Sistemas De Segundo Orden

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN A UNA SEÑAL DE ENTRADA DEL TIPO ESCALÓN UNITARIO _____________________________________________________ Introducción Función de transferencia. Dentro de este primer paper se demuestra la respuesta de un sistema de segundo orden a una señal de entrada del tipo escalón unitario, propuesta por Benjamín C. Kuo en Automatic Control System. Para la edición del presente texto se utilizó el procesador de textos Microsoft Word en versión 2003, el cual presento ciertas complicaciones en el manejo de las ecuaciones. La intención es desarrollar y motivar al estudiante para realizar textos de este tipo, así como fomentar la investigación y la divulgación de esta misma, en lo personal me parece un excelente incentivo además de una buena oportunidad para fomentar el conocimiento.

Razón que relaciona la señal de entrada con la señal de salida o respuesta, de un sistema, en el dominio de la variable compleja s. La cual es denotada por H(s) y se puede determinar según la expresión:

H ( s) 

Y ( s) X (s)

Donde H (s) es la función de transferencia, Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y(t) y X (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada x(t) Señal del tipo escalón unitario.

Terminología empleada

Cuando se tiene como entrada una señal de entrada del tipo escalón, esta nos ayuda a conocer la respuesta del sistema cuando ocurren cambios abruptos en su entrada, también nos proporciona un bosquejo del tiempo en el que se establece la señal, es decir, el tiempo que tarda el sistema en alcanzar su respuesta permanente

A lo largo de este documento se utiliza una terminología apta para la comprensión del tema, a continuación se presentan definiciones breves las cuales servirán como preámbulo del tema. Sistema.

Esta señal se representa de la siguiente manera

Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen determinado objetivo, el término sistema hay que interpretarlo como referido a sistemas físicos, biológicos, económicos entre otros. Aquí únicamente nos referiremos a los sistemas físicos los cuales son de naturaleza simple y del tipo mecánico, electromecánico, térmico, hidráulico, neumático etc.

x(t )  Au 1 (t ) . Donde

u 1 (t ) ---- escalón unitario A ---- constante. Y esta acotada de la siguiente forma:

Señal. Una señal es una representación de una cantidad física contiene la medición y el comportamiento en función de la información que desarrolla en el tiempo y en la frecuencia de un fenómeno físico.

-1-

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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Sistema de segundo orden

2)

0  1

Un sistema representado diferencial:

Se tienen 2 raíces complejas conjugadas, se dice que el sistema es subamortiguado.

de segundo orden es por la siguiente ecuación

3)

d ²y dy  a1  a 0 y  bx(t ) dt ² dt

 1

Se tienen 2 raíces reales iguales, se dice que el sistema es críticamente amortiguado.

Donde a1 , a0 y b son constantes.

Dependiendo del valor que tome  el sistema tendrá diferentes comportamientos, como se muestra de forma esquemática en la figura 1.0

La ecuación diferencial antes mostrada tiene como función de transferencia la siguiente expresión: :

 n2 Y ( s)  H s   2 X ( s) s  2 n s   n2

FIGURA 1.0

Donde  y  n son las características dinámicas de un sistema.

 n --- Frecuencia natural. Que es un indicador de la rapidez de respuesta.

 ---- Coeficiente de amortiguamiento. El cual proporciona una idea del grado de oscilación de la respuesta. Polos de un sistema. Son las raíces del denominador de la función de transferencia; de ellos depende la respuesta de un sistema. Para un sistema de segundo orden los polos se expresan como:

P1, 2    n   n



2

Parámetros descriptivos de un sistema Sobrepaso Mp. Es la máxima sobre desviación con respecto al valor final de la respuesta del sistema. Generalmente se expresa como el porcentaje de exceso del valor máximo de la salida con respecto al valor final.



1 .

De los polos del sistema se desprenden tres casos para el coeficiente de amortiguamiento  con los cuales se clasifican los sistemas dinámicos de segundo orden.

Tiempo de retardo td Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el 50 por ciento de su valor final. Tiempo de levantamiento tr

1) Es una medida del tiempo que le toma al sistema para que la respuesta pase del 10 al 90 por ciento del valor final.

  1 Se tienen 2 raíces reales diferentes, en este caso se dice que el sistema es sobreamortiguado.

2

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Tiempo de asentamiento ts

Donde

Es el mínimo valor del tiempo a partir del cual la respuesta estará dentro del cinco por ciento de su valor final.

