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SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 12 FACULTAD DE : Ciencias Empresariales ESCUELA PROFESIONAL DE : Administración DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA: TEMAS: Funciones, definición y propiedades. Regla de correspondencia. Dominio y rango de una función. Gráfica de una función. Funciones especiales: Identidad, constante, lineal, raíz cuadrada, valor absoluto. TIEMPO: 08 horas académicas. COMPETENCIA: • Entender y aplicar el concepto de función para representar en el plano cartesiano y así poder explicar el comportamiento de ciertos fenómenos de la vida diaria. CAPACIDADES: • Construye el gráfico, determina el dominio y rango de una función. • Realiza operaciones con funciones. • Establece la función inversa de una función dada, si la tuviera. • Resuelve y aplica las funciones al estudio de casos o proyectos de su especialidad. ACTITUDES: RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente en el desarrollo de las clases. DESCRIPCIÓN EVALUACIÓN MOMENTOS DETALLADA DE MEDIOS Y TIEMP ESTRATEGIAS Y MATERIALES O O FASES INDICADORES INSTRUMENTO METODOLOGÍA MOTIVACION: Material 50 min. Interés por el Observación (ANEXO Nº 01) Impreso. tema, espontánea. participación EXPLORACION: individual y en Intervención oral El docente presenta en la Pizarra grupo. Motivación y pizarra una lista de Plumones ejercicios relacionadas con exploración funciones. Será acrílicos

C

I

Ó

N






importante en nuestra carrera el estudio de las funciones, me servirá en mi carrera.(ANEXO Nº 01)

Mota Palabra hablada.

A

Se plantea las siguientes interrogantes:

U

• ¿Podrían representar un

45 min. Exposición oral

problema real utilizando

E

V

A

L

funciones? • ¿Cómo definen a una función? Problematizaci • ¿Conoces ón propiedades

las de

Participación activa

funciones? • ¿Sabes

identificar

el

dominio y rango de una función? • ¿Qué

Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con las funciones desarrollan los ejercicios planteados.

funciones

especiales conoces?

2

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha autoevaluación (ANEXO Nº 06)

de

• Se forma 7 grupos. • Modulo

de

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)

lógica

matemática Papelógrafo.

(ANEXO Nº 03) • Los estudiantes analizan los

conceptos

de

Funciones y propiedades. Regla

de

correspondencia. Dominio y rango de una función. Construcción del conocimiento

185 min. Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva

Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera.

Ficha autoevaluación

de

(ANEXO Nº 06)

Gráfica de una función. Funciones

especiales:

Identidad,

constante,

lineal,

cuadrada,

raíz

Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten

valor absoluto. (ANEXO Nº 04) • Se

realiza

la

sistematización

de

lo

aprendido. • Los estudiantes plantean y

desarrollan

un

laboratorio con ejercicios. (ANEXO Nº 05) • Los estudiantes resuelven los ejercicios planteados en su módulo de trabajo. • Los estudiantes participan

Hoja impresa Folder trabajo.

en la pizarra

,Grupo

de

Transferencia del conocimiento

información

de

trabajo

estudio

en

de Folder de trabajo. Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los ejercicios planteados.

anotando sus respuestas • (Hoja

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)

120 min.

,

equipo;

exposición del problema Presentación de trabajo individual o grupal

planteado.(ANEXO Nº04) • Los alumnos resuelven en grupo

una

trabajo:”Leo,

ficha analizo

de y

resuelvo” (ANEXO Nº 03) que

les

permitirá

descubrir procedimientos para

reconocer

interpretar

a

e las

proposiciones.

3

• El docente destaca los resultados a través de la evaluación

del

trabajo

realizado.. • Los alumnos desarrollan ejercicios propuestos del modulo correspondiente a funciones

BIBLIOGRAFÍA Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas para Administración y Económia. Ayra Jadish C. Matemáticas Aplicadas, a la Administración, Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. Figueroa G. R. (2006). Matemática Básica. Ediciones San Marcos. Perú. Gonzales Caicedo, Walter Orlando et al. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú. Leithold. Matemáticas previas al Cálculo: Funciones, Gráficas. Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica.

