Sistem Koordinat Kutub.pdf

Matematika II Sistem Koordinat Kutub

Pokok Bahasan 1. Pengertian Sistem Koordinat Kutub 2. Hubungan antara Sistem Koordinat Kutub dan Sistem Koordinat Kartesius 3. Kurva Koordinat Kutub

4. Kalkulus dengan Koordinat Kutub

Pengertian Sistem Koordinat Kutub Ada dua cara utama untuk menyatakan posisi titik pada sebuah bidang: 1.Koordinat kartesius, yaitu (x, y) 2.Koordinat kutub (polar), yaitu (r, θ) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik O dan sumbu kutub (ray). Titik O ini disebut kutub atau titik asal. Kemudian dari titik ini kita tarik garis mendatar ke kanan. Inilah yang disebut sebagai sumbu kutub. sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah sistem koordinat kartesius.

Hubungan Koordinat Kutub dan Kartesius Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif sistem koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik Itu dihubungkan oleh persamaan: x = r cos θ

y = r sin θ

r2 = x2 + y2

tan θ =

Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama. Namun juga dapat dibuktikan untuk titik-titik dalam kuadran lain. Untuk menentukan sudut pada titik koordinat kutub dari koordinat kartesius, gambar terlebih dahulu titik koordinat kartesiusnya sehingga penentuan besar sudut lebih mudah dilakukan.

Hubungan Koordinat Kutub dan Kartesius Contoh : 1. Tentukan (a) koordinat kartesius dari titik dengan koordinat kutub (4, π/6) dan (b) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (-3,√3).

2. Tentukan (a) koordinat kartesius dari titik dengan koordinat kutub (5, 1240) dan (b) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (4, -3). Penyelesaian: 3. Tentukan (a) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (-5, 2). dan (b) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (-2, -3).

Hubungan Koordinat Kutub dan Kartesius Contoh : 1. Tentukan (a) koordinat kartesius dari titik dengan koordinat kutub (4, π/6) dan (b) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (-3,√3). Penyelesaian: (a). x = r cos θ = 4 cos π/6 = 4 cos 180/6 = 4 x 0.866 = 3.464 y = r sin θ = 4 sin π/6 = 4 sin 180/6 = 4 x 0.5 = 2 Jadi koordinat kartesius dari titik (4, π/6) adalah (3.464, 2) (b). r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (√3)2 = 9 + 3 = 12 r = √12 = 3.46 tan θ = y/x θ = atan y/x = atan √3/-3 = -300 = -π/6 atau 5π/6 Jadi koordinat kutub dari titik (-3,√3) adalah (3.46, 5π/6)

Hubungan Koordinat Kutub dan Kartesius 2. Tentukan (a) koordinat kartesius dari titik dengan koordinat kutub (5, 1240) dan (b) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (4, -3). Penyelesaian: (a). x = r cos θ = 5 cos 124 = 5 x -0.56 = -2.8 y = r sin θ = 5 sin 124 = 5 x 0.83 = 4.15 Jadi koordinat kartesius dari titik (5, 1240) adalah (-2.8, 4.15) (b). r2 = x2 + y2 = (4)2 + (-3)2 = 16 + 9 = 25 r = √25 = 5 tan θ = y/x θ = atan y/x = atan -3/4 = -36.870 atau 360 - 36.870 = 323.130 Jadi koordinat kutub dari titik (4,-3) adalah (5, 323.130)

Gambar (a)

Gambar (b)

Hubungan Koordinat Kutub dan Kartesius 3. Tentukan (a) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (-5, 2). dan (b) koordinat kutub dari titik koordinat kartesius (-2, -3). Penyelesaian: (a). r2 = x2 + y2 = (-5)2 + (2)2 = 25 + 4 = 29 r = √29 = 5.385 tan θ = y/x θ = atan y/x = atan 2/-5 = -21,80 atau 180 – 21,80 = 158,120 Jadi koordinat kutub dari titik (-5, 2) adalah (5.385, 158.120) (b). r2 = x2 + y2 = (-2)2 + (-3)2 = 4 + 9 = 13 r = √13 = 3,61 tan θ = y/x θ = atan y/x = atan -3/-2 = 56.320 atau 180 + 56.320 = 236.320 Jadi koordinat kutub dari titik (-2,-3) adalah (3.61, 236.320)

Gambar (a)

Gambar (b)

Kurva Koordinat Kutub Seperti halnya dengan sistem koordinat kartesius, kita juga dapat menggambarkan grafik sebuah persamaan kutub. Persamaan suatu kurva diberikan dalam bentuk r = f(θ). Untuk memperoleh kurva r =f(θ), kita dapat mencuplik beberapa harga θ, menghitung harga r yang bersesuaian dengan itu, menggambarkan titik-titik r terhadap θ, dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan lengkungan yang mulus. Sebagai contoh grafik persamaan kutub r = 2 sin θ. Kita arnbil harga-harga θ dengan selang yang memudahkan dan kita buat tabel harga r yang bersesuaian dengan itu.

Kurva Koordinat Kutub Keterangan: 1. Kita pilih skala linear untuk r dan kita nyatakan skala ini sepanjang garis awalnya. 2. Kemudian kita letakkan harga-harga r di atas berturut-turut sepanjang masing-masing arah, gambarkan titiknya, dan akhirnya hubungkan titiktitik tersebut dengan lengkungan yang mulus. 3. Perhatikan bahwa ketika kita meninjau arah 210°, harga r-nya negatif (- 1), karena itu jarak ini kita letakkan dalam arah yang berlawanan dan kita dapatkan lagi titik A.Jadi untuk harga-harga θ yang terletak di antara 180° dan 360°, r bertanda negatif dan lingkaran yang pertama tadi ditelusuri sekali lagi. Jadi grafiknya kelihatan seperti sebuah lingkaran, padahal sesungguhnya ada dua lingkaran yang berimpit, yang satu di atas yang lain.

