Servicio Nacional

Servicio Nacional De Aprendizaje REGIONAL DISTRITO CAPITAL

DENNYS PAOLA TAVERA PARDO

CARLOS EDUARDO OBANDO

MERCADEO

2009

CENTRO DE GESTION Y FORTALECIMIENTO SOCIO EMPRESARIAL SEDE – KENNEDY

TECNOLOGA ADMINISTRACION EMPRESARIAL

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Formas de las ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas pueden tomar tres formas útiles: ● La

forma de vértice es y _ a(x _ h)2 _ k. Esta forma es útil para decir cómo la gráfica madre y _ x2 ha sido transformada. El vértice (h, k) de la parábola es el punto más alto o más bajo. El factor a dice la cantidad de estiramiento vertical, y un valor negativo de a revela una reflexión alrededor del eje x. La forma factorizada es y _ a(x _ x1)(x _ x2). De esta forma es fácil decir que las raíces de la ecuación son x1 y x2 y que la gráfica tiene intersecciones x en x1 y x2. ●

La forma general es y _ ax2 _ bx _ c. Esta forma es útil para hallar que la intersección y es c—la parábola cruza el eje y en (0, c). Si la ecuación describe la altura de un objeto que sube o cae, entonces _a es la mitad de la aceleración debida a la gravedad, b es la velocidad inicial y c es la altura inicial por encima del nivel del suelo. ●

Aquí tiene una ecuación escrita en estas tres formas y su gráfica. Forma de vértice: Formal factorizada: Forma general:

y _ 2(x _ 1)2 _ 8 y _ 2(x _ 3)(x _ 1) y _ 2x2 _ 4x _ 6

Ecuación Cuadrática Una ecuación cuadrática en una variable x con coeficientes reales es una ecuación de la forma

ax 2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ ℜ y con a ≠ 0. Ejemplos: x 2 = 36 y2 + 4y = 0 x 2 + 5x − 2 = 0 3n 2 + 2n − 1 = 0 5 x 2 + x + 2 = 3x 2 − 2 x − 1 Utilizando la siguiente propiedad de los números reales:

ab = 0 ⇒ a = 0 ó b = 0

la podemos aplicar para resolver ecuaciones cuadráticas. Ejemplo: 3n 2 + 14n − 5 = 0

( 3n − 1)( n + 5) = 0 ∴ n=

⇒ 3n − 1 = 0 ó n + 5 = 0

1 ó n = −5 3

Ejemplo: x 2 + 3kx − 10k 2 = 0

( x + 5k )( x − 2k ) = 0 ∴ x = −5k

⇒

x + 5k = 0 ó

x − 2k = 0

x = 2k

ó

Ejemplo: 2 x = x −8

(2 x )

2

= ( x − 8)

2

4 x = x 2 − 16 x + 64 x 2 − 20 x + 64 = 0

( x − 16)( x − 4) = 0

⇒ x − 16 = 0 ó x − 4 = 0

∴ x = 16 ó x = 4 Para una ecuación de la forma x2 = a, con a real podemos proceder como sigue:

x2 = a x2 − a = 0 x2 −

( a)

2

=0

( x − a )( x + a ) = 0 ∴ x= a

ó x=− a

ECUACION DE LA RECTA

Hallar ecuación de la recta Hallar la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto La pendiente, m de una recta es un número que proporciona sobre la inclinación de la recta en el plano. A partir de las coordenadas de dos puntos sobre la recta p1(x1,y1) y p2(x2, y2), se establece la fórmula para hallar la pendiente de la recta:

m=

y 2 − y1 = x 2 − x1

La pendiente de una recta es la razón de la diferencia entre las ordenadas y la diferencias de las obscisas de dos puntos sobre la recta. Se puede interpretar como: si un punto se desplaza de un lugar a otro sobre la recta, la pendiente informa sobre la razón entre el desplazamiento vertical y el horizontal. Ejemplo: M = 2/3 Mientras el punto se desplazo 3 unidades a la derecha, ascendió 2 unidades.