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Matemática y Lógica

SESIÓN No 01 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1 Ecuación de Primer Grado: Son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 1. Las ecuaciones de primer grado pueden ser de una o más variables. Por ejemplo:

4 x  2  10 (una var iable)

2 x  y  5 (dos var iables) 4 x  2 y  14

Raíz de una ecuación Es el valor que satisface la ecuación, es decir cumple con la igualdad. . Conjunto Solución Formado por todas las raíces de la ecuación

Ejemplos de ecuaciones de primer grado con una variable 3x + 1 = x - 2 1 - 3x = 2x - 9 x-3=2+x

Ing. Julio Núñez Cheng

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Resolución de Ecuaciones de primer grado El procedimiento es: a. Eliminar los denominadores, hallando el mínimo común múltiplo, si tuviera la ecuación. b. Efectuar las operaciones indicadas. c. Realizar la transposición de términos, los que tengan variables al primer miembro de la ecuación y los números al segundo miembro. d. Los términos que pasan de un miembro de la ecuación al otro, deben cambiar de signo. e. Reducir términos semejantes y despejar la incógnita. Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la ecuación:

5( x  4)  3 x  7  2( x  2)  3( x  1)  2 Efectuando operaciones : 5 x  20  3 x  7  2 x  4  3 x  3  2 Transposición de t ér min os : 5 x  3 x  2 x  3 x  4  3  2  20  7 9 x  36 x

36 4 9

Luego : CS  4

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO COMÚN MÚLTIPLO De dos o más expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Así, 8ab es común múltiplo de 2a y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2a y por 4ab.

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO De dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Así, el m.c.m. es de 4a y 6a es 12a. El m.c.m. de 2x, 6x y 9x es 18x. M.C.M. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS. REGLA: Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos, el m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente. a.Hallar el m.c.m. de:

6, 3x −3

Descomponiendo:

6 = 2. 3

3x−3 = 3 (x−1)

m.c.m. = 2.3 (x−1) = 6 (x−1) b.Hallar el m.c.m. de:

14a, 7x−21

Descomponiendo:

14a = 2. 7a

7x−21=7(x−3)

El m.c.m. = 2.7.a (x−3) = 14a (x−3) c.Hallar el m.c.m. de:

15x, 10x + 5x, 45x

Descomponiendo : 15 x  3.5 x 10 x 2  5 x  5 x (2 x  1) 45 x  32.5 x El m.c.m.  32.5 x (2 x  1)  45 x(2 x  1) Es importante que el estudiante revise los principales casos de factorización.

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d. Hallar el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas:

x 2  16, ( x  4) 2

x  4, 2 x  8

Descomponiendo : x 2  16  ( x  4)( x  4) ( x  4) 2  ( x  4) 2 x  4  ( x  4) 2 x  8  2( x  4) El m.c.m.  2( x  4) 2 ( x  4) La teoría del m.c.m. es de suma importancia para resolver ecuaciones. Hallar el conjunto solución de la ecuación:

x 1 x  3 1 2x2   2 2 x3 x3 x 9 Los tér m in os del deno m in ador se descomponen : x  3  ( x  3) x  3  ( x  3) x 2  9  ( x  3)( x  3) El m .cm . es  ( x  3)( x  3) Dividiendo el m.c.m. por cada término del denominador y multiplicando el cociente por cada término del numerador se obtiene:

( x  3)( x  1)  ( x  3)( x  3)  2( x  3)( x  3)  1  2 x 2 x 2  4 x  3  ( x 2  6 x  9)  2 x 2  18  1  2 x 2 x 2  4 x  3  x 2  6 x  9  2 x 2  18  1  2 x 2 Simplificando : 10 x  6  17  10 x  11 x

11 11  10 10

Representa el conjunto solución de la ecuación.

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Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas.

Por ejemplo: El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano? Sea: x = edad del hermano menor. x + 3: edad del hermano mediano x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor Ecuación: Suma de las edades de los hermanos = 40 x + x+3 + x+7 = 40, Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es: Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años. Resolver los problemas

1. En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor? (Sol: 12, 24, 108). 2. Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4). 3. El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m). 4. A un baile asistieron 60 parejas, cada dama pagó los 2/3 de lo que pagó cada caballero. Si cada caballero pagó 30 soles y el monto recaudado fue de 1600 soles. ¿Cuántos caballeros y damas asistieron al baile? (Sol: 20 damas y 40 caballeros).

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AUTOEVALUACIÓN Resolver las ecuaciones:

a. (x + 2) (x - 5) = x2 + 7x – 50 Su Conjunto Solución {4}

b. ( x  2)2  (3  x)2  1 2x 1 c.  2 x 1 x  1 x2 3 2x d. 2   x  4 x  2 2x  4 e. (5x 1)(2 x  3)  17  (10x 1)( x  6) f . ( x 1)3  ( x 1)3  6x(x  3) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del discriminante

:



Si , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:



Si , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica ), pues:

y las soluciones son:

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Una ecuación de segundo grado, se resuelve aplicando factorización, cuando la ecuación sea rápidamente factorizable o mediante la fórmula general.

Por ejemplo resolver la ecuación por factorización:

x2  5x  6  0 Factorizando : ( x  3)( x  2)  0 x3  0 x2  0 x1  3 x2  2 Resolver la ecuación aplicando la Fórmula general:

x 2  2 x  15  0 x x

b  2

b 2  4 ac 2a 2 2  4(1)(  15) 2(1)

4  60 2 2  64 28 x  2 2 x1  5 x 2   3 x

2

Tener presente que el coeficiente de b cambia de signo al aplicar la fórmula general.

Métodos de Resolución 1) Factorización.- Según la regla del aspa simple, se iguala cada factor a cero. 2) Fórmula.- Se sustituye el valor numérico de los coeficientes en la fórmula: Ecuación Completa Ecuación Incompleta Ecuación Incompleta 2 2 ax + b x + c = 0 ax + b x = 0 ax 2 + c = 0

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Resolver las ecuaciones:

1. (x + 6) (x - 6) = 13 2. (x + 11) (x - 11) = 23 3. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 4. (4x - 1) (2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

1 1 1 1    x  6 x 1 2x x x x2 5 6.   x2 x 2

5.

7.

x6

x2  4

Problema La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 166. Hallar dichos números.

Sea : x : Pr imer Número ( x  1) : Segundo entero con sec utivo. ( x  2) : Tercer entero con sec utivo. Luego : x 2  ( x  1)2  ( x  2)2  194 Efectuando operaciones y simplificando : 3 x 2  6 x  189  0 Re solviendo la ecuación : x  7 x 1  8 x  2  9

Fin de la sesión

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