. Se realizează astfel o echilibrare „forţată” motoare, din transmisie, care face ca funcţionarea ansamblului să fie corectă, însă rigidă şi cu şocuri mecanice. O astfel de echilibrare nu este posibilă atunci când actuatoarele acţionează direct elementele lanţului cinematic, fără a mai utiliza şi reductoare mecanice. E nevoie în această situaţie de o echilibrare reală, permanentă.

109

În plus şi în situaţiile în care se utilizează reductoare hipoide, este bine să existe şi o echilibrare statică totală, permanentă, care realizează o funcţionare normală, liniştită, a mecanismului şi a întregului ansamblu. Aşa cum s-a arătat deja, prin echilibrarea statică totală a unui lanţ cinematic mobil, se realizează echilibrarea forţelor de greutate şi a cuplurilor produse de ele, cât şi echilibrarea forţelor de inerţie şi a cuplurilor produse de ele, dar nu şi echilibrarea momentelor de inerţie. Metodele de echilibrări cu arcuri, în general nu au dat rezultate foarte bune, arcurile trebuind să fie foarte bine calibrate, astfel încât forţele elastice realizate (înmagazinate) de ele să nu fie nici prea mici (insuficiente echilibrării), dar nici prea mari (deoarece uzează prematur elementele şi cuplele lanţului cinematic, şi forţează mult, suplimentar, actuatorii). Metoda cea mai utilizată este cea clasică, cu mase adiţionale, de tip contragreutăţi, asemenea celor de la tradiţionalele fântâni populare cu cumpănă. Echilibrarea totală a lanţului cinematic robotic deschis este prezentată în figura 7.

Fig. 7. Echilibrarea lanţului cinematic plan

Se scrie suma momentelor forţelor de greutate de pe elementul 3 în raport cu punctul O3 (relaţia 115).

110

M

( 3) O3

 0  ms  d3  m3  s3  mIII  3

(115)

Astfel masa sarcinii endefectorului (cu tot cu masa transportată de el), aflată la distanţa d3 faţă de O3, plus masa elementului 3 concentrată în centrul de masă sau de greutate S3 aflat la distanţa s3 faţă de punctul O3, sunt echilibrate prin greutatea masei suplimentare mIII montată la distanţa 3 faţă de articulaţia O3 de partea cealaltă (adică pe prelungirea elementului 3). Echilibrarea se face asemenea unui scrânciob, sau a unei pârghii de gradul 1. În general se alege masa de echilibrare mIII şi rezultă prin calcul distanţa de montaj, 3 (relaţia 116).

3 

ms  d 3  m3  s3 mIII

(116)

După echilibrare masa elementului 3 concentrată în articulaţia O3 capătă valoarea m3’ dată de relaţia (117).

m3'  m3  ms  mIII

(117)

Se scrie în continuare suma momentelor forţelor de greutate de pe elementele 2 şi 3 (considerate ca o platformă comună) în raport cu punctul O2 (relaţia 118). Masa elementului 3 este cea finală obţinută după echilibrare, m3’ şi poziţionată (concentrată) în punctul O3.

M

( 2  3) O2

 0  m3'  d 2  m2  s2  mII   2

(118)

În general se alege masa de echilibrare mII şi rezultă prin calcul distanţa de montaj, 2 (relaţia 119).

2 

m3'  d 2  m2  s2 mII

(119)

111

După echilibrare masa întregului lanţ cinematic plan (format din elementele 2 + 3) se găseşte concentrată în articulaţia O2 şi capătă valoarea m2’ dată de relaţia (120).

m2'  m3'  m2  mII

(120)

Justificare teoretică a metodei utilizate: Forţele de greutate ale căror momente trebuiesc scrise faţă de o articulaţie (mobilă sau fixă) sunt toate paralele între ele, orientate după un suport vertical cu vârful în jos (sau direcţionate în sus cu valori negative), şi au valoarea (modulul) dată de produsul dintre masa respectivă şi acceleraţia gravitaţională. Dacă în relaţia de momente simplificăm peste tot cu g, atunci această sumă de momente apare ca o sumă de mase amplificate fiecare cu braţul forţei respective. Dar şi braţele forţelor sunt asemenea cu distanţele de la punctul în care este concentrată masa până la articulaţia faţă de care s-au scris momentele forţelor de greutate, astfel încât se pot înlocui toate braţele forţelor de greutate cu distanţele respective. În final relaţia sumelor momentelor forţelor de greutate faţă de articulaţia respectivă, va fi suma produselor masă distanţă. Această modalitate este mult mai comodă, dar ea poate fi folosită numai în urma justificării teoretice corespunzătoare.

Cinetostatica lanţului cinematic plan echilibrat Prin cinetostatică se înţelege studiul distribuţiei forţelor unui lanţ cinematic, prin analiza lor pe întregul lanţ cinematic, sau pe module (element, ori mai multe elemente cuplate între ele) considerate fiecare separat. Studiul tuturor forţelor care acţionează în cadrul lanţului cinematic respectiv se face instantaneu, sub forma unei poze a lanţului cinematic aflat într-o poziţie oarecare considerată (asemănător studiului cinematic, care se ocupa însă doar cu studiul poziţiilor, vitezelor şi acceleraţiilor lanţului cinematic fotografiat instantaneu într-o poziţie oarecare considerată). Forţele şi momentele ce apar la mecanismul dezechilibrat sunt mai multe şi mai dispersate, dar în general mecanismele utilizate în practică sunt deja echilibrate tocmai în scopul unei bune funcţionări, astfel încât este mai justificat studiul cinetostatic al unui lanţ cinematic deja echilibrat total. Se porneşte de la lanţul cinematic gata echilibrat din figura 7, şi se analizează torsorul forţelor existente pe acest lanţ cinematic fotografiat instantaneu, într-o poziţie oarecare, conform figurii 8. 112

Fig. 8. Cinetostatica lanţului cinematic plan echilibrat

Pentru început se studiază cinetostatica elementului doi, care poartă însă şi masa m3’ a elementului 3, astfel încât elementul 2 suportă efectul întregului lanţ cinematic echilibrat, considerat sudat (asemenea unei platforme), elementul 3 fiind înlocuit de masa m3’ concentrată în punctul O3, de forţele de inerţie şi de greutate ale masei m3’. Deoarece mecanismul a fost deja echilibrat, forţele de greutate nu mai produc efecte, ele fiind eliminate din calculele ulterioare pentru a nu mai complica desenul şi relaţiile. Se consideră doar rezultanta finală a forţei de greutate a întregului lanţ cinematic echilibrat, GO2, care nu mai produce nici un moment asupra acestui punct, ci doar generează o componentă verticală a reacţiunii din cupla O2. Se vor considera în calculele cinetostatice următoare numai forţele inerţiale, cu precizarea importantă că echilibrarea statică totală anihilează practic şi efectele forţelor inerţiale, astfel încât studiul are ca scop prezentarea acestor forţe pentru cunoaşterea lor, observându-se (verificându-se) spre finalul calculelor că şi efectele lor au fost anulate prin echilibrarea totală efectuată deja. Ne reamintim, de la studiul cinematic, acceleraţiile punctului O3 (ultimele două relaţii ale sistemului 121 de poziţii, viteze şi acceleraţii).

113

  xO3  d 2  cos  20 ; yO3  d 2  sin  20 ;     xO3  d 2  sin  20  20 ; y O3  d 2  cos  20  20 ;    2 2 xO3  d 2  cos  20  20 ; yO3  d 2  sin  20  20 

(121)

Cu ajutorul relaţiilor (121) se scriu în continuare forţele de inerţie, din cadrul torsorului de inerţie (122) al punctului O3. 2  FiOx 3  m3'  xO3  m3'  ()d 2  cos  20  20   2  m3'  d 2  cos  20  20    y 2  FiO3  m3'  yO3  m3'  ()d 2  sin  20  20   2  m3'  d 2  sin  20  20   M iO3   J O3   3

(122)

Din torsorul de inerţie al punctului O3 dat de relaţiile sistemului (122) ne interesează pentru moment numai forţele de inerţie din punctul O3 orientate pe axele x şi y (practic e vorba de componentele scalare ale forţei de inerţie dată de masa m3’), ele producându-şi efectul asupra elementului 2. Intenţionăm să scriem suma forţelor ce acţionează pe lanţul cinematic 2-3 separat pe axele x şi y, cât şi suma momentelor, cuplurilor produse de forţele inerţiale de pe lanţ faţă de punctul O2. În afară de punctul O3 mai avem şi forţele inerţiale date de masa m2 din punctul S2 (relaţiile sistemului 123), cât şi forţele de inerţie date de masa de echilibrare mII din punctul I2 (relaţiile sistemului 124). x 2  FiS 2  m2  xS 2  m2  s2  cos  20  20  y 2  FiS 2  m2  yS 2  m2  s2  sin  20  20

114

(123)

x 2  FiI 2  mII  xI 2  mII   2  cos  20  20  y 2  FiI 2  mII  yI 2  mII   2  sin  20  20

(124)

Avem pregătite forţele inerţiale ce acţionează pe elementul 2, şi putem demara studiul ecuaţiilor de echilibru de forţe pentru elementul 2 (dar care ţine cont şi de efectele elementului 3). Se scrie mai întâi echilibrul forţelor de pe axa orizontală, x (relaţiile 125), din care se va determina în final componenta orizontală a reacţiunii din cupla O2.

 F x  0  m  d  cos    2  m  s  cos    2  3' 2 20 20 2 2 20 20  ( 2 ) 2 x  mII   2  cos  20  20  RO  0  2  2 x (125)  (m3'  d 2  m2  s2  mII   II )  cos  20  20  R12  0  dar m3'  d 2  m2  s2  mII   II  0 datoritã echilibrãr ii   x x  RO2  R12  0 În continuare se face o sumă de forţe (echilibrul forţelor) proiectate pe axa verticală, y, de pe elementul 2 (dar ţinând cont şi de încărcările de pe elementul 3), şi se determină componenta verticală a reacţiunii din cupla fixă (considerată fixă) O2 (relaţiile 126).

 F y  0  m  d  sin    2  m  s  sin    2  3' 2 20 20 2 2 20 20  ( 2 ) 2 y  m    sin     m  g  R  0  20 20 2' 12  II 2 2 y  (m3'  d 2  m2  s2  mII   II )  sin  20  20  m2'  g  R12  0 (126)  dar m3'  d 2  m2  s2  mII   II  0 datoritã echilibrãr ii   y y  RO2  R12  m2'  g  GO2 Se poate observa că încărcările din cuple sunt minime tocmai datorită echilibrării. Efectul dat de forţele de inerţie (cuplurile produse de aceste forţe) se anulează (datorită echilibrării). Cuplurile produse de forţele de greutate se anulează şi ele tot datorită echilibrării. 115

Greutatea finală echilibrată mai produce asupra lanţului cinematic doar un singur efect, o încărcare verticală (determină o reacţiune verticală) în cupla fixă. La o echilibrare totală chiar şi încărcarea orizontală din cupla fixă dispare. Singura încărcare rămasă este constantă şi din acest motiv nu prezintă un pericol mare de uzură, nu creiază şocuri dinamice, mecanismul având un comportament dinamic normal (liniştit) în funcţionare. Se va scrie în continuare şi o sumă de momente faţă de articulaţia fixă, de pe elementul 2 (dar cu considerarea şi a efectelor de pe elementul 3), (relaţiile 127).

   ( 2) x  M O2  0  M m2  FiO3  d 2  cos  20  2         y x y  FiO3  d 2  sin   20    FiS 2  s2  sin  20  FiS 2  s2   cos  20  2        x y  FiI 2   2  cos  20    FiI 2   2  sin   20    M iO2  0   2 2   (127)    2 2 2 2  M m2  m3' d 2  20 cos  20 sin  20  m3'  d 2  20 sin  20 cos  20   m  s 2   2  cos   sin   m  s 2   2  sin   cos   20 20 2 2 20 20 20  2 2 20 2 2 2 2  mII   2   20 cos  20  sin  20  mII   2   20  sin  20  cos  20   * * *  J O2   2  0  M m2  J O2   2  0  M m2  J O2   2

J O* 2 (momentul de inerţie masic, sau mecanic al elementului 2, plus influenţa masei elementului 3), se calculează cu relaţia (128).

J O* 2  J O2  m3'  d 22  m2  s22  mII   22  m3'  d 22

(128)

Rezultă că din echilibrul de momente faţă de cupla fixă, de pe elementul 2 dar şi cu considerarea influenţei elementului 3, se poate determina momentul motor necesar, pe care trebuie să-l genereze actuatorul 2, montat în cupla O2 (relaţia 129).

116





M m2  J O* 2   2  m2  s22  mII   22  m3'  d 22  20

(129)

Observaţie. Momentul motor 3 nu acţionează decât pe elementul 3 rupt de elementul 2 (adică este o acţiune a lui 3 în raport cu 2, sau mai exact elementul 3 este acţionat de elementul 2 prin acest moment motor 2). Nu sa luat în considerare nici momentul de inerţie M iO3 din aceleaşi considerente. El acţionează doar asupra elementului 3 considerat separat (rupt de 2). Influenţa masei m3’ asupra elementului 2 apare prin masa finală m2’ care conţine şi masa m3’. Urmează studiul cinetostatic separat al elementului 3 rupt de elementul 2. Pentru a simplifica mult acest studiu, se vor face următoarele consideraţii: toate forţele de greutate cât şi cele de inerţie care acţionează asupra elementului 3 sunt echilibrate deja, astfel încât ele nu mai influenţează dinamica elementului. Nici forţele gravitaţionale şi nici cele inerţiale nu mai dau cupluri în punctul O3 de reducere, deoarece aceste cupluri se anulează toate datorită echilibrării elementului. Făcând suma momentelor tuturor forţelor de pe elementul 3 în raport cu articulaţia mobilă O3, (relaţia 130) vom observa faptul că momentul motor Mm3 al actuatorului 3 se echilibrează doar cu momentul de inerţie MiO3.

M

( 3) O3

0

M m3  M iO3  0  M m3  J O3   3  0  M m3  J O3   3 (130)





 M m3  ms  d 32  m3  s32  mIII   32  30 Se determină şi componenta verticală a reacţiunii din cupla mobilă, interioară, O3, prin realizarea echilibrului proiecţiilor pe axa y, a tuturor forţelor care acţionează pe elementul 3 (relaţia 131).

 F(3y)  0  m3'  g  R23y  0    y  R23  m3'  g   y y  R32   R23  m3'  g 

(131)

Componenta orizontală a reacţiunii din cupla cinematică mobilă O3, x   R32y  0 ). este nulă ( R23 117

Dinamica lanţului cinematic plan echilibrat Din capitolul anterior reţinem din cadrul cinetostaticii cele două relaţii dinamice care generează momentele motoare (ale actuatorilor) necesare, legate împreună în sistemul dinamic (132). Aceste relaţii necesare în studiul dinamicii lanţului cinematic plan, se pot obţine direct şi printr-o altă metodă, în care se utilizează ecuaţiile diferenţiale Lagrange de speţa a doua, şi conservarea energiei cinetice a mecanismului. Această metodă este mai directă comparativ cu studiul cinetostatic, dar prezintă dezavantajul că nu mai determină şi încărcările (reacţiunile, forţele interioare) din cuplele cinematice ale lanţului studiat, necesare la calculul organologic de rezistenţa materialelor la solicitări, prin care se aleg unele dimensiuni (grosimi ori diametre) ale elementelor cinematice 2 şi 3, şi ale cuplelor de legătură.

 M m2  M m3   M  m2 M  m3

 J O* 2   2  J O3   3

  m

  

(132)

 m2  s  mII    m3'  d  20 2 2

s

2 2

2 2

 d 32  m3  s32  mIII   32

30

După echilibrare centrul de greutate al elementului 3 se mută din punctul S3 în articulaţia mobilă O3 (a se vedea figura 8), iar masa elementului 3 creşte de la m3 la m3’; centrul de greutate al elementului 2 se deplasează din punctul S2 în articulaţia fixă O2, în vreme ce masa finală a elementului 2 concentrată în O2 creşte la valoarea m2’. Se determină mai întâi vitezele centrelor de greutate finale, deci vitezele liniare şi unghiulare din cele două articulaţii O2 şi O3 (relaţiile 133). Deci se determină vitezele liniare (componentele sau proiecţiile scalare pe axele x şi y) ale celor două articulaţii, dar şi vitezele unghiulare ale celor două elemente considerate concentrate fiecare în jurul articulaţiei respective, conform figurii 9.

118

  xO2  0; y O2  0;  20  20  2  (133)     xO3  d 2  sin  20  2 ; y O3  d 2  cos  20  2 ; 30  30  3

Fig. 9. Dinamica lanţului cinematic plan echilibrat

După viteze, urmează determinarea momentelor de inerţie masice sau mecanice, care pentru a nu fi confundate chiar cu momentele de inerţie, ar trebui denumite mase inerţiale sau mase de inerţie, ele reprezentând masa inerţială a fiecărui element, şi aşa cum masa fiecărui element generează prin amplificarea cu acceleraţia liniară a centrului de greutate al elementului forţa inerţială (liniară) a elementului respectiv (utilă în studiul dinamic), şi masa inerţială a fiecărui element generează prin amplificarea cu acceleraţia unghiulară momentul de inerţie al elementului respectiv considerat concentrat în jurul centrului de greutate al elementului. Masele inerţiale se determină pe elemente, în jurul unei axe a elementului respectiv, într-un anumit punct, ele fiind variabile în general pe elementul respectiv în funcţie de punctul în jurul căruia se determină. În 119

general ne interesează masa inerţială (momentul de inerţie masic) în centrul de greutate al elementului respectiv, determinat în jurul axei de rotaţie (Oz). Notaţia clasică a maselor inerţiale (a momentelor de inerţie masice sau mecanice) este J, pentru a se putea diferenţia astfel de momentele de inerţie de rezistenţă, notate cu I, utilizate la calculele de rezistenţa materialelor. Între ele există o relaţie de legătură. Din păcate, mulţi specialişti notează astăzi momentele de inerţie masice tot cu I la fel ca şi cele de rezistenţă. Pentru mase concentrate momentul de inerţie masic (mecanic) determinat în raport cu o axă, în centrul de greutate, se calculează prin însumarea produselor dintre fiecare masă concentrată şi pătratul distanţei de la ea la punctul în care dorim să determinăm momentul de inerţie masic, în cazul nostru centrul de greutate al elementului. Pentru elementul 3, momentul de inerţie masic sau mecanic, (masa inerţială) se determină prin relaţia (134).

J O3  ms  d32  m3  s32  mIII  32

(134)

Deci se înmulţeşte masa sarcinii ms purtate de endefectorul M cu distanţa d3 de la endefector la centrul de greutate al elementului O3 ridicată la pătrat şi se însumează cu produsul dintre masa elementului 3 şi pătratul distanţei de la centrul de masă la articulaţia O3, la care se mai adaugă şi masa suplimentară mIII de echilibrare a elementului 3 multiplicată cu pătratul distanţei de la punctul I3 la articulaţia mobilă O3. Pentru elementul 2 se va determina momentul de inerţie masic (mecanic) în jurul centrului final de greutate al elementului 2 (articulaţia fixă O3), utilizând relaţia (135).

J O2  m2  s22  mII   22

(135)

În continuare se determină energia cinetică a mecanismului (a lanţului cinematic plan), cu ajutorul relaţiilor (136).

120

1 1 1 1  2 2 2 2  E  2  J O2  2  2  J O3  3  2  m3'  xO3  2  m3'  y O3    1  J   2  1  J   2  1  m  d 2   2   2 O2 2 2 O3 3 2 3' 2 2  1 2  1 2 2 (136)   J O3  3   2  J O2  m3'  d 2  2 2  1 *  1 2 2  2  J O3  3  2  J O2  2  * 2  J O2  J O2  m3'  d 2 





Ecuaţia energiei cinetice a lanţului cinematic plan deschis echilibrat se exprimă simplificat cu ajutorul relaţiei finale (137).

E

138).

1 1  J O3  32   J O* 2  22 2 2

(137)

Se utilizează ecuaţiile diferenţiale Lagrange de speţa a doua (relaţiile

 d  E  E    Qk cu k  2, 3    dt  q  q k k       d  E  E  dt  q   q  Q2 2   2  d  E  E   Q3    dt  q3  q3

(138)

Cum energia cinetică în acest caz nu depinde direct de parametrii cinematici de poziţii q2 şi q3, reprezentaţi de unghiurile de poziţie 20 şi 30, se pot utiliza ecuaţiile Lagrange simplificate la forma (139).

121

 d  E    Qk cu k  2, 3    dt  q k    d  E   d  E   dt  q   Q2  dt     M m2  2   2  d  E  d  E    Q3     M m3   dt  3   dt  q3 

(139)

Înlocuind derivatele parţiale şi derivând în funcţie de timp, sistemul (139) ia forma (140).

 E d  E    J O* 2   2  J O* 2   2  M m2  J O* 2   2    dt   2    2     E  J O  3  d  E   J O   3  J O   3  M m 3 3 3 3   3 dt  3    J *    M m2  O2 2 J    M m3  O3 3 * 2 J  m  s  m   2  m  d 2 2 2 II 2 3' 2  O2  J O  ms  d 32  m3  s32  mIII   32  3   2 2 2 M m2  m2  s2  mII   2  m3'  d 2   2 M  m  d 2  m  s 2  m   2   s 3 3 3 III 3 3  m3

 

122

 

(140)

Cinematica dinamică a lanţului plan echilibrat

Se urmăreşte următorul „scenariu”. Se cunosc următorii parametrii:

xM , yM , d 2 , d 3 , 2 , , M m2 , M m3 Momentele motoarelor electrice (momentele actuatorilor) au valori ce variază într-o plajă restrânsă, odată cu valoarea vitezei unghiulare a motorului respectiv, conform diagramei caracteristice prezentate de producătorul respectiv. Variaţia este în general de tipul celei prezentate în figura 10.

