Sintonizacion

SESIÓN VI MÉTODOS DE SINTONIZACIÓN ______________________________________________________________________

Se entiende por sintonización el cálculo de los parámetros del regulador, es decir los valores de las constantes K, Ti y Td o sus equivalentes Ki y Kd. En el ambiente industrial esta tarea se puede hacer por tanteo, prueba y error. Sin embargo el método puede ser tedioso y se requieren muchas pruebas y puede también ser peligroso, pues por desconocimiento se puede llevar el proceso a inestabilidades o a sobreoscilaciones no aceptables. Además, un proceso sintonizado sólo por prueba y error no garantiza que tenga el funcionamiento adecuado y respuesta a cambios bruscos en el disturbio o en las referencias. Por ello es siempre oportuno tener un background en base al cual realizar y evaluar la sintonización de un lazo cerrado, sobretodo si el proceso tiene cierta repercusión e importancia dentro de toda la planta industrial. Un lazo mal sintonizado puede tener comportamientos imprevisibles y presentar fallas de diseño, también puede dar lugar a elevar los costos de producción por el consumo de energía que puede aumentar, De esto último se da sobretodo para sistemas térmicos, intercambiadores de calor, sistemas intercambio de energía, columnas de destilación entre otros. Las clásicas reglas de Ziegler Nichols enunciadas hace más de 50 años siguen siendo un primer punto de referencia y tienen resultados aceptables para un buen porcentaje de procesos, estas reglas son empíricas pero requieren de cierta información del proceso. Dichas reglas no constituyen sin embargo el mejor set de parámetros que se puede implementar para un PID y también para algunos tipos de proceso sobretodo con retardos marcados dan comportamientos no buenos. Hay otros métodos de sintonización basados en la minimización de un error que compensan bien los defectos de las reglas de Ziegler Nichols, pues tienen resultados buenos para sistemas con retardos en ciertos márgenes de tolerancia. El método de análisis en frecuencia también constituye una forma de especificar el diseño de un regulador del PID a través de los márgenes de fase y de ganancia. En la década del 90 el Dr. Amstrong del Instituto de Lund en Suecia, realizó importantes publicaciones que proponen reglas de sintonía muy efectivas. Estas reglas constituyen un buen avance en la resolución del problema de sintonización de un regulador, introduciendo importantes y sencillos conceptos que encuentran aplicación en la mejora de la sintonía de los parámetros. En el diseño o sintonía de un regulador hay especificaciones que se tienen que cumplir estas son: • Estabilidad. • Seguir el set-point y atenuar los efectos de los disturbios. • Buen rango de operación. • Atenuar el efecto de los ruidos de medición. • Cierta tolerancia (robustez) frente a incertidumbres del modelo. En esta sesión se describen e ilustran estas técnicas de sintonización. Al finalizar esta sesión se podrá afrontar un problema básico de sintonización de un regulador, empezando por recopilar los datos de los procesos necesarios para aplicar cada técnica y luego establecer los criterios con los cuales se pueda seleccionar y diseñar la metodología adecuada.

Control de Procesos

6.1 Experimento en Cadena Abierta. Aquí sometemos al proceso a una entrada escalón unitario, aplicable sólo para proceso con respuesta tipo “s”.

Fig. 6.1 Respuesta típica a entrada escalón

Método Ziegler-Nichols. Se busca el punto de máxima pendiente. Esta recta determina dos puntos: “a” la intersección con el eje vertical y “L” el cruce con el eje de las abscisas. El método determina que con estos dos parámetros es posible sintonizar un regulador para garantizar estabilidad. Diferentes pruebas, empíricas, han dado como resultado unas tablas en donde se puede deducir directamente los valores de cada parámetro según el regulador a diseñar. La tabla 6.1 indica las respectivas fórmulas K P PI PID

1a 0.9 a 1.2 a

Ti

Td

Tp

4L 5.7 L

3L

2L

L2

3.4 L

Tabla 6.1 Parámetros PID Ziegler Nichols lazo abierto Al ser reglas empíricas no son los parámetros adecuados para este tipo de señal, estos valores son valores aproximados para tener un punto de partida. Método de Chien, Hrones y Reswick (CHR): Este método trata de compensar las marcadas sobresocilaciones que pueden resultar el método anterior, su objetivo es lograr una sintonización de manera que las sobreoscilaciones sean en lo posible menor que el 20%. Se puede privilegiar la respuesta a set-point. En este caso las tablas a usar son las siguientes: La tabla 6.2 muestra los valores de los parámetros cuando se privilegia la respuesta frente a disturbios, se puede aplicar cuando las sobreoscilaciones no superarán el 20% y cuando seán muy pequeñas (prácticamente 0%).

140

Métodos de sintonización

La tabla 6.3 muestra los parámetros cuando se desea privilegiar la respuesta a variaciones de la referencia. K P PI PID

Ti

0.3/a 0.6/a 4L 0.95/a 2.4L a) 0% K

P PI PID

Ti

0.7 a 0.7 a 1.2 a

Td

0.42 L Td

2.3L

2L

0.42 L

b)20% Tabla 6.2 Método CHR rechazo a disturbios

P PI PID

K Ti 0.3/a 0.35/a 1.2T 0.6/a T a) 0%

Td

K

Td

Ti

P

0.7 a

PI PID

0.6/a T 0.95/a 1.4T b)20

0.5T

0.47Td

Tabla 6.3 Método CHR seguimiento del set-point

6.2 Experimento en Cadena Cerrada El experimento se realiza a lazo cerrado. Se pone el regulador en modo proporcional y se va aumentando la ganancia “K” hasta que el proceso ( su salida) se hace inestable (oscilatorio puro), con lo cual obtendremos unos valores de ganancia y frecuencia críticos. Es decir cuando se presente una oscilación permanente decimos que esta en su punto crítico, entonces la ganancia del regulador que origina este comportamiento se denomina ganancia crítica Kc y el periodo de oscilación de la salida se denomina “ periodo crítico de oscilación”, tc. Otros nombres para nombrar a estos valores son: ganancia ultima (Kc) y periodo último (tc). En el diagrama de Nyquist de un proceso P(s) de la figura 6.2 en el punto crítico la ganancia será x, entonces la constante K que hará oscilar permanentemente el sistema será Kc=1/x.

141

Control de Procesos

Fig 6.2 Nyquist de un proceso

No todos los sistemas oscilarán permanentemente, aquellos que con el valor de K cruzan el punto –1 tendrán oscilaciones permanentes. Suponga un sistema de tercer orden P(s)= 1/(s3+3s2+3s+1). La figura 6.3 muestra la salida del sistema a lazo cerrado para diferentes valores de K, valores pequeños conducen a un sistema estable, valores cercanos a 9 dan oscilaciones aproximadamente permanentes y valores mayores que 9 tienden a un sistema inestable divergente. El valor de Kc se determina cuando las oscilaciones tienen amplitudes constantes. Una vez determinado este valor con el gráfico obtenido se cálcula el periodo crítico (Tc) y con estos valores se puede ahora calcular los parámetros del Regulador, según se indica en la tabla 6.4

K P PI PID

0.5Kc 0.4Kc 0.6Kc

Ti 0.8tc 0.5tc

Td

Tp

0.125tc

tc 1.4tc 0.85tc

Tabla 6.4 Valores de parámetros sintonización a lazo cerrado

142

Métodos de sintonización

Fig. 6.3 Salidas del proceso para distintos k

6.3 Minimización de la integral del error

w

e

PID

u

+

y

Fig. 6.4

Es necesario conocer el modelo del proceso G(s) y un tipo de controlador y luego encontrar e(t) = f ( K p , Ti , Td )

143

Control de Procesos

Se busca:

min ∫ f ( e(t ))dt

K p ,Ti ,Td

w y

minimización numérica

error = f(Kp, Ti, Td) Fig. 6.5

Los criterios pueden ser:

min ∫ e(t ) dt

MIAE

Los errores son considerados de la misma importancia (el mismo peso)

min ∫ e(t ) 2 dt

MISE

Problemas con errores pequeños ya que se trata de eliminar a los grandes

min ∫ e(t ) tdt

MITAE

K p ,Ti ,Td

K p ,Ti ,Td

K p ,Ti ,Td

A medida que para el tiempo t el error es personalizado no es lo mismo un error de 1 al inicio que transcurrido un tiempo

6.4 Tabla de sintonía de López et al. •

Para PID paralelo o no interactivo (1967).

•

Para rechazo de perturbaciones

•

Criterio de sintonía: Minimizar la integral del error: MIAE e

d  K p k = a  t

τ d  = a  Ti τ

b

MISE e 2 MITAE e t •

Basadas en un modelo de primer orden con retardo.

•

Procesos cuyo modelo se obtiene experimentalmente.

•

Proporcionan los parámetros a y b de las fórmulas.

•

Válidas para procesos monótonos con d τ < 1.

144

Td d  = a  τ τ

b

b

Métodos de sintonización

6.4.1 Reguladores PI paralelo Criterio

Proporcional

Integral

MIAE

a=0.984

a=0.608

MISE

b=-0.986 a=1.305

b=.0.707 a=0.492

MITAE

b=-0.959 a=0.859

b=-0.739 a=0.674

b=-0.977

b=-0.68

Derivativo

Tabla 6.5

• •

• •

K en %/% Sintonía para rechazo de perturbaciones Válidas para procesos monótonos con d / τ < 1 Para reguladores digitales aumentar “d” en medio período de muestreo

6.4.2 Reguladores PID paralelo

Criterio

Proporcional

Integral

Derivativo

MIAE

a=1.435

a=0.878

a=0.482

MISE

b=-0.921 a=1.495

b=-0.749 a=1.101

b=1.137 a=0.560

MITAE

b=-0.945 a=1.357

b=-0.771 a=0.842

b=1.006 a=0.381

b=-0.947

b=-0.738

b=0.995

d  K p k = a  t

τ d  = a  Ti τ

• •

K en %/%. Sintonía para rechazo de perturbaciones. Válidas para procesos monótonos con d / τ . < 1. Para reguladores digitales aumentar “d” en medio período de muestreo.

min

K p ,Ti ,Td

∫ e(t ) dt

b

Td d  = a  τ τ

Tabla 6.6

• •

b

MIAE

145

b

Control de Procesos

min ∫ e(t ) 2 dt

MISE

K p ,Ti , Td

w y

min ) tdt = f(Kp, Ti, Td) MITAE∫ e( terror K p ,Ti ,Td Fig. 6.6

6.5 Tabla de sintonía de Rovira et al.

•

Para PI, PID paralelo o no interactivo (1969)

•

Para cambios de consigna

•

K

Criterio de sintonía:

d  pK = a   τ

b

Minimizar la integral del error: MIAE

e

MITAE

et

τ d  = a  Ti τ

•

Basadas en un modelo de primer orden con retardo

•

Proporcionan los parámetros a y b de las fórmulas

•

Válidas para procesos monótonos con d / τ < 1

Td d  = a  τ τ

PI paralelo

Citerio

Proporcional

Integral

MIAE

a=0.758 b=-0.861

a=-0.322 b=-1.020

MITAE

a=0.586 b=-0.916

a=-0.165 b=-1.030

146

b

Derivativo

b

Métodos de sintonización

PID Paralelo MIAE

a=1.086 b=-0.869

a=-0.130 b=0.740

a=0.348 b=0.914

MITAE

a=0.965 b=-0.865

a=-0.147 b=-0.796

a=0.308 b=0.929

d  K p k = a  t • •

• •

b

τ d  = a  Ti τ

b

Td d  = a  τ τ

b

K en %/% Sintonía para cambios de consigna Válidos para procesos monótonos con d / τ < 1 Para reguladores digitales aumentar d en medio periodo de muestreo

6.6 Diseño con Margen de fase

-1

O Φ wf

Margen de fase

G(jw)

Fig. 6.7 Diagrama de Nyquist

(

)

W f mayor frecuencia a la que G jw f = 1

( ( ))

φ ángulo que verifica arg G jw f = − π + φ

147

Control de Procesos

A lazo cerrado la respuesta en el tiempo puede ser como indica la Fig. 6.9

w

u

y

G(s)

Fig. 6.8

El margen de fase φ está relacionado con el sobrepico y la estabilidad. La frecuencia w f está relacionada con la velocidad de respuesta

y

tiempo Fig. 6.9

wf =

1 Tr

-1

O

Φ wf G(jw)

G(jw)R(jw)

Fig. 6.10 Diagrama de Nyquist

148

Métodos de sintonización

w

u

R(s)

y

G(s)

Fig. 6.11

El problema del diseño es Calcular R(s) para conseguir un margen de fase de G(jw)R(jw) igual a la φ a la frecuencia w f

O

-1 wf

Φ Φ-π

G(jw)R(jw)

Fig. 6.12

(

) (

)

G jw f R jw f = 1

[ (

) (

arg G jw f R jw f

)] = −π + φ

 Td jw  1 R( jw) = K p 1 + +   Ti jw 1 + 0.1Td jw 

Note que en el regulador se ha incluido el filtro para el ruido

149

Control de Procesos

Diseño de PID con especificación del MF

(

) (

)

G jω f R jω f = 1

[ (

) (

arg G jω f R jω f

)] = −π + φ

PI

 Td jω  1 R ( jω) = K p 1 + +   Ti jω 1 + 0.1Td jω 

PD

Td jω f 1 1 Kp 1+ + = Ti jω f 1 + 0.1Td jω f G jω f

(

 Td jω f 1 arg 1 + +  Ti jω f 1 + 0.1Td jω f

PID

Ti = ∞ Td = αTi

)

  = − π + φ − arg G jω f 

[ (

)]

Td = αTi con α = 0....0,25 •

Dos ecuaciones y tres incógnitas: K p , Ti , Td .

