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SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA Mag. Enrique Díaz Rubio

SESIÓN 01,02,03 Mag. Enrique Díaz Rubio

Introducción y conceptos fundamentales SEP monofásicos y trifásicos. Cálculo de potencias en SEP Modelos admitancia, impedancia para el análisis en estado estacionario.

ALTO VOLTAJE

MUY ALTO VOLTAJE

500/220KV VOLTIOS

60/33KV VOLTIOS

BAJO VOLTAJE

22,9KV/13.2 KV VOLTIOS

220/380 VOLTIOS

S.E.D

C.G

S.E.P

Zona Residencial/ comercial

S.E.T

Zona Industrial

Como Llega la Energía Eléctrica a nivel Residencial/comercial

CORRIENTE TRIFASICA (circula por 3 conductores)

R

S

T

CORRIENTE MONOFASICA (circula por 2 conductores)

I.

CONCEPTOS BASICOS DE CIRCUITOS ELECTRICOS MONOFASICO Y TRIFASICO 1.1. FASORES Una tensión sinusoidal o corriente de frecuencia constante se caracteriza por dos parámetros:  Un valor máximo  Un ángulo de fase

v(t )  vmax cos(t   ) Tiene un valor máximo VMáx y un ángulo de fase δ cuando se refiere a cos (ωt). El valor de la raíz cuadrática media (rms), también llamado valor eficaz, de la tensión sinusoidales :

V

vmax 2

Se puede utilizar la identidad de Euler:

e j  cos  jsen 

Para expresar una senoide en términos de un fasor. Para la tensión antes dada,



v(t )  Re Vmaxe j (t  )



   

v(t )  Re 2V e j e jt

En donde y Re quiere decir “parte real de”. La representación fasorial rms de la tensión se da en tres formas (exponencial, polar y rectangular):

V  Ve j  V /   V cos  jVsen

Exponencial

Polar

Rectangular

1.2. POTENCIA INSTANTANEA EN CIRCUITOS MONOFASICOS DE C.A.

La potencia es la razón de cambio de la energía con respecto al tiempo. La unidad de potencia es el watt, que es igual a un joule por segundo. Suponga que la tensión en la carga es:

v(t )  Vmax cos(t   ) CARGA PURAMENTE RESISTIVA Supongamos que la corriente de la carga resistiva es:

i (t )  iR max cos(t   ) En donde:

iR max 

Vmax R

La potencia absorbida por el resistor:

PR (t )  v(t )iR (t )  Vmaximax cos2 (t   )

PR (t )  VI R 1  cos2t    Watt

Valor Promedio

CARGA PURAMENTE INDUCTIVA Ahora supongamos una carga inductiva, la corriente de la carga va atrás de la tensión en 90º :

iL (t )  imax cos(t    90 º ) En donde:

X L  L iL max 

Vmax XL

La potencia absorbida por el inductor es:

PL (t )  v(t )iL (t )  VmaxiL max cos(t   ) cos(t    90 º )

PL (t )  VI L sen2(t   )VAR CARGA PURAMENTE CAPACITIVA Ahora supongamos una carga capacitiva la corriente de la carga va adelante de la tensión en 90º :

iL (t )  imax cos(t    90 º )

En donde:

XC 

1 C

iC max 

Vmax XC

La potencia absorbida por el capacitor es:

PC (t )  v(t )iC (t )  VmaxiC max cos(t   ) cos(t    90 º ) PC (t )  VIC sen2(t   )VAR CARGA RLC GENERAL Ahora supongamos una carga RLC, la corriente de la carga puede ir adelante o en atraso con la tensión dependiendo de los valores de la reactancia inductiva o capacitiva:

iL (t )  imax cos(t   ) La potencia instantánea absorbida por la carga RLC es:

P(t )  V (t )i (t )  Vmaximax cos(t   ) cos(t   )

P(t )  VI  VI cos(   ) cos2(t   ) VIsen(   )sen2(t   ) 1.3. POTENCIA POTENCIA REAL La potencia instantánea PR(t) absorbida por la componente resistiva de la carga es una sinusoide doble con valor promedio P dado por:

P(t )  VI R  VI cos(   ) watt

POTENCIA REACTIVA La potencia instantánea por la parte reactiva de la carga, dada por la componente QX(t):

Q(t )  VI X  VIsen(   ) var POTENCIA COMPLEJA Para los circuitos que operan en estado estacionario sinusoidal, las potencia real y reactiva se calcula convenientemente a partir de la potencia compleja, la cual se define como; sea :

I  I /

V V / Entonces la potencia compleja es:

S  VI *  V /  I /    VI /    *

S  VI cos(   )  jVIsen(   )

1.4. ECUACIONES DE REDES Para los circuitos que operan en el estado estacionario sinusoidal, se pueden aplicar la ley de las corrientes (LCK) y la ley de las tensiones (LTK) de Kirchhoff a las corrientes y tensiones fasoriales. Las ecuaciones nodales se escriben en los tres pasos siguientes: PASO 1 Para un circuito con (N+1) nodos, seleccione un bus como el de referencia y defina las tensiones en los nodos restantes con respecto a otro.

El circuito de la figura tiene cuatro nodos; es decir N+1 = 4, o bien, N = 3. Se selecciona el bus 0 como el de referencia y entonces se definen las tensiones V10, V20, V30 de los nodos con respecto a este bus 0.

PASO 2 Transforme cada fuente de tensión en serie con una impedancia en una fuente equivalente de corriente en paralelo con esa impedancia. Así mismo, muestre los valores de las admitancias, en lugar de los de las impedancias, en el diagrama del circuito.