Kurva Koordinat Kutub Berikut adalah sejumlah kurva kutub khas yang sering dijumpai.

Kurva Koordinat Kutub

Kurva Koordinat Kutub

Kurva Koordinat Kutub Khusus untuk grafik 9 & 10 persamaan r = a + b cos θ memberikan tiga hasil yang menarik, bergantung kepada harga relatif a dan b.

Kurva Koordinat Kutub Contoh : 1. Gambarkan grafik r = 8 sin θ 2. Gambarkan grafik r = 2 sin2 θ 3. Gambarkan grafik r = 4. Gambarkan grafik r = 2 + 4 cos θ

Kurva Koordinat Kutub 1. Gambarkan grafik r = 8 sin θ

Kurva Koordinat Kutub 2. Gambarkan grafik r = 2 sin2 θ θ

r = 2 sin2 θ

0

0

30

0.5

60

1.5

90

2

120

1.5

150

0.5

180

0

210

0.5

240

1.5

270

2

300

1.5

330

0.5

360

0

Kurva Koordinat Kutub 3. Gambarkan grafik r =

θ

r=

0

-

45

6.8

90

2

135

1.2

180

1

225

1.2

270

2

315

6.8

360

-

Kurva Koordinat Kutub 4. Gambarkan grafik r = 2 + 4 cos θ (a < B; simpai didalam)

θ

r = 2 + 4 cos θ

θ

r = 2 + 4 cos θ

0

6

210

-1.5

30

5.5

225

-0.8

60

4

240

0.0

90

2

255

1.0

105

1

270

2.0

120

0

300

4.0

135

-0.8

330

5.5

150

-1.5

360

6.0

180

-2

Kalkulus dengan Koorinat Kutub Samahalnya dengan koordinat kartesius, pada koordinat kutub kita juga dapat mengetahui luas daerah dalam kurva kutub (A), Volume (V) dan panjang busur (s). Untuk mencari nilai tersebut kita menggunakan pendekatan Integral. Berikut adalah rumus umum yang digunakan untuk menghitung luas daerah dalam kurva kutub (A), Volume (V) dan panjang busur (s). Jika r = f(θ)

Luas Daerah dalam Kurva Kutub (A) Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh limason r = 2 + cos θ ? 2. Tentukan luas satu daun dari mawar daun empat r = 4 sin 2θ ? 3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva r = 5 sin θ pada interval θ = 0o dan θ = 60o ?

Luas Daerah dalam Kurva Kutub (A) 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh limason r = 2 + cos θ ? Penyelesaian:

+

+

Luas Daerah dalam Kurva Kutub (A) 2. Tentukan luas satu daun dari mawar daun empat r = 4 sin 2θ ? Penyelesaian: Karena diminta hanya satu daun mawar maka kitaambil daun di kuadran I dengan batas θ = 0o dan θ = 90o .

Luas Daerah dalam Kurva Kutub (A) 3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva r = 5 sin θ pada interval θ = 0o dan θ = 60o ? Penyelesaian:

Volume dalam Kurva Kutub (V) Contoh : 1. Tentukanlah volume benda yang terjadi jika bentuk bidang yang dibatasi oleh r = 2 sin θ dan jari-jari vektor pada θ = 0 dan θ = 90o diputarkan mengelilingi garis awal. 2. Tentukanlah volume benda yang terjadi jika bentuk bidang yang dibatasi oleh r = 2a cos θ dan jari-jari vektor pada θ = 0 dan θ = 90o diputarkan mengelilingi garis awal.

Volume dalam Kurva Kutub (V) 1. Tentukanlah volume benda yang terjadi jika bentuk bidang yang dibatasi oleh r = 2 sin θ dan jari-jari vektor pada θ = 0 dan θ = 90o diputarkan mengelilingi garis awal. Penyelesaian:

0

0

Volume dalam Kurva Kutub (V) 2. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh r = 2a cos θ dan jari-jari vektor pada θ = 0 dan θ = 90o diputarkan mengelilingi garis awal. Penyelesaian:

Panjang Busur dalam Kurva Kutub (s) Contoh : 1. Tentukanlah panjang busur spiral r = ae3θ dari θ = 0 sampai θ = 360o 2. Tentukanlah panjang cardioid r = a + a cos θ dari θ = 0 sampai θ = 180o

Panjang Busur dalam Kurva Kutub (s) 1. Tentukanlah panjang busur spiral r = ae3θ dari θ = 0 sampai θ = 360o Penyelesaian:

Panjang Busur dalam Kurva Kutub (s) 2. Tentukanlah panjang cardioid r = a + a cos θ dari θ = 0 sampai θ = 180o Penyelesaian:

Tugas Contoh : 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva r = 5 sin θ pada interval θ = 0o dan θ = 60o ?

2. Tentukanlah volume benda yang terjadi jika bentuk bidang yang dibatasi oleh r = 2a cos θ dan jari-jari vektor pada θ = 0 dan θ = 90o diputarkan mengelilingi garis awal. 3. Tentukanlah panjang cardioid r = a + a cos θ dari θ = 0 sampai θ = 180o

Luas Daerah dalam Kurva Kutub (A) 1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva r = 5 sin θ pada interval θ = 0o dan θ = 60o ? 1. Penyelesaian:

Volume dalam Kurva Kutub (V) 2. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh r = 2a cos θ dan jari-jari vektor pada θ = 0 dan θ = 90o diputarkan mengelilingi garis awal. Penyelesaian:

Panjang Busur dalam Kurva Kutub (s) 3. Tentukanlah panjang cardioid r = a + a cos θ dari θ = 0 sampai θ = 180o Penyelesaian: