Set Theory In Mathematic (indonesia Version)

Perpustakaan Online

Ambon Memanggil Teori Himpunan Dalam Matematika Author : Victor N. Papilaya ([email protected])

PENGANTAR “Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun ini merupakan ide yang sederhana, himpunan tidak pelak merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi struktur kemungkinan himpunan, teori himpunan, sangat luas” [http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan]

Sebuah simbol dari himpunan dituliskan dengan huruf besar. Setiap element yang terdapat di dalam himpunan disebut anggota himpunan.

Dua buah himpunan

dikatakan sama jika dan hanya jika setiap anggota dari kedua himpunan tersebut sama.

DISKRIPSI HIMPUNAN Himpunan bisa dijelaskan dengan dua cara Intensional definition dan Extensional definition.

Intensional Definition Himpunan dijelaskan menggunakan penjelasan arti / makna di mana semua karateristik dipakai untuk memperjelas definisi dari himpunan. Contoh: A adalah himpunan yang anggotanya 5 (lima) bilangan integer positif yang pertama. B adalah himpunan dari warna bendera Indonesia

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 1 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

Extensional Definition Pada cara ini, himpunann dijelaskan dengan memberikan list / daftar dari semua anggota himpunan dan dituliskan di dalam tanda kurung kurawal buka & kurung kurawal tutup – braces. Contoh: A = {1,3,5,4,2} B = {merah, putih}

Yang perlu diingat, urutan penulisan anggota himpunan tidak mengikuti aturan tertentu dan penulisan ulang – repitition, dari salah satu anggota himpunan tidak diperlukan. Contoh: {1,3} = {3,1} = { 1,1,1,3,1}

Himpunan yang memiliki banyak anggota dan anggotanya mengikuti rule/persamaan matematika tertentu, misal x = x + 1, maka penulisan himpunan bisa disingkat: {1,2,3, …,1000} atau {1,2,3, …} atau F = {n2 – 4 : n adalah integer dan 0 <= n <=19} dibaca F adalah himpunan dari semua bilangan yang memenuhi bentuk n2-4 dimana n adalah bilangan 0 sampai dengan 19. Terkadang tanda titik dua - colon (“:”) diganti dengan garis vertikal – vertical bar (“|”) atau titik dua – semicolon (“;”)

MEMBERSHIP Jika sesuatu s merupakan element dari sebuah himpunan H maka dituliskan dengan s ∈ H dan jika bukan merupakan element maka dituliskan dengan s menggunakan informasi pada penjelasan sebelumnya maka: •

4 ∈ A dan 285 ∈ F (karena 285 = 172 -4)

•

9

F dan hijau

B

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 2 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

H. Dengan

CARDINALITY Cardinality dari himpunan S disimbolkan dengan |S| yang berarti jumlah anggota dari himpunan S. Sebagai contoh Warna Bendera dari Indonesia memiliki 2 warna, maka |B|=2. Di dalam teori matematika Himpunan {16,12,2007} memiliki cardinality 3.

Terdapat himpunan yang tidak memiliki anggota, cardinality-nya = 0, dan disebut dengan Empty Set / Null Set (Himpunan Kosong) dan disimbolkan dengan

.

Terdapat beberapa himpunan yang memiliki cardinality yang infinite (tidak terhingga). Sebagai contoh natural numbers (bilangan netral) memiliki infinite cardinality. Infinite cardinality juga dapat dibandingkan.

Maksudnya begini, ada himpunan yang tidak

terhingga yang lebih besar dari himpunan tak terhingga yang lain. Sebagai contoh real numbers memiliki cardinality yang lebih besar dari pada natural numbers.

SUBSET Jika semua anggota dari himpunan A adalah anggota dari himpunan B maka dikatakan A adalah subset dari B ditulis A

B. Kita juga bisa menuliskan B

A, yang berarti B

adalah adalah superset dari A atau B mengandung A. Hubungan antara dua buah himpunan menggunakan simbol

disebut inclusion.

