Sistemas De Ecuaciones

Matemática – Curso de Nivelación Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de ecuaciones La igualdad

x + y = 10

es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

¿Cuántos pares de valores (x; y) satisfacen la igualdad? (0; 10), (2; 8), (5; 5), (-3; 13), … Son infinitos, pero no cualesquiera, por eso se trata de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto formado por ecuaciones de primer grado.

El siguiente es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:  x + y = 10  2x − y = 2

Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números que verifican la ecuación 2x –y =2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos.

Algunas de las soluciones de la ecuación x + y = 10

son

(0; 10), (2; 8), (5; 5), (4; 6), (-3; 13), … Y algunas soluciones de 2x – y = 2 son (0; -2), (3; 4), (4; 6), (6; 10), (-1; -4), … La solución común es el par (4; 6). Esto significa que para x = 4 e y = 6 se verifican ambas ecuaciones.

Prof. Susana L. Wolff

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Esta forma de hallar las soluciones no es muy práctica ya que podríamos no encontrarlas. Existen distintos métodos que nos permiten resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Como recordarán, algunos de los métodos son: sustitución, igualación, reducción por sumas o restas y determinantes.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en aplicar los siguientes pasos: 1) Despejar una incógnita de una de las ecuaciones Reemplazar en la otra ecuación la incógnita despejada. 2) Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor de una incógnita. 3) Reemplazar el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener el valor de la otra incógnita. Verificación: Se reemplazan los resultados obtenidos en las dos ecuaciones iniciales.  x + y = 10 2x − y = 2

Consideremos el sistema 

1) Despejamos x de la primer ecuación

x = 10 – y

2) Reemplazamos en la otra ecuación

2 (10 – y) – y = 2

3) Resolvemos la ecuación

20 – 2y – y = 2 - 3y = -18 y = -18 : (-3) y=6

4) Reemplazamos el valor obtenido en 1)

x = 10 – 6 x=4

Conjunto solución Verificamos:

4 + 6 = 10

Prof. Susana L. Wolff

S = {(4; 6)} y

2. 4 – 6 = 2

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Método de igualación

El método de igualación consiste en aplicar los siguientes pasos: 1) Despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones 2) Igualar las dos expresiones. 3) Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor de una incógnita. 4) Reemplazar el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones despejadas al principio para obtener el valor de la otra incógnita. Verificación: Se reemplazan los resultados obtenidos en las dos ecuaciones iniciales.

 x + y = 10 2x − y = 2

Consideremos nuevamente el sistema 

1) Despejamos x de las dos ecuaciones x + y = 10 ----------2x – y = 2

------------

2) Igualamos las dos expresiones 3) Resolvemos la ecuación

x = 10 – y x=

10 − y =

2+y 2

2+ y 2

2 (10 – y) = 2 + y 20 – 2y = 2 + y - 2y – y = 2 - 20 - 3y = -18 y = -18 : (-3) y=6

Prof. Susana L. Wolff

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4) Reemplazamos el valor obtenido en alguna expresión de 1) x = 10 – y

o en

x=

2+y 2 2+6 2

x = 10 – 6

x=

x=4

x=4

Conjunto solución Verificamos:

S = {(4; 6)}

4 + 6 = 10

y

2. 4 – 6 = 2

Nota: Aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso de los métodos de sustitución e igualación puede ser cualquiera, es conveniente, por la facilidad de los cálculos posteriores, elegir aquella que tenga coeficiente 1 ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

4 x − 2 y = 6 2x − y = 2

Resolver el sistema 

Aplicando el método de sustitución

- y = 2 – 2x y = - 2 + 2x 4x – 2 (-2 + 2x) = 6 4x + 4 – 4x = 6 4x – 4x = 6 – 4 0=2

Absurdo

En este caso, se llega a un absurdo porque el sistema no tiene solución. Conjunto solución:

Prof. Susana L. Wolff

S={}

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4 x − 2 y = 6 2x − y = 3

Resolver el sistema 

Aplicando el método de sustitución

- y = 3 – 2x y = - 3 + 2x 4x – 2 (- 3 + 2x) = 6 4x + 6 – 4x = 6 4x – 4x = 6 – 6 0=0

Nota: Si al intentar resolver una ecuación, nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 3 = 3), el sistema tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que las dos ecuaciones son equivalentes, y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la verificarían.

Conjunto solución:

Prof. Susana L. Wolff

S = { (x; y) / y = 2x - 3 }