En la figura se muestra las fuentes equivalentes de corrientes I1, I2 y I3, y todas las impedancias se han convertido a las admitancias correspondientes. PASO 3 Escriba las ecuaciones nodales en forma matricial, como sigue:

Usando la notación matricial, queda como sigue:

YV  I Los elementos Ykn de la matriz Y de admitancias nodal se forma como sigue: Elementos diagonal:

Elementos fuera de la diagonal:

Ykk = suma de las admitancias conectadas al nodo k. (k = 1,2,………………N) – “AUTOADMITANCIA O ADMITANCION DE EXCITACION

Ykn = suma de las admitancias conectadas los nodos k y n. (k ≠n) – “ADMITANCIA MUTUA O ADMITANCION DE TRANSFERENCIA

Para el circuito de la figura la ecuación queda así:

1.5. CIRCUITOS TRIFASICOS BALANCEADOS CONEXIONES EN ESTRELLA BALANCEADA Esta referido a una fuente trifásica de tensión en estrella que alimenta una carga conectada en estrella balanceada. La conexión del neutro de la fuente de tensión se le llama nodo “n” y a la conexión de la carga se le llama conexión “N”.

Se supone que la fuente trifásica es ideal ya que se desprecian las impedancias de la propia fuente. También se desprecian las impedancias de las líneas entre la fuente y los terminales de la carga y la impedancia del neutro entre buses n y N. TENSIONES BALANCEADA LINEA A NEUTRO Los nodos terminales de la fuente trifásica se identifica como a, b y c, y las tensiones línea a neutro de la fuente se señalan como Ean, Ebn y Ecn. Se considera que la fuente esta balanceada cuando esta tensiones tienen magnitudes iguales y una diferencia en fase de 120º igual, entre dos fases cualesquiera. Considerando una fuente de tensión en donde la magnitud de la tensión de línea a neutro es de 10 Voltios, tenemos: Ecn = 10 / 120

120º

Ebn = 10 / -120

Ean = 10 / 0

TENSIONES BALANCEADA LINEA A LINEA

Las tensiones Ean, Ebn y Ecn entre fases se llaman tensiones de línea a línea. Si se escribe la ecuación de la LTK para una trayectoria cerrada alrededor de los buses a, b y n de la figura.

Considerando el mismo valor de la tensión de línea a neutro las ecuaciones que se formula quedaría de la siguiente manera:  3  j1    1  j3    3 10  j30  Eab  10 / 0  10 /  120  10  10   3 (10)    2   2 

De manera análoga, para Ebc y Eca, quedando expresado las tensiones entre líneas de la siguiente manera: Eab  10 / 30º Ebc  10 /  90º Eca  10 / 150 º

De donde se puede deducir Eab  3Ean Ebc  3Ebn Eca  3Ecn

Ebc

Ebn

E ab E ab E an

Ebn E an

Eca Ecn

Ebc

Ecn

Eca

CORRIENTES BALANCEADA DE LINEA Dado que se desprecia la impedancia entre la fuente y los neutros de la carga de la figura , los nodos n y N se encuentran al mismo potencial, Ean = 0.

En consecuencia, se puede escribir una ecuación de la LTK separada para cada fase y, por inspección, se pueden escribir las corrientes de línea: Ia 

Ean ZY

Ib 

Ebn ZY

Ic 

Ecn ZY

La corriente del neutro, In, se determina al escribir la ecuación LCK en el bus N de la figura. I n  I a  Ib  Ic  0

CORRIENTES BALANCEADA DE LINEA Se trata una fuente trifásica conectada en estrella que alimenta una carga en delta balanceada. Para esta conexión en delta balanceada, las impedancias ZΔ iguales de la carga se conectan en un triangulo cuyos vértices los forman los nodos, designados A, B y C en la figura La conexión en delta no tiene neutro

Puesto que se desprecia las impedancias de la línea, las tensiones de línea en línea de las fuente son iguales a las tensiones línea a línea de la carga, y las corrientes en la carga delta Iab, Ibc y Ica, son: I ab 

Eab Z

I bc 

Ebc Z

I ca 

Eca Z

Determinando las ecuaciones de línea escribiendo una ecuación LCK en cada nodo de la carga en delta, como sigue:

I a  3I ab /  30 º

I b  3I bc /  30º

I c  3I ca /  30º

CONVERSION DE DELTA A ESTRELLA PARA CARGAS Si se aplican cargas balanceadas, entonces estas cargas serán equivalentes, según se ven desde sus nodos terminales A, B y C, cuando las corrientes de línea de carga en delta son las mismas que las corrientes de línea en la carga estrella

Entonces tenemos: I a  3I ab /  30 º 

Para la carga estrella Ia º 

3Eab /  30 º Z

3Ean Eab /  30º  ZY 3Z Y

La comparación de las ecuaciones anteriores indica Ia será la misma tanto para la carga delta como en estrella cuando ZY 

Z 3

DIAGRAMAS EQUIVALENTES DE LINEA A NEUTRO Con circuitos trifásicos balanceados, sólo es necesario analizar una fase. Las cargas en delta se pueden convertir en cargas en estrella y se puede conectar todos los neutros de la fuente y la carga de un conductor neutro de cero ohms, sin que cambie la solución.

1.6. POTENCIA EN LOS CIRCUITOS TRIFASICOS BALANCEADOS

POTENCIA INSTANTANEA : GENERADORES TRIFASICOS BALANCEADOS En la figura se muestra un generador conectado en estrella, representado por tres fuentes de tensión con sus neutros conectados en el nodo n y por tres impedancias idénticas Zg del generador.

