Sistem Bilangan Real

Dinandar (107017000858) Dewi Andriani (107017001190) Devi Susilawati (107017000766) Pendidikan Matematika VA Lemma 1.2.1 Misalkan S ⊂ N dan S ≠ Φ , maka S memiliki unsur terkecil, yaitu terdapat n0 ∈ S , Sehingga n0 ≤ n, ∀ n ∈ S Contoh: 1.

S = {1,2,3,……..,10} no = 1  Jadi, 1 ≤ 1

2. S = {2,4,6,8,10} no = 2  Jadi, 2 ≤ 2

no = 11  jadi, 11 ≤ 11

1≤ 2

2≤ 4

11 ≤ 12

1≤ 3

2≤ 8

11 ≤ 13

:

:

:

:

: 2 ≤ 10

: 11 ≤ 15

1 ≤ 10 4.

3. S = {11,12,13,14,15}

S = {96,97,98,99,100} No = 96  Jadi, 96 ≤ 96

5. S = {11,21,31,41,51} no = 11  11 ≤ 11

:

:

:

:

96 ≤ 100

11 ≤ 51

Lemma 1.2.2 Jika x,y ∈ Q dan x < y, maka Z ∈ Q , sehingga x < z < y. Contoh: 1.

2.

26 35 < 10 10

98 123 dan y = 15 15 98 123 < 15 15

29 26 29 35 ∈ Q , maka < < 10 10 10 10 6 30 x= dan y = 15 60 6 30 < 15 60 9 6 9 30 ∈ Q , maka < < 20 15 20 60

112 98 112 123 ∈ Q , maka < < 15 15 15 15 24 17 x= dan y = 13 8 24 17 < 13 8 19 24 19 17 ∈ Q , maka < < 10 13 10 8

x = 2,6 dan y = 3,5

4.

5.

x=

3.

2 1 dan y = 9 2 2 1 < 9 2 1 2 1 1 ∈ Q , maka < < 4 9 4 2 x=

Lemma 1.2.3 (Sifat Archimedes) jika x ∈ Q , maka terdapat n ∈ Z , sehingga x < n Contoh: 35 dan n = 18, maka 77 67 2. x = dan n = 24, maka 12 1. x =

3. x =

35 < 18 77 67 < 24 12

4. 5.

65 65 dan n = 9, maka <9 26 26 126 126 x= dan n = 89, maka < 89 13 13 x=

17 17 dan n = 1, maka <1 34 34

Lemma 1.2.4 Tidak ada x ∈ Q , sehingga x 2 = 2 Contoh: m = 29 n m = 53 = 53 , x= 53 ∉ Q ,karena tidak ada n m = 79 = 79 , x= 79 ∉ Q , karena tidak ada n m = 155 = 155 , x= 155 ∉ Q , karena tidak ada n m = 267 = 267 , x= 267 ∉ Q , Karena tidak ada n

1. x 2 = 29 , x = 29 ∉ Q , karena tidak ada 2. x 2 3. x 2 4. x 2 5. x 2

Teorema 1.3.10 Misalkan S adalah himpunan terurut yang memiliki sifat suprimum, maka S memiliki sifat infimum. Contoh: 1. S = R dan E = {

n 0 ≤ n ≤ 1, n ∈ Ν } 5

1 2 3 4 E = { , , , , 1} 5 5 5 5 1 2. Infimum = dan Suprimum = 1 5 S = { x x ≤ 500 , x ∈ Ν } Infimum = 1 dan Suprimum = 500 3. S = { 11,12,13,14,15,16,17 } Infimum = 11 dan Suprimum = 17

4. S = {x -73 ≤ x < 1989, x ∈ Ζ Infimum = -73 dan Suprimum 17 5. S = Ν o dan E = {0,1,2,3,4,5,6,} Infimum = 0 dan Suprimum = 6

Teorema 1.4.1 (Sifat Archimedes) Untuk setiap x, y ∈ R dan x > 0 , terdapat n ∈ N , sehingga nx > y . Ilustrasi : 1. x = 5, y = 29 n = 11 ada 11 ∈ N sehingga nx > y 11.5 > 29 55 > 29

2. x = 8,2, y = 10,5 n=6 ada 6 ∈ N sehingga

nx > y 6.8, 2 > 10,5 49, 2 > 10,5

3. x = 71, y = 235 n = 48 ada 48 ∈ N sehingga nx > y 48.71 > 235

3408 > 235 4. x = 2,17, y = 93,5 n = 50 ada 50 ∈ N sehingga nx > y 50.2,17 > 93, 2 108,5 > 93, 2 5. x = 9/4, y = 7/2 n = 20 ada 20 ∈ N sehingga nx > y 9 7 20. > 4 2 45 >

7 2

Teorema 1.4.2 Untuk setiap x, y ∈ R dan x < y , terdapat p ∈ Q , sehingga x < p < y . Ilustrasi : 1. x = 2,93, y = 5,71

ada p ∈ Q yaitu

9 9 sehingga 2,93 < < 5, 71 3 3

2. x = 0,74, y = 1,98 ada p ∈ Q yaitu

3 3 sehingga 0, 74 < < 1,98 4 4

3. x = 100,1, y = 102,76 ada p ∈ Q yaitu

505 505 < 102, 76 sehingga 100,1 < 5 5

4. x = 8,23, y = 9,45 ada p ∈ Q yaitu

79 79 < 9, 45 sehingga 8, 23 < 9 9

5. x = 28,53, y = 30,7 ada p ∈ Q yaitu

267 267 < 30,17 sehingga 28,53 < 9 9