Fig. 10. Caracteristicile motoarelor electrice de curent continuu şi alternativ (trifazice asincrone)

După cum se poate vedea în figura 10, variaţia momentului cu viteza unghiulară este mică, astfel încât momentul motorului poate fi considerat constant pe toată porţiunea de funcţionare. 123

O observaţie importantă ce nu trebuie trecută cu vederea este aceea că atât motoarele electrice, de curent continuu cât şi cele de curent alternativ asincrone, au o caracteristică de funcţionare stabilă. Dacă sarcina creşte viteza unghiulară a motorului şi deci şi cea a mecanismului (lanţului cinematic deschis) scade adaptându-se la sarcina crescută, iar atunci când sarcina scade şi este posibilă o funcţionare la o viteză mai ridicată în mod natural viteza unghiulară a actuatorului creşte, conform caracteristicii sale funcţionale interne. Revenind la datele problemei cinematicii dinamice, se vor urmări în continuare relaţiile de calcul derulate într-o ordine firească. Se începe cu sistemul (141) prin care se determină şi viteza unghiulară absolută a elementului 3, cea a elementului 2 fiind aceiaşi cu cea a actuatorului 2, iar pentru elementul 3 trebuind să se însumeze viteza actuatorului 2 cu cea a motorului 3. Tot în sistemul (141) se determină şi acceleraţiile unghiulare absolute ale celor două elemente cinematice 2 şi 3 ale lanţului plan deschis, cu ajutorul relaţiilor cunoscute de la dinamica sistemului. Sistemul (141) reprezintă setul 0 de relaţii, în cinematica dinamică.

  3     2   M m2 Mm   *2  2  2 2 2 m3'  d 2  m2  s2  mII   2 J O2    M m3 M m3    3  2 2 2 ms  d 3  m3  s3  mIII   3 J O3 

(141)

Mai departe se vor determina rând pe rând parametrii cinematici poziţionali necesari cu relaţiile (142), considerate a fi setul I de relaţii. 124

  2 2 d  x M  y M  2 2 2 d  x M  y M  x cos   M d   yM sin   d  d 22  d 2  d 32  cos O  2  2  d2  d   2 2 2 2 2 2 sin O  4  d 2  d  d 2  d  d 3  2  2  d2  d  cos  2  cos   cos O2  sin   sin O2 sin   sin   cos O  sin O  cos   2 2 2   x  d 2  cos  2  y  d 2  sin  2   2  semnsin  2   arccos cos  2      2 2 2 cos M  d 3  d  d 2  2  d3  d  2  4  d 32  d 2  d 32  d 2  d 22  sin M  2  d3  d  cos   cos   cos M  sin   sin M 3  sin  3  sin   cos M  sin M  cos    3  semnsin  3   arccos cos  3  

(142)

Urmează setul II de relaţii în cinematica dinamică, sistemul (143), care generează vitezele şi acceleraţiile liniare ale punctelor O3 şi M. Pentru punctul O3 ele vor fi notate fără nici o literă ca indice, iar pentru M vor fi 125

notate cu indicele M. Setul III (144) determină vitezele şi acceleraţiile unghiulare exacte.

 x   y   2    y  x   2    x   x   2  y   2 2    2  y   y   2  x   2    x  x   y  y    M 3  M    y M  y   xM  x   3    xM  x   y M  y   3   y M  y    3    yM  y   x M  x   3   xM  x    3

y  cos  2  x  sin  2   2  d2    3   y M  y   cos  3  x M  x   sin  3  d3    y  cos  2  x  sin  2  2  d2      yM  y  cos 3  xM  x  sin 3  3  d3  126

(143)

(144)

Se introduc valorile III în II şi se recalculează II care devin II’. Apoi cu II’ în III se recalculează şi III care devine III’. La diferenţe mici între valorile III şi III’ se opreşte procesul iterativ, în caz contrar el trebuind să continue rezultând II’’ şi III’’, etc.

Observaţie importantă! Atunci când nu se cunosc momentele actuatorilor (de exemplu se utilizează nişte motoraşe avute la dispoziţie, la care nu se cunosc caracteristicile tehnice, şi deci nu se poate determina valoarea medie sau exactă a momentului generat în funcţie de viteza unghiulară impusă), sau nu se cunosc exact parametrii de masă ai elementelor şi sau încărcările exterioare, se poate utiliza cinematica dinamică simplă sau directă, fără setul 0 (se renunţă practic la relaţiile dinamice, Lagrange), utilizând numai relaţiile din seturile I, II, şi III, dar şi cu vitezele unghiulare dorite (medii) cunoscute. Se calculează normal poziţiile cu setul de relaţii I, se determină apoi vitezele şi acceleraţiile liniare cu setul II de relaţii existente, cunoscând vitezele unghiulare dorite (necesare) ale actuatorilor, iar pentru acceleraţiile lor unghiulare iniţiale (de amorsare) considerându-se valorile 0, numai în setul II. Apoi vor rezulta oricum atât vitezele unghiulare exacte cât şi acceleraţiile unghiulare exacte din calculele efectuate cu setul III de relaţii, după care automat urmează cel puţin o iteraţie, recalculându-se II’ şi III’. E bine în această situaţie să se mai efectueze o iteraţie sau chiar două, chiar dacă convergenţa e suficient de puternică. Se obţin astfel şi II’’, III’’, şi poate chiar II’’’ şi III’’’.

!Descrierea proceselor dinamice! Masele şi forţele (exterioare şi interioare) ce acţionează asupra lanţului cinematic influenţează în mod direct vitezele unghiulare medii ale elementelor lanţului cinematic plan echilibrat, 2 , 3 . Acestea determină cinematica reală, dinamică, a mecanismului, prin sistemele de ecuaţii II şi III, influenţând direct valorile vitezelor şi acceleraţiilor liniare şi unghiulare efective pentru fiecare punct şi element al lanţului în fiecare poziţie a sa.

127

Acceleraţiile unghiulare efective ale celor două elemente ale lanţului

 2* ,  3* în fiecare poziţie a sa obţinute cu III’, ori III’’, sau chiar III’’’, determină variaţii ale momentelor actuatorilor, conform relaţiilor date de sistemul (132), variaţii care modifică imediat şi vitezele unghiulare medii de intrare 2 , 3 aducându-le la valorile instantanee 2' , 3' determinate din diagramele caracteristice ale celor doi actuatori (pentru actuatorul 2 viteza unghiulară scoasă din diagrama sa caracteristică în funcţie de valoarea instantanee a momentului motor se va trece direct ca noua viteză unghiulară 2' , dar pentru motorul 3 în funcţie de valoarea instantanee calculată a momentului motor Mm3 se va determina din diagrama caracteristică valoarea instantanee a vitezei unghiulare a actuatorului 3, ' , cu care se va calcula noua valoare a vitezei unghiulare instantanee 3'  2'  '

 M m2  M m3   M  m2 M  m3

 J O* 2   2  J O3   3

  m

  

(132)

 m2  s22  mII   22  m3'  d 22  20 s

 d 32  m3  s32  mIII   32

30

Se pot recalcula relaţiile sistemelor II şi III (care trec în II*, respectiv III*) pentru fiecare poziţie a mecanismului (a lanţului cinematic plan deschis), introducând în sistemul de viteze şi acceleraţii liniare II (pentru vitezele şi acceleraţiile unghiulare de amorsare) valorile 2' , 3' şi

 2* ,  3* . Cu II* se recalculează III*. Se obţin astfel din III* valorile exacte dinamice, reale, ale vitezelor şi acceleraţiilor unghiulare, ale mecanismului (lanţului cinematic plan, deschis, echilibrat). Şi aici se pot efectua mai multe iteraţii (fapt pentru care se indică, utilizarea unui program de calcul).

128

O METODĂ COMBINATĂ 2R-3R DE REZOLVARE A CINEMATICII INVERSE LA SISTEMELE ANTROPOMORFE (ROBOȚII ANTROPOMORFI) O problemă importantă la roboții antropomorfi este cea a rezolvării cinematicii inverse printr-o modalitate cȃt mai simplă și mai rapidă posibilă. Metoda prezentată ȋn continuare combină sistemele 3R spațiale cu cele 2R plane, permutȃnd dintr-un sistem ȋn altul pentru a permite obținerea rezultatelor 3R prin lucrul ȋn planul 2R. Rezolvȃnd sistemele 3R practic avem baza de lucru pentru orice sistem antropomorf, inclusiv cele 5R sau 6R. Cinematica directă nu mai constituie o problemă reală la aceste sisteme, astfel ȋncȃt metodă prezentată aici, pe scurt, se va concentra doar asupra cinematicii inverse. Practic se va rezolva cinematica inversă a unui robot antropomorf 3R. Metoda prezentată, este directă, rapidă și precisă, și utilizează o metodă trigonometrică. E posibil ca partea geometrică să fie ȋnlocuită ca o alternativă și cu o metodă geometrică, mult mai precisă, ȋn special ȋn generarea și alegerea soluției unice. Se vor soluționa doar pozițiile, vitezele constituind mai multe alte variante separate de lucru. Așa cum am mai arătat deja (ȋn capitolele precedente) se separă cele trei mișcări spațiale ȋntr-o mișcare de rotație ȋn jurul axului vertical independentă și alte două mișcări de rotație situate ȋntr-un plan. Se vor găsi relațiile de transformare 3R-2R și viceversa. Apoi prin conexiunile realizate se va automatiza ȋntregul proces (se stabilesc relațiile finale de lucru, care pot automatiza procesul). Se pornește de la schema cinematică 3R deja prezentată (vezi figura 1) și de la schema cinematică a platformei antropomorfe 2R plane (fig. 2).

Fig. 1. Schema geometro-cinematică a unei structuri antropomorfe 3R

129

Fig. 2. Schema cinematică a unei structuri antropomorfe 2R In cinematica inversă se cunosc coordonatele carteziene ale punctului M aparținȃnd endefectorului (xM, yM, zM) și trebuiesc determinate rotațiile absolute (10=, 20=, 30=). Relațiile de inițiere sunt scrise ȋn sistemul (1) și reprezintă tocmai relațiile matriciale spațiale prezentate deja ȋn cadrul cursului de față, dar prin modificarea lor prin identificarea ȋn cadrul lor a expresiilor plane (din sistemul 2R). Practic sunt cele trei relații spațiale ȋn care am trecut ȋn locul unor parametrii pe cei dați de sistemul plan, atenționȃnd că ȋn loc de xM (din spațiu) spre exemplu avem un xMp (plan), sau ȋn loc de yM (din spațiu) avem de a face cu yMp (adică yM plan).

 xM  d1  cos   xM  cos   (a2  a3 )  sin  p    y M  d1  sin   xM p  sin   (a2  a3 )  cos     z M  a1  y M p

(1)

Din sistemul 1 identificăm mai ȋntȃi relația finală pe care o rescriem ȋn forma (2), formă ce explicitează ordonata plană a punctului M.

yM p  z M  a1 130

(2)

Prima relație a sistemului 1 este multiplicată cu cos iar a doua relație a sistemului 1 este ȋnmulțită cu sin, după care cele două expresii obținute se adună și se obține astfel relația 3.

xM p  xM  cos   yM  sin   d1

(3)

Ȋn continuare prima relație a sistemului 1 este multiplicată cu (-sin) iar a doua relație a sistemului 1 este ȋnmulțită cu cos, după care cele două expresii obținute se adună și se obține astfel relația 4.

 xM  sin   yM  cos   a2  a3

(4)

Rezolvȃnd relația 4 se obțin expresiile 5.

 a  a3  yM  xM  xM2  y M2  a2  a3 2 cos   2 xM2  y M2   2   a2  a3   xM  y M  xM2  y M2  a2  a3  sin   xM2  y M2 

(5)

Combinȃnd relațiile sistemului 5 cu expresia 3 se obține relația 6.

xM p   xM2  yM2  a2  a3   d1 2

(6)

Cunoscȃnd acum abscisa și ordonata punctului M ȋn sistemul plan (relațiile 2, 6) se pot determina ȋn continuare spre exemplu prin metoda trigonometrică deja prezentată unghiurile de poziție absolută ale celor două actoatoare,  și , care deși se calculează mai simplu, ȋn plan, sunt identice cu cele spațiale (sistemul 7). Unghiul  este deja cunoscut prin determinarea prealabilă a celor două funcții trigonometrice ale sale, sin și cos, și se determină și el ȋn cadrul sistemului relațional 7, astfel ȋncȃt avem acum determinate toate cele trei unghiuri căutate (10=, 20=, 30=), iar modul lor de soluționare (pentru 20=, 30=) s-a făcut utilizȃnd sistemul plan.

131

 x  x 2  y 2  a  a 2  d M M 2 3 1  Mp  y M  z M  a1  p  a  a3   y M  xM  xM2  y M2  a2  a3 2 cos   2  x M2  y M2  2   a 2  a3   x M  y M  x M2  y M2  a 2  a3  sin   x M2  y M2    sign(sin  )  a cos(cos  )  d 2  x M2  y M2  d  x M2  y M2 p p p p   cos   x M p  d    sign(sin  )  a cos(cos  )  yM p  sin   d   d 2  d 22  d 32   d 2  d 22  d 32   cos O   O  a cos 2 2  2d  d 2  2d  d 2   2 2 2 2 2 2   d  d3  d 2  d  d3  d 2 cos M    M  a cos 2d  d 3   2d  d 3       O ;     M 2 

(7)

Utilizȃnd relațiile sistemului (7) se poate automatiza procesul de determinare a unghiurilor absolute de poziție atunci cȃnd se cunosc (impun) coordonatele absolute ale endefectorului (ale punctului M). Practic se poate rezolva foarte ușor cinematica inversă la sistemele spațiale antropomorfe prin utilizarea directă a acestor relații originale, care au fost obținute prin combinarea sistemelor 2R și 3R. Metoda este mult mai ușoară decȃt celelalte metode cunoscute (spațiale sau plane), este directă, rapidă și precisă. La determinarea unghiurilor  și  se aleg semnele + cu – atunci cȃnd O3 este poziționat ȋn stȃnga-sus față de axa O2M și – cu + atunci cȃnd se dorește ca articulația interioară O3 să se poziționeze față de axa O2M ȋn dreapta-jos. Pentru o poziționare mult mai simplă, se poate comuta tot acest sistem, astfel ȋncȃt să fie soluționat printr-o metodă mult mai precisă, geometrică, metodă care va fi prezentată deocamdată (ȋn continuare), de sine stătător, ȋn planul 2R, fără automatizarea ei 3R-2R.

132

GEOMETRIA ȘI CINEMATICA UNUI MODUL MECATRONIC 2R Schema geometro-cinematică a unui modul mecatronic 2R poate fi urmărită ȋn figura 1. Se dau (se cunosc ȋntotdeauna): A)

Ȋn

cinematica

directă

xC , yC , l2 , l3 . se

mai

dau:

2 , 3 , 2 , 3

și

se

cer:

xA , yA , x A , y A , xA , yA . B)

Ȋn cinematica inversă se cunosc și:

xA , y A

și se cer

2 , 3

pentru poziții. Iar

pentru viteze și accelerații avem două situații distincte posibile, I și II: I)

Se dau și

2 , 3 și se solicită x A , y A , xA , yA .

II)

Se dau și

x A , y A , xA , yA și se cer 2 , 3 ,  2 ,  3 .

Cinematica directă se rezolvă cu ecuațiile sistemului (1).

 xC  l2  cos 2  l3  cos 3  x A   yC  l2  sin 2  l3  sin 3  y A  l  sin     l  sin     x  x ; x  0 2 2 3 3 3 A C C  2  l2  cos 2  2  l3  cos 3  3  y A  yC ; yC  0   x A  l2  sin 2  2  l3  sin 3  3  y A  l2  cos 2  2  l3  cos 3  3  l2  cos 2  22  l3  cos 3  32   xA  2 2 l2  sin 2  2  l3  sin 3  3   yA

(1)

Fig. 1. Schema geometro-cinematică a unui modul mecatronic 2R

133

Pentru cinematica inversă pozițiile se pot determina direct cu ajutorul metodei trigonometrice, ale cărei relații de calcul sunt prezentate ȋn sistemul (2).

 2 2 2 2 a  x A  xC ; b  y A  yC ; l  a  b ; l  l  a b cos   ; sin   ;   semn(sin  )  arccos(cos  ) l l   b a   semn   arccos   l l     l 2  l22  l32  l 2  l22  l32    cos C   C  arccos  2  l  l2 2  l  l2      l 2  l32  l22  l 2  l32  l22   C  arccos  cos A  2  l  l3   2  l  l3    2    C  3    A

(2)

Vitezele și accelerațiile liniare se determină apoi pentru cazul BI tot cu ultimile două relații ale sistemului (1), asemănător cinematicii directe. Ȋn schimb pentru cazul BII se vor utiliza relațiile sistemului (3).

l2  sin 2  2  l3  sin 3  3   x A  cos 3   cos 2    l2  cos 2  2  l3  cos 3  3  y A   sin 3    sin 2    2  x A  cos 3  y A  sin 3   l2  sin 3  2       x A  cos 2  y A  sin 2   3 l3  sin 2  3    2 2 l2 cos 22  l2 sin 2 2  l3 cos 33  l3 sin 3 3   xA  cos 3   cos 2    l sin   2  l cos    l sin   2  l cos    y   sin 3    sin 2  2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 A  2 2   x  cos 3  yA  sin 3  l2  cos 3  2   2  l3  32   2  A l2  sin 3  2      2 2     3  x A  cos 2  y A  sin 2  l3  cos 2  3   3  l2  2 l3  sin 2  3   

134

(3)

Ȋn continuare se va prezenta o metodă geometrică de rezolvare a pozițiilor, ȋn cinematica inversă, la modulul mecatronic 2R (sistemul de relații 4).

 x A2  y A2  l 2   x  xB  l2  cos  2  x 2  y 2  l 2 2  y  y  l  sin  B 2 2   x A  xB  l3  cos  3 2 2   x A  x    y A  y   l32   y  y  l  sin  B 3 3  A  x 2  y 2  x 2  y 2  2 x  x  2 y  y  l 2  0  A A A A 3   l 2  l22  l32  2 y A  y 2 2 2   l  l2  l3  2 x A  x  2 y A  y  0  x  2  xA   2 2 2 2 2 2 2 2 2  x 2  l  l2  l3  4 y A  y  4 y A  l  l2  l3  y  4 x A2  2  2 l 2  l22  l32  4 y A2  y 2  4 y A  l 2  l22  l32  y  x   4 x A2    x 2  y 2  l22   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  l  l2  l3  4 y A  y  4 y A  l  l2  l3  y  4 x A  y  4l2  x A  0   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  l  l2  l3  4 x A  y A  y  4 y A  l  l2  l3  y  4l2  x A  0   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  4l  y  4 y A  l  l2  l3  y  4l2  x A  l  l2  l3  0   2 2 2 y A l 2  l22  l32  4 y A2 l 2  l22  l32  16l 2l22 x A2  4l 2 l 2  l22  l32   y  1 , 2  4l 2  2  y A  l 2  l22  l32  4l 2  l22  x A2  l 2  y A2  l 2  l22  l32  y  y1, 2  2l 2  2 2 2  l  l 2  l3  2 y A  y x  2xA   cos  2  x ; sin  2  y ;  2  semn y   arccos  x  l  l   l2 l2  2  2   y  y  x  x xA  x yA  y    arccos  A  ;  3  semn A cos  3  l ; sin  3  l 3 3  l3   l3   













 

 

































 















(4)

La determinarea lui y se ia semnul + cȃnd mecanismul este orientat cu B ȋn sus (la nord) și semnul – cȃnd cupla B este poziționată ȋn partea de jos (la sud, pe desen e notată cu B’) (vezi fig. 2).

135

Fig. 2. Schema geometro-cinematică a unui modul mecatronic 2R (există două poziții posibile)

136

Partea a II-a Sisteme mecatronice paralele Structura sistemelor mecanice mobile paralele În figura 1 se prezintă schema cinematică a unui sistem mecanic mobil paralel, având toate cele 12 cuple cinematice (care leagă cele şase picioare motoare de cele două platforme, fixă şi mobilă) de tip articulaţii sferice (cuple sferă în sferă, care permit toate rotaţiile posibile şi nu dau voie să se producă nici o translaţie), practic cuple de clasa a treia (C3). Cuplele cinematice motoare (şase la număr) pot fi construite în două variante: C5 sau C4.

Fig. 1. Articulaţiile dintre picioare şi platforme în mod normal trebuie să fie toate numai cuple cinematice sferă în sferă, adică cuple cinematice de clasa a treia (C 3)

Cuplele sferă în sferă (articulaţiile sferice) permit rotaţiile în spaţiu pe toate cele trei axe, şi opresc toate translaţiile. Ele sunt mai dificil de realizat din punct de vedere tehnologic, sunt ceva mai scumpe şi în general au viaţa mai scurtă, uzura lor fiind destul de rapidă (chiar dacă suprafaţa de contact de tip sferă pe sferă este mare). Au însă marele avantaj al unui gabarit redus (masă şi volum reduse), (a se vedea figura 2). Viaţa lor poate fi prelungită printr-o proiectare optimă, printr-o prelucrare minuţioasă, printro ungere corespunzătoare, etc. Articulaţiile sferice sunt utilizate în industria constructoare de maşini, în special în cea a automobilelor. Ele sunt întâlnite la sistemele de prindere a roţilor (pivoţii basculelor), la articulaţiile sistemului 137

de direcţie, la oglinzile retrovizoare, la unele schimbătoare de viteze în sistemul de acţionare, etc.