Suponga que el generador está operando bajo condiciones balanceadas de estado estacionario, con la tensión instantánea en los terminales del generador dada por: Van (t )  2V LNcos(t   ) Voltios

y con la corriente instantánea que sale del terminal positiva de la fase a dada por: I a (t )  2 I Lcos(t   ) Amperios

La potencia instantánea Pa(t) entregada por la fase a del generador es: Pa (t ) V LNI L cos(   ) V LNI L cos(t     ) Watts

De la misma forma se calcula Pb(t) y Pc(t), las cuales quedan de la siguientes forma: Pb (t ) V LNI L cos(   ) V LNI L cos(t      240 o ) Watts Pc (t ) V LNI L cos(   ) V LNI L cos(t      240 o ) Watts

La potencia instantánea total P3Ф(t) entregada por el generador trifásico es la suma de las potencias instantáneas entregadas por cada fase. P3 (t )  Pa (t )  Pb (t )  Pc (t ) P3 (t )  3V LNI L cos(   ) Watts

Si se sabe que: VLN 

VLL 3

Por lo tanto: P3 (t )  3V LLI L cos(   ) Watts

En conclusión la potencia instantánea total entregada por un generador trifásico bajo condiciones balanceadas de operación no es función del tiempo, sino una constante, P3Ф(t) = P3Ф POTENCIA INSTANTANEA: MOTORES TRIFASICOS Y CARGAS DE IMPEDANCIA BALANCEADOS La potencia instantánea total absorbida por un motor trifásico bajo condiciones balanceadas de estado estacionario también es una constante. Se supone que en los motores y las cargas absorbe potencia, entonces se invierten las corrientes en línea para que entren en lugar de salir de las terminales positivas.

Entonces las ecuaciones anteriores deducidas son válidas para la potencia entregada por un generador, también son validas para la potencia absorbida por un motor o carga trifásica balanceada. POTENCIA COMPLEJA: GENERADORES TRIFASICOS BALANCEADOS Las representaciones fasoriales de la tensión y la corriente , son los siguientes: Van  VLN /  Voltios I a  I L /  Amperios

En donde Ia sale de la terminal positiva “a” del generador. La potencia complejas entregadas por las fases b y c son idénticas Sb entregadas por la fase a del generador es: Sa  Van I a*  VLN I L /    KVA S a  VLN I L cos(   )  jVLN I L sen(   ) KVA

Bajo condiciones balanceadas de operación, las potencias complejas entregadas por las fases b y c son idénticas a la Sa y la potencia compleja S3Φ entregada por el generador es: S3  3VLN I L /    KVA S3  3VLN I L cos(   )  j3VLN I L sen(   ) KVA

En términos de la potencia total totales , real y reactiva S3  ( P3  Q3 ) KVA

De donde:

P3  Re(S3 )  3VLN I L cos(   )  3VLL I Lcos( -  ) Watts Q3  Im( S3 )  3VLN I L sen(   )  3VLL I Lsen( -  ) VAR

Así mismo S3  S3  3VLN I L  3VLL I L VA

POTENCIA COMPLEJA: MOTORES TRIFASICOS BALANCEADOS Las expresiones antes dadas para las potencias compleja real, reactiva y aparente entregadas por un generador trifásico también son validas para la potencia real, aparente y reactiva absorbida por un motor. POTENCIA COMPLEJA: CARGAS DE IMPEDANCIAS EN ESTRELLA BALANCEADA Y EN DELTA BALANCEADA Para una carga en delta balanceada, la tensión de línea a línea a través de la impedancia de la carga de la fase a – b y la corriente que entra en el terminal positiva de esa impedancia se puede representar por: Vab  VLL /  Voltios I ab  I  /  Amperios

En donde VLL es la tensión ros de línea a línea e IΔ es la corriente rms de la carga en delta. La potencia compleja Sab absorbida por la impedancia de la carga de la fase a – b es entonces: S ab  3VAB I AB  VLL I  /    KVA

La potencia compleja total absorbida por la carga en delta es: S3  Sab  Sbc  Sca  3Sab KVA S3  3VLL I  / -  KVA S3  3VLL I  cos ( -  )  j3VLL I  sen( -  ) KVA

Escribiendo la ecuación en términos de la potencia real total y reactiva. S3  P3  Q3 KVA P3  ReS3   3VLL I  cos     3VLL I L cos    KW Q3  Im( S3 )  3VLL I  sen     3VLL I L sen    KVAR

En donde la corriente de la carga en delta IΔ se expresa en términos de corriente de línea: I L  3I 

Por lo tanto la apariencia aparente es: S3  S3  3VLL I   3VLLI L KVA

Representación de los sistemas eléctricos de potencia Diagramas unifilares Valores por unidad. Aplicaciones industriales.

1.7. DIAGRAMAS UNIFILARES Los diagramas unifilares representan todas las partes que componen a un sistema de potencia de modo gráfico, completo, tomando en cuenta las conexiones que hay entre ellos, para lograr así la forma una visualización completa del sistema de la forma más sencilla. Ya que un sistema trifásico balanceado siempre se resuelve como un circuito equivalente monofásico, o por fase, compuesto de una de las tres líneas y un neutro de retorno, es rara vez necesario mostrar más de una fase y el neutro de retorno cuando se dibuja un diagrama del circuito.

http://www.osinergminorienta.gob.pe/en/web/rcc/diagramas-unifilares

DIAGRAMA DE IMPEDANCIA Y REACTANCIA

El diagrama unifilar se usa para dibujar el circuito equivalente monofásico o por fase del sistema, con el fin de evaluar el comportamiento de éste bajo condiciones de carga o durante la ocurrencia de una falta. En una figura se combina los circuitos equivalentes de los diferentes componentes que se muestran en la figura anterior para formar el diagrama de impedancias monofásico del sistema. Si se realiza un estudio de cargas, las cargas en atraso A y B se representan por una resistencia y una reactancia inductiva en serie. El diagrama de impedancias no incluye las impedancias limitadoras de corriente, mostradas en el diagrama unifilar entre los neutros de los generadores y la tierra, porque no fluye corriente a tierra en condiciones balanceadas y los neutros de los generadores están al mismo potencial que el del sistema. Debido a que la corriente de magnetización de un transformador es, por lo general, insignificante con respecto a la corriente de plena carga, el circuito equivalente del transformador omite con frecuencia la rama de admitancia en paralelo.

1.8 VALORES POR UNIDAD La tensión, la corriente, los KV y la impedancia de un circuito se expresa frecuentemente en por ciento o por unidad de un valor base o de referencia que se elige para cada una de las magnitudes. Se define el valor unidad de la siguiente manera. Valor p.u. 