A 1 B  2  n C  2 n

Calculo de los polos de un sistema de segundo orden.

Ahora calculamos los valores característicos o eigenvalores, a partir de la siguiente expresión:

Sistema de segundo orden tiene un modelo de la siguiente forma:

d ²y dy  a1  a 0 y  bx(t ) dt ² dt

P1, 2 

Donde a1 , a0 y b son coeficientes constantes que están definidos como:

Sustituyendo valores:

a1  2 n

P1,2 

a 0   n2

b 

 B  B 2  4 AC 2A

 2  n  (2  n) 2  4(1)( n2 ) 2(1)

2 n

Simplificando la expresión queda:

Ahora al sustituir estos valores en los coeficientes la expresión queda:

 2  n  4 2 n2  4 n2

d2 d y(t )  2 n y (t )   n2 y (t )   n2 x(t ) 2 dt dt

P1,2 

Convirtiendo la ecuación diferencial al dominio de s, para de esta forma, deducir la función de transferencia.

P1,2 

 2  n  4 n2  2  1

s2Y(s) sY'(0) sY(0) a1sY(s) Y(0)a0Y(S) bX(s)

P1,2 

 2  n  2 n

Factorizando Y(s)



2



2



1

2

0

P1, 2    n   n

Por lo tanto la función de transferencia queda:

H ( s) 



Finalmente los polos complejos conjugados del sistema son:

Y (s)s²  a s  a bX (s) 1

2



2



1

Los cuales serán utilizados posteriormente.

 n2 Y ( s)  X (s) s²  2 n  n2

Para la obtención de los polos del sistema, igualamos a cero el denominador de la función de transferencia H(s), al que llamamos ecuación característica.

s ²  2 n   n2  0

3

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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Ahora consideremos el caso que realmente nos interesa esto es cuando el sistema está subamortiguado para ello necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:

Calculo de la respuesta de un sistema de segundo orden a una señal de entrada del tipo escalón unitario.





1)  2  1  0 Tenemos una ecuación diferencial de segundo orden que representa un sistema físico con la siguiente expresión matemática.

2)

d2 d y (t )  2 n y (t )   n2 y (t )   n2 e(t ) 2 dt dt

Con estas condiciones aseguramos que hay dos raíces complejas, debido a que en ambas está presente la raíz cuadrada de (-1).

Donde e(t ) representa la señal de entrada del sistema, en este caso se le aplica una del tipo escalón unitario con lo cual la ecuación diferencial del sistema queda de la siguiente manera.

 1

s 2 ,3   n   n  1  2  1

Si se sustituye

[1]

 1 por j:

[3]

s 2 ,3   n  j n 1   2

d2 d y (t )  2 n y (t )   n2 y (t )   n2U 1 (t ) 2 dt dt

Por lo tanto si sustituimos [3] en [2] obtiene una nueva ecuación:

De la ecuación anterior se obtiene la función de transferencia en el domino de la frecuencia, esto mediante la transformada de Laplace. Entonces de ésta se puede obtener directamente la respuesta en frecuencia de un sistema con la cual se obtendrá la respuesta en el dominio del tiempo a través del método de Heaviside o comúnmente conocido como expansión en fracciones parciales.

[4] y( s) 

 n2 (s )(s  ( n  j n 1   2 ))(s  ( n  j n 1   2 ))

Para evitar estar acarreando con términos demasiado largos recurriremos a un cambio de variable que definimos a continuación:

[2]

a   n y

b  n 1   2 Cuya ecuación característica es:

s s

2

2 n

 2 s  

2 n

Con esto la ecuación [4] queda de la siguiente manera.

 0

y(s ) 

Y por lo tanto los polos del sistema son los siguientes.

 n2 ( s)(s  (a  jb))(s  (a  jb))

Ahora comenzamos a aplicar el método de Heaviside para poder obtener la respuesta del sistema en el dominio del tiempo. Comenzaremos por realizar la expansión de la respuesta en frecuencia y(s), introduciendo las constantes A, B y C, a las

s1  0 s 2 ,3   n   n  2  1

4

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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cuales se les deberá obtener su expresión algebraica, y así poder aplicar la transformada inversa de Laplace.

