Signal

Th´eorie & traitement du signal Emmanuel Ademoviˇc Esigetel 2001 (v. 1.00).

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Table des mati` eres 1 Th´ eorie du signal 1.1 Les concepts de la th´eorie du signal . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Notion de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Notion de support . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Le signal d´eterministe . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Le signal al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.5 Echantillonnage, Signaux discrets . . . . . . . . . 1.1.6 Num´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 Classification ´energ´etiques des signaux . . . . . . 1.1.8 Espace de Hilbert et op´erateurs . . . . . . . . . 1.1.9 Signaux synth´etiques ´el´ementaires . . . . . . . . . 1.2 Les syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Lin´earit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Invariance temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Causalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . 1.3.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1.2 Transform´ee inverse . . . . . . . . . . . 1.3.2 Transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.2 Transform´ee inverse . . . . . . . . . . . 1.4 Caract´erisation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.1 Temps moyen . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.2 Dur´ee moyenne . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1.3 Fonction d’intercorr´elation . . . . . . . . 1.4.2 Dans le domaine fr´equentiel . . . . . . . . . . . . 1.4.2.1 Fr´equence moyenne . . . . . . . . . . . . 1.4.2.2 Bande utile . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2.3 Densit´e interspectrale d’´energie . . . . . 1.4.3 Analyse temps-fr´equence . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3.1 Transform´ee de Fourier `a court-terme 1.4.3.2 Fonction d’ambigu¨ıt´e . . . . . . . . . . . 1.5 Signaux al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 12 12 12 12 12 12 13 13

` TABLE DES MATIERES

iv 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4

1.6

1.7

D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stationnarit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egrodisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4.1 Identification de processus . . . . . . . . 1.5.5 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5.1 Les crit`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5.2 Caract´eristiques des estimateurs . . . . . ´ Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travaux dirig´es de th´eorie du signal . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Classifications des signaux . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Analyse non param´etrique, signaux d´eterministes. 1.7.4 Signaux al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Travaux Pratiques de Th´ eorie du Signal 27 2.1 Introduction `a Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Les notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1.1 D´emarrage d’une session . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1.2 Types des fichiers : Compatibilit´e entre Dos et UNIX . . . . . . . . . 28 2.1.1.3 Documentation : Aide en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Les d´ebuts en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2.1 Types de donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2.2 Op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2.3 Fonctions Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2.4 El´ements de langage Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3.1 Manipulation de matrices. Fonctions sp´ecialis´ees . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3.2 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3.3 Affichage 2D et 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.3.4 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.4 Traitement du signal avec Matlab. Transform´ee du Fourier . . . . . . . . . . 39 2.1.4.1 S´eries de caract`eres, Math´ematique symbolique . . . . . . . . . . . . 41 2.1.5 Coop´eration de Matlab avec des logiciels externes . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.5.1 Acc`es aux fichiers de donn´ees externes . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.5.2 Utiliser des proc´edures C dans l’environnement Matlab . . . . . . . 42 2.1.5.3 Utiliser les fonctions Matlab dans le cadre d’un logiciel C . . . . . . 42 2.1.5.4 Ins´erer des graphiques Matlab dans un document Word . . . . . . . 43 2.1.6 Probl`emes et questions fr´equentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.6.1 Probl`emes de gestion de m´emoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.6.2 Peut-on ins´erer des caract`eres grecques dans le titre d’un graphique ? 44 2.1.6.3 Faut il tout programmer en Matlab ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.7 Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ´ 2.2 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Cr´eation d’un mod`ele d’´echantillonnage parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ´ 2.2.2 Etude de la loi de densit´e de probabilit´e d’un signal ´echantillonn´e . . . . . . . 48

` TABLE DES MATIERES

2.3

2.2.3 Du signal analogique au signal num´erique . . . . . . . . 2.2.4 Un exemple de traitement num´erique du signal . . . . . . Caract´erisation de bruit et estimation . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1 Carcat´erisation d’un bruit blanc . . . . . . . . . 2.3.1.2 D´ebruitage d’un signal d´eterministe p´eriodique 2.3.2 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Traitement num´ erique du signal 3.1 Transform´ee en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Conditions d’existence, domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Transform´ee inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Syst`eme lin´eaire discret invariant dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Transform´ee de Fourier discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Dualit´e temps-fr´equence de l’´echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Filtrage num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Filtre `a r´eponse impulsionnelle infinie (Rii) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.2 M´ethodes de synth`ese indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.3 Transformation bilin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1.4 Transposition de gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Filtre `a r´eponse impulsionnelle finie (Rif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.2 Synth`ese par la m´ethode des fenˆetres :´echantillonnage temporel . 3.3.2.3 Synth`ese par la m´ethode des fenˆetres :´echantillonnage fr´equentiel 3.3.2.4 Exemple de synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Analyse spectrale non-param´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Estimateur de la fonction de corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Estimation de la densit´e spectrale de puissance (Dsp) . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Am´eliorations possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Travaux dirig´es de Traitement du Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.5.1 Echantillonnage et filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.5.1.1 Echantillonnage parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.5.1.2 Echantillonnage r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1.3 Filtres non invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1.4 Sous-´echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Synth`ese des filtres num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.1 Filtre r´ecursif du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.2 Synth`ese des filtres RII par invariance d’une r´eponse temporelle . 3.5.2.3 Synth`ese de filtre r´ecursif par la transformation bilin´eaire . . . . . 3.5.3 TFD et analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3.1 TFD et interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3.2 TFD et analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES

vi 4 Travaux Pratiques de Traitement Num´ erique du Signal 4.1 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.1.1 Echantillonage et transform´ee de Fourier. . . . . . . ´ 4.1.2 Etude comparative des fenˆetres de pond´eration . . 4.1.3 Transform´ee de Fourier `a court-terme . . . . . . . . 4.1.4 Mod´elisation autor´egressive. . . . . . . . . . . . . . 4.2 Filtrage num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2.1 Etude comparative des approximations (RII) . . . . 4.2.2 Implantation de filtres RII . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Filtrage d’un signal (RII) . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2.4 Etude des filtres RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Implantation de filtres RIF . . . . . . . . . . . . . .

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Compl´ ements math´ ematiques 4.3 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 D´erivation vectorielle (convention de Vetler) 4.4.1 D´eriv´ee d’une matrice . . . . . . . . . 4.4.1.1 Par rapport `a un scalaire . . 4.4.1.2 Par rapport `a une matrice . . 4.4.2 D´eriv´ee d’un vecteur . . . . . . . . . . 4.4.3 D´eriv´ee d’un scalaire . . . . . . . . . . 4.5 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . 4.5.1.1 Cas scalaire . . . . . . . . . . 4.5.1.2 Cas vectoriel . . . . . . . . . 4.5.2 Loi de densit´e de probabilit´e . . . . . . 4.5.3 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5 Changement de variable . . . . . . . . 4.5.6 Esp´erance . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6.1 Cas hyperg´eom´etrique . . . . 4.5.7 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . .

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81 82 82 82 82 83 83 83 83 83 83 85 85 85 85 85 85 85 86 86 86 86

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89 90 90 92 94 98 100 100 100 100 102 104 106

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Corrections des Travaux Dirig´ es 4.6 Th´eorie du Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Classifications des signaux . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Analyse non param´etrique, signaux d´eterministes. 4.6.4 Signaux al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Traitement du Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.7.1 Echantillonnage et filtrage . . . . . . . . . . . . . ´ 4.7.1.1 Echantillonnage parfait . . . . . . . . . ´ 4.7.1.2 Echantillonnage r´eel . . . . . . . . . . . 4.7.1.3 Filtres non invariants . . . . . . . . . . . 4.7.1.4 Sous-´echantillonnage . . . . . . . . . . . 4.7.2 Synth`ese des filtres num´eriques . . . . . . . . . .

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` TABLE DES MATIERES

4.7.3

4.7.2.1 4.7.2.2 4.7.2.3 TFD et 4.7.3.1 4.7.3.2

Filtre r´ecursif du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . Synth`ese des filtres RII par invariance d’une r´eponse temporelle Synth`ese de filtre r´ecursif par la transformation bilin´eaire . . . . analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TFD et interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TFD et analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

106 107 112 115 115 118

` TABLE DES MATIERES

viii

Pr´ eface Le traitement du signal (ts) n’est pas un domaine `a part des sciences pour l’ing´enieur (spi). Sa vocation est de proposer des solutions num´eriques `a des probl`emes de traitement discret1 de l’information tels que : – la caract´erisation des signatures des signaux en vue de leur emploi pour un diagnostic (analyse), – la mod´elisation de ph´enom`enes physiques (synth` ese), – la modification de leur repr´esentation en vue de leur transmission ou stockage (compression, communication). Cette discipline a des liens historiques ou ¿ g´en´etiques À avec l’´ economie, les statistiques, l’´ electronique, l’informatique et bien sˆ ur les math´ ematiques appliqu´ ees, au sens ou elles partagent des outils communs. Cet enseignement introduit les concepts et les outils fondamentaux du ts qui seront exploit´es et mis en œuvre en seconde ann´ee au travers du module de traitement num´erique du signal et en troisi`eme ann´ee dans les modules de traitement de la parole et de l’image. Ce module est ¿ tr`es À th´eorique mais il y a assez peu de chose en somme `a retenir (quelques formules que vous manipulez d´ej`a). L’organisation de ce document s’articule sur trois points : – la d´efinition du vocabulaire et de sa terminologie, – les notions des math´ematiques appliqu´ees, – les outils du traiteur de signal ainsi que leurs param´etrisations. La finalit´e est de comprendre comment fonctionnent les outils et savoir les mettre en œuvre dans des syst`emes num´eriques de traitement de l’information2 .

1 2

micro-ordinateur, micro-contrˆoleur, processeurs sp´ecialis´es, instrumentation embarqu´ee, etc. Bref, un truc de plus `a maˆıtriser si vous voulez pas ˆetre dans le vent !

` TABLE DES MATIERES

ix

Introduction Un signal est le reflet d’un ph´enom`ene analogique que l’on mesure avec un ou plusieurs capteurs3 . Prétraitement

Signal Analogique

Echantillonnage

Filtrage Amplification

Quantification

Signal Numérique

x(t) x[n] Traitement Numérique du Signal Filtrage numérique Estimation Classification Modélisation Compression

y(t)

y[n] Prétraitement

Signal Numérique

Sur-échantillonnage Filtrage numérique

Déquantification

Signal Analogique

Fig. 1 – Synoptique d’une chaˆıne d’acquisition et restitution en traitement num´erique du signal.

Pr´ erequis – – – – – – – –

alg`ebre lin´eaire alg`ebre matricielle d´erivation vectorielle calcul int´egral s´erie de Laurent probabilit´e & statistiques synth`ese des filtres analogiques syst`emes lin´eaires et asservissement

Notations. z?, z i, j, k, l, m, n, p, q |z| kxk x (t) x [n] , xn X Tf[x]

3

: : : : : : : :

le complexe conjugu´e de z un variable enti`ere ∈ N ou Z valeur absolue (z ∈ R) ou module (z ∈ C) norme de x une fonction continue de t une suite discr`ete une fonction transform´ee dont l’originale est x (t) ou xn transform´ee de Fourier de x

Ils effectuent une conversion de la grandeur physique observ´ee en une tension ou un courant.

x

` TABLE DES MATIERES

Chapitre 1 Th´ eorie du signal 1.1 1.1.1

Les concepts de la th´ eorie du signal Notion de signal

Un signal est un mod`ele math´ematique f (.) associ´e `a une grandeur physique ϕ refl´etant l’´evolution de ce dernier d´ependamment d’une (ou plusieurs) variable(s) d’observation. En g´en´eral, les ph´enom`enes sont observ´es en fonction du temps t. ϕ −→ f (t)

(1.1)

Un mod`ele math´ematique est en g´en´eral ´etablit comme une vue simplifi´ee d’un ph´enom`ene. Exemple 1.1 l’´equation diff´erentielle du second ordre d’un circuit RLC :L q¨ (t) + R q (t) + C1 q (t) = e (t). Exemple 1.2 L’induction magn´etique dans une bobine travers´ee par un courant est approch´ee par : B = √ µN I . l2 +4R2

1.1.2

Notion de support

Le support est l’intervalle sur lequel est d´efinie la variable dont d´epend le signal ´etudi´e. Cette variable est g´en´eralement associ´ee `a un temps t lorsqu’il s’agit de signaux mono-dimensionnels (1-d) et, `a une coordonn´ee (u, v) dans les cas bi-dimensionnels (une image par exemple). Nous nous limiterons d`es `a pr´esent `a des signaux 1-d ne d´ependant que du temps. Le support peut ˆetre : – de dimension infinie (t ∈ R). C’est le cas de nombreuses grandeurs physiques (e.g., l’´evolution de l’intensit´e lumineuse du soleil). – de dimension semie-finie (t ∈ [0, +∞[). La grandeur physique est nulle (ou consid´er´ee comme telle) avant un temps t = 0 (e.g., action sur un interrupteur pour allumer une ampoule). – de dimension finie (t ∈ [0, T ]). La grandeur physique existe que pendant un temps d´efini (e.g., une note de musique sur une partition qui est jou´ee `a un instant donn´e et pendant une dur´ee finie).

1.1.3

Le signal d´ eterministe

Un signal f (t) est dit d´ eterministe si la grandeur ϕ est d´ecrite en tout point t de son support par le mod` ele qui lui est associ´e. 1

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

2

Nous illustrons cette d´efinition par le mod`ele de vitesse d’un ascenseur d´efini par intervalles (cf. Fig. 1.1) :  V Tt1 0 ≤ t < T1    V T1 ≤ t < T 2 v (t) = (1.2) T3 −t V T3 −T2 T2 ≤ t < T3    0 ailleurs Exemple d"un signal déterministe, à support fini 200

Amplitude

150

100

50

0 0

100

200

300 Temps (s)

400

500

600

Fig. 1.1 – Signal correspondant `a la vitesse lors de l’´el´evation d’un ascenseur.

1.1.4

Le signal al´ eatoire

Un signal est dit al´ eatoire si la mesure de la grandeur physique ϕ est perturb´ee par un bruit b suivant une loi de densit´e de probabilit´e pB (b). Nous devons donc compl´eter l’expression du mod`ele pour prendre en compte l’influence du bruit. L’hypoth`ese la plus courante est de consid´erer que le bruit est additif : fe(t) = f (t) + b (t) (1.3) Ce nouveau mod`ele sera ´etudi´e avec les outils des probabilit´es. ´ Reprenons le mod`ele pr´ec´edant (cf. Equ. 1.2) en consid´erant trois r´ ealisations simultan´ees (i.e. mesures) de ce signal (cf. Fig. 1.2). 200

100

0

200

100

0

200

100

0 0

100

200

300 Temps (s)

400

500

600

Fig. 1.2 – La mesure de la vitesse d’´el´evation est perturb´ee par un bruit rendant ce signal al´eatoire.

´ 1.1. LES CONCEPTS DE LA THEORIE DU SIGNAL

3

Remarque 1.1 Un signal peut ˆetre perturb´e par plusieurs bruits :perturbation physique, bruit de mesure, bruit de quantification, bruit de calcul,. . . Remarque 1.2 Le bruit peut perturber de diff´erentes fa¸cons :bruit multiplicatif (e.g. en acoustique sous-marine), en F1 (bruit de rotation de la terre). Le bruit additif est une hypoth`ese simplificatrice utilisable dans la plupart des probl`emes. Dans le cas des signaux al´eatoires il est int´eressant de pouvoir mettre en ´evidence quelques propri´et´es statistiques. Une de ces propri´et´es est la stationnarit´ e (p. 14) c’est-`a-dire, que certaines statistiques du ph´enom`ene stochastique sont constantes au cours du temps.

1.1.5

´ Echantillonnage, Signaux discrets

Cette op´eration a pour but d’associer le signal continu y (t) `a une suite discr`ete yn . La suite correspond `a la fonction originale mesur´ee aux temps tn (cf. Fig. 1.3) : yn ≡ y (tn ) ,

n∈Z

(1.4)

L’´echantillonnage est dit r´ egulier si l’intervalle de temps ∆tn entre deux mesures cons´ecutives est constant : tn+1 − tn = ∆tn = Te ,

∀n

(1.5)

La quantit´e Te est alors appel´ee la p´ eriode d’´ echantillonnage. Par dualit´e, la fr´equence Fe = est appel´ee la fr´ equence d’´ echantillonnage.

1 Te

1 0.8 0.6 0.4

Amplitude

0.2 0

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Temps (s)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

´ Fig. 1.3 – Echantillonnage d’un signal continu sinuso¨ıdal.

1.1.6

Num´ erisation

La num´erisation est l’´etape suivant l’´echantillonnage qui consiste `a convertir l’amplitude du signal physique mesur´e en une valeur num´erique binaire op´eration qui rend le signal ´echantillonn´e manipulable par un dispositif de traitement num´erique (e.g. un µP). On effectue alors une quantification du signal (initialement se repr´esentant sur un intervalle continu) suivant une loi pour obtenir une repr´esentation num´erique sur un intervalle discret. La figure (1.4) illustre la quantification lin´eaire d’un signal sur 4 niveaux (soit 2 bits de repr´esentation binaire). Le signal original x (t) est donn´e en haut `a gauche. Le signal num´eris´e x˘ (t) est en haut `a droite. Le signal d´equantifi´e x e (t) est donn´e en bas `a gauche et l’erreur de quantification εx (t) = x (t) − x e (t) en bas `a droite.

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

4 Signal continu en amplitude

Signal quantifié 3 Amplitude numérique

1

Amplitude

0.5 0 -0.5 -1

0

0.2

0.4 0.6 Temps (s)

0.8

2

1

0 0

1

Signal reconstruit

0.2

0.4 0.6 Temps (s)

0.8

1

Erreur de quantification

1

0.3 0.2 Amplitude

Amplitude

0.5 0

0.1 0 -0.1

-0.5 -0.2 -1

0

0.2

0.4 0.6 Temps (s)

0.8

1

0

0.2

0.4 0.6 Temps (s)

0.8

1

Fig. 1.4 – Illustration de la num´erisation.

1.1.7

Classification ´ energ´ etiques des signaux

L’´ energie d’un signal temporel x est d´efinie par : Z E (x) , |x (t)|2 dt, pour un signal `a temps continu (tc) X E (x) , |xn |2 , pour un signal `a temps discret (td)

(1.6) (1.7)

n

La puissance moyenne d’un signal temporel x est d´efinie par : 1 P (x) , lim T →+∞ T

Z

+ T2

|x (t)|2 dt, pour un signal `a tc

(1.8)

− T2

+N X 1 P (x) , lim |xn |2 , pour un signal `a td N →+∞ 2N + 1 n=−N

(1.9)

On peut dire par extension que |x|2 repr´esente la puissance instantan´ ee du signal. D´ efinition 1.1 Un signal x est dit d’´ energie finie si : E (x) < +∞, sa puissance moyenne est alors nulle. D´ efinition 1.2 Un signal x est dit de puissance moyenne finie si : P (x) < +∞, son ´energie est infinie.

1.1.8

Espace de Hilbert et op´ erateurs

Sans trop entrer dans le d´etails, en traitement du signal nous ne manipulons que des signaux d’´energie finie (des signaux physiquement observables) auxquels nous allons faire correspondre un espace vectoriel complet. Cet espace est un espace de Hilbert que l’on notera L2 (E) (cette notation d´esigne l’espace des signaux de support E1 et d’´energie finie ou, du point de vue math´ematique, de carr´e sommable). Un tel espace est muni des op´erateurs suivants2 : 1 2

R (respectivement Z) ou une restriction pour les signaux `a tc (td). Une description d´etaill´ee des propri´et´es des op´erateurs est fournie en annexe.

´ 1.1. LES CONCEPTS DE LA THEORIE DU SIGNAL

5

– un produit scalaire de deux signaux x et y d´efini par : Z hx, yi , x (t) y ? (t) dt

(1.10)

o` u y ? d´esigne le complexe conjugu´e de y. ´ On remarque que E (x) = hx, xi (Cf. Equ. 1.6, 1.7). – une norme s’appliquant `a un signal x quelconque : 1

kxk , hx, xi 2

(1.11)

– une m´ etrique pour appr´ecier la distance entre deux signaux x et y : d (x, y) , kx − yk

(1.12)

– enfin, peut-ˆetre la notion la plus exploit´ee, nous pouvons d´efinir des bases dans cet espace afin de repr´esenter les signaux ´etudi´es autrement que par leur repr´esentation naturelle (en fonction du temps par exemple). Ce qu’il faut retenir c’est que l’on peut ´ecrire une fonction x quelconque sous la forme d’une combinaison lin´eaire des fonctions de bases : ( P 1 si la base est discr`ete i ∈ N i βi λi Φi (t) R x (t) = 1 λ (ν) Φ (t, ν) dν si la base est continue ν ∈ C β(ν) Z =⇒ λi = x (t) Φ?i (t) dt = hx, Φi i Z =⇒ λ (ν) = x (t) Φ? (t, ν) dt = hx, Φν i L’ensemble des coefficients de d´ecomposition {λ} r´esultant de la projection orthogonale de x sur {Φ} est appel´e le spectre. On s’assure de l’orthogonalit´e des fonctions de la base en v´erifiant : hΦi , Φk i = βi δi−k hΦν , Φζ i = β (ν) δ (ν − ζ) On dira que la base est orthonorm´ee si la suite {βi } ou la fonction β (ν) de pond´eration de la base a pour valeur 1. Theor` eme 1.1 Une propri´et´e d´ecoulant directement du changement de base est la conservation de l’´energie (th´eor`eme de Parseval), ce qui pour une base orthonorm´ee s’´ecrit : hx, xi = hλ, λi

1.1.9

(1.13)

Signaux synth´ etiques ´ el´ ementaires

– L’impulsion de Dirac δ (t) est d´efinie par : ½ +∞, pour t = 0 δ (t) = , 0, ailleurs

Z

+∞

δ (t) dt = 1

Il ne s’agit pas `a proprement parler d’une fonction mais plutˆot d’une distribution. La propri´et´e majeur r´eside dans la relation suivante : Z +∞ x (t) δ (t) dt = x (0) −∞

(1.14)

−∞

(1.15)

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

6

Remarque 1.3 Il ne faut pas la confondre avec l’impulsion de Kronecker δk qui est la version discr`ete : ½ 1, pour n = 0 δn = (1.16) 0, ailleurs – Le peigne de Dirac qqT : cette fonction est construite comme la superposition infinie d’impulsion de Dirac d´ecal´ees d’un pas r´egulier T . X qqT (t) = δ (t − kT ) (1.17) k

– L’´echelon de Heaviside (ou ´echelon unit´e) u (t) est d´efini par : ½ 1, pour t > 0 u (t) = 0, pour t < 0 Z t u (t) = δ (τ ) dτ −∞

– La rampe unit´e r (t) est d´efinie par : ½ r (t) = Z

t, pour t > 0 0, pour t < 0 t

r (t) =

u (τ ) dτ −∞

– Le signal d’information (ou porte) ΠT (t) est d´efini par : ½ 1, pour |t| > ΠT (t) = 0, ailleurs – Le sinus cardinal sinc (πT f ) =

T 2

(1.18)

sin(πT f ) πT f

δ (t)

1

u(t) t

t 1

r(t)

1

1

t

-T 2

Π T (t)

+T 2

t

Fig. 1.5 – Allures des signaux synth´etiques usuels.

1.2 1.2.1

Les syst` emes Caract´ erisation

Un syst`eme est ´etudi´e en lui applicant diff´erents types d’excitation qui permettent de caract´eriser le comportement soit en r´egime transitoire soit en r´egime dynamique. Pour le r´egime transitoire, si

` 1.2. LES SYSTEMES

7

la stimulation est une impulsion de Dirac δ (t) (respectivement un ´echelon unit´e u (t)) la r´eponse obtenue est appel´ee r´eponse impulsionnelle (r´eponse indicielle). Pour le r´egime dynamique, l’entr´ee du syst`eme est un signal p´eriodique sinuso¨ıdal (A sin (2πf t) .u (t)). Le comportement d’un syst`eme, dont la r´eponse impulsionnelle est h, `a une entr´ee x sera d´ecrit par la fonctionnelle : y (t) = F (x (t) , h (t) , t)

(1.19)

` partir des observations nous pouvons d´eduire les caract´eristiques suivantes : A

1.2.2

Lin´ earit´ e

Un syst`eme est lin´eaire si pour une combinaison lin´eaire de l’entr´ee on obtient une combinaison lin´eaire de la sortie : αx1 (t) + βx2 (t) −→ αy1 (t) + βy2 (t) (1.20)

1.2.3

Invariance temporelle

Un syst`eme est invariant dans le temps si un retard appliqu´e `a l’entr´ee produit un retard identique sur la sortie : x (t − τ ) −→ y (t − τ ) (1.21)

1.2.4

Produit de convolution

Un syst`eme dont la r´eponse propre est h soumis `a une excitation x fournit une r´eponse y d´etermin´ee par le produit de convolution : Z y (t) ,

x (ν) h (t − ν) dν

(1.22)

= (x ? h) (t) On d´emontre que ce produit de convolution est commutatif. Si l’excitation est l’impulsion de Dirac, la r´eponse du syst`eme est appel´ee r´ eponse impulsionnelle et vaut la r´eponse propre h : y (t) = (δ ? h) (t) = h (t) (1.23) L’impulsion de Dirac est l’´ el´ ement neutre du produit de convolution.

1.2.5

Causalit´ e

Un syst`eme est dit causal si la r´eponse ne pr´ec`ede pas la stimulation. On s’assure cette propri´et´e en imposant que la r´eponse impulsionnelle satifasse : h (t) = 0 t < 0

1.2.6

(1.24)

Stabilit´ e

Un syst`eme est stable si pour une entr´ee born´ee la sortie est born´ee (ebsb) , une condition suffisante est que la r´eponse impulsionnelle soit absolument convergente : Z |h (t)| dt < +∞ (1.25)

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

8

1.3

Les transformations

Une transformation `a pour but de modifier la repr´esentation d’un signal c’est-`a-dire, que l’on op`ere un changement de base nous permettant de passer d’une repr´esentation temporelle `a une repr´esentation fr´equentielle (ou autre). Nous allons passer en revue quelques unes des transformations les plus usuelles.

1.3.1

Transform´ ee de Laplace

La transform´ee de Laplace (tl) est l’outil parfait pour ´etudier le comportement des syst`emes lin´eaires dans le domaine temporel. En effet un syst`eme est un dispositif que l’on souhaite commander suivant des excitations simples (une impulsion, un ´echelon, une rampe, un retard) ou complexes (une composition lin´eaire des pr´ec´edentes). On consid`ere g´en´eralement que le syst`eme ´etudi´e est causal et stable. 1.3.1.1

D´ efinition

La tl d’une fonction y (t) causale est d´efinie par : Z +∞ Y (p) , y (t) exp (−pt) dt,

p∈C

(1.26)

0

Remarque 1.4 nous y reconnaissons sans embage une projection de la fonction y (t) sur la famille de fonction de base {exp (pt)} :Y (p) = hy (t) , exp (pt)i. La transform´ee de Laplace trouve son utilit´e en traitement du signal dans le domaine de la conception de filtres analogiques, et en automatique pour le contrˆole de syst`emes.

impulsion de Dirac d´erivation exponentielle retard convolution

Original δ (t) dn x (t) u (t) dtn exp (−αt) u (t) x (t − τ ) (x ? y) (t)

Transform´ee de Laplace 1 n p X (p) 1 , p > −α p+α exp (−τ p) X (p) X (p) Y (p)

Tab. 1.1 – Table des transform´ees de Laplace utiles. 1.3.1.2

Transform´ ee inverse

La tl ´etant d´efinie dans le plan complexe, le calcul de la transform´ee inverse doit ˆetre effectu´e par la formule de Cauchy : I 1 Y (p) exp (pt) dp (1.27) y (t) , j2π C Cette formule est toutefois `a utiliser que dans les cas ultimes. En effet, il est beaucoup plus rapide lorsque cela est possible d’utiliser la propri´et´e de lin´earit´e et d’unicit´e de la tl : αx1 (t) + βx2 (t) ­ αX1 (p) + βX2 (p)

(1.28)

Afin de pr´eparer cette transformation inverse il faudra d´ecomposer la fonction de transfert en ´el´ements simples (p. 57).