Valor Re al Especificaciones Re ales o Experimentales  Valor Base Especificaciones del Texto

EJEMPLO Sean los valores de tensión dados de 108, 120 y 126 KV. Se desea determinar los valores por unidad de estas tensiones, asumiendo como valor base o de referencia el de 120 KV De acuerdo a lo indicado se tiene: V1 = (108KV/120KV) = 0.90 p.u. V2 = (120KV/120KV) = 1.00 p.u. V3 = (126KV/120KV) = 1.05 p.u. Es decir, el valor por unidad de una magnitud cualquiera se define como la razón o el cociente de su valor expresado como un decimal. El valor porciento se define como el que es igual a 100 veces el valor por unidad, es decir:

Valor por ciento 

Valor Dado x100 Valor Base

Según esto, en el caso anterior se tendrán los valores de 90%, 100% y 105% respectivamente para los valores de 108, 120 y 126 KV dados. Los métodos de cálculos que utilizan los valores por unidad o por ciento son mucho más sencillos que usando los valores reales en amperios, ohmios y voltios. Las tensiones, corrientes, KVA y reactancias, están relacionadas entre sí de tal forma, que la elección de valores base para dos cualquiera de ellas determina los valores base de las otras dos. Las diversas magnitudes por las fórmulas siguientes:

Corriente base en amperios  Im pedancia base en amperios 

KVA base Tensión base en KV

Tension base en Voltios Corriente base en Amperios

 Tension base en KV  2 x1000 Im pedancia base en amperios  KVA base

 Tension base en KV  2 Im pedancia base en amperios  MVA base

Potencia base en KW  Potencia base KVA Potencia base en MW  Potencia base MVA

Impedancia por unidad de un elemento de un circuito 

Impedancia real en ohmios Impedancia base en ohmios

Como los circuitos trifásicos se resuelven como la línea simple con neutro de retorno, las base para las magnitudes del diagrama de impedancias son KVA por fase y KV de línea a neutro. Los datos se dan normalmente como KVA totales trifásicos o MVA y KV entre líneas. La impedancia base y la corriente base pueden calcularse directamente a partir de los valores trifásicos base en KV y KVA. Si interpretamos que los KVA base y la tensión base en KV son los totales de las tres fases y la tensión base, de línea, tendremos:

Corriente base en amperios 

KVA base x100 3Tensión base en KV

Im pedancia base en amperios 

Tension base en Voltios Corriente base en Amperios

Tension base en KV/ 3  Im pedancia base en amperios 

2

x1000

KVA base/3

 Tension base en KV  2 x1000 Im pedancia base en amperios  KVA base

 Tension base en KV  2 Im pedancia base en amperios  MVA base

1.8. CAMBIO DE BASE Algunas veces la impedancia por unidad de un componente de un sistema se expresa sobre una base distinta que la seleccionada como base para la parte del sistema en la cual está situado dicho componente.

Dado que todas las impedancias de cualquier parte del sistema tienen que ser expresados respecto a la misma impedancias de cualquier parte del sistema tiene que ser expresadas respecto a la misma impedancia base, al hacer los cálculos, es preciso tener un medio para pasar las impedancias por unidad de una base a otra base expresados respecto a la misma impedancias de cualquier parte del sistema tiene que ser expresadas respecto a la misma impedancia base, al hacer los cálculos, es preciso tener un medio para pasar las impedancias por unidad de una base a otra base

Impedancia por unidad de un elemento de un circuito 

Impedancia real en ohmios x KVA base Tensión base2 x1000 2

Znueva p.u

 KV dados base   KVA nueva base   Zdado p.u      KV nueva base   KVA dadas base 

1.9. SELECCIÓN DE LA BASE PARA LOS VALORES POR UNIDAD La base elegida debe ser tal que lleve a valores por unidad de la tensión y corriente de régimen, aproximadamente iguales a la unidad, de forma que se simplifique el cálculo. Se ahorrará mucho tiempo si la base se selecciona de forma que pocas magnitudes, por unidad, ya conocidas, tengan que convertirse a una base Cuando un fabricante da la resistencia y la reactancia de un aparato en ciento por unidad, se sobreentiende que las bases son valores de KVA y KV nominales del aparato

Como los motores, normalmente, se especifican por los valores nominales de caballos de vapor y tensión en KVA nominales pueden determinarse solamente si se conocen el rendimiento y el factor de potencia. Si no se cuenta con esta información, pueden utilizarse las relaciones deducidas para los valores medios de cada tipo particular de un motor.

Motor de Inducción:

KVA = Caballo de Vapor Motor Síncronos: Con factor de potencia 1.0 KVA = 0.85 x Caballo de Vapor Con factor de potencia 0.8 KVA = 1.10 x Caballo de Vapor

Los valores de la resistencia óhmica y de la resistencia de perdida de un transformador dependen, de que se miden en el lado de alta o baja tensión del transformador. Pero si estas resistencia y reactancia estuvieran expresados en valores de por unidad será la misma ya sea para el lado de alta tensión o de baja tensión. Tal como se demuestra: Si tenemos:

ZHT

: Impedancia referida al lado de alta tensión del transformador

ZLT

: Impedancia referida al lado de baja tensión del transformador

KVL

: Tensión nominal del transformador en baja tensión

KVH

: Tensión nominal del transformador en alta tensión

KVA

= KVA nominales del transformador

Entonces: Z LT

 KVL   KV H 

2

   xZ HT 

2

Z LT

 KVL    KV   xZ HT xKVA H   KVL 2 X 1000

Z LT en por unidad 

Z HT xKVA en por unidad KVH 2 X 1000

Z LT en por unidad  Z HT en por unidad

II.

TRANSFORMADORES 2.1. TRANSFORMADOR IDEAL Es una maquina que se encarga de TRANSFORMAR la tensión de corriente alterna que tiene a la entrada en otra diferente salida. Para el caso de un Transformador Ideal es el mismo tipo de maquina pero se considera que no tiene perdida. Un transformador ideal se encuentra constituido por una bobina de entrada y una bobina de salida.