Fig. 2. Articulaţiile sferice au utilizări multiple

Pentru un sistem paralel cu 12 articulaţii sferice (C3), şi 6 cuple motoare (C5) numai de translaţie, de clasa a V-a, mobilitatea sistemului (mecanismului spaţial) se calculează cu formula generală (1), (pentru un mecanism spaţial de familia 0):

M 0  6  m  5  C 5  4  C 4  3  C 3  2  C 2  1 C1   6  m  5  C 5  3  C 3  6 13  5  6  3 12 

(1)

 78  30  36  12 Unde m reprezintă numărul elementelor mobile ale mecanismului (sistemului), în cazul de faţă m fiind egal cu 13, deoarece cele şase picioare mobile sunt formate fiecare din câte două elemente (deci 6*2=12), iar una din platforme (cea superioară) este şi ea mobilă (reprezenţând cel de al treisprăzecelea element mobil al sistemului). Din cele 12 grade de mobilitate ale sistemului numai 6 sunt active (ele reprezentând mişcările liniare ale motoarelor liniare). Celelalte şase grade de mobilitate sunt pasive (nu indică necesitatea utilizării unor actuatori suplimentari pentru realizarea lor). Ele sunt practic materializate prin şase mişcări de rotaţie suplimentare ale celor şase picioare, fiecare picior format 138

din două elemente cinematice, considerat ca un solid, putându-se roti liber între cele două articulaţii sferice ale sale (prin care este legat la cele două platforme, cea fixă de la bază şi cea mobilă de sus), (a se urmări figura 3). Deşi în general această rotaţie pasivă este aleatorie (cinematic nu este necesară), totuşi ea ajută la o mai bună mobilitate (mişcare) dinamică a mecanismului (sistemului).

Fig. 3. Rotaţia pasivă a piciorului motor între cele două articulaţii sferice (C 3). Rotaţia între elementele de translaţie nu este permisă, când cupla motoare este una de translaţie de clasa a V-a (C5)

Practic, se utilizează în locul cuplelor motoare de translaţie (C5) cuple motoare cilindrice (C4) care pe lângă mişcarea de translaţie, permit şi o mişcare de rotaţie relativă între cele două bare ale cuplei motoare. Actuatorii liniari sunt construiţi în aşa fel încât fiecare să permită şi o mişcare de rotaţie relativă între cele două bare active. Mişcarea motoare este cea liniară, dar este permisă şi o mişcare de rotaţie relativă în cadrul motoelementului. În această situaţie dispar cele şase cuple de clasa a V-a (C5), ele fiind înlocuite în totalitate cu articulaţii mobile cilindrice de clasa a IV-a (C4), (a se vedea figura 4). Formula gradului de mobilitate îmbracă aspectul (2). M 0  6  m  5  C5  4  C4  3  C3  2  C2  1  C1   6  m  4  C4  3  C3  6  13  4  6  3  12  78  24  36  18

(2)

Mecanismul îşi sporeşte gradul de mobilitate, dar numai şase dintre aceste mobilităţi sunt active (ele se referă la mişcările liniare impuse de cei şase actuatori). În acest caz avem 12 mişcări pasive de rotaţie.

139

Fig. 4. Pe lângă rotaţia pasivă a piciorului motor între cele două articulaţii sferice (C3), mai are loc şi o rotaţie între cele două elemente de translaţie. Se utilizează acum o cuplă cinematică motoare cilindrică, de clasa a IV-a (C4)

Ambele variante prezentate sunt nu doar funcţionale dar au şi o dinamică mai bună. Ele au fost utilizate la început chiar de Stewart. Acesta a propus apoi un sistem combinat, mai rigid (din punct de vedere dinamic) şi mai economic, în care şase dintre articulaţiile sferice (C3) să fie înlocuite cu şase articulaţii de tip universal (cruce cardanică, etc), adică cu cuple de clasa a IVa. Deci din cele 12 cuple sferice C3, rămân spre utilizare jumătate (şase cuple C3), iar alte şase vor fi de clasa a IV-a (articulaţii universale) şi împreună cu articulaţiile cilindrice motoare (C4) vor realiza la platforma Stewart 12 cuple C4. Mobilitatea va fi dată de formula (3). M 0  6  m  5  C5  4  C4  3  C3  2  C2  1  C1   6  m  4  C4  3  C3  6  13  4  12  3  6  78  48  18  12

(3)

El s-a impus imediat şi deşi se credea că înlocuind toate articulaţiile sferice cu articulaţii universale sistemul nu va mai funcţiona, totuşi cineva a încercat şi a văzut că merge şi aşa, şi aşa a şi rămas. Marea majoritate a platformelor paralele de tip Stewart au astăzi 12 articulaţii universale şi 6 cuple motoare cilindrice toate fiind cuple cinematice de clasa a IV-a (C4). Dispar articulaţiile C3 şi cuplele motoare C5 şi rămân doar articulaţii universale şi cuple motoare cilindrice, toate de clasa cinematică C4, (fig. 5).

140

Fig. 5. Platforme moderne de tip Stewart cu 12 articulaţii universale

Articulaţiile universale utilizate pot fi din punct de vedere constructiv de mai multe feluri (a se vedea fig. 6).

Fig. 6. Articulaţii universale (diversitatea lor constructivă este mare)

Formula de calcul a gradului de mobilitate se scrie acum sub forma mult simplificată (4).

M 0  6  m  5  C5  4  C4  3  C3  2  C2  1  C1   6  m  4  C4  6  13  4  18  78  72  6

(4)

141

Deşi pare mecanismul cel mai rigid (dinamic), cu numai şase grade de mobilitate, toate active, reprezentând cele şase mobilităţi liniare ale celor şase actuatori, acest sistem fără mobilităţi suplimentare, pasive, de rotaţie, a reuşit să se impună ca o soluţie mai judicioasă (din punct de vedere economico-financiar, dar şi tehnologic, el fiind mai uşor de realizat, mai ieftin şi mai fiabil; vezi figurile 5 şi 7).

Fig. 7. Platforme moderne de tip Stewart cu articulaţii universale

Motoarele liniare (actuatorii) sunt de cele mai multe ori hidraulice (figura 8). Ele pot fi şi electrice, pneumatice, etc, dar cele mai utilizate sunt pentru moment cele hidraulice.

Fig. 8. Motor (Actuator) liniar hidraulic

142

Avantajele lor (ale actuatoarelor hidraulice în particular, dar şi ale sistemelor paralele în general) sunt reprezentate în primul rând de vitezele mari de lucru (asemeni sistemelor de acţionare de la tractoarele specializate), viteze mari cu păstrarea unei dinamici bune. Echilibrarea lor se face mai simplu (la sistemele hidraulice, care acţionează în mod implicit nu doar ca motoare ci şi ca amortizoare hidraulice, simultan). Sistemele paralele (în general) sunt mai rapide, mai dinamice, mai bine echilibrate, mai silenţioase, şi în special „mai rigide şi mai precise”, comparativ cu structurile seriale. Acolo unde este nevoie de rigiditate mare şi precizie ridicată se va lua în considerare (de la bun început) utilizarea unui sistem mecanic mobil paralel (la operatiile medicale, pe creier, sau pe măduva coloanei vertebrale, de exemplu, la operaţiile în medii toxice, chimice, nucleare, în industria grea, etc).

Fig. 9. Sistem paralel cu nouă picioare liniare hidraulice

Deşi pare exagerat, în unele medii amintite anterior (la operaţiile pe şira spinării) s-au introdus, la cererea medicilor specialişti, dispozitive bazate pe platforme paralele super rigidizate, prin suplimentarea celor şase picioare motoare cu încă trei, rezultând astfel în final nouă picioare (vezi figura 9). Avem acum nouă picioare, fiecare din ele conţinând câte două elemente cinematice mobile şi câte trei cuple C4.

143

Numărul elementelor mobile, m, se ridică acum la 9*2+1=19. Cuplele cinematice sunt numai de clasa a patra, C4=9*3=27. Formula mobilităţii mecanismului (sistemului) fiind dată de relaţia (5).

M 0  6  m  5  C5  4  C4  3  C3  2  C2  1  C1   6  m  4  C4  6  19  4  27  114  108  6

(5)

Sistemul având numai şase grade de mobilitate (toate active) va funcţiona identic celui prezentat în lucrarea de faţă, cu cei şase actuatori laterali, iar cele trei picioare suplimentare nu vor fi nişte motoare hidraulice suplimentare, ci numai nişte amortizori hidraulici suplimentari; ele vor fi practic trase, (antrenate) în permanenţă, de platforma mobilă superioară, şi în permanenţă ele vor opune o rezistenţă mişcării (vor realiza o frână, şi o amortizare suplimentară). Rigiditatea sistemului va creşte semnificativ. Deşi pare mult mai complex (la prima vedere), acest sistem este acţionat identic cu cel clasic (cu şase actuatori laterali), iar calculele se fac la fel ca şi la sistemul Stewart clasic prezentat. Cele trei picioare suplimentare realizând doar o mai bună stabilitate, susţinere, frânare şi mai ales o rigiditate sporită a întregului sistem. Dacă se doreşte implementarea a nouă actuatori efectivi, atunci trebuie regândită structura mecanismului pentru obţinerea câtorva mobilităţi suplimentare (cel puţin trei). Pentru fiecare articulaţie universală transformată în una sferică se obţine un grad de mobilitate suplimentar. Pentru a avea mobilitatea mecanismului 9 în loc de 6 trebuie ca trei articulaţii universale să fie înlocuite cu trei cuple cinematice sferice. Cel mai logic ar fi să se înlocuiască cele trei articulaţii superioare ale picioarelor suplimentare. În acest caz formula mobilităţii ia forma (6). M 0  6  m  5  C5  4  C4  3  C3  2  C2  1  C1   6  m  4  C4  3  C3  6  19  4  24  3  3  114  96  9  9

(6)

În această situaţie teoria se modifică şi ea. Chiar şi sistemele paralele clasice prezentate au o rigiditate foarte ridicată, şi o precizie foarte bună, putând să-şi păstreze echilibrul în timpul mişcărilor rapide cu o sarcină mare încărcată (vezi foto din figura 10). Sarcina este foarte mare, vitezele de deplasare sunt ridicate, înclinările mari şi bruşte nu lipsesc nici ele. Aşa cum se poate vedea în figura 10, încărcătura nu este ancorată, ci este aşezată liberă pe platforma mobilă (superioară). 144

Fig. 10. Sistem paralel cu şase actuatoare liniare hidraulice, încărcat, în mişcare

145

Cinematica inversă la platforma Stewart Determinarea poziţiilor (şi deplasărilor) Sistemele mecanice mobile paralele sunt cele mai tinere sisteme robotizate. În 1954 în Anglia, a fost construit de V.E. Eric, primul sistem mecanic paralel, format din două straturi (platforme), având şase cuple pe un strat. Sistemul a fost studiat şi prezentat oficial prin publicarea lui într-o lucrare ştiinţifică abia în 1965 de către D. Stewart, cercetător al Institutul de Mecanică Inginerească din UK (vezi figura 11, poza din stânga sus). Lucrarea a reuşit să introducă (asocieze) definitiv numele de „platforma Stewart”, oricărei platforme duble având şase picioare legate prin 12 cuple sferice, câte şase cuple pe fiecare strat, (pentru uşurarea prelucrării cuplelor şi pentru o cinematică mai rigidă adoptându-se ulterior şase cuple cardanice şi doar şase articulaţii sferice, iar la final chiar toate cele 12 cuple devenind universale, vezi fig. 11). Platforma inferioară, de bază, este mereu fixă. Dispozitivul ce se montează pe platforma superioară, mobilă, dispune împreună cu aceasta de şase grade de libertate, conferite de cele şase picioare mobile (motoare) care se pot lungi sau scurta conform unui program implementat. Deşi are un spaţiu relativ limitat de lucru, platforma superioară, mobilă, poate să se rotească oricum, să urce şi coboare peste tot, sau doar în unele părţi, având astfel posibilităţi mari de poziţionare şi o mobilitate generală superioară. Avantajele ei principale faţă de sistemele mecanice seriale sunt: rigiditatea sporită, precizia foarte mare de poziţionare, viteza de lucru foarte ridicată cu menţinerea preciziei de poziţionare, o echilibrare naturală prin cele şase picioare mobile (la care se mai pot adăuga însă şi alte echilibrări suplimentare, cea mai simplă fiind cea cu arcuri ce îmbracă fiecare picior). Sistemul paralel este mai simplu din punct de vedere constructiv-tehnologic în comparaţie cu cel serial. Forţele pe care le poate utiliza un sistem paralel sunt mult superioare celor realizate de sistemele seriale. Mişcările pot fi extrem de rapide şi variate. Pentru o rigidizare şi mai mare a sistemului se utilizează 9 sau 12 picioare în loc de şase. Există încercări şi cu 24 (personal cred că nu este cazul să exagerăm). Astăzi există foarte multe variante geometro constructive, dar în general ele aduc fie complicaţii inutile, fie scad rigiditatea sistemului, viteza sa de deplasare, ori precizia de poziţionare, ori reduc manevrabilitatea sistemului. Din aceste motive (cum tot sistemul iniţial pare să fie mai performant) vom studia în continuare geometria şi cinematica sa, pe un model teoretic simplu, prezentat în figura 11, model care aproximează foarte bine mecanismul iniţial (Stewart).

146

Fig. 11. Geometria şi cinematica unei platforme Stewart

Se utilizează pentru simplificarea calculelor câte un triunghi echilateral înscris în cercul platformelor inferioară şi superioară. Pentru bază se ia triunghiul ABC (fix), având sistemul de axe fix, rectangular xOyz, iar pentru platforma mobilă (superioară) se adoptă triunghiul echilateral mobil DEF (lipt pe platforma mobilă). Centrul triunghiului fix este O, iar al celui mobil este S. Cinematica inversă este mult mai uşor de determinat, dar ea va fi studiată în continuare din motive raţionale, fiind mai logic să se impună anumite poziţii succesive ale platformei mobile (pe care aceasta trebuie să le ocupe pe rând) şi pe baza lor să determinăm lungimea celor şase braţe sau picioare corespunzătoare pentru fiecare poziţie impusă în parte. În figura 12 se determină parametrii de poziţie (coordonatele carteziene spaţiale) pentru punctele fixe A, B, C. Pentru punctul A obţinem x=r, iar y=z=0. Pentru punctul B se utilizează relaţiile (7), iar pentru determinarea coordonatelor punctului C se consideră sistemul (8).

147

Fig. 12. Geometria bazei (planului fix) ABC

Se utilizează relaţiile de calcul (7) şi (8).

1   xB   2  r  3  r  yB   2  zB  0   1  0  xC  r  sin 30   2  r  3  0 r  yC  r  cos 30  2   zC  0   148

(7)

(8)

Pentru platforma mobilă DEF (vezi figura 13) se pot scrie ecuaţiile (9). Practic am scris distanţele dintre vârfurile triunghiului DEF (luate două câte două) în coordonate carteziene spaţiale; (permanent se vor utiliza cunoştinţele elementare de geometrie analitică).

( xD  xF ) 2  ( yD  yF ) 2  ( z D  z F ) 2  3  R 2  2 2 2 2 ( xD  xE )  ( yD  yE )  ( z D  z E )  3  R  2 2 2 2 ( xE  xF )  ( yE  yF )  ( z E  z F )  3  R

(9)

Se repetă procedeul de data aceasta scriind însă distanţele dintre centrul triunghiului mobil, S, şi fiecare vârf al triunghiului DEF. Se obţine sistemul de ecuaţii (10).

Fig. 13. Geometria planului mobil DEF

( xD  xS ) 2  ( yD  yS ) 2  ( z D  zS ) 2  R 2  2 2 2 2 ( xE  xS )  ( yE  yS )  ( z E  zS )  R  2 2 2 2 ( xF  xS )  ( yF  yS )  ( z F  zS )  R

(10)

149

Se scrie acum ecuaţia planului DEF sub forma generală (11), unde D este un punct oarecare al planului, S este un punct special (central) din plan, iar vectorul N este vectorul perpendicular pe plan, considerat în punctul special ales S. Parametrii geometrici (scalari) de poziţie (, β, ) ai vectorului N sunt cunoscuţi. Ecuaţia generală a unui plan spune că orice dreaptă din plan înmulţită scalar cu vectorul N perpendicular pe plan generează produsul 0.

DS  N  0

(11)

Punctului D i se vor atribui succesiv valorile D, E, F, iar ecuaţia planului (11) scrisă scalar, va căpăta formele (12).

( xD  xS )    ( yD  yS )    ( z D  zS )    0  ( xE  xS )    ( yE  yS )    ( z E  zS )    0 ( x  x )    ( y  y )    ( z  z )    0 S F S F S  F

(12)

Parametrii scalari xS, yS, zS, , , , sunt cunoscuţi. Cu ajutorul sistemelor (12) şi (10) se pot determina imediat parametrii scalari ai unui punct de pe cercul mobil, alegând pentru determinarea iniţială punctul D, spre exemplu. Trebuie ca acest punct să fie cunoscut (poziţionat) cel puţin printr-o coordonată de a sa. Presupunem cunoscută coordonata zD spre exemplu (se cunoaşte înclinaţia planului mobil prin , , , se ştie unde trebuie să se afle punctul central S, cunoscându-se xS, yS, zS, dar trebuie cunoscută şi înălţimea zD, a unui punct de pe cercul mobil). Se determină apoi celelalte două coordonate scalare xD şi yD. Utilizând sistemul (13) format din prima relaţie a sistemului (12) şi prima ecuaţie a sistemului (10).

( xD  xS )    ( yD  yS )    ( zS  z D )    2 2 2 2 ( xD  xS )  ( yD  yS )  R  ( z D  zS )

150

(13)

Pentru rezolvare se introduc notaţiile (14). Din (13) cu notaţiile (14) se obţine sistemul (15), care se rezolvă succesiv prin relaţiile (16) ce conduc la o ecuaţie de gradul 2 cu necunoscuta y, a cărei soluţie este dată de prima şi a doua relaţie a sistemului (17), în timp ce cea de-a treia relaţie a sistemului (17) îl calculează pe x.

 x  x D  xS y  y  y  D S    ( z  z S D)    L2  R 2  ( z  z ) 2 D S 

  x    y    2 2 2 x  y  L

(14)

(15)

  y  2   2  y2  2     y 2 x  x   2  2 2 2 2 2 2 2     y  2      y    y    L ( 2   2 )  y 2  2      y  ( 2  L2   2 )  0  

(16)

      2   2  ( 2   2 )  ( 2  L2   2 )  y1, 2  2  2         ( 2   2 )  L2   2   y1, 2  2  2    y      y1, 2  x1, 2     

(17)

Pentru poziţionarea corespunzătoare a punctului D se alege iniţial soluţia negativă (dacă aceasta nu va corespunde se va realege soluţia pozitivă). Se obţin astfel parametrii scalari ai punctului D (relaţia 18).

151

       ( 2   2 )  L2   2 y  2  2    y     y x       D( xD , yD , z D )  

y D  y  yS x D  x  xS

(18)

Din (12, 10, 9) se aleg în continuare ecuaţiile cu care se scrie sistemul (19), astfel încât să avem ca necunoscute numai coordonatele scalare ale punctului E, adică xE, yE, zE. Sistemul astfel obţinut este unul neliniar.

( xE  xS )    ( yE  yS )    ( z E  zS )    0  2 2 2 2 ( xE  xS )  ( yE  yS )  ( z E  zS )  R  2 2 2 2 ( xE  xD )  ( yE  yD )  ( z E  z D )  3  R

(19)

Pentru rezolvare, sistemul (19) trebuie liniarizat. Se ridică la pătrat ultimile două relaţii ale sistemului şi se scade a doua din a treia. Se obţine relaţia a treia din sistemul (20), care se aranjează la o formă mai convenabilă prinsă în sistemul (21) împreună şi cu prima relaţie a sistemului (19) ordonată şi ea corespunzător.  xE2  xS2  2  xS  xE  yE2  yS2  2  yS  yE  zE2  zS2  2  zS  zE  R 2  2 2 2 2 2 2 2  xE  x D  2  x D  x E  y E  y D  2  y D  y E  z E  z D  2  z D  z E  3  R                                        x2  x2  2  ( x  x )  x  y 2  y 2  2  ( y  y )  y  z 2  z 2  S D E D S S D E D S  D S  2  ( zS  zD )  zE  2  R 2 

2  ( xS  xD )  xE  2  ( yS  yD )  yE  2  ( zS  z D )  z E   2 2 2 2 2 2 2  2  R  xS  yS  zS  xD  yD  z D   x    y    z    x    y    z E E E S S S 

152

(20)

(21)

Din a doua relaţie a sistemului (21) se explicitează zE, (vezi relaţia (22), care se introduce apoi în prima relaţie a sistemului (21) eliminându-se astfel parametrul zE, şi obţinându-se relaţia (23) liniară, cu yE în funcţie de xE, unde coeficienţii k1, k2, se determină cu relaţiile sistemului (24).

zE 

     xS   yS  zS   xE   yE     yE  k1  k2  xE

   k1  2  R 2  xS2  yS2  zS2  xD2  yD2  z D2  2  ( zS  z D )    xS            2  ( z S  z D )   y S  2  ( z S  z D )  z S  :  2  ( y S  y D )  2  ( z S  z D )          ( x D  xS )  ( z S  z D )    k    2 ( yS  y D )  ( z S  z D )    

(22)

(23)

(24)

Se înlocuieşte acum yE dat de relaţia (23) în expresia (22) şi se obţine în acest fel o a doua relaţie liniară, între parametrii zE şi xE, (ecuaţia 25), ai cărei coeficienţi k3, k4, sunt daţi de sistemul (26).

zE  k3  k4  xE

    k   x   y  z  k 3 S S S     1  k      k  4   2

(25)

(26)

Relaţiile (23) şi (25) se introduc simultan în prima relaţie a sistemului (20) obţinându-se astfel o ecuaţie de gradul doi în xE (relaţia 27), care se ordonează la forma (28). 153

xE2  2  xS  xE  (k1  k2  xE ) 2  2  yS  (k1  k2  xE )  (k3  k4  xE ) 2   2  zS  (k3  k4  xE )  R 2  xS2  yS2  zS2

(1  k22  k42 )  xE2  2  ( xS  k1  k2  k2  yS  k3  k4 )  xE   k12  2  k1  yS  k32  2  k3  zS  R 2  xS2  yS2  zS2  0

(27)

(28)

Notăm coeficienţii ecuaţiei (28) de gradul doi în xE, cu a1, b1, c1, (vezi relaţia 29). Ecuaţia (28) capătă forma simplificată (30), care acceptă soluţiile reale (31).

a1  1  k22  k42  b  b1    xS  k1  k2  k2  yS  k3  k4 2  2 2 2 2 2 2  c1  k1  2  k1  yS  k3  2  k3  zS  R  xS  yS  zS

(29)

a1  xE2  2  b1  xE  c1  0

(30)

b1  b12  a1  c1  a1

(31)

xE1, 2

Ne găsim din nou în faţa a două soluţii trebuind să o alegem pe cea corectă. Alegem o soluţie şi dacă calculele nu corespund poziţiei dorite (reprezentate şi pe un desen) realegem cealaltă soluţie (una din ele va corespunde obligatoriu). Probabil, soluţia va fi cea negativă. Se scriu toţi parametrii scalari ai punctului E, cu relaţiile (32). 2    b b 1 1  xE      c1 a  a  a1 1  1   yE  k1  k2  xE z  k  k  x 3 4 E  E  

154

(32)

Am aflat deja coordonatele punctelor mobile D şi E (situate în vârfurile triunghiului mobil DEF), şi mai trebuie determinate coordonatele carteziene (rectangulare, scalare) ale punctului mobil F. Din sistemele iniţiale (12, 10, 9) putem alege pentru utilizare patru relaţii (una din 12, una din 10, şi două de la 9), relaţii cu care se scrie sistemul (33).

( xF  ( xF  ( xF ( x  F

 xS )    ( yF  yS )    ( z F  zS )    0  xS ) 2  ( yF  yS ) 2  ( z F  zS ) 2  R 2  xD ) 2  ( y F  y D ) 2  ( z F  z D ) 2  3  R 2

(33)

 xE ) 2  ( y F  y E ) 2  ( z F  z E ) 2  3  R 2

Se ridică la pătrat binoamele ultimelor două relaţii ale sistemului (33), expresiile obţinute (34) se adună rezultând ecuaţia (35), care se aranjează apoi convenabil la forma finală (36). 2 2 2 2 2 2 2   xF  xD  2  xD  xF  yF  yD  2  yD  yF  zF  zD  2  zD  zF  3  R (34)  2 2 2 2 2 2 2   xF  x E  2  xE  xF  y F  y E  2  y E  y F  z F  z E  2  z E  z F  3  R

xD2  xE2  2  ( xE  xD )  xF  yD2  yE2   2  ( yE  yD )  yF  zD2  zE2  2  ( zE  zD )  zF  0 2  ( xE  xD )  xF  2  ( yE  yD )  yF  2  ( zE  zD )  zF   xE2  xD2  yE2  yD2  zE2  zD2

(35)

(36)

Se repetă procedura pentru cuplul ecuaţiilor doi şi trei aparţinând sistemului (33); obţinem sistemul de două ecuaţii (37), care adunate dau relaţia (38), ce se aranjează convenabil în expresia (39). 2 2 2 2 2 2 2   xF  xS  2  xS  xF  yF  yS  2  yS  yF  zF  zS  2  zS  zF  R  2 2 2 2 2 2 2   xF  xD  2  x D  x F  y F  y D  2  y D  y F  z F  z D  2  z D  z F  3  R

(37)

155

xD2  xS2  2  ( xS  xD )  xF  yD2  yS2   2  ( yS  yD )  yF  zD2  zS2  2  ( zS  zD )  zF  2  R 2

2  ( xS  xD )  xF  2  ( yS  yD )  yF  2  ( zS  zD )  zF   2  R 2  xS2  xD2  yS2  yD2  zS2  zD2

(38)

(39)

Se reţine sistemul liniar (40) de trei ecuaţii cu trei necunoscute, cele trei ecuaţii fiind (36), (39) şi prima relaţie a sistemului (33) desfăcută. 2( xE  xD ) xF  2( yE  yD ) yF  2( z E  z D ) z F  xE2  xD2  yE2  yD2  z E2  z D2  2 2 2 2 2 2 2 2( xS  xD ) xF  2( yS  yD ) yF  2( zS  z D ) z F  2 R  xS  xD  yS  yD  zS  z D   x    y    z    x    y    z F F F S S S 

(40)

Sistemul (40) se scrie sub forma clasică (41).

a11  xF  a12  yF  a13  z F  b1  a21  xF  a22  yF  a23  z F  b2 a  x  a  y  a  z  b 32 F 33 F 3  31 F

(41)

Coeficienţii sistemului (41) se determină cu relaţiile (42).

a  2  ( x  x ); a  2  ( y  y ); a  2  ( z  z ); E D 12 E D 13 E D  11 b  x 2  x 2  y 2  y 2  z 2  z 2 ; E D E D E D 1  a21  2  ( xS  xD ); a22  2  ( yS  yD ); a23  2  ( zS  z D );  2 2 2 2 2 2 2 b2  2  R  xS  xD  yS  yD  zS  z D ;  a31   ; a32   ; a33   ; b3    xS    yS    zS  Determinanţii sistemului (41) se determină cu relaţiile (43-46).

156

(42)

a11

a12

a13

  a21

a22

a23  a11  (a22  a33  a23  a32 ) 

a31

a32

a33

(43)

 a12  (a23  a31  a21  a33 )  a13  (a21  a32  a22  a31)

b1

a12

a13

 x  b2

a22

a23  b1  (a22  a33  a23  a32 ) 

b3

a32

a33

(44)

 a12  (a23  b3  b2  a33 )  a13  (b2  a32  a22  b3 )

a11

b1

a13

 y  a21

b2

a23  a11  (b2  a33  a23  b3 ) 

a31

b3

a33

(45)

 b1  (a23  a31  a21  a33 )  a13  (a21  b3  b2  a31)

a11

a12

b1

 z  a21

a22

b2  a11  (a22  b3  b2  a32 ) 

a31

a32

b3

(46)

 a12  (b2  a31  a21  b3 )  b1  (a21  a32  a22  a31) Soluţiile sistemului sunt date de relaţiile (47). 157

x   xF    y   yF      z  zF   

(47)

Cu coordonatele cunoscute ale punctelor D, E, F, impuse de poziţia planului DEF şi de alegerea punctului D, se determină lungimile necesare ale picioarelor (elementelor motoare), (a se vedea relaţiile 48).

l  1 l  2 l  3  l4   l5   l6 

( xD  x A ) 2  ( y D  y A ) 2  ( z D  z A ) 2 ( xD  xB ) 2  ( y D  y B ) 2  ( z D  z B ) 2 ( xE  xB ) 2  ( y E  y B ) 2  ( z E  z B ) 2 ( xE  xC ) 2  ( y E  yC ) 2  ( z E  zC ) 2

(48)

( xF  xC ) 2  ( y F  yC ) 2  ( z F  zC ) 2 ( xF  x A ) 2  ( y F  y A ) 2  ( z F  z A ) 2

Determinarea vitezelor. Având geometria şi poziţiile rezolvate, se va trece la determinarea vitezelor din mecanism, mai exact determinarea vitezelor cuplelor cinematice mobile. Se cunosc xS , y S , zS , ,  , , zD . Se aleg relaţiile (1), care se derivează în funcţie de timp obţinându-se expresiile (50). Acestea se aranjează în forma (51). Se obţine astfel un sistem liniar de două ecuaţii cu două necunoscute, identificat prin relaţiile (52).

( xD  xS )    ( yD  yS )    ( zS  zD )    2 2 2 2 ( xD  xS )  ( yD  yS )  R  ( zD  zS )

158

(49)

( x D  x S )    ( x D  x S )    ( y D  y S )    ( y D  y S )      ( z S  z D )    ( z S  z D )     2  ( x  x )  ( x  x )  2  ( y  y )  ( y  y )  D S D S D S D S   2  ( z D  z S )  ( z D  z S )   x D    y D    xS  ( xD  xS )      y S  ( yD  yS )      ( zS  zD )    ( zS  z D )     ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( x  x )  x  ( y  y )  y  S D D S D D S S D S S  D  ( z D  zS )  ( zD  zS )

a11  x D  a12  y D  b1 a  x  a  y  b 22 D 2  21 D  a11   ; a12   ; a 21  x D  x S ; a 22  y D  y S ;   b1    x S  ( x D  x S )      y S  ( y D  y S )      ( z S  z D )    ( z S  z D )     b2  ( x D  x S )  x S  ( y D  y S )  y S  ( z D  z S )  ( z D  z S )

(50)

(51)

(52)

Determinantul sistemului (51-52) se scrie cu relaţia (53).



a11

a12

a21

a22

 a11  a22  a12  a21     yD  yS     xD  xS 

(53)

Se calculează  x1 cu relaţia (54) şi x D cu relaţia (55).

159

 x1 

b1

a12

b2

a22

 b1  a22  a12  b2

xD 

(54)

 x1 

(55)

Se calculează  y1 cu relaţia (56) şi y D cu relaţia (57).

 y1 

a11

b1

a21

b2

y D 

 a11  b2  b1  a21

(56)

 y1

(57)



Se scrie în continuare sistemul (58), care se derivează în raport cu timpul şi capătă forma (59).

( xE  xS )    ( yE  yS )    ( z E  zS )    0  2 2 2 2 ( xE  xS )  ( yE  yS )  ( z E  zS )  R  2 2 2 2 ( xE  xD )  ( yE  yD )  ( z E  z D )  3  R ( x E  x S )    ( x E  x S )    ( y E  y S )       ( y E  y S )    ( z E  z S )    ( z E  z S )    0   2  ( x E  x S )  ( x E  x S )  2  ( y E  y S )  ( y E  y S )    2  ( z E  z S )  ( z E  z S )  0   2  ( x E  x D )  ( x E  x D )  2  ( y E  y D )  ( y E  y D )   2  ( z  z )  ( z  z )  0 E D E D  160

(58)

(59)

Pentru rezolvare, sistemul (59) se ordonează sub forma (60), care reprezintă un sistem liniar de trei ecuaţii de gradul unu cu trei necunoscute, identificat prin formulele din sistemul (61).

  x E    y E    z E    x S  ( x E  x S )         y S  ( y E  y S )      z S  ( z E  z S )     ( x E  x S )  x E  ( y E  y S )  y E  ( z E  z S )  z E    ( x E  x S )  x S  ( y E  y S )  y S  ( z E  z S )  z S   ( x E  x D )  x E  ( y E  y D )  y E  ( z E  z D )  z E   ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( z  z )  z E D D E D D E D D 

(60)

c11  x E  c12  y E  c13  zE  c1 c  x  c  y  c  z  c 22 E 23 E 2  21 E c31  x E  c32  y E  c33  zE  c3    c11   ; c12   ; c13   ;  (61)  c1    xS  ( xE  xS )      y S  ( yE  yS )      zS  ( z E  zS )     c  x  x ; c  y  y ; c  z  z ; E S 22 E S 23 E s  21 c2  ( xE  xS )  xS  ( yE  yS )  y S  ( z E  zS )  zS    c31  xE  xD ; c32  yE  yD ; c33  z E  z D ;  c3  ( xE  xD )  x D  ( yE  yD )  y D  ( z E  z D )  zD

(62).

Determinantul principal al sistemului (61) se calculează cu relaţiile

161

 c11 c12 c13   (c)   c21 c22 c23  c11  (c22  c33  c23  c32 )    c31 c32 c33   c12  (c21  c33  c23  c31)  c13  (c21  c32  c22  c31)   ( c )     y  y   z  z    z  z    y  y   E S E D E S E D     xE  xS   z E  z D   z E  zS   xE  xD       xE  xS    yE  yD    yE  yS   xE  xD 

(62)

Determinantul primei viteze scalare se calculează cu relaţia (63).

 c1 c12 c13   (c)  x  c2 c22 c23  c1  (c22  c33  c23  c32 )    c3 c32 c33   c  ( c  c  c  c )  c  ( c  c  c  c ) 13 2 32 22 3  12 2 33 23 3

(63)

Prima viteză scalară x E se determină cu expresia (64).

x E  (65).

(xc ) ( c )

Determinantul celei de a doua viteze scalare se calculează cu relaţia

 c11 c1 c13   (c)  y  c21 c2 c23  c11  (c2  c33  c23  c3 )    c31 c3 c33   c  ( c  c  c  c )  c  ( c  c  c  c ) 13 21 3 2 31  1 21 33 23 31

162

(64)

(65)

A doua viteză scalară y E se determină cu expresia (66).

y E 

(67).

(yc ) ( c )

(66)

Determinantul celei de a treia viteze scalare se calculează cu relaţia

 c11 c12 c1   (c)  z  c21 c22 c2  c11  (c22  c3  c2  c32 )    c31 c32 c3   c  ( c  c  c  c )  c  ( c  c  c  c ) 1 21 32 22 31  12 21 3 2 31

(67)

A treia viteză scalară zE se determină cu expresia (68).

zE 

(zc ) ( c )

(68)

S-au găsit vitezele scalare ale punctelor mobile D şi E, mai trebuiesc determinate şi cele trei componente scalare reprezentând vitezele scalare ale ultimului punct mobil F. Se porneşte de la sistemul de poziţii cunoscut (69), care se derivează în funcţie de timp şi rezultă sistemul (70).

( xF  xS )    ( yF  yS )    ( z F  zS )    0  2 2 2 2 ( xF  xS )  ( yF  yS )  ( z F  zS )  R  2 2 2 2 ( xF  xD )  ( yF  yD )  ( z F  z D )  3  R

(69)

163

( x F  xS )    ( xF  xS )    ( y F  y S )    ( yF  yS )      ( zF  zS )    ( z F  zS )    0   2  ( xF  xS )  ( x F  xS )  2  ( yF  yS )  ( y F  y S )  2  ( z F  zS )  ( zF  zS )  0   2  ( xF  xD )  ( x F  xD )  2  ( yF  yD )  ( y F  y D )  2  ( z F  z D )  ( zF  zD )  0

(70)

Sistemul (70) se aranjează în forma (71) care reprezintă un sistem liniar de trei ecuaţii de gradul întâi cu trei necunoscute, ale cărui ecuaţii se identifică prin (72), iar ai cărui parametrii se scriu sub forma (73).   x F    y F    zF       xS    y S    zS  ( xF  xS )    ( yF  yS )    ( z F  zS )     ( xF  xS )  x F  ( yF  yS )  y F  ( z F  zS )  zF    ( xF  xS )  xS  ( yF  yS )  y S  ( z F  zS )  zS   ( xF  xD )  x F  ( yF  yD )  y F  ( z F  z D )  zF   ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( z  z )  z F D D F D D F D D 

d11  xF  d12  y F  d13  zF  d1  d 21  xF  d 22  y F  d 23  zF  d 2 d  x  d  y  d  z  d 32 F 33 F 3  31 F d   ; d   ; d   ; 12 13  11 d    x    y    z  ( x  x )    ( y  y )    ( z  z )  ; S S S F S F S F S  1 d  x  x ; d  y  y ; d  z  z ; 21 F S 22 F S 23 F S  d 2  ( xF  xS )  xS  ( yF  yS )  y S  ( z F  zS )  zS  d31  xF  xD ; d32  yF  yD ; d33  z F  z D ;  d3  ( xF  xD )  x D  ( yF  yD )  y D  ( z F  z D )  zD

(71)

(72)

(73)

Cei patru determinanţi ai sistemului se scriu cu relaţiile (74-77), determinantul principal fiind dat chiar de (74). 164

 d11 d12 d13   (d )   d 21 d 22 d 23  d11  (d 22  d33  d 23  d32 )    d31 d32 d33   d  ( d  d  d  d )  d  ( d  d  d  d ) 23 31 13 21 32 22 31  12 21 33

(74)

 d1 d12 d13   (d )  x  d 2 d 22 d 23  d1  (d 22  d33  d 23  d32 )    d3 d32 d33   d  ( d  d  d  d )  d  ( d  d  d  d ) 3 23 13 2 32 3 22  12 2 33

(75)

 d11 d1 d13   (d )  y  d 21 d 2 d 23  d11  (d 2  d33  d3  d 23 )    d31 d3 d33   d  ( d  d  d  d )  d  ( d  d  d  d ) 23 31 13 21 3 2 31  1 21 33

(76)

 d11 d12 d1   (d )  z  d 21 d 22 d 2  d11  (d 22  d3  d 2  d32 )    d31 d32 d3   d  ( d  d  d  d )  d  ( d  d  d  d ) 2 31 1 21 32 22 31  12 21 3

(77)

165

(78).

Soluţiile sistemului de viteze scalare se obţin cu ajutorul relaţiilor

 (xd )  x  ;  F ( d ) 

y F 

(yd )

; ( d )

zF 

(zd ) ; ( d )

(78)

Vitezele planului mobil (superior) fiind determinate, putem trece la etapa finală în care se vor determina vitezele liniare ale celor şase cuple motoare de translaţie. Se scriu mai întâi relaţiile de poziţii (79).

l12  l22 2 l3 2 l4 2 l5 2 l6

 ( xD  x A )  ( y D  y A )  ( z D  z A )

2

 ( xD  xB )  ( y D  y B )  ( z D  z B )

2

2

2

2

2

 ( xE  xB )  ( y E  y B )  ( z E  z B )

2

 ( xE  xC )  ( yE  yC )  ( z E  zC )

2

 ( xF  xC )  ( yF  yC )  ( z F  zC )

2

 ( xF  x A )  ( y F  y A )  ( z F  z A )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(79)

Relaţiile sistemului (79) se derivează în raport cu timpul şi se obţin expresiile sistemului (80), din care se explicitează vitezele liniare ale elementelor motoare (81). 2  l1  l1  2  ( xD  x A )  xD  2  ( yD  y A )  y D  2  ( z D  z A )  zD  2  l2  l2  2  ( xD  xB )  x D  2  ( yD  yB )  y D  2  ( z D  z B )  zD  2  l3  l3  2  ( xE  xB )  x E  2  ( yE  yB )  y E  2  ( z E  z B )  zE   2  l4  l4  2  ( xE  xC )  xE  2  ( yE  yC )  y E  2  ( z E  zC )  zE     2  l5  l5  2  ( xF  xC )  xF  2  ( yF  yC )  yF  2  ( z F  zC )  zF 2  l  l  2  ( x  x )  x  2  ( y  y )  y  2  ( z  z )  z F A F F A F F A F  6 6

166

(80)

  ( xD  x A )  x D  ( yD  y A )  y D  ( z D  z A )  zD l1  l1    ( xD  xB )  x D  ( yD  yB )  y D  ( z D  z B )  zD l2  l2    ( xE  xB )  x E  ( yE  yB )  y E  ( z E  z B )  zE l3  l3   l  ( xE  xC )  x E  ( yE  yC )  y E  ( z E  zC )  zE 4 l4  l  ( xF  xC )  x F  ( yF  yC )  y F  ( z F  zC )  zF 5 l5  l  ( xF  x A )  x F  ( yF  y A )  y F  ( z F  z A )  zF  6 l6

(81)

Determinarea acceleraţiilor. Având geometria, poziţiile şi vitezele rezolvate, se va trece la determinarea acceleraţiilor din mecanism, mai exact determinarea acceleraţiilor cuplelor cinematice mobile. Se cunosc xS , yS , zS ,, , , zD . Se pleacă de la relaţiile vitezelor (82), aranjate sub forma (83). Expresiile (83) se derivează în funcţie de timp şi se obţine sistemul de acceleraţii (84), care se aranjează sub forma (85). ( xD  xS )    ( xD  xS )    ( y D  y S )    ( yD  yS )      ( zS  zD )    ( zS  z D )   (82)   ( x  x )  ( x  x )  ( y  y )  ( y  y )  ( z  z )  ( z  z ) S D S D S D S D S D S  D

167

  x D    y D    x S  ( x D  xS )      y S  ( y D  y S )      ( z S  z D )    ( z S  z D )      ( x D  xS )  x D  ( y D  y S )  y D  ( x D  xS )  x S  ( y D  y S )  y S    ( z D  z S )  ( z D  z S )

(83)

  x D    xD    y D    yD    xS    xS  ( x D  xS )    ( xD  xS )         y S    yS  ( y D  y S )    ( yD  yS )    ( zS  zD )     ( z  z )    ( z  z )    ( z  z )   S D S D S D  (84)    ( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( y  y )  y  S D D S D D S D D S D  D  ( x D  xS )  xS  ( xD  xS )  xS  ( y D  y S )  y S  ( yD  yS )  yS   2  ( zD  zS )  ( z D  zS )  (zD  zS )

  xD    yD  2    ( xS  x D )  2    ( y S  y D )    xS    yS    ( xS  xD )    ( yS  yD )    ( zS  zD )    2  ( zS  zD )    ( zS  z D )      ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( x  x ) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2  S D D S D D S D S D S  D  ( xD  xS )  xS  ( yD  yS )  yS  ( z D  zS )  ( zD  zS )

(85)

Identificăm sistemul liniar de două ecuaţii cu două necunoscute (86), având coeficienţii (87) şi soluţiile (88).

a11  xD  a12  yD  f1  a21  xD  a22  yD  f 2

168

(86)

a   ; a   ; a  x  x ; a  y  y ; 12 21 D S 22 D S  11    f1  2    ( xS  x D )    ( y S  y D )    ( zS  zD )    xS    yS      ( zS  zD )  ( xS  xD )    ( yS  yD )    ( zS  z D )      f 2  ( x D  xS ) 2  ( y D  y S ) 2  ( zD  zS ) 2    ( xD  xS )  xS  ( yD  yS )  yS  ( z D  zS )  (zD  zS ) 





 a a12   11  a11  a22  a12  a21  f a21 a22     f1 a12   f1  a22  f 2  a12  xD 2   f 2 a22    a11 f1   f 2  a11  f1  a21  yD 2   a21 f 2     x   xD 2 ; y   yD 2 D  D f f  

(87)

(88)

În continuare se trece la punctul următor, fapt pentru care utilizăm sistemul de viteze (89). Sistemul (89) se derivează şi se obţin relaţiile acceleraţiilor (90), care se aranjează în forma (91). Se identifică coeficienţii (92) şi sistemul liniar (93) format din trei ecuaţii de gradul I fiecare, cu trei necunoscute, sistem ce se rezolvă cu relaţiile (94).

