Simulacion-de-tanque.docx

Tecnológico Nacional de México.

Instituto Tecnológico de Nuevo Laredo.

Departamento de Ingeniería Electrónica, Eléctrica y Mecatrónica.

Ingeniería en Electrónica.

Docente: M.C Daniel Olivares Caballero.

Alumno: Hiram Gaona Tijerina 17100019

Tema: Simulación de un tanque de agua.

Nuevo Laredo, Tamaulipas a 12 de abril del 2019.

Introducción.

En esta práctica se realizará el modelo matemático de un tanque de agua, el cual tiene una entrada constante de agua q1(t), una salida de agua al ambiente q2(t), una salida q3(t) a través de una bomba de agua, con una altura h(t).

1. Problema. El contenido de agua de un tanque cilíndrico abierto se ve afectado por una demanda variable q2(t) controlada por la apertura de una válvula, un flujo de llenado q1(t) también variable, así como por una demanda q3(t) producida por una bomba. El radio de la base es de 5 ft. En condiciones normales de operación el tanque se mantiene lleno hasta 7 ft. de altura estando la válvula abierta un 50%. Se considera que la bomba produce un flujo constante de 30 gpm. El comportamiento de la válvula está dado por:

Nótese que el término △ P(t) en la ecuación de flujo se reduce a ρ g h(t) / 144 gc debido a que, por estar abierto el tanque, la presión que ejerce el medio sobre el líquido es la misma que hay en la salida de la válvula, que está abierta al aire (Cv =57.404 gpm/psi1/2). Además, se hace la suposición de que la presión que ejerce la columna de agua sobre la bomba no afecta el flujo que ésta produce.

2. Modelo matemático.  Bases Principios fundamentales del proceso. ρ q1(t)

Flujo de masa que entra a el proceso. Fórmula para el comportamiento de la salida

A = π * r2 *h

Área de un cilindro.

G=1

Valor de referencia al agua.

7.48 gal = 1ft3

Para el balance de masas.

ρ = 62.43 lbm / ft3

Densidad del agua

G=1

Valor de referencia al agua

Vp = 0.5

Salida abierta al 50%

 Suposiciones. Consideraciones de los efectos que intervienen en el modelo para simplificarlo. q3 = 30 gpm

Flujo constante de la bomba

P=0

La presión que el agua ejerce sobre la bomba no influye en su flujo

Cv = 57.404 △ P(t) = ρ g h(t) / 144 gc

gc = g

La diferencia de presión en la válvula está definida por esta fórmula debido a que la salida esta hacia la atmosfera. Debido a que solo son valores de conversión para la formula.

Desarrollo. a) Analice el efecto que producen variaciones en el flujo de entrada y en la apertura de la válvula sobre la altura del agua en el tanque, obteniendo el modelo del sistema en variables absolutas. Realizando el balance de masas: 1 1 1 dm(t) ρ q1 (t) − ρ q 3 (t) − ρ q 2 (t) = 7.48 7.48 7.48 dt

1 ft3 = 7.48 galones m(t) = ρV(t) = ρ A h(t)

ρgh(t) q 2 (t) = Vp(t)Cv √ 144g c G Obtenemos el siguiente modelo diferencial: q1 (t) − ρ q 3 (t) − ρq 2 (t) = 7.48 ρA q1 (t) − q 3 (t) − q 2 (t) = 7.48 A

dh(t) dt

dh(t) dt

q1(t) - q3(t) - Vp(t) * Cv

= 7.48 A

Si tomamos en cuenta que q2 es: q2(t) = Vp(t) * Cv

Se procede a linealizar q2(t) a traves de la siguiente ecuación: f(x,y) = f(x,y) +

| x= x (x - x) +

| y = y (y - y)

q2(t) linealizada: q2(Vp,h) = Cv * Vp

+ Cv

(Vp(t) - Vp) + Cv *Vp

(h(t) - h)

donde Vp = 0.5 y h = 7. Valores nominales.

Para simplificar la ecuación se agrupan los términos: q2 = Cv * Vp C1 = Cv C2 = Cv *Vp

Quedando la ecuación de la siguiente manera: q2(Vp,h) = q2 + C1 (Vp(t) - Vp) + C2 (h(t) - h)

Una vez linealizada q2 lo sustituimos en la ecuación original, por lo que el modelo queda completamente lineal: q1(t) - q3(t) - q2 - C1 (Vp(t) - Vp) - C2 (h(t) - h) = 7.48 A

b) Obtenga el modelo del sistema en variables de desviación. Ahora, obtendremos las variables de desviación de la ecuación lineal, para esto evaluamos la ecuación en estado estacionario: Como Vp(t) – Vp ya que Vp(t) es 0.5 en estado estacionario y Vp es 0.5 también, al restarse da una igualdad a 0 y se elimina. De igual manera sucede con h(t) – h , h(t) h(t) tiene un valor estacionario de 7 y h también de 7, por lo que al restar se cancelan. Ambos, al multiplicarlos por sus constantes se hace 0, es por esto que dentro de la ecuación en estado estacionario la formula queda así: q1 - q3 - q2 = 0; El siguiente paso es restar la ecuación en estado estacionario a la ecuación lineal, esto con el fin de dejar las constantes fuera (q1(t) – q1) – (q3(t) – q3) – C1 (Vp(t) – Vp) – C2(h(t) – h) = 7.48 A Queda fuera de la nueva ecuación q2 debido a que se está restando a sí mismo y se cancela (q2 – q2 = 0). Definimos las variables de desviación como: Q1(t) = (q1(t) – q1) Q3(t) = (q3(t) – q3) VP(t) = (Vp(t) – Vp) H(t) = (h(t) - h) Por lo que la ecuación se reescribe de la siguiente manera: Q1(t) - Q3(t) - C1 * VP(t) - C2 * H(t) = 7.48 A Dando a entender que dH(t) = dh(t) – 0, entonces, dH(t) = dh(t). Necesitamos despejar H(t) de la ecuación anterior, por lo que para despejar el termino, dividimos toda la ecuación entre C2: Q1(t) -

Q3(t) -

* VP(t) - H(t) =

Para simplificación definimos: K1 =

y

K2 =

y

T=

Y reescribiendo la ecuación: K1 * Q1(t) - K1 * Q3(t) - K2 * VP(t) - H(t) = T Obtenemos el modelo en variables de desviación. Transformamos el modelo en La place: K1 * Q1(s) - K1 * Q3(s) - K2 * VP(s) = H(s) * T (s + 1) Despejando H(s): H(s) =

* [Q1(s) - Q3(s)] -

* VP(s)

c) Compare en una gráfica la función original de respuesta de la válvula, flujo vs altura, con la función linealizada. Basado en esta gráfica, determine un intervalo de valores de h(t) para los cuales la aproximación lineal es válida. No linealizada: q2(t) = Vp(t) * Cv

Linealizada: Q2 = q2 + C2 * (h - 7)

Y una comparación entre ambas:

Y como se puede observar en el gráfico, se ve una linealizacion de la función original en el punto h = 6 hasta h = 8, en donde q2 = 46.42 y 53.57, respectivamente Vista desde una perspectiva más cercana:

d) Simule el comportamiento del sistema original para cambios escalón en las variables de entrada, de una magnitud adecuada para que h(t) permanezca dentro del intervalo elegido en c). Diagrama a bloques de la ecuación no lineal

En donde si q1, q3, Vp se mantienen en su valor nominal el nivel del tanque se va a mantener en su valor nominal que es 7.

Para conocer los cambios exactos de escalón de las variables para permanecer dentro del rango escogido para h(t). De la ecuación no lineal: q1(t) - q3(t) - Vp(t) * Cv

Para: q1(t) = q3(t) + Vp(t) * Cv

q3(t) = q1(t) - Vp(t) * Cv

= 7.48 A

Para q1(t): Vp(t) = 0.5, ρ = 62.43, Cv = 57.40. q3(t) = 30, Encontrar para h(t) = 8, establecemos: q1(t) - 30 - 53.4531 = 0 q1(t) = 30 + 53.4531 q1(t) = 83.45

Encontrar para h(t) = 6

q1(t) - 30 - 46.2917 = 0 q1(t) = 30 + 46.2917 q1(t) = 76.2917

Para q3(t): Vp(t) = 0.5, ρ = 62.43, Cv = 57.40. q1(t) = 80, Encontrar para h(t) = 8, establecemos: 80 - q3(t) - 53.4531 = 0 q3(t) = 80 - 53.4531 q3(t) = 26.55