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 0000000000000000000000000000 000 0000000000 ANEXO Nº 01 Una empresa agro exportadora produce cierto producto que vende $10. El costo de producción de x productos diariamente está dado por la fórmula: C(x) = x2 + 32x – 40. ¿Cuál debe ser la producción diaria a fin de que la empresa obtenga ganancias? ANEXO Nº 02 Recuerda: Excelente maestro es aquel que, enseñando poco, hace nacer en el alumno el deseo grande de aprender. A. Graf Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar. ANEXO Nº 03 USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA

FUNCIONES 1. DEFINICIONES: • Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango). • Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente. • Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen: 1) f ⊂ AxB. 4

2) (x,y) ∈ f ∧ (x,z) ∈ f

⇒ y = z ó ∀ x∈ D ; ∃! y ∈ R / (x,y) ∈ f ⇔ y = f(x). f

f

De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada. Dominio de f: Df = {x ∈A/ ∃! y ∈ B ∧ y = f(x) } Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) ∈ B/ x∈A} OBSERVACION: 1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir sólo y sólo una flecha hacia B. 2) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto. 3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. 4) f: A→B. y = f (x) “Regla de correspondencia”. Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional. 2. NOTACIÓN FUNCIONAL Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado. Se denota por f(x) y se lee “f de x”. Ejemplo: Si . Calcular: E = [f(1) + 1]f(2) Solución: Si x = 1 entonces: f(1) = 1 (1+1)/ 2= 1 Si x = 2 entonces: f(2) = 2 (2+1)/ 2= 3 Luego: E = [f(1) + 1]f(2) = (1 + 1)3 = 8 3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES: Si f es una función real de variable real si y solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto. Ejemplo: De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias y las rectas verticales no corresponden a funciones. 4. APLICACIÓN Dado fA→B, f es aplicación sí y sólo sí Df = A. OBSERVACION: • Toda función es una relación, pero no toda relación es una función. • Toda aplicación es función, pero no toda función es aplicación.

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FUNCIONES ESPECIALES 1. F. LINEAL: Regla de Correspondencia: y=f(x)=ax+b a, b son constantes. Df = R Rf = R

2. F. CONSTANTE: Regla de Correspondencia: y=f(x)=b Df = R Rf = {b} 3. F. IDENTIDAD: Regla de Correspondencia: y=f(x)=x Es una función lineal donde a=1, b=0 Df = R Rf = R 4. F. VALOR ABSOLUTO:

Regla de Correspondencia: y=f(x)=x

x; si x ≥ 0 y = f(x) =  − x; si x < 0

5. F. RAÍZ CUADRADA: Regla de Correspondencia: y=f(x)= x Df = R 0+ Rf = R 0+

6. F. CUADRÁTICA:

6

Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c. La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. 2 2 2 f = {( x, y )∈ R / y = 9x }

g = {( x, y )∈ R 2 /

h=

{( x y )∈ R ,

2

/

j = {( x, y )∈ R 2 /

y3 = x4}

x − 3=

y

x = 4}

}

Solución: Tenemos:




f

= {( x, y )∈ R 2 / y 2 = 9 x 2 }

Donde:

y2 = 9x2 Como “y” esta elevado a una potencia par Luego: f no es función




g = {( x, y )∈ R 2 / y 3 = x 4 } Tenemos:

y3 =x4 Donde: “g” si es función porque la potencia de la variable y es impar.




h=

{( x, y )∈ R / x − 3 = y } 2

Tenemos:

x − 3=

y

( y)

( x − 3)

2

=

( x − 3)

2

= y

2

Entonces:

7

( x − 3)2 = y , y ≥ 0 ( x − 3) = y ⇒  2 ( x − 3) = − y , y < 0  y = ( x − 3) 2 , y > 0 ⇒ 2  y = − ( x − 3) , y < 0 2

Luego: Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto “h” no es función.




j

= ( x,

y

)∈ R 2

/

x

= 4}

Tenemos:

x=4 Luego: j no es función 2. Dado el conjunto de pares ordenados

{

}

g = ( 3, 2 x + 3 y ) , ( −1,5 ) , ( x + y ,3)( 3, 4 ) , ( 6,7 ) ( x 2 + y + 1,3) ( 2, −4 ) , ( 2, 2 x − y )

Hallar “x” e “y” para que g sea función y dar como respuesta Dom (g)∩Ran(g) Solución: Tenemos:

