Sinteze-geometrie-analitica

FISA DISCIPLINEI I. UNIVERSITATEA FACULTATEA DOMENIUL DE LICENTA SPECIALIZAREA Anul universitar Forma de invatamant II. DENUMIRE DISCIPLINA

SPIRU HARET MATEMATICA-INFORMATICA

MATEMATICA si INFORMATICA 2008 - 2009 ZI /FR /ID

GEOMETRIE ANALITICA III. CODUL DISCIPLINEI IV. Statut disciplina Obligatorie Optionala (se marcheaza cu X) X V. Structura disciplinei (nr. ore) Semestrul Curs Seminar Laborator (nr. ore/sapt. (nr. ore/sapt. (nr. ore/sapt. si total si total si total nr.ore/sem.) nr.ore/sem.) nr.ore/sem.) I

2 ore/sapt 28 ore/sem

Facultativa

Lucrari practice (nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

Proiecte (nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

3 ore/sapt 28ore/sem

II VI.(ETCS) Semestrul Numar credite I 6 ECTS II VII. OBIECTIVELE DISCIPLINEI Disciplina fundamentala necesara oricarei abordari de specialitate. Prezinta notiunile fundamentale de transformari geometrice cu aplicatii in procesarea de imagini. VIII. CONTINUT TEMATIC • • • • • • • •

Vectori liberi Dreapta in spatiu Planul in spatiu Pozitii relative in spatiu Transformari afine. Aplicatii ale transformarilor geometrice in procesarea de imagini Conice Curbe in 2 si 3 dimensiuni Cuadrice si corpuri de rotatie

IX. TEME SEMINAR Seminarul urmareste tematica cursului X. LUCRARI DE LABORATOR (daca este cazul) XI. LUCRARI PRACTICE (daca este cazul) XII. PROIECTE (daca este cazul) XIII. Forma de evaluare (procent din nota finala) Examen Colocviu Verificare pe Lucrari parcurs practice X XIV. Bibliografie Obligatorie minimala (pag.) Suplimentara 1.Teleman K. – Logică şi 1. Duda I, Dunca A,. – Lectii de geometrie analitică, Editura FundaŃiei România de Mâine 2007

Laborator

Proiecte

Facultativa

geometrie, Tipografia UniversităŃii Bucureşti, 1989. 2.Turtoi A. – Geometrie, Tipografia UniversităŃii Bucureşti, 1983.

XV. Metode didactice (clasice/moderne) 1. curs clasic cu exemplificari grafice computerizate 2. seminarii comentate prin sistem e-beam postate pe pagina de internet a facultatii

Data 15.09.2008

Titular disciplina Titlul didactic, Prof.univ.dr. I.Duda Numele si prenumele

ALGEBRA VECTORIALA (Vezi DUDA I., DUNCA A.« Lectii de geometrie analitica » Editura Fundatiei Romania de Maine, 2007 [1] Pag. 9-33)

Fie reperul cartezian




(O, i, j , k ) . Fiecarui punct M din spatiu i se asociaza tripletul de numere reale ( x, y, z ) , numite coordonate carteziane ortogonale ale punctului M. 



Punctului M i se asociaza vectorul OM = ( x, y, z ) = xi + y j + zk , numit vector de pozitie 





al punctului M iar vectorii OM x = xi, OM y = y j , OM z = zk reprezinta componentele 




vectorului OM in baza (i, j , k ) , in fapt, OM reprezinta diagonala paralelipipedului dreptunghic construit pe muchiile [OM x ] , OM y  , [OM z ] .

Fie A( x A , y A , z A ) si B ( xB , yB , z B ) doua puncte dintr-un reper cartezian.
Vectorul AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) .
Modulul (sau lungimea) vectorului AB va fi egala cu
2 2 2 AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) Vectorul de lungime egala cu unu se va numi versor.



Spunem ca doi vectori u si v sunt coliniari ⇔ ∃α ∈ ℝ* astfel incat u = α v




Spunem ca doi vectori u si v sunt necoliniari ⇔ α u + β v = 0 ⇒ α = β = 0 

Definim produsul scalar a doi vectori v1 = (a1 , b1 , c1 ) si v2 = (a2 , b2 , c2 ) ce fac un unghi

θ ∈ [ 0, π ) ca fiind numarul real:





v1 ⋅ v2 = v1 v2 cos θ 





Daca vectorii v1 si v2 au in baza canonica { i, j , k }scrierile v1 = (a1 , b1 , c1 ) si 
v2 = (a2 , b2 , c2 ) , atunci produsul scalar va avea expresia analitica



v1 ⋅ v2 = a1a2 + b1b2 + c1c2 . 




Produsul vectorial a doi vectori v1 si v2 (notat v1 × v2 ) este un vector d cu proprietatile : 

1)este perpendicular pe planul determinat de vectorii v1 si v2 .


2)sensul vectorului d este dat de regula „burghiului”. 

3)modulul vectorului d este egal cu d = v1 v2 sin θ , unde θ este unghiul facut de cei doi vectori. 

Expresia analitica a produsului vectorial a doi vectori v1 = (a1 , b1 , c1 ) si v2 = (a2 , b2 , c2 ) este data de determinantul :
i



v1 × v2 = a1 a2


j

b1 b2


k c1 c2

Produsul mixt a trei vectori 


Fie v1 = (a1 , b1 , c1 ) , v2 = (a2 , b2 , c2 ) si v3 = (a3 , b3 , c3 ) trei vectori liberi. 


Se numeste produsul mixt al vectorilor v1 , v2 , v3 , numarul:

a1 b1 c1 





v1 , v2 , v3 = v1 ⋅ v2 × v3 = a2 b2 c2 a3 b3 c3 Din punct de vedere geometric, valoarea absoluta a produsului mixt a trei vectori 


reprezinta volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori v1 , v2 , v3 .

(

)

(

)


Se numeste vector director al unei drepte d , orice vector liber nenul v avand directia dreptei d .

Vectorii necoliniari nenuli u , v ale caror directii sunt paralele cu planul (P) se numesc vectori directori ai planului (P).
Un vector nenul n se numeste vector normal la planul (P) daca un reprezentant al sau are dreapta suport perpendiculara pe planul (P).

DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU TRANSFORMARI AFINE (Vezi DUDA I., DUNCA A.« Lectii de geometrie analitica » Editura Fundatiei Romania de Maine, 2007 [1] Pag. 33-98) Forme ale ecuatiei planului in spatiu


Ecuatia vectoriala a planului care trece prin M 0 si care este perpendicular pe n este 

 

(r − r0 )n = 0 , unde r este vectorul de pozitie al unui punct curent al planului, r0 este vectorul de pozitie al punctului M 0 . Ecuatia generala a planului intr-un sistem de coordonate carteziane rectangulare este ax + by + cz + d = 0 , unde cel putin unul din coeficientii a, b, c este diferit de zero.  Ecuatia normala a planului este a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = 0 , unde n = ( a, b, c ) este vectorul normal la plan, iar M 0 = ( x0 , y0 , z0 ) este un punct apartinand planului.

Ecuatia planului ce contine punctul M 0 ( x0 , y0 , z0 ) si este paralel cu directiile vectorilor 

v1 = (l1 , m1 , n1 ) si v2 = (l2 , m2 , n2 ) (numiti vectori directori ai planului):

x − x0

y − y0

z − z0

l1 l2

m1 m2

n1 n2

= 0.

Ecuatia planului determinat de trei puncte A( x A , y A , z A ) , B ( xB , yB , z B ) si C ( xC , yC , zC ) necoliniare: x − xA y − yA z − zA

xB − x A xC − x A

yB − y A yC − y A

zB − z A = 0 . zC − z A

x y z Ecuatia planului prin taieturi: + + = 1, unde a, b, c ∈ ℝ .(Ecuatia planului prin a b c taieturi poate fi scrisa doar daca planul nu este paralel cu nici o axa de coordonate).

Pozitiile relative ale planelor Fie planele ( P1 ) : a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 si ( P2 ) : a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 . Spunem ca planele ( P1 ) si ( P2 ) sunt perpendiculare daca si numai daca a1a2 + bb 1 2 + cc 1 2 = 0. a b c Spunem ca planele ( P1 ) si ( P2 ) sunt paralele daca si numai daca 1 = 1 = 1 . a2 b2 c2 a b c d Spunem ca planele ( P1 ) si ( P2 ) coincid daca si numai daca 1 = 1 = 1 = 1 . a2 b2 c2 d 2

Forme ale ecuatiei dreptei in spatiu.

 

 Ecuatia vectoriala a dreptei d este: r = r0 + tv, t ∈ ℝ , t parametru, r este vectorul de 
pozitie al unui punct curent M de pe dreapta, iar r0 este vectorul de pozitie al punctului M0 .

Ecuatiile parametrice ale dreptei d care trece prin punctul M 0 ( x0 , y0 , z0 ) si are vectorul
director v = (l , m, n) sunt:  x = x0 + tl   y = y0 + tm , t parametru real.  z = z + tn 0  Ecuatiile canonice ale dreptei d care trece prin punctul M 0 ( x0 , y0 , z0 ) si are vectorul
director v = (l , m, n) sunt: x − x0 y − y0 z − z0 = = . l m n 

 
Ecuatia vectoriala a dreptei determinata de doua puncte M 1 , M 2 este r = r1 + t (r2 − r1 ), t 

parametru real, unde r1 , r2 sunt vectorii de pozitie ai punctelor M 1 si respectiv M 2 . Ecuatiile parametrice ale dreptei determinata de doua puncte M 1 ( x1 , y1 , z1 ) si M 2 ( x2 , y2 , z2 ) sunt:

 x = x1 + t ( x2 − x1 )   y = y1 + t ( y2 − y1 ) , t parametru real.  z = z + t(z − z ) 1 2 1  Ecuatiile canonice ale dreptei determinata de doua puncte M 1 ( x1 , y1 , z1 ) si M 2 ( x2 , y2 , z2 ) sunt: x − x1 y − y1 z − z1 = = . x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Observatie: Fie doua plane ( P1 ) : a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 si ( P2 ) : a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 . Ecuatiile dreptei de intersectie a planelor ( P1 ) si ( P2 ) sunt:

 a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 , unde  a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 a1

b1

a2

b2

2

+

a1

c1

a2

c2

2

+

b1

c1

b2

c2

2

≠ 0.

Pozitiile relative a doua drepte Spunem ca doua drepte (d1 ) si (d 2 ) sunt paralele daca si numai daca vectorii directori 



corespunzatori fiecarei drepte v1 si v2 sunt coliniari ⇔ ∃ α ∈ ℝ* astfel incat v1 = α v2 .

Spunem ca doua drepte (d1 ) si (d 2 ) sunt concurente daca exista un punct M 0 ( x0 , y0 , z0 ) care verifica coordonatele fiecareia din ecuatiile celor doua drepte: Mai precis daca:  x = x1 + t1l1  x = x2 + t2l2   (d1 ) :  y = y1 + t1m1 iar (d 2 ) :  y = y2 + t2 m2 , unde t1 , t2 ∈ ℝ , atunci avem sistemul de  z = z +t n  z = z +t n 1 1 1 2 2 2   ecuatii in t1 si t2 :

 ( x0 =) x1 + t1l1 = x2 + t2l2  ( y0 =) y1 + t1m1 = y2 + t2 m2 , care trebuie sa aiba solutie, altfel dreptele nu sunt concurente.  ( z =) z + t n = z + t n 1 1 1 2 2 2  0 Spunem ca doua drepte (d1 ) si (d 2 ) sunt perpendiculare daca si numai daca vectorii 

directori sunt ortogonali, deci daca au produsul scalar nul: v1 ⋅ v2 = 0 . Doua drepte nesituate in acelasi plan care nu sunt nici paralele si nici concurente se numesc drepte oarecare. Unghiuri si distante

Distanta de la un punct la un plan Fie planul ( P ) : ax + by + cz + d = 0 si A( x0 , y0 , z0 ) un punct din spatiu. Daca A ' = ( x ', y ', z ') este proiectia lui A pe planul ( P ) , atunci lungimea segmentului

[ AA '] este distanta de la

A la planul ( P ) , notata d ( A, P ) si este egala cu d ( A, P ) =

ax0 + by0 + cz0 + d a2 + b2 + c2

Distanta de la un punct la o dreapta
Daca (d) este o dreapta al carei vector director este u , iar M 0 este un punct dat , atunci distanta de la punctul M 0 la dreapta (d) este data de formula: 

M 1M 2 × u d ( M 0 , (d ) ) = , unde M 1 este un punct aflat pe dreapta (d).
u

Distanta dintre doua drepte neparalele in spatiu Daca (d1 ) si (d 2 ) sunt doua drepte neparalele care au ecuatiile canonice x − x1 y − y1 z − z1 (d1 ) : = = l1 m1 n1 x − x2 y − y2 z − z2 (d 2 ) : = = l2 m2 n2 

date de vectorii directori v1 = (l1 , m1 , n1 ) si v2 = (l2 , m2 , n2 ) si de punctele M 1 ( x1 , y1 , z1 ) si M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , atunci distanta dintre dreptele (d1 ) si (d 2 ) (masurata pe perpendiculara comuna)este data de formula :