´ 1.4. CARACTERISATION DES SIGNAUX

1.3.2

Transform´ ee de Fourier

1.3.2.1

D´ efinition

9

La transform´ee de Fourier d’un signal y que nous noterons Y (f ) = TF {y (t)} est d´efinie par : Z

+∞

Y (f ) ,

y (t) exp (−j2πf t) dt,

f ∈R

(1.29)

−∞

Il faut toutefois que le signal y (t) satisfasse trois conditions suffisantes pour que sa tf existe : 1. y (t) poss`ede un nombre fini de discontinuit´es sur tout intervalle fini, 2. y (t) poss`ede un nombre fini de maxima et de minima sur tout intervalle fini, R +∞ 3. y (t) est absolument int´egrable, soit −∞ |y (t)| dt < +∞ ou encore y ∈ L1 (R) Remarque 1.5 La tf est un cas particulier de la tl bilat´erale pour p = j2πf . Remarque 1.6 c’est une fois de plus une projection de la fonction y (t) sur la famille de fonction de base {exp (2πf t)} :Y (f ) = hy (t) , exp (2πf t)i. La transform´ee de Fourier permet de d´ecomposer une fonction suivant une base trigonom´etrique (des sinus et des cosinus). Cette approche math´ematique est n´ee de l’analyse de ph´enom`enes physiques vibratoires thermiques puis transpos´ee `a d’autres domaines (optique, acoustique, m´ecanique). N´eanmoins, elle reste un outil math´ematique car elle fait apparaˆıtre des ¿ fr´equences n´egatives À ce qui physiquement n’a aucune interpr´etation. 1.3.2.2

Transform´ ee inverse Z

+∞

y (t) =

Y (f ) exp (j2πf t) df

(1.30)

−∞

impulsion de Dirac d´erivation retard convolution produit sym´etrie

Original δ (t) dn x (t) u (t) dtn x (t − τ ) x ? y (t) x (t) y (t) x (t) ∈ R

Transform´ee de Fourier 1 (j2πf )n X (p) exp (−j2πτ f ) X (f ) X (f ) Y (f ) X ? Y (f ) X (f ) = X? (−f )

Tab. 1.2 – Table des propri´et´es de la transform´ee de Fourier.

1.4

Caract´ erisation des signaux

L’analyse des signaux a pour but d’extraire des caract´eristiques (ou signatures) permettant par exemple de faire de la classification de donn´ees ou encore de la compression. Elle peut ˆetre effectu´ee soit dans le domaine temporel soit dans le domaine fr´equentiel. Pour ce faire, nous disposons de diff´erents outils standards d’estimation de caract´eristiques macroscopiques ou microscopiques. L’id´eal serait bien sˆ ur de construire un outil adapt´e au signal analys´e mais, la comparaison entre signaux devient ardue. C’est pourquoi on se contente dans la plus part des situations des outils suivants.

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

10

1.4.1

Dans le domaine temporel

Les outils d’analyse dans le domaine temporel sont souvent employ´e pour l’analyse de ph´enom`enes de dur´ee finie et brefs soit des signaux d’´energie finie. 1.4.1.1

Temps moyen

Il caract´erise le centro¨ıde de l’´ev´enement analys´e. Z tmoy ,

t

|x (t)|2 dt E (x)

(1.31)

La figure (??) montre le r´esultat du calcul du temps moyen sur une fonction de L2 (R) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Fig. 1.6 – Illustration des signatures temps moyen et dur´ee moyenne.

1.4.1.2

Dur´ ee moyenne

C’est la concentration du signal autour du temps moyen. "Z ∆t ,

# 12 |x (t)|2 (t − tmoy ) dt E (x) 2

On montre dans le cas d’un signal gaussien centr´e (tmoy moyenne vaut :∆t = 1.4.1.3

(1.32)

³ 2 ´ = 0) x (t) = exp − 2Tt 2 , que la dur´ee

T √ . 2

Fonction d’intercorr´ elation

Cette fonction permet de mesurer la ressemblance entre deux signaux x et y dans le domaine temporel en comparant les fonctions d’amplitude. La fonction d’intercorr´elation est une fonction temporelle relative c’est-`a-dire, qu’elle permet d’estimer une diff´erence de temps ou de phase. Pour des signaux d’´energie finie elle est d´efinie par : Z γxy (τ ) , x (t) y ? (t − τ ) dt (1.33)

´ 1.4. CARACTERISATION DES SIGNAUX

11

Pour des signaux de puissance moyenne finie elle est d´efinie par : 1 γxy (τ ) = lim T −→+∞ T

Z

+ T2

x (t) y ? (t − τ ) dt

(1.34)

− T2

Cette fonction dispose des propri´et´es suivantes : – |γxy (τ )|2 ≤ γx (0) γy (0) in´egalit´e de Schwarz ? – γxy (τ ) = γyx (−τ ) sym´etrie hermitienne (dans le cas R la fonction est paire) La figure (1.7) illustre le calcul de l’intercorr´elation entre deux fonctions trigonom´etriques : x (t) = sin (8πt) y (t) = cos (8πt) 1 γxy (τ ) = sin (8πτ ) 2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0.5 0.4 0.3

0

0.1

Amplitude

Amplitude

Amplitude

0.2

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4

−1 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 Temps

0.2

0.4

0.6

0.8

−0.5

−1 −1

1

−0.8

Fonction sinus

−0.6

−0.4

−0.2

0 Temps

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−1

−0.8

Fonction cosinus

−0.6

−0.4

−0.2

0 Temps

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Intercorr´elation

Fig. 1.7 – Intercorr´elation entre deux fonctions trigonom´etriques. La fonction d’autocorr´elation γxx (ou not´ee γx ) indique la ressemblance du signal avec ses translations. Cela permet de caract´eriser l’effet m´emoire du signal comme le montre la figure (1.8) o` u on calcule l’autocorr´elation d’une porte rectangulaire ΠT . On voit que le maximum de ressemblance est obtenu lorsque la translation est nulle τ = 0 et qu’au del`a d’une dur´ee ±2T il y a d´ecorr´elation. 0.35

1 0.9

0.3

0.8 0.25 0.7 0.2

Amplitude

Amplitude

0.6 0.5

0.15

0.4 0.1 0.3 0.05

0.2 0.1

0

0 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 Temps

0.2

ΠT (t)

0.4

0.6

0.8

1

−0.05 −2

−1.5

−1

−0.5

0 Temps

0.5

1

1.5

2

γΠT (τ )

Fig. 1.8 – Autocorr´elation d’une porte rectangulaire d’ouverture T.

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

12

1.4.2

Dans le domaine fr´ equentiel

1.4.2.1

Fr´ equence moyenne Z fmoy ,

1.4.2.2

f

|X (f )|2 df E (x)

(1.35)

Bande utile "Z ∆f ,

|X (f )|2 (f − fmoy )2 df E (x)

On montre dans le cas d’un signal gaussien centr´e (tmoy vaut :∆f =

# 21 (1.36)

³ 2 ´ = 0) x (t) = exp − 2Tt 2 , que la bande utile

√1 . 2 2πT

Remarque 1.7 L’exemple d’un signal gaussien n’est pas donn´e au hasard car il est ¿ l’´el´ement neutre À de la transform´ee de Fourier. On montre dans ce cas qui est optimal que le produit ∆t∆f 1 est ´egal `a 4π . Ceci signifie que l’on ne peut avoir simultan´ement une bonne r´esolution temporelle et 1 une bonne r´esolution fr´equentielle. Dans le cas g´en´eral, cette valeur de 4π devient une borne inf´erieure que l’on nomme l’in´egalit´e de Gabor-Heisenberg ∆t∆f ≥ 1.4.2.3

1 4π

(1.37)

Densit´ e interspectrale d’´ energie

La densit´e interspectrale d’´energie est ´egale `a la transform´ee de Fourier de la fonction d’in´ 1.33). Elle caract´erise la contribution ´energ´etique des diff´erentes composantes tercorr´elation (Equ fr´equentielles. Z

+∞

Γxy (f ) ,

γxy (t) exp (−j2πf t) dt

(1.38)

−∞

= X (f ) Y? (f ) De la mˆeme fa¸con, on peut aussi d´efinir la densit´e spectrale d’´energie d’un signal x par transformation de sa fonction d’autocorr´elation γx : Z

+∞

Γx (f ) ,

γx (t) exp (−j2πf t) dt

(1.39)

−∞

= |X (f )|2

1.4.3

Analyse temps-fr´ equence

1.4.3.1

Transform´ ee de Fourier ` a court-terme

´ La densit´e spectrale de puissance (Equ. 1.38, 1.39) permet d’analys´e le contenu fr´equentiel d’un signal `a condition que ce contenu soit invariant au cours du temps. Dans le cas o` u l’on souhaite tracer l’´evolution du contenu fr´equentiel d’un signal nous devons avoir recours `a une fonction de

´ 1.5. SIGNAUX ALEATOIRES

13

fenˆetrage w `a support fini (w ∈ L2 (R)) `a laquelle nous appliquerons diff´erents retard τ . Il semble ´evident que cette fenˆetre introduira des artefacts sp´ecifiques dans le domaine spectral. Z X (τ, f ) ,

1.4.3.2

x (t) w (t − τ ) exp (−j2πtf ) dt

(1.40)

Fonction d’ambigu¨ıt´ e

Elle permet l’´etude des signaux ayant subi un d´ecalage temporel x (t − ν) et fr´equentiel x (t) exp (−j2πµt). On mesure la distance euclidienne entraˆın´ee par un d´ecalage temporel τ et un d´ecalage fr´equentiel µ. Elle s’emploie principalement dans le traitement de signaux radar ou de type Doppler. Z χx (τ, f ) ,

x (t − τ ) x? (t) exp (−j2πf t) dt

(1.41)

propri´et´es : – χx (0, 0) = Ex 2 – |χ egalit´e de Cauchy-Schwarz RRx (τ, f )| ≤2 χx (0, 0) in´ – |χx (τ, f )| dτ df = Ex2

1.5

Signaux al´ eatoires

Rappels de calcul des probabilit´ es Z n

E {X } =

R

xn .pX (x) dx

– Moyenne

(1.42)

Z E {X} = µX =

R

xpX (x) dx

(1.43)

– Fonction d’intercorr´ elation γXY (t1 , t2 ) = E {X (t1 ) Y ? (t2)}

(1.44)

γX (t1 , t2 ) = E {X (t1 ) Y ? (t2)}

(1.45)

σXY = E {(X − µX ) (Y − µY )? }

(1.46)

© ª 2 σX = var (X) = E (X − E {X})2 © ª = E X 2 − µ2X

(1.47)

– Fonction d’autocorr´ elation

– Covariance

– Variance

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

14

1.5.1

D´ efinition

Un signal al´eatoire est un signal dont la valeur `a chaque instant est une variable al´eatoire. Il est caract´eris´e de fa¸con incompl`ete par ses caract´eristiques statistiques du premier et du second ordre :

µX (t) = E {X (t)} Z = x (t) p (x) dx γX (t1 , t2 ) = E {X1 (t1 ) X2 (t2 )} Z = x1 (t1 ) x2 (t2 ) p (x1 , x2 ) dx1 dx2 o` u p (x1 , x2 ) constitue la densit´e de probabilit´e conjointe entre les variables al´eatoires X1 = x (t1 ) et X2 = x (t2 ).

1.5.2

Stationnarit´ e

Un processus est dit stationnaire au sens strict si toutes ses propri´et´es statistiques sont ind´ependantes de l’origine des temps. Un processus est dit stationnaire au sens large si il est stationnaire `a l’ordre 2 : µ (t) = µ γ (t1 , t2 ) = γ (τ ) ,

1.5.3

τ = t1 − t2

Egrodisme

Le probl`eme de la caract´erisation des processus al´eatoires r´eside dans l’emploi du calcul de l’esp´erance. En effet, ce calcul n´ecessite la connaissance de la loi de densit´e de probabilit´e du processus. Or, cette connaissance est difficilement accessible car pratiquement, il nous faudrait effectuer un nombre infini d’exp´erience pour la d´eterminer. Afin de s’affranchir de cette limitation, on introduit la notion d’ergodicit´ e qui ´etablit un lien entre la moyenne d’ensemble (c-`a-d. l’esp´erance) et la moyenne sur une r´ ealisation (c-`a-d. une moyenne temporelle). Exemple d’un processus al´eatoire X (t, w) stationnaire : 1 E {X (t)} = lim T →+∞ 2T

Z

+T

x (t, w) dt = µ

(1.48)

−T

L’ergodisme (sousentendu fort) ´etant une propri´et´e difficile `a d´emontrer, on peut montrer d’une mani`ere g´en´erale que pour des processus stationnaires du second ordre, il y a toujours ergodisme faible pour la moyenne : © ª lim E |X (t, w) − µ|2 = 0

T →+∞

(1.49)

´ 1.5. SIGNAUX ALEATOIRES

15

Exemple 1.3 Soient x (t) et y (t) deux processus al´eatoires centr´es du second ordre, stationnaires, ergodiques faibles. En supposant que la notion d’ergodisme faible s’´etende au 2nd ordre, alors la fonction d’intercorr´elation est ergodique. Z +T 1 ? γXY (τ ) = E {X (t) Y (t − τ )} = lim x (t) y ? (t − τ ) dt (1.50) T →+∞ 2T −T Au mieux on pourra estimer γXY (τ ) `a partir de r´ealisations : γˆXY

1.5.4

1 (τ ) = 2T

Z

+T

x (t) y ? (t − τ ) dt

(1.51)

−T

Bruit blanc

Un bruit b est dit un bruit blanc si il est centr´e et parfaitement d´ecorr´el´e avec lui-mˆeme : γb (τ ) = σb2 δ (τ )

(1.52)

Dans le domaine fr´equentiel, sa densit´e spectrale de puissance est uniforme sur tout le support : Γb (f ) = σb2

(1.53)

On d´esignera σb2 comme ´etant la puissance du bruit. Lorsque le bruit n’est pas parfaitement d´ecorr´el´e, on parlera de bruit color´e. On pourra consid´er´e alors que dans le domaine spectral, la puissance du bruit est constante dans une bande de fr´equence donn´ee : Γb (f ) = σb2 ΠB (f ) Il sera int´eressant de pouvoir connaˆıtre soit le temps de corr´elation soit la bande de fr´equence. On peut exprimer l’influence du bruit sur un signal en valeur relative en d´efinissant le rapport signal ` a bruit dans le cas d’une perturbation additive. : y (t) = x (t) + b (t) Z T 1 +2 Py , lim |y (t)|2 dt T →+∞ T − T 2 Z +T Z T 2 1 1 +2 2 = lim |x (t)| dt + lim |b (t)|2 dt T →+∞ T − T T →+∞ T − T 2 2 = Px + Pb ρ , 10 log10 1.5.4.1

µ

Px Pb

¶ (1.54)

Identification de processus

Il arrive fr´equemment que l’on doivent exploiter un syst`eme dont les caract´eristiques nous sont inconnues. Plutˆot que d’effectuer des mesures heuristiques il nous est possible de proc´eder `a une identification des caract´eristiques en excitant le syst`eme avec un g´en´erateur de bruit blanc. Nous pourrons ainsi d´eterminer exp´erimentalement la r´eponse impulsionnelle h (t) ou la r´eponse fr´equentielle H (f )

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

16 Générateur de bruit blanc

e(t)

Système inconnu

s(t) Corrélateur

γse(t)

Fig. 1.9 – Identification des caract´eristiques d’un syst`eme. (voir Fig. 1.9). Dans le cas d’une source de bruit blanc de puissance σe2 , on montre que la fonction d’intercorr´elation entre e (t) et s (t) vaut : γse (τ ) = σe2 h (τ )

1.5.5

Estimateurs

Soit X ∈ Rm une quantit´e inconnue que l’on veut ´evaluer : c’est la variable `a estimer. Soit Y ∈ Rp une quantit´e connue li´ee `a X que l’on nomme observation. Soit O ⊂ R l’espace d’observation d´esignant l’ensemble de toutes les estimations possibles. ˆ `a partir des observations Y se d´efinit comme : Un estimateur de X (que l’on notera X) ˆ (.) O → Rm X ˆ =X ˆ (Y ) Y 7→ X

(1.55)

ˆ = X. sachant qu’id´ealement on souhaite que : X Le probl`eme est de trouver un estimateur mais selon quel(s) crit`ere(s) et `a partir de quelles informations. Pour r´esumer, un estimateur est un outil de mesure permettant d’´evaluer la valeur d’un param`etre. C’est rarement un outil g´en´erique. En effet, la conception de l’estimateur repose sur les caract´eristiques statistiques du signal analys´e et l’emploi d’un crit`ere d’optimisation. Le parall`ele avec l’outil de mesure peut ˆetre prolong´e par le fait que nous allons juger de ses performances dans les mˆemes termes : biais, variances et convergence.

Estimations

Valeur exacte

Moyenne de l'estimateur

Variance

Biais

Fig. 1.10 – Caract´eristiques des estimateurs.

1.5.5.1

Les crit` eres

La d´etermination d’un estimateur doit se faire par la formulation d’un crit`ere d’optimisation. En effet, on cherche un estimateur parmi une famille d’estimateur possible il nous faut donc imposer

´ 1.5. SIGNAUX ALEATOIRES

17

une r`egle de d´ecision afin de choisir le meilleur estimateur vis `a vis du crit`ere s´electionn´e. On parle alors d’estimateur optimal au sens d’un crit`ere. On peut aussi cr´eer un estimateur `a partir de simple consid´eration empiriques. Estimateurs empiriques La construction d’un estimateur empirique d’une caract´eristique peut ˆetre simplement effectu´ee `a partir de l’expression de l’ergodicit´e. Prenons par exemple le cas de la moyenne : 1 µx = E {X} = lim T →+∞ T L’estimateur empirique sera : 1 µ cx = T

Z

Z

T

x (t) dt

(1.56)

0

T

x (t) dt

(1.57)

0

Erreur quadratique moyenne Nous nous int´eressons aux estimateurs empiriques que l’on peut construire sans connaissance en optimisant ´eventuellement un crit`ere de moyenne quadratique. Nous consid´erons le cas d’un signal x ∈ E que nous approchons par une s´erie de fonctions quelconques. L’approximation x˜ est d´efinie dans un sous-espace de E, nous permettant de mesurer le signal d’erreur e = x − x˜. L’erreur quadratique moyenne s’´ecrit : Z 2 kek , |x (t) − x˜ (t)|2 dt (1.58) Cette mesure permet d’appr´ecier l’erreur d’approximation absolue commise. On montre que l’approximation x˜ de x est optimale au sens de l’eqm si la distance d (x, x˜) est minimale. On montre que la solution optimale correspond `a une erreur orthogonale `a l’approximation. Le th´eor`eme de Pythagore est alors v´erifi´e : kxk2 = k˜ xk2 + kek2 (1.59)

Fig. 1.11 – Th´eor`eme de la projection orthogonale. ´ L’interpr´etation dans le cas al´eatoire s’effectue simplement au sens de la puissance (voir Equ.1.54). En effet, on peut consid´erer que nous avons trois espaces diff´erents le premier ´etant l’espace des observations, le second l’espace du signal et l’espace du bruit. Les deux derniers espaces sont orthogonaux entre eux et forment l’espace d’observation.

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

18

La construction d’un estimateur en moyenne quadratique repose sur une hypoth`ese de mod´elisation du processus x `a partir des observations y. On pose l’hypoth`ese que l’estimateur est lin´eaire : b (Y ) = AY X

(1.60)

o` u A est une matrice de coefficients inconnus de dimensions m × n et Y un vecteur d’observations. L’erreur quadratique commise s’exprime comme : n o 2 b JXb = E ||X − X (Y ) || © ª = E ||X − AY ||2 La r´esolution s’effectue en minimisant le crit`ere JXb suivant A : ¯ ∂JXb ¯¯ =0 ∂A ¯A=Aopt Crit` eres statistiques La d´esignation du crit`ere peut ˆetre faite en int´egrant des connaissances `a priori sur le comportement stochastique du signal al´eatoire. On utilise alors des m´ethodes de construction des estimateurs fond´ees sur les strat´egies bayesiennes. Dans ce cas nous devons connaˆıtre une loi de densit´e de probabilit´e conditionnelle g´en´eralement p (X|Y ) et nous imposer une fonction de coˆ ut. C’est de cette mani`ere que sont formul´es les estimateurs : – du maximum de vraisemblance, – du maximum `a posteriori, – m´edian. Nous ne d´eveloppons pas dans ce cours les estimateurs statistiques avec connaissance `a priori. 1.5.5.2

Caract´ eristiques des estimateurs

Biais Le biais est l’erreur moyenne commise sur l’estimation de la valeur exacte, cette caract´eristique peut s’appeler aussi exactitude ou justesse. Soit a la valeur exacte et a ˆ son estimateur : Baˆ = E {a − a ˆ}

(1.61)

Variance La variance est un indicateur de la dispersion des estim´ees par rapport `a la valeur moyenne.On peut qualifier cette caract´eristique par le terme de pr´ecision. © ª Varaˆ = E (ˆ a − E {ˆ a})2 (1.62) Erreur quadratique moyenne Cette caract´eristique est proche de la variance elle sont mˆeme ´egale dans le cas d’un estimateur non-biais´e : © ª Jaˆ = E (a − a ˆ)2 (1.63)

´ 1.6. ECHANTILLONNAGE

19

Convergence On dira que l’estimateur a ˆ est convergent si et seulement si a ˆ converge en probabilit´e vers a quand le nombre ou la dur´ee d’observations tend vers +∞. Un propri´et´es plus facilement exploitable est : Baˆ = 0 Jaˆ →n→+∞ 0 alors l’estimateur a ˆ est convergent.

Une ´ etude de cas On dispose de N variables al´eatoires y1 , . . . , yN ind´ependantes d’esp´erance µ et de variance σ 2 . On cherche a estimer µ in param`etre inconnu en utilisant l’estimateur suivant : N 1 X µ ˆ (Y ) = yi N i=1

On peut montrer que cet estimateur est sans biais et poss`ede une erreur quadratique en cons´equent, l’estimateur µ ˆ est convergent.

1.6 1.6.1

σ2 . N

Par

´ Echantillonnage D´ efinitions

Cette op´eration a pour but de rendre le signal continu y (t) manipulable par un dispositif num´erique en lui associant une suite discr`ete yn . La suite correspond `a la fonction originale mesur´ee aux temps tn (cf. Fig. 1.12) : yn ≡ y (tn ) , n ∈ N (1.64) L’´echantillonnage est dit r´ egulier si l’intervalle de temps ∆tn entre deux mesures cons´ecutives est constant : tn+1 − tn = ∆tn = Te ,

∀n

(1.65)

La quantit´e Te est alors appel´ee la p´ eriode d’´ echantillonnage. Par dualit´e, la fr´equence Fe = est appel´ee la fr´ equence d’´ echantillonnage. Nous pouvons introduire la fonction d’´echantillonnage en utilisant le peigne de Dirac qqTe : qqTe (t) =

+∞ X

1 Te

δ (t − n Te )

n=−∞

Tf [qqTe (t)] = Fe . qqFe (f ) Le signal ´echantillonn´e s’exprime alors comme : ye [n] = y (t) . qqTe (t)

(1.66)

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

20 1 0.8 0.6 0.4

Amplitude

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Temps

0.6

0.7

0.8

0.9

1

´ Fig. 1.12 – Echantillonnage d’un signal sinuso¨ıdal.

dont la transform´ee de Fourier est :

Ye (f ) = Fe . (Y ? qqFe ) (f ) = Fe

+∞ X

Y (f − nFe )

(1.67)

n=−∞

L’´echantillonnage a pour effet de p´eriodiser le spectre du signal avec une p´eriode ´egale `a la fr´equence d’´echantillonnage Fe . Theor` eme 1.2 de l’´echantillonnage ( Shannon) Un signal ne contenant pas de composantes fr´equentielles sup´erieures ou ´egales `a une valeur Fmax (le spectre est alors `a support born´e [−Fmax , +Fmax ]) est enti`erement d´etermin´e par la suite de ses valeurs `a des instants r´eguli`erement espac´es de la dur´ee Te ≤ 2 F1max (⇐⇒ Fe ≥ 2 Fmax ). Le signal original est reconstructible `a partir des ´echantillons mesur´es.

spectrale de puissance

Dans le cas o` u la fr´equence d’´echantillonnage ne satisfait pas le th´eor`eme de Shannon (Fe < 2Fmax , soit un sous-´echantillonnage), on observe la pr´esence d’un recouvrement dans le domaine spectral. La reconstruction du signal est alors impossible.

1 0.9

0.7

0.8 0.7

0.6

0.6

0.5

0.5

0.4

0.4 Densité

Densitéspectrale de puissance

0.8

1 0.9

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0 -100

-80

-60

-40

-20

0 20 Frequences

40

Spectre original.

60

80

100

0 -300

-200

-100

0 Frequences

100

200

300

Sur-´echantillonnage (Fe > 2Fmax ).

´ 1.6. ECHANTILLONNAGE spectrale de puissance

21

1 0.9

0.7

0.7 0.6

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0 -100

-80

-60

-40

-20

0 20 Frequences

40

60

80

100

Sous-´echantillonnage (Fe < 2Fmax ).

1.6.2

0.8

0.6

Densité

Densitéspectrale de puissance

0.8

1 0.9

0 -150

-100

-50

0 Frequences

50

100

150

´ Echantillonnage critique (Fe = 2Fmax ).

Mise en œuvre

Les cons´equences pratiques sont : – si le signal est `a bande limit´ee, on choisit la fr´equence d’´echantillonnage pour satisfaire le th´eor`eme de Shannon, – si la fr´equence d’´echantillonnage est d´etermin´ee, on filtre le signal continu pour ´eliminer les fr´equences > F2e (filtrage anti-repliement)

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

22

1.7 1.7.1

Travaux dirig´ es de th´ eorie du signal Classifications des signaux

Exercice 1.1 Classer suivant l’´energie puis, suivant la puissance moyenne, les signaux suivants : u (t), r (t), ΠT0 (t), A sin (2πf0 t) u(t). Exercice 1.2 Soit un signal x (t) d´efinit par : ½ 3 t, 0 ≤ t < 4 4 x (t) = 0, ailleurs – Repr´esenter graphiquement le signal x (t) ainsi que ses transformations : x1 (t) = x (t − 3), x2 (t) = ¡ ¢ x (2t), x3 (t) = x 2t x4 (t) = x (−t). – Calculer l’´energie de chaque signal xi . Exercice 1.3 Soit le signal x (t) d´efinit par :  t + 1, −1 ≤ t < 0    1, 0 ≤ t < 1 x (t) = 2, 1 ≤ t < 2    0, ailleurs – – – –

Repr´esenter graphiquement ce signal, ´ Ecrire la d´ecomposition de x (t) en fonctions simples (´echelons, . . .), ¡ ¢ Repr´esenter :x1 (t) = x (t) u (1 − t), x2 (t) = x (t) (u (t) − u (t − 1)), x3 (t) = x (t) δ t − 23 . Calculer l’´energie de chaque signal.

Exercice 1.4 D´eterminer le produit scalaire des signaux

¶ T x1 (t) = A cos (2πf0 t + θ) ΠT t − 2 µ ¶ T x2 (t) = A sin (2πf0 t + θ) ΠT t − 2 µ

En d´eduire la relation que doivent v´erifier T et f0 pour que les signaux soient orthogonaux. Exprimer dans ce cas les signaux x1 (t) et x2 (t) `a l’aide de leur ´energie commune E. Exercice 1.5 On mod´elise un signal y (t) comme une composition lin´eaire d’une famille de fonctions orthogonales {ϕj (t)}0≤j≤N : yd (t) =

N X

λj ϕj (t)

j=0

hϕj , ϕk i = βk δj−k On veux obtenir la meilleure repr´esentation pour la suite de coefficients {λj } au sens de l’erreur quadratique moyenne : Z ¯ ¯2 ¯ ¯ (t)¯ dt J = ¯y (t) − yd © ª Montrer que les coefficients optimaux λopt sont obtenus par un simple calcul du produit scalaire j (ie. une projection orthogonale) : 1 λopt hy, ϕj i j = βj NB : On pensera `a J minimiser en fonction de λj .