2.2. SUPUESTO PARA UN TRANSFORMADOR IDEAL a) Los devanados tiene resistencia cero; por tanto, las pérdidas I2R en el devanado son cero. b) La permeabilidad del núcleo µc es infinita, lo cual corresponde a una reluctancia cero del núcleo. c) No hay flujo de dispersión; es decir, el flujo es completo Фc está confinado al núcleo enlaza los dos devanados. d) No hay perdidas en el núcleo. Haciendo una representación devanados , tendremos:

esquemática

de

un

transformador

de

dos

Aplicando la ley de Ampere y Faraday con los supuestos anteriormente mencionado podemos deducir las siguientes relaciones de un transformador ideal.

H

t an

dl  iencerrada

Si selecciona la línea central del núcleo, y si Hc es constante a lo largo de la trayectoria, así como tangente a la misma, entonces: H c I c  N1 I1  N 2 I 2

Para una permeabilidad µc constante del núcleo, la densidad del flujo magnético Bc dentro de éste, también constante, es: Bc  c H c Wb / m2

y el flujo en el núcleo

c  Bc Ac Wb Reemplazando N1 I1  N 2 I 2 

I c Bc

c

 Ic     c Ac

Si se define la reluctancia se del núcleo Rc como Rc 

Ic  c Ac

Reemplazando, la ecuación quedaría como: N1 I1  N 2 I 2  Rcc

 c 

Para un transformador ideal se tiene que µc, se supone que es infinita, lo cual hace que Rc es cero, quedando la expresión de la siguiente forma: N1I1  N 2 I 2

En la práctica, los devanados y núcleos de los transformadores de potencia están contenidos dentro de recipientes y las direcciones de los devanados no son visibles. Una forma de transmitir la información de los devanados es colocar un punto en uno de los extremos de cada uno de ellos de tal forma que cuando la corriente entra a un devanado en el punto, produce una f.e.m. que actúa en la misma dirección, las cuales son conocidas como marca de clase o marcas de polaridad. La ley de Faraday establece que la tensión e(t) inducida a través de un devanado de N vueltas por un flujo Φ(t) variable con el tiempo que enlaza el devanado:   (t )  e(t )  N    t 

Suponiendo un flujo sinusoidal de estado estacionario con frecuencia constante ω y n representado e(t) y Φ(t) por sus factores E y Φ, queda así: E  N ( j )

Para un transformador ideal, se supone que todo el flujo queda confinado al núcleo, enlazando los dos devanados. Con base en la ley de Faraday, las tensiones inducidas a través de los devanados de la figura anterior son:: E1  N1 ( j ) c

E2  N 2 ( j ) c

Dividiendo las expresiones anteriores, resulta: E1 N  1 E2 N2

ó

E1 E  2 N1 N2

Los puntos que se muestran en la figura anterior indican que las tensiones E1 y E2, las cuales tiene sus polaridades + en los terminales con punto, están en fase. Si se invirtiera la polaridad elegida para una de las tensiones de la figura anterior, entonces

La relación de vueltas at, se define como sigue: at 

N1 N2

Si reemplazamos el valor de at en lugar de N1/N2, las relaciones básicas para un transformador monofásico ideal de dos devanados son:

N  E1   1  E2  at E2  N2 

N  I I1   2  I 2  2 at  N1 

De las ecuaciones anteriores se pueden deducir dos relaciones adicionales referentes a la potencia y la impedancia complejas, como se indica en seguida. La potencia compleja que entra en el devanado 1 de la figura anterior es: S1  E1 I1* *

 I2  * S1  E I  at E2  a    E2 I 2  S 2  t  Como se muestra en la ecuación anterior la potencia compleja S1 que entra en el devanado 1 es igual a la potencia compleja S2 que sale del devanado 2. es decir , un transformador ideal no tiene pérdida de potencia real o reactiva. * 1 1

Si se conecta una impedancia Z2 a los terminales de los devanados 2 del transformador ideal de la figura anterior, entonces: Z2 

E2 I2

Esta impedancia, cuando se mide desde el devanado 1, es: aE E 2  E2 Z 2  1  t 2  at    I I1 I 2 at  2

  N1      N2

2

   Z2 

Por tanto, la impedancia Z2 conectada al devanado 2 se refiere al devanado 1 al multiplicar Z2 por (at)2 el cuadrado de la relación de vueltas. 2.3. CIRCUITO EQUIVALENTE PARA TRANSFORMADORES PRACTICOS

En la figura anterior que se muestra es un circuito equivalente para un transformador monofásico práctico de dos devanados, el cual difiere del correspondiente al transformador ideal en lo siguiente:  Los devanados tiene resistencia.  La permeabilidad del núcleo, µc, es finita.  El flujo magnético no está confinado por completo al núcleo.  Se tienen pérdidas de potencia real y reactiva, en el núcleo.

En la figura anterior observamos que existe un R1 que está en serie con el devanado 1 la cual da origen a las pérdidas I2R. También se incluye una reactancia X1, llamada reactancia de dispersión del devanado 1, en serie con este último para tomar en cuenta el flujo de dispersión del mismo. Este flujo de dispersión es la componente del flujo que enlaza al devando1, pero no enlaza al devanado 2; esto causa una caída de tensión I1(jX1), la cual es proporcional a la I1 y va delante de I1 por 90º También existe una pérdida de potencia reactiva I12X1,asociada con está reactancia de dispersión. De igual manera, existe una resistencia R2 y una reactancia de dispersión X2, en serie con el devanado 2. Según la ecuación de la Ley de Ohm hace ver que, para una permeabilidad finita del núcleo, µc, la fuerza electromotriz total no es cero. Si se divide la Ley de Ohm entre N1 y se utiliza la ley de Faraday, se obtiene: N   R R R  E1     j  I1   2  I 2  c c  c  2 N1 N1  jN1   N1   N1

