Siruri De Numere Reale, Progresii

Şiruri de numere reale Prof: Tulvan Emilia

Obiectivele urmărite în lecţie: • să definească noţiunea de şir de numere reale • să facă diferenţa între un şir de numere reale şi o mulţime de numere reale • să prezinte modalităţile de definire ale unui şir de numere reale, cu exemplificări • să determine termenii unui şir în anumite condiţii date

Defiţie: Un şir de numere reale reprezintă o succesiune de numere reale a1 , a2 , a3 ,...an ,... realizată după o anumită regulă, fiecare număr ocupând un loc bine determinat. Notaţia matematică utilizată este:

( a n ) n≥1

Numerele a1 , a2 , a3 ,...an ,... se numesc termenii şirului ( a n ) n≥1 Indicele fiecărui termen al şirului arată locul pe care-l ocupă acesta în succesiune şi se numeşte rang. Termenul cu indicele n se numeşte termen general.

Exemple de şiruri: ( an ) : 1,2,3,4,..., n,... 2

2

2

2

(bn ) : 1 ,2 ,3 ,..., n ,... 1 1 1 1 n (cn ) : −1, ,− , ,..., ( −1) ⋅ ,... 2 3 4 n ( xn ) : 1,1,2,2,3,3,... ( yn ) : 5,5,5,5,...

Un şir de numere reale se numeşte şir constant dacă toţi termenii săi sunt egali: a,a,a,a,...

Un şir de numere reale nu este o mulţime de numere reale • Într-un şir elementele se pot repeta, pe când într-o mulţime elementele sunt distincte • Ordinea elementelor unei mulţimi nu este esenţială, pe când pentru un şir este foarte importantă

Moduri de definire a unui şir de numere reale

1. Şiruri definite descriptiv (prin descriere) Exemplu: ( d n ) : 1,11,111,1111,...

Acest şir se poate descrie astfel: fiecare termen al său se scrie cu ajutorul cifrei 1 şi numărul cifrelor este egal cu rangul termenului şirului.

2. Şiruri definite cu ajutorul unei formule Un şir poate fi definit indicând o formulă ( numită formula termenului general) din care se obţine orice termen al şirului particularizând pe n (n=1, n=2, n=3,...) Exemplu: Fie şirul ( a n ) n≥1 definit prin formula an = 5n + 2 Termenul a10 = 5 ⋅ 10 + 2 = 50 + 2 = 52

3. Şiruri definite printr-o relaţie de recurenţă O relaţie de recurenţă este o formulă cu ajutorul căreia se exprimă orice termen al şirului, începând de la un anumit rang, în funcţie de termenii precedenţi (unul sau mai mulţi) Exemplu: Fie şirul ( a n ) n≥1 , având primul termen 5 şi relaţia de recurenţă: a n +1 = 2a n + 3 Termenul a2 = 2 ⋅ 5 + 3 = 10 + 3 = 13

Muncă independentă: 1) Să se determine primii trei termeni ai şirului cu termenul general an = 3n + 5 2) Să se determine a 4 , dacă a =-1 şi 1

a n +1

1 = an + 4 2

5) Să se determine formula termenului general pentru şirul definit descriptiv astfel: − 2 3 − 4 5 −6 , , , , ,... 1 2 3 4 4

Exerciţiu oral: Să se completeze cu încă 3 termeni fiecare şir: • • • • •

1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., ..... 2, 12, 22, 32, ......, ......., ..... 7, 9, 11, 13, ......, ......., ..... 19, 16, 13, 10, ......, ......., ..... 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....

Pro gre sia aritme tică

Obiectivele urmărite în lecţie: • să poată identifica o progresie aritmetică • să poată determina orice termen al unei progresii aritmetice, având anumite ipoteze • să utilizeze legătura cu media aritmetică a termenilor unei progresii aritmetice • să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze

Definiţie: Un şir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obţine din termenul precedent adunat cu acelaşi număr se numeşte progresie aritmetică. Aşadar, progresia aritmetică este un şir ( a n ) n≥1 definit prin relaţia de recurenţă a n +1 = a n + r , unde r este un număr real fixat, numit raţie.

Exemple de progresii aritmetice • • • •

1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1 -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2

Proprietăţile unei progresii aritmetice

P1) Un şir ( a n ) n≥1 este progresie aritmetică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică a termenilor vecini lui, adică pentru n ≥ 2 avem: a n −1 + a n +1 an = 2

Exemplu Fie ( a n ) n≥1 o progresie aritmetică pentru care avem a8 = 17 şi a10 = 25. Să se afle a 9 şi raţia r. Soluţie: Avem:

a8 + a10 17 + 25 a9 = = = 21 2 2

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 17, 21, 25, adică r = 4.