( M M ,v
,v ) , unde = 




( (d1 ), (d 2 ) )

1

2

1


v1 × v2

2

( M M , v ,v ) reprezinta produsul mixt al vectorilor 


1

2

1

2




M 1M 2 , v1 ,v2 Unghiul a doua drepte 

Fie dreptele (d1 ) si (d 2 ) de vectori directori u1 = (l1 , m1 , n1 ) , respectiv u2 = (l2 , m2 , n2 ) .  π Unghiul dreptelor (d1 ) si (d 2 ) este unghiul ascutit ϕ ∈ 0,  , format de vectorii  2 

directori u1 si u2 . Unghiul ϕ se va determina din expresia 

u1 ⋅ u2 l1l2 + m1m2 + n1n2 , provenita din produsul scalar al cos ϕ = 

= 2 u1 ⋅ u2 l1 + m12 + n12 ⋅ l2 2 + m2 2 + n2 2 

 π vectorilor u1 si u2 , si din faptul ca ϕ ∈ 0,  .  2 Unghiul unei drepte cu un plan  π Este unghiul ϕ facut de o dreapta (d ) cu proiectia ei pe plan, unde ϕ ∈ 0,  .  2 In cazul unghiului unei drepte cu un plan, este mai simplu de determinat unghiul

π complementar − ϕ = ϕ ' format de vectorii n ( normal la plan) si u (vectorul director al 2 dreptei).

n ⋅u Astfel, obtinem cos ϕ ' =

n u Unghiul a doua plane Este unghiul diedru ϕ determinat de intersectia celor doua plane , acelasi cu unghiul determinat de vectorii normali si ai celor doua plane. Astfel daca primul plan are ecuatia ( P1 ) : a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 si vectorul normal 
n1 = (a1 , b1 , c1 ) , iar cel de-al doilea plan are ecuatia ( P2 ) : a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 si 
vectorul normal n2 = (a2 , b2 , c2 ) , atunci



n1 ⋅ n2 a1a2 + b1b2 + c1c2 cos ϕ = 

= 2 n1 ⋅ n2 a1 + b12 + c12 ⋅ a2 2 + b2 2 + c2 2

Fascicole de plane Numim fascicol de plane multimea tuturor planelor care contin o dreapta data (d), numita axa fascicolului. Daca dreapta (d) este definita ca intersectia a doua plane distincte si neparalele , altfel spus  a x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 (d):  1 , a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0

atunci ecuatia fascicolului de plane este α (a1 x + b1 y + c 1 z + d1 ) + β (a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0 , unde α , β ∈ ℝ dar nu simultan nule. Daca din fascicolul de plane scoatem planul de ecuatie a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 = 0 , atunci ecuatia fascicolului de plane devine: a1 x + b1 y + c 1 z + d1 + λ (a2 x + b2 y + c 2 z + d 2 ) = 0, λ ∈ ℝ .

CONICE (Vezi DUDA I., DUNCA A.« Lectii de geometrie analitica » Editura Fundatiei Romania de Maine, 2007 [1] Pag. 104-114)

CONICE DE ECUATIE REDUSA

Elipsa este locul geometric al punctelor care au suma distantelor la doua puncte fixe (numite focare) constanta. x2 y2 Ecuatia carteziana a elipsei: 2 + 2 = 1, a 2 − c 2 = b 2 a b Unde: A(a,0), A’(-a,0) reprezinta punctele de intersectie ale elipsei cu axa Ox B(0,b),B’(0,-b) reprezinta punctele de intersectie ale elipsei cu axa Oy F(c,0),F’(-c,0) reprezinta focarele elipsei.

Hiperbola este locul geometric al punctelor care au modulul diferentei distantelor la doua puncte fixe (numite focare) constant. Ecuatia carteziana a hiperbolei:

x2 y2 − 2 = 1, c 2 − a 2 = b 2 2 a b

Unde: A(a,0), A’(-a,0) reprezinta punctele de intersectie ale hiperbolei cu axa Ox B(0,b),B’(0,-b) reprezinta punctele de intersectie ale hiperbolei cu axa Oy F(c,0),F’(-c,0) reprezinta focarele hiperbolei.