  E1 

Definiendo el término de la derecha de la ecuación anterior Im, llamada corriente magnetizadora, resulta evidente que Im va atrás de E1 por 90º y se puede representar por un inductor en derivación con susceptancia:  R Bm   2  N1

  mhos 

Sin embargo, en realidad existe una rama adicional en derivación, representada por un resistor con conductancia Gc, mhos, la cual lleva una corriente Ic, llamada corriente de pérdida en el núcleo, Ic está en fase con E1. Cuando se incluye la corriente de pérdida en el núcleo Ic, la ecuación quedaría así: N  I1   2  I 2  I c I m  (Gc  jBm ) E1  N1 

El circuito equivalente de la figura anterior, el cual incluye la rama en derivación con admitancia (Gc + jBm) mhos, satisface la ecuación de la LCK. Note que, cuando el devanado 2 está abierto (I2=0) y cuando se aplica una tensión sinusoidal V1 al devanado 1, entonces la ecuación anterior indica que la corriente I1 tendrá dos componentes:  La corriente de pérdida en el núcleo Ic.  La corriente magnetizadora Im. Asociada con Ic está una pérdida de potencia real I c2  E12Gc Gc

Watts

Esta pérdida de potencia real equivale tanto a las pérdidas en el núcleo Ic está una pérdida por histéresis como por corrientes de Eddy dentro del núcleo. Se tienen pérdidas por histéresis debido a que una variación cíclica del flujo dentro del núcleo requiere que se disipe en forma de calor. Como tal, la perdida por histéresis se puede reducir mediante el uso de grados altos especiales de acero de aleación como material del núcleo.

Se presenta la pérdida por corriente de Eddy ó parasitas, que fluyen dentro del núcleo laminado con láminas de acero de aleación. Asociada con Im, existe una pérdida de potencia reactiva:

I m2  E12 Bm Bm

var

Se requiere esta potencia reactiva para magnetizar el núcleo. La suma de los fasores (Ic – Im) se llama corriente excitadora Ie.

En la figura anterior se muestra tres circuitos equivalentes alternativos para un transformador monofásico practico de dos devanados. En la figura, la resistencia R2 y la reactancia de dispersión X2 del devanado 2 están referidos al devanado 1, a través de las ecuación aE E 2  E2 Z 2'  1  t 2  at    I I1 I 2 at  2

  N1      N2

2

   Z2 

En la figura anterior se omite la rama de derivación lo cual corresponde a despreciar la corriente excitadora: Ya que por lo común es menor al 5% de la corriente nominal, a menudo resulta válido despreciarla en los estudios de sistemas de potencia , a menos que la eficiencia del transformador o fenómenos de la corriente excitadora tengan un interés especial. Para los grandes transformadores de potencia, con capacidades de más de 500KVA, a menudo se pueden despreciar la resistencias delos devanados, las cuales son pequeñas en comparación con las reactancias de fuga , como se muestra a continuación.

Por tanto, un transformador práctico que opera en estado estacionario sinusoidal es equivalente a un transformador ideal con impedancia y ramas de admitancia externa, como se muestra en la figura. Las ramas externas se pueden evaluar a partir de las pruebas de cortocircuito y de circuito abierto.

Lo que si no se representa mediante un circuito equivalente es:

1. La saturación. 2. La corriente de energización. 3. La corriente excitadora no sinusoidal. 4. Los fenómenos de sobretensiones transitorias. SATURACION Al deducir el circuito equivalente de los transformadores ideales y prácticos, se han supuestos constantes y la permeabilidad del núcleo, µc, la relación lineal Bc = µc Hc. Sin embargo, para los materiales ferro magnéticos usados en los núcleos de los transformadores, la relación B y H es no lineal y de valores múltiples.

Como se muestra en la figura anterior, cada curva tiene valores múltiples, lo que es causado por la histéresis. Para transformadores bien diseñado, la tensión pico aplicada hace que se tenga la densidad pico de flujo en estado estacionario en la rodilla curva B – H con un correspondiente valor bajo de la corriente magnetizadora. CORRIENTE DE ENERGIZACION Cuando un transformador se energiza por primera vez, una corriente transitoria mucho mayor que la corriente del mismo puede fluir durante varios ciclos. Esta corriente, llamada CORRIENTE ENERGIZACION, no es sinusoidal y tiene una componente grande de CD. Para explicar como se presenta esta corriente observemos la figura anterior que cuando B(0) = 1.5 Wb/m2, por lo tanto si energiza, la tensión de la fuente es positiva y creciente, la Ley de Faraday, que provocara que la densidad del B(t) aumente más todavía más, ya que:

 (t )

1 t B(t )   e(t )dt  B(0) A NA 0 De acuerdo como se vaya desplazando B(t) hacia la región de saturación se tendrá valores muy grandes de H(t), y por la ley de ampere fluirán valores muy grandes de corriente i(t) durante varios ciclos, hasta que se haya disipado.

CORRIENTE DE EXCITADORA SINUSOIDAL Cuando se aplica una tensión sinusoidal a un devanado de un transformador , con el otro devanado abierto, por la Ley de Faraday, el flujo Φ(t) y la densidad del flujo B(t) estarán muy cercas de ser sinusoidales en estado estacionario. Pero sin embargo, la intensidad del campo magnético H(t), y la corriente excitadora resultante serán sinusoidales en estado estacionario, debido a la curva B – H no lineal. No obstante, suelen despreciarse la naturaleza sinusoidal de la corriente excitadora, a menos que interesen de manera directa los efectos de los armónicos, debido a que la propia corriente de excitadora suele ser menor del 5% de la corriente nominal para los transformadores de potencia. FENOMENO S DE SOBRETENSIONES TRANSITORIAS Cuando los transformadores de potencia se sujetan a sobretensiones transitorias causadas por rayos o por conexión/desconexión de elementos, las capacitancias de los devanados de un transformador tienen efectos importantes sobre la repuesta transitoria.