´ DE THEORIE ´ 1.7. TRAVAUX DIRIGES DU SIGNAL

1.7.2

23

Syst` emes lin´ eaires

Exercice 1.6 Soit h la r´eponse impulsionnelle d’un syst`eme : h (t) = 2 exp (−t + τ ) .u (t − τ ) – Quelle est la condition pour que le syst`eme soit causal ? – Est-il stable ? – On choisit τ = 2, trouver graphiquement puis par calcul la r´eponse du syst`eme pour une entr´ee x valant :x (t) = δ (t + 1) + δ (t) + u (t − 4) − u (t − 7). Exercice 1.7 Soit h un syst`eme dont la r´eponse impulsionnelle est :h (t) = Ku (t) , K ∈ R∗ . – Le syst`eme est-il causal ? – Est-il stable ? On asservit le syst`eme pr´ec´edant en introduisant la fonction de transfert B (p) = β de la fa¸con suivante :

X

+

H

Y

B

Fig. 1.13 – Asservissement d’un syst`eme. – Le syst`eme asservi est-il causal ? – Est-il stable ? Exercice 1.8 Soit le signal x dont la Tf est X (f ) = X0 ΠB (f ), est modul´e en amplitude par une porteuse y (t) = A0 sin (2πf0 t). – Calculer et repr´esenter graphiquement la densit´e spectrale d’´energie ( dse) des trois signaux x, y, z = xy. – On ´echantillonne le signal modul´e avec un peigne de Dirac de p´eriodicit´e T = 2f10 . – Quelle est la cons´equence de cette op´eration dans le domaine spectral ? – Comment r´ecup´erer facilement le spectre X (f ) du signal modulant ? Exercice 1.9 Soit x (t) = AΠτ (t), calculer le produit de convolution : Λ (t) = (x ? x) (t) – Tracer le r´esultat et observer les modifications engendr´ees par l’op´erateur de convolution. – On convolue le signal Λ en utilisant un peigne de Dirac de p´eriode T . – Repr´esenter le r´esultat de la convolution pour les valeurs suivantes :τ = 1, T = {1, 2, 3}. Exercice 1.10 Soit le signal x (t) = A cos (2πf0 t) que l’on tronque avec la fonction porte ΠT (t) xT (t) = x (t) .ΠT (t) – D´eterminer l’influence de la troncature en calculant |XT (f )| le module de la Tf de xT .

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

24

1.7.3

Analyse non param´ etrique, signaux d´ eterministes.

Exercice 1.11 Un tapis roulant convoye des boˆıtes rectangulaires `a une vitesse V d’un point A vers un point B distant d’une mesure D. Un capteur optique binaire plac´e en A d´elivre un signal xA (t) et un autre identique plac´e en B fournit un signal xB (t). Montrer qu’en calculant l’intercorr´elation des deux signaux de mesures nous pouvons estimer le temps de transit sur le tapis et par la mˆeme, contrˆoler sa vitesse V (on supposera que la vitesse reste constante pendant le trajet d’une boˆıte). Exercice 1.12 Une source ponctuelle ´emet un signal s (t) = S0 sin (2πf0 t + φ0 ). Cette source est `a une position fixe inconnue que nous souhaitons d´eterminer. Nous avons dispos´e deux antennes A et B pour capter le signal ´emis. Montrer que la fonction de corr´elation permet de r´esoudre ce probl`eme de localisation. (On posera que la vitesse v de propagation dans le milieu est constante).

A

S

B

Fig. 1.14 – Localisation d’une source. Exercice 1.13 Calculer la transform´ee de Fourier d’une fonction porte Π d’ouverture T . Calculer le produit de convolution et la fonction d’autocorr´elation de cette fonction par elle-mˆeme. Que vaut la tf du signal convolu´e ? ¡ ¢ Exercice 1.14 Soit le signal x (t) = u (t) exp − Tt , on souhaite appliquer une analyse spectrale sur un enregistrement y (t) de ce signal de dur´ee L. Calculer les tf de x et y. Quelle relation doit v´erifier la longueur moyenne de l’enregistrement T pour que l’erreur relative commise en confondant Y (f ) et X (f ) soit inf´erieure `a 1 %. Exercice 1.15 D´eterminer les temps moyens, les fr´equences moyennes, les dur´ees et les bandes utiles des signaux suivants : – x1 (t) = ΠT (t − τ ), – x2 (t) = u (t − τ ) . exp (−a (t − τ )) , a > 0, R 4 – x3 (t) = ΛT (t) (on admettra que sinu2(u) du = π4 ), – x4 (t) = a exp (λt2 ) , λ < 0.

´ DE THEORIE ´ 1.7. TRAVAUX DIRIGES DU SIGNAL

1.7.4

25

Signaux al´ eatoires

Exercice 1.16 On consid`ere le signal x (t) = s (t) + b (t) s (t) = A sin (2πf0 t + φ) b (t) est un bruit blanc gaussien, stationnaire, ergodique, centr´e N (0, σ 2 ). φ est une phase al´eatoire ind´ependante de b (t) suivant une loi uniforme sur [0, 2π]. – Le signal x est-il al´eatoire ? – Calculer la moyenne µx (t) de x (t) . Le signal est-il stationnaire ? – Calculer l’autocorr´elation γx (τ ) de x (t). – Donner l’expression de la fonction de corr´elation pour un signal d´eterministe de puissance moyenne finie. – Donner l’autocorr´elation d´eterministe Γx (τ ) de x (t). – Montrer que la moyenne statistique de l’autocorr´elation d´eterministe est identique `a la fonction de corr´elation γx (τ ). Exercice 1.17 Soit x (t) un bruit blanc stationnaire de param`etres N (µx , σx2 ) que l’on filtre par un syst`eme d´eterministe de r´eponse impulsionnelle h (t) et de transform´ee de Fourier H (f ). – Calculer la moyenne µy du signal de sortie y. – Calculer σy2 . Exercice 1.18 Soit l’estimateur de la fonction de corr´elation suivant : Z +∞ γˆxy (τ ) = K (τ ) . xw (t) yw? (t − τ ) dt −∞

o` u fw est la fonction f multipli´ee par la fenˆetre d’observation w (w (t) = ΠT (t)). K est une fonction de pond´eration. Nous allons ´etudier le biais de cet estimateur pour deux pond´erations diff´erentes. L’une d’entre elles sera : K1 (τ ) = – – – –

1 T

Exprimer la moyenne statistique de l’estimateur. D´eterminer le biais pour K1 (τ ). Comment choisir K2 (τ ) pour que l’estimation soit sans biais ? Calculer la densit´e spectrale de puissance et conclure sur les deux estimateurs.

26

´ CHAPITRE 1. THEORIE DU SIGNAL

Chapitre 2 Travaux Pratiques de Th´ eorie du Signal 2.1

Introduction ` a Matlab

Le but de ce document est de vous initier `a la programmation Matlab. Le d´ebutant trouvera des informations fortement utiles dans les premi`eres sections. Mais, ce document ne se propose en aucun cas de remplacer la documentation ou les manuels de r´ef´erence. En revanche, il pr´esente aussi une s´erie de probl`emes de programmation avanc´ee et des d´etails d’exploitation qui seront int´eressants mˆeme pour les utilisateurs plus exp´eriment´es. Finalement, on trouve une liste assez compl`ete des r´eponses aux questions les plus fr´equentes li´ees `a l’utilisation du Matlab. On suppose que ceux qui vont lire ce document poss`edent d´ej`a les notions rudimentaires de la programmation C et de l’environnement Windows.

2.1.1

Les notions de base

Matlab est un puissant outil de calcul num´erique et visualisation. Son nom signifie MATrix LABoratory, c’est `a dire un environnement interactif de calcul matriciel. La facilit´e de d´eveloppement des applications dans son langage fait qu’il est pratiquement devenu le standard dans son domaine. Actuellement, on trouve des nombreuses boˆıtes-`a-outils (Toolboxes) qui contiennent des fonctions sp´ecialis´ees permettant d’utiliser l’environnement Matlab pour r´esoudre des classes sp´ecifiques de probl`emes. 2.1.1.1

D´ emarrage d’une session

Le lancement de Matlab se fait tout simplement en le lan¸cant depuis le menu D´emarrer : >>D´ emarrer>Programmes>Matlab>Matlab Cette fenˆetre deviendra alors la fenˆetre de commande Matlab 1 . Il s’agit en effet d’une interface en mode texte avec l’interpr´eteur de langage Matlab dans laquelle vous pouvez ex´ecuter des instructions sp´ecifiques ou lancer des programmes. L’affichage des r´esultats num´eriques se fera en mode texte dans cette mˆeme fenˆetre ou dans une autre fenˆetre en mode graphique (en faisant appel aux fonctions de visualisation de Matlab). 1

Vous pouvez aussi rajouter un lien pointant vers l’ex´ecutable dispos´e sur votre bureau, il suffit alors de cliquer sur l’icone correspondante pour qu’une fenˆetre similaire s’ouvre dans votre environnement.

27

28

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

Fig. 2.1 – La fenˆetre de commande Matlab. 2.1.1.2

Types des fichiers : Compatibilit´ e entre Dos et UNIX

Les programmes Matlab sont des fichiers Ascii qui contiennent des commandes sp´ecifiques. La convention est que le nom d’un tel fichier doit se terminer en .m. Pour ex´ecuter un tel programme en Matlab il suffit de taper son nom dans la fenˆetre de commande, mais sans l’extension par d´efaut .m. Les fichiers sont parfaitement compatibles entre les stations et les PC. C’est `a dire, si vous r´ecup´erez par Ftp des fichiers qui ´etaient sur une station Unix, ces fichiers resteront toujours ex´ecutables par Matlab PC (mˆeme proc´edure pour le transfert PC → Unix). Une seule petite observation : n’oubliez pas de configurer le transfert Ftp en mode Ascii, sinon (en binaire) la convention de fin de ligne qui est diff´erente sous Unix et Dos va rendre votre programme illisible. Vous devez employer le mode de transfert binaire seulement pour les fichiers qui ont des noms termin´es en .mat. Ce sont des fichiers des donnes Matlab, qui utilise le format binaire pour des raisons d’efficacit´e et de taille. L’´edition de programmes .m est un processus totalement ind´ependant de Matlab. Vous ˆetes ainsi libre d’utiliser votre logiciel d’´edition pr´ef´er´e. 2.1.1.3

Documentation : Aide en ligne

La documentation de Matlab est particuli`erement riche. Le logiciel est livr´e en standard avec plusieurs documentations dont : – Users Guide - destin´e surtout aux d´ebutants. Cette documentation vous prend la main et vous guide lentement dans les m´eandres du langage Matlab. Si vous ˆetes un d´ebutant, le passage par cette documentation est quasiment in´evitable – Reference Guide - tout comme son nom l’indique il s’agit d’un document qui d´ecrit tous les ´el´ements de langage Matlab (instructions, fonctions et leurs param`etres). Grˆace `a son index tr`es complet, il permet de retrouver facilement des informations – Signal Processing Toolbox User’s Guide - le guide d’utilisation de la boˆıte `a outils de traitement de signal. Il contient deux parties : Tutorial et Reference, con¸cues de mˆeme mani`ere que les deux documentations correspondantes Matlab – Image Processing Toolbox User’s Guide - le guide d’utilisation de la boˆıte `a outils de traitement d’image

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

29

– Communication Toolbox User’s Guide - le guide d’utilisation de la boˆıte `a outils de t´el´ecommunications – Simulink User’s Guide - le guide d’utilisation de l’interface graphique de simulation – Building a Graphical User Interface - il s’agit d’un document qui traite les fonctions Matlab d’interaction graphique avec l’utilisateur. Parmi toutes les documentations, c’est de loin le livre le moins complet. Heureusement, il contient de nombreux exemples qui peuvent conduire, par le biais de l’exp´erimentation, `a une parfaite maˆıtrise de l’interface graphique (si cela est vraiment n´ecessaire) – External Interface Guide - c’est un des ouvrages les plus utiles parce qu’il traite l’interaction de Matlab avec des programmes externes, notamment celles ´ecrites en langage C (voir p. 42). De mˆeme, l’aide en ligne est tr`es compl`ete. Il suffit de taper dans la fenˆetre de commande : >>help et le r´esultat sera une ´enum´eration de ce type : HELP topics: matlab\general - General purpose commands. matlab\ops - Operators and special characters. matlab\lang - Programming language constructs. matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation. matlab\elfun - Elementary math functions. matlab\specfun - Specialized math functions. matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra. matlab\datafun - Data analysis and Fourier transforms. matlab\polyfun - Interpolation and polynomials. matlab\funfun - Function functions and ODE solvers. matlab\sparfun - Sparse matrices. matlab\graph2d - Two dimensional graphs. matlab\graph3d - Three dimensional graphs. matlab\specgraph - Specialized graphs. matlab\graphics - Handle Graphics. matlab\uitools - Graphical user interface tools. matlab\strfun - Character strings. matlab\iofun - File input/output. matlab\timefun - Time and dates. matlab\datatypes - Data types and structures. matlab\winfun - Windows Operating System Interface Files (DDE/ActiveX) matlab\demos - Examples and demonstrations. comm\comm - Communications Toolbox comm\commsfun - Communications Toolbox SIMULINK S-functions. comm\commsim - Communications Toolbox SIMULINK files. wavelet\wavelet - Wavelet Toolbox. wavelet\wavedemo - Wavelet Toolbox Demos. dspblks\dspblks - DSP Blockset. dspblks\dspmex - (No table of contents file)

30

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

dspblks\dspdemos - (No table of contents file) images\images - Image Processing Toolbox. images\imdemos - Image Processing Toolbox --- demos and sample images toolbox\signal - Signal Processing Toolbox. simulink\simulink - Simulink simulink\blocks - Simulink block library. simulink\simdemos - Simulink demonstrations and samples. simulink\dee - Differential Equation Editor toolbox\tour - matlab Tour toolbox\local - Preferences. For more help on directory/topic, type "help topic". Il s’agit d’une ´enum´eration de toutes les sections de l’aide en ligne. Pour une aide sur une certaine section il suffit de taper help suivi du nom de la section. Par exemple, la commande : >>help ops aura comme r´esultat une liste de tous les op´erateurs utilis´es par Matlab. Pour une aide encore plus pointue, la commande help peut ˆetre suivie par le nom de la commande dont on souhaite le d´etail. Supposant qu’on veut voir l’utilisation de la commande fft2, il suffit d’´ecrire : >>help fft2 La commande helpwin est ´equivalente `a help la diff´erence est qu’une fenˆetre d’aide sera ouverte vous offrant la possibilit´e d’invoquer une aide au format hypertexte. >>helpwin fft2

Fig. 2.2 – Une fenˆetre d’aide invoqu´ee par helpwin. Une autre commande utile est lookfor mot-cl´ e >>lookfor string recherche toutes les fonctions Matlab ou utilisateur qui contiennent dans leur aide la chaˆıne de caract`eres ¿ string À.

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

31

L’information fournie par l’aide en ligne est plus ou moins ´equivalente avec celle contenue dans les Reference Guides. Une autre source d’informations extrˆemement riche est le programme de d´emonstration de Matlab. Vous pouvez le lancer avec la commande demo.

2.1.2

Les d´ ebuts en Matlab

2.1.2.1

Types de donn´ ees

La plus forte limitation de Matlab, et toutefois la source de sa puissance, est le fait qu’il accepte un seul type des donn´ees : les matrices (les vecteurs et les scalaires ´etant des cas particuliers des matrices). Pratiquement, aucun autre type de donn´ee ne peut pas ˆetre d´efini (avec une seule exception, sur laquelle on va insister `a la page 41). Plus restrictif encore, il travaille seulement en format num´erique flottant, ce qui signifie 8 octets par ´el´ement. Deux valeurs particuli`eres sont d´efinies : – NaN (Not a Number ), qui est le r´esultat d’une ind´etermination de type 00 , – inf qui indique la divergence d’un r´esultat 10 . On peut d´efinir des nombres complexes, en utilisant le symbole i (ou j, pour ceux qui pr´ef`erent des notations plus ¿ ing´enieur À). Des fonctions bool´eennes peuvent ˆetre utilis´ees dans les structures de contrˆole de type if ou while. Un exemple de d´efinition explicite d’une matrice est le suivant : >>a=[1 3 2; 3 3 3; 2 2 1]; On peut v´erifier l’existence de la matrice a en ´ecrivant son nom sur la ligne de commande : >>a a = 1 3 2 3 3 3 2 2 1 Remarque 2.1 Lors de l’ex´ecution de l’instruction pr´ec´edente, Matlab recherche d’abord si il existe une variable a d´efinie dans l’espace de travail. Dans le cas contraire, il recherche si il existe une fonction portant ce nom. Le message suivant sera affich´e si aucune variable ou fonction n’est trouv´ee : ??? Undefined function or variable ’a’. Attention donc de ne pas red´efinir les noms de fonctions comme matrices - ceci est en effet une source importante des erreurs pour les d´ebutants. ` remarquer aussi le fait que la pr´esence de ¿ ; À apr`es une instruction empˆeche Remarque 2.2 A l’affichage du r´esultat de cette instruction.

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

32 2.1.2.2

Op´ erateurs

Matlab admet l’utilisation de tous les op´erateurs usuels (addition, multiplication, etc.) avec les r`egles de priorit´e bien connues. Nous allons effectuer quelques op´erations simples avec la matrice a qui a ´et´e d´efinie dans la section pr´ec´edente. >>b=a+a b = 2 6 4 6 6 6 4 4 2 Remarquez la facilit´e dont on peut cr´eer des nouvelles matrices. Nul besoin de sp´ecifier la taille de la matrice b, elle est attribu´ee automatiquement. Plus int´eressant encore, la taille de la matrice se modifie de fa¸con adaptative : >>b=[b a] b = 2 6 4 1 3 2 6 6 6 3 3 3 4 4 2 2 2 1 Maintenant nous allons ¿ couper À la matrice b pour revenir `a sa valeur initiale. Les ´el´ements de b peuvent ˆetre manipul´es en utilisant la syntaxe b(x,y) ou x est l’indice de la ligne et y l’indice de la colonne de l’´el´ement `a manipuler. Alors la commande : >>b=b(1:3,1:3) b = 2 6 4 6 6 6 4 4 2 retient seulement les 3 premi`eres colonnes de b et nous permet de retrouver sa valeur initiale. En passant, remarquons que l’expression x :y a comme r´esultat la cr´eation d’une s´erie de nombres en commen¸cant par x et en rajoutant 1 sans qu’on d´epasse le seuil sup´erieur y. On ´evalue une telle s´erie : >>2.5:6 ans = 2.5000 3.5000 4.5000 5.5000 Maintenant, nous allons voir un autre exemple : >>c=a*b c = 28 32 26 36 48 36 20 28 22 le r´esultat est, normalement, le produit matriciel de a et b. Supposons que nous voulons calculer le produit scalaire (´el´ement par ´el´ement) des matrices a et b. Dans ce cas, il suffit de rajouter le symbole ¿ . À (point) avant l’op´erateur de multiplication :

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

33

>>c=a.*b c = 2 18 8 18 18 18 8 8 2 Cette r`egle est valable pour tous les op´erateurs qui peuvent admettre une utilisation duale (matricielle et scalaire) : division, exponentiation. On peut commuter vers l’op´eration scalaire juste en rajoutant un point avant l’op´erateur en cause. 2.1.2.3

Fonctions Matlab

Un grand nombre de fonctions math´ematiques ´el´ementaires (fonctions trigonom´etriques, exponentielle, logarithmique) sont d´ej`a d´efinies dans l’environnement Matlab. Ces fonctions s’appliquent sur les matrices de fa¸con ´el´ement par ´el´ement. En plus par rapport `a ces fonctions, l’utilisateur peut d´efinir lui-mˆeme des fonctions pour automatiser certaines op´erations. Par exemple, si sur le disque dur se trouve un fichier qui s’appelle fact.m et son contenu est : function [resultat]=fact(ent) % % % % %

Fonction factorielle un exemple pour le cours d’initiation Matlab entr´ ee = u nombre n quelconque sortie = -1 si n non-entier positif sortie = n! si n entier positif if ~(ent==round(abs(ent))) resultat=-1; elseif (ent==0) resultat = 1; else resultat=ent*fact(ent-1); end return Nous pouvons maintenant utiliser cette fonction pour calculer le factoriel d’un nombre entier n. >>fact(10) ans = 3628800 La convention de d´efinition de la fonction ressemble tout `a fait aux autres langages de programmation structur´ee. Cet exemple en apparence trivial contient plusieurs informations importantes. On observe que Matlab accepte aussi des fonctions r´ecursives, ce qui est quand mˆeme remarquable pour un langage interpr´et´e. Ca ne veut pas dire que l’utilisation de ce genre de fonctions est souhaitable, mais du point de vue de la flexibilit´e, Matlab n’a rien `a envier aux langages compil´es. Comme vous avez d´ej`a devin´e, le symbole ¿ % À pr´ec`ede une ligne de commentaires qui seront ignor´ees. Mais si ces lignes sont en d´ebut de fonction on va voir que la commande : >>help fact

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

34

Fonction factorielle un exemple pour le cours d’initiation Matlab entr´ ee = u nombre n quelconque sortie = -1 si n non-entier positif sortie = n! si n entier positif donne un r´esultat int´eressant. Maintenant notre fonction fact.m est int´egr´ee de fa¸con coh´erente dans l’environnement Matlab. Elle se comporte de la mˆeme mani`ere que les fonctions ¿ natives À . On peut mˆeme l’inclure dans une biblioth`eque de fonctions Matlab. D’un point de vue un peu plus technique, une M-fonction ne sera interpr´et´ee que lors de sa premi`ere invocation. Le script est lu et compil´e par l’interpr´eteur puis plac´e en m´emoire pour l’ex´ecution. Matlab ne recompilera le script que si une modification du fichier Ascii est d´etect´ee. Cependant, il se peut que les modifications apport´ees ne soient pas automatiquement prises en compte (cela peut se produire lorsque l’unit´e de travail est un lecteur r´eseau), il faut alors effacer le programme compil´e de la m´emoire en utilisant la commande clear 2 : >>clear fact Par ailleurs, si vos M-fonctions sont enregistr´ees sur un lecteur r´eseau, il faut forcer `a Matlab `a d´etecter les ´eventuels changements apport´es au scripts invoqu´es. Pour cela vous devez valider l’option : ¿ Always Reload Network Directories À dans le menu File> Preferences>General. Des centaines de fonctions de ce type sont livr´ees dans la distribution Matlab standard et aussi dans les boˆıtes `a outils. De mˆeme que de nombreuses fonctions faites par des chercheurs et ing´enieurs du monde entier sont disponibles gratuitement au site Web de Mathworks (les auteurs de Matlab) http ://www.mathworks.com. 2.1.2.4

El´ ements de langage Matlab

Le langage Matlab contient des ´el´ements pour le contrˆole du flot de donn´ees. Ce sont des ´el´ements de programmation classique : des boucles for et while, des d´ecisions de type if/else/elseif, des fonctions pour l’interaction avec l’utilisateur en mode texte (dans la fenˆetre de commande) : input, keyboard, menu. Ceux qui ont d´ej`a apprivois´e un langage de programmation structur´ee ne devraient pas avoir de probl`eme pour utiliser ces instructions. Il faut faire attention `a ne pas abuser de ces instructions. Les d´ebutants oublient assez souvent la philosophie de Matlab et construisent des boucles de ce genre : >>for index=1:10 fnc[index]=index^3; end C’est lourd et c’est lent et ¸ca ne tient pas compte de la vectorisation offerte par Matlab. L’alternative suivante : >>index=1:10; fnc=index.^3; ` terme, cette mani`ere d’´ecrire fait que votre est beaucoup plus ´el´egante et surtout, plus rapide. A programme est plus facile `a d´epanner et `a modifier. 2

Il est conseill´e de consulter l’aide de cette commande.

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

2.1.3

Pour aller plus loin

2.1.3.1

Manipulation de matrices. Fonctions sp´ ecialis´ ees

35

La manipulation des matrices est fondamentale pour Matlab. Pratiquement toutes les op´erations que nous faisons sur le papier peuvent ˆetre faites en Matlab et ce, en gardant la mˆeme notation ; bien sˆ ur dans les limites du mode texte. Nous allons commencer par la g´en´eration d’une matrice 3 × 3 qui contient seulement des unit´es : >>a = ones(3) a = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nous allons retenir la portion triangulaire inf´erieure de cette matrice >> b=tril(a) b = 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Cette matrice sera transpos´ee >> b=b’ b = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Le d´eterminant de b est, bien sˆ ur, >> det(b) ans = 1 et son inverse >> inv(b) ans = 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 et son vecteur de valeurs propres >> eig(b) ans = 1 1 1

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

36

Jusqu’ici, rien de sp´ecial. On va modifier un peu cette matrice : >> b=b^5+b’^3 b = 2 5 15 3 2 5 6 3 2 La triangularisation factorielle d’une matrice est la d´ecomposition d’une matrice carr´ee en deux matrices, une ´etant la permutation (par lignes) d’une matrice triangulaire inf´erieure, l’autre ´etant une matrice triangulaire sup´erieure. Pour trouver cette d´ecomposition (dite Lower-Upper ou LU) une seule commande suffit : >> [l,u]=lu(b) l = 0.3333 1.0000 0 0.5000 0.1250 1.0000 1.0000 0 0 u = 6.0000 3.0000 2.0000 0 4.0000 14.3333 0 0 2.2083 Je vous laisse le plaisir de montrer la validit´e de cette d´ecomposition et surtout, le fait qu’elle est unique. Cet exemple peut paraˆıtre trop pointu et limit´e comme application, mais il faut pr´eciser que Matlab contient des nombreuses fonctions sp´ecialis´ees qui peuvent vous servir dans le cadre de vos applications. Avant de programmer une fonction dont vous avez besoin, je vous conseille de chercher attentivement dans la r´ef´erence, peut ˆetre qu’elle est d´ej`a ´ecrite. Matlab est `a la fois simple et complexe, et mˆeme les utilisateurs les plus chevronn´es ne pr´etendent pas connaˆıtre la totalit´e des fonctions Matlab. 2.1.3.2

Polynˆ omes

Les polynˆomes sont repr´esent´es comme des vecteurs ligne qui contiennent les coefficients dans l’ordre d´ecroissant des puissances. Par exemple le polynˆome x4 + 3.5x3 − 3.9x2 + 8x − 20 s’´ecrit : >> p = [1 3.5 -3.9 8 -20] p = 1.0000 3.5000 -3.9000 8.0000 -20.0000 Les racines de ce polynˆome sont : >> r = roots(p) r = -4.8285 -0.0843 + 1.6613i -0.0843 - 1.6613i 1.4970

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

37

On peut reconstruire le polynˆome en partant de ses racines >> poly(r) ans = 1.0000 3.5000 -3.9000 8.0000 -20.0000 On utilise sans aucun probl`eme les op´erateurs et les fonctions pour la manipulation de matrices sur ces vecteurs qui repr´esentent des polynˆomes. 2.1.3.3

Affichage 2D et 3D

Matlab offre une grande vari´et´e de fonctions pour la repr´esentation des matrices et des vecteurs. Cette section contient un court passage en revue de ces fonctions. Commen¸cons par d´efinir deux vecteurs qui contiennent les fonctions f1(x)=sin(x) et f2(x)=cos(x) sur l’intervalle [−2π, 2π] , en 100 points. >> x = -2*pi:(4*pi/99):2*pi; f1=sin(x); f2=cos(x); plot(x,f1,’b-’,x,f2,’r-.’); La derni`ere commande produit un graphique de nos deux fonctions sur l’intervalle de d´efinition. La syntaxe de la commande est plot(x,f,’attributes’) ; le r´esultat sera un graphique lin´eaire des ´el´ements de f en fonction des ´el´ements de x trac´e avec les attributs sp´ecifi´es entre apostrophes. La fonction f 1 sera trac´ee avec une ligne continue bleue, et la fonction f 2 en pointill´e, couleur rouge. On peut modifier l’axe x de telle fa¸con que notre graphique soit mieux adapt´e aux dimensions de la figure : >> axis([-2*pi 2*pi -1 1]); Nous allons rajouter une grille, des ´etiquettes sur les deux axes et un titre : >> grid on; xlabel (’x’); ylabel (’f1 et f2’); title (’Un exemple de plot 2D’);

%la grille %l’´ etiquette de l’axe 0x %l’´ etiquette de l’axe 0y %le titre Un exemple de plot 2D

1

0.8

0.6

0.4

f1 et f2

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

Fig. 2.3 – R´esultat de l’affiche de courbes bidimensionnelles. Supposons que nous voudrions rajouter au graphique une fonction f 3 ´egale au produit de f 1 et f 2 :

38

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

>> f3 = f1.*f2; nous allons indiquer que le prochain trac´e sera superpos´e sur l’ancien graphique : >> hold on; et la commande : >> plot(x,f3,’rx’); aura comme r´esultat final la Fig. (2.3). Maintenant on va d´efinir une matrice qui contient la fonction bidimensionnelle f : r f (x, y) =

³ ³ y ´´ exp (sin (x)) + exp sin 2

sur le domaine [−2π, 2π] × [−2π, 2π] en 100 × 100 points. Pour g´en´erer les matrices x et y : >> x = -2*pi:(4*pi/99):2*pi; [x,y] = meshgrid(x,x); La matrice f se d´efinit comme : >> f = sqrt(exp(sin(x)) + exp(sin(y/2))); Nous allons tracer la surface correspondant `a f en fonction de x et y en ¿ fil de fer À avec la commande mesh : >> mesh(x,y,f) La fonction f en contour 3D avec 20 courbes de niveau : >> contour3(x,y,f,20) On peut couper un morceau 40 × 40 de notre matrice f et construire une surface en facettes : >> m=f(1:40,1:40); surf(m); shading faceted et finalement pour une repr´esentation de cette surface en ombrage interpol´e on utilise la commande : >> shading interp On peut calculer le gradient de la matrice m et le visualiser sur la forme d’une carte des vecteurs : >> [px,py] = gradient(m); quiver(px,py); Nous avons vu une grande vari´et´e de repr´esentations graphiques, mais on est encore loin d’avoir ´epuis´e toutes les ressources de Matlab. Des nombreux exemples fortement utiles sont `a votre disposition dans le User Guide.

