Sesion No 02 A Y Logica

Matemática y Lógica

SESIÓN N º 02 INTERVALOS Definición: Los intervalos son los subconjuntos conexos de R. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la propiedad siguiente: Si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. Se usan habitualmente dos notaciones: [a; b) o [a; b [ para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.

Al representar la desigualdad

a b

en la recta numérica:

x a

R

b

Se deduce que existen números reales entre “a” y “b”, o que hay números antes que “a” y después de “b”. Por lo tanto se puede escribir como una desigualdad:

a  x b

Los intervalos son conjuntos de números definidos mediante la relación de orden en el campo de los números reales

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CLASES DE INTERVALOS:

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas :

A. INTERVALO ABIERTO.- Es el conjunto de todos los reales X para los cuales:

a  x b ¡Donde no se incluyen los extremos! Se denota:

 a , b

x

a

R

b

¿Cuáles son los números que conforman el intervalo 3, 4 ? Son: -2, -1, 0, 1, 2,3 pues no se incluye el -3 ni el 4. B. INTERVALO CERRADO.- Es el conjunto de todos los reales X para los cuales:

a  x b ¡Se incluyen los extremos! Se denota por:

 a, b  x a

R

b

¿Cuáles son los números que conforman el intervalo Completar la respuesta:

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2

 2,3 ?

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C. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA.- Es el conjunto de todos los números reales X para los cuales:

a x  b ¡No se incluye el extremo izquierdo! Se denota:

 a, b  x a

R

b

¿Cuáles son los números que conforman el intervalo Completar la respuesta: D. INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHAlos reales X para los cuales:

2,3 ?

Es el conjunto de todos

a  x b Se denota por: [a, b

x

a

R

b

¡No se incluye el extremo derecho! ¿Cuáles son los números que conforman el intervalo : Completar la respuesta:

 2 , 3

¡Verificar las respuestas de los ejemplos! b. -2, -1, 0, 1, 2, 3 c. -1, 0, 1, 2, 3 d. -2, -1, 0, 1, 2

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OPERACIONES CON INTERVALOS Como los intervalos son subconjuntos de los números reales se puede realizar operaciones de unión, intersección, diferencia y complementación.

1. Dados los intervalos: A=  4, 3 B=



 3 , 5 

Graficar y encontrar: a) A  B A B R -4

-3

0

3

5

“Representa los números comunes a ambos intervalos “ CS=

 3 ,3

b) A  B CS = 4,5



“Representa todos los números comprendidos en los intervalos “ c) B-A CS =

 3, 5 

“Representa todos los números que pertenecen únicamente al intervalo B”

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d) A-B CS = e) B´=?

 4,  3

Representa el complemento de B=

 3, 5

“En la recta numérica, se tiene” INTERVALO B



-3 B´ =

f) A´ =?



5

,  3  5,  

Representa el Complemento de A =  4, 3



INTERVALO A



-4



3

A´= , 4  3, 

1) Dados los intervalos:

AUTO EVALUACION

A  4, 3 B  1, 5 C  3, 6 Graficar y hallar:

a)

A´

d) B  A

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b)

c) AB

B´

e) ( A B )  ( B  A )

5

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2) Dados los intervalos: A   2, 5 B   4, 0 C  1, 3

Graficar y hallar:

a) A  B b) B  C c) A  C d ) A´

SOLUCION: 1)

a ) Cs  ,  4   3,   b) Cs  , 1  5,  c) Cs  4,1 d ) Cs  3, 5 e) Cs  4, 1  3, 5 2)

a ) Cs   2, 0 b) Cs   4,  1 c ) Cs   2, 5 d ) Cs  ,  2  5,  

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INECUACIONES

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Es toda proposición donde existe la relación:

58 7 2

5 es menor que 8

x-2  5

x-2 Es menor o igual que 5

x 2 -1  7

x 2 -1 Es mayor o igual que

7 es mayor que 2

Relaciones definidas para Si:

a, b

:

  a Es positivo   a Es negativo   a  b Es positivo a b   a  b Es negativo a b  a b  a  b a  b   a b  a  b a  b  a 0 a 0 a0  a 0 a 0 a 0

Si se cambian los signos de una desigualdad, se invierten los sentidos de la desigualdad

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra". Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo

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Matemática y Lógica miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1º Todo número positivo es mayor que cero Ejemplo: 5>0; porque 5 - 0 = 5 2º Todo número negativo es menor que cero Ejemplo: -9 < 0 ; porque -9 -0 = -9 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: -10 > -30; porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales. Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella Ejemplo: a2+ 3 > a

Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales: Ejemplo: 2x - 8 > 0 que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x. Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades. 1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

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Matemática y Lógica Ejemplos: 9>5 9+2>5+2 11 > 7

-2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. Ejemplos: 12 > 7 12 * 3 > 7 * 3 36 > 21

15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo. Ejemplos: 3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60

64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo: -7x + 130 < 9 -5x 7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Ejemplo: 7 < 10 73 < 103 343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

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Matemática y Lógica Ejemplos: -3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216

-8 < -4 (-8)2 > (-4)2 64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas. Ejemplo

Dado: 2x > 10 7x > 26 sumando se obtiene: 9x > 36

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Es una desigualdad condicional que contiene una o más variables que al ser reemplazadas para determinados valores originan una proposición verdadera