P2) Într-o progresie aritmetică ( a n ) n≥1 , termenul general este dat de formula:

a n = a1 + (n − 1) ⋅ r

Exemplu Fie ( a n ) n≥1 o progresie aritmetică pentru care avem a1 = 24 şi r = -5. Să se afle a 9 Soluţie: a9 = 24 + (9 − 1) ⋅ (−5) = 24 − 40 = −16

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice ( a n ) n≥1 este dată de formula: S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n =

( a1 + a n ) ⋅ n 2

Exemplu Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24. Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci: S

( 2 + 24 ) ⋅12 = = 26 ⋅ 6 = 156 2

Exerciţii orale • 1) Care din următoarele şiruri este progresie aritmetică: a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ... b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...

Exerciţii orale 2) Care este raţia unei progresii aritmetice cu a1 =10 şi a 2 = 15

Exerciţii orale • 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 12 formează o progresie aritmetică.

Muncă independentă 1) Să se determine termenii x, y, z, t ai progresiei aritmetice: x,y,-21,z,-15,t,... 2) Să se determine termenul a10 al unei progresii aritmetice dacă a3 =12, a 6 = 30 3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice dacă a3 = −12, a5 = 36, n = 50

Progresia geometrică

Obiectivele urmărite în lecţie: • să poată identifica o progresie geometrică • să poată determina orice termen al unei progresii geometrice, având anumite ipoteze • să utilizeze legătura cu media geometrică a termenilor unei progresii geometrice • să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice, în diverse ipoteze

Definiţie Un şir de numere reale al cărui prim termen este nenul, iar fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu acelaşi număr nenul se numeşte progresie geometrică. Aşadar progresia geometrică ( a n ) n≥1 este un şir definit prin relaţia de arecurenţă n +1 = a n ⋅ q unde q este un număr real nenul fixat, numit raţie.

Exemple de progresii geometrice • • • •

1,3,9,27,81,243,.... cu raţia q = 3 16,8,4,2,1,... cu raţia q = 0,5 1,5,25,125,625,... cu raţia q = 5 1,-1,1,-1,1,-1,... cu raţia q = -1

Proprietăţile unei progresii geometrice

P1) Un şir ( a n ) n≥1

de termeni pozitivi este o progresie geometrică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie geometrică a vecinilor săi, adică pentru n ≥ 2 avem:

a n = a n −1 ⋅ a n +1

Exemplu Fie ( a n ) n≥1 o progresie geometrică pentru care avem a8 = 4 şi a10 = 9. Să se afle a 9 şi raţia q. Soluţie: Avem: a9 = 4 ⋅ 9 = 6 Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 3 4,6,9, adică q = 2

P2) Într-o progresie geometrică ( a ) n n ≥1 termenul general este dat de formula:

an = a1 ⋅ q

n −1

Exemplu Fie ( a n ) n≥1 o progresie geometrică pentru care avem a1 = 24 şi q = 2. Să se afle a 4 Soluţie:

a 4 = 24 ⋅ 2

4 −1

= 24 ⋅ 8 = 192

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice ( a n ) n≥1 este dată de formula:

(

)

a1 ⋅ q n − 1 S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n = q −1

Exemplu Să se calculeze suma S = 1+2+4+8+16+...+256. Soluţie: Avem o progresie geometrică cu raţia q = 2 şi cu numărul de termeni n = 9. Atunci:

(

)

1⋅ 29 −1 S= = 2 9 − 1 = 512 − 1 = 511 2 −1

Exerciţii orale • 1) Care din următoarele şiruri este progresie geometrică: a) 1, 4, 16, 64, 256, ... b) 2, 4, 6, 8, 10, ...

Exerciţii orale 2) Care este raţia unei progresii geometrice cu a1 =10 şi a 2 = 30

Exerciţii orale • 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 36 formează o progresie geometrică.

Muncă independentă 1) Să se detemine primii doi termeni ai progresiei geometrice pentru care a8 =256, q =4

3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice dacă: a1 = 8, a 3 = 2, n = 8

5) Să se verifice dacă numerele 3 , 5 , 7 Pot fi termeni ai unei progresii geometrice?

4) Să se determine x real astfel încât tripletul: x-4, x+2, 2x+2, să fie în progresie aritmetică 5) Să se rezolve ecuaţia: 1+4+7+...+x = 117 6) Un triunghi dreptunghic au măsurile unghiurilor în progresie aritmetică. Ce măsuri au acestea? 7) O tribună a unui stadion se compune din 20 rânduri şi fiecare rând următor are cu 16 locuri mai mult decât rândul precedent. În ultimul rând sunt 404 locuri. Câţi spectatori încap în tribună? 8) Suma a 10 numere în progresie aritmetică este 145. Ştiind că al patrulea, al doilea şi al nouălea termen sunt în progresie geometrică, să se determine numerele.

Spor la muncĂ!!!