2.4. CONEXIONES DEL TRANSFORMADOR TRIFASICO Y SU DESFASAMIENTO Tres transformadores monofásicos idénticos de dos devanados se pueden conectar para formar un banco trifásico; las cuatro maneras de conectar los devanados son:    

Estrella – Estrella. Estrella – Delta. Delta – Estrella. Delta – Delta.

En la figura se muestra el arreglos del núcleos de los devanados. En donde aparece marcados con la letra H los lados de alta tensión y con X los lados de baja tensión, el cual esta adoptado convencionalmente en lugares de punto de polaridad. Pero también se puede utilizar las marcas con las letras ABC (Alta tensión) y abc (Baja tensión)

En la figura se muestra una representación esquemática del transformador trifásico estrella – estrella. Los devanados que están sobre el mismo núcleo se encuentra dibujados en paralelo y se muestra la relación fasorial para la operación balanceada en secuencia positiva.

En la figura anterior se muestra una diagrama unifilar se muestra en una fase de la red trifásica, omitiéndose el conductor neutro y con las componentes representados por símbolos , en lugar de circuitos equivalentes

Para el caso de un transformador estrella – estrella y delta – delta se puede marcar y conectar de manera que no tenga desfasamiento entre el lado de alta y baja tensión, lo que no ocurre con transformadores estrella – delta y delta – estrella que siempre ocurre un desfasamiento. En la figura que a continuación se muestra un transformador estrella – delta.

Para lo cual describiremos una secuencia muy sencilla de graficar el diagrama fasorial de secuencia positiva: PASO 1: Suponga que se aplican tensiones balanceadas en secuencia positiva al devanado en estrella, Dibuje el diagrama fasorial.

PASO 2: Mueva el fasor A – N junto a los terminales A – N en la figura mostrada. Identifique los extremos de está línea, de la misma manera que en le diagrama fasorial. De igual manera, mueva los fasores B – N y C – N junto a los terminales B – N y C – N de la figura. PASO 3: Para cada transformador monofásico, la tensión aplicada al devanado de baja tensión debe estar en fase con la tensión aplicada al devanado de alta tensión, suponiendo que el transformador sea ideal. Por tanto trace una línea recta junto a cada devanado de baja tensión paralela a la recta correspondiente ya trazada junto al devanado de alta tensión. PASO 4: Marque los extremos de las trazadas en el paso anterior mediante la observación de las marcas de clase o marcas de polaridad. Por ejemplo la fase A esta conectad a la terminal con el punto H1 y aparece A aparece del lado derecho de la recta A – N. por tanto, la fase a, que esta conectada a la terminal con punto X1. deben estar a lado derecho y b del lado izquierdo de la recta a – b. De manera análoga, la fase B está conectada a la terminal con punto H2, y B está debajo de la recta B – N. por tanto, la fase b, conectada a la terminal con punto X2, debe estar debajo de la recta b – c . Análogamente , c está arriba de la recta c – a.

PASO 5: Una las tres rectas etiquetadas en el paso 4 para complementar el diagrama fasorial para el devanado en delta de baja tensión. Note que VAN adelanta Van por 30º.

2.5. CIRCUITOS EQUIVALENTES POR UNIDAD DE TRANSFORMADORES TRIFASICOS BALANCEADOS DE DOS DEVANADOS En la figura adjunta es una representación esquemática de un transformador ideal estrella – estrella conectado a tierra a través de la impedancia ZN y Zn del neutro.

Si tratamos de graficar como se muestra el circuito equivalente en por unidad de este transformador ideal para la operación trifásica balanceada, quedara de la siguiente forma

Por convección, se adoptarán las dos reglas siguientes para seleccionar las cantidades bases: 1. Se selecciona una Sbase común para la terminal H como para la X. 2. Se selecciona la relación de transformación respecto a las tensiones bases, VbaseH/VbaseX, para que sea igual a la relación de las tensiones nominales línea a línea V, VnominalHLL/ VnominalXLL.

Cuando se aplican corrientes trifásicas balanceadas al transformador, las corrientes en el neutro son igual a cero y no se tienen caídas de tensión a través de las impedancias de neutro. Por tanto el circuito equivalente por unidad del transformador ideal estrella – estrella, es el mismo que el transformador ideal monofásico por unidad.

El circuito equivalente por unidad de un transformador estrella – delta que se muestra en la figura adjunta incluye un desfasamiento, las tensiones y corrientes de secuencia positiva del lado de alta tensión del transformador estrella – delta van delante de las cantidades correspondientes del lado de baja tensión, en 30º. El desfasamiento en el circuito equivalente se representa en el transformador desfasador. El circuito equivalente por unidad de un transformador delta – delta se observa en la figura adjunta es el mismo que el transformador estrella – estrella. Se supone que le de devanados están etiquetados de modo que no haya desfasamiento. Del mismo modo, las impedancias por unidad no dependen de las conexiones de los devanados, pero las tensiones base sí.

2.6. TRANSFORMADORES DE TRES DEVANADOS En la figura mostrada se observa un transformador monofásico de tres devanados . Se puede extender con facilidad las relaciones del transformador ideal de dos devanados, con el fin de obtener las relaciones correspondientes para un transformador ideal de tres devanados. En unidades reales, estas relaciones son: N1 I1  N 2 I 2  N 3 I 3 E E1 E  2  3 N1 N2 N3

En donde I1, entra por la terminal con punto I2 y I3 salen por las terminales con punto, y E1, E2 y E3 tienen sus polaridades + en las terminales con punto. Por unidad, las ecuaciones anteriores quedan así I1 p.u.  I 2 p.u.  I 3 p.u. E1 p.u.  E2 p.u.  E3 p.u.

En donde se selecciona una base Sbase para los tres devanados, y las bases de tensión se seleccionan en proporción a las tensiones nominales de los devanados. El circuito equivalente por unidad en la figura adjunta satisface estas dos relaciones por unidad.