Parabola este locul geometric al punctelor egal departate de o dreapta fixa(numita directoare) si de un punct fix (numit focar). Ecuatia carteziana a parabolei: y 2 = 2 px, p ≠ 0 (cu axa de simetrie Ox) x 2 = 2 py, p ≠ 0 (cu axa de simetrie Oy).

CONICE DE ECUATII GENERALE

Definitie: 2 Pentru numerele reale a11 , a12 , a22 , a10 , a20 , a00 date cu a112 + a22 + a122 ≠ 0 , multimea tuturor punctelor (x,y) ce satisfac g ( x, y ) = a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + a10 x + a20 y + a00 = 0 (1) se numeste conica. Relatia (1) se numeste ecuatia generala a unei conice.

Invariantii unei conice:

Se numesc invariantii unei conice numerele reale : a11 a12 a13 a a ∆ = a12 a22 a23 , δ = 11 12 , I = a11 + a22 . a12 a22 a13 a23 a33

Natura si tipul unei conice : Daca ∆ = 0 conica se numeste degenerata. Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata. Daca δ ≠ 0 conica are centru, si in plus, daca δ > 0 conica este de tip elipsa iar daca δ < 0 conica este de tip hiperbola. Daca δ = 0 , conica este fara centru si de tip parabola.

Reducerea la forma canonica: I)Conice cu centru: Ecuatia canonica: S1 X 2 + S 2Y 2 +

∆

= 0,

δ 2 unde S1 , S 2 sunt solutiile ecuatiei S − IS + δ = 0 , iar S1 − S 2 are semnul lui a12 .

a x + a y + a = 0 Centrul conicei C ( x0 , y0 ) cu x0 si y0 solutii ale sistemului :  11 0 12 0 13 a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0

Unghiul de rotatie :

tg 2α =

2a12  π , α ∈ 0,  . a11 − a22  2

II)Conice fara centru Ecuatia canonica: Y 2 ± 2 PX = 0 , unde P = −

∆ . I3

O metoda alternativa de aducere la forma canonica a unei conice este prezentata in [ 1].

CUADRICE

(vezi Duda I., Dunca A. « Lectii de geometrie analitica », Editura Fundatiei Romania de maine 2007, pag.135-147) Definitie: Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate (x,y,z) ce satisfac o ecuatie carteziana de tipul : a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a10 x + 2a20 y + 2a30 z + a00 = 0 ( 1) Reducerea la forma canonica Cuadricei i se aplica o rotatie (in spatiu) in raport cu o translatie a reperului nostru. Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii (λi )i =1..3 ale matricei A a formei patratice asociate ecuatiei ( 1).

 a11  A =  a12 a  13

a12 a22 a23

a13   a23  a33 

Valorile proprii sunt solutii ale ecuatiei :

det( A − λ I 3 ) =

a11 − λ

a12

a12 a13

a22 − λ a23

a13 a23 = 0 a33 − λ

Apoi, se calculeaza o baza ortonormata orientata pozitiv formata din vectorii proprii (vi )i =1..3 corespunzatori valorilor proprii (λi )i =1..3 , altfel spus, vectorii (vi )i =1..3 trebuie sa satisfaca urmatoarele ecuatii :

Avi = λi vi , sa fie liniar independenti ,unitari, iar det(v1 , v2 , v3 ) > 0 . Cu acesti vectori proprii se construieste matricea R care are pe coloane vectorii (vi )i =1..3 .

 x  x'     Matricea R corespunde rotatiei in spatiu:  y  = R  y '  si in plus, z  z '      λ1 0 0    R t AR =  0 λ2 0  . 0 0 λ  3 

Ecuatia cuadricei in forma matriceala este : X t AX + 2bX + c = 0 ,  x  a10      unde X =  y  , b =  a20  , c = a00 . z a     30   x'   Inlocuind, in ecuatia cuadricei X cu X ' R , unde X ' =  y '  si tinand cont de relatia…,  z '   Rezulta ca ecuatia in coordonatele x ', y ', z ' devine:

λ1 x 2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 +(termeni de ordin 1 sau 0)=0 Exemplu de cuadrice : x2 y2 z2 + + = 1. a2 b2 c2 x2 y2 z2 Hiperboloidul cu o panza: 2 + 2 − 2 = 1 a b c 2 x y2 z 2 Hiperboloidul cu doua panze : 2 + 2 − 2 = −1 a b c Elipsoidul :

