Sistem Dengan Dua Derajat Kebebasan

Sistem dengan dua derajat kebebasan

Sistem dengan dua derajat kebebasan • Sistem sebuah massa dengan dua degree of fredom ditunjukkan pada gambar. • Sistem ini dapat bergetar dengan menggunakan beberapa cara antara lain: • Gaya sinusoidal yang bekerja pada massa m1 mengakibatkan terjadi gaya getaran pada sistem • Getaran pada sistem yang diakibatkan oleh beban impact pada massa m2.Contoh pada mesin pada mesin impact.

Sistem dengan dua derajat kebebasan

Frame yang terletak di atas anvil

Impact machines with its frame mounted on the anvil

Pemodelan Mesin Impact

Perhitungan Natural Frequency • Sistem pada gambar diasumsikan menjadi two-degree-of-freedom system. Free body diagram ditunjukkan pada gambar. • Persamaan pengatur getaran bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

Perhitungan Natural Frequency m1z  k1 z1  k 2 ( z1  z 2 )  0 (damping sistem diabaikan) dan m2 z2  k 2 ( z 2  z1 )  0 , (damping sistem diabaikan) dimana k1,k2= konstanta pegas sistem z1, z2 = perpindahan vertikal massa m1 dan m2.

Perhitungan Natural Frequency Misalkan persamaan displacement yang terjadi pada kedua mass adalah:

z1  A sin n t z 2  B sin  n t

 n =Natural frequancy sistem Substitusikan persamaan displacement yang terjadi ke persamaan getaran, diperoleh:

Perhitungan Natural Frequency A(k1  k 2  m1 )  k 2 B  0 2 n

dan  Ak 2  (k 2  m2 ) B  0 2 n

Misalkan:

m2  m1

Perhitungan Natural Frequency dimana  nl1 dan  nl 2 dihitung sebagai berikut :

 nl1

k1 dan  m1  m2

 nl 2 

k2 m2

Bentuk akhir persamaan pengatur sistem dengan dua derajat kebebasan adalah:

 n4  (1   )( nl2 1   nl2 2 ) n2  (1   ) nl2 1 nl2 2  0

Amplitudo getaran mass m1 dan m2 Getaran diakibatkan sebuah gaya getaran bekerja pada m1. Persamaan getaran dapat dituliskan sebagai berikut:

m1 z1  k1 z1  k 2 ( z1  z 2 )  Qo sin t

m2 z 2  k 2 ( z 2  z1 )  0 Misalkan persamaan displacement yang terjadi pada kedua massa adalah:

z1  A sin n t z 2  B sin  n t

Amplitudo getaran mass m1 dan m2 Seterusnya substitusikan persamaan displacement ke persamaan getaran, diperoleh: A1 (m1 2  k1  k 2 )  A2 k 2  Qo

A2 (k 2  m2 2 )  A1k 2  0

Sehingga diperoleh nilai: A1k 2 A2  ( k 2  m2  2 )

Amplitudo getaran mass m1 dan m2 Kombinasikan Nilai A2 ini ke persamaan lendutan, diperoleh: A1k 2 A1 (m1 2  k1  k 2  0 2 ( k 2  m2  ) atau Qo ( nl2 2   2 ) A1  m1( 2 ) Dimana: ( 2 )   n4  (1   )( nl2 1   nl2 2 ) n2  (1   )( nl2 1 )( nl2 2 )  0

Amplitudo getaran mass m1 dan m2 Dengan cara yang sama diperoleh: Qo nl2 2 A2  m1 ( 2 ) Dapat dilihat bahwa, untuk nilai A1= 0 jika  nl 2   Persamaan di atas mengilustrasikan prinsip vibration absorber.

Getaran diakibatkan beban impact pada massa m2 Contoh pada pondasi mesin Impact Diasumsikan getaran yang terjadi diakibatkan adanya kecepatan awal, vo pada m2. Displacement yang terjadi pada m1 dan m2 adalah: z1  C1 sin  n1t  C2 sin  n 2 t dan z 2  D1 sin  n1t  D2 sin  n 2 t

Getaran diakibatkan beban impact pada massa m2

Kondisi awal getaran pada saat t=0 adalah: z1=z2=0 z1  0 dan z 2  v0

Secara simplified diperoleh hasil sebagai berikut: (nl2 2  n21 )(nl2 2  n22 )  sin n1t sin n 2t   v0 z1   2 2 2 nl 2 (nl  n 2 ) n 2   nl Dan  (nl2 2  n22 ) sin nl t (nl2 2  n21 ) sin n 2 t  Va z2  2   v0 2 nl n 2 (nl  n 2 )  

Getaran diakibatkan beban impact pada massa m2 Selanjutnya diperoleh hasil sebagai berikut: Z1 

(

  )(   ) v0  (   ) n 2 2 nl 2 2 nl 2

2 nl 2 nl

2 nl 2 2 n2

Dan (   )v0 Z2  2 (   nl 2 ) n 2 2 nl 2 2 nl

2 n2

2 n2

TERIMA KASIH