169

 c  x  c  y  c  z  c 1  11 E 12 E 13 E   c21  x E  c22  y E  c23  z E  c2   c31  x E  c32  y E  c33  z E  c3

170

(89)

 c  x  c  y  c  z  c  x   11 E 12 E 13 E 11 E  c12  yE  c13  zE  c1    c21  x E  c22  y E  c23  z E  c21  xE   c  y  c  z  c 23 E 2  22 E    c31  xE  c32  y E  c33  z E  c31  xE   c32  yE  c33  zE  c3

(90)

 c  x  c  y  c  z   11 E 12 E 13 E  c1  c11  x E  c12  y E  c13  z E     c21  xE  c22  yE  c23  zE   c  c  x  c  y  c  z  2 21 E 22 E 23 E    c31  xE  c32  yE  c33  zE    c3  c31  x E  c32  y E  c33  z E

(91)

c   ; c   ; c   ; c   ; c   ; c  ; 11 12 12 13 13  11  c21  xE  xS ; c21  x E  xS ; c22  yE  yS ; c22  y E  y S ;  c23  z E  z S ; c23  zE  zS ; c31  xE  xD ; c31  x E  x D ;  c  y  y ; c  y  y ; c  z  z ; c  z  z ; E D 32 E D 33 E D 33 E D  32   c1    xS  ( xE  xS )      y S  ( yE  yS )      zS  ( z E  zS )     c1    xS    xS  ( x E  xS )    ( xE  xS )      y S    yS    ( y E  y S )    ( yE  yS )      zS    zS  ( zE  zS )    ( z E  zS )     c2  ( xE  xS )  xS  ( yE  yS )  y S  ( z E  z S )  zS   c  ( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( y  y )  y  E S S E S S E S S E S S  2  ( zE  zS )  zS  ( z E  zS )  zS   c3  ( xE  xD )  x D  ( yE  yD )  y D  ( z E  z D )  zD   c  ( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  ( y  y )  y  (92) E D D E D D E D D E D D  3       ( z  z )  z  ( z  z )  z  E D D E D D   e1  c1  c11  x E  c12  y E  c13  zE  e2  c2  c21  x E  c22  y E  c23  zE e3  c3  c31  x E  c32  y E  c33  zE    

c11  xE  c12  yE  c13  zE  e1  c21  xE  c22  yE  c23  zE  e2 c  x  c  y  c  z  e 3  31 E 32 E 33 E

(93)

171

 c11 c12 c13   (c)   c21 c22 c23  c11  (c22  c33  c23  c32 )    c31 c32 c33   c12  (c21  c33  c23  c31)  c13  (c21  c32  c22  c31)    e1 c12 c13    xE 2  e2 c22 c23  e1  (c22  c33  c23  c32 )    e3 c32 c33    c12  (e2  c33  c23  e3 )  c13  (e2  c32  c22  e3 )    c11 e1 c13    yE 2  c21 e2 c23  c11  (e2  c33  c23  e3 )    c31 e3 c33    e1  (c21  c33  c23  c31)  c13  (c21  e3  e2  c31)    c11 c12 e1    zE 2  c21 c22 e2  c11  (c22  e3  e2  c32 )   c31 c32 e3    c12  (c21  e3  e2  c31)  e1  (c21  c32  c22  c31)      yE 2  xE 2  zE 2   xE  ( c ) ; yE  ( c ) ; zE  ( c ) ;

172

(94)

În continuare se scrie sistemul de viteze (95) care se derivează şi se obţine sistemul acceleraţiilor (96), care se aranjează în forma (97). Coeficienţii se determină cu relaţiile (98) iar sistemul ia forma (99).

d11  x F  d12  y F  d13  z F  d1   d 21  x F  d 22  y F  d 23  z F  d 2   d 31  x F  d 32  y F  d 33  z F  d 3

d11  x F  d12  y F  d13  z F  d11  xF    d12  yF  d13  zF  d1   d21  x F  d22  y F  d23  z F  d 21  xF     d 22  yF  d 23  zF  d 2   d31  x F  d32  y F  d33  z F  d 31  xF    d 32  yF  d 33  zF  d3

d11  xF  d12  yF  d13  zF        d1  d11  x F  d12  y F  d13  z F   d 21  xF  d 22  yF  d 23  zF        d 2  d 21  x F  d 22  y F  d 23  z F   d 31  xF  d 32  yF  d 33  zF        d 3  d 31  x F  d 32  y F  d 33  z F

(95)

(96)

(97)

173

d   ; d   ; d   ; d   ; d   ; d  ; 11 12 12 13 13  11 d    x    y    z  ( x  x )    ( y  y )    ( z  z )  ; S S S F S F S F S  1   d1    xS    xS    y S    yS    zS    zS  ( x F  xS )      ( xF  xS )    ( y F  y S )    ( yF  yS )    ( zF  zS )    ( z F  zS )  ;  d 21  xF  xS ; d 22  yF  yS ; d 23  z F  z S ;  d21  x F  xS ; d22  y F  y S ; d23  zF  zS ;  d 2  ( xF  xS )  xS  ( yF  yS )  y S  ( z F  z S )  zS ;  d 2  ( x F  xS )  xS  ( xF  xS )  xS  ( y F  y S )  y S    ( yF  yS )  yS  ( zF  zS )  zS  ( z F  zS )  zS ;  d 31  xF  xD ; d 32  yF  yD ; d 33  z F  z D ;  d31  x F  x D ; d32  y F  y D ; d33  zF  zD ;  d 3  ( xF  xD )  x D  ( yF  yD )  y D  ( z F  z D )  zD ;  d 3  ( x F  x D )  x D  ( xF  xD )  xD  ( y F  y D )  y D   ( y  y )  y  ( z  z )  z  ( z  z )  z ; F D D F D D F D D  (98)  g1  d1  d11  x F  d12  y F  d13  zF ;   g 2  d2  d21  x F  d22  y F  d23  zF ;       g 3  d 3  d 31  x F  d 32  y F  d 33  zF 

Sistemul (99) având coeficienţii (98), se rezolvă cu relaţiile (100).

d11  xF  d12  yF  d13  zF  g1   d 21  xF  d 22  yF  d 23  zF  g 2   d 31  xF  d 32  yF  d 33  zF  g 3

174

(99)

 d11 d12 d13   (g)   d 21 d 22 d 23  d11  (d 22  d 33  d 23  d 32 )    d 31 d 32 d 33   d12  (d 21  d 33  d 23  d 31)  d13  (d 21  d 32  d 22  d 31)    g1 d12 d13    xF 2  g 2 d 22 d 23  g1  (d 22  d 33  d 23  d 32 )    g 3 d 32 d 33    d12  ( g 2  d 33  d 23  g 3 )  d13  ( g 2  d 32  d 22  g 3 )    d11 g1 d13    yF 2  d 21 g 2 d 23  d11  ( g 2  d 33  d 23  g 3 )    d 31 g 3 d 33    g1  (d 21  d 33  d 23  d 31)  d13  (d 21  g 3  g 2  d 31)    d11 d12 g1    zF 2  d 21 d 22 g 2  d11  (d 22  g 3  g 2  d 32 )   d 31 d 32 g 3    d12  (d 21  g 3  g 2  d 31)  g1  (d 21  d 32  d 22  d 31)      yF 2  xF 2  zF 2   xF  ( g ) ; yF  ( g ) ; zF  ( g ) ;

(100)

175

Se scrie acum sistemul de viteze liniare (102) obţinut prin derivarea sistemului de poziţii (101). Sistemul (102) derivat la rândul său generează sistemul de acceleraţii liniare (103).

l12   2 l2   l32   2 l4   l52   l 2 6

l1   l 2   l3    l4   l5   l6

176

 ( xD  x A )  ( y D  y A )  ( z D  z A )

2

 ( xD  xB )  ( y D  y B )  ( z D  z B )

2

2

2

2

2

 ( xE  xB )  ( y E  y B )  ( z E  z B )

2

 ( x E  xC )  ( y E  yC )  ( z E  zC )

2

 ( x F  xC )  ( y F  yC )  ( z F  zC )

2

 ( xF  x A )  ( y F  y A )  ( z F  z A )

2

2

2

(101) 2

2

2

2

2

2

 l1  ( xD  x A )  x D  ( y D  y A )  y D  ( z D  z A )  z D  l2  ( xD  xB )  x D  ( y D  y B )  y D  ( z D  z B )  z D  l3  ( xE  xB )  x E  ( y E  y B )  y E  ( z E  z B )  z E (102)

 l4  ( xE  xC )  x E  ( y E  yC )  y E  ( z E  zC )  z E  l5  ( xF  xC )  x F  ( y F  yC )  y F  ( z F  zC )  z F  l6  ( xF  x A )  x F  ( y F  y A )  y F  ( z F  z A )  z F

l12  l1  l1  ( x D  x A )  x D  ( xD  x A )  xD  ( y D  y A )  y D    ( y D  y A )  yD  ( z D  z A )  z D  ( z D  z A )  zD     2  l2  l2  l2  ( x D  x B )  x D  ( xD  xB )  xD  ( y D  y B )  y D   ( y D  y B )  yD  ( z D  z B )  z D  ( z D  z B )  zD     l32  l3  l3  ( x E  x B )  x E  ( xE  xB )  xE  ( y E  y B )  y E    ( y E  y B )  yE  ( z E  z B )  z E  ( z E  z B )  zE    l2  l  l  ( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  E C E E C E E C E 4 4 4  ( y E  yC )  yE  ( z E  zC )  z E  ( z E  zC )  zE     2 l5  l5  l5  ( x F  xC )  x F  ( xF  xC )  xF  ( y F  y C )  y F   ( y  y )  y  ( z  z )  z  ( z  z )  z F C F F C F F C F     l2  l  l  ( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  F A F F A F F A F 6 6 6  ( y F  y A )  yF  ( z F  z A )  z F  ( z F  z A )  zF

(103)

Din sistemul (103) se explicitează acceleraţiile liniare (104) corespunzătoare celor şase picioare mobile, care sprijină şi acţionează în acelaşi timp platforma superioară mobilă DEF.

177

l1  [( x D  x A )  x D  ( x D  x A )  xD  ( y D  y A )  y D   2  ( y D  y A )  yD  ( z D  z A )  z D  ( z D  z A )  zD  l1 ] / l1     l2  [( x D  x B )  x D  ( x D  x B )  xD  ( y D  y B )  y D   ( y  y )  y  ( z  z )  z  ( z  z )  z  l2 ] / l D B D D B D D B D 2 2     l  [( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  E B E E B E E B E 3  ( y E  y B )  yE  ( z E  z B )  z E  ( z E  z B )  zE  l32 ] / l3     l  [( x  x )  x  ( x  x )  x  ( y  y )  y  E C E E C E E C E 4  ( y E  yC )  yE  ( z E  zC )  z E  ( z E  zC )  zE  l42 ] / l4     l5  [( x F  xC )  x F  ( x F  xC )  xF  ( y F  y C )  y F   2  ( y F  yC )  yF  ( z F  zC )  z F  ( z F  zC )  zF  l5 ] / l5     l6  [( x F  x A )  x F  ( x F  x A )  xF  ( y F  y A )  y F   ( y  y )  y  ( z  z )  z  ( z  z )  z  l2 ] / l F A F F A F F A F 6 6 

(104)

GEOMETRIA ŞI CINEMATICA PLATOULUI MOBIL 7, PRINTR-O METODĂ DE ROTAŢIE MATRICIALĂ

În figura 14 este reprezentat platoul mobil (elementul mobil 7, considerând motoelementele compacte, altfel el este elementul mobil 13),

178

format dintr-un triunghi echilateral DEF cu centrul S. Acestui triunghi îi ataşăm un sistem de axe rectangular, mobil, solidar cu platforma, x1Sy1z1.

Fig. 14. Geometria şi cinematica platformei mobile 7

Se cunosc coordonatele vectorului N şi coordonatele punctului S (în raport cu reperul fix considerat iniţial, legat de platforma fixă, considerată bază); cunoaştem deci coordonatele rectangulare ale axei Sz1, astfel încât se pot calcula pentru început coordonatele axei Sx1 (relaţiile 105), axă determinată de punctele S, D (cunoscute). Se obţin coordonatele vectorului Sx1. Acestea împreună cu coordonatele punctului S determină axa Sx1 (105).

l  x  x 2   y  y 2  z  z 2  R 2  R D S D S D S  SD  x D  xS x D  xS  ;  x1  l SD R   y D  yS yD  yS  ;  x1  l SD R   zD  zS zD  zS   x1  l R SD 

(105)

179

Înşurubând axa Sz1 către (peste) axa Sx1 generăm axa Sy1 (106). Se obţin astfel coordonatele sistemului mobil x1Sy1z1 (106).  i j k   Sy1  Sz1  Sx1         x1  x1  x1       x1   x1    i   x1       x1  j     x1   x1    k     z  z      y  y     x D  xS      z D  z S  D S D S  i   j R R      y  y     x  x  D S D S  k   y1  i   y1  j   y1  k ;  R      z D  z S      y D  yS  ;  y1  R    x1  x1  x1    y     xD  xS      z D  z S  ;  [ x1Sy1 z1 ]   y  y  y 1 1 1 R  1          y D  y S      x D  xS   ;  y1  R    xD  xS ;      z D  z S      yD  yS  ;    ; y1 z1  x1 R R    x  y D  y S ;  y     x D  xS      z D  z S  ;  z   ; 1 1  1 R R  z  zS    y D  y S      x D  xS   x1  D ;  y1  ;  z1   R R 













(106)

În figura 15 se dă o rotaţie pozitivă axei Sx1 în jurul axei Sz1 ( N ),

de unghi 1 .

Utilizând relaţiile ajutătoare (107) se scrie sistemul matricial (108), prin care se determină direct (cu ajutorul rotaţiei matriciale) coordonatele absolute (în reperul cartezian fix) ale unui punct D1 ce face parte din planul mobil al platoului superior. Acest punct se mişcă pe cercul de rază R şi

180

centru S conform rotaţiei impuse de unghiul de rotaţie 1 . Coordonatele finale se explicitează sub forma (109). x D  xS    z D  z S      y D  yS   ;  z1   ; x1D1  R  cos 1  x1  R ;  y1  R  y D  yS    x D  xS      z D  z S   ;  y1  ;  z1   ; y1D1  R  sin 1  x1  R R  z D  zS    y D  y S      x D  xS   ;  z1   ; z1D1  0  x1  R ;  y1  R    x1  x1  x1  x   x1D1   xS   x1  x1D1   x1  y1D1   x1  z1D1    D 1   xS         y 1   yS   y  y  y   y 1    yS   y  x 1   y  y 1   y  z 1   1D 1D 1D 1D 1 1 1 1 1 1  D    z  z    x    y    z  1  z D1   zS  z1 z1 z1 1D 1 1D 1 1D 1   z1  z1  z1  1D   S     xS  xD  xS   cos 1   yD  yS   sin 1       yS    z D  zS      yD  yS   cos 1    xD  xS     z D  zS   sin 1    z    R  cos     R  sin   1 1   S

(107)

(108)

Fig. 15. Rotaţia în jurul axei N (în cadrul platformei mobile)

181

 xD1  xS  xD  xS   cos 1   yD  yS   sin 1  (109)  yD1  yS    z D  zS      yD  yS cos 1    xD  xS     z D  zS sin 1   z D1  zS    R  cos 1    R  sin 1

Se utilizează metoda rotaţiei matriciale pentru deducerea punctului F (pentru deducerea coordonatelor punctului F). Punctul D se suprapune peste punctul F dacă îi atribuim punctului D o rotaţie pozitivă de 1200 (110111). Derivăm sistemul (111) şi obţinem direct vitezele (112) şi acceleraţiile (113) punctului F.

 xS  xD  xS   cos120   yD  yS   sin 120  xF  xD120 1   yS    z D  zS      yD  yS   cos120  1  yF  yD120     xD  xS     z D  zS   sin 120  z  z 1  z    R  cos120    R  sin 120 S D120  F

(110)

 1 3  yD  yS   x F  x S   x D  x S   2 2  1   y F  y S  2     z D  z S      y D  y S     3    x  x     z  z  D S D S  2  z  z  1  R   3  R   S  F 2 2

(111)

 1 3   y D  y S   x F  xS   x D  xS   2 2  1    yF  y S  2    z D  zS     zD  zS      yD  yS      y D  y S     3    x  x     x  x     z  z     z  z  D S D S D S D S  2   z  z  1  R    3  R   S  F 2 2



182



(112)

 1 3   yD  yS  xF  xS   xD  xS   2 2    1  yF  yS     z D  zS   2    zD  zS     zD  zS   2  (113)  3    xD  xS       yD  yS   2     y D  y S      yD  yS   2   2    x D  xS     xD  xS     z D  zS   2    zD  zS     zD  zS     1 3  R   zF  zS   R    2 2  



Pentru determinarea coordonatelor punctului E rotim punctul D cu 1  1200 (114). Prin derivări succesive se determină vitezele (115) şi acceleraţiile (116) punctului E.  1 3   y D  yS   xE  xS   xD  xS   2 2    (114) 1 3     xD  xS     zD  zS   yE  yS     z D  zS      yD  yS   2 2    z  z  1  R   3  R   S  E 2 2 

 1 3   y D  y S   x E  xS   x D  xS   2 2     y E  y S  1    z D  z S      zD  zS      yD  yS      y D  y S   (115) 2    3    x  x     x  x     z  z     z  z  D S D S D S D S  2    1 3  R    zE  zS   R    2 2 





183

 1 3   yD  yS  xE  xS   xD  xS   2 2     yE  yS  1    z D  z S   2    zD  zS     zD  zS   2  (116)  3     xD  xS       y D  yS   2     y D  y S      yD  yS   2   2    x D  xS     xD  xS      z D  z S   2     zD  zS     zD  zS     1 3  R   zE  zS   R    2 2  



Evident, metoda rotaţiei este mult mai simplă, mai rapidă şi mai directă, decât metoda geometrică (sau alte metode).

184

Elemente de dinamică la platforma Stewart În figura 16 se prezintă vectorii unitate (versori) direcţionaţi de-a lungul elementelor 1 respectiv 2, de la bază spre platforma mobilă. Coordonatele vectorilor unitate (versorilor) aparţinând moto-elementelor 16 (de lungime variabilă) sunt date de sistemul (117).

Fig. 16. Geometria, cinematica şi dinamica unei platforme Stewart

xD  x A  ; 1  l1   xD  xB ;  2  l 2   xE  xB ;  3  l3     xE  xC ;  4 l4    xF  xC ;  5 l5    xF  x A ;  6 l6 

1 

yD  y A z  zA ; 1  D ; l1 l1

2 

yD  yB z  zB ; 2  D ; l2 l2

3 

yE  yB z  zB ; 3  E ; l3 l3

y  yC z  zC 4  E ; 4  E ; l4 l4

5 

yF  yC z  zC ; 5  F ; l5 l5

6 

yF  y A z  zA ; 6  F ; l6 l6

(117)

185

Unde lungimile acestor versori ( L1  L6 ) sunt date de sistemul (118), iar lungimile efective ale celor şase motoelemente (variabile) se exprimă cu ajutorul sistemului (119).

L    i    j    k ; L    i    j    k ; 1 1 1 2 2 2 2  1   L3   3  i  3  j   3  k ; L4   4  i   4  j   4  k ;   L5   5  i  5  j   5  k ; L6   6  i   6  j   6  k  l  l  L    l  i    l  j    l  k ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1   l2  l2  L2   2  l2  i   2  l2  j   2  l2  k ;   l  l  L    l  i    l  j    l  k ; 3 3 3 3 3 3 3 3 3    l4  l4  L4   4  l4  i   4  l4  j   4  l4  k ;   l5  l5  L5   5  l5  i   5  l5  j   5  l5  k ;    l6  l6  L6   6  l6  i   6  l6  j   6  l6  k 

(118)

(119)

În figura 17 este reprezentat un motoelement (motoelementul 1) într-o poziţie instantanee. Dacă structural un motoelement e constituit din două elemente mobile care translatează relativ, cinematic şi mai ales dinamic este mai convenabil să reprezentăm motoelementul ca fiind un singur element mobil. Avem astfel şapte elemente mobile (cele şase motoelemente sau picioare la care se adaugă platforma mobilă 7) şi unul fix. Pentru tija 1, se scriu relaţiile (120-123). Lungimea l1 este variabilă; la fel şi distanţa a1 care defineşte poziţia centrului de greutate G1 (dealtfel chiar 186

centrul de greutate G1 se modifică permanent, chiar dacă masa tijei formată practic din două elemente cinematice aflate în mişcare relativă de translaţie este practic constantă).

Fig. 17. Motoelementul 1al unei platforme Stewart

 x D  1  l1  ; 1  l1  xD  x A ; 1  l1  1  l1  x D ; 1  l1    y D  1  l1  ; 1  l1  y D  y A ; 1  l1  1  l1  y D ; 1  l1        z ;   z D   1  l1    l  z  z ;   l    l D A 1 1 1 1 D 1  1 1 l1 

(120)

x  x    l ; y  y    l ; z  z    l ; A 1 1 D A 1 1 D A 1 1  D    x  x A  1  a1 ; yG1  y A  1  a1 ; zG1  z A   1  a1   G1

(121)

187

 a1  xD  (l1  a1 )  x A ;  xG1  l 1    a1  y D  (l1  a1 )  y A  ;  yG1  l1     z  a1  z D  (l1  a1 )  z A  G1 l1 

l1  xG1  a1  xD  (l1  a1 )  x A ; l1  xG1  l1  xG1    a1  xD  a1  x D  (l1  a1 )  x A ;    a  x  a1  x D  l1  xG1  (l1  a1 )  x A  xG  1 D ; l1  1       y  a1  y D  a1  y D  l1  yG1  (l1  a1 )  y A ;  G1 l1       z  a1  z D  a1  z D  l1  zG1  (l1  a1 )  z A  G1 l1 

(122)

(123)

Energia cinetică a mecanismului (relaţia 124) se scrie ţinând cont de faptul că translaţia centrului de greutate al fiecărui motoelement conţine deja şi efectul diferitelor rotaţii. Fiecare motoelement (tijă) va fi studiat ca un singur element cinematic de lungime variabilă, cu masă constantă şi cu poziţia centrului de greutate variabilă. Mişcarea fiecărui motoelement este una de rotaţie spaţială.

188













m1 2 m2 2 m3 2  2 2 2 2 2 2  Ec  2  xG1  yG1  zG1  2  xG2  yG2  zG2  2  xG3  yG3  zG3   (124) m m  m4 2  xG4  yG2 4  zG2 4  5  xG2 5  yG2 5  zG2 5  6  xG2 6  yG2 6  zG2 6   2 2  2 J  m7 2 2 2 2 7 SN  2  xS  y S  zS  2  7 SN 

















După modelul sistemului (123) se determină vitezele centrelor de greutate ale celor şase tije (vezi ecuaţiile 125). Vitezele xS , y S , zS , 7 SN sunt cunoscute. Masele se cântăresc, iar momentul masic (inerţial) după axa N se calculează cu o formulă aproximativă (126).  a1  ( xD  x A )  a1  x D  l1  ( x A  xG1 ) a1  ( y D  y A )  a1  y D  l1  ( y A  yG1 ) ; y G1  ;  xG1  l1 l1          z  a1  ( z D  z A )  a1  z D  l1  ( z A  zG1 ) ; x  a2  ( xD  xB )  a2  xD  l2  ( xB  xG 2 ) G1 G2  l1 l2   a 2  ( y D  y B )  a2  y D  l2  ( y B  yG 2 ) a 2  ( z D  z B )  a2  z D  l2  ( z B  zG 2 )  ; zG 2  ;  y G 2  l2 l2   a  ( xE  xB )  a3  x E  l3  ( xB  xG3 ) a3  ( y E  y B )  a3  y E  l3  ( y B  yG3 )  xG3  3 ; y G3  ; l3 l3   a3  ( z E  z B )  a3  z E  l3  ( z B  zG3 ) a 4  ( xE  xC )  a4  x E  l4  ( xC  xG 4 )  ; xG 4  ;  zG3  l3 l4   a  ( y E  yC )  a4  y E  l4  ( yC  yG 4 ) a 4  ( z E  zC )  a4  z E  l4  ( zC  zG 4 )  y G  4 ; zG 4  ; 4  l4 l4  a5  ( xF  xC )  a5  x F  l5  ( xC  xG5 ) a5  ( y F  yC )  a5  y F  l5  ( yC  yG5 )  ; y G5  ;  xG5  l5 l5   a5  ( z F  zC )  a5  zF  l5  ( zC  zG5 ) a6  ( xF  x A )  a6  x F  l6  ( x A  xG6 ) (125)  zG5  ; xG6  ; l5 l6      y  a6  ( y F  y A )  a6  y F  l6  ( y A  yG6 ) ; z  a6  ( z F  z A )  a6  z F  l6  ( z A  zG6 ) G6 G6  l6 l6 

1 1 2 m p  RT2  m p  rT2 m m  1   2 J 7 SN  2  p  RT2  rT2  p   RT2   RT    2 4 4   2   m 5  1 5  p  RT2  1     m p  RT2   m p  R 2 4 4 16 16  





(126)

Unde mp reprezintă masa platoului mobil 7 (obţinută prin cântărire). 189

Partea a III-a Sisteme mecatronice mixte

STUDIUL UNUI MECANISM DE TIP MANIPULATOR DE FORJARE PE ȘINE

GEOMETRIA ȘI STRUCTURA MECANISMULUI PRINCIPAL AL UNUI MANIPULATOR DE FORJARE (PE ȘINE) Manipulatoarele de forjare (vezi fig. 1) au devenit din ce ȋn ce mai importante, deoarece s-au răspȃndit rapid ȋn diverse arii industriale. Cele mai multe sunt de mare tonaj, avȃnd și un gabarit foarte mare, iar cele mai utilizate funcționează pe șine de cale ferată pentru a-și mări stabilitatea și precizia.

Fig. 1. Fotografia unui manipulator de forjare pe șine

190

Ȋn continuare se va prezenta și analiza mecanismul principal al unui asemenea manipulator de forjare. Operațiile de bază pe care trebuie să le ȋndeplinească un astfel de mecanism sunt: deplasare pe orizontală, deplasare pe verticală pentru ridicare, și o mișcare de ȋnclinare care are ca scop corectarea poziției endefectorului care trebuie permanent să țină piesa de forjat ȋn aceiași poziție orizontală. Mișcările cleștelui griper pentru apucare, poziționare și susținere sunt date de mecanismul principal, și ȋn plus la ele se mai adaugă și rotația endefectorului dar și mișcările de ȋnchidere-deschidere a acestuia pentru apucarea piesei de forjat. Mecanismul principal (vezi fig. 2) este compus din mai multe elemente legate prin cuple de clasa a cincea, cuplele de rotație fiind fixe sau mobile, iar cele de translație, trei la număr, toate mobile (notate cu c1-c3), fiind realizate prin cilindri hidraulici, toate avȃnd rolul de acționare.

Fig. 2. Schema cinematică a mecanismului principal al unui manipulator de forjare (pe șine) Actuatorul c1 are rolul de ridicare, c2 produce deplasarea orizontală, iar c3 realizează un balans al piesei ȋn jurul articulației G care are rolul de redresare permanentă a piesei astfel ȋncȃt ea să rămȃnă tot timpul ȋn poziție orizontală. Brațele l1, l2, l3 au lungimi variabile, și atunci cȃnd l1 se modifică pentru a ridica sau coborȃ piesa, sau cȃnd l2 se modifică pentru a deplasa piesa la stȃnga sau la dreapta automat se dereglează și unghiul de ȋnclinare al piesei (brațul GM) și deci trebuie corectată și lungimea l3 astfel ȋncȃt piesa să rămȃnă permanent ȋn poziție orizontală. 191

Trebuie făcută precizarea că acest sistem este ȋn același timp și serial și paralel, astfel ȋncȃt el reprezintă practic un sistem mecatronic mixt, serial și paralel (ȋn același timp).

STRUCTURA MECANISMULUI Mecanismul este unul plan, și este compus din 12 elemente cinematice, dintre care unul este fix (batiu) iar celelalte 11 sunt mobile (vezi fig. 3).

Fig. 3. Schema structurală a mecanismului principal al unui manipulator de forjare (pe șine) Din schema structurală se desprinde (deduce) imediat și formula structurală (relația 1).

EF (0)  DM1(1,2,7)  DM 0(3,4)  DM1(5,8,9)  DM1(6,10,11)

(1)

Se obține pe lȃngă elementul fundamental 0, o diadă clasică de mobilitate 0 (formată din elementele cinematice 3, 4), și ȋn plus mai rezultă și trei diade

192

motoare de mobilitate 1 care au elementele cinematice (1,2,7), (5,8,9), și (6,10,11). Gradul de mobilitate al mecanismului se determină cu formula clasică (Grubler-Cebȃșev; 2); unde m reprezintă numărul de elemente mobile, C5 reprezintă cuplele cinematice de clasa a cincea, rotație, translație sau șurubpiuliță, iar C4 sunt cuplele cinematice superioare-plane (ȋn cazul mecanismului manipulator de forjare ele fiind inexistente).

M 3  3m  2C5  C4  3  11  2  15  0  33  30  3

(2)

Obținem trei grade de mobilitate, reale, corespunzătoare celor trei motoare (actuatori) liniare, hidraulice. Schema de conexiuni (sau schema bloc) se poate determina acum pe baza formulei structurale și va fi construită ȋn figura 4.

Fig. 4. Schema de conexiuni a mecanismului principal al unui manipulator de forjare pe șine

193

CINEMATICA INVERSĂ LA MECANISMUL PRINCIPAL AL UNUI MANIPULATOR DE FORJARE PE ȘINE

Ȋn cinematica directă se cunosc l1, l2 și trebuiesc determinați: parametrii intermediari l3, 1, 3, 6, 8, 10 și cei de ieșire xM, yM. Ȋn cinematica inversă se dau (se impun) xM, yM și trebuiesc determinați 1, 3, 6, 8, 10, l1, l2, l3 astfel ȋncȃt unghiul  sa-și mențină valoarea constantă (=-) permanent, pentru ca și segmentul GM să rămȃnă orizontal ȋn permanență. Ȋn fig. 1 se poate urmări schema cinematică a mecanismului principal al unui manipulator de forjare.

Fig. 1. Schema cinematică a mecanismului principal al unui manipulator de forjare (pe șine) Permanent se cunosc lungimile constante (a-g) și coordonatele carteziene ale articulațiilor fixe (xB, yB, xA, yA, xK, yK, xF, yF), cȃt și unghiul  care trebuie să aibă tot timpul valoarea constantă. Ȋn cinematica directă se dau lungimile elementelor motoare 1 și 2, adică se cunosc l1, l2 și trebuiesc determinați prin calcule parametrii intermediari: l3, 1, 3, 6, 8, 10 cu ajutorul sistemelor I, II, și III, și parametrii de ieșire, adică coordonatele carteziene ale endefectorului M, xM, yM cu ajutorul sistemului IV. Ȋn cinematica inversă, mai importantă (deoarece ea reprezintă procesele reale care au loc ȋn timpul manipulărilor), se cunosc (se dau, se impun) coordonatele carteziene ale endefectorului xM, yM și trebuiesc determinați toți ceilalți parametrii, intermediari și finali, 1, 3, 6, 8, 10, l1, l2, l3 cu ajutorul sistemelor I, II, III, IV. 194

Se aleg patru contururi vectoriale independente (KLFK, KIGEDB, AHIK, AHGM) pe care se scriu ecuațiile vectoriale și se deduc din ele sistemele scalare (I, II, III, IV).

( xK  xF )  g  cos(3   )  l1  cos 8  ( yK  yF )  g  sin(3   )  l1  sin 8

(I)

 xK  b  cos   l3  cos 1  2a  cos 6   yK  b  sin   l3  sin 1  2a  sin 6

(II)

( xA  xK )  l2  cos 10  a  cos 6  e  cos 3  ( y A  yK )  l2  sin 10  a  sin 6  e  sin 3 ( x A  xM )  l3  cos 10  f  cos(   )  a  cos  6  ( y A  y M )  l3  sin 10  f  sin(   )  a  sin  6

(III)

(IV)

Se utilizează următoarele notații: A-L – cuple cinematice C5; A, B, K, F – cuple fixe; 1, 3, 6, 8, 10 – unghiuri variabile; a-g – lungimi constante; xB, yB, xA, yA, xK, yK, xF, yF – coordonate carteziene constante; , , 4 – unghiuri constante;  - unghiul cunoscut ce trebuie menținut constant (=-) pentru a păstra ȋn permanență segmentul GM ȋn poziție orizontală. Relațiile de calcul din cinematica inversă Așa cum am arătat deja, cinematica inversă este cea mai importantă, reprezentȃnd aspectele ȋntȃlnite și ȋn funcționarea reală a manipulatorului. Pentru a se obține parametrii intermediari și de ieșire, adică unghiurile și lungimile pe care trebuie să le aibă elementele motoare 1, 3, 6, 8, 10, l1, l2, l3 trebuie rezolvate cele patru sisteme I, II, III, IV, conținȃnd 8 ecuații transcedentare cu 8 necunoscute. Sistemele sunt puternic neliniare, iar rezolvarea lor implică cunoștințe matematice multiple. Prin soluționarea lor se obțin ecuațiile sistemului (1).

195

 A  A  A3  A22  A32  A12 cos  6  1 2   6  arccos(cos  6 ) A22  A32   2 2 2 l3  4a  ( xK  b cos  )  ( y K  b sin  )  4a[( xK  b cos  ) cos  6  ( y K  b sin  ) sin  6 ]  cos 1  2a  cos  6  xK  b  cos  l3   1  sign(sin 1 )  arccos(cos 1 )  2 a  sin   y K  b  sin  6 sin 1   l3  cos   a  cos  6  f  cos(   )  xM  x A 10  l3   10  sign(sin 10 )  arccos(cos 10 ) sin   a  sin  6  f  sin(   )  y M  y A 10  l3  2 2 l   A  A  e 4 4 2  x A  xK  l2  cos 10  a  cos  6 cos 3  e  3  sign(sin 3 )  arccos(cos 3 )  sin   y A  y K  l2  sin 10  a  sin  6 3  e  2 2 l  [ x  x  g cos(  1 K F 3   )]  [ y K  y F  g sin( 3   )]  cos   xK  xF  g  cos(3   ) 8  l1  8  sign(sin 8 )  arccos(cos 8 )  y  y  g  sin(3   ) F sin   K 8  l1    A  3a 2  ( x  b  cos  ) 2  ( y  b  sin  ) 2  K K  1  [ xM  x A  f  cos(   )]2  [ y M  y A  f  sin(   )]2   A2  4a  ( xK  b  cos  )  2a  [ xM  x A  f  cos(   )]  A  4a  ( y  b  sin  )  2a  [ y  y  f  sin(   )] K M A  3  A4  cos 10  (a  cos  6  x A  xK )  sin 10  (a  sin  6  y A  y K )

(1) Utilizȃnd relațiile sistemului (1) se pot soluționa direct pozițiile mecanismului ȋn cinematica inversă. Cum s-au rezolvat sistemele neliniare I-IV. S-au luat inițial doar sistemele II și IV și s-au prelucrat corespunzător, astfel: Sistemul II s-a rescris cu unghiul 1 izolat și s-a ridicat la pătrat adunȃndu-se apoi cele două ecuații rezultate astfel ȋncȃt unghiul 1 să dispară; s-a procedat similar și cu sistemul IV unde s-a izolat unghiul 10 care apoi a dispărut după ce s-au adunat cele două ecuații scalare ale sistemului ridicate mai ȋntȃi la pătrat. Atȃt sistemul doi prelucrat cȃt și sistemul IV prelucrat au forma unei egalități ȋn care un termen este

196

l32 astfel ȋncȃt egalȃnd

cei doi

l32 din fiecare expresie se obține o ecuație cu necunoscuta  6 de forma

(2), care se rezolvă imediat ȋn cos. Apoi se determină imediat și l3.

A1  A2  cos 6  A3  sin 6  0

(2)

Ne ȋntoarcem apoi ȋn sistemul II și explicităm cos1 și sin1, de unde rezultă unghiul exact 1. Similar din sistemul IV vom explicita cos10 și sin10, de unde va rezulta unghiul exact 10. Apoi ne deplasăm ȋn sistemul III pe care ȋl scriem așa cum e, izolȃnd unghiul 3, ridicăm la pătrat cele două ecuații scalare componente și le adunăm ȋn vederea eliminării unghiului 3, după care obținem o ecuație de gradul al doilea ȋn l2, pe care o rezolvăm imediat aflȃndu-l pe l2. Apoi se pot explicita din cele două ecuații scalare inițiale ale sistemului III cos3 și sin3, și din ele se poate determina exact unghiul 3. Rămȃne apoi să ridicăm la pătrat ecuațiile scalare ale sistemului I așa cum apar și să le adunăm pentru a-l determina din ecuația obținută direct pe l1, după care ne reȋntoarcem la ecuațiile scalare inițiale ale sistemului I și din ele explicităm pe cos8 și pe sin8 cu ajutorul cărora ȋl găsim imediat foarte exact și pe 8. Ȋn continuare se determină unghiul constant 4 cu ajutorul conturului BCJK, pe care se scrie sistemul scalar (3).

c  cos   CBD   b  cos  4  xK  c  cos   CBD        c  sin   CBD  b  sin   y  c  sin   CBD 4 K    x   cos  4  K  b   xK  b  cos  4     4  semn(sin  4 )  arccos( 4 )    y  b  sin  y K 4 K  sin    4  b  (3)

197

CINETOSTATICA MECANISMULUI PRINCIPAL AL UNUI MANIPULATOR DE FORJARE PE ȘINE Ȋn studiul cinetostatic al unui mecanism se determină toate forțele instantanee (care acționează la un moment dat asupra mecanismului respectiv). Se pornește de la schema cinematică a mecanismului ȋncărcată cu toate forțele ce acționează asupra mecanismului (vezi fig. 1). Unele forțe (torsorul forțelor exterioare) sunt cunoscute (se dau), iar altele (reacțiunile din cuplele cinematice) nu se cunosc, ci trebuiesc determinate.

Fig. 1. Schema cinetostatică a mecanismului principal al unui manipulator de forjare (pe șine) La pasul 1 se calculează forțele cunoscute, adică torsorul forțelor exterioare, compuse din forțele de inerție și cele gravitaționale (sistemul 1). Se determină pe fiecare element cinematic torsorul forțelor exterioare (cunoscute) fiecare avȃnd trei componente: una pe axa absciselor, una pe axa ordonatelor și ultima pe o axă perpendiculară pe planul vertical ȋn care lucrează mecanismul. Apar astfel pe fiecare element cinematic considerat cȃte trei forțe. La cele trei elemente motoare care sunt compuse fiecare din două elemente cinematice și o cuplă motoare, se consideră solidificate elementele componente ȋmpreună cu cupla motoare respectivă, pentru a simplifica calculele, astfel ȋncȃt din șase elemente cinematice corespunzătoare elementelor motoare vom obține ȋn final doar trei elemente cinematice echivalente: la cupla c3 ȋn loc de 1 + 2 vom avea doar elementul 1, 198

pentru c2 ȋn loc de 10 + 11 vom avea doar elementul solidificat 10, iar la cupla c1 ȋn loc de 8 + 9 mai rămȃne doar elementul cinematic echivalent (solidificat) 8.

 F ix   m  x  FGix3   m3  xG3 12 G1  G1   FGiy   m12  yG  m12  g  FGiy   m3  yG  m3  g 1 1 3 3   i i M 1   J G1  1 M 3   J G3  3   FGix5   m5  xG5  FGix4   m4  xG4  iy  iy  FG4   m4  yG4  m4  g  FG5   m5  yG5  m5  g  i  i M 5   J G5  3 M 4   J G4  4  0  ix ix  FG6   m6  xG6   m6  xH  FG7   m7  xG7  iy  iy   F   m  y  m  g  G6  FG7   m7  yG7  m7  g 6 H 6  i  i M 7   J G7   M 6   J H  6  ix  FM   M  xM  iy  FM   M  yM  M  g M i   J   M  M  ix  FGix   m10,11  xG  FG8   m89  xG8 10  10  F iy   m  y  m  g  F iy   m  y  m  g  G10 89 G8 89 10,11 G10 10,11  G8  i M i   J   M 10   J G10,11  10 G8 8  8

(1)

Masele se cunosc, iar momentele de inerție mecanice (masice) se determină cu formulele cunoscute; la elementele liniare se utilizează formula generică 2.

J Gi 

1 mi  li 12

(2)

Forțele de greutate au fost incluse ȋn componenta inerțială de pe axa ordonatelor. Masa elementului 7 nu conține și masa M a piesei de forjat, fapt pentru care pe elementul 7 se calculează două torsoare exterioare corespunzătoare celor două mase concentrate, masei m7 concentrată ȋn G7 și masei M concentrată ȋn punctul endefector M. J pentru arii se calculează separat și la fel și JM (al piesei de forjat).

199

Rezolvarea cinetostaticii are ordinea inversă comparativ cu structura și cinematica mecanismului. Calculul se pornește practic de la ultima diadă, diada motoare 1, 2, 7. Pentru această diadă avem trei ȋncărcări exterioare (trei torsoare exterioare, situate ȋn punctele M, G7, G1) și trei cuple cinematice de rotație (G, E, D) ȋn care trebuiesc determinate reacțiunile (forțele necunoscute). Se aleg (stabilesc) reacțiunile necunoscute din cuplele de rotație (relațiile 3):

RG  R67   R76 , RD  R31   R13 , RE  R71   R17

(3)

Acum se scriu trei sisteme separate (4-6) prin care se calculează reacțiunile din cuplele diadei (7, 1, 2).

 M D( 7 ,1)  0 FMix   y D  y M   FMiy   x D  xM   M Mi    RGx   y D  yG   RGy   x D  xG   FGix7  y D  yG7   iy i ix iy i  FG7  x D  xG7  M 7  FG1  y D  yG1  FG1  x D  xG1  M 1  0   M E( 7 )  0 FMix   y E  y M   FMiy   x E  xM   M Mi   x y ix  RG   y E  yG   RG   x E  xG   FG7  y E  yG7   iy i  FG7  x E  xG7  M 7  0    a11  y D  yG ; a12  xG  x D  x y a11  RG  a12  RG  a1 a1   y M  y D FMix  x D  xM FMiy  M Mi    x y ix iy i a21  RG  a22  RG  a2  yG7  y D FG7  x D  xG7 FG7  M 7    ix iy i  yG1  y D FG1  x D  xG1 FG1  M 1   a  y  y ; a  x  x ; a   y  y F ix   x  x F iy  E G 22 G E 2 M E M E M M  21 i ix iy i  M M  yG7  y E FG7  x E  xG7 FG7  M 7     a11 a12  a  a  a  a ;   a1 a12  a  a  a  a 11 22 12 21 x 1 22 2 12  a a a a  21 22 2 22   y a a  x  y  11 1  a2  a11  a1  a21; R67  RGx  x ; R67y  RGy     a21 a2 







 







 









 







 

 



(4) 200

 ( 7 ,1) x ix ix x ix  Fx  0 RD  FG1  FG7  RG  FM  0   R x   F ix  F ix  R x  F ix D G1 G7 G M      Fy( 7 ,1)  0 RDy  FGiy1  FGiy7  RGy  FMiy  0   y iy iy y iy  RD   FG1  FG7  RG  FM

(5)

 (1) x ix x  Fx  0 RD  FG1  RE  0   R x   F ix  R x E G1 D      Fy(1)  0 RDy  FGiy1  REy  0   y iy y  RE   FG1  RD

(6)

Ȋn sistemul 4 s-au scris două ecuații de momente, ȋntȃi față de punctul D, iar apoi față de punctul E, ȋntȃi de pe ȋntreaga diadă iar apoi doar de pe elementul 7, ȋn sistemul 5 s-au scris două ecuații de forțe pe diada 1,7 pe axele x respectiv y, iar ȋn sistemul 6 s-au scris ecuațiile echilibrului forțelor pe x și pe y de pe elementul 1.

Calculele continuă cu următoarea diadă motoare formată din elementele 6, 10, 11. Se aleg (stabilesc) reacțiunile necunoscute din cuplele de rotație (relațiile 7):

RA  R0,10   R10,0 , RI  R65   R56 , RH  R6,10   R10,6

(7)

Acum se scriu trei sisteme separate (8-10) prin care se calculează reacțiunile din cuplele diadei motoare (6, 10, 11).

201









 M I( 6,10)  0 R Ax   y I  y A   R Ay   x A  x I   FGix  y I  yG  10 10  iy i ix iy  FG10  xG10  x I  M 10  FG6   y I  y H   FG6   x H  x I   M 6i   x y  ( RG )   y I  yG   ( RG )   xG  x I   0  (10) x y ix  M H  0 R A   y H  y A   R A  x A  x H   FG10  y H  yG10   iy i  FG10  xG10  x H  M 10  0    b11  y I  y A ; b12  x A  x I  x y b11  R A  b12  R A  b1 b1  yG10  y I FGix10  x I  xG10 FGiy10    x y b21  R A  b22  R A  b2  M 10i   y H  y I FGix6  x I  x H FGiy6     M 6i   y I  yG RGx   xG  x I RGy   b  y  y ; b  x  x ; H A 22 A H  21 ix b2  yG10  y H FG10  x H  xG10 FGiy10  M 10i     b11 b12  b  b  b  b ;   b1 b12  b  b  b  b 11 22 12 21 x 1 22 2 12  b21 b22 b2 b22     b b   y  11 1  b2  b11  b1  b21; R Ax  x ; R Ay  y    b21 b2 





























(8)

 ( 6 ,10)  0  RIx  FGix6  RGx  FGix10  RAx  0   Fx  R x  F ix  R x  F ix  R x I G6 G G10 A    F ( 6,10)  0  R y  F iy  R y  F iy  R y  0  I G6 G G10 A  y y iy y iy y  RI  FG  RG  FG  RA 6 10   (10) x ix x x ix x  Fx  0 RH  FG10  RA  0 RH   FG10  RA   F (10)  0 R y  F iy  R y  0 R y   F iy  R y H G10 A H G10 A  y

202

(9)

(10)

Calculele continuă cu următoarea diadă (simplă, nemotoare) formată din elementele 3, 4. Se aleg (stabilesc) reacțiunile necunoscute din cuplele de rotație (relațiile 11):

RB  R0,3   R3,0 , RC  R34   R43 , RJ  R4,5   R5, 4

(11)

Acum se scriu trei sisteme separate (12-14) prin care se calculează reacțiunile din cuplele diadei simple (3, 4).

 M B( 3, 4 )  0 ( RJx )   y B  y J   ( RJy )   x J  x B     FGix4  y B  yG4  FGiy4  xG4  x B  M 4i  FGix3  y B  yG3   iy i x y  FG3  xG3  x B  M 3  ( RD )   y B  y D   ( RD )   x D  x B   0  ( 4) x y  M C  0 ( RJ )   yC  y J   ( RJ )   x J  xC    ix iy i  FG4  yC  yG4  FG4  xG4  xC  M 4  0    c11  y J  y B ; c12  x B  x J  c11  RJx  c12  RJy  c1 c1  yG4  y B FGix4  x B  xG4 FGiy4    x y c21  RJ  c22  RJ  c2  M 4i  yG3  y B FGix3  x B  xG3 FGiy3     M 3i   y B  y D RDx   x D  x B RDy   c  y  y ; c  x  x ; J C 22 C J  21 c2  yG4  yC FGix4  xC  xG4 FGiy4  M 4i     c11 c12  c  c  c  c ;   c1 c12  c  c  c  c 11 22 12 21 x 1 22 2 12  c c c c  21 22 2 22    c c   y  11 1  c2  c11  c1  c21; RJx  x ; RJy  y    c21 c2 

 

 









































(12)

203

 ( 3, 4 ) x ix ix x x  Fx  0 RB  FG3  FG4  RJ  RD  0   R x  R x  R x  F ix  F ix B J D G3 G4      Fy(3, 4)  0 RBy  FGiy3  FGiy4  RJy  RDy  0   y y y iy iy  RB  RJ  RD  FG3  FG4

(13)

 ( 4) x ix x x x ix  Fx  0 RC  FG4  RJ  0 RC  RJ  FG4     Fy( 4)  0 RCy  FGiy4  RJy  0 RCy  RJy  FGiy4

(14)

Calculele continuă cu următoarea diadă motoare formată din elementele 5, 8, 9. Se aleg (stabilesc) reacțiunile necunoscute din cuplele de rotație (relațiile 15):

RK  R0,5   R5,0 , RL  R58   R85 , RF  R0,8   R8,0

(15)

Acum se scriu trei sisteme separate (16-18) prin care se calculează reacțiunile din cuplele diadei motoare (5, 8, 9).

204





 M K( 5,8)  0 RFx   y K  y F   RFy   x F  x K   FGix  y K  yG  8 8  iy i ix iy  FG8  xG8  x K  M 8  FG5  y K  yG5  FG5  xG5  x K  M 5i   x y x y  RI   y K  y I   RI   x I  x K   RJ   y K  y J   RJ   x J  x K   0  (8) x y ix  M L  0 RF   y L  y F   RF   x F  x L   FG8  y L  yG8   iy i  FG8  xG8  x L  M 8  0    d11  y K  y F ; d12  x F  x K  d  y  y F ix  x  x F iy   1 G8 K G8 K G8 G8 x y d11  RF  d12  RF  d1  i ix iy   M 8  yG5  y K FG5  x K  xG5 FG5  x y d 21  RF  d 22  RF  d 2  i x y   M 5   y I  y K RI   x K  x I RI     y  y   R x   x  x   R y J K J K J J     d 21  y L  y F ; d 22  x F  x L ; d 2  yG  y L FGix  x L  xG FGiy  M 8i 8 8 8 8   d11 d12 d1 d12     d  d  d  d ;    d1  d 22  d 2  d12 11 22 12 21 x   d 21 d 22 d 2 d 22     d11 d1  d  d  d  d ; R x   x ; R y   y 2 11 1 21 F F  y   d d 21 2 













































(16)

 ( 5,8 ) x x x x ix ix  Fx  0 RK  RJ  RI  RF  FG5  FG8  0   R x   R x  R x  R x  F ix  F ix K J I F G5 G8    F (5,8)  0 R y  R y  R y  R y  F iy  F iy  0  K J I F G5 G8  y y y y y iy iy  RK   RJ  RI  RF  FG  FG 5 8 

(17)

 (8) x ix x x x ix  Fx  0 RL  FG8  RF  0 RL   RF  FG8   F (8)  0 R y  F iy  R y  0 R y   R y  F iy L G8 F L F G8  y

(18)

205

CINEMATICA COMPLETĂ LA MECANISMUL PRINCIPAL AL UNUI MANIPULATOR DE FORJARE Ȋn studiul cinetostatic avem nevoie și de cinematica completă (fig. 1). Se pleacă de la sistemele deja cunoscute (I-IV).

( xK  xF )  g  cos(3   )  l1  cos 8  ( yK  yF )  g  sin(3   )  l1  sin 8

(I)

( x A  xK )  l2  cos 10  a  cos  6  e  cos 3  ( y A  y K )  l2  sin 10  a  sin  6  e  sin  3

(II)

 xK  b  cos   l3  cos 1  2a  cos 6   yK  b  sin   l3  sin 1  2a  sin 6

(III)

( x A  xM )  l3  cos 10  f  cos(   )  a  cos  6  ( y A  y M )  l3  sin 10  f  sin(   )  a  sin  6

(IV)

Fig. 1. Schema cinematică completă a mecanismului principal al unui manipulator de forjare (pe șine) La pasul 1, pornind de la sistemul I derivat cu timpul, se calculează vitezele unghiulare 206

3 , 8

ȋn funcție de viteza liniară a motorului c1,

l1 (sistemul 1).

 Ia Ib     g  sin( 3   )  3  l1  sin 8  8  cos 8  l1  cos 8  cos  3      g  cos( 3   )  3  l1  cos 8  8  sin 8  l1  sin 8  sin  3      l1   (1)  Ia   3  g  sin 8   3     l1   3  g  sin       8 3        k 3  8     Ib  8  l1  sin 8   3     cos 8   3     l1   cos 8   3     l1  8  8   3    k  l1  sin 8   3    

La pasul 2, pornind de la sistemul II derivat cu timpul, se calculează vitezele unghiulare

6 , 10

ȋn funcție de vitezele liniare

l1 ,l2 ale motoarelor c1, c2

(rezultă sistemul 2). Rezolvarea fiecărui sistem e simplă și directă; se ȋnmulțește la pasul a prima ecuație cu un cos iar a doua ecuație cu un sin, se adună cele două relații rezultate și se obține o ecuație simplă liniară de gradul 1 cu o necunoscută. La pasul b se repetă procedura dar amplificarea celor două ecuații ce urmează să se adune se face cu alte cos și sin luate de la pasul b.

 IIa IIb    cos  l  l sin    a sin    e sin    cos   cos  10 2 2 10 10 6 6 3 3 10 6    sin   sin  sin 10l2  l2 cos 1010  a cos  6 6  e cos  33 10 6   IIa  l  a  sin        e  sin        2 10 6 6 6 3 3  (2)      e  sin       l   6 3 3 2 10   6  k   6  a  sin 10   6       IIb  cos 10   6   l2  l2  sin 10   6   10  e  sin  6   3    3   cos 10   6   l2  e  sin  6   3   3  10  10   6  k  l2  sin 10   6  

207

La pasul 3, pornind de la sistemul III derivat cu timpul, se calculează viteza unghiulară 1 ȋn funcție de vitezele liniare sistemul 3).

l1 ,l2 ale motoarelor c1, c2 (rezultă

 IIIa    l  cos 1  l3  sin 1  1  2a  sin  6   6   sin 1  3 l3  sin 1  l3  cos 1  1  2a  cos  6   6  cos 1       IIIa  l    2a  cos         2a  cos      3 1 1 6 6 1 6 1 6  l3 

(3)

La pasul 4 aranjăm corespunzător sistemul IV pe care-l derivăm cu timpul și obținem direct vitezele scalare ale punctului endefector M (sistemul 4).

 x M   y M       x  M   y M 

 l3  cos 10  f  cos      a  cos  6  l3  sin 10  f  sin      a  sin  6

(4)

 l3  cos 10  l3  sin 10  10  a  sin  6   6  l  sin   l  cos     a  cos    3

10

3

10

10

6

6

Pentru determinarea accelerațiilor ar trebui ȋn mod normal să derivăm sistemele 1-4 și apoi să le rezolvăm similar cu vitezele, dar o să procedăm la metoda directă, adică la derivarea directă cu timpul a vitezelor care deja au fost explicitate (sistemul 5).

208

l    g  cos             1 3 8 3 8 3 3    g  sin      8 3     cos  8   3     l1  l1  sin  8   3     8   3   8  l1  sin  8   3        l  cos               l  sin       8 3 8 3 8 1 8 3   8 1 l1  sin  8   3        e  cos  6   3    6   3    3  e  sin  6   3   3  l2 6   a  sin 10   6       6  a  cos 10   6   10   6   a  sin 10   6     l  cos      l  sin            2 10 6 2 10 6 10 6      10   l  sin    2 10 6   e  cos  6   3    6   3    3  e  sin  6   3   3    l 2  sin 10   6      l  sin        l  cos          10 6 10 2 10 6 10 6  10 2 l 2  sin 10   6      2a  cos  6  1   6  2a  sin  6  1    6  1    6  1  l3 1  l3       xM  l3  cos 10  l3  sin 10  10  l3  sin 10  10  l3  cos 10  102   2  l3  sin 10  10  a  cos  6   6  a  sin  6  6  y  l  sin   l  cos     l  cos     l  sin    2  3 10 3 10 10 3 10 10 3 10 10  M  l3  cos 10  10  a  sin  6   62  a  cos  6  6 

(5)

Ȋn continuare se pot determina și ceilalți parametrii cinematici ai mecanismului, pentru realizarea cinematicii complete, necesară și-n calculele cinetostatice și dinamice (sistemele relaționale 6-21).

209

 xC   y C  xC    yC 

 c  cos  3  CBD  xC  c  sin  3  CBD   3   c  sin  3  CBD  y C  c  cos  3  CBD   3

  xG3    yG3    xG3    yG3 

 s3  cos 3  CBD     xG3   s3  sin  3  CBD     3   s3  sin  3  CBD     y G3  s3  cos 3  CBD      3   s3  cos 3  CBD     32  s3  sin  3  CBD     3

 c  cos 3  CBD   32  c  sin  3  CBD   3

(6)

 c  sin  3  CBD   32  c  cos  3  CBD   3

(7)

  s3  sin  3  CBD      32  s3  cos 3  CBD     3

2   xD  e  cos  3  x D  e  sin 3  3  xD  e  cos 3  3  e  sin  3  3 (8)      yD  e  sin 3  32  e  cos 3  3    y D  e  sin 3  y D  e  cos  3   3 

   xG4  xC  s4  cos  4   xG4  xC  xG4  xC      yG4  yC  s4  sin  4   y G4  y C   yG4  yC 

 x J   y J  xJ    yJ 

 x K  c  cos 3  JKI  x J  c  sin  3  JKI   3   y K  c  sin  3  JKI  y J  c  cos 3  JKI   3

 x I   y I  xI    yI 

 x K  e  cos  3  x I  e  sin  3  3   y K  e  sin  3  y I  e  cos  3  3

 x L   y L  xL    yL 

 x K  g  cos 3    x L   g  sin  3     3   y K  g  sin  3    y L  g  cos 3     3

210

 c  cos 3  JKI   32  c  sin  3  JKI   3

(9)

(10)

 c  sin  3  JKI   32  c  cos 3  JKI   3

 e  cos  3  32  e  sin  3  3

(11)

 e  sin  3  32  e  cos  3  3

  g  cos 3     32  g  sin  3     3

  g  sin  3     32  g  cos 3     3

(12)

  xG5    yG5    xG5    yG5 

 x K  s5  cos 3  JKI     xG5   s5  sin  3  JKI     3   y K  s5  sin  3  JKI     y G5  s5  cos 3  JKI     3   s5  cos 3  JKI     32  s5  sin  3  JKI     3

(13)

  s5  sin  3  JKI      32  s5  cos 3  JKI     3

 1 1 1  x  x F  l1  cos  8  xG8  l1  cos  8  l1  sin  8  8   G8  2 2 2    y  y  1 l  sin   y  1 l  sin   1 l  cos    G F 1 8  G8 1 8 1 8 8  2 2 2  8    x  1 l  cos   1 l  sin     1 l  sin     8 1 8 8 1 8 8  G8 2 1 2 2   1 l  cos    2  1 l  sin    8 8 1 8 8  2 1 2   yG  1 l1  sin  8  1 l1  cos 8  8  1 l1  cos  8  8  2 2  8 2  1 1  l1  sin  8  82  l1  cos  8  8 2 2  

 1 1 1  xG10  x A  l2  cos 10  xG10  l2  cos 10  l2  sin 10  10    2 2 2    y  y  1 l  sin   y  1 l  sin   1 l  cos    G A 2 10  G10 2 10 2 10 10  2 2 2  10    x  1 l  cos   1 l  sin     1 l  sin     10 2 10 10 2 10 10  G10 2 2 2 2   1 l  cos    2  1 l  sin    10 10 2 10 10  2 2 2    yG  1 l2  sin 10  1 l2  cos 10  10  1 l2  cos 10  10  2 2  10 2  1 1  l2  sin 10  102  l2  cos 10  10 2  2

(14)

(15)

211

 x E  x D  l3  cos 1   x E  x D  l3  cos 1  l3  sin 1  1     y E  y D  l3  sin 1   y E  y D  l3  sin 1  l3  cos 1  1   xE  xD  l3  cos 1  l3  sin 1  1  l3  sin 1  1   2  l3  cos 1  1  l3  sin 1  1      yE  yD  l3  sin 1  l3  cos 1  1  l3  cos 1  1   l  sin    2  l  cos    1 1 3 1 1  3  1 1 1    xG1  x E  2 l3  cos 1   xG1  x E  2 l3  cos 1  2 l3  sin 1  1    y  y  1 l  sin   y  y  1 l  sin   1 l  cos    G E 3 1  G1 E 3 1 3 1 1  2 2 2  1    x  x  1 l  cos   1 l  sin     1 l  sin     E 3 1 3 1 1 3 1 1  G1 2 2 2   1 l  cos    2  1 l  sin    1 1 3 1 1  2 3 2   yG  yE  1 l3  sin 1  1 l3  cos 1  1  1 l3  cos 1  1  2 2 2  1  1 1  l3  sin 1  12  l3  cos 1  1 2 2 

 xG   y G  xG    yG 

 x I  2a  cos  6  xG  x I  2a  sin  6   6   y I  2a  sin  6  y G  y I  2a  cos  6   6

  xH    yH   xH   yH 

 xG6  x I  a  cos  6  x H  x I  a  sin  6   6   yG6  y I  a  sin  6  y H  y I  a  cos  6   6

 xI  2a  cos  6   62  2a  sin  6  6

(16)

(17)

(18)

 yI  2a  sin  6   62  2a  cos  6  6

(19)

 xI  a  cos  6   62  a  sin  6  6  yI  a  sin  6   62  a  cos  6  6

   xG7  xG  s7  cos    xG7  xG  xG7  xG      yG7  yG  s7  sin    y G7  y G   yG7  yG 

(20)

 xM  xG  f  cos    x M  xG xM  xG     y M  yG  f  sin     y M  y G  yM  yG

(21)

212

BIBLIOGRAFIE 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11.

12. 13. 14. 15.

Antonescu P., Mecanisme şi manipulatoare, Editura Printech, Bucharest, 2000, p. 103-104. Adir G., Adir V., RP200 – A Walking Robot inspired from the Living World. Proceedings of the 4th International Conference, Research and Development in Mechanical Industry, RaDMI 2004, Serbia & Montenegro. Angeles J., s.a., An algorithm for inverse dynamics of n-axis general manipulator using Kane’s equations, Computers Math. Applic, Vol.17, No.12, 1989. Atkenson C., Chae H.A., Hollerbach J., Estimation of inertial parameters of manipulator load and links, Cambridge, Massachuesetts, MIT Press, 1986. Avallone E.A., Baumeister T., Marks’ Standard Handbook for Mechanical Engineers 10th Edition, McGraw-Hill, New York, 1996. Baili M., Classification of 3R Ortogonal positioning manipulators. Technical report, University of Nantes, September 2003. Baron L. and Angeles J., The on-line direct kinematics of parallel manipulators using joint-sensor redundancy. In ARK, Strobl, 29 Juin-4 Juillet, 1998, p. 127-136. I. Bogdanov, Conducerea roboţilor. Editura Orizonturi Universitare Timisoara, 2009, ISBN 978-973-638-419-6. Borrel P., Liegeois A., A study of manipulator inverse kinematic solutions with application to trajectory planning and workspace determination. In Prod. IEEE Int. Conf. Rob. and Aut., pp. 1180-1185, 1986. Burdick J.W., Kinematic analysis and design of redundant manipulators. PhD Dissertation, Stanford, 1988. C. Caleanu, V. Tiponut, Ivan Bogdanov, I. Lie, Emergent Behaviour Evolution in Collective Autonomous Mobile Robots. WSEAS International Conference on SYSTEMS, Heraklion, Crete Island, Greece, Iulie 22-24, 2008. Carvalho, J.C.M, Ceccarelli, M., A Dynamic Analysis for Casino Parallel Manipulator, Proc. of Tenth World Congress on The Theory of Machines and Mechanisms, Oulul, Finland, 1999, p. 1202-1207. Ceccarelli M., A formulation for the workspace boundary of general nrevolute manipulators. Mechanisms and Machine Theory, Vol. 31, pp. 637646, 1996. Chen, N-X., Song, S-M., Direct Position Analysis of the 4-6 Stewart Platforms, DE-Vol. 45, Robotics, Spatial Mechanisms and Mecahanical Systems, ASME, 1992, 380-386. Chircor M., Noutãţi în cinematica şî dinamica roboţilor industriali, Editura Fundaţiei Andrei Saguna, Constanţa, 1997.

213

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

214

Choi J-K., Mori, O., Omata, T., Dynamics and stable reconfiguration of self-reconfigurable planar parallel robots, Advanced Robotics, vol. 18, no. 16, 2004, p.565-582 (18). Ciobanu L., Sisteme de roboti celulari- Editura Tehnicǎ, Bucureşti, 2002. Clavel, R., DELTA, a Fast Robot with Parallel Geometry, Proc. Int. Symposium on Industrial Robots, April 1988, ISBN 0-948507-97-7, p. 91100. Codourey, A., Contribution a la Commande des Robots Rapides et Precis. Application au robot DELTA a Entrainement Direct, These a l’Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, 1991. Cojocaru G., Fr. Kovaci, Roboţii în acţiune, Ed. Facla, Timişoara, 1998. Coman D., Algoritmi Fuzzy pentru conducerea robotilor... Teză de doctorat, Universitatea din Craiova, 2008. Comănescu Adr., Comănescu D., Neagoe A., Fractals models for human body systems simulation. Journal of Biomechanics, 2006, Vol. 39, Suppl. 1, p S431. Craig J., Introduction to Robotics, Mechanics and Control. Stanford University. Addison – Wesley Publishing Company, 1986. Dasgupta, B., Mruthyunjaya, T.S., The Stewart platform manipulator: a review, mechanism and machine Theory 35, 2000, p. 15-40. Davidoviciu A., Drăganoiu Gh., Hoanga A., Modelarea, simularea şi comanda manipulatoarelor şi roboţilor industriali. Editura Tehnică, Bucuresti 1986. De Luca A., Zero dynamics in robotic systems. In C.I. Byrnes and A. Kurzhansky editors, Nonlinear Synthesis, pp. 68-87, Birkhauser, Boston, MA, 1991. Denavit J., McGraw-Hill, Kinematic Syntesis of Linkage, Hartenberg R.SN.Y.1964. Devaquet, G., Brauchli, H., A Simple Mechanical Model for the DELTA-Robot, Robotersysteme, vol. 8, 1992, p. 193-199. Di Gregorio, R., Parenti-Castelli, V., Dynamic Performance Indices for 3-DOF Parallel Manipulators, Advances in Robot Kinematics (J. Lenarcic and F. Thomas -edit), 2002, Kluver Academic Publisher, p. 11-20. Do W.Q.D., Yang, D.C.H. (1988). Inverse dynamic analysis and simulation of a platform type of robot. Journal of Robotic Systems, 5(3), p. 209-227. Dobrescu T., Al. Dorin, Încercarea roboţilor industriali- Editura Bren, Bucureşti, 2003. Dombre E., Wisama Khalil, Modelisation et commande des robots, Editions Hermes, Paris 1988. Dorin Al., Dobrescu T., Bazele cinematicii roboţilor industriali. Editura Bren, Bucureşti, 1998. Doroftei Ioan, Introducere în roboţii păşitori, Editura CERMI, Iaşi 1998. Drimer D., A.Oprea, Al. Dorin, Roboţi industriali şi manipulatoare, Ed. Tehnicã 1985. Dumitrescu D., Costin H., Reţele neuronale. Teorie şi aplicaţii. Ed. Teora, Bucureşti, 1996.

37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.

48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.

Faugere, J.C., Lazard, D., The combinatorial classes of parallel manipulators, Mechanism and Machines Theory, 30 (6), 1995, p. 765-776. Fioretti A., Implementation-oriented kinematics analysis of a 6 dof parallel robotic platform. In 4th IFAC Symp. on Robot Control, Capri, 1921 Septembre 1994, p. 43-50. Fong T., Design and Testing of a Stewart Platform Augmented Manipulator for Space Applications. Massachusetts Institute of Technology, Master of Science Thesis, 1990. Fu, K.S., Gonzales, R.C., Lee, C.S.G., Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligence, McGraw-Hill Book Company, 1987. Fujimoto, K., a.o., Derivation and analysis of equations of motion for a 6 d.o.f. direct drive wrist joint. In IEEE Int. Workshop on Intelligent Robots and Systems (IROS), Osaka, 1991, p. 779-784. Geng Z. and Haynes L.S. Six-degree-of-freedom active vibration isolation using a Stewart platform mechanism. J. of Robotic Systems, 10(5), July 1993, p. 725-744. Gerstmann, U., Der Getriebeeinfluß auf die Arbeits- und Positionsgenauigkeit, Disertation, VDI Verlag, 1991. Ghelase D., Manipulatoare şi roboţi industriali. Îndrumar de laborator. Facultatea de Inginerie Brăila, 2002. Ghorbel F., Chetelat O., Longchamp R., A reduced model for constrained rigid bodies with application to parallel robots. In 4th IFAC Symp. on Robot Control, pages 57-62, Capri, September, 19-21, 1994. Giordano, M., Structure Mechanique des Robots et Manipulateurs en Chaines Complex, Le Point en Robotique, France, vol. 2, 1985. Goldsmith, P.B., Kinematics and Stiffness of a Simmetrical 3-UPU Translational Parallel Manipulator, Proc. of the 2002 IEEE, International Conference on Robotics &Automation, Washington DC, 2002, p. 41024107. Grecu B., Adir G., The Dynamic Model of Response of DD-DS Fundamental. In the World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Oulu, Finland, 1999. Grosu D., Contribuţii la studiul sistemelor robotizate aplicate în tehnica de blindate, teză de doctorat, Academia Tehnică Militară, Bucureşti, 2001. Grotjahn, M., Heimann, B., Abdellatif,H., Identification of Friction and Rigid-Body Dynamics of parallel Kinematic structures for Model-based Control, Multibody system Dynamics, vol. 11, no.3, 2004, p. 273-294 (22). Guegan, S., Khalil, W., Dynamic Modeling of the Orthoglide, Advances in Robot Kinematics (J. Lenarcic and F. Thomas -eds), Kluver Academic Publisher, 2002, p. 287-396. Guglielmetti, P., Longchamp, R., A Closed Form Inverse Dynamics Model of the DELTA Parallel Robot, Symposium on Robot Control, Capri, Italia, 1994, p. 51-56. Guilin Yangt - Design and Kinematic Analysis of Modular Reconfigurable Parallel Robots, International Conference on Robotics & Automation, Detroit, Michigan, 1999. Hale, Layon C., Principles and Techniques for Designing Precision Machines. UCRL-LR-133066, Lawrence National Laboratory, 1999.

215

55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63.

64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72.

216

Handra-Luca, V., Brisan, C., Bara, M., Brad, S., Introducere în modelarea roboţilor cu topologie specială, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 2003, 218 pg. Hartemberg R.S. and J.Denavit, A kinematic notation for lower pair mechanisms, J. appl.Mech. 22,215-221 (1955). Hasegawa, Matsushita, Kanedo, On the study of standardisation and symbol related to industrial robot in Japan, Industrial Robot Sept.1980. Hayes, M.J.D., Husty, M.L., Zsombor-Murray, P.J., Solving the Forward Kinematics of a Planar Three-Legged Platform with Holonomic Higher Pairs, Transactions of the ASME, Vol. 121, June 1999, p. 212-219. Hesselbach, J., Plitea, N., Kerle, H., Frindt, M., Bewegungsvorrichtung mit Parallelstruktur, Patentschrift DE 198 40 886 C2, 13.03.2003, Deutsches Patent –und Markenamt, Bundesrepublik Deutschland. Hockey, The Method of Dynamically Similar Systems Applied to the Distribution of Mass in Spatial Mechanisms, Jnl. Mechanisms Volume 5, Pergamon Press, 1970, p. 169-180. Hollerbach J.M., Wrist-partitioned inverse kinematic accelerations and manipulator dynamics, International Journal of Robotic Research 2, 61-76 (1983). Huang, M.Z., Ling, S.-H., Sheng, Y., A Study of Velocity Kinematics for Hybrid manipulators with Parallel-Series Configurations, IEEE, Vol. I, 1993, p. 456-460. Hudgens, J.C., Tesar, D., A Fully-Parallel Six Degrees-of Freedom Micromanipulator: Kinematic Analysis and Dynamic Model, Proceedings of the 5th International Conference on Advanced Robotics (ICAR), 1991, p. 814-820. Husty, M.L., An Algorithm for Solving the Direct Kinematics of General Stewart-Gough Platforms, Mechanism and Machine Theory, Vol. 32, No. 4., p. 365-379. Ion I., Ocnărescu C., Using the MERO-7A Robot in the Fabrication Process for Disk Type Pieces. In CITAF 2001, Tom 42, Bucharest, Romania, pp. 345-351. Ispas V., Aplicaţiile cinematicii în construcţia manipulatoarelor şi a roboţilor industriali, Ed. Academiei Române 1990. Ivănescu M., Roboţi industriali. Editura Universităţii Craiova 1994. Ji, Z., Dynamic decomposition for Stewart platform. ASME J. of Mechanical Design, 116 (1), 1994, p. 67-69. Jo, D.,Y., Workspace Analysis of Multibody Mechanical Systems Using Continuation Methods, Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, vol. 111, 1989, p. 581-589. N. Joni, A. Dobra, M. Nitulescu, Actual Distribution and Midterm Development Prognosis of Industrial Robots in Romania. Lucrarile conferintei RAAD 2009, 25-27 Mai, Brasov, pag.107. Kane T.R., D.A. Levinson, The use of Kane’s dynamic equations in robotics, International Journal of Robotic Research, Nr. 2/1983. Kazerounian K., Gupta K.C., Manipulator dynamics using the extended zero reference position description, IEEE Journal of Robotic and Automation RA-2/1986.

73.

74. 75.

76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88.

Kerle, H., Krefft, M., Hesselbach, J., Plitea, N., Vorschubeinrichtung für Werkzeugmaschinen, Patentanschrift, Bundesrepublik Deutschland, deutsches Patent- und markenamt, DE 102 30 287 B3 2004.01.08, Anmeldetag 05.07.2002, Veröffelntichungstag der Patentverteilung, 08.01.2004 (patent Nr. 102.287.1-14). Khalil W. - J.F.Kleinfinger and M.Gautier, Reducing the computational burden of the dynamic model of robots, Proc. IEEE Conf.Robotics ana Automation, San Francisco, Vol.1, 1986. Kim, H.S., Tsai, L-W., Kinematic Synthesis of Spatial 3-RPS Parallel Manipulators, DETC’02, ASME 2002 Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, Canada, 2002, p. 1-8. Kohli D., Hsu M.S., The Jacobian analysis of workspaces of mechanical manipulators. Mechanisms and Machine Theory, Vol. 22(3), pp. 265-275, 1987. Kovacs Fr, C. Rãdulescu, Roboţi industriali, Universitatea Timişoara, 1992. Krockenberger O., Industrial robots for the automotive industry, SAE journal, nr. 6/1998. Kyriakopoulos K. J. and G.N.Saridis - Minimum distance estimation and collision prediction under uncertainty for on line robotic motion planning, International Journal of Robotic Research 3/1986. Lebret, G., Liu, K., Lewis, F.L., Dynamic Analysis and Control of a Stewart Platform Manipulator, Journal of Robotic Systems 10(5), 1993, 629-655. Lee, W.H., Sanderson, A.C., Dynamic Analysis and Distributed Control of the Tetrarobot Modular Reconfigurable Robotic System, Autonomous Systems, vol.10, no.1, 2001, p.67-82 (16). Li, D., Salcudean, T., Modeling, simulation and control of hydraulic Stewart platform. In IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Albuquerque, 1997, p. 3360-3366. Liegeois, A., Fournier, A., Utilisation des Equations de Lagrange pour la Commande en Temps Reel d’un Robot de Peinture et de Manutention. Contract RNUR/LAM, Montpellier, France, 1979. Liu, X-J., Kim, J., A New Three-Degree-of-Freedom Parallel Manipulator, Proc. of the IEEE International Conference on Robotics6Automation, 1155-1160, 2002. Lorell K., et al, Design and preliminary test of precision segment positioning actuator for the California Extremely Large Telescope. Proceedings of the SPIE, Volume 4840, pp. 471-484, 2003. Luh J.S.Y., Walker M.W., Paul R.P.C., Online computational scheme for mechanical manipulators, Journal of Dynamic Systems Measures and Control 102/1980. Ma O., Dynamics of serial - typen-axis robotic manipulators, Thesis, Department of Mechanical Engineering, McGill University, Montreal,1987. I. Maniu, S. Varga, C. Radulescu, V. Dolga, I. Bogdanov, V. Ciupe – Robotica. Aplicatii robotizate, Ed.Politehnica, Timisoara 2009, ISBN 978973-625-842-8. 217

89.

McCallion, H., Truong, P. D., The Analysis of a Six-Degree-of-Freedom Work Station for Mechanised Assembly, Proceedings of the Fifth World Congress on Theory of Machines and Mechanisms, Montreal, 1979. 90. Merlet, J.-P., Parallel robots, Kluver Academic Publisher, 2000. 91. Miller, K., Optimal Design and Modeling of Spatial Manipulators, The International Journal of Robotics research, vol.23, 2004, p. 127-140 (14). 92. Minotti, P., Decouplage Dynamique des Manipulateurs. Prepositions de Solutions Mecaniques, Mech. Mach. Theory, vol 26, nr.1, 1991, p 107-122. 93. Mitrea M., Asigurarea calităţii în fabricaţia de autovehicule militare, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1997. 94. Moise V., ş.a., Metode numerice. Ed. Printech, Bucureşti, 2007. 95. Moldovan L. – Automatizari in construcţia de maşini. Roboţi industriali vol. 1 Mecanica. Universitatea Tehnică Tg-Mures 1995. 96. Monkam G., Parallel robots take gold in Barcelona, Industrial Robot, 4/1992. 97. Neacşa M., Tempea I., Asupra eficienţei bazelor de date a mecanismelor în diferite faze de asimilare. Revista Construcţia de maşini, nr. 7, Bucureşti, 1998. 98. Neagoe, M., Diaconescu, D.V., şa., On a New Cycloidal Planetary Gear used to Fit Mechatronic Systems of RES. OPTIM 2008. Proceedings of the 11th International Conference on Optimization of Electrical and Electronic Equipment. Vol. II-B. Renewable Energy Conversion and Control. May 22-23.08, Braşov, pp. 439-449, IEEE Catalog Number 08EX1996. ISBN 987-973-131-028-2 (ISI). 99. Nguyen, C.C. a.o., Dynamic analysis of a 6 d.o.f. CKCM robot end effector for dual-arm telerobot systems. Robotics and Autonomous Systems, 5, 1989, p. 377-394. 100. Nitulescu M., Solutions for Modeling and Control in Mobile Robotics, In Journal of Control Engineering and Applied Informatics, Vol. 9, No 34, 2007, pp. 43-50. 101. Ocnărescu C., The Kinematic and Dynamics Parameters Monitoring of Didactic Serial Manipulator, Proceedings of International Conference of Advanced Manufacturing Technologies, ICAMaT 2007, Sibiu, pp. 223228. 102. Olaru A., Dinamica roboţilor industriali, Reprografia Universitãţii Politehnice Bucureşti, 1994. 103. Omri J.El., Kinematic analysis of robotic manipulators. PhD Thesis, University of Nantes, 1996 (in french). 104. Pandrea N., Determinarea spaţiului de lucru al roboţilor industriali, Simpozion National de Roboţi Industriali, Bucureşti 1981. 105. Papadopoulous E., Path planning for space manipulators exhibiting nonholonomic behavior. Proceedings of the IEEE/RSJ Int. Workshop on Intelligent Robots Systems, pp. 669-675, 1992. 106. Parenti C.V., Innocenti C., Position Analysis of Robot Manipulators: Regions and Subregions. In Proc. of International Conf. on Advances in Robot Kunematics, pp. 150-158, 1988. 107. Paul R.P., Robot manipulators, Mathemetics Programing and Control, MIT Press 1981.

218

108.

Păunescu T., Celule flexibile de prelucrare, Editura Universităţii “Transilvania” Braşov, 1998. 109. Petrescu F.I., Grecu B., Comănescu Adr., Petrescu R.V., Some Mechanical Design Elements, Proceedings of International Conference Computational Mechanics and Virtual Engineering, COMEC 2009, October 2009, Braşov, Romania, pp. 520-525. 110. Pierrot, F., Dauchez, P., Uchiyama, M., Iimura, K., Toyama, O., Unno, K., HEXA: a Fully-Parallel 6 DOF Japanese-French robot, 1er Congres Franco-Japonais de Mecatronique, Besancon, 20-22 oct. 1992, p.1-8. 111. Plitea, N., Hesselbach, J., Frindt, Kusiek,A., Bewegungsvorrichtung mit Parallelstruktur. Patentschrift DE 197 57 133 C1, Deutsches Patentamt, München, erteilt 29.07.1999 (angemeldet am 20.12.1997). 112. Pooran, F.J., Dynamics and Control of robot manipulators with closedkinematic chain mechanism. Ph.D Thesis, Washington D.C., 1989. 113. Powell I.L., B.A.Miere, The kinematic analysis and simulation of the parallel topology manipulator, The Marconi Review, 1982. 114. Raghavan, M., Roth, B., Solving polynomial systems for the kinematics analysis of mechanisms and robot manipulators, ASME J. of Mechanical Design, 117 (2), 1995, p.71-79. 115. Reboulet, C., Pigeyre, R., Hybrid Control of a 6 d.o.f. in parallel actuated micromanipulator mounted on a SCARA robot, Int J. of Robotics and Automation, 7 (1), 1992, p. 10-14. 116. Renaud M., Quasi-minimal computation of the dynamic model of a robot manipulator utilising the Newton-Euler formulism and the notion of augmented body. Proc. IEEE Conf. Robotics Automn Raleigh, Vol.3, 1987. 117. Riesler, H., Zur Berechnung geschlossener Lösungen des inversen kinematischen Problems, Fortschritte der Robotik, 16, Vieweg, 1992. 118. Rong, H., Liang, C.,G., A Direct Displacement Solution to the TrianglePlatform 6-SPS Parallel Manipulator, 8th Congres on the Theory of Machines and Mechanisms, Prague, Cehoslovacia, 1991, p. 1237-1239. 119. Seeger G., Self-tuning of commercial manipulator based on an inverse dynamic model, J.Robotics Syst. 2 / 1990. 120. Sefrioui, J. and Gosselin, C.M., Étude et reprézentation des lieux de singularité des manipulateurs parallèles spheriques à trois degrés de liberté avec actionneurs prismatiques, in Mech. Mach. Theory Vol. 29, No.4, 1994, p. 559-579. 121. Seyferth, W. (1972), Dynamische und kinetostatische Analyse eines räumlichen Getriebes unter Verwendung von Ersatzmassen, PhD. Thesis, TU Braunschweig. 122. Shi, X., Fenton, R., G., Structural Instabilities in Platform-Type Parallel Manipulators due to Singular Configurations, DE-Vol.45, Robotics, Spatial Mechanisms and Mechanical Systems, ASME, 1992. 123. Simionescu I., Ion I., Ciupitu Liviu, Mecanismele roboţilor industriali. Vol. I, Ed. AGIR, Bucureşti, 2008. 124. Smith S.T., Chetwynd D.G., Foundations of Ultraprecision Mechanism Design. Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, 1992.

219

125.

Stareţu I., Proiectarea creativă în concepţie modulară a mecanismelor de prehensiune cu bacuri pentru roboţii industriali. Teză de doctorat, Universitatea Transilvania din Braşov, 1995. 126. Stănescu A., Dumitrache I., Inteligenţa artificiala şi robotica, Ed.Academiei, Bucureşti 1983. 127. Sturm, A.J., Erdman, A.G., Wang, S.H., Design and Analysis of an Industrial 3P3R Robot, ASME Paper 82-DET-32, 1982. 128. Tabără I., Martineac A., The influence of the revolute real axes deviations on the position accuracy of a robot with parallel rotational axes. Proceedings of SYROM 2001, Bucharest, Romania, Vol. II, pp. 315-320. 129. Tadokorro, S., Control of parallel mechanisms. Advanced Robotics, 8 (6), 1994, p. 559-571. 130. Tahmasebi, F., Tsai, L-W., Jacobian and Stiffness Analysis of a Novel Class of Six-dof Parallel Minimanipulators, DE-Vol.47, Flexible Mechanisms, Dynamics and Analysis, ASME, 1992, p. 95-102. 131. Tamio Arai, Hisashi Osumi, Three wire suspension robot, Industrial Robot, 4/1992. 132. Tabacaru V., Sisteme flexibile de fabricaţie. Vol. I Roboţi industriali şi manipulatoare. Universitatea ”Dunarea de Jos” Galaţi, 1995. 133. Trif N., Automatizarea proceselor de sudare, Editura Lux Libris, Braşov, 1996. 134. Tsai L-W. Solving the inverse dynamics of a Stewart-Gough manipulator by the principle of virtual work. ASME J. of Mechanical Design, 122(1), Mars 2000, p. 3-9. 135. Vazquez, F., Marin, R., Trillo, J. L., Garrido, J., Object Oriented Modeling, Design & Simulation of Industrial Autonomous Mobile Robots, EURISCON, 1994, p. 361-371. 136. Vukobratovic M., Applied dynamics of manipulation robots, New York, 1989. 137. Walker, M., W., Orin, D.E., Efficient Dynamic Computer Simulation of Robotic Mechanisms, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, vol 104; 1982, p 205-211. 138. Wampler, C,W., Forward displacement analysis of general six -in parallel SPS (Stewart) platform manipulators using some coordinates. Mechanism and Machine Theory, 31 (3), 1996, p. 331-337. 139. Wang J. et Gosselin C.M. A new approach for the dynamic analysis of parallel manipulators. Multibody System Dynamics, 2(3), Septembre 1998, p. 317-334. 140. Wu, Y., Gosselin, C., On the Synthesis on a Reactionless 6-DOF Parallel Mechanism using Planar Four-Bar Linkages, Proc. of the Workshop on Fundamentals Issues and Future Research Directions for Parallel mechanism and Manipulators, Canada, 2002, p. 310-316. 141. Yang, K-H., Park, Y-S., Dynamic Stability Analysis of a Flexible Four-Bar Mechanism and its Experimental Investigation, Mech. Mach. Theory, Vol. 33, No. 3, 1998, p. 307-320. 142. Zhang C., Song S-M., Forward Position Analysis of Nearly General Stewart Platforms, ASME Robotics, Spatial Mechanisms and Mechanical Systems, DE-Vol 15, 1992, p. 81-87.

220

143.

Zlatanov, D., Dai, M.,Q., Fenton, R., G., Benhabib, B., Mechanical Design and Kinematic Analysis of a Three-Legged Six Degree-ofFreedom Parallel Manipulator, De- Vol. 45, Robotics, Spatial Mechanisms and Mechanical Systems, ASME, 1992, p. 529-536.

221

222

223

224