Encontrar para h(t) = 6 80 - q3(t) - 46.2917 = 0 q3(t) = 80 - 46.2917 q3(t) = 33.71

Para Vp(t): ρ = 62.43, Cv = 57.40. q1(t) = 80, q3(t) = 30. Encontrar h(t) = 8, establecemos: 80 - 30 - Vp * 106.91 = 0 Vp = Vp = 0.4676

Encontrar para h(t) = 6 80 - 30 - Vp * 92.58 = 0 Vp =

=0.54

e) Repita la simulación utilizando ahora el sistema linealizado y grafique junto con los resultados de d). Diagrama de bloques de la ecuación lineal.

Donde: T=

=

= 164.5139

C2 = Cv *Vp

K1 =

= 0.2801

C1 = Cv K2 =

= 3.57

= 100 = 28.01

En donde si las variables permanecen en su valor nominal, la altura del tanque también permanecerá en su valor nominal.

Para conocer los cambios exactos de escalón de las variables para permanecer dentro del rango escogido para h(t). De la ecuación lineal: H(s) =

* [Q1(s) - Q3(s)] -

* VP(s)

Que es igual a:

A partir de esta ecuación obtendremos los valores de escalón. G(S) = U(S) = H(S) = G(S) * U(S) H(S) =

*

H(S) =

H(S) =

H(S) =

+

Antitransformando: H(t) = KA + KA H(t) = KA ( 1 -

)

Como el tiempo es infinito el exponencial se hace 0. Y queda: H(t) = KA

Despejando A: A= A=

+ Valor nominal + Valor nominal.

Para Q1:

Para un escalón mayor a h

A= A=

+ 80 + 80

A = 3.57 + 80

A = 83.57

Para un escalón menor a h A= A=

+ 80 + 80

A = -3.57 + 80

A = 76.43

Para Q3:

Para un escalón mayor a h

A= A=

+ 30 + 30

A = 3.57 + 30

A = 33.57

Para un escalón menor a h A= A=

+ 30 + 30

A = -3.57 + 30

A = 26.43

Para Vp:

Para un escalón mayor a h

A=

+ 0.5

A=

+ 0.5

A = 0.0357 + 0.5

A = 0.5357

Para un escalón menor a h A=

+ 0.5

A=

+ 0.5

A = -0.0357 + 0.5

A = 0.4643

Graficando para Q1: h(t) = 8

h(t) = 6

Graficando para Q3:

h(t) = 8

h(t) = 6

Graficando para VP:

h(t) = 8

h(t) = 6

f) Grafique el error de aproximación, es decir, la diferencia entre los dos resultados anteriores. Cuál es el máximo valor del error (expresado en porciento de la salida del sistema original). Diferencia del valor de escalón para el sistema lineal y no lineal y para observar el error:

Se realiza el diagrama de bloques correspondiente para obtener la diferencia entre el sistema lineal y el sistema no línea, así como un arreglo de bloques para obtener gráficamente el porcentaje de error.

A continuación, se muestran las gráficas de diferencia entre el sistema lineal y no lineal, así como la gráfica de porcentaje de error.

Para q1(t)

En valor máximo: q1(t) = 83.45

Se aplica un escalón de 3.57 a Q1. La diferencia lineal y no lineal es de 0.032, lo cual establece un error de 0.04%.

En valor mínimo: q1(t) = 76.29

Se aplica un escalón de 3.57 a Q1. La diferencia lineal y no lineal es de 0.036, lo cual establece un error de 0.045%.

Para q3(t)

En valor máximo: q3(t) = 33.71

Se aplica un escalón de 3.57 a Q3. La diferencia lineal y no lineal es de 0.036, lo cual establece un error de 0.12%.

En valor mínimo: q3(t) = 26.55

Se aplica un escalón de 3.57 a Q3. La diferencia lineal y no lineal es de 0.032, lo cual establece un error de 0.10%.

Para Vp(t)

En valor máximo: Vp(t) = 0.54

Se aplica un escalón de 0.04 a VP. La diferencia lineal y no lineal es de 0.11, lo cual establece un error de 22%.

