Sistemas De Ecuaciones Resumen

Departamento de Matemática Bernardita A. Pérez Ureta

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar distintos métodos a continuación te presentare los más simples: •

Método de sustitución

2x + y = 7   3x − 2 y = 21 1) Despejamos la y de la primera ecuación: y = 7 − 2 x 2) Sustituimos en la otra ecuación: 3x − 2(7 − 2 x ) = 21 3) Resolvemos la ecuación resultante: 3x − 2(7 − 2 x ) = 21

7 x = 35 x=5 4) Para averiguar el valor de “y” sustituimos el valor de x = 5 en la expresión obtenida el paso 1 y = 7 − 2⋅5 y = −3 2x + y = 7   Se puede representar gráficamente: 3x − 2 y = 21 y = −2 x + 7

x 0 1

− 2 y = 21 − 3x ⇒ 2 y = −21 + 3 x ⇒ y =

y 7 5

x 0 7

− 21 + 3 x 2

y -21/2 0

Graficamos los puntos obtenidos y obtenemos que la intersección de ambas rectas es el punto solución: y f(x)=-2x+7 2 1

-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

f(x)=(-21+3x)/2

1

2

3

4

5

6

7

8

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• Método de igualación

4 x − 3 y = −2  5x + 2 y = 9 

1) Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones 3y − 2 9 − 2y y x= x= 4 5 2) Igualamos las dos expresiones anteriores 3y − 2 9 − 2 y = 4 5 3) Resolvemos la ecuación resultante: 15 y − 10 = 36 − 8 y 23 y = 46 y=2

4) Para calcular el valor de x sustituimos y = 2 en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1.

x=

3⋅2 − 2 =1 4

Gráficamente: 6 5 4 3 2 1 -3 -2

-1 -1

y

f(x)=(-2-4x)/-3 f(x)=(9-5x)/2

x 1

2

3

4

5

6

-2

•

Método de reducción Se multiplica una ecuación por un número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema. El método de reducción consiste en eliminar una incógnita del sistema. 2 x + 5 y = −3   − 6 x + 8 y = −14

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1) Vamos a eliminar la “x”. Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2: 6 x + 15 y = −9   − 6 x + 8 y = −14 2) Sumando ambas ecuaciones desaparecen las x y nos queda: 23y = -23
y = -1 3) Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda: 2 x + 5 ⋅ −1 = −3 ⇒ x = 1 Gráficamente: 3 2 1

y

-2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

f(x)=(-3-2x)/5 f(x)=(-14+6x)/8

x 1

2

3

4

5

6

Ejercicios resueltos: Resolver los siguiente sistemas de ecuaciones lineales: 1)

2·X-Y=1 X+Y=0 Solución: X= 1/3

2)

X-Y=0 X+Y=1 Solución: X=1/2

3)

Y=1/2

-X+4·Y=-1 2·X-3·Y=0 Solución: X= - 3/5

4)

Y=-1/3

Y= - 2/5

2X+4Y=1 3X+6Y=3/2 Solución: infinitas soluciones

5)

2X+4Y=1 3X+6Y=3 Solución: no tiene solución

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SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas. Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas, restándolas, multiplicándolas por un número, etc.) Ejemplo: 2 x + 3 y − 7 z = −1   3x + 4 y − 6 z = 5  5 x − 2 y + 4 z = −7  La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x . Todas con respecto a la primera ecuación.

2 x + 3 y − 7 z = −1 − 6 x − 9 y + 21z = 3 ⇒  ⇒ − y + 9 z = 13 3x + 4 y − 6 z = 5  6 x + 8 y − 12 z = 10  2 x + 3 y − 7 z = −1  − 10 x − 15 y + 35 z = 5 ⇒  ⇒ −19 y + 43z = −9 5 x − 2 y + 4 z = −7  10 x − 4 y + 8 z = −14  − y + 9 z = 13  19 y − 171z = −247 ⇒  − 128 z = −256 ⇒ z = 2 − 19 y + 43z = −9 − 19 y + 43z = −9  De la última ecuación obtenemos que z = 2, que sustituyendo en − y + 9 z = 13 resulta - y + 9·2 = 13  y = 5 y a su vez sustituyendo en 2 x + 3 y − 7 z = −1 obtenemos que : 2x + 3·5 – 7·2 = -1  x = -1 Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2) Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos: 1. Sistema con una única solución 2. Sistema con infinitas soluciones 3. Sistema sin solución