B

[5]

2 2 1  ((  1)  j 1   )   2  2  (  1) 2   2 (1   2 ) 

Factorizando (-1) en el numerador y ( 1   2 ) en el denominador.

 n2 A B C    ( s)(s  (a  jb ))(s  (a  jb )) s ( s  (a  jb )) (s  (a  jb ))

Iniciaremos con A, para esto multiplicaremos ambos lados de la ecuación [5] por el factor s y después esta misma será valuada con el valor de cero.

B

2 2  1  (1    j 1   )    2  1 2 

Realizando el cociente

   n2 ( s) B ( s )C A    ( s )( s  ( a  jb ))( s  ( a  jb )) ( s  ( a  jb )) ( s  ( a  jb ))  s 0 

B

1  1  1  j  2  1   2 

Finalmente Por lo tanto [7]

A

n2 a 2  b2

1  B  j 2 2 1 2

Sustituyendo los respectivos valores de a y b obtenemos el valor de la constante A.

Para C, multiplicamos ambos lados de la ecuación [5] por el factor ( s  (a  jb )) , despejamos C y valuamos esta misma con la

( s  a  jb)

[6]

A

 n2 1  n2

 n2 s  (a  jb) B(s  (a  jb)) C    ( s )( s  ( a  jb )) s (s  (a  jb)) sa jb 

Para B, realizaremos un procedimiento semejante al anterior. Multiplicamos ambos lados de la ecuación [5] por el factor ( s  (a  jb)) , despejamos B y valuamos esta misma con la ( s  a  jb)

C

Sustituyendo los valores correspondientes y multiplicando por el conjugado del denominador.

 n2 s  (a  jb) C(s  (a  jb)) B   s (s  (a  jb)) sa jb (s)(s  (a  jb))

B

 n2  2b 2  j 2ab

2 2 1  ((1   )  j 1   )  C    2  (1   2 ) 2   2 (1   2 ) 

 n2  2b 2  j 2ab

Factorizando ( 1   2 ) en el denominador.

Sustituyendo los valores correspondientes y multiplicando por el conjugado del denominador.

C

5

2 2 1  (1    j 1   )     2  1 2 

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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Realizando el cociente

Aplicando propiedades de exponenciales.

[8]

[10]

1  C   j 2 2 1  2

y(t )  u 1 (t )  1   (  j )e nt e jn 2 2 2 1 1   (  j )e nt e  jn 2 2 2 1

Una vez que encontramos los valores de las constantes A, B y C los sustituimos en la ecuación [5]. [9]

e j  cos  jsen Si se aplica la ecuación [11] en la [10] y se saca el factor común, la respuesta en el domino del tiempo quedará en función de senos y cosenos lo cual es favorable para una reducción mediante identidades trigonométricas. La ecuación queda de la siguiente manera:

Para el primer sumando de la ecuación utilizaremos directamente la siguiente:

1  £ 1    u 1 (t ) s 

y (t )  u  1 (t )   1     cos( j n 1   2 t )  jsen ( j n 1   2 t )      j 2   2   2 1      e  n t      1    cos(  j n 1   2 t )  jsen (  j n 1   2 t )       j 2  2 1    2 



Y para el segundo y tercer sumando:





 1  at £ 1  e s  a

sen( )   sen( )

y (t )  u 1 (t )  1 2 ) t



Para este punto es necesario aplicar un par de identidades trigonométricas, para las cuales no se incluye demostración.

Por lo tanto la ecuación [9] ya en el domino del tiempo queda de la siguiente manera.

1   (  j )e (  n  jn 2 2 2 1

1 2 t

[11]

Ahora a la ecuación anterior se le aplicará la transformada inversa de Laplace y no la transformada integral debido a la facilidad que representa.

1   j )e (  n  jn 2 2 2 1



Además sabemos que la siguiente expresión es válida.