Paraboloidul eliptic :

x2 y2 + = 2 pz a 2 b2

Paraboloidul hiperbolic :

x2 y2 − = 2 pz a2 b2

Pentru note complete privind intreaga tematica a cursului de „Geometrie analitica”, le recomandam studentilor din anul I al Facultatii de Matematica si Informatica din cadrul Universitatii Spiru Haret sa utilizeze cursul tiparit :

[1]Duda I., Dunca A.„Lectii de geometrie analitica”, EDITURA FUNDATIEI ROMANIA DE MAINE, Bucuresti 2007

Probleme rezolvate : 1.Sa se calculeze distanta de la originea reperului cartezian la dreapta (d ) :

x −1 y −1 z −1 = = . 1 1 2

Rezolvare :

 x = 1+ t  Scriind ecuatiile parametrice ale dreptei (d) avem  y = 1 + t , t ∈ ℝ .  z = 1 + 2t  Determinam doua valori ale dreptei dand lui t doua valori . Pentru t=0 rezulta A(1,1,1), iar pentru t=1 avem B(2,2,3). Determinam acum aria triunghiului OAB dupa formula SOAB =

SOAB =

1 

OA × OB , astfel 2

2 . 2

Pe de alta parte, SOAB =

1 AB ⋅ hO , cu AB= 6 , iar hO inaltimea dusa din O (altfel spus 2

distanta cautata). 3 . 3 2.Sa se scrie ecuatia carteziana a unui plan care trece prin punctul A(1,-1,2) si are ca

vectori directori u = (1, −1, 0), v = (2,1, −1) . Rezolvare : Ecuatia planului este data de determinantul : x −1 y +1 z − 2 Egaland cele doua formule ale ariei triunghiului OAB obtinem hO =

1 2

−1 1

0 = 0, −1

de unde obtinem planul de ecuatie x + y + 3 z − 6 = 0 . 3.Determinati unghiul ϕ facut dintre planele de ( P1 ) : x − y = 0 . ( P2 ) : x − 2 y + z − 1 = 0 Rezolvare : 

Vectorii normali ai celor doua plane sunt n1 = (1, −1, 0) si n2 = (1, −2,1) pentru care 


n1 = 2, n2 = 6 si n1 ⋅ n2 = 3 . 3 π , si deci ϕ = . 2 6  x = 1 + 2t  4.Sa se arate ca dreapta (d ) :  y = 2 − 3t , t ∈ ℝ este paralela cu planul  z = 5t 

Deci cos ϕ =

( P) : 2 x + 3 y + z − 1 = 0 .

Rezolvare :
Vectorul director al dreptei (d) este v = (2, −3,5), iar vectorul normal al planului este
n = (2,3,1) .



Cum n ⋅ v = 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 + 5 ⋅1 = 0 , rezulta ca n ⊥ v , de unde obtinem (d)  ( P ) . 5.Aratati ca dreptele date prin ecuatiile canonice x +2 y −3 z −4 (d1 ) : = = 1 2 −1 sunt paralele. x−3 y −4 z (d1 ) : = = −1 −2 1 Rezolvare:

Vectorii directori ai celor doua drepte sunt v = (1, 2, −1) si u = (−1, −2,1) .

Din v = −u rezulta coliniaritatea celor doi vectori si deci paralelismul dreptelor. 5 x + 10 y − 4 = 0 6.Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta de ecuatie d1 :  si este  −2 x + 3 z + 1 = 0 − x + 5 y + 2 = 0 . paralel cu dreapta de ecuatie d 2 :   −3 x + z − 5 = 0 Rezolvare : Ducem un plan prin prima dreapta : d1 : 5 x + 10 y − 4 + λ (−2 x + 3 z + 1) = 0 .
Normala acestui plan este n = (5 − 2λ ,10,3λ ) .

Pentru determinarea parametrilor dreptei a doua, renuntam la termenii liberi si o scriem d2 : x =

y z = , 1 3 5

1 deci are parametrii (1, , 3 ) sau echivalent (5,1,15). 5

Normala planului este perpendiculara pe dreapta a doua daca 5(5 − 2λ ) + 1 ⋅10 + 45λ = 0, , si deci λ = −1 .

