Series De Fourier.docx

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SAN LUIS POTOSÍ

VIBRACIONES MECANICAS “SERIES DE FOURIER”

Alumno: Ortega De Santiago Rogelio.

FECHA DE ENTREGA: 11 de febrero de 2019

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Rogelio Ortega De Santiago.

INDICE  INTRODUCCION………………………………………………….....3

 DESARROLLO…………………………………..…………………...4  Definición………………………………………………………4  Series trigonométricas…………………………………….....5  Series de Fourier……………………………………………..7  Funciones de periodo arbitrario……….………………………………………………8  Desarrollo de una función no periódica en serie de Fourier………………………………………………………..10

 CONCLUSION………………………………………………………12

 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………..12

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INTRODUCCION Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier fueron desarrolladas por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París). La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una señal periódica en términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos de la señal original. La idea de descomposición es un proceso fundamental en el área científica en general: la descomposición permite el análisis de las propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos. Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la aplicación de estas series es simple. Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde luego, no tienen representaciones en serie de Taylor. La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores avances jamás realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en la solución de problemas con valores en la frontera.

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DESARROLLO DEFINICION: Sí 𝑓(𝑡) es una función de variable real 𝑡, que es integrable en el 𝑇 𝑇 intervalo 𝑡𝑜 − 2 , 𝑡0 + 2. Entonces se puede obtener el desarrollo en serie de Fourier de 𝑓 en ese intervalo. Fuera del intervalo la serie es periódica, con período 𝑡. Si 𝑓(𝑡) es periódica en toda la recta real, la aproximación por series de Fourier también será válida en todos los valores de 𝑡. Luego la serie de Fourier asociada a 𝑓(𝑡) es:

Donde 𝑎0 , 𝑎𝑛 𝑦 𝑏0 son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Donde 𝑤𝑛 = 𝑛𝑤 𝑦 𝑤 = 2𝜋𝑓 =

2𝜋 𝑇

Siendo:

A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier. pág. 4

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CONCLUSION La utilización de Fourier nos permite, descomponer funciones temporales en funciones frecuenciales, las cuales son necesarias para obtener respuestas a los distintos problemas que puedan surgir:  Obtener los desplazamientos de una estructura sometida a una acción dinámica, para así poder obtener leyes de esfuerzos y proseguir el modelado y estudio de la misma.  Verificar el estado en que se encuentra una estructura que ha sufrido daños, y/o desgaste debido a excitaciones dinámicas. Para así poder, luego de un análisis previo, obtener frecuencias propias y vincularlas con pérdidas de rigidez y estabilidad.  Lograr aproximaciones del amortiguamiento estructural. Son comunes los problemas en ingeniería, vinculada a la construcción, en los que los parámetros pueden ser función de las frecuencias excitadoras, como en el caso de interacción suelo-estructura o fluido-estructura. Para estos casos se utiliza el análisis en el dominio de la frecuencia.

BIBLIOGRAFIA http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Lapi.pdf http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-series-fourier.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/oscilaciones/fourier/fourier.html http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/sf/fourier.pdf http://personal.us.es/niejimjim/tema07.pdf

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