En valor mínimo: Vp(t) = 0.4676

Se aplica un escalón de 0.04 a VP. La diferencia lineal y no lineal es de 0.091, lo cual establece un error de 18.2%.

g) Obtenga aproximadamente los rangos de variación en las variables de entrada para mantenerse en un rango de error de aproximación del 5%. Para permanecer dentro de un rango de error de un 5% se procede a utilizar el tanteo de los valores de los escalones para conseguir el porcentaje.

De la fórmula para encontrar el error:

Despejamos la diferencia que necesitamos de nuestros sistemas: Diferencia = Al obtener el valor de la diferencia, se va tanteando el escalón del tanque hasta mostrarnos en la gráfica la diferencia que nos dé el 5% de error.

Para q1(t): Diferencia =

=4

Para q3(t): Diferencia =

= 1.5

Para Vp(t): Diferencia =

42.5 5.5 0.483

= 0.0.25

q1(t) q3(t) Vp(t)

121 53.5 0.56

h) Haga los comentarios que considere pertinentes en cada punto. Es importante mencionar que antes de realizar un modelo matemático necesitamos conocer los pasos para poder realizarlo correctamente: 1-Bases: Dentro de este primer paso es donde conocemos todas aquellas leyes o principios fundamentales que sostienen nuestro proceso, es decir, sin las bases no podríamos entender completamente como funciona nuestro sistema. 2-Suposiciones: Son consideraciones que se toman para poder simplificar el proceso, esto debido a que algunas variables con muy pequeñas y pueden ser consideradas como constantes, haciendo más fácil el modelo. 3-Consistencia matemática: Es muy importante reconocer este punto ya que toda formula y ecuación debe seguir un orden de sus unidades, para esto se puede trabajar en base a un sistema de unidades el cual puede ser un error común mezclar varios sistemas dentro de una formula o ecuación, lo cual esta incorrecto. 4-Solucion de las ecuaciones: No es suficiente conocer y realizar el funcionamiento de un sistema a través de sus fórmulas sino también observar mediante medios visuales (gráficas) las comparaciones de las ecuaciones y las variables para tener un mejor entendimiento. 5-Validacion: Una vez resuelto el modelo matemático y observado su funcionamiento es necesario el ajuste de los parámetros en el supuesto caso que existan pequeños errores.

Del ejercicio entendemos que: Entre más valor tenga q1(t) más agua tendrá el tanque, por lo tanto, h(t) aumentara. Si la válvula q2(t) aumenta, quiere decir que fue abierta más, por lo que más agua saldrá del tanque haciendo que el nivel en el tanque h(t) disminuya Si la bomba de agua aumenta su bombeo de agua hacia el exterior el nivel del tanque va a disminuir.

A partir de los pasos del modelo matemático se obtuvo el balance de masas el cual tiene una división por convertir unidades para hacer posible el desarrollo del sistema, esto debido a que la densidad del agua (p) tiene las unidades de lbm / ft3 y al multiplicarlo por el flujo con las unidades gal / min no quedaría una consistencia matemática, es pr eso que se utiliza el cociente 1/7.48 con las unidades ft3 / gal. Al conocer el valor de la unidad de la ecuación se tiene que lbm / min.

Conocemos que la masa es densidad multiplicado por volumen, y también que el volumen es la multiplicación del área de la base y la altura. Para el modelo diferencial se elimina p de la ecuación ya que es igual para cada termino. Y se sustituye q2(t). Debido a que el modelo matemático no es lineal se procede a linealizar q2(t) para así poder obtener las variables de desviación y a su vez la transformada, despejando H(S), lo que nos interesa vigilar.