Jika A adalah subset tetapi tidak sama dengan B, maka A disebut proper subset dari B dan ditulis dengan simbol A

B atau B proper superset dari A dan ditulis B

A.

Contoh: 1. Himpunan dari laki-laki adalah proper subset dari himpunan manusia 2. {1,3}

{1,2,3,4}

3. {1,2,3,4}

{1,2,3,4}

Catatan : Terdapat tulisan yang menganggap simbol

dan

sama, begitu juga simbol

dianggap sama Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 3 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

dan

Himpunan kosong, empty set, merupakan subset dari semua himpunan dan setiap himpunan adalah subset dari dirinya sendiri. 1.

A

2. A

A

Dua himpunan, A & B, dikatakan sama jika dan hanya jika A

B dan B

A

POWER SET Power set dari himpunan S dapat didefinisikan sebagai himpunan semua subset dari himpunan S dalam hal ini himpunan kosong juga termasuk. Jika himpunan S memiliki cardinality n maka power set dari S adalah 2n. Power set dari S dilambangkan sebagai P(S).

Sebagai contoh: S = {1,2,3} n = cardinality = 3

maka:

|P(S)| = 8 P(S) = { {1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3},

BEBERAPA HIMPUNAN PENTING - merupakan himpunan semua bilangan prima - merupakan himpunan bilangan netral. atau

– merupakan himpunan semua bilangan integer ( nol, positif dan negatif)

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 4 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

}

– Merupakan himpunan semua Bilangan Rasional. Bilangan rasional adalah semua bilangan yang bisa diekspresikan dalam bentuk berikut:

Contoh:

Karena semua bilangan integer a bisa diekspresikan dalam bentuk berikut ini:

Maka bilangan integer juga bisa dikategorikan dalam bilangan ini.

– Merupakan himpunan semua bilangan Real. Bilangan Real terdiri dari bilangan Rasional dan Irasional seperti PI dan

. Bilangan Irasional adalah bilangan yang

tidak bisa diekspresikan dalam bentuk bilangan rasional seperti yang sudah dijelaskan diatas.

– Merupakan himpunan bilangan kompleks.

Bilangan

kompleks

adalah

pengembangan dari bilangan real di mana pada bilangan ini ditambahkan imaginary unit (di dalam bahasa Indonesia biasa disebut bilangan imaginer) yang disimbolkan dalam beberapa cara sebagai berikut: 1. Dalam bidang teknik elektro (dan bidang lain yang berkaitan), imaginary unit disimbolkan dengan

untuk menghindari bentrokan dengan simbol arus listrik, i.

2. Di dalam bahasa pemrograman python juga menggunakan simbol di dalam Matlab kedua simbol

sedangkan

dan i digunakan.

3. Di dalam buku-buku tertentu kadang mendefinisikan simbol yang lain dan harus kita perhatikan, di mana mereka mendefinisikan

= -i.

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 5 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

Mengapa Harus Ada Imaginary Unit Alasan utama perlu adanya Imaginary unit adalah karena tidak semua polynomial equation dengan bentuk f(x) = 0, memiliki solusi dalam bilangan real. Sebagai contoh x2 + 1 = 0 tidak memiliki solusi dalam bilangan real. Di dalam matematika polynomial equation adalah pernyataan matematika dengan panjang terhingga yang dibentuk dari variabel, konstanta, dan menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan konstanta non-negatif (bilangan positif dan nol) yang bukan berupa pecahan untuk pangkat. Sebagai contoh: x2 − 4x + 7


polynomial

x2 − 4/x + 7x3/2 terdapat


bukan polynomial karena pada bagian kedua

pembagian

dengan

variabel

x

dan

pada

bagian

ketiga

terdapat eksponensial yang berupa pecahan.