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

39

Mesh

Contour3

Surf

Interp

Fig. 2.4 – Exemples d’affichage 3D. 2.1.3.4

Images

Une image est en effet une matrice de valeurs r´eelles. Pour cet exemple nous allons charger un fichier de donn´ees qui sert `a illustrer le programme de d´emonstration de Matlab. Ce fichier s’appelle clown.mat, que nous pouvons charger avec la commande : >> clear all; load clown Cette commande a pour effet le chargement d’une s´erie de variables. Parmi ces variables ; la matrice X contient l’image qui nous int´eresse. Une observation s’impose : Matlab ¿ sait À afficher seulement des images avec 64 couleurs (nuances de gris ou autre), les valeurs correspondantes de pixels ´etant par d´efaut de 0 `a 63. La matrice X contient des valeurs plus grandes que 63. Il faut donc faire une remise a l’´echelle. Apr`es ¸ca, nous allons utiliser une gamme de couleurs qui associe des nuances de gris (la gamme de couleurs par d´efaut est Hsv - hue, saturation, value). Et finalement, on va ´eliminer les axes pour une visualisation plus confortable de l’image (voir Fig. 2.5). >> X = X*63/max(max(X)); image(X); % colormap(gray); % axis off; %

% remise ` a l’´ echelle affichage de l’image la carte de couleurs en niveaux de gris ´ elimination des axes

La prochaine section contient quelques exemples de traitements appliqu´es sur cette mˆeme image X.

2.1.4

Traitement du signal avec Matlab. Transform´ ee du Fourier

Prenons, par exemple, le noyau de filtrage passe-bas : >> fpb = [1 2 1; 2 4 2 ; 1 2 1]/16;

40

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

Fig. 2.5 – Image du clown. nous allons v´erifier qu’il s’agit d’un filtre passe-bas en repr´esentant son spectre d’amplitudes sur le domaine [−0.5, 0.5] × [−0.5, 0.5] en fr´equence normalis´ee avec une r´esolution de 64 × 64 points. >> freq = -0.5:1/63:0.5; [freqx,freqy] = meshgrid(freq,freq); % domaines Fx et Fy spectre_fpb = fft2(fpb,64,64); % calcul de la TF sur 64x64 points amplit=abs(spectre_fpb); % calcul des amplitudes amplit=fftshift(amplit); % pour arriver au domaine [-0.5,0.5] figure; mesh(freqx,freqy,amplit); % affichage du r´ esultat dans une nouvelle fen^ etre Par la suite on va filtrer l’image du clown par convolution avec ce filtre et afficher le r´esultat. Pour que l’effet du filtrage soit plus visible, l’image sera filtr´ee trois fois de suite. >> for nbr_filt = 1:3, X = conv2(X,fpb); end %filtrage trois fois de suite figure; image(X); colormap(gray); axis off; L’effet de lissage est ainsi tr`es visible. Toujours dans le domaine du traitement de signal, un autre exemple int´eressant qui utilise la fonction de filtrage r´ecursif 1D filter. Supposant qu’on connaˆıt la fonction de transfert d’un filtre r´ecursif, disons un simple, on veut visualiser les 100 premiers ´echantillons de sa r´eponse impulsionnelle. Premi`erement, il faut d´ecrire le filtre en utilisant deux vecteurs de type polynˆome : >> a = 1; % a(z) = 1 b=[1 0 0.9]; % b(z) = 1 + 0.9*(1/z)^2 Apr`es ¸ca, il faut g´en´erer un Dirac num´erique de taille 100, causal. >> dirac100 = [1 zeros(1,99)]; Tout ce qu’il nous reste `a faire est de filtrer le Dirac et d’afficher la r´eponse >>reponse100 = filter(a,b,dirac100); % calcul de la r´ eponse plot(reponse100) % trac´ e de la r´ eponse Ceux d’entre vous qui font du traitement de signal intensif vont surtout appr´ecier la boˆıte `a outils Signal Processing.

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A 2.1.4.1

41

S´ eries de caract` eres, Math´ ematique symbolique

Voila une exception int´eressante. Matlab sait traiter et autre chose que les matrices de nombres complexes. Les s´eries des caract`eres. . . il s’agit en effet de vecteurs des symboles Ascii. Par exemple : >> mot1= ’un autre exemple =’ mot1 = un autre exemple = On peut transformer des nombres en s´eries de caract`eres avec la fonction num2str : >> a=0; mot2=num2str(a) mot2 = 0 Bien sˆ ur, on peut manipuler ces vecteurs comme tout autre vecteur : >> [mot1 mot2] ans = un autre exemple =0 Mais ce type de donn´ees comporte des aspects beaucoup plus int´eressants. Suivons le prochain exemple : >> expr=’1/x+x^2-2’; x=1; eval(expr) %´ evaluation de l’expression expr avec la valeur x=1 ans = 0 Cette utilisation des s´eries des caract`eres est pr´esente dans l’implantation de la boˆıte `a outils Maple Symbolic Toolbox, qui utilise la technologie de chez Maple Software, les leaders dans le domaine des math´ematiques symboliques. Mˆeme sans cette boˆıte `a outils, on peut toujours utiliser cette technique pour des fonctions rudimentaires de math´ematique symbolique.

2.1.5

Coop´ eration de Matlab avec des logiciels externes

2.1.5.1

Acc` es aux fichiers de donn´ ees externes

En dehors du m´ecanisme classique de sauvegarde et du chargement des donn´ees de type load/save, Matlab poss`ede des m´ecanismes alternatifs. La premi`ere variante est implant´ee toujours en utilisant les commandes load/save. Il s’agit de sauver une matrice sur le disque dur, en format Ascii. Il faut seulement rajouter `a la fin le commutateur -Ascii. Exemple : >>save toto -Ascii

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

42

Dans le fichier de donn´ees, les ´el´ements seront s´epar´es par un espace, et les lignes par un saut de fin de ligne. Ce format a plusieurs avantages et plusieurs d´efauts. Comme avantage, on peut citer le fait que le format Ascii peut ˆetre interpr´et´e par simple inspection visuelle du fichier avec un ´editeur de texte. Nul besoin de connaˆıtre le format interne Matlab, et c’est extrˆemement facile de programmer des proc´edures C pour ´ecrire ou lire un tel fichier ou mˆeme pour le convertir dans le format Maple Ascii. Par contre, au fur `a mesure que la matrice devient grande, la manipulation d’un tel fichier s’alourdit (cela peut constituer un gros probl`eme surtout pour ceux qui ont des petits d´esagr´ements avec leur quota de disque dur). Enfin, Matlab sait utiliser de fonctions de manipulation des fichiers fa¸con C. Il s’agit des fonctions classiques genre fopen, fclose, fwrite, fseek, fprintf, etc. Vous pouvez ainsi lire ou g´en´erer un format binaire ou n’importe quel format exotique. 2.1.5.2

Utiliser des proc´ edures C dans l’environnement Matlab

La m´ethode la plus simple est d’utiliser le ¿ escape shell À !. La commande : >> !mon_prog; indique `a Matlab qu’il faut ex´ecuter un logiciel externe qui s’appelle mon prog. Une fois que le traitement par le logiciel externe est fini, l’ex´ecution suit son cours en Matlab. La communication entre l’environnement de travail (Workspace) et mon prog peut se r´ealiser par l’interm´ediaire de fichiers des donn´ees (voir la section pr´ec´edente). G´en´eralement, on essaye d’implanter avec mon prog des sections critiques du programme qui prendrait beaucoup plus de temps et/ou de m´emoire en Matlab. L’avantage est qu’`a la fin on garde sur le disque dur tous les r´esultats interm´ediaires et on peut les examiner tranquillement. Parmi toutes les m´ethodes de collaboration avec des programmes externes, celle ci est la plus inefficace. Un peu plus avanc´ee, mais plus complexe, est l’utilisation des fichiers .mex. Ce sont des fichiers ´ecrits en langage C, compil´ees avec un compilateur sp´ecial cmex, qui peuvent ult´erieurement ˆetre appel´ees comme n’importe quelle fonction. Ces sources doivent inclure le fichier entˆete ¿ mex.h À. Cette d´emarche est particuli`erement lourde, car elle comporte aussi la cr´eation d’une fonction pont (gateway routine). Des nombreux probl`emes de compatibilit´e de .mex entre diff´erentes versions de Matlab se posent. ¿ N’utiliser les MEX que si vous avez absolument besoin À. 2.1.5.3

Utiliser les fonctions Matlab dans le cadre d’un logiciel C

C’est la modalit´e la plus efficace pour faire coop´erer Matlab et un logiciel externe. Il s’agit de lancer en tˆache de fond en mˆeme temps que votre logiciel C, le noyau Matlab Engine. Vous pouvez faire appel a ce noyau pour lire des fichiers des donn´ees en format Matlab, pour inverser des matrices ou faire des graphiques 3D. Une licence Matlab sera occup´ee seulement pendant que le noyau tourne en tache de fond et sera lib´er´ee de que vous donnez le contrˆole total au votre logiciel. Pour utiliser les fonctions de Matlab dans vos programmes en C il faut modifier le Makefile en rajoutant aux lignes de d´efinitions du compilateur et de l’´editeur de liaisons : CC = cc ... -I/u/Matlab/extern/include Dans votre logiciel C il faut inclure la ligne d’entˆet´e suivante : #include ¿ engine.h À

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

43

Le noyau Matlab s’appelle avec la proc´edure engOpen() et il se ferme avec la proc´edure engClose(). Une liste d´etaill´ee de toutes les fonctions de communication avec le noyau Matlab se trouve dans External Interface Guide. En ce qui concerne le PC, Borland C++ ne fait pas partie des compilateurs indiqu´es par Mathworks. Le seul compilateur qui pourrait ´eventuellement coop´erer avec Matlab est le gcc. 2.1.5.4

Ins´ erer des graphiques Matlab dans un document Word

Les fonctions graphiques de Matlab peuvent donner naissance `a des r´esultats remarquables. Si vous allez ouvrir n’importe quelle revue de communications scientifique ou des actes de conf´erences, vous allez sˆ urement trouver plusieurs figures qui contiennent des graphiques issues de Matlab. Plusieurs fa¸cons d’ins´erer un graphique dans un document Word existent. Par exemple, on peut faire une copie d’´ecran (par menu sous Windows ou avec snapshot sous Unix). Les graphiques Matlab ´etant sous fond noir, il faut op´erer des modifications des couleurs (avec Paint sous Windows eu xv sous Unix). Apr`es tout ¸ca, un changement de format de fichier graphique sera n´ecessaire. Cette m´ethode est `a ´eviter pour plusieurs raisons. Elle est lourde ; regardez le nombre d’op´erations n´ecessaire pour ins´erer un seul graphique. La qualit´e finale de graphiques est m´ediocre, parce que g´en´eralement la r´esolution d’un ´ecran d’ordinateur est autour de 72dpi (dots per inch - points par puce). Par contre, il serait bien de pouvoir exploiter la r´esolution d’une imprimante laser, qui peut aller jusqu’`a 600dpi. Le seul moyen facile et qualitatif `a la fois est d’utiliser le format Encapsulated PostScript (.eps). Matlab permet de transformer un graphique pr´esent dans une fenˆetre dans un fichier PostScript en une seule commande : >> print -deps le_nom qui aura comme effet la cr´eation sur le disque dur d’un fichier le nom.eps. C’est essentiel que ce fichier soit en format .eps. Un graphique dans le format PostScript natif (.ps) peut ˆetre visualis´e ou imprim´e, mais il est impossible de l’ins´erer dans un document de fa¸con correcte. En passage, nous allons remarquer le fait que la conversion PostScript est accompagn´ee par une modification automatique du fond du graphique, qui devient blanc, et des ´el´ements du graphique, qui serons imprim´es en noir. Si vous avez acc`es `a une imprimante PostScript couleurs, ca devient int´eressant de r´ecup´erer un fichier .eps couleurs avec une pr´evisualisation au format Tiff par la commande : >> print --tiff -depsc le_nom Sur une imprimante classique, les couleurs deviendront des nuances de gris. Des fois, ¸ca peut apporter un plus d’informations, mais ¸ca peut aussi d´et´eriorer le contraste sur le graphique. ` partir du fichier et introduire le nom du Sous Word, il faut activer les menus Insertion>Image>A fichier. En ins´erant votre graphique dans un document Word, un cadre vide apparaˆıt si vous avez omis le commutateur -tiff dans la commande print ; le graphique deviendra visible seulement sur le papier, en imprimant le document. Une derni`ere remarque ´evidente s’impose. Les fichiers PostScript sont des fichiers Ascii et donc le transfert entre Unix, PC, Mac doit se faire par Ftp avec l’option Ascii.

44

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

Un autre moyen est de cr´e´e un nouveau document Word en choisissant le mod`ele NoteBook. Ce mod`ele de document int`egre directement entre les commandes d´efinies dans le texte (¿ input À) et Matlab. Lors de l’´evaluation, ces commandes sont communiqu´ees `a l’interpr´eteur Matlab qui en retour fourni le r´esultat textuel ou graphique qui sera inclus dans la suite de votre fichier. Le pr´esent fascicule est compos´e de cette mani`ere !

2.1.6

Probl` emes et questions fr´ equentes

2.1.6.1

Probl` emes de gestion de m´ emoire

Matlab a une gestion de m´emoire un peu sp´eciale. Supposant que vous avez fait un traitement sur plusieurs images qui a occup´e beaucoup de m´emoire (pour votre information, une image 256 × 256 occupe 0,5 Mo de m´emoire). Vous faites un clear et vous supposez que toute la m´emoire occup´ee est lib´er´ee et que le syst`eme reprend le contrˆole. Ce n’est pas vrai ! En effet, les programmateurs de Mathworks savent eux aussi que les fonctions C malloc() et free() sont parmi les plus coˆ uteuses en temps de calcul (´etude statistique faite par Bjorne Soustroup, un des inventeurs du langage C++). C’est pour ¸ca que Matlab a son propre m´ecanisme de contrˆole de la m´emoire. Une fois allou´ee, le syst`eme ne peut plus contrˆoler la m´emoire qui sera g´er´ee par Matlab. Il pourra quand mˆeme passer le processus en swap sur le disque dur quand Matlab est inactif, mais chaque nouvelle ex´ecution va ¿ revigorer À toute cette m´emoire. Sur Windows, notoire pour ses probl`emes de gestion de m´emoire - le syst`eme risque de planter tr`es souvent. On peut cependant forcer Matlab `a reconstituer l’int´egrit´e de l’espace m´emoire avec la commande pack. Plusieurs mesures sont `a prendre pour contrebalancer ces probl`emes. Il faut minimiser le nombre de variables m´emoire tampon, surtout quand il s’agit de matrices tr`es grandes. Chaque fois quand vous finissez un programme qui n´ecessite beaucoup de m´emoire, pensez `a sauver les r´esultats sur le disque dur, sortir de Matlab et revenir imm´ediatement. 2.1.6.2

Peut-on ins´ erer des caract` eres grecques dans le titre d’un graphique ?

Oui. Voila un exemple de commande qui associe `a l’axe 0x l’´etiquette ¿ αβγ À : >> xlabel(’abg’, ’FontName’, ’Symbol’);

2.1.6.3

Faut il tout programmer en Matlab ?

L’utilisation de Matlab est `a conseiller dans quelques situations particuli`eres : – il faut d´evelopper un programme qui fait beaucoup de traitements num´eriques ; mais le temps disponible est relativement r´eduit. L’environnement Matlab est con¸cu justement pour r´eduire le temps n´ecessaire si on ´ecrit notre application dans un langage bas niveau de type C. – l’application n’est pas encore bien d´efinie ; c’est beaucoup plus facile de modifier et d´epanner un algorithme Matlab que son ´equivalent en langage C. Il faut penser `a migrer vers la programmation en C si : – l’application n´ecessite beaucoup de filtrages r´ecursifs sur des matrices de donn´ees de grandes tailles.

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

45

– le temps disponible pour le d´eveloppement de l’application est suffisant pour envisager la programmation dans un langage bas niveau. Finalement, pour la phase purement ¿ th´eorique À de d´eveloppement de l’algorithme, peut ˆetre que le programme de math´ematique symbolique Maple peut constituer un bon choix.

2.1.7

Simulink

Cette interface graphique est une extension de Matlab qui permet de simuler le fonctionnement d’un syst`eme qu’il soit continu ou discret. Le syst`eme est mod´elis´e avec une approche sch´ema bloc et est ´evalu´e en fonctionnement pseudo temps-r´eel. L’interface Simulink se pr´esente sous la forme de deux fenˆetres :une librairie de blocs pr´eprogramm´es regroup´es par th`emes et une feuille de travail.

Fig. 2.6 – La librairie Simulink et la feuille de travail. La cr´eation d’un mod`ele est tr`es simple puisque il suffit d’aller chercher les blocs n´ecessaires `a sa r´ealisation puis de les interconnect´es. Toutes les op´erations s’effectuent `a l’aide de la souris. Prenons l’exemple d’un syst`eme `a temps continu effectuant la d´erivation d’un signal d’entr´ee sinuso¨ıdal.

Fig. 2.7 – Un mod`ele simple. Le mod`ele se compose d’une source, d’un bloc d´erivateur, d’un multiplexeur permettant de superposer

46

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

les signaux, et d’une visualisation. Apr`es que chaque bloc ait ´et´e dispos´e, il faut r´egler ses param`etres sp´ecifiques. On double clique sur le bloc pour faire apparaˆıtre la fenˆetre de param`etrage :

Fig. 2.8 – Fenˆetre de param`etrage du bloc g´en´erateur sinuso¨ıdal. Enfin, apr`es avoir param´etr´e tous les blocs de votre feuille, vous devez r´egler les param`etres de la simulation. C’est ici que l’on sp´ecifie les informations telles que : – l’instant de d´epart, – l’instant d’arrˆet, – la classe du mod`ele variable-step pour une mod`ele `a temps-continu ou mixte, fixed-step pour un mod`ele discret, – et l’algorithme de r´esolution des ´equations diff´erentielles (ode45 par d´efaut).

Fig. 2.9 – Param´etrage de la simulation. Le mod`ele ´etant cr´e´e puis param`etr´e pour la simulation de son fonctionnement, on peut lancer son ex´ecution : Le mod`ele est ´evalu´e num´eriquement en utilisant un algorithme de r´esolution d’´equations diff´erentielles (Ordinary Differential Equations ou ode). Le temps de calcul de la simulation d´epend de la complexit´e du syst`eme et donc ne s’effectue pas en temps r´eel.

` MATLAB 2.1. INTRODUCTION A

Fig. 2.10 – On lance la simulation.

Fig. 2.11 – Visualisation obtenue par le bloc Scope.

47

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

48

2.2 2.2.1

´ Echantillonnage Cr´ eation d’un mod` ele d’´ echantillonnage parfait

Cr´eer dans Simulink le mod`ele de syst`eme suivant : Source sinusoïdale

Échantillonneur bloqueur d ’ordre 0

ω = 2π

Fe = 20 Hz

Multiplexeur

Visualisation

´ Fig. 2.12 – Echantillonnage parfait. On r`eglera les param`etres de la simulation pour que l’instant de d´epart soit 0 et que l’instant d’arrˆet soit 4 secondes. Une fois le montage valid´e au pr`es du responsable, vous pouvez lancer l’ex´ecution et observer la visualisation du r´esultat.

2.2.2

´ Etude de la loi de densit´ e de probabilit´ e d’un signal ´ echantillonn´ e

Nous allons faire le parall`ele entre le signal temporel et la loi de densit´e de probabilit´e. Pour cela vous allez utiliser le script Matlab Pdf Ech.m qui se pr´esente de la fa¸con suivante :

Fig. 2.13 – Histogramme. Vous pouvez agir sur quatre param`etres : – la forme du signal { sinuso¨ıde `a 1 Hz, triangle `a 1 Hz, carr´e `a 1 Hz, bruit gaussien}, – la fr´equence d’´echantillonnage du signal (Fe), – Le nombre de points que vous ´echantillonn´es (N), – le nombre de classes pour calculer l’histogramme des amplitudes (B). 1. En imposant B = 10, F e = 1000, N = 2000, observer la forme de l’histogramme pour chaque type de signal (on utilisera le boutton reload dans le cas du bruit). (a) Comment selon vous est calcul´e l’histogramme ? (b) Pourquoi peut-on dire qu’il s’agit d’une loi de densit´e de probabilit´e ? (c) Quel type de densit´e de probabilit´e associez-vous `a chaque signal ? (d) Que dire de l’histogramme dans le cas du signal al´eatoire ?

´ 2.2. ECHANTILLONNAGE

49

2. On veut ´etudier l’influence de B (F e et N ´etant constants), le nombre de classes de l’histogramme. (a) B est impair. Comment ´evolue le graphe ? (b) B est pair. Mˆeme question ? 3. On veut ´etudier l’influence du nombre de points N (B = 16, F e = constante). (a) Quel doit ˆetre la relation entre N et B pour que les histogrammes soient conformes `a ceux obtenus `a la permi`ere question ? (b) La fr´equence d’´echantillonnage F e doit-elle rest´ee inchang´ee ? Si non comment la choisir ? 4. Quelles sont les influences de N , B, et F e sur les statistiques des signaux ? 5. Ces consid´erations permettent de faire des choix sur certains ´el´ements de la chaˆıne d’acquisition et traitement. Lesquels ?

2.2.3

Du signal analogique au signal num´ erique

´ Fig. 2.14 – Echantillonnage et quantification. Dans cet maquette on se propose d’´etudier les op´erateurs d’´echantillonnage et de quantification en fonction de plusieurs signaux. Charger le mod`ele Quantification.mdl, puis ouvrez la fenˆetre de param´etrage en cliquant sur Load Data. Une fenˆetre suppl´ementaire doit apparaˆıtre permettant de modifier la fr´equence d’´echantillonnage de la chaˆıne et le nombre de bits de quantification. Sur la feuille contenant le mod`ele on voit que quatre types de signaux d’entr´ee sont disponibles : – une sinuso¨ıde de fr´equence 1 Hz, – une rampe p´eriodique de p´eriode 1 s, – un bruit dont la densit´e de probabilit´e est uniforme, – un bruit dont la densit´e de probabilit´e est gaussienne. La s´election du signal s’effectue en indiquant le num´ero du signal dans le bloc input selector {1, 2, 3, 4}.

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

50

La simulation peut ˆetre lanc´ee avec les r´eglages par d´efaut (Fe = 100 Hz, N = 3) pour le signal 2 (rampe). ` quoi correspond la valeur affich´ee par Display ? 1. A 2. Qu’observe-t’on sur les diff´erentes visualisations ? 3. Que conclure sur la quantification r´ealis´ee ? 4. Comment l’am´eliorer en terme de pr´ecision ? 5. Comment l’am´eliorer en terme d’utilisation du nombre de bits ? 6. On consid`ere le signal 1 (Fe = 100 Hz, N = 3). La quantification vous semble-t’elle correcte ? 7. Sur quoi doit on influer pour am´eliorer la qualit´e du signal num´erique ? 8. Que dire de l’´echantillonnage des deux bruits ? 9. Quel est le lien entre le signal num´eris´e, la fr´equence d’´echantillonnage et le nombre de bits allou´es `a la quantification ? 10. Que se passe-t-il si on d´ecide d’appliquer le th´eor`eme de Shannon ?

2.2.4

Un exemple de traitement num´ erique du signal

Fig. 2.15 – Exemple de corr´elation num´erique. Le mod`ele ´etudi´e se nomme Correlation.mdl. La fenˆetre des param`etres est affich´ee en cliquant sur Load Data (ne toucher pas aux valeurs pr´ed´efinies, ¸ca viendra plus tard). Si vous souhaiter afficher la derni`ere fonction de corr´elation calcul´ee il vous suffit de cliquer sur Plot Correlation. 1. Expliciter le fonctionnement du montage et son objectif. (a) Pourquoi doit-on employer des tampons (buffer) ? (b) Apr`es le calcul de la corr´elation une estimation est effectu´ee. Laquelle ? (c) Quelle est la pr´ecision de l’estimateur ? (d) Pourquoi sur la fenˆetre scope 1 voit-on un ´echelon `a l’instant t = 1 s ? 2. On change la taille des tampons de donn´ees {50, 100, 200, 300, 400}. (a) Quelles sont les modifications sur l’estim´ee ? (b) Quelle taille minimum nous fournit la meilleure estimation ?

´ 2.2. ECHANTILLONNAGE

51

3. On modifie la valeur du d´ephasage {20◦ , 30◦ , 40◦ , 50◦ }. (a) Comment est le biais de l’estimateur ? (b) Comment am´eliorer l’estimation ? 4. Effectuer le r´eglage convenable des param`etres pour obtenir une pr´ecision 10 fois plus grande sur l’estimation. V´erifier. 5. On consid`ere maintenant que le bruit a une influence {0.1, 1, 10}. (a) Que dire de cette influence sur l’estimation ? (b) Comment peux-t-on proc´eder pour am´eliorer l’estimation ? (on rappelle que le signal perturbateur est un bruit gaussien centr´e).

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

52

2.3 2.3.1

Caract´ erisation de bruit et estimation Bruit blanc

un bruit blanc b (ω, t) est un processus al´eatoire centr´e (i.e. de moyenne nulle) qui a pour caract´eristique d’ˆetre parfaitement d´ecorr´el´e : ½ E {b (ω, t)} = µb (t) = 0 E {b (ω, t1 ) b? (ω, t2 )} = γb (t1 , t2 ) = σb2 δ (t2 − t1 ) Dans notre cas, il est aussi stationnaire `a l’ordre 2 puisque ses statistiques sont ind´ependantes de l’origine des temps. En effet, la moyenne est une constante, la fonction de corr´elation d´epend d’un temps relatif. Le param`etre σb2 est appel´e puissance du bruit. La densit´e spectrale d’un tel processus est une constante ´egale `a la puissance du bruit : Γb (f ) = T f {γb (τ )} = σb2 Ce bruit est dit blanc par analogie avec la composition de la lumi`ere blanche c-`a-d., une composition de toutes les composantes chromatiques avec une contribution identique. 2.3.1.1

Carcat´ erisation d’un bruit blanc

Au cours de ces exp´erimentations nous allons g´en´erer des signaux r´eels, ces signaux sont dits pseudoal´eatoires. (Pensez `a enregistrer toutes les commandes dans un script Matlab que vous joindrez `a votre rapport). Exercice 2.1 En consultant l’aide en ligne de Matlab sur les fonction rand et randn expliquer pourquoi le signal g´en´er´e est qualifi´e de pseudo-al´eatoire. ` l’aide de la fonction rand et randn cr´eez deux vecteurs al´eatoires (Bu et Bn) de Exercice 2.2 A dimensions 1 × 1000. V´erifiez qualitativement la loi distribution de chaque signal grˆace `a la fonction hist. Exercice 2.3 G´en´erez les vecteurs Bucn et Bncn c’est-`a-dire, les centr´ees normalis´ees de Bu et Bn (cf. mean, norm). Exercice 2.4 D´eterminez et visualisez Gucn et Gncn les fonctions d’autocorr´elation biais´ees de vecteurs Bucn et Bncn (cf. xcorr). Exercice 2.5 En consid´erant l’un des processus, expliquez la fonction d’autocorr´elation que vous obtenez dans le cas de l’estimateur non-biais´e. Exercice 2.6 On vous fournit deux scripts Matlab permettant d’estimer la densit´e spectrale de puissance soit `a partir de la fonction d’autocorr´elation (dsp cor) soit directement (dsp dir). Visualisez et commentez les r´esultats. Exercice 2.7 Discutez les r´esultats exp´erimentaux que vous avez obtenus relativement `a la d´efinition du bruit blanc. Exercice 2.8 Construire le signal y = Bncn + 0.1 et en estimer sa fonction de corr´elation. Interpr´etez et justifiez les r´esultats obtenus. Exercice 2.9 Construisez une fonction Matlab (que vous nomerez Bruit) permettant de g´en´er´e un signal al´eatoire gaussien centr´e. La puissance ainsi que le nombre de points souhait´es seront transmis en arguments de la fonction.

´ 2.3. CARACTERISATION DE BRUIT ET ESTIMATION 2.3.1.2

53

D´ ebruitage d’un signal d´ eterministe p´ eriodique

On a effectu´e la mesure d’un signal y (t) dont la composition r´esulte de la somme d’un signal p´eriodique x (t) et d’un bruit blanc gaussien b (t). y (t) = x (t) + b (t) √ – On consid`erera que x (t) = 2 sin (2πF0 t) avec F0 = 50 Hz. – L’observation y (t) est effectu´ee sur un nombre entier de p´eriode disons N = 10. – Le signal est ´echantillonn´e `a la fr´equence Fe de 1000 Hz (1000 points par seconde). Une approche simple du d´ebruitage est de segmenter l’observation en N s´equences que l’on moyenne point `a point afin d’estimer x. On pose bien sˆ ur l’hypoth`ese que le bruit est stationnaire au moins `a l’ordre 1. ¶ N −1 µ 1 X Fe Fe xˆ (n) = , 0≤n< y n+p N p=0 F0 F0 ´ Exercice 2.10 Ecrire la fonction Signal permettant de g´en´erer la suite x. Elle acceptera trois arguments : F0 la fr´equence de la sinuso¨ıde, Fe la fr´equence d’´echantillonnage et N le nombre de p´eriode `a g´en´erer. ´ Exercice 2.11 Ecrire la fonction Per Estime correspondant `a l’estimateur. Elle acceptera deux arguments y, le vecteur `a traiter et N le nombre de p´eriode enti`ere qu’il comporte (cf. reshape, mean) . Exercice 2.12 V´erifier les performances de l’estimateur pour les valeurs de signal `a bruit suivants : SN R

(dB) 40 5 1 µ ¶ Ex SN R = 10 log10 Eb

Proc´edure : 1. Cr´eer x la suite `a traiter et xr la suite de r´ef´erence constitu´ee d’une seule p´eriode 2. D´eterminer la puissance du bruit correspondant `a une des valeurs du tableau 3. G´en´erer le bruit 4. Cr´eer le signal bruit´e y 5. Calculer l’estim´ee xˆ 6. Calculer le signal d’erreur xr − xˆ et d´eterminer l’influence sur le rapport signal `a bruit.

2.3.2

Estimateurs

Dans ce probl`eme on supose que l’on veut estimer les param`etres moyenne et variance d’une source de bruit. On vous fournit le mod`ele suivant (estim.mdl) : Les param`etres F s et N seront saisis dans la fenˆetre de commande de Matlab. L’objet de cette manipulation est d’observer comment se comportent les estimateurs. Le mod`ele dont vous disposez est constitu´e de trois estimateurs : – moyenne N 1 X µ ˆx = xk N k=1

´ CHAPITRE 2. TRAVAUX PRATIQUES DE THEORIE DU SIGNAL

54

´ Fig. 2.16 – Etudes des estimateurs de la moyenne et de l’´ecart-type. – ´ecart-type non-biais´e σ ˆxN B – ´ecart-type biais´e

v u u =t

N

1 X (xk − µ ˆx )2 N − 1 k=1

v u N u1 X B t σ ˆx = (xk − µ ˆx )2 N k=1

ce qui permet d’extraire les deux param`etres d’une source de bruit gaussien N (µx , σx ). Exercice 2.13 V´erifier que l’estimateur σ ˆxN B (respectivement σ ˆxB ) est non-biais´e (biais´e). Quelle hypoth`ese doit v´erifier le bruit pour que l’estimateur biais´e devienne non-biais´e ? Exercice 2.14 Explicitez l’implantation et le fonctionnement des estimateurs (quelles sont les contraintes de traitement par exemple ?). Exercice 2.15 Que peut-on dire de la ¿ stationnarit´e À `a l’ordre 1 pour les tailles de buffer suivantes : N ∈ {10, 50, 100, 500, 1000, 4000} ? Exercice 2.16 On agit maintenant sur le param`etre de recouvrement du tampont (buffer overlap) en fixant sa valeur `a N − 1. Quelles sont les modifications aux estim´ees pour les mˆemes valeurs de N qu’`a la question pr´ec´edante ? Exprimer les nouvelles expressions de l’estimateur de la moyenne et de la variance. Exercice 2.17 On consid`ere maintenant le mod`ele Simulink estim2.mdl. Il correspond `a un traitement de d´etection d’alarmes (simul´ees ici par des impulsions) dans un signal fortement bruit´e. On ne veut par utiliser le fonction de corr´elation car elle est trop coˆ uteuse en calcul. On souhaite savoir si il est possible de d´etecter les alarmes de mani`ere simple. Comment param`etrer le mod`ele ? Nota Bene Ces estimateurs sont d’un usage courant dans les applications industrielles car ils permettent de d´etecter des pannes ou des dysfonctionnements avec une faible complexit´e de calculs.

Chapitre 3 Traitement num´ erique du signal 3.1

Transform´ ee en Z

Cette transform´ee s’applique `a des signaux discrets (ie. des suites). Elle offre la possibilit´e de repr´esenter dans un autre domaine une suite temporelle au mˆeme titre que la transform´ee de Fourier transpose le domaine temps continu en domaine fr´equences continue (t → f, x (t) → X (f )).

3.1.1

D´ efinition X (z) =

+∞ X

xn z −n

z∈C

(3.1)

n=−∞

Xk est appel´ee la transform´ee en z bilat´erale de xn car n ∈ N. Dans le cas o` u n ∈ Z, la transform´ee est dite unilat´erale restriction qui correspond aux signaux causaux. +

xn = 0 pour n < 0 =⇒ X (z) =

+∞ X

xn z −n

(3.2)

n=0

3.1.2

Conditions d’existence, domaine de convergence

Pour que la Tz existe, il faut nous assurer de la convergence de (3.1) (ou (3.2) pour les signaux causaux). Nous savons que pour une s´erie de puissance la convergence est assur´ee si : +∞ X

un < +∞ =⇒

n=0

1

lim |un | n < 1

n−→+∞

Donc pour avoir convergence, il faut que chaque transformation unilat´erale converge !

X (z) =

−1 X

xn z

−n

n=−∞ −

+

+∞ X

xn z −n

n=0 +

X (z) = X (z) + X (z) Nous allons donc d´efinir les deux rayons de convergences suivants : 55

(3.3)

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

56

X + −→ X − −→

¯ ¯1 lim ¯xn z −n ¯ n =

n−→+∞

1

lim |xn | n |z|−1 < 1 =⇒ |z| >

n−→+∞

1

lim |x−n z n | n =

n−→+∞

1

lim |xn | n = R−

n−→+∞

1

1

lim |x−n | n |z| < 1 =⇒ |z| <

n−→+∞

1

limn−→+∞ |xn | n

= R+

(3.4) (3.5)

Dans le cas d’une transform´ee bilat´erale nous obtenons une couronne de convergence c’est-`a-dire, que la Tz existe pour :R− < |z| < R+ . Pour la transform´ee unilat´erale nous disposons de l’int´erieur du rayon de convergence |z| > R− , soit un disque de convergence. Im

Im

RRe

Re

R+

R-

Exemple de couronne de convergence.

Exemple de disque de convergence.

Exemple 3.1 xn = un l’´echelon unit´e. X (z) =

+∞ X

un z−n =

n=0

R− =

+∞ X

z−n =

n=0

1 1 − z−1

1 n

lim |un | = 1 < | z|

n−→+∞

Exemple 3.2 xn = an pour n ≥ 0 et |a| < 1 X (z) =

+∞ X

an z−n =

n=0

n=0

R− =

+∞ X ¡ −1 ¢n az =

n

1 1 − az−1

1 n

lim |a | = |a| < | z|

n−→+∞

Exemple 3.3 xn = an pour n ∈ N et |a| < 1 X (z) =

−1 X

an z−n +

n=−∞

R− =

+∞ X

an z−n

n=0 n

1 n

lim |a | = |a| < | z| ¶ µ ¯ −n ¯ 1 −1 = |a| > | z| R+ = lim ¯a ¯ n n−→+∞

n−→+∞

Dans ce dernier exemple, la Tz n’existe pas car il n’y a pas de couronne de convergence (|a| < | z| < |a|).

´ EN Z 3.1. TRANSFORMEE

3.1.3 – – – – –

57

Propri´ et´ es

lin´earit´e :yn = α xn + β wn −→ Y (z) = α X (z) + β W (z), −p retard :yn = xn−p −→ P Y (z) = X (z) z convolution :yn = m xn−m hm −→ Y (z) = X (z) H (z) valeur initiale :x0 = limz→+∞ X (z) valeur finale :x+∞ = limz→1 (z − 1) X (z)

3.1.4

Transform´ ee inverse. xn ∆ =

1 j2π

Z zm−1 X (z) dz

(3.6)

Γ

Γ est le contour ferm´e contenant tous les pˆoles de X (z) ainsi que l’origine. Cependant, on peut s’´epargner le calcul d’une int´egrale dans le plan complexe en utilisant une des m´ethodes indirectes suivantes : – d´eveloppement en s´erie de Laurent, P P+∞ n −n 1 −1 n Soit X (z) = 1−ρz ecrire X (z) = +∞ ⇒ xn = −1 , ρ > 0 et | z| > ρ, on peut ´ n=0 (ρz ) = n=0 ρ z ρn n ≥ 0 – division polynˆomiale, 1 – X (z) = 1−ρz −1 , | z| > ρ 1 1 −ρz−1 1 −ρz−1 1 +ρz−1 +ρ2 z−2 + · · · −1 ρz ρz−1 −ρ2 z−2 ρ2 z−2 1 – X (z) = 1−ρz−1 , | z| < ρ −ρz−1 1 1 1 −ρz−1 −ρ−1 z −ρ−2 z2 −ρ−3 z3 −1 ρz ρz−1 −ρ2 z−2 ρ2 z−2

          

X (z) =

P+∞

n=0

½ ρn z−n

⇒

xn = ρn n≥0

    X (z) = P+∞ −ρ−n zn ½ + ···   P−1n=1 xn = −ρn n −n = n=−∞ −ρ z ⇒ n<0     

Il faut connaˆıtre le domaine de convergence pour d´eterminer la ¿ vraie À s´equence originale. – d´ecomposition en ´el´ements simples. Il est important de connaˆıtre le domaine de convergence de chaque ´el´ement simple. 1 (1 − az−1 ) (1 − bz−1 ) α β = + 1 − az−1 1 − bz−1

H (z) =

On identifie les constantes de d´ecomposition : ¯ ¡ ¢ α = 1 − az−1 H (z)¯z=a = ¯ ¢ ¡ β = 1 − bz−1 H (z)¯z=b – | z| > a et | z| > b ⇒ xn = – | z| > a et | z| < b ⇒ xn =

a an a−b a an a−b

un − un +

b n b un a−b b n b u−1−n a−b

a a−b b =− a−b

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

58

3.1.5

Syst` eme lin´ eaire discret invariant dans le temps

Un syst`eme lin´eaire discret invariant dans le temps (Slit ) est cart´eris´e par une ´equation de convolution faisant intervenir la r´eponse impulsionnelle hn du syst`eme ainsi que l’entr´ee xn appliqu´ee. yn =

X

xm hn−m

(3.7)

m

yn ≡ (x ? h)n Un Slit est stable si pour toute entr´ee born´ee en amplitude la sortie est born´ee (Ebsb ). Un condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e est : X |hn | < +∞ n

3.2

Transform´ ee de Fourier discr` ete

Pour une suite p´eriodique x dont le motif est d´efini sur 0 ≤ n < N la transform´ee de Fourier discr`ete (Tfd) est d´efinie par : µ ¶ N −1 X nk Xk = xn exp −j2π = xn WNnk , N n=0 n=0 µ ¶ nk WNnk = exp j2π N N −1 X

0≤k
La transform´ee inverse s’exprime de la fa¸con suivante : N −1 1 X xn = Xk WNnk N k=0

Remarque 3.1 On peut remarquer qu’un suite d´efinie sur N points est obtenue par le fenˆetrage d’une suite `a support infini par une porte rectangulaire discr`ete de mesure N .

3.2.1 – – – – –

Propri´ et´ es

Lin´earit´e :yn = α.xn + β.wn =⇒ Yk = α.Xk + β.Wk Retard :yn = xn−p =⇒ Yk = WNpk Xk Sym´etrie temporelle :yn = xN −1−n =⇒ Yk = WNpk Xk Sym´etrie spectrale :XN −k P −1 PN=−1Xk 2 2 ´ Egalit´e de Parseval : k=0 |Xk | = N N n=0 |xn |

3.2.2

Dualit´ e temps-fr´ equence de l’´ echantillonnage

Domaine temporel signal continu

Domaine fr´ equentiel spectre continu

signal continu p´eriodique

spectre discret

signal discret

spectre continu p´eriodique

signal discret p´eriodique

spectre discret p´eriodique

R 1 T

R

Tf x (t) exp (−j2πf t) dt´ ³

x (t) exp −j2πk Tt0 dt ³ ´ P f x exp −2πn n n ³ Fe ´ P nk n∈[N ] xn exp −2π Fe [T0 ]

Tf inverse X (f ) exp ³ (j2πf t) df ´ P X exp j2πk Tt0 k k ³ ´ R Te [F e] X (f ) exp j2πk Tf0 df ´ ³ P 1 nk k∈[N ] Xk exp 2π Fe N R

´ 3.3. FILTRAGE NUMERIQUE

3.3

59

Filtrage num´ erique

3.3.1

Filtre ` a r´ eponse impulsionnelle infinie (Rii)

3.3.1.1

D´ efinitions

´ – Equations aux diff´erences : yn =

N X

ak yn−k +

M X

bm xn−m

m=P

k=1

– Fonction de transfert :

PM H (z) =

m=P bm z P − N k=1 ak

−m

1 z −k – La r´ecurrence en y fait apparaˆıtre des pˆoles dans l’expression de la fonction de transfert, il y a donc un risque que le filtre soit instable. La synth`ese d’un filtre Rif peut ˆetre effectu´ee selon deux m´ethodes diff´erentes. La premi`ere consiste `a d´eterminer les coefficients {ak } , {bm } en utilisant une approche d’optimisation sous contrainte (m´ethode directe). La seconde m´ethode (dite indirecte) exploite la transposition du gabarit num´erique en un gabarit analogique permettant ainsi la r´esolution suivant les outils de synth`eses des filtres analogiques. C’est par cette derni`ere que nous allons commencer. 3.3.1.2

M´ ethodes de synth` ese indirecte Gabarit Gabaritdu du filtre filtre numérique numérique

TT::z→p z→p

Résolution Résolutionpar par méthodes méthodes classiques classiques

Filtre Filtre numérique numérique

TT-1-1::p→z p→z

Fonction Fonctionde de transfert en transfert enpp

Transformée Transformée bilinénaire bilinénaire

La synth`ese d’un filtre num´erique s’effectue en ´etablissant le gabarit dans le domaine discret. Puis par la transformation bilin´eaire, on transpose le gabarit num´erique en un gabarit analogique que l’on r´esoud par les m´ethodes classiques (cf. cours de synth`ese des filtres analogiques). La solution est en suite ramen´ee dans le domaine num´erique par transformation inverse. 3.3.1.3

Transformation bilin´ eaire

Cette transformation permet de transposer le domaine discret en un domaine analogique : 1 − z −1 1 + z −1 k+p z= k−p p=k

(3.8) (3.9)

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

60

o` u k est un facteur d’´echelle (c’est notre seul degr´e de libert´e). En posant que z d´ecrit le cercle de rayon unit´e dans le plan complexe on montre que l’´equation (3.8) devient : z = exp (jω) =⇒ ³ω ´ p = j.k. tan 2 ³ω ´ = j.Ω avec Ω = k. tan 2

π

ω

Ω

−π

π/2

k

– Transposition du cercle de rayon unit´e

Im

Im

Re


 
    


Re

1 1. est non-lin´eaire 2. le facteur d’´echelle est sans importance sur H (z)

ω π/2 k1 k2

3.3.1.4

Ω

Transposition de gabarit

Il est tr`es simple pour nous de synth´etiser un filtre passe-bas. Il est en revanche plus complexe de trouver directement un filtre correspondant `a un passe-haut, un passe-bas, un passe-bande ou un coupe-bande. Il est int´eressant pour d´eterminer un filtre solution de

´ 3.3. FILTRAGE NUMERIQUE

61

Filtre FiltrePasse-bas Passe-bas prototype prototype θθp p

Z-1=f(z-1)

Filtre Filtretransposé transposé ω ,ω22 ω11,ω

1. Passe-bas −→ passe-bas

³ Z −1 =

−1

z −α , 1 − α z −1

α=

sin

³

sin

θp −ω1 2 θp +ω1 2

´ ´

2. Passe-bas −→ passe-haut ³ Z −1 =

z −1 + α , 1 + α z −1

α=

sin sin

³

θp +ω1 2 θp −ω1 2

´ ´

3. Passe-bas −→ passe-bande 2α −1 z − β+1 z + 1−β 1+β , 1−β −2 2α −1 z − z + 1 1+β β+1 −2

Z −1 = −

¡ ¢ 2 cos ω1 +ω 2 ¡ ¢, α= 1 cos ω2 −ω 2

³ ´ tan θ2p ¡ ¢ β= 1 tan ω2 −ω 2

4. Passe-bas −→ coupe-bande 2α −1 z − β+1 z + 1−β 1+β , 1−β −2 2α −1 z − β+1 z + 1 1+β −2

Z −1 =

³ ´ ¡ ω1 +ω2 ¢ tan θ2p cos 2 ¡ ¢, β = ¡ ω2 −ω1 ¢ α= 1 cos ω2 −ω tan 2 2

3.3.2

Filtre ` a r´ eponse impulsionnelle finie (Rif )

3.3.2.1

D´ efinitions

H (z) =

N −1 X

hn z−n

n=P

– – – –

Appellations :filtre non-r´ecursif, Rif Causalit´e :P = 0 Stabilit´e :toujours vraie Phase :lin´eaire si les coefficients sont sym´etriques (hn = hN −1−n )

3.3.2.2

Synth` ese par la m´ ethode des fenˆ etres :´ echantillonnage temporel Réponse fréquentielle idéale

Synthèse

– Avantage :simple `a utiliser – Inconv´ enients : – pas de gabarit – pas d’`a priori sur le choix de la fenˆetre – r´esultat sous-optimal (au sens de l’ordre)

Échantillonnage

Troncature

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

62 3.3.2.3

Synth` ese par la m´ ethode des fenˆ etres :´ echantillonnage fr´ equentiel Réponse fréquentielle idéale

Échantillonnage

Synthèse

Un probl`eme de repliement peu subvenir si l’´echantillonnage est mal choisi. 3.3.2.4

Exemple de synth` ese F-1 A

9 dB

B

3 dB 0 0 0

3

4

π/4

π/3

Ωc

F (kHz) ω=2πf/Fe Ω

Ωa

Fig. 3.1 – Synth`ese d’un Rif par gabarit. – Donn´ees num´eriques – filtre passe-bas, famille de Tchebycheff – fr´equence d’´echantillonnage Fe = 24 kHz – fr´equence de coupure Fc = 3 kHz – Att´enuation dans la bande passante Amax = 3 dB – fr´equence de coupure Fa = 4 kHz – Att´enuation dans la bande passante Amin = 9 dB 1. Choix de k d´efinissant le filtre passe-bas analogique normalis´e |H (Ω)|2 =

1 1+

ε2 Tn2

(Ω)

En s’imposant que la pulsation de coupure Ωc soit ´egale `a 1 on trouve que ε = 1. Ce qui entraˆıne que : Ωc 1 ¡ ωc ¢ = ¡ ¢ ' 2.414 tan 2 tan π8 ³ ω ´ tan ¡ π ¢ a ¡ 6 ¢ ' 1.394 = Ωa = k. tan 2 tan π8 k=

2. Le filtre analogique se d´etermine n`a partir des abaques correspondant `a la famille o de TchebyΩa cheff avec le jeu de param`etres Amax = 3 dB, Ωc = 1.394, Amin = 9 dB . Nous obtenons que l’ordre du prototype analogique est de 2 et l’expression de la fonction de transfert est : H (p) =

1 1 2 2 p + 0.6449p + 0.708

´ 3.4. ANALYSE SPECTRALE NON-PARAMETRIQUE

63

3. Il nous faut maintenant revenir dans le domaine discret en transposant les p en z. 1 − z −1 1 + z −1 1 + 2 z −1 + z −2 H (z) = 16.18 − 20.48 z −1 + 9.957 z −2 p=k

4. Exprimons enfin l’´equation aux diff´erences : yn =

3.4 3.4.1

1 (20.48 yn−1 − 9.957 yn−2 + xn + 2xn−1 + xn−2 ) 16.18

Analyse spectrale non-param´ etrique Estimateur de la fonction de corr´ elation

On d´eduit les estimateurs par discr´etisation des estimateurs `a temps continu de la fonction de corr´elation (cf. cours de th´eorie du signal). – estimateur non-biais´e N −1−|l| X 1 d N B γx [l] = xn .xn−l (3.10) N − |l| n=0 – estimateur biais´e 1 B γc x [l] = N

3.4.2

N −1−|l|

X

xn .xn−l

(3.11)

n=0

Estimation de la densit´ e spectrale de puissance (Dsp)

Par d´efinition, la Dsp est la transform´ee de Fourier de la fonction de corr´elation. Ne disposant que de deux estim´ees (3.10,3.11) de la fonction de corr´elation on peut chercher `a connaˆıtre celle qui estime le mieux la densit´e spectrale de puissance. On montre alors que seul l’estimateur biais´e de la corr´elation fournit un r´esultat viable. h i c B c Υx [k] = Tf γx [l] (3.12) Cependant, on peut s’´epargner le calcul de l’estim´ee de la corr´elation en utilisant le th´eor`eme de Wiener-Kintchine :  ¯ ¯2  −1  1 ¯N ¯ ¯X nk ¯ cx [k] = lim E Υ x .W (3.13) ¯ n N ¯ N −→+∞  N ¯ ¯ n=0

qui nous fournit l’estimateur dit du p´eriodogramme : ¯N −1 ¯2 ¯ 1 ¯¯ X ¯ xn .WNnk ¯ Πx [k] = ¯ ¯ N¯

(3.14)

n=0

On peut montrer que cet estimateur est asymptotiquement biais´e. £ £ On obtient la densit´e spectrale de puissance d´efinie sur l’intervalle − 12 , + 12 (ou encore [−1, +1[ suivant les auteurs) correspondant `a des fr´equences r´eduites : Ffe (respectivement Ffe ). La fonction 2 obtenue est paire grˆace `a la propri´et´e de sym´etrie spectrale, on pourra donc se limiter `a la moiti´e de l’intervalle.

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

64 Signal original

40

3

20

35

2

10 30 0

0

Puissance dB

25 Puissance

Amplitude

1

20 15

-1

-10

-20 10 -2 -30 5 -3 20

40

60 Temps

80

100

0 -0.5

120

0 Fré quences ré duites

Signal original.

3.4.3

-40 -0.5

0.5

Dsp estim´ee.

0 Fré quences ré duites

0.5

Dsp en d´ecibels.

Am´ eliorations possibles

Une technique simple d’am´elioration est le zero-padding qui consiste `a ajouter des 0 `a la s´equence `a analyser. Les algorithmes de calcul rapides de la transform´ee de Fourier ´etant con¸cus pour des s´equences dont la longueur est en puissance de 2, nous pouvons rajouter des valeurs nulles jusqu’`a atteindre une longueur compatible. ½ xn 0 ≤ n < N yn = 0 N ≤ n < 2N Yk = =

2N −1 X n=0 N −1 X

nk yn .W2N

nk

xn .WN2 = X k 2

n=0

Signal complé té

Pé riodogramme brut en dB

3

20

15

15

10

10

5

2

0

-1

5

Puissance dB

Puissance dB

Amplitude

1

0 -5

0 -5 -10

-10

-15

-15

-20

-2

-3 50

100

150

200

250

-20

0

0.1

Temps

On ajoute des 0.

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

0.5

Dsp sans ajout de 0.

-25

0

0.1

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

0.5

Dsp avec ajout de 0.

Les autres am´eliorations que l’on peut effectuer se font bien sˆ ur au d´etriment d’un param`etre (temps de calcul, pr´ecision). On peut toutefois envisager les deux am´eliorations suivantes : – Moyennage de p´eriodogrammes On subdivise la s´equence `a analyser en Q segments (avec ou sans recouvrement) que l’on moyenne. Si un signal stationnaire est pr´esent noy´e dans du bruit, le moyennage affectera que le bruit. Q−1

Πm x

1 X (q) [k] = Π [k] Q q=0 x

(3.15)

– Fenˆetrage temporel des donn´ees Un des probl`emes de l’analyse spectrale par le p´eriodogramme est que les donn´ees ne sont pas obligatoirement stationnaires en raison de la restriction du nombre de points. En effet, cette troncature

´ 3.4. ANALYSE SPECTRALE NON-PARAMETRIQUE

65

introduit des discontinuit´es aux bords de la s´equence perturbant l’estimation des ph´enom`enes stationnaires. Pour limiter ces effets de bords il nous est possible de pond´erer la s´equence par une fenˆetre de lissage (la fenˆetre de troncature est la fenˆetre rectangulaire soit une fenˆetre discontinue !). Les fenˆetres que l’on peut employer sont :Hanning, Hamming, Blackman,. . . L’utilisation de ces fenˆetres a pour cons´equence dans le domaine temporel de r´eduire les effets de bords et dans le domaine fr´equentiel de r´eduire la pr´ecision. Le choix d’une fenˆetre se fera donc suivant un compromis pr´ecision/lissage.

1 Πx [k] = N

¯N −1 ¯2 ¯X ¯ ¯ ¯ (xn .wn ) .WNnk ¯ ¯ ¯ ¯

(3.16)

n=0

– Rectangulaire 1

0

0.9 0.8

-50

Puissance dB

0.7 0.6 0.5 0.4

-100

-150

0.3 0.2

-200

0.1 0

20

40

60

80

100

-250

120

0

0.1

– Hanning

0.2 0.3 Fré quences ré duites

µ µ ¶¶ 1 t τ w (t) = 1 − cos 2π , |t| ≤ 2 τ 2 µ µ µ ¶¶¶ 2n + 1 1 1 wn = 1 − cos 2π − , 2 2N 2

1

0.4

0.5

0≤n
0

0.9 0.8

-50

Puissance dB

0.7 0.6 0.5 0.4

-100

-150

0.3 0.2

-200

0.1 0

20

40

60

80

100

120

– Hamming

-250

0

0.1

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

µ

¶ t τ w (t) = 0.54 − 0.46 cos 2π , |t| ≤ τ 2 µ µ ¶¶ 2n + 1 1 − wn = 0.54 − 0.46 cos 2π , 2N 2

0≤n
0.5

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

66 1

0

0.9 0.8

-50

Puissance dB

0.7 0.6 0.5 0.4

-100

-150

0.3 0.2

-200

0.1 0

20

40

60

80

100

-250

120

0

0.1

– Blackman

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

0.5

¶ µ ¶ t τ t + 0.08 cos 4π , |t| ≤ w (t) = 0.42 − 0.5 cos 2π τ τ 2 µ µ ¶¶ µ µ ¶¶ 2n + 1 1 2n + 1 1 wn = 0.42 − 0.5 cos 2π − + 0.08 cos 4π − , 2N 2 2N 2 µ

1

0≤n
0

0.9 0.8

-50

Puissance dB

0.7 0.6 0.5 0.4

-100

-150

0.3 0.2

-200

0.1 0

20

40

60

80

100

-250

120

0

0.1

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

0.5

Remarque 3.2 Si on veut que la fenˆetre ne modifie pas l’estimation de la Dsp il faut la normaliser wn avant de l’utiliser :f wn = kw . nk

Signal original 15 0.8

10

0.6 5

Puissance dB

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2

0 -5 -10

-0.4 -15 -0.6 -20

-0.8

20

40

60 Temps

80

100

120

Le signal original tronqu´e.

-25

0

0.1

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

Dsp du signal original.

0.5

´ 3.4. ANALYSE SPECTRALE NON-PARAMETRIQUE

67

Signal original 20 0.8

0

0.6 -20

Puissance dB

Amplitude

0.4 0.2 0 -0.2

-40 -60 -80

-0.4 -100 -0.6 -120

-0.8 20

40

60 Temps

80

100

120

Signal fenˆetr´e avec Hanning.

-140

0

0.1

0.2 0.3 Fré quences ré duites

0.4

Dsp du signal fenˆetr´e.

0.5

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

68

3.5

Travaux dirig´ es de Traitement du Signal

3.5.1

´ Echantillonnage et filtrage

3.5.1.1

´ Echantillonnage parfait

Soit une fonction continue xa (t). Sa transform´ee de Fourier `a support born´e [−F . . . + F ] est repr´esent´ee ci-contre. On prendra F = 5 kHz. On ´echantillonne xa (t) avec la fr´equence d’´echantillonnage Fe = 9F . L’´echantillonnage est suppos´e parfait. On appelle xae (t) le signal obtenu.

Xa(f) A

f -F

+F

Transform´ ee de Fourier du signal analogique.

1. Exprimer Xae (f ), la transform´ee de Fourier de xae (t), en fonction de Xa (f ). 2. Repr´esenter graphiquement Xae (f ) sur l’intervalle [−30F . . . + 30F ]. 3.5.1.2

´ Echantillonnage r´ eel

L’´echantillonnage r´eel peut ˆetre mod´elis´e par : – soit par un ´echantillonnage parfait suivi d’une convolution avec un signal continu h (t), – soit par le produit d’un signal continu avec une fonction p´eriodique v (t). Pour la premi`ere mod´elisation, le signal ´echantillonn´e r´eel est mod´elis´e par la fonction x1 (t). Pour la seconde mod´elisation, le signal ´echantillonn´e r´eel est mod´elis´e par la fonction x2 (t). 1. Repr´esenter la fonction h (t) permettant d’obtenir x1 (t) `a partir de xae (t). 2. Repr´esenter le module de la transform´ee de Fourier X1 (f ) pour la valeur θ =

Te . 3

3. Mˆeme question pour θ = Te (cas d’un ´echantillonneur bloqueur). 4. Repr´esenter le module de la transform´ee de Fourier V (f ) pour la valeur θ =

Te . 3

5. Reprendre les question 2 `a 4 pour le signal x2 (t). 3.5.1.3

Filtres non invariants

On d´efinit xn = x (nTe ). On fait passer la s´equence xn dans un filtre sur-´echantillonneur1 E de sortie wn d´efini par la relation w3n = xn et wn = 0 si n n’est pas multiple de 3. 1. Ce filtre est-il stable, lin´eaire, invariant par translation ? On fait passer la s´equence xn dans un filtre compresseur yn = x3n .

2

C de sortie yn d´efini par la relation

3. Ce filtre est-il stable, lin´eaire, invariant par translation ? 4. Repr´esenter Y (ν) la transform´ee de Fourier de yn pour ν ∈ [0 . . . 1]. 1 2

appel´e aussi interpolateur appel´e aussi d´ ecimateur d’ordre M , dans notre exercice M = 3

´ DE TRAITEMENT DU SIGNAL 3.5. TRAVAUX DIRIGES 3.5.1.4

69

Sous-´ echantillonnage

Le signal analogique xa (t) module en amplitude une porteuse sinuso¨ıdale de fr´equence f0 = 110 kHz. On d´esire transmettre le signal modul´e en amplitude en l’´echantillonnant et en transmettant les ´echantillons sous forme num´erique. 1. En appliquant le th´eor`eme de Shannon, trouver le nombre minimal d’´echantillons `a transmettre par seconde. 2. On ´echantillonne en fait le signal modul´e en amplitude avec la fr´equence Fe = 40 kHz. (a) Dessiner l’allure du spectre du signal ´echantillonn´e parfait entre 0 et 120 kHz. (b) Qu’obtient-on en filtrant ce signal ´echantillonn´e parfait avec un filtre dont la bande passante s’´etend de 105 `a 115 kHz ? 3. Qu’obtiendrait-on en filtrant le signal ´echantillonn´e parfait avec un filtre cardinal de fr´equence de coupure 20 kHz ? 4. Conclure sur l’int´erˆet de cette m´ethode. Discuter les probl`emes li´es aux imperfections de l’´echantillonnage (stabilit´e de la fr´equence d’´echantillonnage).

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

70

3.5.2

Synth` ese des filtres num´ eriques

3.5.2.1

Filtre r´ ecursif du premier ordre

1 Soit la fraction rationnelle h (z) = 1−az −1 . Cette fonction de la variable complexe z est la transform´ee en Z de deux s´equences, h1 [n] causale et h2 [n] non causale.

1. Calculer h1 [n] et h2 [n] et pr´eciser les domaines de convergence. 2. h1 [n] et h2 [n] sont les r´eponses impulsionnelles de deux filtres appel´es respectivement F1 et ´ F2 . Ecrire les ´equations aux diff´erences de ces deux filtres. 3. On suppose |a| < 1. ´ (a) Ecrire l’expression de la r´eponse en fr´equence H1 (ν) du filtre F1 . (b) Que peut-on dire de la r´eponse du filtre F2 ? 4. Application num´erique : a = 0.5. £ ¤ (a) Tracer l’allure de la r´eponse en fr´equence H1 (ν) sur l’intervalle − 21 , + 12 . (b) Repr´esenter le diagramme des pˆoles et des z´eros du filtre F1 . (c) Quelle fonction r´ealise-t-il ? 3.5.2.2

Synth` ese des filtres RII par invariance d’une r´ eponse temporelle

1 1. Soit le filtre analogique de fonction de transfert : ha (p) = 1+τ o` u τ = 0.5 s. p Calculer sa r´eponse impulsionnelle ha (t) et sa r´eponse indicielle va (t).

2. On ´echantillonne h (t) avec une p´eriode Te = τ. log (2). On obtient une s´equence h (nTe ). ´ la fonction de transfert H1 (z) d’un filtre ´echantillonn´e dont la r´eponse impulsion(a) Ecrire nelle h1 [n] est ´egale `a ha (nTe ). (Cette approche est appel´ee m´ ethode de l’invariance impulsionnelle). (b) Donner son ´equation aux diff´erences. (c) Calculer sa r´eponse indicielle v1 [n] et tracer sa r´eponse en fr´equence. (a) Comparer `a celle du filtre analogique de d´epart. 3. On ´echantillonne v (t) avec une p´eriode Te = τ. log (2). On obtient une s´equence v (nTe ). ´ (a) Ecrire la fonction de transfert H2 (z) d’un filtre ´echantillonn´e dont la r´eponse indicielle v2 [n] est ´egale `a v (nTe ). (Cette approche est appel´ee m´ ethode de l’invariance indicielle). (b) Calculer sa r´eponse impulsionnelle h2 [n] et tracer sa r´eponse en fr´equence. (c) Comparer `a celle du filtre analogique de d´epart. 4. On consid`ere une fonction de transfert h (p) ne comportant que des pˆoles simples (donc qui se met sous forme d’une somme d’´el´ements simples du premier ordre). (a) Montrer que la m´ethode de l’invariance impulsionnelle transforme les pˆoles (mais pas les z´eros) selon la relation z = Φ (p) (ceci reste vrai pour des pˆoles multiples, pour lesquels la d´emonstration est lourde). (b) Quelle est l’image de la droite p = jΩ dans le plan en z par cette transformation Φ.

´ DE TRAITEMENT DU SIGNAL 3.5. TRAVAUX DIRIGES

71

(c) Comment se transforme le demi-plan gauche du plan de Laplace dans le plan en Z ? (d) Conclure sur l’int´erˆet de cette m´ethode de synth`ese en ce qui concerne la stabilit´e du filtre num´erique obtenu. 5. On d´esire r´ealiser un filtre num´erique r´ecursif du premier ordre, de type passe-bas, avec une fr´equence de coupure fc `a −3 dB et une fr´equence d’´echantillonnage Fe . On d´ecide pour ¡ 1 ¢ cela d’appliquer la m´ethode de l’invariance indicielle sur le filtre h (p). On pose Te = τ log α avec 0 < α < 1. (α voisin de 1 correspond `a un ´echantillonnage de v (t) `a fr´equence ´elev´ee, α voisin de 0 correspond `a une fr´equence d’´echantillonnage Fe faible). On pose νc = Ffce . ´ (a) Ecrire la relation qui lie cos (2πν1 ) et α sous la forme cos (2πν1 ) = g (α), et tracer l’allure de g (α). (b) En d´eduire qu’il existe une limite sup´erieure pour le choix de la position de fc par rapport `a Fe . 6. Conclure sur les m´ethodes de synth`ese par invariance, dans l’optique de fabriquer un filtre `a temps discret dont le gain satisfait `a un gabarit en fr´equence d´efini par une bande passante et une bande att´enu´ee. 3.5.2.3

Synth` ese de filtre r´ ecursif par la transformation bilin´ eaire −1

La transformation bilin´eaire est d´efinie par : p = k 1−z ou z = 1+z −1

k+p . k−p

1. Montrer que la transformation bilin´eaire fait correspondre la droite p = jΩ et le cercle de rayon unit´e z = exp (j2πν). (a) En d´eduire la relation liant Ω et ν. (b) Montrer que si h (p) est un filtre analogique stable, H (z) obtenu par transformation bilin´eaire est aussi un filtre stable. 2. On d´esire fabriquer un filtre `a temps discret passe-bas, destin´e `a fonctionner `a une fr´equence d’´echantillonnage de 8 kHz. le gabarit de ce filtre est illustr´e Fig. 3.2. A (dB)

18

3

0

f (kHz) 0,8

1,48

Fig. 3.2 – Allure du gabarit `a synth´etiser. (a) Normaliser le gabarit (c-`a-d. repr´esenter le gain en fonction de ν dans l’intervalle [0..1]). (b) En utilisant la relation liant Ω et ν, construire le gabarit associ´e pour le filtre `a temps continu. On choisira une valeur de k qui donne un gabarit analogique normalis´e. (c) Synth´etiser le filtre analogique sous la forme d’un filtre de Butterworth, et en d´eduire le filtre num´erique recherch´e. (Les coefficients normalis´es se trouvent dans le polycopi´e de synth`ese des circuits de filtrage).

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

72

3.5.3

TFD et analyse spectrale

3.5.3.1

TFD et interpolation

Soit une s´equence xn de longueur N et sa Tfd sur N points not´ee XN [k]. On va fabriquer plusieurs s´equences de longueur 2N `a partir de xn et ´etudier leurs Tfd. Les d´emonstrations seront faites pour un ordre N quelconque. On pourra ensuite, pour aider la compr´ehension des r´esultats, les appliquer `a la s´equence particuli`ere de longueur 8 illustr´ee Fig. (4.20).

1 4

0.9 3.5

0.8 0.7

3

0.6

2.5

0.5 2

0.4 1.5

0.3 0.2

1

0.1

0.5

0 0

1

2

3 4 Indices temporels

5

6

7

0 0

S´ equence test.

1

2

3 4 Indices fréquentiels

5

6

7

Tfd de la s´ equence test.

Fig. 3.3 – Allures de la s´equence et de sa Tfd.

1. On construit la suite yn par concat´enation : yn = xn + xn−N

n ∈ [0, 2N [

Exprimer Y2N [l] la Tfd d’ordre 2N de yn en fonction de XN [k]. L’indice fr´equentiel l de Y2N [l] est d´efini sur [0, 2N [. 2. On construit la suite vn par ajout de 0 : ½ xn n ∈ [0, N [ vn = 0 n ∈ [N, 2N [ Exprimer V2N [l] la Tfd d’ordre 2N de vn en fonction de XN [k]. 3. On construit la suite wn par interpolation d’ordre 0 : ½ x n2 pour n = 2m wn = m ∈ [0, N [ 0 pour n = 2m + 1 Exprimer W2N [k] la Tfd d’ordre 2N de wn en fonction de XN [k]. 4. Comparer les r´esultats des questions 1 et 3, et montrer qu’ils peuvent se d´eduire l’un de l’autre par dualit´e. Comparer ´egalement ces r´esultats `a ceux trouv´es dans le TD sur l’´echantillonnage lors de l’´etude du filtre sur-´echantillonneur (exercice ¿ Filtres non invariants À, cf. 3.5.1.3).

´ DE TRAITEMENT DU SIGNAL 3.5. TRAVAUX DIRIGES 3.5.3.2

73

TFD et analyse spectrale

1. On ´echantillonne un signal xa (t) `a la fr´equence Fe = 8, 192 kHz pendant un temps T . On obtient N ´echantillons. Quelle doit ˆetre la valeur de T pour que le spectre calcul´e par Tfd calcul´e sur l’ensemble des ´echantillons comporte une raie par Hertz. 2. Le signal xa (t) est une sinuso¨ıde pure de fr´equence f1 = 1 kHz et d’amplitude A = 3. On consid`ere l’´echantillonnage id´eal th´eorique de ce signal et on appelle x [n] la s´equence sinuso¨ıdale de longueur infinie ainsi obtenue. Repr´esenter la densit´e spectrale de puissance Γx (ν) de cette s´equence. En r´ealit´e, apr`es ´echantillonnage pendant la dur´ee T et conversion num´erique, la s´equence y [n] obtenue est de longueur finie ´egale `a N . La Dsp est estim´ee par un p´eriodogramme d’ordre N , avec une fenˆetre rectangulaire. 1. Repr´esenter l’allure de la transform´ee de Fourier X (ν) de la s´equence y [n]. En d´eduire les raies donn´ees par le p´eriodogramme sur un voisinage de f1 sachant que celui-ci est calcul´e `a l’aide d’une Tfd d’ordre N . On pr´ecisera les positions et les amplitudes exactes de ces raies. 2. L’amplitude A restant constante, la fr´equence du signal xa (t) est modifi´ee pour passer `a f2 = 1, 0005 kHz. Repr´esenter alors l’allure des raies donn´ees par le p´eriodogramme sur le mˆeme voisinage de fr´equence que pr´ec´edemment.

74

´ CHAPITRE 3. TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Chapitre 4 Travaux Pratiques de Traitement Num´ erique du Signal 4.1 4.1.1

Analyse spectrale ´ Echantillonage et transform´ ee de Fourier.

On consid`ere le signal suivant : y (t) = sin (2π100t) + sin (2π50t) . 1. D´eterminer la fr´equence d’´echantillonnage Fe th´eorique. 2. Visualiser le signal y(t) ainsi que sa densit´e spectrale de puissance en constituant le mod`ele Simulink appropri´e. 3. Que se passe-t-il si au lieu de prendre la fr´equence Fe on choisit Fe/2 ?

Source 1

Visu T

Σ Source 2

Analyse spectrale

Visu F

Fig. 4.1 – Validation du th´eor`eme de l’´echantillonnage. La densit´e spectrale de puissance sera estim´ee en utilisant le bloc P´ eriodogramme avec une visualisation adapt´ee.

4.1.2

´ Etude comparative des fenˆ etres de pond´ eration

Visualiser sous Simulink dans les domaines temporels et fr´equentiels les fenˆetres de troncature suivantes : – rectangulaire (boxcar) – hanning 75

76

´ CHAPITRE 4. TRAVAUX PRATIQUES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

– blackman Les fenˆetres seront synth´etis´ees sur un nombre de points ´egal `a 100. NB : il ne faut pas oublier de normaliser les fenˆetres ´etudi´ees pour pouvoir mieux comparer les r´esultats. Générateur de fenêtres

Visu F Zero padding

FFT

Troncature N/2

Visu T

´ Fig. 4.2 – Etude des fenˆetres. G´en´erer le signal suivant : y (t) = sin (2π50t) + 0.1 sin (2π25t) . Effectuer l’analyse spectrale du signal avec les param`etres suivants : – fr´equence d’´echantillonnage : 1000 Hz, – nombre de points : 100, – fenˆetres de pond´eration suscit´ees. Rem : On utilisera `a bon escient le bloc Periodogramme. Interpr´eter les r´esultats obtenus. G´en´erer le signal suivant : y (t) = sin (2π50t) + 0.1 sin (2π43t) . 5.En utilisant les mˆemes param`etres qu’`a la question 2, d´eterminer la fenˆetre de pond´eration permettant d’obtenir la meilleure analyse en fr´equence. 6.Conclure sur l’utilisation des fenˆetres de pond´eration en analyse spectrale.

4.1.3

Transform´ ee de Fourier ` a court-terme

On vous fournit les fichiers de donn´ees parole8b.wav parole16b.wav contenant des signaux de parole ´echantillonn´e `a 8 kHz/8 bits et 11025 Hz/16 bits. Afficher le spectrogrammes de ces signaux. Comment en effectuez-vous en l’interpr´etation ? (cf la fonction specgram).

4.1.4

Mod´ elisation autor´ egressive.

On cherche `a comparer l’analyse spectrale par mod`ele AR et par p´eriodiogramme.

Fig. 4.3 – Comparaison de m´ethodes d’analyse spectrale.

4.1. ANALYSE SPECTRALE

77

Le signal d’entr´ee est la composition d’une sinuso¨ıde de fr´equence 1 Hz d’amplitude 10 et d’un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance 0,1. La dimension du buffer est de 64 avec une fr´equence d’´echantillonnage de 32 Hz. On consid´erera le bloc LPC qui effectue l’estimation d’un mod`ele AR `a partir d’un vecteur d’entr´ee, il suffira de fournir l’ordre d´esir´e comme param`etre. Les blocs zero pad seront configur´es de telle fa¸con que la comparaison soit valide. On visualisera les spectres sur l’intervalle [0, Fe/2]. 1.Observer le comportement de la mod´elisation pour les ordres {1, 2, 4, 5, 8}. Quel est le meilleur ordre ? 2.Que dire du p´eriodogramme ?

78

4.2

´ CHAPITRE 4. TRAVAUX PRATIQUES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Filtrage num´ erique

Un filtre est un syst`eme qui r´ealise une s´election en fr´equence des signaux qui lui sont inject´es. La fonction de transfert du syst`eme indique l’att´enuation et le d´ephasage appliqu´e aux diff´erentes composantes fr´equentielles du signal d’entr´ee. La fonction de transfert peut s’´ecrire sous la forme : Le filtre peut ˆetre caract´eris´e par : – sa r´eponse impulsionnelle, – son gain complexe, – son gabarit. En pratique, il est impossible d’obtenir la r´eponse id´eale. Le probl`eme central de la conception des filtres num´eriques est d’obtenir une r´eponse pratique qui constitue une bonne approximation de la r´eponse id´eale. Les param`etres de caract´erisation du filtre sont au nombre de quatre : – l’ondulation dans la bande passante Amax , – L’affaiblissement dans la bande att´enu´ee Amin , – Les fr´equences passante et d’att´enuation F p et F s. Dans cette s´eance de Tp vous allez manipuler aussi bien Matlab que Simulink.

4.2.1

´ Etude comparative des approximations (RII)

On d´esire r´ealiser sous Matlab un filtre num´erique dont les caract´eristiques sont : – fr´equence passante : 0.1 – fr´equence att´enu´ee : 0.2 – Amax = 1dB – Amin = 30dB Pour les approximations de Butterwoth, Chebychev type 1 et elliptique : – d´eterminer l’ordre des filtres ainsi que la fr´equence de coupure, – repr´esenter les modules de ces diff´erents filtres en ´echelle lin´eaire puis logarithmique. On utilisera les fonctions suivantes dont l’aide et la syntaxe est accessible par ¿ helpwin nom À : {buttord, cheb1ord, ellipord, butter, cheby1, ellip, freqz }.

4.2.2

Implantation de filtres RII

On v´erifiera le fonctionnement des deux filtres num´eriques en utilisant : – une fr´equence d’´echantillonnage de 10 Hz – un signal compos´e de 3 sinuso¨ıdes d’amplitudes unit´e et de fr´equences {0.5, 1, 3} Hz – dur´ee d’observation : 3 secondes Comparer les deux m´ethodes d’implantation.

4.2.3

Filtrage d’un signal (RII)

On consid`ere le signal suivant : x(t) = sin(2π5t)+sin(2π15t)+sin(2π30t), ´echantillonn´e `a la fr´equence de 1000 Hz. Constitu´e le mod`ele Simulink pour un filtrage passe-bande de caract´eristiques : – fr´equence de coupure basse 10 Hz – fr´equence de coupure haute 20 Hz – ondulation dans la bande-passante 0.1 dB – att´enuation dans la bande att´enu´ee 40 dB

´ 4.2. FILTRAGE NUMERIQUE

79

Il vous faudra correctement choisir le type du filtre. On observera simultan´ement le signal original et le signal filtr´e. On ajoutera la repr´esentation spectrale des signaux et utilisant le bloc d’analyse spectrale adapt´e.

4.2.4

´ Etude des filtres RIF

On d´esire comparer l’effet de quelques fenˆetres de pond´eration lors de la synth`ese des filtres `a r´eponse impulsionnelle finie. Les caract´eristiques du filtre sont les suivantes : – passe-bas – fr´equence d’´echantillonnage de 1000 Hz – nombre de coefficient 75. Repr´esenter sous Matlab, la r´eponse en fr´equence du filtre pour les fenˆetres rectangulaire, de hamming et de blackman. Comparer les diff´erentes r´eponses en fr´equence obtenues. On pourra justifier les r´eponse `a partir des notions d’analyse spectrale.

4.2.5

Implantation de filtres RIF

Proposer deux structures de filtres RIF (directe et simplifi´ee) sous Simulink (cf. question 4.2). On utilisera les coefficients d’un filtre passe-bas RIF de longueur 12 synth´etis´e avec une fenˆetre de hamming et de fr´equence de coupure ´egale `a 50 Hz (la fr´equence d’´echantillonnage ´etant de 1000 Hz). Comment doit-on modifier la structure si l’ordre est impair ?

80

´ CHAPITRE 4. TRAVAUX PRATIQUES DE TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL

Compl´ ements math´ ematiques

81

´ ´ COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

82

4.3

Espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel, E peut ˆetre construit sur R ou C selon que l’on consid`ere des combinaisons lin´eaires `a coefficients dans R ou C.

4.3.1

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux fonctions (x, y) ∈ E not´e hx, yi ∈ C est une forme anti-lin´eaire `a sym´etrie hermitienne : hx, yi = hy, xi c’est-`a-dire, – lin´earit´e en y : hx1 + ½ x2 , y1 + y2 i = hx1 , y1 i + hx1 , y2 i + hx2 , y1 i + hx2 , y2 i, hx, λyi = λ hx, yi – antilin´earit´e en x : , ? ½ hλx, yi = λ hx, yi hx, xi ≥ 0 – produit hermitien : . hx, xi = 0 ⇒ x = 0 – si hx, yi = 0 alors x et y sont dits orthogonaux.

4.3.2

Normes

On appelle norme sur l’espace vectoriel E une application x −→ kxk ayant les propri´et´es suivantes : – kxk ≥ 0 et kxk = 0 ⇐⇒ x = 0, – kλxk = |λ| kxk, – kx + yk ≤ kxk + kyk (in´egalit´e triangulaire). 1 1 Pour tout produit scalaire sur E la quantit´e hx, xi 2 est une norme : kxk = hx, xi 2 . – |hx, yi|2 ≤ kxk2 kyk2 (in´egalit´e de Schwarz). On peut d´efinir une forme g´en´eralis´ee de la norme `a un ordre p ∈ N : sZ +∞

Lp (x) =

p

|x (t)|p dt

−∞

qR

+∞

Un cas particulier de cette d´efinition est obtenue lorsque p = 2 : L2 (x) = |x (t)|2 dt = kxk. −∞ Un autre cas particulier de la norme Lp apparaˆıt lorsque l’on choisit p = +∞, alors : sZ +∞

L∞ (x) = lim

p→+∞

4.3.3

p

|x (t)|p dt = max x (t)

−∞

Bases

Pour former une base il fautPque la famille de fonctions v´erifient les propri´et´es suivantes : – l’ind´ependance lin´eaire : i λi Φi = 0 ⇒ λi = 0, ∀i – l’orthogonalit´e : Φi ⊥Φj , ∀i 6= j ⇐⇒ hΦi , Φj i = βi δi−j (la base est orthonorm´ee si βi = 1), – Une base est une famille g´en´eratrice Φi (t) d’un sous-espace vectoriel E avec laquelle nous pouvons d´ecrire n’importe quelle fonction f (t) comme une composition lin´eaire : X 1 λi Φi (t) βi i Z λi = f (t) Φ?i (t) dt = hf, Φi i

f (t) =

´ 4.4. DERIVATION VECTORIELLE (CONVENTION DE VETLER)

4.4

D´ erivation vectorielle (convention de Vetler)

4.4.1

D´ eriv´ ee d’une matrice

4.4.1.1

Par rapport ` a un scalaire

– a ∈ R B = (bkl ) ∈ R (m, n)

B = f (a)  ∂b ∂B  = ∂a

– a ∈ R B ∈ R (m, n)



∂a

.. .

··· ...

∂b1n ∂a

∂bm1 ∂a

···

∂bmn ∂a

11

  ∈ R (m, n)

.. .

C ∈ R (n, p) ∂BC ∂B ∂C = C+B ∂a ∂a ∂a

4.4.1.2

Par rapport ` a une matrice

A ∈ R (m, n)

4.4.2

B ∈ R (p, q)

B = f (A)  ∂B ··· ∂B  ∂a.11 . .. =  .. ∂A ∂B ··· ∂am1

∂B ∂a1n

.. .



∂B ∂akl

  ∂B ∂A

∂B ∂amn

∈ R (m, n)

∈ R (m × p, n × q)

D´ eriv´ ee d’un vecteur

– A ∈ Rm

B ∈ Rp

 ∂BT  = ∂A

– A ∈ Rm

B ∈ Rp

∂BT ∂a1

.. .





∂b1 ∂a1

.. .

··· ...

∂bp ∂a1

∂b1 ∂am

···

∂bp ∂am

  =

∂BT ∂am

.. .

   ∈ R (m, p)

C ∈ R (n, p) (C ind´ependante de A) ∂BT ∂BT C = C ∂A ∂A

4.4.3

D´ eriv´ ee d’un scalaire

– A ∈ Rm

b∈R

 −−→ ∂b  = grad (b) =  ∂A ¡ ∂b = ∂AT

– A ∈ Rm

∂b ∂a1

···



∂b ∂a1

  ∈ R (m, 1)

.. .

∂b ∂am

∂b ∂am

¢

∈ R (1, m)

b∈R ∂ 2b ∂ = T ∂A∂A ∂A

µ

∂b ∂AT

¶

  =

∂2b ∂a21

.. .

∂2b ∂am ∂a1

··· .. . ···

∂2b ∂a1 ∂am

.. .

∂2b ∂ 2 am

   ∈ R (m, m)

83

´ ´ COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

84 – A ∈ Rm

B ∈ Rp

C ∈ Rp

D ∈ R (p, p) ∂BT DC ∂BT ∂CT T = DC+ D B ∂A ∂A ∂A

´ 4.5. PROBABILITES

4.5

85

Probabilit´ es

4.5.1

Fonction de r´ epartition

4.5.1.1

Cas scalaire

Soit X ∈ R une variable al´eatoire, la fonction de r´epartition se d´efinie comme : FX (x) = P [X < x]

(4.1)

La fonction de r´epartition FX est une fonction non-d´ecroissante : lim FX (x) = 0

x→−∞

lim FX (x) = 1

x→+∞

4.5.1.2

Cas vectoriel

Soit X ∈ Rm un vecteur al´eatoire et x ∈ Rm une r´ealisation, la fonction de r´epartition se d´efinie comme : FX (x) = P [X < x] = P [X1 < x1 , . . . , Xm < xm ]

4.5.2

Loi de densit´ e de probabilit´ e pX (x) = pX1 ,...,Xm (x1 , . . . , xm ) ∂ m FX (x) = ∂x1 , . . . , ∂xm Z Z . . . pX (x) dx1 . . . dxm = 1 Z pX1 ,...,Xm−1 (x1 , . . . , xm−1 ) =

4.5.3

(4.2)

(4.3)

(4.4)

+∞

pX (x) dxm

(4.5)

−∞

Loi conditionnelle

Soient X ∈ Rm et Y ∈ Rn deux vecteurs al´eatoires, la loi conditionnelle est fournie par la formule de Bayes : pX,Y (x, y) pX/Y (x (y)) = (4.6) pY (y)

4.5.4

Ind´ ependance

Soient X ∈ Rm et Y ∈ Rn deux vecteurs al´eatoires, ils sont mutuellement ind´ependants si la loi conjointe est ´egale au produit des lois : pX,Y (x, y) = pX (x) × pY (y)

(4.7)

De la mˆeme fa¸con, si les composantes {xi } du vecteur X ∈ Rm sont ind´ependantes alors : pX (x) = pX1 (x1 ) × . . . × pXm (xm )

(4.8)

´ ´ COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

86

4.5.5

Changement de variable

X ∈ Rm un vecteur al´eatoire Y = f (X) ∈ Rm f est bijective ¯ µ T ¶¯ ¯ ∂x ¯¯ pY (y) = pX (x (y)) ¯¯det ∂y ¯ ¯ ³ T ´¯ ¯ ¯ est la valeur absolue du jacobien. ¯det ∂x ∂y ¯ u = ρ cos (θ) v = ρ sin (θ) ¡ ¢T x= u v ¡ ¢T y= ρ θ ¯ ¶¯ µ T ¶¯ ¯µ ¯ ¯ ¯ sin (θ) ¯¯ ¯det ∂x ¯ = ¯ cos (θ) ¯ ∂y ¯ ¯ −ρ sin (θ) ρ cos (θ) ¯ =ρ

4.5.6

Esp´ erance

4.5.6.1

Cas hyperg´ eom´ etrique

Soit X ∈ Rm un vecteur al´eatoire de loi de densit´e de probabilit´e hyperg´eom´etrique p (X). Le vecteur moyen µX = E {X} s’´ecrit : Z µX =

R

x.pX (x) dx1 dx2 . . . dxm ∈ Rm

m

= [E {X1 } E {X2 } . . . E {Xm }]T Z E {Xk } = xk .pX (x) dx1 dx2 . . . dxm

Rm

n o T La matrice de covariance CX = E (X − µX ) (X − µX ) s’´ecrit : © ª CX = E XXT − µX µX T

4.5.7

Lois usuelles

– Pile ou face : C’est une loi discr`ete `a un param`etre : P [X = 1] = p, P [X = 0] = 1 − p µX = p 2 = p (1 − p) σX

(4.9)

´ 4.5. PROBABILITES

87

– Loi binˆ omiale : Soient N VA discr`etes i-i-d1 ob´eissant chacune `a une loi de pile ou face. Il s’agit donc d’une loi discr`ete `a deux param`etres N et p. ¡ ¢ p (k) = kN pk (1 − p)N −k (4.10) µX = N p 2 σX = N p (1 − p) – Loi de Poisson : C’est la limite de la loi binˆomiale N → +∞ et p ≈ 0. Le nombre de param`etre de cette loi discr`ete est un (µ). µk exp (−µ) k! µX = µ 2 =µ σX

p (k) =

(4.11)

– Loi gaussienne ou normale : C’est une loi continue `a deux param`etres µ et σ. On la note aussi N (µ, σ) Ã ! 1 (x − µ)2 p (x) = √ exp − (4.12) 2σ 2 2πσ µX = µ 2 σX = σ2

1

i-i-d : ind´ependantes et identiquement distribu´ees.

88

´ ´ COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

Corrections des Travaux Dirig´ es

89

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

90

4.6 4.6.1

Th´ eorie du Signal Classifications des signaux

Exercice 4.1 Les calculs nous fournissent la classification suivante : x (t) Ex ΠT0 (t) T0 × 12 u (t) → +∞ A sin (2πf0 t) u (t) → +∞ r (t) → +∞

Px 0 1 2 A2 4

→ +∞

Exercice 4.2 Les op´erations sur le signal original ne sont que des translations ou des changements d’´echelle. Nous pouvons tenir compte de ces transformations par l’expression suivante : · · τi 4 + τi xi (t) = x (αi t − τi ) t ∈ , αi αi Le calcul de l’´energie de cette expression nous fournit : Exi =

3×4 |αi |

Ce qui nous montre que le retard n’influe pas sur le calcul de l’´energie au contraire de la fonction d’´echelle. xi x x1 x2 x3 x4

αi 1 1 2

τi 0 3 0 1 0 2 −1 0

Exi 12 12 6 24 12

Exercice 4.3 Le signal s’´ecrit comme une combinaison lin´eaire de fonctions ´el´ementaires : x (t) = r (t + 1) + r (t) + u (t − 1) − 2u (t − 2) La repr´esentation graphique du signal est donn´e `a la Fig. (4.4). Exercice 4.4

Z x1 (t) x?2 (t) dt Z T 2 sin (2πf0 t + θ) cos (2πf0 t + θ) dt =A 0 Z A2 T sin (4πf0 t + 2θ) dt = 2 0 A2 = (cos (2θ) − cos (4πf0 T + 2θ)) 8πf0 hx1 , x2 i = 0 k ⇒T = 2f0 hx1 , x2 i ,

´ 4.6. THEORIE DU SIGNAL

91 2

1.8

1.6

1.4

Amplitude

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5 Temps (s)

1

1.5

2

2.5

3

Fig. 4.4 – Allure du signal de l’exercice 1.3. Exercice 4.5 On veux obtenir la meilleure repr´esentation pour la suite de coefficients {λj } au sens de l’erreur quadratique moyenne. Soit Λ le vecteur des coefficients λi et Φ (t) le vecteur des fonctions analysantes ϕi (t) : Λ = [λ0 λ1 . . . λN ]T Φ (t) = [ϕ0 (t) ϕ1 (t) . . . ϕN (t)]T L’erreur quadratique s’´ecrit : ¯2 Z ¯¯ N ¯ X ¯ ¯ J = ¯y (t) − λj ϕj (t)¯ dt ¯ ¯ j=0 Z ¯ ¯2 = ¯y (t) − ΛT Φ (t)¯ dt Z ¡ ¢¡ ¢? = y (t) − ΛT Φ (t) y (t) − ΛT Φ (t) dt Z ¡ ¢¡ ¢ = y (t) − ΛT Φ (t) y ? (t) − ΛT ? Φ? (t) dt Z Z Z Z ? ? T T? ? = y (t) y (t) dt − y (t) Λ Φ (t) dt − y (t) Λ Φ (t) dt + ΛT Φ (t) ΦT ? (t) Λ? dt

La minimisation de l’erreur quadratique est obtenue pour : ¯ ∂J ¯¯ = 0 ∀j ∈ {0, N } opt ∂λj ¯ λj =λj

Z X Z X Z Z N N ∂J ? ? ? ? λk ϕk (t) ϕ?j (t) dt = − y (t) ϕj (t) dt − y (t) ϕj (t) dt + λm ϕj (t) ϕm (t) dt + ∂λj m=0 k=0 Ã N ! Ã N !? X X = λk hϕk , ϕj i − hy, ϕj i + λm hϕm , ϕj i − hy, ϕj i k=0

= (λj βj − hy, ϕj i) + (λj βj − 1 ⇒ λopt hy, ϕj i j = βj

m=0 hy, ϕj i)?

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

92

4.6.2

Syst` emes lin´ eaires

Exercice 4.6 – Quelle est la condition pour que le syst`eme soit causal ? h (t) = 0 pour t < 0 ⇒0<τ
=2 – On applique le principe de lin´earit´e des syst`emes. Le signal d’excitation ´etant une composition lin´eaire de signaux ´el´ementaires (impulsions de Dirac et ´echelons) nous pouvons calculer les r´eponses ´el´ementaires `a chacune des sollicitations. Seule la r´eponse `a l’´echelon m´erite notre attention. Simplifions nous le probl`eme en remarquant que la r´eponse impulsionnelle h est le r´esultat de l’application d’un retard sur une r´eponse h0 et que le produit de convolution est associatif et commutatif : h (t) = h0 (t − 2) = (h0 ? δ2 ) (t) ⇒ h0 (t) = exp (−t) u (t) (h ? u) (t) = (h0 ? δ2 ? u) (t) = (δ2 ? (h0 ? u)) (t) Z 0 (h ? u) (t) , h (v) u (t − v) dv Or u (t − v) 6= 0 pour v ≤ t Z t = h (v) dv −∞ Z t =2 exp (−v) dv −∞

= 2 (1 − exp (−t)) u (t) ⇒ (h ? u) (t) = 2 (1 − exp (−t + 2)) u (t − 2) = 2u (t − 2) − h (t) Si on applique un ´echelon retard´e de ν la r´eponse sera alors : (h ? uν ) (t) = 2u (t − 2 − ν) − h (t − ν) x (t) = δ (t + 1) + δ (t) + u (t − 4) − u (t − 7) y (t) = h (t + 1) + h (t) + (2u (t − 6) − h (t − 4)) − (2u (t − 9) − h (t − 7)) Exercice 4.7 Soit h un syst`eme dont la r´eponse impulsionnelle est :h (t) = Ku (t) ,

K ∈ R∗ .

´ 4.6. THEORIE DU SIGNAL

93

– Le syst`eme est-il causal ? OUI – Est-il stable ? NON On asservit le syst`eme pr´ec´edant en introduisant la fonction de transfert B (p) = β de la fa¸con suivante : – Le syst`eme asservi est-il causal ? OUI – Est-il stable ? OUI Exercice 4.8 Soit le signal x dont la Tf est X (f ) = X0 ΠB (f ), est modul´e en amplitude par une porteuse y (t) = A0 sin (2πf0 t). – Calculer et repr´esenter graphiquement la densit´e spectrale de puissance ( dsp) des trois signaux x, y, z = xy. La densit´e spectrale de puissance est par d´efinition ´egale `a : Z Γx (f ) = γx (τ ) exp (−j2πf τ ) dτ = |X (f )|2 |X (f )|2 = X02 ΠB (f ) c’´etait donn´e A2 |Y (f )|2 = 0 (δ (f − f0 ) + δ (f + f0 )) 4 2 2 A X |Z (f )|2 = 0 0 (ΠB (f − f0 ) + ΠB (f + f0 )) 4 Exercice 4.9 Soit x (t) = AΠτ (t), – calculer le produit de convolution : Λ (t) = (x ? x) (t) = A2 (τ − |t|) Π2τ (t) Le produit de convolution d’une porte d’ouverture τ fournit un signal triangulaire d’ouverture 2τ . Plus g´en´eralement, si convolue un signal de dur´ee T1 par un signal de dur´ee T2 alors le signal r´esultat aura une dur´ee T1 + T2 . – On convolue le signal Λ en utilisant un peigne de Dirac de p´eriode T . Le peigne de Dirac est une somme infinie d’impulsions de Dirac s´epar´ees par la dur´ee T . Le r´esultat sera par cons´equent la somme infinie des motifs Λ d´ecal´es de T . X Λ (t − kT ) Λ? (t) = k

La figure (4.5) illustre les diff´erents cas demand´es. La partie basse des trac´es (b,c,d) montre la superposition des motifs ´el´ementaires, la partie haute indique le r´esultat final. On constate que si la valeur de la p´eriode est inf´erieure `a deux fois la longueur du motif on observe un recouvrement temporel. Exercice 4.10 Soit le signal x (t) = A cos (2πf0 t) que l’on tronque avec la fonction porte ΠT (t) xT (t) = x (t) ΠT (t) AT |sinc (πT (f − f0 )) − sinc (πT (f + f0 )) | |XT (f ) | = 2

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

94 1 1

0.5

0

0.6

Amplitude

Amplitude

0.8

0.4

1

0.2 0.5

0 0 −4

−3

−2

−1

0 Temps

1

2

3

4

−4

(a) Motif original.

−3

−2

−1

0 Temps

1

2

3

4

3

4

(b) P´eriode T = 1.

0.5

0.5

0

0

Amplitude

1

Amplitude

1

1

1

0.5

0.5

0 −4

0 −3

−2

−1

0 Temps

1

2

3

4

(c) P´eriode T = 2.

−4

−3

−2

−1

0 Temps

1

2

(d) P´eriode T = 3.

Fig. 4.5 – P´eriodisation de motif par application du peigne de Dirac.

4.6.3

Analyse non param´ etrique, signaux d´ eterministes.

Exercice 4.11 Un tapis roulant convoie des boˆıtes rectangulaires `a une vitesse V d’un point A vers un point B distant d’une mesure D. Un capteur optique binaire plac´e en A d´elivre un signal xA (t) et un autre identique plac´e en B fournit un signal xB (t). Montrer qu’en calculant l’intercorr´elation des deux signaux de mesures nous pouvons estimer le temps de transit sur le tapis et par la mˆeme, contrˆoler sa vitesse V (on supposera que la vitesse reste constante pendant le trajet d’une boˆıte). ¶ µ L xA (t) = ΠL t − tA − 2 µ ¶ L xB (t) = ΠL t − tB − 2 µ ¶ µ ¶ Z L L γAB (t, tA , tB ) = ΠL t − tA − ΠL t − tB − dt 2 2 Z = ΠL (t) ΠL (t − tB + tA ) dt = γAB (tB − tA ) = γAB (τ )

La fonction de corr´elation peut ˆetre exprim´ee en fonction de la diff´erence de temps de passage tB − tA ce qui nous permet d’effectuer des mesures ind´ependante de l’origine du temps. En effet, s’affranchir du temps absolu nous permet de nous int´eresser uniquement au temps de transit. Dans le cas contraire il nous aurait fallu m´emoriser les instants de passages de chaque boˆıte v´ehicul´ee. Il ne faut pas oublier que notre ´etude ce place dans un contexte id´eal puisque nous avons consid´erer

´ 4.6. THEORIE DU SIGNAL

95

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−0.2

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

−0.2

0

20

40

60 Temps

Temps

Signal mesur´e en A.

80

100

120

Signal mesur´e en B.

18

16

16

14

14

12

12

10 10 8 8 6 6 4 4 2 2

0

−2 −150

0 −100

−50

0 Temps relatif

50

100

150

Fonction de corr´elation.

0

20

40

60 Temps relatif

80

100

τ > 0.

Fig. 4.6 – Bleu : sans bruit, Rouge : avec bruit. qu’un seul paquet est transport´e `a chaque fois et que les mesures sont effectu´ees sans bruit. Dans la r´ealit´e la mesure de l’instant de passage devient difficile `a partir des signaux xA et xB en raison du bruit et la pr´esence de plusieurs paquets simultan´ement sur le tapis comme cela est illustr´e en Fig. 4.6. On peut aussi remarque que la fonction de corr´elation nous a permis d’att´enuer l’influence du bruit. L’observation de la fonction de corr´elation nous montre que la position du maximum correspond au temps de transit, ce qui nous permet de d´eterminer la vitesse du tapis. ⇒v=

D argτmax max γAB (τ )

Exercice 4.12 Une source ponctuelle ´emet un signal s (t) = S0 sin (2πf0 t + φ0 ). Cette source est `a une position fixe inconnue que nous souhaitons d´eterminer. Nous avons dispos´e deux antennes A et B pour capter le signal ´emis. Montrer que la fonction de corr´elation permet de r´esoudre ce probl`eme de localisation. (On posera que la vitesse v de propagation dans le milieu est constante). µ ¶ das xA (t) = s t + v µ ¶ dsb xB (t) = s t + v µ ¶ µ ¶ das dsb dsb − das γAB t, , = γAB v v v D = dsb + dsa = (1 − ε) D + εD (4.13) ⇒ dsb − das = (1 − 2ε) D

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

96 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4

0.4

0.2

0.2

0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4

−0.6

−0.8

−1

−0.6

0

1

2

3

4 Temps

5

6

7

xA (t), xB (t)

8

−0.8 −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0 0.5 Temps relatif

1

1.5

2

2.5

Fonction de corr´elation.

Fig. 4.7 – Localisation d’un source ponctuelle.

La figure 4.7 nous montre le r´esultat de la corr´elation pour une fr´equence f0 = 0, 2Hz et un d´ecalage de 1s. Le signal de r´ef´erence est xA , la position du maximum nous permet de retrouver la valeur du temps de retard τmax . Le positionnement relatif ε vaut alors : 1 ε= 2

µ ¶ τmax V 1− D

Exercice 4.13 Calculer la transform´ee de Fourier d’une fonction porte Π d’ouverture T . Calculer le produit de convolution et la fonction d’autocorr´elation de cette fonction par elle-mˆeme. Que vaut la tf du signal convolu´e ?

Tf [ΠT (t)] = T.sinc (πf T ) Z (ΠT ? ΠT ) (t) , ΠT (v) ΠT (t − v) dv = T. (T − |t|) .Π2T (t) ⇒ Tf [(ΠT ? ΠT ) (t)] = T 2 .sinc2 (πf T ) Z γΠT (τ ) , ΠT (v) ΠT (t + v) dv Z = ΠT (−u) ΠT (t − u) du Z = ΠT (u) ΠT (t − u) du = (ΠT ? ΠT ) (t) ¡ ¢ Exercice 4.14 Soit le signal x (t) = u (t) exp − Tt , on souhaite appliquer une analyse spectrale sur un enregistrement y (t) de ce signal de dur´ee L. Calculer les tf de x et y. Quelle relation doit v´erifier la longueur moyenne de l’enregistrement L et T pour que l’erreur relative commise en confondant

´ 4.6. THEORIE DU SIGNAL

97

Y (f ) et X (f ) soit inf´erieure `a 1 %. T 1 + 2jπf T µ ¶ L y (t) = x (t) .ΠL t − 2 µ µ ¶ ¶ L Y (f ) = X (f ) 1 − exp − exp (−j2πf L) T Y (f ) − X (f ) | ∆=| X (f ) µ ¶ L = exp − T ⇒ L ≥ 5T X (f ) =

Exercice 4.15 D´eterminer les temps moyens, les fr´equences moyennes, les dur´ees et les bandes utiles des signaux suivants : – x1 (t) = ΠT (t − τ ), – x2 (t) = u (t − τ ) . exp (−a (t − τ )) , a > 0, R 4 – x3 (t) = ΛT (t) (on admettra que sinu2(u) du = π4 ), – x4 (t) = a exp (λt2 ) , λ < 0. x1 x2 x3 x4

2

a

Ex T

tmoyen τ

1 2a T3 12 p

1+2aτ 4a2

− πλ

0 0

∆t T √ 2 3

0

T √ 2 10

fmoyen 0 +∞ 0 0

∆f +∞

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

98

4.6.4

Signaux al´ eatoires

Exercice 4.16 On consid`ere le signal x (t) = s (t) + b (t) s (t) = A sin (2πf0 t + φ) b (t) est un bruit blanc gaussien, stationnaire, ergodique, centr´e N (0, σ 2 ). φ est une phase al´eatoire ind´ependante de b (t) suivant une loi uniforme sur [0, 2π]. – Le signal x est-il al´eatoire ? – Calculer la moyenne µx (t) de x (t). Le signal est-il stationnaire ? µx (t) = E {s (t)} + E {b (t)} Z 2π 1 = s (t) ds + 0 2π 0 =0 ⇒ stationnaire `a l’ordre 1. – Calculer l’autocorr´elation γx (τ ) de x (t). γX (t1 , t2 ) , E {X (t1 ) X ? (t2 )} = E {S (t1 ) S ? (t2 )} + E {S (t1 ) B ? (t2 )} + E {S (t1 ) B ? (t2 )} + E {B (t1 ) B ? (t2 )} = E {S (t1 ) S ? (t2 )} + E {B (t1 ) B ? (t2 )} A2 = cos (2πf0 (t2 − t1 )) + γB (t2 − t1 ) 2 ⇒ stationnaire `a l’ordre 2. – Donner l’expression de la fonction de corr´elation pour un signal d´eterministe de puissance moyenne finie. Z +T 1 Γx (τ ) , lim x (t) x? (t − τ ) dt T →+∞ 2T −T – Donner l’autocorr´elation d´eterministe Γx (τ ) de x (t). Z +T Z +T 1 1 ? Γx (τ ) = lim s (t) s (t − τ ) dt + lim b (t) b? (t − τ ) dt T →+∞ 2T −T T →+∞ 2T −T – Montrer que la moyenne statistique de l’autocorr´elation d´eterministe est identique `a la fonction de corr´elation γx (τ ). A2 cos (2πf0 (τ )) + γb (τ ) Γx (τ ) = 4π Exercice 4.17 Soit x (t) un bruit blanc stationnaire de param`etres N (µx , σx2 ) que l’on filtre par un syst`eme d´eterministe de r´eponse impulsionnelle h (t) et de transform´ee de Fourier H (f ). – Calculer la moyenne µy du signal de sortie y. y (t) = (x ? h) (t) Z , h (v) x (v − t) dv Z E {y (t)} = E {x (v − t)} h (v) dv Z µy = µx h (v) dv = µx H (0)

´ 4.6. THEORIE DU SIGNAL

99

– Calculer σy2 . Exercice 4.18 Soit l’estimateur de la fonction de corr´elation suivant : Z +∞ γˆxy (τ ) = K (τ ) xw (t) yw? (t − τ ) dt −∞

o` u fw est la fonction f multipli´ee par la fenˆetre d’observation w (w (t) = ΠT (t)). K est une fonction de pond´eration. Nous allons ´etudier le biais de cet estimateur pour deux pond´erations diff´erentes. L’une d’entre elles sera : K1 (τ ) =

1 T

– Exprimer la moyenne statistique de l’estimateur. Z +∞ E {ˆ γxy (τ )} = K (τ ) E {xw (t) yw? (t − τ )} dt −∞ Z +∞ = K (τ ) E {x (t) y ? (t − τ )} ΠT (t) Π?T (t − τ ) dt −∞ Z +∞ ΠT (t) Π?T (t − τ ) dt = K (τ ) γxy (τ ) −∞

Λ2T

= K (τ ) γxy (τ ) Λ2T (τ ) (τ ) = (T − |τ |) Π2T (τ )

– D´eterminer le biais pour K1 (τ ). Bγˆxy , γxy − E {ˆ γxy } µ ¶ 1 = γxy (τ ) 1 − Λ2T (τ ) T On voit que sur l’intervalle [−T, +T ] l’estimateur est bias´e. En dehors de cet intervalle on ne peut rien dire. – Comment choisir K2 (τ ) pour que l’estimation soit sans biais ? ¯ Bγˆxy ¯K=K2 = 0 (Π2T (τ ) − T K2 (τ ) Λ2T (τ )) = 0 ⇒ K2 (τ ) =

1 Λ2T (τ )

– Calculer la densit´e spectrale de puissance et conclure sur les deux estimateurs. En calculant la Tf pour les deux estimateurs on s’aper¸coit que seul l’estimateur de la corr´elation biais´e permet d’estimer correctement la Dsp. Effet, il suffit de se souvenir qu’une densit´e spectrale de puissance est ≥ 0.

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

100

4.7

Traitement du Signal

4.7.1

´ Echantillonnage et filtrage

4.7.1.1

´ Echantillonnage parfait

1. Exprimer Xae (f ), la transform´ee de Fourier de xae (t), en fonction de Xa (f ). Le signal ´echantillonn´e est obtenu en faisant le produit entre le signal analogique xa et un peigne de Dirac de p´eriode Te = F1e . xae (t) = xa (t) qqTe (t) Xae (f ) = Fe (Xa ? qqFe ) (f ) Z = Fe qqFe (ν) Xa (f − ν) dν Z X δ (ν − nFe ) Xa (f − ν) dν = Fe n

= Fe

XZ

δ (ν − nFe ) Xa (f − ν) dν

n

= Fe

X

Xa (f − nFe )

n

On obtient une fonction p´eriodique de p´eriode Fe . 2. Repr´esenter graphiquement Xae (f ) sur l’intervalle [−30F . . . + 30F ]. Le support de Xa (f ) ´etant inf´erieur `a Fe , nous respectons le th´eor`eme de Shannon. Nous sommes dans le cas d’un sur-´echantillonnage. La figure (4.8) montre l’allure de la Tf du signal xae (t). Nous avons superpos´e en rouge le peigne de Dirac sur l’intervalle demand´e.

Xae(f) AFe

-27F

-18F

-9F

0

+9F

+18F

+27F

Fig. 4.8 – Transform´ee de Fourier du signal ´echantillonn´e.

4.7.1.2

´ Echantillonnage r´ eel

1. Repr´esenter la fonction h (t) permettant d’obtenir x1 (t) `a partir de xae (t).

f

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

101

Il s’agit d’une porte rectangulaire retard´ee de la moiti´e de sa largeur que nous notons θ. h(t) 1

µ ¶ θ h (t) = Πθ t − 2 H (f ) = θ sin c (πf θ) e−jπf θ t

θ

0

Allure de la fonction de blocage h (t).

2. Repr´esenter le module de la transform´ee de Fourier X1 (f ) pour la valeur θ =

Te . 3

x1 (t) = (xae ? h) (t) X1 (f ) = Xae (f ) H (f ) |X1 (f )| = |Xae (f )| × |H (f )| ¯ µ ¶¯ ¯ ¯ f 1 ¯ ¯ |X1 (f )|θ= 1 = |Xae (f )| × ¯sin c π 3Fe 3Fe 27F ¯

|H(f)| |H(f)|

|X (f)| 2

|X1(f)|

f

f -27F

-18F

-9F

0

+9F

+18F

+27F

-27F

-18F

-9F

θ = T3e

0

+9F

θ = Te

Fig. 4.9 – Allures des r´eponses fr´equentielles.

3. Mˆeme question pour θ = Te (cas d’un ´echantillonneur bloqueur). |X2 (f )| = |X1 (f )|θ=

1 Fe

¯ µ ¶¯ ¯ ¯ f 1 ¯ = |Xae (f )| × ¯¯sin c π Fe 9F ¯

Voir Fig. 4.9 pour l’allure fr´equentielle. 4. Repr´esenter la fonction v (t) permettant d’obtenir x2 (t) `a partir de xa (t).

+18F

+27F

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

102

On remarque que la fonction v (t) est la convolution de h (t) avec un peigne de Dirac de p´eriode Te . X v (t) = h (t − nTe ) n

v(t) 1

0

θ

t Te

´ Echantillonnage par fonction p´ eriodique.

= (h ? qqTe ) (t)

5. Repr´esenter le module de la transform´ee de Fourier V (f ) pour la valeur θ =

Te . 3

V (f ) = Fe H (f ) qqFe (f ) ¯ µ ¶¯ ¯ f 1 ¯¯ ¯ qqFe (f ) |V (f )|θ= Te = ¯sin c π 3 3 27F ¯ ¯ µ ¶¯ 1 X ¯¯ kπ ¯¯ = sin c δ (f − kFe ) ¯ 3 3 ¯ k

|H(f)|

|V (f)|

f -27F

-18F

-9F

0

+9F

+18F

+27F

Fig. 4.10 – Tf de la fonction p´eriodique v (t).

6. Reprendre les question 2 `a 4 pour le signal x2 (t). 4.7.1.3

Filtres non invariants

On d´efinit xn = x (nTe ). On fait passer la s´equence xn dans un filtre sur-´echantillonneur2 E de sortie wn d´efini par la relation w3n = xn et wn = 0 si n n’est pas multiple de 3. 1. Ce filtre est-il stable, lin´eaire, invariant par translation ? – – – – 2

stable, lin´eaire, variant par translation, non-causal.

appel´e aussi interpolateur

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

103

2. Repr´esenter W (ν) la transform´ee de Fourier de wn pour ν ∈ [0 . . . 1]. W (z) =

X

wn z −n

n

=

X

w3p z −3p

p

=

X

xp z −3p

p

W (z)|z=ej2πν

¡ ¢ = X z3 = X (3ν)

On constate que le spectre original a subi une compression en fr´equence. 3. Ce filtre est-il stable, lin´eaire, invariant par translation ? (a) Stabilit´e On le v´erifie en utilisant le principe entr´ee born´ee sortie born´ee xn = an , |a| < 1 et n ≥ 0 +∞ X ⇒ |an | < +∞ n=0

yn = x3n = a3n +∞ X ⇒ |yn | =

n=0 +∞ X

¯ 3n ¯ ¯a ¯ < +∞

n=0

(b) Lin´earit´e On montre qu’une composition lin´eaire de signaux d’entr´ee fournit une composition lin´eaire des sorties ´el´ementaires. x [n] = α x1 [n] + β x2 [n] y [n] = x [3n] = α x1 [3n] + β x2 [3n] = α y1 [n] + β y2 [n] (c) Invariance par translation x1 [n] = x [n − 1] y1 [n] = x1 [3n] y1 = {x3 , x6 , x9 , . . .} y2 [n − 1] =

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

104

4. Repr´esenter Y (ν) la transform´ee de Fourier de yn pour ν ∈ [0 . . . 1]. Le signal yn est obtenu par sous ´echantillonnage d’un facteur 3 : y [n] = x [n] qq3 [n] X = x [n] δ [n − 3k] k

La transform´ee de Fourier s’´ecrit comme le produit de convolution des transform´ees µ ¶ 1 Y (ν) = X ? qq 1 (ν) 3 3 ¶ µ 2 1X k = X ν− 3 k=0 3 On constate que le spectre original a subi une dilatation en fr´equence ainsi qu’une p´eriodisation d’un facteur 31 . 4.7.1.4

Sous-´ echantillonnage

1. En appliquant le th´eor`eme de Shannon, trouver le nombre minimal d’´echantillons `a transmettre par seconde. Consid´erons une modulation simple : y (t) = xa (t) sin (2πf0 t) Sachant que la Tf de sin (2πf0 t) est

1 2j

(δ (f − f0 ) − δ (f + f0 )), Y (f ) en module vaut :

|Y (f )| = |Xa (f − f0 )| + |Xa (f + f0 )|

|Y (f) | |X a(f+f0 )|

A

|X a (f-f0 )|

f -f0

f0 +F-f0

-F-f0

+F+f0

Fig. 4.11 – Allure du spectre du signal modul´e.