1  1    j   j 2 2 2 1  2 2 1 2 1 y(s )    ( s ) ( s  ( n  jn 1   2 )) ( s  (n  jn 1   2 ))

 (

1 2 t

y cos( )  cos( )



Haciéndolas válidas 2

1 ) t

y(t )  u 1 (t )   1     cos( j 1   2 t )  jsen( j 1   2 t )      j n n 2   2   2 1      e  n t      1    cos( j 1   2 t )  jsen( j 1   2 t )      j n n 2 1   2    2 







6



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Ahora es necesario realizar el producto que se encuentra en el interior de los corchetes, y para facilitar dicha operación realizaremos de nuevo un cambio de variable. [12]

  n 1   2

[13]

K

Ahora sustituyendo [12] y [13] en [17].           2         1 nt 2  1     y(t )  u1 (t )  e sen n 1    tg   1 4  2 12                2  2   2 1            

 2 1

Simplificando 2

 1  2   2   1  2 y (t )  u1 (t )  e  n t  sen n 1   2  tg 1     1 2    

Con lo cual la ecuación desarrollada queda de la siguiente forma.

       

Finalmente:

y (t )  u 1 (t )  sen  cos     ( K )sen  j  j ( K ) cos    2 2  e nt    cos( )  ( K ) sen  j sen  j ( K ) cos     2 2

[18]  1   1 2 y(t )  u1 (t )  en t  sen n 1   2  tg 1      1 2   

Simplificando se obtiene

Para simplificar el segundo sumando del argumento de la función seno recurriremos a nuestros conocimientos de trigonometría.

[14]

y(t )  u1 (t )  e nt cos  2( K )sen 

Si

 1 2 tg 1    

Como se observa ésta es una expresión mucho más simple que las anteriores, Para este punto se puede aplicar una identidad trigonométrica más, la demostración de esta se incluye en el Apéndice A. La identidad se presenta de dos formas:

    

Entonces

tg 

[15]

a a cos( x)  bsen( x)  a 2  b 2 sen( x  tg 1 ) b

1  2 

Cuya representación en un triangulo rectángulo, utilizando el teorema de Pitágoras, queda de la siguiente forma.

[16]

b a cos( x)  bsen( x)  a 2  b 2 cos( x  tg 1 ) a

FIGURA 2.0

En este caso se utilizará la expresión [15] para simplificar la [14], por lo que la respuesta del sistema quedará de la siguiente manera.

1

[17]

1 2

   1   y (t )  u 1 (t )  e  nt  1  4 K 2 sen   tg 1     2 K    





7

       

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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Desarrollando

De la figura 2.0

cos 

  1

 

   

2 2 e  nt   cos  n 1   t    n 1   1   2   sen  n 1   2 t  

Por lo tanto

  0  

[19]

  cos 1 ( )

Al aplicar la expresión [15]

Finalmente si sustituimos [19] en la ecuación [18] obtenemos la respuesta de un sistema de segundo orden a una excitación del tipo escalón unitario, en el dominio del tiempo.

dy(t ) 

1

2

sen

n



1  2 t  0

El objetivo es despejar t, por lo cual se simplifica la ecuación.

 1  y(t )  u 1 (t )  e n t  sen  n 1   2  cos 1    2  1   



e nt





 

e n t sen  n 1   2 t  0 [20] Ahora se tiene que despejar t haciendo el término

y (t )  u 1 (t ) 

e nt 1 2



2

sen  n 1    cos

1

( n 1   2 )(t )  n

 

Por lo tanto: [21]

t

Que coincide satisfactoriamente con lo propuesto por Benjamín C. Kuo en su libro Sistemas de Control Automático.

ts. FIGURA [3]

Para realizar el cálculo del tiempo de sobrepaso, denotado como t P se deriva la respuesta del sistema y se iguala a cero de la siguiente forma. Nótese que se utiliza  para ahorrar términos.



( n 1   2 )

Como el máximo de la función se obtiene para un valor de n igual a uno. Debido a que el máximo sobrepaso se presenta solo una vez y esta es la primera, ya que después la respuesta del sistema tiende a un valor estable, a partir del tiempo de asentamiento

Tiempo de sobrepaso, sobrepaso y máximo de la respuesta de un sistema de segundo orden a la entrada de la señal escalón unitario

d  e nt 1 sen  n 1   2 t   2  dt  1

n

   0 

8

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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Al sustituir n=1 en la ecuación [21], obtenemos el tiempo de sobrepaso.

Aplicando el resultado obtenido en el desarrollo anterior a la ecuación [23], el valor máximo de la respuesta al escalón de un sistema de segundo orden se calcula de con la siguiente expresión.