Se procede a graficar la función no lineal de q2 en comparación con la altura del tanque h(t) y lo que se observa es una línea algo curva, para nada lineal en sus inicios, que conforme va tendiendo a la parte superior derecha se va haciendo más lineal. Para esto es necesario sustituir los valores de la fórmula original no linealizada y en Matlab haciendo la función de h =[0:.1:10] para poder verla claramente. Ahora, para poder trabajar sobre nuestro sistema necesitamos “convertirlo” a lineal, es decir, de la formula linealizada q2 sustituimos valores y para h(t) = 7 nuestro valor nominal, nuestro punto medio. Al graficar aparecerá una línea recta tangente a la curva no linealizada y para observar mejor la linealizaciòn se procede a graficar la función q2 linealizada y no linealizada, en la cual tomaremos 2 valores alrededor de nuestro valor nominal h(t) = 7. Para mi caso se me hizo una mejor opción tomar desde h(t) = 6 q2(t) = 46 hasta h(t) = 8 q2(t) = 53 para obtenerla lo más lineal posible.

De la ecuación no lineal se hace el diagrama de bloques a través de la herramienta Simulink de Matlab, en los escalones de cada variable los configuramos con su valor nominal q1(t) = 80, q3(t) = 30 y Vp(t) = 0.5. Y como condición inicial en el integrador se configura a 7. Esto representa que la entrada de agua al tanque es te 80 gpm, la salida por la bomba es de 30 gpm, y la válvula de salida a la atmósfera está abierta un 50%. Al graficar esto se obtiene una línea recta en 7, dando a entender que con los valores nominales el sistema está estable. A partir de la ecuación no lineal se despejan las distintas variables en donde serán sustituidas por sus valores, incluyendo h(t) tomando un valor máximo de 8 y un valor mínimo de 6, seleccionado previamente. Y al gráficas cada escalón por separado podemos observar que nunca va a superar nuestro valor máximo y mínimo de h(t). Es decir, nuestro taque puede tener variaciones: 76.29 26.55 0.4676

q1 q3 Vp

83.45 33.71 0.54

Cuyos valores dentro de estos rangos van a hacer que el tanque nunca sobrepase los valores establecidos para la linealizacion. De igual manera se procede a realizar el diagrama de bloques de la función de transferencia, con sus cálculos correspondientes. Se observa que al introducir de igual manera los valores nominales se obtiene una gráfica lineal en 7. Para conocer los valores de escalón en un sistema lineal de tipo

se

analiza la entrada como un escalón de amplitud A, aplicando la propiedad de la convolucion, descomponiendo en fracciones parciales, obtener la entrada por el método de residuo algebraico y al finalizar se anti transformada obteniendo la fórmula de la variable de desviación de h es igual a k veces la amplitud. A partir de ese despeje tomamos nuestra función de transferencia y se hacen 0 los términos que no vayan a tener movimiento. Para conocer la desviación en el sistema lineal se toma nuestro valor máximo h(t) y se le resta el valor nominal seleccionado previamente, eso se divide entre K1 que surgió de las variables de desviación. Para la función de transferencia, se pueden tomar estos valores lineales: 76.43 26.43 0.4643

Q1 Q3 VP

83.57 33.57 0.5357

Por lo que se le pueden asignar los hasta los anteriores escalones limite sin que el sistema sobrepase la linealizacion seleccionada, como se puede observar en las gráficas.

Para conocer la diferencia entre el sistema lineal y no lineal se procede a crear un diagrama de bloques, el cual nos mostrara la diferencia y el error en base a esa diferencia. Comparando con el sistema no lineal (q1(t)). Variable q1(t) q1(t) q3(t) q3(t) Vp(t) Vp(t)

Valor 83.45 76,29 33.71 26.55 0.54 0.4676

Diferencia 0.032 0.036 0.036 0.032 0.11 0.091

Error (%) 0,04 0.045 0.12 0.10 22 18.2

Como se observa en la tabla anterior los errores registrados son muy pequeños, esto debido que al linealizar de seleccionaron niveles muy cercanos al valor nominal h(t) = 7, por lo que el margen de error disminuye mucho más. Para poder obtener el 5% de error fue necesario aumentar y disminuir nuestras variables hasta más allá de su valor lineal, incrementando así mismo el error, pero también disminuyendo la linealizacion del sistema, sobrepasando los niveles estables lineales seleccionados previamente.

Para obtener un 5% de error se realizó despejando de la fórmula del error, la diferencia que se necesitaría entre el sistema lineal y no lineal. Una vez conocido la diferencia simplemente se tantean los escalones para obtener en la gráfica de salida la diferencia calculada. 42.5 5.5 0.483

q1(t) q3(t) Vp(t)

121 53.5 0.56