{

}

g = ( 3, 2 x + 3 y ) , ( −1,5 ) , ( x + y ,3) , ( 3, 4 ) , ( 6,7 ) , ( x 2 + y + 1,3) , ( 2, −4 ) , ( 2, 2 x − y )

Entonces: De Se tiene que: De Se tiene que:

2x + 3 y = 4 2 x − y = −4

Luego: se tiene el sistema de ecuaciones

2 x + 3 y = 4  2 x − y = −4 (3)

2 x + 3 y = 4  6 x − 3 y = −12 8x = − 8 x = −1 2( −1) + 3 y = 4 −2 + 3 y = 4

3y = 6 y=2

Entonces:

8

g = {( 3, 4 ) , ( −1,5 ) , (1,3) , ( 6,7 ) , ( 4,3) , ( 2, −4 )}

Dg = {3, −1,1,6, 4, 2} Rg = {4,5,3,7, −4} Dg ∧ Rg = {3, 4}

3. Hallar el Dominio de:

(

f ( x) = x 2 + 5 x + 6

)

−3/ 2

Solución:

f ( x ) = ( x2 + 5x + 6) f ( x) =

3/ 2

(x

2

+ 5x + 6)

f ( x) =

−3/ 2

(x

2

2

x2 + 5x + 6 2x − 3

+

x2 + 5x + 6

1

3

x + 5x + 6

2x − 3

+

1

2x − 3

+

+ 5x + 6)

2

2x − 3

+

x2 + 5x + 6

Donde: Para:

x2 + 5x + 6 > 0

( x + 3)( x + 2 ) > 0 + -∞

-

-3

Entonces:

+∞

-2

( −∞, −3) ∪ ( −2, +∞ )

Para:

(x

2

+ 5x + 6) > 0 2

(

 x + 3

)( x + 2 ) 

( x + 3) ( x + 2 ) 2

+ -∞

+

2

2

>0

>0

+

+

-3

+∞

-2

Entonces: R- {-3,-2} Luego: el dominio de la función es: Dom(f)= {(-∞,-3)U(-2,+∞)}∩[R- {-3,-2}] Dom(f)= (-∞,-3)U(-2,+∞) 9

ANEXO Nº04

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº12 I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios. 1. Sea la función F = {( x, y ) / y = x + 2 }, hallar el dominio, el rango de F y graficar. }, hallar el dominio, el rango de F y graficar. 2. Para la función F = {(x,y)/ y = 3. Hallar el dominio, el rango y esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R. a) f ( x ) =

x−3 + 2

b) g ( x) = −2 x + 4 x − 1 2

c) h( x ) = − x + 3 + 5 4. La utilidad por fabricar una cantidad x de cierto producto viene dada por la función:

f ( x) = 10x − x 2 − 16 , x ≥ 0 . Graficar f 5. Sea la función f definida por f (x ) = − 2 x 2 + 12 x − 13 , ∀x ∈ [1,3] . Hallar el Ran( f ) 6. Graficar la función:

-2x h( x ) =

si

x < -1

x2

si

1

si

1x ≤ 1

1< x < 3

− x − 4 si

x≥3

7. Si F representa una función: F = {(3; 7a+2b), (2; 5) (2; a+2), (3; 5b-2a)} ¿Cual o cuales de los siguientes conjuntos son funciones? A = {(a;b), (b-a; 5), ( 5; b-a), ( a+b ; 5)} B = {3;b),(b;3),(3;8),(9;2a-b)} C = {(3;5),(9,7),(b;a),(5a+3b)} 8. Sean los conjuntos: A= {1,2,3} y B= {a,b,c,d,e} ,entonces: a) F= {(1,b);(2,b);(3,d)} es una función de A en B b) F= {(1,b);(1,c);(2,a); (3,e)} es una función de A en B c) F= {(1,b);(2,c)} es una función de A en B d) F= {(1,c);(2,c);(3,c)} es una función de A en B Representar cada caso en un diagrama sagital. 9. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta: a) b) c) d) II. Hallar el dominio, rango y graficar cada uno de las siguientes funciones: 1. y = −3 2. y = 2 3. y = −

x

3

4. y = − x 5. y = x − 3 10

6. 7.

y=−

y=

x

3

−3

x2 2

2 ( x − 4) y=

5 9. y = 5 x + x + 2 3 + 2x y= x−5 10. 8.

2

11. y = ( x − 3)

2

11