[22]

tp 



[24]

( n 1   2 )



y t P   1  e

 1 2

Al sustituir la ecuación [22] en la ecuación [20]. De la expresión se identifica el sobrepaso.   y t p    1  2 n 



1

e

     n  2  (  n 1 

1 2

   ) 

   

[25]



 sen  n 1   2  



     1 2  n



        



Mp  e



Al simplificar la expresión:

Con lo cual se concluye esta serie de procedimientos matemáticos. 

 1 2

     1 e y sen    2  ( 1   2 )  1    n 

BIBLIOGRAFIA

Kuo Benjamín C. Sistemas de Control Automático. Editorial Prentice Hall, USA Séptima Edición.

Finalmente: [23] 

y t P   1 

 1 2

e



Ogata Katsuhiko Ingeniería de Control Moderna. Segunda Edición, Editorial Prentice may, México, 1993.

1 2

1 2

sen   

Canales Ruíz R., Barrera Rivera R. Análisis de Sistemas Dinámicos y Control Automático. Ed Limusa, México, 1980.

sen(   ) se desarrolla De donde aplicando identidades trigonométricas de la siguiente manera:

sen     ( sen )(cos )  (cos  )(sen ) Y con base en la figura 2.0

sen     sen   

(1   2 ) 1

sen     (1   2 )

9

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

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Apéndice A En esta sección se demostrará la identidad trigonométrica presentada en la ecuación [15] del presente texto. P a r tim o s d e : A sen + B cos

 A sen + B cos

(A s e n  + B c o s  ) (A s e n  + B c o s  ) =

A

2

A

2

 B

2

 B

2

2 2

1

 [( A s e n  + B c o s  )2 ] 2 1 2

 [A

s e n 2  2 A B s e n  c o s   B

A

2

 B

2



A

2

 B

2

2

 A  

s e n 2  2 A B s e n  c o s   B 2

A

2

com o 

2

c o s 2 ] 2

c o s 2 ] 2

s e n 2  2 A B s e n  c o s   B A 2  B 2

 A 2 s e n 2  A 2  B 2 

2 A B se n co s A 2  B 2



 A   a n g ta n    sen  B 

si 

2 1

[A





2 2

2



2

c o s 2   

1 2

B 2 c o s 2  A 2  B 2 

  A    a n g ta n  B    A    

2

A 2  B

2

  2 B s e n 2 s e n  c o s  2 2  c o s  se n  sen  cos   A   A 1 B  A   a n g ta n      ta n   B ta n  A  B 

 B

2



A

2

 B

2



A

2

 B

2

 2 sen  cos   s e n 2  c o s

 2 s e n 2 s e n  c o s   co s s e n  ta n  

1 2

1 2

2

 

2

  2 c o s  s e n  s e n  c o s   c o s 2  s e n 2  

1 2

1

 

 2 sen (   )  sen (   )  cos  sen 2 A  B  sen 2 cos 2    cos 2  sen 2   2     sen (   )  sen (   )   sen (   )  sen (   )  2 2  A 2  B 2  sen 2 cos 2   2     cos  sen   2 2      2

2

1



sen (   )  sen (   ) sen (   ) sen (   ) sen (   ) sen (   )  2  sen 2 cos 2       2 2 2 A2  B 2     sen (   ) sen (   )  cos 2  sen 2    2



1 1  2 A  B  sen 2 cos 2   sen 2 (   )  sen (   )  cos 2  sen 2  2 2  

1 2

2

10

RESPUESTA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

_________________________________________________

Como sen 2 x  cos 2 x  1 y sen 2 x 

1  cos 2 x 2 1



2 2   sen (   )  sen (   )  2 1 1  sen (   )  sen (   )   A 2  B 2   sen 2 (   )  sen 2 (   )      2 2 2 2      



1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2  4 sen (   )  2 sen (   ) sen (   )  4 sen (   )  2 sen (   )  2 sen (   )  2 2 A B     1 sen 2 (   )  1 sen (   ) sen (   )  1 sen 2 (   )   4 2 4 



 1 1 1  2 A  B      sen 2 (   )   4 2 4  



A 2  B 2  sen 2 (   )  2



A 2  B 2 sen 2 (   )

1

1 2

2

1

Por lo tanto se demuestra que

A 2  B 2 sen(   )

B cos   Asen  Para

  tg 1

11

A B