In consecinta, planul cautat are ecuatia 7 x + 10 y − 3 z − 5 = 0 .

x − 2 y = 0 x + z +1 = 0 7.Sa se afle distanta dintre dreptele d1 :  si d 2 :  .  z −1 = 0  y−2=0

Rezolvare : Ducem prin dreapta d1 un plan (P) paralel cu dreapta d 2 . Acest plan va avea ecuatia de forma : ( P ) : x − 2 y + λ ( z − 1) = 0 , iar dreapta d 2 are parametrii 1,0,-1. Din conditia de paralelism ne da λ = 1 , si deci ( P) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Distanta dintre drepte este distanta de la un punct oarecare al dreptei d 2 , de exemplu A(0, 2, −1) la planul (P) :

d ( A, ( P )) =

0 − 2 ⋅ 2 −1 −1 12 + (−2) 2 + 12

= 6.

 x + 2 y −1 = 0 8.Sa se afle distanta de la punctul A(3,0,6) la dreapta d :  . 3 x − 2 z − 7 = 0 Rezolvare :

1 3  Dreapta d are parametrii 1, − ,  sau ( 2, −1,3) . 2 2  Scriem ecuatia planului care trece prin A, perpendicular pe dreapta d. 2( x − 3) − y + 3( z − 6) = 0, 2 x − y + 3 z − 24 = 0 . Aflam intersectia acestui plan cu dreapta d, rezolvand sistemul format din ecuatiile dreptei si cea a planului.

 x + 2 y −1 = 0   3x − 2 z − 7 = 0 . 2 x − y + 3z − 24 = 0  Obtinem B(5,-2,4). Distanta cautata este AB= 2 3 .

9.Sa se precizeze natura conicei si sa se scrie ecuatia canonica a urmatoarei conice : 25 x 2 − 14 xy + 25 y 2 + 64 x − 64 y − 224 = 0 . Rezolvare :

25

−7

32

∆ = −7 25 −32 = −165888 , 32 −32 −224

δ=

25 −7 = 576 , −7 25

I = 25 + 25 = 50 Cum ∆ ≠ 0 , conica este nedegenerata, δ >0 , conica este cu centru si de tip elipsa. Ecuatia in S : S 2 − IS + δ = 0, deci S 2 − 50 S + 576 = 0, de unde S1 = 18, S 2 = 32 . Ecuatia canonica (redusa) a conicei este :

S1 X 2 + S 2Y 2 +

∆

δ

= 0 devine:

18 X 2 + 32Y 2 − 288 = 0 sau X2 Y2 + =1 16 9

10.Sa se precizeze natura cuadricei 2 2 xy − y 2 + 4 z = 0 .

Rezolvare : Avem ∆ = 8, iar δ = 0 .Cuadrica este un paraboloid.

Exemplu de test grila: ____

1. Sa se determine distanta dintre dreptele:

____

a. 7 c. 10 b. 9 d. 3 2. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei (d) ce trece prin punctul A(-1,2,3) si este paralela cu dreapta :

____

a.

c.

b.

d.

3. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta (d): 2,3). a. 2x+5y+7z+9=0 b. 2x+5y+7z=0

____

4. Fie vectorii

Determinati

c. 12x+15y+7z+7=0 d. 2x+15y+7z+7=0

si . astfel incat vectorii

a. b. ____

5. Se dau vectorii

si trece prin punctul M(1,-

, si

. sa fie coliniari .

c. d.

avand lungimile respectiv

. Sa se

calculeze a. 22 b. ____

c. 20 d.

6. Sa se determine descompunerea vectorului

dupa directiile vectorilor

si a. b. ____

7. Sa se reduca la forma canonica conica

. c. d.

a.

____

b.

c.

8. Sa se reduca la forma canonica conica, si sa se precizeze centrul ei

a.

, b.

c.

____

9. Sa se reduca la forma canonica cuadrica si sa se specifice tipul ei: a. b. c. d.

, hiperboloid cu doua panze ,elipsoid , hiperboloid cu o panza ,hiperboloid cu o panza

____ 10. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4),

Sa se calculeze modulul produsului vectorial a.

c.

b.

d.

Pentru alte detalii legate de cursul de GEOMETRIE ANALITICA: Prof. univ. dr. Gheorghe Duda g.duda.mi[at]spiruharet.ro Asist. univ. drd. Sterian Alexandru a.sterian.mi[at]spiruharet.ro