•

Especificar ω f , φ . Rango de valores para los que existe solución. Basta conocer el punto del diagrama de Nyquist.

• •

Td = φ

K p  1+   

1  Td s  Ti + s 1+ 0.1Td s  

 Kp  s + 1T  i 

Caso de reguladores PI

Kp 1+

1 1 = Ti jω f G jω f

 1 arg 1 +  Ti jω f

(

)

[ (

θ = π − φ + arg G jω f

  = − π + φ − arg G jω f 

[ (

)]

  1  1  1 arg 1 + = −θ  = arg 1 − j  = − arctg Ti ω f  Ti ω f  Ti jω f  

1+

150

 1 1 = 1+   Ti ω f Ti jω f 

Ti =

1 ω f tg θ

Kp =

cos θ

(

G jω f

2

  = 1 + tg 2 θ = sec θ  

Wf =

1 Tr

)

)]

Métodos de sintonización

Caso de reguladores PD

Kp 1+

Td jω f 1 + 0.1Td jω f

=

(

1

G jω f

)

  Td jω f arg 1 +  = − π + φ − arg G jω f 1 + 0 . 1 T j ω d f   

[ (

 K p =  G jω f  

(

)

 Td ω f 1+   1+ 0.1Td ω f 

)]

2

       

−1

Td = −1+

1− 0.44 tg θ 0.22 ω f tg θ

θ = π − arg( G ( jω f ) )

y

tiempo Fig. 6.13

A mayor φ menos sobrepico Valores mayores de ω f dan respuestas más rápidas y controles más activos

151

Control de Procesos

El cumplimiento de las ecuaciones

(

) (

)

G jω f R jω f = 1

[ (

) (

arg G jω f R jω f

) ] = −π + φ

No garantiza la estabilidad en lazo cerrado, este caso con ω f alta.

ω f debe ser ligeramente superior a la frecuencia a lazo abierto del proceso.

O

-1 Φ

Φ-π G(jw)R(jw)

Fig. 6.14

6.7 Margen de Ganancia 1 MG = G jω g

(

-1

O

( (

wg

u

))

arg=Gfactor jωg en=el−πque se puede MG incrementar la ganancia antes de que el sistema en lazo cerrado se haga inestable Fig. 6.15

G(jw)

w

)

G(s)

y

Calcular R(s) -1 para conseguirOun margen de ganancia de Gw(g jω) R ( jω) igual a Mγ a la frecuencia ω g G(jw) G(jw) R(jw)

152

Métodos de sintonización Fig. 6.16

w

R(s)

u

y

G(s)

Fig. 6.17

(

) (

)

G jω g R jω g =

[ (

1 Mg

MG

)]

) (

arg G jω g R jω g = − π

(

) (

)

G jω g R jω g = 1

[ (

) (

MF

)]

arg G jω g R jω g = − π + φ  Td jω  1 R ( jω) = K p 1 + +   Ti jω 1 + 0.1Td jω 

6.8 Consideraciones v w

R

u

y G(s)

Fig. 6.18

y=

GR 1 w+ v 1 + GR 1 + GR S wy

R R u= w− v 1 + GR 1 + GR

s wu

1 < 1 para rechazar perturbaciones 1 + GR

s vu

153

Control de Procesos

6.9 Rechazo de perturbaciones | Svy(jω)| en dB ω

Fig. 6. 19

S vy =

1 1 = 1 + GR 1 + G ( jω) R ( jω)

si R tiene acción integral si ω → 0 s vy → 0 si ω → ∞ s vy → 1

En un rango de frecuencias, el regulador puede

Hay que considerar el aspecto de

empeorar el rechazo de perturbaciones.

frecuencia de las perturbaciones para

Importante minimizar el máximo S vy ( jω)

considerar la frecuencia de rechazos.

6.10 Margen del Módulo

0

-1 N M

154

Métodos de sintonización

Fig. 6.20 Diagrama de Nyquist

___

___

___

− 1+ NM = OM = G ( jω ) R( jω ) −1 NM = 1 + GR = S vy

Margen del módulo = min NM

Min

(

NM = max S vy ( jω)

) −1 = S vy ( jω) ∞−1

Un margen de módulo mayor mejora el rechazo de perturbaciones

6.11 Diseño con el margen de módulo

max

K p ,Ti ,Td

min 1 + G ( jω) R ( jω) ω

 Td jω  1 R ( jω) = K p 1 + +   Ti jω 1 + 0.1Td jω  Optimización min max orientada al rechazo de perturbaciones.

155