INECUACIONES DE PRIMER GRADO LINEALES.Son desigualdades de una sola variable que tienen la forma:

ax  b 0 ax  b 0 ax  b  0 ax  b  0 Para resolver una inecuación de primer grado, se utiliza el procedimiento semejante a la solución de una ecuación lineal con una incógnita. 1) Hallar el conjunto solución de:

3 x  7 5 x  3 3x  5 x 3  7  2 x  10 Ing. Julio Núñez Cheng

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“Al cambiar de signo a la desigualdad se invierte el sentido de la desigualdad, para que x tenga valor positivo” Luego:

2 x10 x 5 Cs  , 5 2) Resolver:

7x  3 3x  3  ( x  6)  2 6 Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 6 (mínimo común múltiplo) se obtiene después de simplificar:

3(7x 3) 6(x 6)  3x 3 Efectuando operaciones:

21x  9  6 x  36  3 x  3 15 x  45  3 x  3 12 x   3  45 12 x   48 x  4 C .S    4 3. Resolver:

2x 1 x5 1 3 5 Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por 15( mínimo común múltiplo) se obtiene después de simplificar:

5(2x 1) 15  3( x  5) Ing. Julio Núñez Cheng

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10 x  5  15  3 x  15 10 x  10  3 x  15 7 x  15  10 7x  5 5 x 7 5 c .s   ,  7

15  3 x  3 6

4. Resolver:

En este caso, se descompone el sistema en dos inecuaciones, cuya solución es la intersección de las soluciones parciales.

Primera

Segunda

15  3 x  3

3x  3  6

15  3  3 x

3x  6  3

18  3 x

3x  3

6  x

x 1

c.s  6,  

c.s  , 1

 6  x 1 Luego el c . s 5. Resolver:



 ,1



6  



3x  9 2  x3 ( x  7) 2 3 Descomponiendo en dos desigualdades

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6, 1

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a) Primera

3 x  2 3 x  3 x  3 x 

9

 x  3

9  2 ( x  3 ) 9  2 x  6 2 x  6  9

x  3 c .s 

 , 3

b) Segunda

2 (x  7) 3 3(x  3)  2(x  7 ) 3x  9  2 x  14 x  3 

3x  2x 14  9 x5 c .s 

5,  

5  x 3 Por lo tanto el conjunto solución es:

c.s  5, 3  AUTOEVALUACIÓN Resolver las inecuaciones 1. 2. 3. 4. 5.

3x < 15 3x + 6 > 2x + 12 5(x + 6) - 5 > - 10 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)

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x2 x3  5 4 3 2 x  1 5x  5 7.  2x 1 5x  6 x2 3 x 8.   2 x 1 2 6.

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.-

Las inecuaciones de 2do grado o cuadráticas es una desigualdad condicional que reducida a su expresión más simple tienen la forma general:

ax 2  bx  c  0 ax 2  bx  c  0 ax 2  bx  c  0 ax 2  bx  c  0 Donde a, b, c son números reales: Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones se utilizan dos métodos: a) METODO DE FACTORIZACION.- Se usa cuando el trinomio ax

2

 bx  c es factorizable y se cumple que :

I . a b  0  ( a  0  b 0 )  ( a  0  b  0 ) “Es decir los dos factores son positivos o negativos”. Su producto debe ser positivo en ambos casos.

II . ab 0  (a 0  b0)  (a 0  b 0) “Es decir uno de los factores positivo y el otro factor negativo y viceversa”. Su producto debe ser negativo en ambos casos . Ing. Julio Núñez Cheng

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Ejemplos:

2x2  4x  2  0

1. Resolver :

2

Factorizando: 2( x  2 x  1)  0 Luego

:

2( x  1) 2  0

x 1 c.s  R  1

“Los números reales menos el 1”

x2  2 x  3  0

2. Resolver: Factorizando:

( x  3)( x  1)  0  ( x  3  0  x  1  0)  ( x  3  0  x  1  0

 ( x  3  x  1)  ( x  3  x  1)  ( x  3)  ( x  1) c.s  , 1  3,  ¡Verificar que cuando cuando

x  3 el producto de los factores es  0 y

x  1 el producto de los factores es  0 !

b) METODO DE COMPLETAR CUADRADOS.- Consiste en transformar el Trinomio:

ax 2  bx  c

Resolver:

x 2  6 x  50 x2  6x

a la forma

b a( x  )2  K a

Pasando el 5 al segundo miembro

5

Dividiendo el segundo coeficiente (6) entre 2 y elevando al cuadrado se obtiene 9, para completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.

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x 2  6 x  95  9 Se aumenta +9 ambos miembros para que no cambie la desigualdad.

( x  3) 2  4 ( x  3 4  4  x  3 4 2 x  32 2  3 x 2  3

1 x5 16 x 2  8 x  1  0

Resolver:

Dividiendo entre 16 a la desigualdad:

16 2 8 1 x  x 0 16 16 16 Simplificando:

1 1 x2  x   0 2 16 1 1 x2  x  2 16

Dividiendo el segundo coeficiente 1/2 entre 2 y elevando al cuadrado se obtiene 1/16, para completa el Trinomio Cuadrado Perfecto:

x2  Observación:

(

1 Se aumenta 16

1 1 1 1 x    2 16 16 16

1 1 ) : 2  2 4

(

1 ) 4

2



1 1 6

ambos miembros para que no cambie la desigualdad.

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1 1 x2  x   0 2 16 1 ( x  )2  0 4 1 x 4

FIN DE LA SESIÓN

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