-F+f0

Une repr´esentation de ce spectre est donn´e `a la Fig. 4.11. La fr´equence maximale Fmax est ´egale `a f0 + F mais, on peut remarquer que le signal modul´e est `a bandes discontinues ([−F − f0 , −F + f0 ] ∪ [F − f0 , F + f0 ]). L’application du th´eor`eme de Shannon nous impose de choisir une fr´equence d’´echantillonnage Feth telle que : Feth ≥ 2 (f0 + F ) = 230 kHz

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

105 |Y (f) |

|X a(f+f0 )|

|X a (f-f0 )|

A

f -f0

f0

Fe

Fig. 4.12 – Allure du spectre du signal ´echantillonn´e. 2. On ´echantillonne en fait le signal modul´e en amplitude avec la fr´equence Fe = 40 kHz. (a) Dessiner l’allure du spectre du signal ´echantillonn´e parfait entre 0 et 120 kHz. (b) Qu’obtient-on en filtrant ce signal ´echantillonn´e parfait avec un filtre dont la bande passante s’´etend de 105 `a 115 kHz ? On r´ecup`ere exactement le signal original modul´e. 3. Qu’obtiendrait-on en filtrant le signal ´echantillonn´e parfait avec un filtre cardinal de fr´equence de coupure 20 kHz ? Le filtre cardinal passe-bas permettrait de r´ecup´erer un signal dont la modulation r´esiduelle serait de 10 kHz. On peut noter que l’ordre n’est pas conserv´e puisque le motif gauche (centr´e sur −10 kHz ) correspond au motif initialement `a droite (centr´e sur 110 kHz) et r´eciproquement.

filtre cardinal

A

f

Fe

Fig. 4.13 – Intervalle du spectre conserv´e par le filtre cardinal. 4. Conclure sur l’int´erˆet de cette m´ethode. Discuter les probl`emes li´es aux imperfections de l’´echantillonnage (stabilit´e de la fr´equence d’´echantillonnage). Il est possible dans le cas o` u les spectre est `a bandes disjointes d’effectuer un sous ´echantillonnage sans perte d’information comme nous l’avons montr´e pr´ec´edemment. Le syst`eme est sensible au variation des fr´equences porteuse et d’´echantillonnage, puisque la translation spectrale du motif est obtenue par ¿ soustraction À fr´equentielle (f0 − kFe ). On peut conclure que le th´eor`eme de Shannon pour ˆetre correctement utilis´e impose comme hypoth`ese que le spectre du signal `a ´echantillonner soit `a bandes contigu¨es. Si on consid`ere le signal dont le spectre a pour support [−Fmax , −Fmin ]∪[Fmin , Fmax ], la fr´equence d’´echantillonnage doit alors v´erifier : Fe ≥ 2 (Fmax − Fmin ) On retrouve l’expression habituelle dans le cas o` u Fmin = 0.

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

106

4.7.2

Synth` ese des filtres num´ eriques

4.7.2.1

Filtre r´ ecursif du premier ordre

1 Soit la fraction rationnelle h (z) = 1−az −1 . Cette fonction de la variable complexe z est la transform´ee en Z de deux s´equences, h1 [n] causale et h2 [n] non causale.

1. Calculer h1 [n] et h2 [n] et pr´eciser les domaines de convergence. D´eterminons tout d’abord la suite `a droite : ¡ ¢−1 |z| > a =⇒ H1 (z) = 1 − az −1 = 1 + az −1 + a2 z −2 + . . . X = an z −n n=0 n

=⇒ h1 [n] = a u [n] La suite `a gauche s’exprime comme : ¡ ¢−1 |z| < a =⇒ H2 (z) = −a−1 z 1 − a−1 z ¡ ¢ = −a−1 z 1 + a−1 z + a−2 z 2 + . . . X =− an z −n n=0 n

=⇒ h2 [n] = −a u [−n − 1] 2. h1 [n] et h2 [n] sont les r´eponses impulsionnelles de deux filtres appel´es respectivement F1 et ´ F2 . Ecrire les ´equations aux diff´erences de ces deux filtres. Les deux filtres ont la mˆeme r´eponse impulsionnelle : 1 H (z) = −1 ¡ ¢ 1 − az −1 Y (z) 1 − az = X (z) Y (z) = X (z) + az −1 Y (z) =⇒ y [n] = x [n] + ay [n − 1] 3. On suppose |a| < 1. ´ (a) Ecrire l’expression de la r´eponse en fr´equence H1 (ν) du filtre F1 . H1 (ν) =

1 1 − ae−j2πν

1 1 − a cos (2πν) + ja sin (2πν) 1 |H1 (ν)|2 = (1 − a cos (2πν))2 + a2 sin2 (2πν) 1 = 2 1 + a − 2a cos (2πν) =

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

107

(b) Que peut-on dire de la r´eponse du filtre F2 ? Elle n’existe pas car le cercle de rayon unit´e n’appartient pas au domaine de convergence de H2 (z). 4. Application num´erique : a = 0.5. £ ¤ (a) Tracer l’allure de la r´eponse en fr´equence H1 (ν) sur l’intervalle − 12 , + 12 .

4

3

2

1

-0.4

-0.2

0

0.2

ν

0.4

Fig. 4.14 – Allure de la r´eponse fr´equentielle de H1 (ν) (b) Repr´esenter le diagramme des pˆoles et des z´eros du filtre F1 . 1 0.8 z

0.6

Partie Imaginaire

0.4 0.2 0 a

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0 Partie Réelle

0.5

1

Fig. 4.15 – Diagramme des pˆoles et des z´eros de H1 (z) (c) Quelle fonction r´ealise-t-il ? (passe-bas,. . .). 4.7.2.2

Synth` ese des filtres RII par invariance d’une r´ eponse temporelle

1 1. Soit le filtre analogique de fonction de transfert : ha (p) = 1+τ o` u τ = 0.5 s. p Calculer sa r´eponse impulsionnelle ha (t) et sa r´eponse indicielle va (t).

1 −t e τ u (t) τ ³ ´ t va (t) = 1 − e− τ u (t)

ha (t) =

2. On ´echantillonne h (t) avec une p´eriode Te = τ. log (2). On obtient une s´equence h (nTe ).

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

108

´ (a) Ecrire la fonction de transfert H1 (z) d’un filtre ´echantillonn´e dont la r´eponse impulsionnelle h1 [n] est ´egale `a ha (nTe ). (Cette approche est appel´ee m´ ethode de l’invariance impulsionnelle). 1 − nTe e τ , n≥0 τ 1 ¡ ln(2) ¢−n = e τ 2−n = τ 1 1 H1 (z) = τ 1 − (2z)−1 h1 [n] =

(b) Donner son ´equation aux diff´erences. Y (z) = H1 (z) X (z) ¶ 1 −1 1 Y (z) 1 − z = X (z) 2 τ 1 1 Y (z) = X (z) + z −1 Y (z) τ 2 1 1 y [n] = x [n] + y [n − 1] τ 2 µ

(c) Calculer sa r´eponse indicielle v1 [n] et tracer sa r´eponse en fr´equence. V1 (z) = H1 (z) U (z) , |z| > 1 1 1 1 = −1 τ 1 − (2z) 1 − z −1 µ ¶ 2 1 1 = − τ 1 − z −1 1 − (2z)−1 ¢ 1¡ v1 [n] = 2 − 2−n u [n] ¡τ ¢ va [n] = 1 − 2−n u [n]

z = ej2πf =⇒ 1 1 H1 (f ) = τ 1 − e−j2πf 2 1 1 = τ (1 − 0.5 cos (2πf )) + j0.5 sin (2πf ) 1 1 |H1 (f )|2 = τ (1 − 0.5 cos (2πf ))2 + (0.5 sin (2πf ))2

(a) Comparer `a celle du filtre analogique de d´epart. On constate que la r´eponse fr´equentielle du filtre obtenue par invariance impulsionnelle est fortement d´egrad´e par une ph´enom`ene de recouvrement spectral (dˆ u au choix d’une fr´equence d’´echantillonnage peu ´elev´ee) ainsi qu’un facteur d’´echelle li´e `a τ , la constante de temps du syst`eme consid´er´e. 3. On ´echantillonne v (t) avec une p´eriode Te = τ. log (2). On obtient une s´equence v (nTe ). ´ (a) Ecrire la fonction de transfert H2 (z) d’un filtre ´echantillonn´e dont la r´eponse indicielle v2 [n] est ´egale `a v (nTe ). (Cette approche est appel´ee m´ ethode de l’invariance indicielle).

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

109 4

4 3.5

3.5 v1 2.5

2.5 2

Puissance

Amplitudes

|H1 (f)|²

3

3

1.5

2 1.5 1

1 0.5

|Ha (f)|²

0.5

va

0

0

0

1

2

3

4 5 Indices

6

7

8

9

0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 Fréquences réduites

0.7

0.8

0.9

1

|Ha |2 et |H1 |2

va etv1

Fig. 4.16 – Visualisation des r´eponses indicielles et fr´equentielles.

¡ ¢ v2 (n) = 1 − 2−n u (n) 1 1 V2 (z) = − −1 1−z 1 − (2z)−1 = H2 (z) =

(2z)−1 ¡ ¢ (1 − z −1 ) 1 − (2z)−1 (2z)−1 1 − (2z)−1

(b) Calculer sa r´eponse impulsionnelle h2 [n] et tracer sa r´eponse en fr´equence. 1 h2 (n) = 2−(n−1) u (n − 1) 2 = 2−n u (n − 1) Pour l’allure voir Fig. 4.17. (c) Comparer `a celle du filtre analogique de d´epart. Au facteur d’´echelle pr`es, nous obtenons exactement la mˆeme allure. La synth`ese par invariance indicielle ne permet pas de s’affranchir du ph´enom`ene de recouvrement spectral. 4. On consid`ere une fonction de transfert h (p) ne comportant que des pˆoles simples (donc qui se met sous forme d’une somme d’´el´ements simples du premier ordre). (a) Montrer que la m´ethode de l’invariance impulsionnelle transforme les pˆoles (mais pas les z´eros) selon la relation z = Φ (p) (ceci reste vrai pour des pˆoles multiples, pour lesquels la d´emonstration est lourde).

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

110 1

0.9

2

0.8 0.7

1.5

1

Puissance

Amplitudes

0.6

va

|H2(f)|²

0.5 0.4

|Ha (f)|² 0.3

0.5

v2

0.2 0.1

0

0

0

1

2

3

4 5 Indices

6

7

8

9

0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 Fréquences réduites

0.7

0.8

0.9

1

|Ha |2 et |H2 |2

ha eth2

Fig. 4.17 – Visualisation des r´eponses impulsionnelles et fr´equentielles.

X

αk 1 − τk p k µ ¶ X αk t exp − u (t) h (t) = τ τ k k k µ ¶ X αk nTe h [n] = exp − , n≥0 τ τ k k k X αk 1 ³ ´ H (z) = τ k 1 − exp − Te z −1 k τk H (p) =

au pˆole pk =

− τ1k

³ correspond le pˆole zk = exp

− Tτke

´ = exp (pk Te ).

L’invariance impulsionnelle revient `a appliquer la transformation z = exp (pTe ) pour les pˆoles. p = β + jΩ −→ z = eβTe .ejΩTe (b) Quelle est l’image de la droite p = jΩ dans le plan en z par cette transformation Φ. On constate que si β = 0 alors la droite p = jΩ se transforme dans le plan en z en cercle de rayon unit´e. (c) Comment se transforme le demi-plan gauche du plan de Laplace dans le plan en Z ? Le demi-plan gauche est caract´eris´e par une valeur de β < 0 (soit la r´egion de stabilit´e dans le domaine de Laplace). En appliquant la transformation, on observe que ce demiplan devient l’int´erieur du cercle de rayon unit´e (soit le disque de stabilit´e dans le domaine en z). La transformation conserve la stabilit´e des syst`emes ´echantillonn´es. (d) Conclure sur l’int´erˆet de cette m´ethode de synth`ese en ce qui concerne la stabilit´e du filtre num´erique obtenu. Les m´ethodes de synth`ese par invariance de r´eponse sont rapides `a mettre en œuvre. Ces m´ethodes d’´echantillonnage de r´eponse de syst`eme `a temps continu peuvent donc ˆetre

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

111

int´eressante puisque la stabilit´e est conserv´ee. Nous allons l`a qu’il s’agit d’une conclusion hˆative. 5. On d´esire r´ealiser un filtre num´erique r´ecursif du premier ordre, de type passe-bas, avec une fr´equence de coupure fc `a −3 dB et une fr´equence d’´echantillonnage Fe . On d´ecide pour ¡ 1 ¢ cela d’appliquer la m´ethode de l’invariance indicielle sur le filtre h (p). On pose Te = τ log α avec 0 < α < 1. (α voisin de 1 correspond `a un ´echantillonnage de v (t) `a fr´equence ´elev´ee, α voisin de 0 correspond `a une fr´equence d’´echantillonnage Fe faible). On pose νc = Ffce . ´ (a) Ecrire la relation qui lie cos (2πν1 ) et α sous la forme cos (2πν1 ) = g (α), et tracer l’allure de g (α). D’apr`es la relation du corrig´e, la r´eponse indicielle ´echantillonn´ee vaut : v (n) = (1 − αn ) u (n) On en d´eduit : (1 − α) z −1 1 − αz −1 (1 − α) e−j2πν H (ν) = 1 − αe−j2πν (1 − α)2 2 |H (ν)| = |1 − αe−j2πν |2 (1 − α)2 = 1 + α2 − 2α cos (2πν) H (z) =

Nous voulons une att´enuation de 3 dB pour la fr´equence de coupure νc : |H (νc )|2 =

1 2

(1 − α)2 1 + α2 − 2α cos (2πνc ) =⇒ cos (2πνc ) = g (α) 4α − α2 − 1 = 2α =

(b) En d´eduire qu’il existe une limite sup´erieure pour le choix de la position de fc par rapport `aFe . On sait que g (.) est born´ee du fait de l’´egalit´e avec le terme trigonom´etrique (cos (2πνc )). Nous obtenons donc les deux extremas de α : √ αmin = 3 − 8 ½ νc = 0.5 =⇒ Fe = 0.567 τ αmax = 1 =⇒

½

νc = 0 Fe −→ +∞

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

112 1

g (α)

0

-1

αmin

-2

-3 0.2

α 0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Fig. 4.18 – g (α) 6. Conclure sur les m´ethodes de synth`ese par invariance, dans l’optique de fabriquer un filtre `a temps discret dont le gain satisfait `a un gabarit en fr´equence d´efini par une bande passante et une bande att´enu´ee. Les m´ethodes de synth`ese par invariance de r´eponse ne fournissent pas des r´esultats tr`es performants en terme de s´electivit´e. En effet, quelque soit la r´eponse consid´er´ee pour cr´eer un filtre num´erique, on se retrouve in´evitablement confront´e au ph´enom`ene de recouvrement spectral. Pour s’en r´eduire l’influence, il faudrait pouvoir effectuer un ´echantillonnage `a tr`es haute fr´equence. Ces m´ethodes d’´echantillonnage de r´eponse de syst`eme `a temps continu pr´esentent donc peu d’int´erˆet bien que la stabilit´e soit conserv´ee. 4.7.2.3

Synth` ese de filtre r´ ecursif par la transformation bilin´ eaire −1

La transformation bilin´eaire est d´efinie par : p = k 1−z ou z = 1+z −1

k+p . k−p

1. Montrer que la transformation bilin´eaire fait correspondre la droite p = jΩ et le cercle de rayon unit´e z = exp (j2πν). k+p k−p k + jΩ = k − jΩ √ ¡ ¡ ¢¢ k 2 + Ω2 exp j arctan Ωk ¡ ¡ ¢¢ =√ k 2 + Ω2 exp −j arctan Ωk µ µ ¶¶ Ω = 1. exp j2 arctan k

z=

(a) En d´eduire la relation liant Ω et ν. Ω = k tan (πν) ³ω ´ = k tan 2 (b) Montrer que si h (p) est un filtre analogique stable, H (z) obtenu par transformation bilin´eaire est aussi un filtre stable.

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

113

On constate que l’axe imaginaire du domaine de Laplace se transforme en cercle de rayon unit´e. Observons ce qui se produit si on consid`ere l’expression d’un pˆole stable p = −α + jΩ avec α > 0 : k+p k−p k − α + jΩ = k + α − jΩ s (k − α)2 + Ω2 |z| = <1 |k + α|2 + Ω2 z=

Le pˆole stable dans le domaine de Laplace a ´et´e transform´e en un point `a l’int´erieur du cercle de rayon unit´e soit, le domaine de stabilit´e du domaine en Z. 2. On d´esire fabriquer un filtre `a temps discret passe-bas, destin´e `a fonctionner `a une fr´equence d’´echantillonnage de 8 kHz. le gabarit de ce filtre est illustr´e Fig. 3.2. (a) Normaliser le gabarit (c-`a-d. repr´esenter le gain en fonction de ν dans l’intervalle [0..1]). Voir Fig. 4.19 pour le gabarit du filtre num´erique normalis´e. (b) En utilisant la relation liant Ω et ν, construire le gabarit associ´e pour le filtre `a temps continu. On choisira une valeur de k qui donne un gabarit analogique normalis´e. Voir Fig. 4.19 pour le gabarit du filtre analogique. Nous savons que fr´equences num´eriques et fr´equences analogiques sont li´ees par la relation : Ω = k tan πν En choisissant d’obtenir un gabarit de filtre analogique normalis´e, nous nous imposons Ωc = 1 ce qui nous permet de d´eterminer la valeur de k le facteur d’´echelle : k=

1 tan πνc

Nous pouvons maintenant calculer la valeur de la pulsation d’att´enuation Ωa : A (dB)

18

3

0 0,8

1,48

0,1

0,185

1

Ωa

f (kHz) ν

(f/Fe)

Ω

Fig. 4.19 – Allure des gabarits normalis´es. tan πνa tan πνc = 2.022

Ωa =

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

114

(c) Synth´etiser le filtre analogique sous la forme d’un filtre de Butterworth, et en d´eduire le filtre num´erique recherch´e. (Les coefficients normalis´es se trouvent dans le polycopi´e de synth`ese des circuits de filtrage). La lecture de l’abaque de la famille de Butterworth nous indique un ordre de 3 : 1 (p + 1) (p2 + p + 1) 1 = 3 2 p + 2p + 2p + 1

H (p) =

L’application de la transform´ee bilin´eaire nous fournit l’expression du filtre num´erique : 3

H (z) =

0.0181 (1 + z −1 ) 1 − 1.176z −1 + 1.183z −2 − 0.2781z −3

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

115

4.7.3

TFD et analyse spectrale

4.7.3.1

TFD et interpolation

Soit une s´equence xn de longueur N et sa Tfd sur N points not´ee XN [k]. On va fabriquer plusieurs s´equences de longueur 2N `a partir de xn et ´etudier leurs Tfd. Les d´emonstrations seront faites pour un ordre N quelconque. On pourra ensuite, pour aider la compr´ehension des r´esultats, les appliquer `a la s´equence particuli`ere de longueur 8 illustr´ee Fig. (4.20). 1 4

0.9 3.5

0.8 0.7

3

0.6

2.5

0.5 2

0.4 1.5

0.3 0.2

1

0.1

0.5

0 0

1

2

3 4 Indices temporels

5

6

0

7

0

1

S´ equence test.

2

3 4 Indices fréquentiels

5

Tfd de la s´ equence test.

Fig. 4.20 – Allures de la s´equence et de sa Tfd. 1. On construit la suite yn par concat´enation : yn = xn + xn−N

n ∈ [0, 2N [

Exprimer Y2N [l] la Tfd d’ordre 2N de yn en fonction de XN [k]. L’indice fr´equentiel l de Y2N [l] est d´efini sur [0, 2N [. Y2N [l] = =

2N −1 X n=0 N −1 X

nl

yn e−j2π 2N

xn e

nl −j2π 2N

+

n=0

=

N −1 X

nl

xn e−j2π 2N +

n=0

=

N −1 X

2N −1 X n=N N −1 X

xp e−j2π

(p+N )l 2N

p=0

xn e

nl −j2π 2N

+e

−jπk

n=0

N −1 X

−1 ´N X n=0

xn e−j2π

· ¸ l = 1 + (−1) XN 2 £l¤ ½ 2XN 2 l pair = 0 l impair k

´

pl

xp e−j2π 2N

p=0

³ = 1 + (−1)k ³

nl

xn−N e−j2π 2N

l n2 N

6

7

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

116

La concat´enation de s´equence n’apporte aucune information dans le domaine spectral puisque les N points suppl´ementaires sont nuls.

8 1

7

0.9

6

0.8 0.7

5

0.6

4 0.5

3

0.4 0.3

2

0.2

1

0.1

0 0

0 0

5

Indices temporels

10

5

15

10

15

Indices fréquentiels

y2N

Y2N

Fig. 4.21 – Concat´enation de s´equence.

2. On construit la suite vn par ajout de 0 : ½ vn =

xn n ∈ [0, N [ 0 n ∈ [N, 2N [

Exprimer V2N [l] la Tfd d’ordre 2N de vn en fonction de XN [k].

V2N [l] = = =

2N −1 X n=0 N −1 X n=0 N −1 X

nl

vn e−j2π 2N nl

xn e−j2π 2N −j2π

xn e

l n2 N

n=0

· ¸ l = XN 2 L’ajout de valeurs nulles `a la s´equence originale nous permet d’obtenir un effet int´eressant puisque nous obtenons un spectre de longueur plus grande et que les donn´ees manquantes ont ´et´e interpol´ees `a partir des valeurs connues. 3. On construit la suite wn par interpolation d’ordre 0 : ½ wn =

x n2 pour n = 2m m ∈ [0, N [ 0 pour n = 2m + 1

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

117

1

4

0.9

3.5 0.8

3 0.7 0.6

2.5

0.5

2

0.4

1.5 0.3

1 0.2

0.5

0.1 0 0

5

Indices temporels

10

0

15

0

5

v2N

10

Indices fréquentiels

15

V2N

Fig. 4.22 – Technique du ¿ Zero-padding À. Exprimer W2N [k] la Tfd d’ordre 2N de wn en fonction de XN [k]. W2N [l] = =

2N −1 X n=0 N −1 X

nl

wn e−j2π 2N

w2p e

2pl −j2π 2N

+

p=0

=

N −1 X

N −1 X

w2p+1 e−j2π

(2p+1)l 2N

p=0 pl

xp e−j2π N

p=0

= XN [l] + XN [l − N ] Le spectre de la seconde est compos´e du spectre initial concat´en´e. 1

4

0.9

3.5

0.8 3 0.7 2.5

0.6 0.5

2

0.4

1.5

0.3 1 0.2 0.5

0.1 0

0 0

5

Indices temporels

w2N

10

15

0

5

Indices fréquentiels

10

15

W2N

Fig. 4.23 – Interpolation temporelle de degr´e 0. 4. Comparer les r´esultats des questions 1 et 3, et montrer qu’ils peuvent se d´eduire l’un de l’autre par dualit´e. Comparer ´egalement ces r´esultats `a ceux trouv´es dans le TD sur l’´echantillonnage lors de l’´etude du filtre sur-´echantillonneur (exercice ¿ Filtres non invariants À, cf. 3.5.1.3).

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

118 4.7.3.2

TFD et analyse spectrale

1. On ´echantillonne un signal xa (t) `a la fr´equence Fe = 8, 192 kHz pendant un temps T . On obtient N ´echantillons. Quelle doit ˆetre la valeur de T pour que le spectre calcul´e par Tfd calcul´e sur l’ensemble des ´echantillons comporte une raie par Hertz. la r´esolution spectrale est donn´ee par : R=

N Fe

On en d´eduit que pour une r´esolution de 1 Hz il nous faut mesurer 8192 ´echantillons. La dur´ee d’observation est d´etermin´ee par : N T = Fe soit une dur´ee de 1 seconde. 2. Le signal xa (t) est une sinuso¨ıde pure de fr´equence f1 = 1 kHz et d’amplitude A = 3. On consid`ere l’´echantillonnage id´eal th´eorique de ce signal et on appelle x [n] la s´equence sinuso¨ıdale de longueur infinie ainsi obtenue. Repr´esenter la densit´e spectrale de puissance Γx (ν) de cette s´equence. xa (t) = A sin (2πf1 t) µ ¶ f1 x [n] = A sin 2π n Fe Γx (ν) = |X (ν)|2 X x [n] exp (−j2πnν) X (ν) = n

= = = = Γx (ν) =

µ

¶ f1 A sin 2π n exp (−j2πnν) Fe n ¶ µ ¶¶ µ µ AX f1 f1 exp (−j2πnν) exp j2π n − exp −j2π n 2j n Fe Fe à µ µ ¶ ¶ X µ µ ¶ ¶! A X f1 f1 exp −j2π ν − n − exp −j2π ν + n 2j F F e e n µ nµ ¶ µ ¶¶ A f1 f1 δ ν− −δ ν+ 2j Fe Fe µ µ ¶ µ ¶¶ 2 A f1 f1 δ ν− +δ ν+ 4 Fe Fe

X

Γx (ν) A² 4

-0,5

-

f1 Fe

+

f1 Fe

f +0,5

Fig. 4.24 – Dsp du signal xa .

4.7. TRAITEMENT DU SIGNAL

119

En r´ealit´e, apr`es ´echantillonnage pendant la dur´ee T et conversion num´erique, la s´equence y [n] obtenue est de longueur finie ´egale `a N . La Dsp est estim´ee par un p´eriodogramme d’ordre N , avec une fenˆetre rectangulaire. 1. Repr´esenter l’allure de la transform´ee de Fourier X (ν) de la s´equence y [n]. En d´eduire les raies donn´ees par le p´eriodogramme sur un voisinage de f1 sachant que celui-ci est calcul´e `a l’aide d’une Tfd d’ordre N . On pr´ecisera les positions et les amplitudes exactes de ces raies. La fenˆetre rectangulaire d’observation Π est de longueur N et a pour Dsp : Π (f ) = N 2 sin2c (πf ) On constate que l’´echantillonnage fr´equentielle avec un pas de 1 Hz correspond a consid´erer tous les nœuds du sinus cardinal ainsi que son maximum localis´e en f1 dont la valeur est ´egale 2 `a A2 N 3 . 2. L’amplitude A restant constante, la fr´equence du signal xa (t) est modifi´ee pour passer `a f2 = 1, 0005 kHz. Repr´esenter alors l’allure des raies donn´ees par le p´eriodogramme sur le mˆeme voisinage de fr´equence que pr´ec´edemment. Cette modification de la fr´equence du signal sinuso¨ıdal a pour cons´equence de localiser la contribution de la fenˆetre en 10005 Hz et non plus en 1 kHz comme l’illustre la figure 4.25. 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 996 997

998

999

1000

f

1001

1002

1003

1004

1005

Fig. 4.25 – Illustration de la Tf de la fenˆetre rectangulaire d’observation localis´ee en f1 et f2 . L’´echantillonnage en fr´equence n’a quant a lui pas chang´e. On conservera les amplitudes de la Dsp aux valeurs enti`eres de fr´equences (cf. Fig. 4.25). C’est pourquoi, nous obtenons une densit´e spectrale tr`es diff´erente comme le montre la Fig. 4.26. Ce r´esultat s’explique par le fait que notre estimateur ne sait mettre en ´evidence que les signaux trigonom´etriques de fr´equence enti`ere. Ce qui n’est pas le cas de f2 , notre estimateur va nous fournir alors une approximation du spectre sous la contrainte de conservation de l’´energie. Aux voisinage de 1 kHz, on constate une sym´etrie puisque f2 est `a ´egale distance de f1 et f1 + 1.

3

Le facteur N intervient car nous n’avons pas utilis´e une fenˆetre normalis´ee en ´energie. Il aurait fallu consid´erer une fenˆetre d’amplitude de √1N et non de 1.

´ CORRECTIONS DES TRAVAUX DIRIGES

120

40 20

40

0 -20

Puissance (dB)

Puissance (dB)

30

-40 -60 -80

20

-100 10

-120 -140 -160 0

500

1000

1500 2000 2500 Fréquences (Hz)

Dsp id´ eale et r´ eelle.

3000

3500

4000

0 996

997

998

999

1000

1001

1002

1003

Fréquences (Hz)

Agrandissement au voisinage de f1 .

Fig. 4.26 – le p´eriodogramme fournit une approximation du spectre.

1004

1005