OPERASI DASAR HIMPUNAN

UNION Terdapat beberapa cara untuk membentuk himpunan yang baru. Salah satunya adalah dengan Union. Di dalam operasi ini, dua buah himpunan dapat di “jumlahkan”. A union B ditulis sebagai A

B yang berarti himpunan dari anggota A maupun B.

Contoh: {1,2}

{merah, putih}

{1,2,hijau} {1,2}

= {1,2,merah,putih}

{merah, putih, hijau} = {1,2, merah, putih, hijau}

{1,2} = {1,2}

Beberapa operasi dasar dari Union A

B = B

A

A

(B

C) = (A

A

(A

B)

B)

C

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 6 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

A

A = A

A

= A

A

B jika dan hanya jika A

Ilustrasi A

B = B

B dalam gambar

INTERSECTION Himpunan yang baru bisa juga dibentuk dengan menentukan anggota mana dari dua buah himpunan yang terdapat pada kedua himpunan tersebut. A intersection B ditulis sebagai A

B yang berarti himpunan dari semua anggota yang terdapat di A dan juga

di B. Jika A

B=

maka himpunan A dan B dikatakan disjoint.

Contoh: {1,2}

{merah, putih}

{1,2,hijau} {1,2}

=

{merah, putih, hijau} = {hijau}

{1,2} = {1,2}

Beberapa Operasi Dasar Dari Intersection: A

B = B

A

(B

A

B

A

A = A

A C) = (A

B)

C

A

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 7 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

A A

= B jika dan hanya jika A

Ilustrasi A

B = A

B Dalam Gambar

COMPLEMENT Dua buah himpunan juga dapat di “kurangi”. Complement dari A di B ditulis dengan: B \ A

atau B – A


berarti himpunan dari anggota B yang bukan anggota A Dengan dasar bahwa semua himpunan merupakan himpunan bagian dari sebuah universal set U maka U \ A disebut complement dari A dan disimbolkan A’.

Contoh: {1,2}

\ {merah, putih}

= {1,2}

{1,2,hijau} \ {merah, putih, hijau} = {1,2} {1,2} \ {1,2} = {1, 2, 3, 4} \ {2, 3} = {1, 4} Jika X adalah himpunan dari bilangan integer, E adalah himpunan dari bilangan genap dan G adalah himpunan bilangan ganjil maka E \ X = G atau E’ = G

Beberapa Operasi Dasar Complement

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 8 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

A A

A’ = U A’ =

(A’)’ = A A \ A = U’ =

dan

A \ B = A

’ = U B’

Ilustrasi Gambar B \ A

Ilustrasi Gambar U \ A

CARTESIAN PRODUCT Himpunan yang baru dapat juga dibentuk dengan menghubungkan setiap anggota dari sebuah himpunan dengan setiap anggota dari himpunan yang lain. Jika terdapat dua Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 9 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com

buah himpunan A dan B, maka cartesian product dari kedua himpunan tersebut adalah A x B yang berarti himpunan semua pasangan (x, y) di mana x adalah anggota dari A dan y adalah anggota dari B. Contoh: {1,2}

x

{merah,

putih}

=

{

(1,merah),

(1,putih),

(2,merah),

(2,putih) } {1,2,hijau} x {merah, putih, hijau} = { (1,merah), (1,putih), (1,hijau),

(2,merah),

(2,putih),

(2,hijau),

(hijau,merah),

(hijau,putih), (hijau,hijau) } {1,2} x {1,2} = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }

Beberapa Operasi Dasar Cartesian Product Ax A x (B (A

= C) = (A x B)

(A x C)

B) x C = (A x C)

(B x C)

Jika A dan B adalah himpunan berhingga – finite sets maka |A x B| = |B x A| = |A| x |B|

Referensi Utama: Wikipedia – http://en.wikipedia.org/wiki/Set_(mathematics)

Teori Himpunan Dalam Matematika (Page 10 of 10) Author: Victor N. Papilaya Powered By: uksw.edu, uni-due.de/ise, daad.de and ambonmemanggil.blogspot.com