En el circuito del transformador práctico de tres devanados que se muestra en la figura adjunta, también incluyen la impedancia externa en serie y las ramas de admitancia en derivación. La rama admitancia en derivación, un resistor de pérdida en el núcleo en paralelo con un inductor magnetizador, se puede evaluar a partir de la prueba de circuito abierto

Asimismo, cuando un devanado se deja abierto, el transformador de tres devanados se como uno de dos, y se puede aplicar las pérdidas estándares cortocircuito para evaluar la impedancia de dispersión por unidad, las cuales se define como sigue: Z12 = Impedancia de dispersión por unidad de medida del devanado 1, con el devanado 2 en cortocircuito y el 3 abierto. Z13 = Impedancia de dispersión por unidad de medida del devanado 1, con el devanado 3 en cortocircuito y el 2 abierto. Z23 = Impedancia de dispersión por unidad de medida del devanado 2, con el devanado 3 en cortocircuito y el 1 abierto.

De la figura anterior , con el devanado 2 en cortocircuito y el 3 abierto, la impedancia de dispersión medida del devanado 1 es, despreciado la rama de admitancia en derivación. Z12  Z1  Z 2

De igual modo: y

Z13  Z1  Z 3 Z 23  Z 2  Z 3

Resolviendo las ecuaciones anteriores: 1 Z1  Z12  Z13  Z 23  2 1 Z 2  Z12  Z 23  Z13  2 1 Z 3  Z13  Z 23  Z12  2 Se puede usar las ecuaciones anteriores para evaluar las impedancias en serie por unidad Z1, Z2 y Z3, del circuito equivalente de un transformador de tres devanados, a partir de las impedancias de dispersión por unidad Z12, Z13 y Z23, las cuales, a su vez, se determinan a partir de pruebas de cortocircuito.

2.7. AUTOTRANSFORMADORES

En la figura mostrada se observa un transformador de dos devanados separados, el cual es el transformador usual de este tipo; adjunto a él se muestra el mismo transformador con los devanados conectados en serie, lo cual se conoce como autotransformador. Para el autotransformador , los devanados están acoplados tanto eléctrica como magnéticamente. El autotransformador tiene menos impedancias de dispersión por unidad que el transformador usual; esto tiene como resultado tanto menores caídas de tensión en serie (ventaja), como corrientes más altas de cortocircuito (desventaja).

El autotransformador también tiene menores pérdidas por unidad (eficiencia más alta), menor corriente excitadora y costo inferior si la relación de vueltas no es demasiado grande.

2.8. TRANSFORMADORES CON RELACIONES DE VUELTAS DIFERENTES DE LAS NOMINALES Se ha mostrado que los modelos de transformadores en los que usan las cantidades por unidad son más sencillos que aquellos en los que usan cantidades por unidad son más sencillos que aquellos en los que se usan cantidades reales. Se elimina el devanado del transformador ideal cuando la relación de las bases seleccionadas de tensión es igual a la relación de transformación con respecto a las tensiones nominales de los devanados. Sin embargo, en algunos casos es imposible seleccionar bases de tensión de esta manera.

Según la figura, observamos dos transformadores en paralelo. La capacidad nominal del transformador T1 es 13.8/345KV y la del T2 es 13,2/345 KV. Si se selecciona VbaseH = 345 KV, entonces el transformador T1 requiere VbaseX = 13.8 KV y el T2 requiere VbaseX = 13.2 KV. Evidentemente, es importante seleccionar las bases de tensión apropiadas para los dos transformadores.

Para poder manejar está situación, se desarrollará un modelo por unidad de un transformador cuyas tensiones nominales no están en proporción a las tensiones bases seleccionadas. Se dice que un transformador de este tipo tiene una “relación de vueltas diferentes de la unidad”.

En la figura anterior se muestra en el transformador con tensiones nominales V1nominal =V2nominal, las cuales satisfacen: V1no min al  atV2 no min al

En donde se supone que, en general, at es real o compleja. Suponga que las tensiones de las bases seleccionadas satisfacen: Vbase1  Vbase2

Si se define c = at/b, la ecuación inicial se puede volver a escribir como a  V1no min al  b t V2 no min al  bcV2 no min al  b 

La ecuación se puede representar por dos transformadores en serie, como se muestra en la figura. El primer transformador tiene la misma relación de transformación respeto a las tensiones base seleccionadas, b. Por tanto, este transformador tiene un modelo estándar por unidad.

Se supondrá que el segundo transformador ideal y que todas las pérdidas reales y reactivas están asociadas al primer transformador.

En la figura anterior se muestra el modelo por unidad resultante, en donde, por sencillez, se desprecia la rama excitadora en derivación. Note que, a = b, entonces se puede eliminar el devanado del transformador ideal mostrado en esta figura, ya que su relación de vueltas c = (at/b) = 1. El modelo por unidad mostrado en la figura es perfectamente válido; no obstante, se puede desarrollar una representación alternativa, escribiendo las ecuaciones nodales para esta figura como sigue:  I1  Y11  I   Y 2   21

Y12  V1  Y22  V2 

En donde tanto I1 como –I2 se refieren como entrada hacia sus nodos, según el método de las ecuaciones nodales. Recordando la teoría referente a redes de dos puertos, los parámetros de admitancias de la ecuación son: Y11 

I1 V1

 V2  0

1  Yeq Z eq

Y22 

Y12 

Y21

 I2 V2

I1 V2

 V1  0

 V1 0

 I2  V1

V2  0

1 Z eq c

 c Yeq 2

2

 cV2 Z eq  cYeq V2  c* I1   c*Yeq V1

Observe que cuando c es compleja Y12 no es igual a Y21, y no se puede sintetizar los parámetros antes dados de admitancias con un circuito RLC. Sin embargo, la red π que se muestra a continuación , la cual tiene los mismos parámetros de admitancias de las ecuaciones, se pueden sintetizar para c real.

Note también que, cuando c=1, las ramas en derivación de esta figura se transforma en circuitos abiertos (cero por unidad Mohs) y la rama en serie se transforma en Yeq por unidad Mohs (o Zeq por unidad ohms)